Matematika Sekolah Menengah Atas · Grades 10–12

14Trigonometri: Lingkaran Satuan

Trigonometri bermula pada segitiga siku-siku, tetapi rumah sejatinya adalah lingkaran satuan, tempat kosinus dan sinus menjadi fungsi dari sebarang bilangan real. Bab ini memasang radian, pelilitan garis bilangan real pada lingkaran, nilai eksak yang harus dihafal, dan kesimetrian yang membangkitkan semua identitas klasiknya. Telaah $\cos$ dan $\sin$ sebagai fungsi — variasi, turunan — dilakukan pada Bab 24.

14.1 Radian dan pelilitan

Definisi 14.1 (Radian)

Misalkan $\mathcal C$ lingkaran berjari-jari $1$ yang berpusat di titik asal $O$ , dan $I(1, 0)$ . Ukuran radian sebuah sudut pusat $\mathcal C$ adalah panjang busur yang dipotongnya pada $\mathcal C$ . Karena keliling lingkaran penuhnya $2\pi$ :

360^\circ = 2\pi \text{ rad}, \qquad 180^\circ = \pi \text{ rad}, \qquad 1 \text{ rad} = \frac{180^\circ}{\pi} \approx 57.3^\circ .

Metode 14.2 (Mengonversi)

Derajat dan radian sebanding: kalikan dengan $\frac{\pi}{180}$ untuk beralih dari derajat ke radian, dan dengan $\frac{180}{\pi}$ untuk arah sebaliknya. Misalnya $60^\circ = 60 \times \frac{\pi}{180} = \frac{\pi}{3}$ , dan $\frac{3\pi}{4} = \frac{3 \times 180^\circ}{4} = 135^\circ$ .

Definisi 14.3 (Melilitkan garis pada lingkaran)

Kepada setiap bilangan real $t$ , kaitkan titik $M(t)$ pada $\mathcal C$ yang diperoleh dengan berjalan sejauh $\abs t$ sepanjang lingkaran dari $I$ , berlawanan arah jarum jam bila $t \geq 0$ , dan searah jarum jam bila $t < 0$ . Karena kelilingnya $2\pi$ , bilangan $t$ dan $t + 2k\pi$ ( $k \in \Z$ ) mencapai titik yang sama: $M(t + 2k\pi) = M(t)$ .

Contoh 14.4

$M(0) = I$ ; $M\!\left(\frac{\pi}{2}\right) = (0, 1)$ , yaitu puncak lingkarannya; $M(\pi) = (-1, 0)$ ; $M\!\left(-\frac{\pi}{2}\right) = (0, -1)$ ; lalu $M\!\left(\frac{9\pi}{4}\right) = M\!\left(\frac{\pi}{4} + 2\pi\right) = M\!\left(\frac{\pi}{4}\right)$ .

14.2 Kosinus dan sinus

Definisi 14.5 (Kosinus dan sinus)

Untuk setiap bilangan real $t$ , kosinus dan sinus dari $t$ adalah koordinat titik $M(t)$ pada lingkaran satuan:

M(t) = (\cos t,\ \sin t).

Lingkaran satuan: bilangan real t, yang dililitkan berlawanan arah jarum jam dari I, mendarat di titik M(t) yang koordinatnya mendefinisikan t dan t. — Lingkaran satuan: bilangan real $t$ , yang dililitkan berlawanan arah jarum jam dari $I$ , mendarat di titik $M(t)$ yang koordinatnya *mendefinisikan* $\cos t$ dan $\sin t$ .

Proposisi 14.6 (Sifat pertama)

Untuk semua $t \in \R$ dan $k \in \Z$ :

-1 \leq \cos t \leq 1, \qquad -1 \leq \sin t \leq 1, \qquad \cos^2 t + \sin^2 t = 1,

\cos(t + 2k\pi) = \cos t, \qquad \sin(t + 2k\pi) = \sin t .

Bukti. $M(t)$ terletak pada lingkaran satuan, sehingga koordinatnya berada antara $-1$ dan $1$ , dan koordinat itu memenuhi persamaan lingkarannya $x^2 + y^2 = 1$ , yaitu identitas $\cos^2 t + \sin^2 t = 1$ . Kaperiodikannya menyatakan ulang $M(t + 2k\pi) = M(t)$ (Definisi 14.3). ∎

Contoh 14.7

Jika $\sin t = \frac35$ dan $t \in \intcc{\frac\pi2}{\pi}$ (kuadran kedua), maka $\cos^2 t = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}$ , sehingga $\cos t = \pm\frac45$ ; pada kuadran kedua absisnya negatif, jadi $\cos t = -\frac45$ .

Nilai yang harus dihafal:

$t$	$0$	$\dfrac{\pi}{6}$	$\dfrac{\pi}{4}$	$\dfrac{\pi}{3}$	$\dfrac{\pi}{2}$
[6pt] $\cos t$	$1$	$\dfrac{\sqrt3}{2}$	$\dfrac{\sqrt2}{2}$	$\dfrac12$	$0$
[6pt] $\sin t$	$0$	$\dfrac12$	$\dfrac{\sqrt2}{2}$	$\dfrac{\sqrt3}{2}$	$1$

Catatan 14.8

Kiat mengingatnya: sinusnya terbaca $\frac{\sqrt0}{2}, \frac{\sqrt1}{2}, \frac{\sqrt2}{2}, \frac{\sqrt3}{2}, \frac{\sqrt4}{2}$ , dan kosinusnya adalah daftar yang sama dalam urutan terbalik.

14.3 Sudut berelasi

Proposisi 14.9 (Sudut berelasi)

Untuk semua $t \in \R$ :

\begin{aligned} \cos(-t) &= \cos t, & \sin(-t) &= -\sin t,\\ \cos(\pi - t) &= -\cos t, & \sin(\pi - t) &= \sin t,\\ \cos(\pi + t) &= -\cos t, & \sin(\pi + t) &= -\sin t,\\ \cos\left(\tfrac{\pi}{2} - t\right) &= \sin t, & \sin\left(\tfrac{\pi}{2} - t\right) &= \cos t . \end{aligned}

Bukti. Setiap barisnya menyatakan sebuah kesimetrian lingkaran.

$M(-t)$ adalah cerminan $M(t)$ terhadap sumbu $x$ : absisnya tidak berubah, ordinatnya berganti tanda.

$M(\pi - t)$ adalah cerminan $M(t)$ terhadap sumbu $y$ : berjalan mundur dari $\pi$ sejauh $t$ mendarat berseberangan (secara mendatar) dengan berjalan maju dari $0$ sejauh $t$ . Absisnya berganti tanda, ordinatnya tidak berubah.

$M(\pi + t)$ terletak diametral berseberangan dengan $M(t)$ (setengah putaran): kedua koordinatnya berganti tanda.

$M\!\left(\frac\pi2 - t\right)$ adalah cerminan $M(t)$ terhadap garis diagonal $y = x$ , yang menukar kedua koordinatnya. ∎

Keempat titik berelasinya: M(-t) mencerminkan M(t) terhadap sumbu x, M(π - t) terhadap sumbu y, dan M(π + t) terletak diametral berseberangan. Setiap identitas pada terbaca dari gambar ini. — Keempat titik berelasinya: $M(-t)$ mencerminkan $M(t)$ terhadap sumbu $x$ , $M(\pi - t)$ terhadap sumbu $y$ , dan $M(\pi + t)$ terletak diametral berseberangan. Setiap identitas pada Proposisi 14.9 terbaca dari gambar ini.

Contoh 14.10

$\cos\frac{2\pi}{3} = \cos\left(\pi - \frac\pi3\right) = -\cos\frac\pi3 = -\frac12$ , dan $\sin\frac{7\pi}{6} = \sin\left(\pi + \frac\pi6\right) = -\sin\frac\pi6 = -\frac12$ . Tabel berisi lima nilai itu, yang diperluas oleh kesimetriannya, meliputi seluruh lingkaran.

14.4 Menyelesaikan persamaan trigonometri

Teorema 14.11 (Persamaan $\cos t = \cos a$ dan $\sin t = \sin a$ )

Untuk bilangan real $t$ dan $a$ :

\cos t = \cos a \iff t = a + 2k\pi \ \text{atau}\ t = -a + 2k\pi \quad (k \in \Z),

\sin t = \sin a \iff t = a + 2k\pi \ \text{atau}\ t = \pi - a + 2k\pi \quad (k \in \Z).

Bukti. Dua titik pada lingkaran satuan berabsis sama tepat ketika keduanya berimpit atau saling mencerminkan terhadap sumbu $x$ ; menurut Proposisi 14.9, cerminan $M(a)$ adalah $M(-a)$ . Jadi $\cos t = \cos a$ berarti $M(t) = M(a)$ atau $M(t) = M(-a)$ , yaitu $t = \pm a$ sampai pada kelipatan $2\pi$ . Serupa dengan itu, ordinat yang sama berarti titiknya berimpit atau saling mencerminkan terhadap sumbu $y$ , dan cerminan $M(a)$ adalah $M(\pi - a)$ . ∎

Metode 14.12 (Menyelesaikan $\cos t = c$ pada sebuah interval)

Carilah satu sudut $a$ dengan $\cos a = c$ , dari tabel nilai yang sudah dikenal.
Tulislah penyelesaian umumnya $t = \pm a + 2k\pi$ (Teorema 14.11).
Pilihlah bilangan bulat $k$ yang mendarat di dalam interval yang diminta, lalu daftarkan penyelesaiannya.

Lakukan hal serupa untuk $\sin t = c$ dengan $t = a + 2k\pi$ atau $t = \pi - a + 2k\pi$ .

Contoh 14.13

Selesaikan $\cos t = \frac12$ pada $\intoc{-\pi}{\pi}$ . Satu penyelesaian $\cos a = \frac12$ adalah $a = \frac{\pi}{3}$ . Penyelesaian umumnya adalah $t = \frac\pi3 + 2k\pi$ dan $t = -\frac\pi3 + 2k\pi$ . Di dalam $\intoc{-\pi}{\pi}$ , hanya $k = 0$ yang menyumbang: $t \in \left\{-\frac\pi3,\ \frac\pi3\right\}$ .

Selesaikan $\sin t = -\frac{\sqrt2}{2}$ pada $\intco{0}{2\pi}$ . Satu sudutnya adalah $a = -\frac\pi4$ ; penyelesaiannya $t = -\frac\pi4 + 2k\pi$ dan $t = \pi + \frac\pi4 + 2k\pi = \frac{5\pi}{4} + 2k\pi$ . Di $\intco{0}{2\pi}$ : $t = \frac{7\pi}{4}$ (dari $k = 1$ ) dan $t = \frac{5\pi}{4}$ .

Menyelesaikan t = 1/2: garis tegak x = 1/2 (jingga) memotong lingkaran satuan di dua titik, yang setangkup terhadap sumbu x — karena itulah kedua keluarga penyelesaiannya t = ± π3 + 2kπ. — Menyelesaikan $\cos t = \frac12$ : garis tegak $x = \frac12$ (jingga) memotong lingkaran satuan di dua titik, yang setangkup terhadap sumbu $x$ — karena itulah kedua keluarga penyelesaiannya $t = \pm\frac\pi3 + 2k\pi$ .

14.5 Latihan

Latihan 14.1 ★

Konversikan ke radian: $30^\circ$ , $45^\circ$ , $120^\circ$ , $270^\circ$ . Konversikan ke derajat: $\frac{\pi}{5}$ , $\frac{5\pi}{6}$ , $\frac{7\pi}{4}$ , $\frac{2\pi}{9}$ .

Solusi

Solusi Latihan 14.1.

Ke radian: $30^\circ = \frac{\pi}{6}$ , $45^\circ = \frac{\pi}{4}$ , $120^\circ = \frac{2\pi}{3}$ , $270^\circ = \frac{3\pi}{2}$ .

Ke derajat: $\frac{\pi}{5} = 36^\circ$ , $\frac{5\pi}{6} = 150^\circ$ , $\frac{7\pi}{4} = 315^\circ$ , $\frac{2\pi}{9} = 40^\circ$ .

Latihan 14.2 ★

Tempatkan pada lingkaran satuan titik $M(t)$ untuk

t = \frac{2\pi}{3},\quad t = -\frac{\pi}{4},\quad t = \frac{17\pi}{6},\quad t = -\frac{7\pi}{2},

setelah masing-masing disusutkan ke sebuah nilai di $\intoc{-\pi}{\pi}$ modulo $2\pi$ .

Solusi

Solusi Latihan 14.2.

$\frac{2\pi}{3}$ dan $-\frac{\pi}{4}$ sudah berada di $\intoc{-\pi}{\pi}$ : berturut-turut di kuadran kedua dan kuadran keempat.

$\frac{17\pi}{6} - 2\pi = \frac{5\pi}{6}$ : kuadran kedua, dekat dengan sumbu $x$ negatif.

$-\frac{7\pi}{2} + 4\pi = \frac{\pi}{2}$ : puncak lingkarannya, yaitu $(0, 1)$ .

Latihan 14.3 ★

Dengan memakai tabel dan sudut berelasi, berikan nilai eksak

\cos\frac{3\pi}{4}, \quad \sin\frac{5\pi}{6}, \quad \cos\left(-\frac{\pi}{3}\right), \quad \sin\frac{4\pi}{3}, \quad \cos\frac{11\pi}{6} .

Solusi

Solusi Latihan 14.3.

$\cos\frac{3\pi}{4} = \cos\left(\pi - \frac\pi4\right) = -\cos\frac\pi4 = -\frac{\sqrt2}{2}$ .

$\sin\frac{5\pi}{6} = \sin\left(\pi - \frac\pi6\right) = \sin\frac\pi6 = \frac12$ .

$\cos\left(-\frac\pi3\right) = \cos\frac\pi3 = \frac12$ .

$\sin\frac{4\pi}{3} = \sin\left(\pi + \frac\pi3\right) = -\sin\frac\pi3 = -\frac{\sqrt3}{2}$ .

$\cos\frac{11\pi}{6} = \cos\left(-\frac\pi6 + 2\pi\right) = \cos\frac\pi6 = \frac{\sqrt3}{2}$ .

Latihan 14.4 ★

Diberikan $\cos t = \frac{5}{13}$ dengan $t \in \intoo{-\frac\pi2}{0}$ , hitunglah $\sin t$ secara eksak.

Solusi

Solusi Latihan 14.4.

$\sin^2 t = 1 - \cos^2 t = 1 - \frac{25}{169} = \frac{144}{169}$ , sehingga $\sin t = \pm\frac{12}{13}$ . Pada $\intoo{-\frac\pi2}{0}$ (kuadran keempat) ordinatnya negatif: jadi $\sin t = -\frac{12}{13}$ .

Latihan 14.5 ★★

Sederhanakan, untuk sebarang bilangan real $x$ :

A = \cos(\pi + x) + \cos(-x) + \sin\left(\frac\pi2 - x\right) - \cos x, \qquad B = \sin(\pi - x) + \sin(\pi + x) + \sin(-x) .

Solusi

Solusi Latihan 14.5.

Dengan memakai Proposisi 14.9:

A = (-\cos x) + \cos x + \cos x - \cos x = 0 ,

B = \sin x + (-\sin x) + (-\sin x) = -\sin x .

Latihan 14.6 ★★

Selesaikan pada $\intoc{-\pi}{\pi}$ :

\cos t = \frac{\sqrt3}{2}, \qquad \sin t = \frac12, \qquad \cos t = -1 .

Solusi

Solusi Latihan 14.6.

$\cos t = \frac{\sqrt3}{2}$ : satu penyelesaiannya $\frac\pi6$ , sehingga $t = \pm\frac\pi6$ (pergeseran sebesar $2k\pi$ keluar dari intervalnya).

$\sin t = \frac12$ : $t = \frac\pi6$ atau $t = \pi - \frac\pi6 = \frac{5\pi}{6}$ .

$\cos t = -1$ : satu-satunya titik yang berabsis $-1$ adalah $M(\pi)$ , jadi $t = \pi$ .

Latihan 14.7 ★★

Selesaikan pada $\intco{0}{2\pi}$ :

\sin t = -\frac{\sqrt3}{2}, \qquad \cos t = 0, \qquad 2\sin t + 1 = 0 .

Solusi

Solusi Latihan 14.7.

$\sin t = -\frac{\sqrt3}{2}$ : dari $a = -\frac\pi3$ , keluarganya adalah $-\frac\pi3 + 2k\pi$ dan $\pi + \frac\pi3 + 2k\pi$ ; di $\intco{0}{2\pi}$ : $t = \frac{4\pi}{3}$ dan $t = \frac{5\pi}{3}$ .

$\cos t = 0$ : $t = \frac\pi2$ dan $t = \frac{3\pi}{2}$ .

$2\sin t + 1 = 0$ berarti $\sin t = -\frac12$ : dari $a = -\frac\pi6$ , di $\intco{0}{2\pi}$ : $t = \frac{7\pi}{6}$ dan $t = \frac{11\pi}{6}$ .

Latihan 14.8 ★★

Selesaikan pada $\R$ persamaan $\cos 2t = \cos t$ . (Pakailah Teorema 14.11 dengan $a = t$ , lalu bahaslah kedua keluarga penyelesaiannya.)

Solusi

Solusi Latihan 14.8.

Menurut Teorema 14.11, $\cos 2t = \cos t$ berarti $2t = t + 2k\pi$ atau $2t = -t + 2k\pi$ , yaitu $t = 2k\pi$ atau $t = \frac{2k\pi}{3}$ ( $k \in \Z$ ). Keluarga pertamanya termuat dalam yang kedua (ambil $k$ kelipatan $3$ ), sehingga himpunan penyelesaiannya

S = \left\{\frac{2k\pi}{3} : k \in \Z\right\}

— pada lingkarannya, yaitu ketiga titik $M(0)$ , $M\!\left(\frac{2\pi}{3}\right)$ , $M\!\left(\frac{4\pi}{3}\right)$ .

Latihan 14.9 ★★

Tunjukkan bahwa untuk semua bilangan real $x$ berlaku

\bigl(\cos x + \sin x\bigr)^2 + \bigl(\cos x - \sin x\bigr)^2 = 2 .

Solusi

Solusi Latihan 14.9.

Menjabarkan kedua kuadratnya lalu memakai $\cos^2 x + \sin^2 x = 1$ :

(\cos^2 x + 2\sin x\cos x + \sin^2 x) + (\cos^2 x - 2\sin x\cos x + \sin^2 x) = 1 + 1 = 2 .

Latihan 14.10 ★★

Sebuah roda berjari-jari $30$ cm menggelinding tanpa tergelincir. Sudut berapa (dalam radian, lalu dalam derajat) yang ditempuhnya ketika sepedanya maju $1.5$ m? Sejauh apa sepeda itu maju selama satu putaran penuh rodanya?

Solusi

Solusi Latihan 14.10.

Menggelinding tanpa tergelincir berarti panjang busurnya sama dengan jarak yang ditempuh: $r\theta = 150$ cm memberi $\theta = \frac{150}{30} = 5$ rad $= 5 \times \frac{180}{\pi} \approx 286.5^\circ$ . Satu putaran penuh memajukan sepedanya sejauh kelilingnya, $2\pi \times 30 = 60\pi \approx 188.5$ cm, sekitar $1.88$ m.

Latihan 14.11 ★★★

Selesaikan pada $\intoc{-\pi}{\pi}$ pertidaksamaan $\cos t \leq \frac12$ . (Sketsalah lingkaran satuannya, tandai daerah yang absisnya paling besar $\frac12$ , lalu bacalah interval nilai $t$ -nya.)

Solusi

Solusi Latihan 14.11.

Pada lingkaran satuan, titik yang berabsis tepat $\frac12$ adalah $M\!\left(\pm\frac\pi3\right)$ . Titik yang berabsis paling besar $\frac12$ membentuk busur di sebelah kiri garis tegak $x = \frac12$ , yang dilalui ketika $t$ berjalan dari $\frac\pi3$ sampai $\pi$ , atau dari $-\pi$ sampai $-\frac\pi3$ . Jadi, pada $\intoc{-\pi}{\pi}$ :

S = \intoc{-\pi}{-\frac{\pi}{3}} \cup \intcc{\frac{\pi}{3}}{\pi}.

(Titik ujung $\pm\frac\pi3$ termasuk karena pertidaksamaannya takmurni.)

14.6 Soal: Kincir ria dan pasang surut

Soal 14.1

Soal akhir pekan — radian sebagai jarak gelinding, dan lingkaran satuan sebagai jam induk setiap gejala berkala

Sebuah kincir ria membawamu mengelilingi lingkaran; pasang surut membawa air pelabuhan naik dan turun pada lingkaran matematis yang sama. Setiap gejala yang berkala — roda, pasang surut, bunyi, musim — membaca jadwalnya dari lingkaran satuan bab ini (Definisi 14.5), dan persamaan pada Metode 14.12 memberitahukan waktunya secara tepat. Soal ini mengonversi, melilit, memodelkan dan menyelesaikan — lalu di sepanjang jalan itu menuntaskan mengapa matematikawan mengukur sudut dalam radian.

Bagian I — Radian, jarak yang tergelinding.

Konversikan ke radian: $30^\circ$ , $135^\circ$ , $300^\circ$ ; lalu ke derajat: $\frac{3\pi}{4}$ , $\frac{5\pi}{6}$ (Metode 14.2).
Inti radian: sebuah busur bersudut $t$ (dalam radian) pada lingkaran berjari-jari $r$ berpanjang tepat $r\,t$ . Busur berapa yang dipotong sudut $2$ radian pada lingkaran berjari-jari $3$ m? (Tanpa $\pi$ di mana pun — itulah intinya.)
Sebuah roda berjari-jari $30$ cm menggelinding $1$ km tanpa tergelincir. Berapa radian yang telah ditempuhnya, dan berapa putaran penuh?
Tempatkan pada lingkaran satuan lalu hitunglah secara eksak: $\cos\frac{2\pi}{3}$ , $\sin\left(-\frac{\pi}{4}\right)$ , dan $\cos\frac{19\pi}{6}$ (susutkan modulo $2\pi$ lebih dahulu; Proposisi 14.9).
Sebuah sudut $t \in \intoo{\frac\pi2}{\pi}$ memenuhi $\sin t = \frac35$ . Dengan memakai $\cos^2 t + \sin^2 t = 1$ dan kuadrannya, carilah $\cos t$ dan $\tan t$ .

Bagian II — Kincir ria. Sebuah kincir raksasa berjari-jari $60$ m, dengan porosnya $65$ m di atas tanah, dan berputar sekali setiap $30$ menit. Kamu naik di titik terendah pada waktu $t = 0$ (dalam menit), sehingga tinggimu menuruti

h(t) = 65 - 60 \cos\!\left(\frac{\pi t}{15}\right).

Berikan alasan rumusnya: periksalah sudut yang ditempuh setelah $t$ menit, tingginya di $t = 0$ , lalu jelaskan tanda minusnya.
Hitunglah tinggimu pada $t = 7.5$ , $t = 15$ dan $t = 20$ menit (nilai eksaknya).
Pada waktu berapa kamu pertama kali berada di $95$ m? (Selesaikan $h(t) = 95$ dengan Metode 14.12.)
Pada selang waktu mana selama perjalanan itu kamu berada paling sedikit $95$ m di atas tanah — dan berapa lama seluruhnya? (Bandingkan Latihan 14.11.)
Di mana tingginya berubah paling cepat? Bandingkan kenaikan selama menit pertama ( $h(1) - h(0)$ ) dengan kenaikan antara menit $7$ dan $8$ , lalu rumuskan pengamatannya (perkakas yang membuatnya eksak — turunan sinusoida — tiba pada tahun berikutnya).
Giliran sang insinyur: rancanglah rumus tinggi sebuah kincir dengan tinggi maksimum $40$ m, tinggi minimum $4$ m dan kala $12$ menit, dengan penumpang naik di bawah pada $t = 0$ .

Bagian III — Pasang surut dan kesimetrian lingkaran. Di sebuah pelabuhan, kedalaman airnya dalam meter, $t$ jam setelah tengah malam, adalah

d(t) = 7 + 3 \sin\!\left(\frac{\pi t}{6}\right).

Berikan kedalaman maksimum dan minimumnya, waktu keduanya pertama kali terjadi, dan kala pasang surutnya.
Sebuah kapal barang memerlukan $8.5$ m air. Selesaikan $d(t) \geq 8.5$ pada $\intco{0}{12}$ : pada jendela waktu mana kapal itu dapat masuk, dan berapa lama jendela itu? Kapan jendela berikutnya terbuka?
Turunkan ulang dua identitas sudut berelasi langsung dari kesimetrian lingkaran — $\sin(\pi - t) = \sin t$ (cerminan terhadap sumbu tegak) dan $\cos(\pi + t) = -\cos t$ (setengah putaran) — lalu nyatakan identitas pelengkapnya $\cos\left(\frac\pi2 - t\right) = \sin t$ .
Paritas (dengan kosakata Soal 11.1): golongkan $\sin$ , $\cos$ , dan $t \mapsto \sin t + t^3$ sebagai genap atau ganjil, dengan bukti satu baris dari lingkarannya.
Selesaikan pada $\intco{0}{2\pi}$ : $2\sin^2 t - \sin t - 1 = 0$ . (Sebuah bentuk kuadrat dalam samaran: faktorkan seperti pada Soal 10.1, lalu bacalah lingkarannya.)

Bagian IV — Sudut milik matematikawan.

Berapa derajat $1$ radian? Lalu sebuah jebakan kalkulator: mana yang lebih besar, $\sin(1)$ (mode radian) atau $\sin(1^\circ)$ — dan kira-kira berapa kali lipat? Apa moralnya bagi penyetelan kalkulator?
Selesaikan $\cos t = \sin t$ pada $\intco{0}{2\pi}$ , dengan memakai lingkarannya (di mana absis dan ordinatnya sama?).
Untuk sudut kecil, busur dan sinusnya hampir berimpit: bandingkan $\sin(0.1)$ dengan $0.1$ (lima angka desimal), lalu berikan galat nisbinya. “Hampiran sudut kecil” ini mengemudikan kapal dan bandul; teorema di baliknya ( $\frac{\sin t}{t} \to 1$ ) menjadi bintang bab limit tahun berikutnya.
Penutup — lingkaran satuan itu sebagai jam induk, satu kalimat untuk setiap butir: radian mengubah sudut menjadi bilangan yang jujur (busur $=$ jari-jari $\times$ sudut); kosinus dan sinus adalah bayangan dan tinggi jarum jamnya; kesimetrian lingkarannya adalah identitasnya; menyelesaikan $\cos t = c$ membaca waktu dari jam itu; dan setiap gejala berkala — roda, pasang surut, bunyi — adalah jam ini yang mengenakan busana.

Solusi

Solusi Soal 14.1.

1. $30^\circ = \frac{\pi}{6}$ ; $135^\circ = \frac{3\pi}{4}$ ; $300^\circ = \frac{5\pi}{3}$ . Lalu $\frac{3\pi}{4} = 135^\circ$ ; $\frac{5\pi}{6} = 150^\circ$ .

2. Panjangnya $r\,t = 3 \times 2 = 6$ m. Radian membuat panjang busur menjadi hasil kali yang polos — derajat akan menyeret $\frac{\pi}{180}$ ke dalam setiap rumus.

3. Radian yang ditempuh $= \frac{\text{jarak}} {\text{jari-jari}} = \frac{1000}{0.30} \approx 3\,333$ rad; dibagi $2\pi$ : sekitar $530$ putaran penuh.

4. $\cos\frac{2\pi}{3} = -\frac12$ ; $\sin\left(-\frac\pi4\right) = -\frac{\sqrt2}{2}$ ; $\frac{19\pi}{6} - 2\pi = \frac{7\pi}{6}$ , sehingga $\cos\frac{19\pi}{6} = \cos\frac{7\pi}{6} = -\frac{\sqrt3}{2}$ .

5. $\cos^2 t = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}$ ; pada kuadran kedua kosinusnya negatif: $\cos t = -\frac45$ , dan $\tan t = \frac{3/5}{-4/5} = -\frac34$ .

6. Dalam $t$ menit kincirnya berputar $\frac{t}{30} \times 2\pi = \frac{\pi t}{15}$ . Di $t = 0$ : $h = 65 - 60 = 5$ m — yaitu peron naik di bawah (tinggi poros dikurangi jari-jari). Tanda minusnya menempatkanmu di bawah poros ketika sudut yang ditempuh $0$ .

7. $h(7.5) = 65 - 60\cos\frac{\pi}{2} = 65$ m (setinggi porosnya); $h(15) = 65 + 60 = 125$ m (puncaknya); $h(20) = 65 - 60\cos\frac{4\pi}{3} = 65 + 30 = 95$ m.

8. $65 - 60\cos\frac{\pi t}{15} = 95$ memberi $\cos\frac{\pi t}{15} = -\frac12$ : penyelesaian pertamanya $\frac{\pi t}{15} = \frac{2\pi}{3}$ , yaitu $t = 10$ menit.

9. $\cos\frac{\pi t}{15} \leq -\frac12$ untuk $\frac{\pi t}{15} \in \intcc{\frac{2\pi}{3}}{\frac{4\pi}{3}}$ , yaitu $t \in \intcc{10}{20}$ : sepuluh menit perjalanan di atas $95$ m, setangkup terhadap puncaknya di $t = 15$ .

10. Menit pertama:

h(1) - h(0) = 60\left(1 - \cos\frac{\pi}{15}\right) \approx 1.3 \text{ m}.

Antara menit $7$ dan $8$ :

60\left(\cos\frac{7\pi}{15} - \cos\frac{8\pi}{15}\right) \approx 12.5 \text{ m}

— hampir sepuluh kali lebih banyak. Tingginya berubah paling cepat ketika melewati ketinggian poros dan melambat di dekat dasar dan puncaknya: sinusoidanya curam di tengah, mendatar di ujung ekstremnya.

11. Jari-jarinya $= \frac{40 - 4}{2} = 18$ m, porosnya di $4 + 18 = 22$ m, kalanya $12$ menit: $h(t) = 22 - 18\cos\left(\frac{\pi t}{6}\right)$ .

12. Maksimumnya $7 + 3 = 10$ m ketika $\sin\frac{\pi t}{6} = 1$ : pertama kali di $t = 3$ (pukul 03.00); minimumnya $4$ m pertama kali di $t = 9$ ; kalanya $\frac{2\pi}{\pi/6} = 12$ jam.

13. $\sin\frac{\pi t}{6} \geq \frac12$ untuk $\frac{\pi t}{6} \in \intcc{\frac\pi6}{\frac{5\pi}{6}}$ : $t \in \intcc{1}{5}$ — jendela empat jam dari pukul 01.00 sampai 05.00, yang terbuka lagi satu kala kemudian, $t \in \intcc{13}{17}$ (pukul 13.00 sampai 17.00).

14. Cermin terhadap sumbu tegak mengirim titik bersudut $t$ ke titik bersudut $\pi - t$ , dan mempertahankan ordinatnya: $\sin(\pi - t) = \sin t$ . Setengah putaran terhadap pusatnya mengirim $t$ ke $\pi + t$ , dan meniadakan kedua koordinatnya: $\cos(\pi + t) = -\cos t$ . Lalu cermin terhadap diagonalnya menukar absis dan ordinat: $\cos\left(\frac\pi2 - t\right) = \sin t$ — yaitu “ko” pada sudut yang saling berpenyiku.

15. $\sin(-t) = -\sin t$ : ganjil (grafiknya setangkup setengah putaran); $\cos(-t) = \cos t$ : genap (setangkup cermin). Lalu $\sin t + t^3$ adalah jumlah dua fungsi ganjil: jadi ganjil.

16. Faktorkan: $(2\sin t + 1)(\sin t - 1) = 0$ : $\sin t = 1$ memberi $t = \frac\pi2$ ; $\sin t = -\frac12$ memberi $t = \frac{7\pi}{6}$ dan $t = \frac{11\pi}{6}$ . Jadi tiga penyelesaian pada lingkarannya.

17. $1$ rad $= \frac{180}{\pi} \approx 57.3^\circ$ . Jadi $\sin(1) \approx 0.841$ sedangkan $\sin(1^\circ) \approx 0.0175$ : hampir $50$ kali lipat. Moralnya: periksalah tanda modenya sebelum memercayai tampilan trigonometri mana pun.

18. Absis sama dengan ordinat pada diagonalnya: $t = \frac\pi4$ dan $t = \frac{5\pi}{4}$ .

19. $\sin(0.1) = 0.09983\ldots$ terhadap $0.1$ : galat nisbinya sekitar $0.17\,\%$ . Untuk sudut kecil, tali busurnya memeluk busurnya — dan limit $\frac{\sin t}{t} \to 1$ tahun berikutnya persis merupakan pengamatan ini yang dijadikan sebuah teorema.

20. Radian: sudut $=$ busur pada lingkaran satuan, sehingga sudut dihitung seperti panjang. Kosinus dan sinus: koordinat jarum jamnya — bayangan di tanah, tinggi di dinding. Kesimetrian lingkarannya: seluruh katalog identitas, yang terbaca dari cermin dan setengah putaran. Persamaan $\cos t = c$ : jadwal jam itu, dengan lingkarannya memperlihatkan semua penyelesaian sekaligus. Busananya: kincirnya mengenakan $65 - 60\cos$ , pasang surutnya mengenakan $7 + 3\sin$ — jam yang sama, matematika yang sama.

Istilah yang didefinisikan dalam bab ini

Lihat semua 395 istilah di glosarium