Matematika Sekolah Menengah Atas · Grades 10–12

10Fungsi dan Persamaan Kuadrat

Fungsi kuadrat adalah fungsi paling sederhana setelah fungsi linear, dan yang pertama yang grafiknya sungguh-sungguh melengkung. Bab ini menyusun kotak perkakas lengkapnya: bentuk kanonik, diskriminan, tanda sebuah bentuk kuadrat, dan geometri parabola.

10.1 Bentuk kanonik

Definisi 10.1 (Fungsi kuadrat)

Sebuah fungsi kuadrat adalah fungsi berbentuk

f(x) = ax^2 + bx + c, \qquad a \neq 0,

dengan $a$ , $b$ , $c$ bilangan real. Bentuk $ax^2 + bx + c$ disebut juga trinomial kuadrat.

Teorema 10.2 (Bentuk kanonik)

Setiap fungsi kuadrat dapat ditulis dengan tepat satu cara sebagai

f(x) = a(x - \alpha)^2 + \beta, \qquad\text{dengan } \alpha = -\frac{b}{2a} \text{ dan } \beta = f(\alpha).

Inilah bentuk kanonik $f$ .

Bukti. Kita melengkapkan kuadratnya. Karena $a \neq 0$ , keluarkan faktor itu dari dua suku pertamanya:

ax^2 + bx + c = a\left(x^2 + \frac{b}{a}x\right) + c .

Kini $x^2 + \frac{b}{a}x$ adalah awal kuadrat $\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 = x^2 + \frac ba x + \frac{b^2}{4a^2}$ , sehingga $x^2 + \frac{b}{a}x = \left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{b^2}{4a^2}$ . Setelah disubstitusikan:

f(x) = a\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{b^2}{4a} + c = a\bigl(x - \alpha\bigr)^2 + \beta,

dengan $\alpha = -\frac{b}{2a}$ dan $\beta = c - \frac{b^2}{4a}$ . Mengevaluasi di $x = \alpha$ mematikan suku kuadratnya, jadi $\beta = f(\alpha)$ . Ketunggalannya: menjabarkan $a(x-\alpha)^2 + \beta$ lalu menyamakan koefisien $x$ memaksa $\alpha = -\frac{b}{2a}$ , dan setelah itu $\beta$ pun tertentu. ∎

Contoh 10.3

Misalkan $f(x) = 2x^2 - 8x + 3$ . Maka $\alpha = -\frac{-8}{2 \times 2} = 2$ dan $\beta = f(2) = 8 - 16 + 3 = -5$ , sehingga

f(x) = 2(x - 2)^2 - 5 .

Periksa dengan menjabarkannya: $2(x^2 - 4x + 4) - 5 = 2x^2 - 8x + 8 - 5 = 2x^2 - 8x + 3$ .

Proposisi 10.4 (Nilai ekstrem dan variasi)

Misalkan $f(x) = a(x-\alpha)^2 + \beta$ .

Jika $a > 0$ , maka $f$ turun pada $\intoc{-\infty}{\alpha}$ dan naik pada $\intco{\alpha}{+\infty}$ : jadi $f$ mempunyai minimum $\beta$ , yang dicapai di $x = \alpha$ .
Jika $a < 0$ , variasinya terbalik: $f$ mempunyai maksimum $\beta$ di $x = \alpha$ .

Bukti. Andaikan $a > 0$ dan misalkan $\alpha \leq u < v$ . Maka

f(v) - f(u) = a\bigl((v-\alpha)^2 - (u-\alpha)^2\bigr) = a\,(v - u)\,\bigl((v-\alpha) + (u-\alpha)\bigr).

Setiap faktornya positif: $a > 0$ , $v - u > 0$ , dan $(v-\alpha) + (u-\alpha) > 0$ sebab $v > \alpha$ dan $u \geq \alpha$ . Jadi $f(v) > f(u)$ : $f$ naik pada $\intco{\alpha}{+\infty}$ . Untuk $u < v \leq \alpha$ faktor terakhirnya negatif, sehingga $f(v) < f(u)$ : $f$ turun di sana. Akhirnya $f(x) - f(\alpha) = a(x-\alpha)^2 \geq 0$ untuk semua $x$ , jadi $\beta = f(\alpha)$ adalah minimumnya. Kasus $a < 0$ menyusul dengan menerapkan uraian di atas pada $-f$ . ∎

Contoh 10.5

Seorang petani mempunyai pagar sepanjang $100$ meter untuk mengelilingi ladang persegi panjang yang bersandar pada tembok lurus (tidak perlu pagar sepanjang tembok). Jika $x$ lebarnya, luas yang terkurung adalah $A(x) = x(100 - 2x) = -2x^2 + 100x$ . Di sini $\alpha = -\frac{100}{2\times(-2)} = 25$ dan $A(25) = 25 \times 50 = 1250$ : luasnya terbesar untuk lebar $25$ m, yaitu $1250$ m $^2$ .

10.2 Akar dan pemfaktoran

Definisi 10.6 (Akar, diskriminan)

Sebuah akar trinomial $ax^2+bx+c$ adalah penyelesaian persamaan $ax^2 + bx + c = 0$ . Diskriminan trinomial itu adalah bilangan

\Delta = b^2 - 4ac .

Teorema 10.7 (Menyelesaikan $ax^2+bx+c=0$ )

Jika $\Delta > 0$ , persamaannya mempunyai dua akar berbeda

$x_1 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}, \qquad x_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a},$

dan $ax^2+bx+c = a(x - x_1)(x - x_2)$ .
Jika $\Delta = 0$ , persamaannya mempunyai akar tunggal $x_0 = -\frac{b}{2a}$ , dan $ax^2+bx+c = a(x - x_0)^2$ .
Jika $\Delta < 0$ , persamaannya tidak mempunyai penyelesaian real, dan trinomialnya tidak dapat difaktorkan dengan koefisien real.

Bukti. Mulailah dari bentuk kanonik yang dihitung pada Teorema 10.2:

ax^2+bx+c = a\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 + c - \frac{b^2}{4a} = a\left[\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{\Delta}{4a^2}\right],

sebab $c - \frac{b^2}{4a} = \frac{4ac - b^2}{4a} = -\frac{\Delta}{4a} = a \times \left(-\frac{\Delta}{4a^2}\right)$ .

1. Jika $\Delta > 0$ , maka $\frac{\Delta}{4a^2} = \left(\frac{\sqrt\Delta}{2a}\right)^2$ dan isi kurungnya adalah selisih dua kuadrat:

ax^2+bx+c = a\left(x + \frac{b}{2a} - \frac{\sqrt\Delta}{2a}\right) \left(x + \frac{b}{2a} + \frac{\sqrt\Delta}{2a}\right) = a(x - x_2)(x - x_1).

Sebuah hasil kali bernilai nol tepat ketika salah satu faktornya nol, dan itu memberi kedua akarnya, yang berbeda sebab $\sqrt\Delta \neq 0$ .

2. Jika $\Delta = 0$ , isi kurungnya adalah $\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2$ , yang lenyap hanya di $x_0 = -\frac{b}{2a}$ .

3. Jika $\Delta < 0$ , maka $-\frac{\Delta}{4a^2} > 0$ , sehingga isi kurungnya adalah kuadrat ditambah bilangan positif: nilainya tidak pernah lenyap, dan persamaannya tidak mempunyai penyelesaian real. Pemfaktoran $a(x-x_1)(x-x_2)$ akan menghasilkan akar, jadi pemfaktoran itu tidak ada. ∎

Contoh 10.8

Selesaikan $2x^2 - 8x + 3 = 0$ . Di sini $\Delta = (-8)^2 - 4 \times 2 \times 3 = 64 - 24 = 40 > 0$ , jadi ada dua akar:

x_{1,2} = \frac{8 \pm \sqrt{40}}{4} = \frac{8 \pm 2\sqrt{10}}{4} = 2 \pm \frac{\sqrt{10}}{2}.

Untuk $x^2 + x + 1 = 0$ : $\Delta = 1 - 4 = -3 < 0$ , tanpa penyelesaian real.

Proposisi 10.9 (Jumlah dan hasil kali akar)

Jika $\Delta \geq 0$ dan $x_1, x_2$ akarnya (sama ketika $\Delta = 0$ ), maka

x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}, \qquad x_1 x_2 = \frac{c}{a} .

Sebaliknya, dua bilangan yang berjumlah $s$ dan berhasil kali $p$ adalah penyelesaian $x^2 - sx + p = 0$ .

Bukti. Jabarkan pemfaktoran pada Teorema 10.7:

a(x - x_1)(x - x_2) = a x^2 - a(x_1 + x_2)x + a\,x_1 x_2 .

Menyamakan koefisiennya dengan $ax^2 + bx + c$ memberi $-a(x_1+x_2) = b$ dan $a\,x_1x_2 = c$ . Untuk kebalikannya, jika $u + v = s$ dan $uv = p$ , maka $(x-u)(x-v) = x^2 - sx + p$ , jadi $u$ dan $v$ adalah akarnya. ∎

Contoh 10.10

Carilah dua bilangan yang berjumlah $10$ dan berhasil kali $21$ . Keduanya memenuhi $x^2 - 10x + 21 = 0$ ; $\Delta = 100 - 84 = 16$ , akarnya $\frac{10 \pm 4}{2} = 7$ dan $3$ . Menebak akar dengan cepat: karena koefisien $x^2 - 5x + 4$ memenuhi $1 - 5 + 4 = 0$ , bilangan $1$ adalah sebuah akar, dan akar yang lain adalah $\frac{c}{a} = 4$ (hasil kali keduanya harus $\frac ca$ ).

10.3 Tanda sebuah bentuk kuadrat

Teorema 10.11 (Tanda sebuah trinomial)

Misalkan $f(x) = ax^2+bx+c$ dengan $a \neq 0$ .

Jika $\Delta > 0$ , dengan akar $x_1 < x_2$ : maka $f(x)$ bertanda sama dengan $a$ di luar $\intcc{x_1}{x_2}$ , dan bertanda sama dengan $-a$ pada $\intoo{x_1}{x_2}$ .
Jika $\Delta = 0$ : $f(x)$ bertanda sama dengan $a$ untuk semua $x \neq x_0$ , dan lenyap di $x_0$ .
Jika $\Delta < 0$ : $f(x)$ bertanda sama dengan $a$ untuk semua $x$ .

Singkatnya: sebuah trinomial bertanda sama dengan $a$ , kecuali di antara akarnya.

Bukti. 1. Tulislah $f(x) = a(x-x_1)(x-x_2)$ lalu ikuti tanda kedua faktornya. Jika $x < x_1$ : baik $x - x_1$ maupun $x - x_2$ negatif, hasil kalinya positif, sehingga $f(x)$ bertanda sama dengan $a$ . Jika $x_1 < x < x_2$ : kedua faktornya bertanda berlawanan, hasil kalinya negatif, dan $f(x)$ bertanda sama dengan $-a$ . Jika $x > x_2$ : kedua faktornya positif dan $f(x)$ bertanda sama dengan $a$ lagi.

2. $f(x) = a(x - x_0)^2$ dan $(x-x_0)^2 > 0$ untuk $x \neq x_0$ .

3. Dari bukti Teorema 10.7, $f(x) = a\left[\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 + \left(-\frac{\Delta}{4a^2}\right)\right]$ , dan isi kurungnya selalu positif. ∎

Metode 10.12 (Menyelesaikan pertidaksamaan kuadrat)

Untuk menyelesaikan $ax^2 + bx + c \leq 0$ (atau $\geq$ , $<$ , $>$ ):

hitunglah $\Delta$ dan akarnya, bila ada;
susunlah tabel tandanya dengan Teorema 10.11 (tanda $a$ di luar akarnya);
bacalah interval penyelesaiannya, sambil memperhatikan apakah akarnya sendiri termasuk (pertidaksamaan takmurni) atau tidak (murni).

Contoh 10.13

Selesaikan $-x^2 + 3x + 4 \geq 0$ . Di sini $\Delta = 9 + 16 = 25$ , dan akarnya adalah $\frac{-3 \pm 5}{-2}$ , yaitu $x_1 = -1$ dan $x_2 = 4$ . Karena $a = -1 < 0$ , trinomialnya negatif di luar akarnya dan positif di antara akarnya. Dengan pertidaksamaan takmurni, himpunan penyelesaiannya adalah $\intcc{-1}{4}$ .

10.4 Parabola

Definisi 10.14 (Parabola)

Grafik fungsi kuadrat $f(x) = a(x-\alpha)^2+\beta$ adalah sebuah parabola dengan titik puncak $S(\alpha, \beta)$ . Parabola itu terbuka ke atas bila $a > 0$ , ke bawah bila $a < 0$ , dan simetris terhadap garis tegak $x = \alpha$ .

Catatan 10.15

Kesimetriannya mudah diperiksa: untuk sebarang $h$ , $f(\alpha + h) = ah^2 + \beta = f(\alpha - h)$ , sehingga dua titik yang berjarak mendatar sama dari garis $x = \alpha$ mempunyai tinggi yang sama.

Tiga kedudukan parabola yang terbuka ke atas (a > 0) terhadap sumbu x: dua akar, satu akar kembar, tanpa akar. Titik puncak S berabsis = -b/2a. — Tiga kedudukan parabola yang terbuka ke atas ( $a > 0$ ) terhadap sumbu $x$ : dua akar, satu akar kembar, tanpa akar. Titik puncak $S$ berabsis $\alpha = -\frac{b}{2a}$ .

Tanda trinomial yang terbuka ke bawah (a < 0) dengan dua akar: tanda -a di antara akarnya (terarsir), tanda a di luarnya. — Tanda trinomial yang terbuka ke bawah ( $a < 0$ ) dengan dua akar: tanda $-a$ di antara akarnya (terarsir), tanda $a$ di luarnya.

Metode 10.16 (Membaca parabola)

Untuk mensketsa $f(x) = ax^2+bx+c$ : carilah arah bukaannya (tanda $a$ ), titik puncaknya $\left(-\frac{b}{2a},\, f\!\left(-\frac{b}{2a}\right)\right)$ , titik potong $(0, c)$ dengan sumbu $y$ , dan akarnya bila ada. Sumbu simetri $x = -\frac{b}{2a}$ lalu menempatkan setiap titik hitungan dua kali.

Contoh 10.17

Untuk $f(x) = x^2 - 4x + 3$ : terbuka ke atas, titik puncak $(2, -1)$ , memotong sumbu $y$ di $(0,3)$ , akarnya $1$ dan $3$ (tertebak: $1 - 4 + 3 = 0$ ). Menurut kesimetriannya, titik $(4, 3)$ juga terletak pada kurvanya, mencerminkan $(0, 3)$ .

10.5 Latihan

Latihan 10.1 ★

Selesaikan persamaan berikut

x^2 - 5x + 6 = 0, \qquad 2x^2 + 3x - 2 = 0, \qquad x^2 + 2x + 5 = 0, \qquad 9x^2 - 6x + 1 = 0 .

Solusi

Solusi Latihan 10.1.

$x^2-5x+6$ : $\Delta = 25 - 24 = 1$ , akarnya $\frac{5 \pm 1}{2}$ , yaitu $2$ dan $3$ .

$2x^2+3x-2$ : $\Delta = 9 + 16 = 25$ , akarnya $\frac{-3 \pm 5}{4}$ , yaitu $\frac12$ dan $-2$ .

$x^2+2x+5$ : $\Delta = 4 - 20 = -16 < 0$ , tanpa penyelesaian real.

$9x^2-6x+1$ : $\Delta = 36 - 36 = 0$ , satu akar (kembar) $x_0 = \frac{6}{18} = \frac13$ .

Latihan 10.2 ★

Tulislah dalam bentuk kanonik lalu berikan titik puncak parabolanya:

f(x) = x^2 - 6x + 11, \qquad g(x) = -2x^2 + 4x + 1, \qquad h(x) = 3x^2 + 6x .

Solusi

Solusi Latihan 10.2.

$f(x) = x^2 - 6x + 11 = (x-3)^2 - 9 + 11 = (x-3)^2 + 2$ : titik puncak $(3, 2)$ .

$g(x) = -2x^2+4x+1 = -2(x^2 - 2x) + 1 = -2\bigl((x-1)^2 - 1\bigr) + 1 = -2(x-1)^2 + 3$ : titik puncak $(1, 3)$ .

$h(x) = 3x^2 + 6x = 3(x^2 + 2x) = 3\bigl((x+1)^2 - 1\bigr) = 3(x+1)^2 - 3$ : titik puncak $(-1, -3)$ .

Latihan 10.3 ★

Selesaikan pertidaksamaan berikut

x^2 - 3x - 10 < 0, \qquad 2x^2 + x + 3 > 0, \qquad -x^2 + 6x - 9 \geq 0 .

Solusi

Solusi Latihan 10.3.

$x^2 - 3x - 10$ : $\Delta = 9 + 40 = 49$ , akarnya $\frac{3 \pm 7}{2} = -2$ dan $5$ ; koefisien utamanya positif, sehingga trinomialnya negatif tegas di antara kedua akarnya: himpunan penyelesaiannya $\intoo{-2}{5}$ .

$2x^2 + x + 3$ : $\Delta = 1 - 24 = -23 < 0$ dan $a = 2 > 0$ : selalu positif, sehingga himpunan penyelesaiannya $\R$ .

$-x^2 + 6x - 9 = -(x-3)^2$ : nilainya $\geq 0$ hanya ketika $(x-3)^2 \leq 0$ , yaitu di $x = 3$ . Himpunan penyelesaiannya $\{3\}$ .

Latihan 10.4 ★

Tanpa menghitung $\Delta$ , carilah satu akar yang kasatmata, lalu akar lainnya:

x^2 - 7x + 6 = 0, \qquad 2x^2 + 5x - 7 = 0, \qquad x^2 + 4x - 5 = 0 .

(Petunjuk: ujilah $x = 1$ dan $x = -1$ , lalu pakai hasil kali akarnya.)

Solusi

Solusi Latihan 10.4.

$x^2 - 7x + 6$ : $1 - 7 + 6 = 0$ , jadi $1$ sebuah akar; hasil kali kedua akarnya $6$ , sehingga akar yang lain adalah $6$ .

$2x^2 + 5x - 7$ : $2 + 5 - 7 = 0$ , jadi $1$ sebuah akar; hasil kalinya $\frac{c}{a} = -\frac72$ , sehingga akar yang lain adalah $-\frac72$ .

$x^2 + 4x - 5$ : $1 + 4 - 5 = 0$ , jadi $1$ sebuah akar; hasil kalinya $-5$ , sehingga akar yang lain adalah $-5$ .

Latihan 10.5 ★★

Carilah dua bilangan yang berjumlah $14$ dan berhasil kali $45$ . Lalu carilah ukuran sebuah persegi panjang berkeliling $34$ dan berluas $60$ .

Solusi

Solusi Latihan 10.5.

Kedua bilangan itu memenuhi $x^2 - 14x + 45 = 0$ (Proposisi 10.9); $\Delta = 196 - 180 = 16$ , akarnya $\frac{14 \pm 4}{2} = 9$ dan $5$ .

Untuk persegi panjangnya: setengah kelilingnya memberi panjang $+$ lebar $= 17$ , dan luasnya memberi hasil kali keduanya $60$ . Keduanya memenuhi $x^2 - 17x + 60 = 0$ ; $\Delta = 289 - 240 = 49$ , akarnya $\frac{17 \pm 7}{2} = 12$ dan $5$ . Jadi persegi panjangnya $12 \times 5$ .

Latihan 10.6 ★★

Misalkan $f(x) = x^2 + (m-2)x + 1$ , dengan $m$ sebuah parameter real. Untuk nilai $m$ yang mana persamaan $f(x) = 0$ mempunyai tepat satu penyelesaian? Tidak mempunyai penyelesaian?

Solusi

Solusi Latihan 10.6.

$\Delta = (m-2)^2 - 4$ . Tepat satu penyelesaian ketika $\Delta = 0$ : $(m-2)^2 = 4$ , jadi $m - 2 = \pm 2$ , yaitu $m = 0$ atau $m = 4$ . Tanpa penyelesaian ketika $\Delta < 0$ : $(m-2)^2 < 4$ , yaitu $-2 < m - 2 < 2$ , artinya $0 < m < 4$ .

Latihan 10.7 ★★

Sebuah bola dilempar ke atas; tingginya setelah $t$ detik adalah $h(t) = -5t^2 + 20t + 1$ (dalam meter). Berapa tinggi maksimum yang dicapai, dan pada waktu berapa? Pada selang waktu mana bola itu berada paling sedikit $16$ m di atas tanah?

Solusi

Solusi Latihan 10.7.

Titik puncaknya berada di $t = -\frac{20}{2 \times (-5)} = 2$ , dan $h(2) = -20 + 40 + 1 = 21$ : tinggi maksimumnya $21$ m, dicapai setelah $2$ detik.

$h(t) \geq 16$ berarti $-5t^2 + 20t - 15 \geq 0$ , yaitu (setelah dibagi $-5$ , yang membalik arah pertidaksamaannya) $t^2 - 4t + 3 \leq 0$ . Akar $t^2-4t+3$ adalah $1$ dan $3$ ( $1 - 4 + 3 = 0$ , hasil kalinya $3$ ), jadi $t^2 - 4t + 3 \leq 0$ tepat pada $\intcc{1}{3}$ : bola itu berada paling sedikit $16$ m di atas tanah antara waktu $t = 1$ s dan $t = 3$ s.

Latihan 10.8 ★★

Selesaikan persamaan $x^4 - 13x^2 + 36 = 0$ dengan memisalkan $X = x^2$ (sebuah persamaan bikuadrat).

Solusi

Solusi Latihan 10.8.

Dengan $X = x^2$ : $X^2 - 13X + 36 = 0$ , $\Delta = 169 - 144 = 25$ , jadi $X = \frac{13 \pm 5}{2} = 9$ atau $4$ . Kembali ke $x$ : $x^2 = 9$ memberi $x = \pm 3$ , dan $x^2 = 4$ memberi $x = \pm 2$ . Himpunan penyelesaiannya $\{-3, -2, 2, 3\}$ .

Latihan 10.9 ★★

Untuk nilai $x$ yang mana titik $M(x, x^2)$ pada parabola $y = x^2$ terletak tegas di bawah garis $y = x + 2$ ? Tafsirkan pada sebuah sketsa.

Solusi

Solusi Latihan 10.9.

Syaratnya adalah $x^2 < x + 2$ , yaitu $x^2 - x - 2 < 0$ . Karena $x^2 - x - 2 = (x+1)(x-2)$ (akarnya $-1$ dan $2$ ), pertidaksamaannya berlaku tegas di antara kedua akarnya: $x \in \intoo{-1}{2}$ . Pada sketsanya, parabola $y = x^2$ menukik di bawah garis $y = x+2$ tepat di antara kedua titik potongnya, yaitu $(-1, 1)$ dan $(2, 4)$ .

Latihan 10.10 ★★

Jumlah sebuah bilangan positif dan kebalikannya adalah $\frac{13}{6}$ . Carilah bilangan itu. (Susutkan menjadi persamaan kuadrat.)

Solusi

Solusi Latihan 10.10.

Misalkan $x > 0$ memenuhi $x + \frac1x = \frac{13}{6}$ . Setelah dikalikan $6x > 0$ : $6x^2 + 6 = 13x$ , yaitu $6x^2 - 13x + 6 = 0$ . Lalu $\Delta = 169 - 144 = 25$ dan $x = \frac{13 \pm 5}{12}$ , yang memberi $x = \frac32$ atau $x = \frac23$ . Keduanya positif dan saling berkebalikan, seperti diharapkan: bilangannya adalah $\frac32$ (atau $\frac23$ ).

Latihan 10.11 ★★★

Misalkan $\mathcal P$ parabola $y = x^2$ dan misalkan $d_m$ garis $y = mx - 1$ , dengan $m$ sebuah parameter real.

Untuk nilai $m$ yang mana $\mathcal P$ dan $d_m$ berpotongan di dua titik? Satu titik? Tanpa titik potong?
Ketika keduanya bersentuhan tepat di satu titik, hitunglah titik sentuhnya. (Pada Bab 12 kamu akan mengenali $d_m$ sebagai garis singgung $\mathcal P$ di titik itu.)

Solusi

Solusi Latihan 10.11.

1. Titik potongnya berpadanan dengan penyelesaian $x^2 = mx - 1$ , yaitu $x^2 - mx + 1 = 0$ , yang diskriminannya $\Delta = m^2 - 4$ . Dua titik ketika $\abs{m} > 2$ ; tepat satu ketika $m = \pm 2$ ; tidak ada ketika $-2 < m < 2$ .

2. Untuk $m = 2$ : $x^2 - 2x + 1 = (x-1)^2 = 0$ , jadi titik sentuh tunggalnya $(1, 1)$ . Untuk $m = -2$ : $(x+1)^2 = 0$ , titik sentuhnya $(-1, 1)$ . Pada kedua kasus itu garisnya bertemu parabola di satu titik tanpa memotongnya — itulah garis singgung di sana, dan memang gradiennya $m = \pm 2$ sama dengan nilai di $x = \pm 1$ dari turunan $2x$ fungsi $x^2$ (Bab 12).

10.6 Soal: Titik rahasia parabola

Soal 10.1

Soal akhir pekan — fokus dan direktriks: mengapa antena parabola, lampu sorot dan jembatan gantung sama-sama menggambar kurva yang itu-itu juga, yang pada dasarnya hanya ada satu

Setiap antena parabola di setiap balkon mengarahkan penerimanya ke satu titik dalam yang tepat; setiap lampu sorot menyembunyikan bola lampunya di tempat istimewa yang sama. Titik itu — fokusnya — adalah rahasia yang disimpan parabola sejak zaman geometri Yunani, dan rumus jarak sudah cukup untuk menariknya keluar. Di sepanjang jalan, soal ini melatih diskriminan, melemparkan peluru melewati tembok, menggantungkan sebuah jembatan, lalu membuktikan satu fakta akhir yang mengejutkan: sampai pada perbesaran, hanya ada satu parabola di dunia.

Bagian I — Kefasihan dengan trinomial.

Selesaikan $x^2 - 5x + 6 = 0$ , lalu $2x^2 + x - 6 = 0$ , lalu $x^2 + x + 1 = 0$ (Teorema 10.7).
Tulislah $2x^2 - 4x - 6$ dalam bentuk terfaktorkan dan dalam bentuk kanonik (Teorema 10.2). Bersama bentuk terjabarkannya, kini kamu memegang tiga busana satu fungsi: sebutkan ciri apa yang ditampilkan masing-masing sekilas (akar, titik puncak, titik potong sumbu $y$ ).
Selesaikan $-x^2 + 4x - 3 \geq 0$ dengan aturan tanda (Teorema 10.11).
Viète sebagai detektif (Proposisi 10.9, melanjutkan Babilonia pada Soal 2.1): carilah dua bilangan yang berjumlah $7$ dan berhasil kali $12$ dengan menuliskan persamaannya. Lalu: satu akar $x^2 - 5x + c = 0$ sama dengan $2$ ; carilah $c$ dan akar lainnya tanpa menyelesaikan apa pun.
Untuk nilai $m$ yang mana $x^2 + mx + 9 = 0$ mempunyai akar kembar? Tidak mempunyai akar? Mempunyai dua akar?

Bagian II — Fokus yang tersingkap. Bekerjalah pada parabola $y = x^2$ , titik $F\left(0, \frac14\right)$ dan garis mendatar $\delta$ dengan persamaan $y = -\frac14$ .

Untuk sebuah titik $P(x, x^2)$ pada parabola itu, jabarkan $PF^2 = x^2 + \left(x^2 - \frac14\right)^2$ lalu tunjukkan bahwa hasilnya adalah kuadrat sempurna $\left(x^2 + \frac14\right)^2$ . Simpulkan $PF$ .
Hitunglah jarak dari $P$ ke garis $\delta$ , lalu simpulkan: setiap titik pada parabola itu berjarak sama ke $F$ dan ke $\delta$ . ( $F$ disebut fokus, $\delta$ disebut direktriks.)
Buktikan kebalikannya: sebuah titik $P(x, y)$ dengan $PF = \operatorname{dist}(P, \delta)$ pasti memenuhi $y = x^2$ . (Kuadratkan kedua jaraknya lalu sederhanakan.) Jadi parabola itu sebuah tempat kedudukan, persis seperti lingkaran pada Soal 5.1: kesamaan jarak ke sebuah titik dan ke sebuah garis, bukan ke satu titik saja.
Untuk parabola yang lebih lebar $y = \frac{x^2}{4f}$ (dengan $f > 0$ ), sesuaikan pertanyaan 6 untuk menunjukkan bahwa fokusnya $(0, f)$ dan direktriksnya $y = -f$ . Penerapannya: sebuah antena parabola selebar $60$ cm dan sedalam $9$ cm — tepinya melalui $(30, 9)$ . Carilah $f$ : seberapa tinggi di atas titik puncaknya penerima itu harus digantung?
Alasan antena parabola bekerja: sinar yang datang sejajar dengan sumbunya semua memantul melalui fokusnya (dan bola lampu di fokusnya melemparkan berkas sejajar — lampu sorot adalah antena parabola yang dijalankan mundur). Jelaskan mengapa kesamaan jarak pada pertanyaan 7 membuat hal ini masuk akal (bayangkan sinarnya sebagai muka gelombang yang berbaris), lalu sebutkan alat yang akan datang pada Bab 12 (lihat Latihan 10.11), yang mengubah kemasukakalan itu menjadi bukti.

Bagian III — Parabola sedang bekerja.

Sebuah bola mengikuti lintasan $y = x - \frac{x^2}{20}$ ( $x$ dan $y$ dalam meter). Carilah tempat jatuhnya, kedudukan mendatar titik tertingginya, dan tinggi maksimumnya (Proposisi 10.4).
Pada lintasan yang sama, sebuah tembok berdiri di $x = 4$ . Hitunglah tinggi bolanya di sana: apakah bola itu melewati tembok setinggi $3$ m? Tembok setinggi $4$ m?
Sebuah lengkung parabola membentang $40$ m dengan tinggi maksimum $10$ m: dalam koordinat yang berpusat, $y = 10 - \frac{x^2}{40}$ . Dapatkah truk setinggi $7$ m lewat pada jarak $10$ m dari pusatnya? Pada $15$ m?
Pendapatan sebuah gedung pertunjukan pada harga karcis $p$ euro adalah $R(p) = p\,(120 - 2p)$ (permintaan turun ketika harga naik). Carilah harga yang memaksimumkan pendapatannya, dan nilai maksimumnya.
Kabel utama Jembatan Golden Gate berbentuk parabola dengan ketelitian yang sangat baik (beban lantai jembatan yang merata menghasilkan parabola — rantai yang tergantung bebas tidak: kurvanya, yang disebut katenari, memerlukan fungsi eksponen tahun berikutnya). Dengan bentang $1\,280$ m dan lendutan $143$ m, kabelnya mengikuti $y = 143\left(\frac{x}{640}\right)^2$ dari pusatnya. Berapa tinggi kabel itu di atas titik terendahnya pada $x = 320$ m?

Bagian IV — Garis, garis singgung, dan kejutan terakhir.

Lengkapkan Latihan 10.11: garis $y = mx - 1$ yang melalui titik luar $(0, -1)$ bertemu $y = x^2$ menurut tanda sebuah diskriminan. Carilah kedua garis singgung dari $(0, -1)$ beserta titik sentuhnya.
Kini garis $y = mx + 1$ yang melalui titik dalam $(0, 1)$ : hitunglah diskriminan persamaan perpotongannya lalu tunjukkan bahwa setiap garis semacam itu memotong parabolanya dua kali. Moralnya: dari dalam, tidak ada garis singgung — persis seperti pada lingkaran.
Tali busur fokal: potongkan $y = x^2$ dengan garis mendatar yang melalui fokusnya, $y = \frac14$ . Berapa panjang tali busurnya? Periksalah aturan umumnya (layak diingat untuk antena parabola): untuk $y = \frac{x^2}{4f}$ , tali busur yang melalui fokus dan sejajar direktriksnya berpanjang $4f$ .
Kejutan terakhir: terapkan perbesaran $(x, y) \mapsto (kx, ky)$ pada parabola $y = x^2$ lalu tunjukkan bahwa petanya tepat $y = \frac{x^2}{k}$ . Simpulkan: setiap parabola $y = \frac{x^2}{4f}$ adalah perbesaran parabola satuan — tidak seperti lingkaran dan elips yang perbandingannya berbeda-beda, semua parabola sebangun.
Penutup: potret parabola dalam lima baris — sebuah persamaan dengan tiga busana (pertanyaan 2), sebuah tempat kedudukan (pertanyaan 7–8), pemantul milik insinyur (pertanyaan 9, 10), lintasan peluru dan kabel jembatan (pertanyaan 11–15), serta satu kurva tunggal sampai pada perbesaran (pertanyaan 19). Masing-masing satu kalimat.

Solusi

Solusi Soal 10.1.

1. $x^2 - 5x + 6$ : $\Delta = 1$ , akarnya $2$ dan $3$ . $2x^2 + x - 6$ : $\Delta = 1 + 48 = 49$ , akarnya $\frac{-1 \pm 7}{4}$ : yaitu $\frac32$ dan $-2$ . $x^2 + x + 1$ : $\Delta = -3 < 0$ : tanpa penyelesaian real.

2. $\Delta = 16 + 48 = 64$ : akarnya $3$ dan $-1$ , sehingga $2x^2 - 4x - 6 = 2(x - 3)(x + 1)$ ; bentuk kanoniknya $2(x - 1)^2 - 8$ . Bentuk terfaktorkan menampilkan akarnya, bentuk kanonik menampilkan titik puncak $(1, -8)$ , dan bentuk terjabarkan menampilkan titik potong sumbu $y$ di $-6$ .

3. Akarnya $1$ dan $3$ , koefisien utamanya negatif: trinomialnya $\geq 0$ di antara kedua akarnya, jadi $x \in \intcc{1}{3}$ .

4. Kedua bilangan itu adalah akar $x^2 - 7x + 12 = 0$ : yaitu $3$ dan $4$ . Jika $2$ sebuah akar $x^2 - 5x + c$ , akar yang lain, $r$ , memenuhi $2 + r = 5$ (jumlahnya), jadi $r = 3$ , dan $c = 2 \times 3 = 6$ (hasil kalinya): Viète membacanya langsung.

5. $\Delta = m^2 - 36$ : akar kembar untuk $m = \pm 6$ (akarnya $\mp 3$ ); tanpa akar untuk $-6 < m < 6$ ; dua akar untuk $\abs m > 6$ .

6. $PF^2 = x^2 + \left(x^2 - \frac14\right)^2 = x^2 + x^4 - \frac{x^2}{2} + \frac{1}{16} = x^4 + \frac{x^2}{2} + \frac{1}{16} = \left(x^2 + \frac14\right)^2$ . Jadi $PF = x^2 + \frac14$ (kedua faktornya positif).

7. Jarak dari $P(x, x^2)$ ke garis mendatar $y = -\frac14$ adalah $x^2 + \frac14$ — tepat sama dengan $PF$ . Jadi setiap titik pada parabola itu berjarak sama dari fokus dan direktriksnya.

8. $PF^2 = x^2 + \left(y - \frac14\right)^2$ dan $\operatorname{dist}^2 = \left(y + \frac14\right)^2$ . Kesamaannya memberi $x^2 + y^2 - \frac y2 + \frac{1}{16} = y^2 + \frac y2 + \frac1{16}$ , jadi $x^2 = y$ : tempat kedudukannya tepat parabola itu. Satu titik dan satu garis membangkitkan kurva ini, sebagaimana satu titik dan satu jarak membangkitkan lingkaran.

9. Untuk $y = \frac{x^2}{4f}$ , penjabaran yang sama dengan $F(0, f)$ memberi $PF^2 = x^2 + \left(\frac{x^2}{4f} - f\right)^2 = \left(\frac{x^2}{4f} + f\right)^2$ : jarak ke $F$ sama dengan jarak ke $y = -f$ . Untuk antenanya: $9 = \frac{30^2}{4f}$ memberi $4f = 100$ , $f = 25$ cm: penerimanya tergantung seperempat meter di atas titik puncaknya — di luar cekungan setinggi $9$ cm itu, seperti terlihat pada antena yang sesungguhnya.

10. Muka gelombang yang datang sejajar dengan sumbunya menempuh jarak yang sama untuk mencapai ketinggian direktriksnya; kesamaan jarak mengubah “jarak yang sama ke direktriks” menjadi “jarak yang sama ke $F$ ”: semua isyarat pantulannya tiba di $F$ seirama, saling menguatkan — di situlah tempat mendengarkan. Bukti yang jujur memerlukan gradien garis singgung di setiap titik — yaitu turunan pada Bab 12, yang sudah terintip pada Latihan 10.11.

11. $y = x\left(1 - \frac{x}{20}\right)$ : jatuh di $x = 20$ m. Titik puncaknya di tengah jalan: $x = 10$ , tingginya $y(10) = 10 - 5 = 5$ m.

12. $y(4) = 4 - \frac{16}{20} = 3.2$ m: melewati tembok $3$ m dengan sisa ruang, tetapi menghantam tembok $4$ m.

13. $y(10) = 10 - \frac{100}{40} = 7.5$ m $> 7$ : truknya lewat pada $10$ m dari pusat. $y(15) = 10 - \frac{225}{40} = 4.375$ m: tidak lewat pada $15$ m.

14. $R(p) = -2p^2 + 120p$ : titik puncaknya di $p = \frac{120}{4} = 30$ euro, dengan pendapatan $R(30) = 30 \times 60 = 1\,800$ euro.

15. $y(320) = 143 \times \left(\frac{320}{640}\right)^2 = \frac{143}{4} \approx 36$ m di atas titik terendahnya.

16. $x^2 = mx - 1$ memberi $x^2 - mx + 1 = 0$ , $\Delta = m^2 - 4$ : dua titik untuk $\abs m > 2$ , tidak ada untuk $\abs m < 2$ , dan bersinggungan untuk $m = \pm 2$ dengan titik sentuh $x = \frac m2 = \pm 1$ : garis singgungnya $y = 2x - 1$ di $(1, 1)$ dan $y = -2x - 1$ di $(-1, 1)$ .

17. $x^2 = mx + 1$ memberi $\Delta = m^2 + 4 > 0$ untuk setiap $m$ : selalu dua titik potong. Dari sebuah titik dalam, setiap garis memotong kurvanya dua kali — garis singgung hanya dapat ditarik dari luar, persis seperti pada lingkaran.

18. $y = \frac14$ bertemu $y = x^2$ di $x = \pm\frac12$ : panjang tali busurnya $1$ . Untuk $y = \frac{x^2}{4f}$ : $y = f$ memberi $x^2 = 4f^2$ , $x = \pm 2f$ : panjangnya $4f$ — lebar fokalnya empat kali jarak fokusnya (perancang antena menyebutnya latus rectum).

19. Sebuah titik pada $y = x^2$ adalah $(a, a^2)$ ; petanya $(X, Y) = (ka, ka^2)$ , dan $\frac{X^2}{k} = \frac{k^2a^2}{k} = ka^2 = Y$ : jadi kurva petanya tepat $y = \frac{x^2}{k}$ . Memilih $k = 4f$ menjangkau setiap parabola: semuanya perbesaran satu kurva induk. (Lingkaran pun semuanya sebangun — tetapi elips tidak: kepipihannya berarti, perbesarannya tidak.)

20. Sebuah persamaan dengan tiga busana yang terbaca; tempat kedudukan titik yang berjarak sama dari sebuah titik dan sebuah garis; pemantul yang mengumpulkan sinar sejajar di fokusnya dan kabel yang memikul lantai jembatan yang merata; lintasan setiap bola yang dilempar; dan, sampai pada perbesaran, satu kurva tunggal — satu parabola, di mana-mana.

Istilah yang didefinisikan dalam bab ini

Lihat semua 395 istilah di glosarium