Mathematics · Buku 2 · Grades 10–12

Matematika Sekolah Menengah Atas

Matematika Sekolah Menengah Atas · Grades 10–12

16Hasil Kali Skalar pada Bidang

Hasil kali skalar melekatkan sebuah bilangan pada sepasang vektor, dan bilangan itu melihat geometri: nilainya lenyap tepat untuk arah yang saling tegak lurus, dan bilangan itu mengukur sudut serta panjang. Inilah mesin di balik aturan kosinus, persamaan lingkaran, dan perhitungan ketegaklurusan. Perkakas yang sama, di ruang, menjadi pokok Bab 31.

16.1 Definisi dan perhitungan pertama

Definisi 16.1 (Hasil kali skalar)

Hasil kali skalar dua vektor u⃗\vec u dan v⃗\vec v adalah bilangan

u⃗⋅v⃗=12(∥u⃗+v⃗∥2−∥u⃗∥2−∥v⃗∥2),\vec u \cdot \vec v = \tfrac12\left(\norm{\vec u + \vec v}^2 - \norm{\vec u}^2 - \norm{\vec v}^2\right),

dengan ∥u⃗∥\norm{\vec u} menyatakan panjang (norma) u⃗\vec u.

Teorema 16.2 (Empat wajah hasil kali skalar)

Misalkan u⃗ (x,y)\vec u\,(x, y) dan v⃗ (x′,y′)\vec v\,(x', y') vektor taknol, serta θ\theta sudut di antara keduanya. Maka

  1. (koordinat) u⃗⋅v⃗=xx′+yy′\vec u \cdot \vec v = xx' + yy';
  2. (kosinus) u⃗⋅v⃗=∥u⃗∥ ∥v⃗∥cos⁡θ\vec u \cdot \vec v = \norm{\vec u}\,\norm{\vec v}\cos\theta;
  3. (proyeksi) u⃗⋅v⃗=u⃗⋅v⃗′\vec u \cdot \vec v = \vec u \cdot \vec v', dengan v⃗′\vec v' proyeksi ortogonal v⃗\vec v pada arah u⃗\vec u; jika u⃗=OA→\vec u = \vect{OA} dan v⃗=OB→\vec v = \vect{OB}, maka u⃗⋅v⃗=OA‾×OH‾\vec u \cdot \vec v = \overline{OA} \times \overline{OH}, yaitu hasil kali panjang bertanda, dengan HH kaki garis tegak lurus dari BB ke garis (OA)(OA);
  4. (norma) rumus pendefinisi pada Definisi 16.1.

Bukti butir 1 dan 2. 1. Dalam koordinat, ∥u⃗∥2=x2+y2\norm{\vec u}^2 = x^2 + y^2 (Pythagoras) dan u⃗+v⃗\vec u + \vec v berkoordinat (x+x′,y+y′)(x + x', y + y'), sehingga

2 u⃗⋅v⃗=(x+x′)2+(y+y′)2−(x2+y2)−(x′2+y′2)=2xx′+2yy′,\begin{align*} 2\,\vec u \cdot \vec v &= (x + x')^2 + (y + y')^2 - (x^2 + y^2) - (x'^2 + y'^2)\\ &= 2xx' + 2yy', \end{align*}

setelah kuadratnya dijabarkan lalu saling dihapuskan.

2. Pilihlah sistem koordinatnya sehingga u⃗\vec u menunjuk sepanjang sumbu xx positif: u⃗ (∥u⃗∥,0)\vec u\,(\norm{\vec u}, 0) dan v⃗ (∥v⃗∥cos⁡θ, ∥v⃗∥sin⁡θ)\vec v\,(\norm{\vec v}\cos\theta,\ \norm{\vec v}\sin\theta) (Bab 14). Rumus 1 lalu memberi u⃗⋅v⃗=∥u⃗∥ ∥v⃗∥cos⁡θ+0\vec u \cdot \vec v = \norm{\vec u}\,\norm{\vec v}\cos\theta + 0. Rumus 3 terbaca dari perhitungan yang sama: proyeksi v⃗\vec v pada sumbu xx berpanjang bertanda ∥v⃗∥cos⁡θ=OH‾\norm{\vec v}\cos\theta = \overline{OH}. ∎

Tampilan proyeksinya: u v = OA × OH, dengan H kaki garis tegak lurus dari ujung v. Ruas jingga OH berpanjang bertanda v.
Tampilan proyeksinya: u⃗⋅v⃗=OA‾×OH‾\vec u \cdot \vec v = \overline{OA} \times \overline{OH}, dengan HH kaki garis tegak lurus dari ujung v⃗\vec v. Ruas jingga OHOH berpanjang bertanda ∥v⃗∥cos⁡θ\norm{\vec v}\cos\theta.

Contoh 16.3

u⃗ (3,1)\vec u\,(3, 1) dan v⃗ (2,−4)\vec v\,(2, -4): u⃗⋅v⃗=6−4=2\vec u \cdot \vec v = 6 - 4 = 2. Normanya ∥u⃗∥=10\norm{\vec u} = \sqrt{10} dan ∥v⃗∥=20\norm{\vec v} = \sqrt{20}, sehingga cos⁡θ=21020=2102=210\cos\theta = \frac{2}{\sqrt{10}\sqrt{20}} = \frac{2}{10\sqrt2} = \frac{\sqrt2}{10}: sudutnya sedikit kurang dari 82∘82^\circ.

Proposisi 16.4 (Aturan aljabar)

Untuk semua vektor dan semua λ∈R\lambda \in \R:

u⃗⋅v⃗=v⃗⋅u⃗,u⃗⋅(v⃗+w⃗)=u⃗⋅v⃗+u⃗⋅w⃗,(λu⃗)⋅v⃗=λ (u⃗⋅v⃗),\vec u \cdot \vec v = \vec v \cdot \vec u, \qquad \vec u \cdot (\vec v + \vec w) = \vec u \cdot \vec v + \vec u \cdot \vec w, \qquad (\lambda \vec u)\cdot \vec v = \lambda\,(\vec u \cdot \vec v),
u⃗⋅u⃗=∥u⃗∥2,∥u⃗+v⃗∥2=∥u⃗∥2+2 u⃗⋅v⃗+∥v⃗∥2.\vec u \cdot \vec u = \norm{\vec u}^2, \qquad \norm{\vec u + \vec v}^2 = \norm{\vec u}^2 + 2\,\vec u\cdot\vec v + \norm{\vec v}^2 .

Bukti. Semuanya menyusul dari rumus koordinatnya: misalnya u⃗⋅(v⃗+w⃗)=x(x′+x′′)+y(y′+y′′)=(xx′+yy′)+(xx′′+yy′′)\vec u \cdot (\vec v + \vec w) = x(x' + x'') + y(y' + y'') = (xx' + yy') + (xx'' + yy''). Identitas terakhirnya menjabarkan ∥u⃗+v⃗∥2=(u⃗+v⃗)⋅(u⃗+v⃗)\norm{\vec u + \vec v}^2 = (\vec u + \vec v)\cdot(\vec u + \vec v) dengan ketiga aturan pertamanya — hasil kali skalar berperilaku persis seperti hasil kali biasa, sehingga identitas aljabar yang lazim berlaku pula untuk vektor. ∎

16.2 Ketegaklurusan

Definisi 16.5 (Vektor ortogonal)

Dua vektor disebut ortogonal, ditulis u⃗⊥v⃗\vec u \perp \vec v, bila u⃗⋅v⃗=0\vec u \cdot \vec v = 0.

Catatan 16.6

Untuk vektor taknol, rumus 2 pada Teorema 16.2 memperlihatkan u⃗⋅v⃗=0  ⟺  cos⁡θ=0  ⟺  \vec u \cdot \vec v = 0 \iff \cos\theta = 0 \iff arahnya saling tegak lurus. Vektor nol ortogonal terhadap apa saja.

Contoh 16.7

u⃗ (3,2)\vec u\,(3, 2) dan v⃗ (−4,6)\vec v\,(-4, 6): u⃗⋅v⃗=−12+12=0\vec u \cdot \vec v = -12 + 12 = 0: jadi ortogonal. Secara umum, u⃗ (a,b)\vec u\,(a, b) selalu ortogonal terhadap v⃗ (−b,a)\vec v\,(-b, a) — yaitu rotasi seperempat putaran.

16.3 Aturan kosinus

Teorema 16.8 (Aturan kosinus)

Pada segitiga ABCABC dengan sisi a=BCa = BC, b=CAb = CA, c=ABc = AB dan sudut A^\widehat A di titik sudut AA:

a2=b2+c2−2bc cos⁡A^.a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\,\cos\widehat A .

Bukti. Tulislah BC→=BA→+AC→=AC→−AB→\vect{BC} = \vect{BA} + \vect{AC} = \vect{AC} - \vect{AB} lalu jabarkan dengan Proposisi 16.4:

a2=∥BC→∥2=∥AC→∥2−2 AC→⋅AB→+∥AB→∥2=b2+c2−2 AB→⋅AC→.a^2 = \norm{\vect{BC}}^2 = \norm{\vect{AC}}^2 - 2\,\vect{AC}\cdot\vect{AB} + \norm{\vect{AB}}^2 = b^2 + c^2 - 2\,\vect{AB}\cdot\vect{AC}.

Menurut rumus kosinusnya, AB→⋅AC→=c b cos⁡A^\vect{AB}\cdot\vect{AC} = c\,b\,\cos\widehat A. ∎

Catatan 16.9

Ketika A^\widehat A siku-siku, cos⁡A^=0\cos\widehat A = 0 dan aturan kosinusnya menyusut menjadi teorema Pythagoras a2=b2+c2a^2 = b^2 + c^2: jadi aturan itu adalah Pythagoras dengan suku koreksi untuk sudut yang tidak siku-siku.

Aturan kosinus: mengetahui dua sisi b, c dan sudut di antaranya sudah menentukan sisi ketiganya, a.
Aturan kosinus: mengetahui dua sisi bb, cc dan sudut di antaranya sudah menentukan sisi ketiganya, aa.

Contoh 16.10

Dua sisi sebuah segitiga berukuran b=5b = 5 dan c=8c = 8, dan mengapit sudut A^=π3\widehat A = \frac\pi3. Maka

a2=25+64−2×5×8×12=89−40=49,a^2 = 25 + 64 - 2 \times 5 \times 8 \times \frac12 = 89 - 40 = 49,

sehingga a=7a = 7.

16.4 Penerapan: lingkaran dan garis tegak lurus

Proposisi 16.11 (Lingkaran dengan diameter tertentu)

Sebuah titik MM terletak pada lingkaran berdiameter [AB][AB] jika dan hanya jika

MA→⋅MB→=0.\vect{MA} \cdot \vect{MB} = 0 .

Bukti. Jika M≠A,BM \neq A, B, syarat itu mengatakan bahwa sudut di MM pada segitiga AMBAMB siku-siku, dan titik yang memandang sebuah ruas garis dengan sudut siku-siku tepat adalah titik pada lingkaran yang berdiameter ruas itu. Berikut bukti langsungnya: misalkan OO titik tengah [AB][AB] dan r=AB2r = \frac{AB}{2}. Maka MA→=MO→+OA→\vect{MA} = \vect{MO} + \vect{OA} dan MB→=MO→+OB→=MO→−OA→\vect{MB} = \vect{MO} + \vect{OB} = \vect{MO} - \vect{OA}, sehingga

MA→⋅MB→=∥MO→∥2−∥OA→∥2=MO2−r2,\vect{MA}\cdot\vect{MB} = \norm{\vect{MO}}^2 - \norm{\vect{OA}}^2 = MO^2 - r^2,

yang lenyap tepat ketika MO=rMO = r, yaitu ketika MM berada pada lingkaran berpusat OO dan berjari-jari rr. ∎

Proposisi 16.12 (Vektor normal sebuah garis)

Vektor n⃗ (a,b)\vec n\,(a, b) ortogonal terhadap setiap vektor arah garis d:ax+by+c=0d : ax + by + c = 0; kita katakan n⃗\vec n adalah vektor normal dd. Dua garis saling tegak lurus tepat ketika vektor normalnya (atau vektor arahnya) ortogonal.

Bukti. Sebuah vektor arah dd adalah u⃗ (−b,a)\vec u\,(-b, a) (Teorema 15.9), dan n⃗⋅u⃗=a(−b)+b(a)=0\vec n \cdot \vec u = a(-b) + b(a) = 0. ∎

Metode 16.13 (Memakai vektor normal)

  • Garis melalui AA dengan normal n⃗ (a,b)\vec n\,(a,b): tulislah AM→⋅n⃗=0\vect{AM} \cdot \vec n = 0, yang menjabar menjadi ax+by+c=0ax + by + c = 0 dengan cc ditentukan oleh AA.
  • Ketegaklurusan d:ax+by+c=0d: ax+by+c = 0 dan d′:a′x+b′y+c′=0d': a'x+b'y+c' = 0: periksalah aa′+bb′=0aa' + bb' = 0.

Contoh 16.14

Garis melalui P(2,−1)P(2, -1) yang tegak lurus d:3x−y+4=0d : 3x - y + 4 = 0: sebuah vektor arah dd adalah (1,3)(1, 3), yang berperan sebagai vektor normal garis tegak lurusnya. Persamaannya: x+3y+c=0x + 3y + c = 0 dengan 2−3+c=02 - 3 + c = 0, jadi c=1c = 1: garisnya adalah x+3y+1=0x + 3y + 1 = 0.

Contoh 16.15 (Persamaan sebuah lingkaran)

Lingkaran berpusat Ω(1,2)\Omega(1, 2) dan berjari-jari 33 adalah himpunan titik M(x,y)M(x,y) dengan ΩM2=9\Omega M^2 = 9:

(x−1)2+(y−2)2=9.(x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 9 .

Sebaliknya, x2+y2−2x−4y−4=0x^2 + y^2 - 2x - 4y - 4 = 0 ditulis ulang, dengan melengkapkan kuadratnya (Bab 10), menjadi (x−1)2+(y−2)2=9(x-1)^2 + (y-2)^2 = 9: yaitu lingkaran yang sama.

16.5 Latihan

Latihan 16.1 ★

Hitunglah u⃗⋅v⃗\vec u \cdot \vec v untuk

u⃗ (2,5), v⃗ (3,−1);u⃗ (1,−4), v⃗ (8,2);∥u⃗∥=3, ∥v⃗∥=4, θ=π3.\vec u\,(2, 5),\ \vec v\,(3, -1); \qquad \vec u\,(1, -4),\ \vec v\,(8, 2); \qquad \norm{\vec u} = 3,\ \norm{\vec v} = 4,\ \theta = \frac{\pi}{3} .
Solusi

Solusi Latihan 16.1.

(2,5)⋅(3,−1)=6−5=1(2,5)\cdot(3,-1) = 6 - 5 = 1.

(1,−4)⋅(8,2)=8−8=0(1,-4)\cdot(8,2) = 8 - 8 = 0 (vektornya ortogonal).

u⃗⋅v⃗=3×4×cos⁡π3=12×12=6\vec u\cdot\vec v = 3 \times 4 \times \cos\frac\pi3 = 12 \times \frac12 = 6.

Latihan 16.2 ★

ABCABC adalah segitiga sama sisi bersisi 66. Hitunglah AB→⋅AC→\vect{AB} \cdot \vect{AC} dan AB→⋅BC→\vect{AB} \cdot \vect{BC}.

Solusi

Solusi Latihan 16.2.

AB→⋅AC→=6×6×cos⁡60∘=18\vect{AB}\cdot\vect{AC} = 6 \times 6 \times \cos 60^\circ = 18.

Vektor AB→\vect{AB} dan BC→\vect{BC} membentuk sudut 180∘−60∘=120∘180^\circ - 60^\circ = 120^\circ (letakkan pangkal keduanya di BB), sehingga AB→⋅BC→=36cos⁡120∘=−18\vect{AB}\cdot\vect{BC} = 36 \cos 120^\circ = -18.

Latihan 16.3 ★

Untuk nilai tt yang mana u⃗ (3,t)\vec u\,(3, t) dan v⃗ (t−8,1)\vec v\,(t - 8, 1) ortogonal? Lalu untuk nilai tt yang mana u⃗ (t,2)\vec u\,(t, 2) ortogonal terhadap dirinya dikurangi v⃗ (4,2)\vec v\,(4, 2), yaitu u⃗⊥(u⃗−v⃗)\vec u \perp (\vec u - \vec v)?

Solusi

Solusi Latihan 16.3.

u⃗⋅v⃗=3(t−8)+t=4t−24=0\vec u \cdot \vec v = 3(t - 8) + t = 4t - 24 = 0 memberi t=6t = 6.

u⃗−v⃗=(t−4, 0)\vec u - \vec v = (t - 4,\ 0), sehingga u⃗⋅(u⃗−v⃗)=t(t−4)+0=t2−4t\vec u \cdot (\vec u - \vec v) = t(t-4) + 0 = t^2 - 4t, yang lenyap untuk t=0t = 0 atau t=4t = 4.

Latihan 16.4 ★

Hitunglah sudut θ\theta antara u⃗ (1,2)\vec u\,(1, 2) dan v⃗ (3,1)\vec v\,(3, 1) (berikan cos⁡θ\cos\theta secara eksak, lalu θ\theta sampai derajat terdekat).

Solusi

Solusi Latihan 16.4.

u⃗⋅v⃗=3+2=5\vec u \cdot \vec v = 3 + 2 = 5, ∥u⃗∥=5\norm{\vec u} = \sqrt5, ∥v⃗∥=10\norm{\vec v} = \sqrt{10}, sehingga

cos⁡θ=55 10=552=22,\cos\theta = \frac{5}{\sqrt5\,\sqrt{10}} = \frac{5}{5\sqrt2} = \frac{\sqrt2}{2},

jadi θ=45∘\theta = 45^\circ tepat.

Latihan 16.5 ★★

Sebuah segitiga mempunyai sisi b=4b = 4, c=6c = 6 dan sudut A^=2π3\widehat A = \frac{2\pi}{3} di antaranya. Hitunglah sisi ketiganya, aa. Lalu, pada segitiga bersisi a=7a = 7, b=5b = 5, c=4c = 4, hitunglah cos⁡A^\cos\widehat A dan putuskan apakah A^\widehat A lancip atau tumpul.

Solusi

Solusi Latihan 16.5.

a2=16+36−2×4×6×cos⁡2π3=52−48×(−12)=76a^2 = 16 + 36 - 2 \times 4 \times 6 \times \cos\frac{2\pi}{3} = 52 - 48 \times \left(-\frac12\right) = 76, jadi a=76=219≈8.7a = \sqrt{76} = 2\sqrt{19} \approx 8.7.

Untuk segitiga kedua, aturan kosinus yang diselesaikan untuk sudutnya memberi

cos⁡A^=b2+c2−a22bc=25+16−492×5×4=−840=−15,\cos\widehat A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} = \frac{25 + 16 - 49}{2 \times 5 \times 4} = -\frac{8}{40} = -\frac15,

yang negatif: jadi A^\widehat A tumpul.

Latihan 16.6 ★★

Misalkan A(1,1)A(1, 1), B(5,−1)B(5, -1) dan C(3,5)C(3, 5). Hitunglah AB→⋅AC→\vect{AB} \cdot \vect{AC}; apakah sudut A^\widehat A siku-siku? Hitunglah ketiga panjang sisinya lalu periksa jawabanmu dengan aturan kosinus.

Solusi

Solusi Latihan 16.6.

AB→ (4,−2)\vect{AB}\,(4, -2) dan AC→ (2,4)\vect{AC}\,(2, 4): AB→⋅AC→=8−8=0\vect{AB}\cdot\vect{AC} = 8 - 8 = 0, sehingga sudut di AA siku-siku. Sisinya: AB=16+4=20AB = \sqrt{16 + 4} = \sqrt{20}, AC=4+16=20AC = \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20}, dan BC→ (−2,6)\vect{BC}\,(-2, 6) memberi BC=40BC = \sqrt{40}. Ketaatasasannya: BC2=40=20+20=AB2+AC2BC^2 = 40 = 20 + 20 = AB^2 + AC^2, yaitu aturan kosinus dengan cos⁡A^=0\cos\widehat A = 0 (Pythagoras).

Latihan 16.7 ★★

Berikan persamaan lingkaran berpusat Ω(−2,3)\Omega(-2, 3) dan berjari-jari 55. Lalu tentukan pusat dan jari-jari lingkaran

x2+y2−6x+2y−6=0.x^2 + y^2 - 6x + 2y - 6 = 0 .
Solusi

Solusi Latihan 16.7.

Bentuk pusat–jari-jarinya: (x+2)2+(y−3)2=25(x + 2)^2 + (y - 3)^2 = 25.

Untuk lingkaran kedua, lengkapkan kuadratnya:

x2−6x+y2+2y=6  ⟺  (x−3)2−9+(y+1)2−1=6  ⟺  (x−3)2+(y+1)2=16:x^2 - 6x + y^2 + 2y = 6 \iff (x - 3)^2 - 9 + (y + 1)^2 - 1 = 6 \iff (x-3)^2 + (y+1)^2 = 16 :

yaitu berpusat (3,−1)(3, -1) dan berjari-jari 44.

Latihan 16.8 ★★

Misalkan A(−3,0)A(-3, 0) dan B(0,2)B(0, 2). Dengan Proposisi 16.11, carilah persamaan lingkaran berdiameter [AB][AB], lalu periksalah bahwa titik asal O(0,0)O(0,0) terletak padanya.

Solusi

Solusi Latihan 16.8.

M(x,y)M(x,y) berada pada lingkarannya ketika MA→⋅MB→=0\vect{MA}\cdot\vect{MB} = 0 dengan MA→ (−3−x, −y)\vect{MA}\,(-3 - x,\ -y) dan MB→ (−x, 2−y)\vect{MB}\,(-x,\ 2 - y):

(−3−x)(−x)+(−y)(2−y)=x2+3x+y2−2y=0.(-3 - x)(-x) + (-y)(2 - y) = x^2 + 3x + y^2 - 2y = 0 .

Untuk titik asalnya: 0+0+0−0=00 + 0 + 0 - 0 = 0, sehingga OO terletak pada lingkaran itu — secara geometris, OA→ (−3,0)\vect{OA}\,(-3,0) dan OB→ (0,2)\vect{OB}\,(0,2) ortogonal, sehingga OO memandang [AB][AB] dengan sudut siku-siku. (Setelah kuadratnya dilengkapkan: pusatnya (−32,1)\left(-\frac32, 1\right), jari-jarinya 132\frac{\sqrt{13}}{2}.)

Latihan 16.9 ★★

Carilah persamaan garis melalui P(1,3)P(1, 3) yang tegak lurus terhadap d:2x+y−7=0d : 2x + y - 7 = 0, dan koordinat kaki HH garis tegak lurusnya (yaitu perpotongan kedua garis itu). Simpulkan jarak dari PP ke dd.

Solusi

Solusi Latihan 16.9.

Garis tegak lurus melalui PP mempunyai vektor arah dd, yaitu (−1,2)(-1, 2), sebagai vektor normalnya: persamaannya −x+2y+c=0-x + 2y + c = 0; melalui P(1,3)P(1,3): −1+6+c=0-1 + 6 + c = 0, jadi c=−5c = -5, sehingga x−2y+5=0x - 2y + 5 = 0.

Perpotongannya dengan dd: dari 2x+y=72x + y = 7 diperoleh y=7−2xy = 7 - 2x; setelah disubstitusikan, x−2(7−2x)+5=5x−9=0x - 2(7 - 2x) + 5 = 5x - 9 = 0, jadi x=95x = \frac95, y=175y = \frac{17}5: yaitu H(95,175)H\left(\frac95, \frac{17}5\right). Lalu PH→(45,25)\vect{PH}\left(\frac45, \frac25\right) dan

PH=1625+425=205=255≈0.89.PH = \sqrt{\frac{16}{25} + \frac{4}{25}} = \frac{\sqrt{20}}{5} = \frac{2\sqrt5}{5} \approx 0.89 .

Latihan 16.10 ★★

Dengan memakai ∥u⃗+v⃗∥2=∥u⃗∥2+2u⃗⋅v⃗+∥v⃗∥2\norm{\vec u + \vec v}^2 = \norm{\vec u}^2 + 2\vec u\cdot\vec v + \norm{\vec v}^2 dan padanannya untuk u⃗−v⃗\vec u - \vec v, buktikan identitas jajargenjang:

∥u⃗+v⃗∥2+∥u⃗−v⃗∥2=2∥u⃗∥2+2∥v⃗∥2,\norm{\vec u + \vec v}^2 + \norm{\vec u - \vec v}^2 = 2\norm{\vec u}^2 + 2\norm{\vec v}^2 ,

lalu tafsirkan pada sebuah jajargenjang (diagonal terhadap sisinya).

Solusi

Solusi Latihan 16.10.

Menjumlahkan

∥u⃗+v⃗∥2=∥u⃗∥2+2u⃗⋅v⃗+∥v⃗∥2dan∥u⃗−v⃗∥2=∥u⃗∥2−2u⃗⋅v⃗+∥v⃗∥2,\norm{\vec u + \vec v}^2 = \norm{\vec u}^2 + 2\vec u\cdot\vec v + \norm{\vec v}^2 \quad\text{dan}\quad \norm{\vec u - \vec v}^2 = \norm{\vec u}^2 - 2\vec u\cdot\vec v + \norm{\vec v}^2,

suku silangnya saling menghapus dan ∥u⃗+v⃗∥2+∥u⃗−v⃗∥2=2∥u⃗∥2+2∥v⃗∥2\norm{\vec u + \vec v}^2 + \norm{\vec u - \vec v}^2 = 2\norm{\vec u}^2 + 2\norm{\vec v}^2. Pada jajargenjang bersisi u⃗\vec u dan v⃗\vec v, diagonalnya adalah u⃗+v⃗\vec u + \vec v dan u⃗−v⃗\vec u - \vec v: jadi jumlah kuadrat kedua diagonalnya sama dengan jumlah kuadrat keempat sisinya.

Latihan 16.11 ★★★

Misalkan AA dan BB dua titik dengan AB=4AB = 4, dan II titik tengah [AB][AB].

  1. Tunjukkan bahwa untuk setiap titik MM berlaku MA→⋅MB→=MI2−4\vect{MA}\cdot\vect{MB} = MI^2 - 4. (Sisipkan II: MA→=MI→+IA→\vect{MA} = \vect{MI} + \vect{IA}.)
  2. Simpulkan himpunan titik MM yang memenuhi MA→⋅MB→=12\vect{MA}\cdot\vect{MB} = 12.
Solusi

Solusi Latihan 16.11.

1. Karena II titik tengahnya, IB→=−IA→\vect{IB} = -\vect{IA} dan IA=2IA = 2. Maka

MA→⋅MB→=(MI→+IA→)⋅(MI→−IA→)=∥MI→∥2−∥IA→∥2=MI2−4.\vect{MA}\cdot\vect{MB} = (\vect{MI} + \vect{IA})\cdot(\vect{MI} - \vect{IA}) = \norm{\vect{MI}}^2 - \norm{\vect{IA}}^2 = MI^2 - 4 .

2. Syarat MA→⋅MB→=12\vect{MA}\cdot\vect{MB} = 12 menjadi MI2=16MI^2 = 16, yaitu MI=4MI = 4: jadi himpunannya adalah lingkaran berpusat II dan berjari-jari 44.

16.6 Soal: Dua hadiah hasil kali skalar

Soal 16.1

Soal akhir pekan — rumus penjumlahan sudut jatuh dari satu hasil kali titik, jarak ke sebuah garis dari yang lain, dan ketiga garis tinggi bertemu sebagai bonus

Hasil kali skalar tampak seperti pembukuan — kalikan, jumlahkan — namun ia menyerahkan, hampir tanpa ongkos, dua harta yang bertahan melawan berabad-abad perburuan sudut: rumus penjumlahan sudut dalam trigonometri (hitunglah cos⁡15∘\cos 15^\circ secara eksak!) dan jarak dari sebuah titik ke sebuah garis dalam satu pecahan yang rapi. Sebagai hadiah perpisahan, ia membuktikan bahwa ketiga garis tinggi setiap segitiga melalui satu titik. Keempat wajah pada Teorema 16.2 akan bertugas semuanya.

Bagian I — Kefasihan.

  1. Untuk u⃗(3,4)\vec u(3, 4) dan v⃗(−1,2)\vec v(-1, 2): hitunglah u⃗⋅v⃗\vec u \cdot \vec v, kedua normanya, dan sudut di antara kedua vektornya (sampai sepersepuluh derajat).
  2. Carilah kk agar (2,k)(2, k) dan (3,−4)(3, -4) ortogonal (Definisi 16.5).
  3. Wajah fisikanya: sebuah kereta luncur ditarik 1010 m oleh gaya 5050 N pada 60∘60^\circ terhadap tanah. Hitunglah usahanya, W=F⃗⋅d⃗W = \vec F \cdot \vec d.
  4. Aturan kosinus (Teorema 16.8): dua sisi sepanjang 55 dan 77 mengapit sudut 60∘60^\circ; carilah sisi ketiganya secara eksak.
  5. Kebalikannya: sebuah segitiga bersisi 44, 66, 88. Hitunglah kosinus sudut yang berhadapan dengan sisi 88, golongkan sudutnya, lalu berikan besarnya sampai sepersepuluh derajat.

Bagian II — Hadiah pertama: rumus penjumlahan sudut. Misalkan u⃗=(cos⁡a,sin⁡a)\vec u = (\cos a, \sin a) dan v⃗=(cos⁡b,sin⁡b)\vec v = (\cos b, \sin b): dua vektor satuan dengan sudut aa dan bb.

  1. Hitunglah u⃗⋅v⃗\vec u \cdot \vec v dua kali — sekali dengan koordinat, sekali dengan norma dan sudut di antara kedua vektornya — lalu simpulkan rumus induknya:

    cos⁡(a−b)=cos⁡acos⁡b+sin⁡asin⁡b.\cos(a - b) = \cos a \cos b + \sin a \sin b .
  2. Substitusikan −b-b menggantikan bb (ingat paritas sinus dan kosinus!) untuk memperoleh cos⁡(a+b)\cos(a + b).
  3. Perolehlah sin⁡(a+b)\sin(a + b) dari identitas pelengkapnya, sin⁡x=cos⁡(π2−x)\sin x = \cos\left(\frac\pi2 - x\right), yang diterapkan pada x=a+bx = a + b.
  4. Nilai eksak akhirnya: hitunglah cos⁡15∘\cos 15^\circ (sebagai cos⁡(45∘−30∘)\cos(45^\circ - 30^\circ)) dan sin⁡75∘\sin 75^\circ. Periksalah keduanya secara numeris.
  5. Ambil b=ab = a untuk menurunkan rumus sudut ganda: cos⁡2a\cos 2a (dalam ketiga bentuknya) dan sin⁡2a\sin 2a.
  6. Dari cos⁡2a=1−2sin⁡2a\cos 2a = 1 - 2\sin^2 a, hitunglah sin⁡215∘\sin^2 15^\circ, lalu sin⁡15∘\sin 15^\circ sebagai akar bersarang — lalu periksalah bahwa kuadratnya cocok dengan nilai 6−24\frac{\sqrt6 - \sqrt2}{4} yang diberikan metode pertanyaan 9.

Bagian III — Hadiah kedua: jarak ke sebuah garis.

  1. Misalkan dd garis ax+by+c=0ax + by + c = 0, dengan vektor normal n⃗(a,b)\vec n(a, b) (Proposisi 16.12), dan P(x0,y0)P(x_0, y_0) sebuah titik. Dengan mengambil sebarang titik AA pada dd, jelaskan mengapa jarak dari PP ke dd adalah ∣AP→⋅n⃗∣∥n⃗∥\dfrac{\abs{\vect{AP} \cdot \vec n}}{\norm{\vec n}}, lalu simpulkan rumus

    dist⁡(P,d)=∣ax0+by0+c∣a2+b2.\operatorname{dist}(P, d) = \frac{\abs{a x_0 + b y_0 + c}}{\sqrt{a^2 + b^2}} .

    Hitunglah jarak dari P(5,6)P(5, 6) ke 3x+4y−12=03x + 4y - 12 = 0.

  2. Tulislah persamaan lingkaran berpusat (5,6)(5, 6) yang menyinggung garis itu.
  3. Periksa silang rumusnya: hitunglah jarak dari titik asal ke 3x+4y−12=03x + 4y - 12 = 0, lalu benarkan dengan menghitung kaki garis tegak lurus dari titik asalnya secara eksplisit.
  4. Segitiga A(0,0)A(0,0), B(6,0)B(6,0), C(2,5)C(2,5): hitunglah luasnya dengan alas [AB][AB]; lalu hitunglah jarak dari BB ke garis (AC)(AC) dan periksalah bahwa jarak itu menghasilkan luas yang sama.
  5. Lingkaran berpusat (2,1)(2, 1) dan berjari-jari 22, terhadap garis x+y−6=0x + y - 6 = 0: hitunglah jarak pusatnya ke garis itu lalu golongkan kedudukannya (memotong, menyinggung, atau terpisah).

Bagian IV — Bonusnya: garis tinggi bertemu di satu titik.

  1. Perumumlah Latihan 16.11: untuk sebarang dua titik AA, BB dengan titik tengah II, buktikan

    MA→⋅MB→=MI2−AB24untuk setiap titik M.\vect{MA} \cdot \vect{MB} = MI^2 - \frac{AB^2}{4} \quad\text{untuk setiap titik } M .
  2. Simpulkan Proposisi 16.11 dalam satu baris: himpunan titik MM dengan MA→⋅MB→=0\vect{MA} \cdot \vect{MB} = 0 adalah lingkaran berdiameter [AB][AB].

  3. Garis tingginya: misalkan HH perpotongan garis tinggi dari AA dan dari BB pada segitiga ABCABC (sehingga HA→⋅BC→=0\vect{HA} \cdot \vect{BC} = 0 dan HB→⋅CA→=0\vect{HB} \cdot \vect{CA} = 0). Buktikan identitas

    HA→⋅BC→+HB→⋅CA→+HC→⋅AB→=0\vect{HA} \cdot \vect{BC} + \vect{HB} \cdot \vect{CA} + \vect{HC} \cdot \vect{AB} = 0

    — jabarkan semuanya dari HH dengan Chasles — lalu simpulkan bahwa HH juga terletak pada garis tinggi dari CC: jadi ketiga garis tingginya berpotongan di satu titik (yaitu titik tinggi).

  4. Penutup: empat wajah, tiga piala. Wajah yang mana pada Teorema 16.2 yang mengusung rumus penjumlahan sudut, yang mana rumus jaraknya, yang mana titik tingginya — dan mengapa “hitunglah besaran yang sama dua kali” menjadi semboyan seluruh bab ini?
Solusi

Solusi Soal 16.1.

1. u⃗⋅v⃗=−3+8=5\vec u \cdot \vec v = -3 + 8 = 5; ∥u⃗∥=5\norm{\vec u} = 5, ∥v⃗∥=5\norm{\vec v} = \sqrt5; cos⁡θ=555=15\cos\theta = \frac{5}{5\sqrt5} = \frac{1}{\sqrt5}: jadi θ≈63.4∘\theta \approx 63.4^\circ.

2. 6−4k=06 - 4k = 0: k=32k = \frac32.

3. W=50×10×cos⁡60∘=250W = 50 \times 10 \times \cos 60^\circ = 250 joule: hanya komponen sepanjang geraknya yang melakukan usaha.

4. c2=25+49−2×35×12=39c^2 = 25 + 49 - 2 \times 35 \times \frac12 = 39: c=39c = \sqrt{39}.

5. cos⁡γ=16+36−642×4×6=−14\cos\gamma = \frac{16 + 36 - 64}{2 \times 4 \times 6} = -\frac14: negatif, jadi sudutnya tumpul: γ≈104.5∘\gamma \approx 104.5^\circ.

6. Lewat koordinat: u⃗⋅v⃗=cos⁡acos⁡b+sin⁡asin⁡b\vec u \cdot \vec v = \cos a \cos b + \sin a \sin b. Lewat geometri: keduanya vektor satuan, sehingga u⃗⋅v⃗=1×1×cos⁡(a−b)\vec u \cdot \vec v = 1 \times 1 \times \cos(a - b). Menyamakan kedua perhitungan bilangan yang sama itu: cos⁡(a−b)=cos⁡acos⁡b+sin⁡asin⁡b\cos(a - b) = \cos a \cos b + \sin a \sin b.

7. cos⁡(a+b)=cos⁡(a−(−b))=cos⁡acos⁡(−b)+sin⁡asin⁡(−b)=cos⁡acos⁡b−sin⁡asin⁡b\cos(a + b) = \cos(a - (-b)) = \cos a \cos(-b) + \sin a \sin(-b) = \cos a \cos b - \sin a \sin b.

8. sin⁡(a+b)=cos⁡(π2−a−b)=cos⁡((π2−a)−b)=cos⁡(π2−a)cos⁡b+sin⁡(π2−a)sin⁡b=sin⁡acos⁡b+cos⁡asin⁡b\sin(a + b) = \cos\left(\frac\pi2 - a - b\right) = \cos\left(\left(\frac\pi2 - a\right) - b\right) = \cos\left(\frac\pi2 - a\right)\cos b + \sin\left(\frac\pi2 - a\right)\sin b = \sin a \cos b + \cos a \sin b.

9. cos⁡15∘=cos⁡45∘cos⁡30∘+sin⁡45∘sin⁡30∘=22⋅32+22⋅12=6+24≈0.966\cos 15^\circ = \cos 45^\circ \cos 30^\circ + \sin 45^\circ \sin 30^\circ = \frac{\sqrt2}{2} \cdot \frac{\sqrt3}{2} + \frac{\sqrt2}{2} \cdot \frac12 = \frac{\sqrt6 + \sqrt2}{4} \approx 0.966. Lalu sin⁡75∘=cos⁡15∘\sin 75^\circ = \cos 15^\circ: nilai yang sama.

10. Dengan b=ab = a pada pertanyaan 7 dan 8: cos⁡2a=cos⁡2a−sin⁡2a=2cos⁡2a−1=1−2sin⁡2a\cos 2a = \cos^2 a - \sin^2 a = 2\cos^2 a - 1 = 1 - 2\sin^2 a (dengan memakai cos⁡2+sin⁡2=1\cos^2 + \sin^2 = 1), dan sin⁡2a=2sin⁡acos⁡a\sin 2a = 2 \sin a \cos a.

11. sin⁡215∘=1−cos⁡30∘2=2−34\sin^2 15^\circ = \frac{1 - \cos 30^\circ}{2} = \frac{2 - \sqrt3}{4}, sehingga sin⁡15∘=2−32\sin 15^\circ = \frac{\sqrt{2 - \sqrt3}}{2}. Mengkuadratkan 6−24\frac{\sqrt6 - \sqrt2}{4}: 6−212+216=8−4316=2−34\frac{6 - 2\sqrt{12} + 2}{16} = \frac{8 - 4\sqrt3}{16} = \frac{2 - \sqrt3}{4}: bilangan yang sama dalam dua busana.

12. AP→\vect{AP} terurai menjadi bagian sepanjang dd (yang tak terlihat oleh n⃗\vec n) dan bagian yang tegak lurus dd, yang panjangnya adalah jarak yang dicari; mengalikannya secara titik dengan normal satuan n⃗∥n⃗∥\frac{\vec n}{\norm{\vec n}} mematikan bagian pertamanya dan mengukur bagian keduanya. Dengan AA pada dd: AP→⋅n⃗=ax0+by0−(axA+byA)=ax0+by0+c\vect{AP} \cdot \vec n = a x_0 + b y_0 - (a x_A + b y_A) = a x_0 + b y_0 + c, dan dari sanalah rumusnya. Contohnya: ∣15+24−12∣5=275=5.4\frac{\abs{15 + 24 - 12}}{5} = \frac{27}{5} = 5.4.

13. Jari-jarinya =5.4= 5.4: (x−5)2+(y−6)2=29.16(x - 5)^2 + (y - 6)^2 = 29.16.

14. Jaraknya =∣−12∣5=2.4= \frac{\abs{-12}}{5} = 2.4. Kakinya: garis tegak lurus melalui titik asal adalah (3t,4t)(3t, 4t); pada garisnya: 9t+16t=129t + 16t = 12, jadi t=1225t = \frac{12}{25}: kakinya (3625,4825)\left(\frac{36}{25}, \frac{48}{25}\right), pada jarak 5t=6025=2.45t = \frac{60}{25} = 2.4. Rumusnya dan perhitungan yang jujur memberi hasil yang sama.

15. Alasnya AB=6AB = 6, tingginya == jarak dari CC ke (AB)(AB) (yaitu sumbu y=0y = 0): 55; luasnya 1515. Garis (AC)(AC): 5x−2y=05x - 2y = 0, dan dist⁡(B,(AC))=∣30∣29\operatorname{dist}(B, (AC)) = \frac{\abs{30}}{\sqrt{29}}; lalu 12×AC×3029=12×29×3029=15\frac12 \times AC \times \frac{30}{\sqrt{29}} = \frac12 \times \sqrt{29} \times \frac{30}{\sqrt{29}} = 15: luas yang sama, lewat garis tinggi yang mana pun.

16. dist⁡=∣2+1−6∣2=32≈2.12>2\operatorname{dist} = \frac{\abs{2 + 1 - 6}} {\sqrt2} = \frac{3}{\sqrt2} \approx 2.12 > 2: jadi garisnya lewat tanpa menyentuh lingkarannya — terpisah.

17. Sisipkan II: MA→⋅MB→=(MI→+IA→)⋅(MI→+IB→)=MI2+MI→⋅(IA→+IB→)+IA→⋅IB→\vect{MA} \cdot \vect{MB} = (\vect{MI} + \vect{IA}) \cdot (\vect{MI} + \vect{IB}) = MI^2 + \vect{MI} \cdot (\vect{IA} + \vect{IB}) + \vect{IA} \cdot \vect{IB}. Suku tengahnya mati (IA→+IB→=0⃗\vect{IA} + \vect{IB} = \vec 0), dan IA→⋅IB→=−IA2=−AB24\vect{IA} \cdot \vect{IB} = -IA^2 = -\frac{AB^2}{4} (dua vektor berlawanan yang panjangnya AB2\frac{AB}2).

18. MA→⋅MB→=0  ⟺  MI2=AB24  ⟺  MI=AB2\vect{MA} \cdot \vect{MB} = 0 \iff MI^2 = \frac{AB^2}{4} \iff MI = \frac{AB}{2}: yaitu lingkaran berpusat II dan berjari-jari AB2\frac{AB}2 — lingkaran berdiameter [AB][AB].

19. Menjabarkan setiap pasangannya dari HH (BC→=HC→−HB→\vect{BC} = \vect{HC} - \vect{HB}, dan seterusnya):

HA→⋅HC→−HA→⋅HB→+HB→⋅HA→−HB→⋅HC→+HC→⋅HB→−HC→⋅HA→=0:\vect{HA} \cdot \vect{HC} - \vect{HA} \cdot \vect{HB} + \vect{HB} \cdot \vect{HA} - \vect{HB} \cdot \vect{HC} + \vect{HC} \cdot \vect{HB} - \vect{HC} \cdot \vect{HA} = 0 :

semuanya saling menghapus berpasangan — jadi identitasnya berlaku untuk sebarang empat titik. Untuk HH kita, dua hasil kali titik yang pertama lenyap menurut hipotesisnya, sehingga HC→⋅AB→=0\vect{HC} \cdot \vect{AB} = 0: jadi HH terletak pada garis tinggi dari CC. Tiga garis tinggi, satu titik.

20. Rumus penjumlahan sudut datang dari menghitung satu hasil kali titik dengan wajah koordinat dan wajah norma-dan-sudut; rumus jaraknya dari wajah proyeksi; titik tingginya dari wajah kelinearan ganda (jabarkan dari satu titik dengan Chasles). Hitunglah besaran yang sama dua kali, samakan, dan sebuah teorema jatuh sendiri — itulah seluruh keahlian hasil kali skalar.

Istilah yang didefinisikan dalam bab ini

Lihat semua 395 istilah di glosarium