Matematika Sekolah Menengah Atas · Grades 10–12

2Aljabar: Persamaan dan Pertidaksamaan

Aljabar adalah seni berhitung dengan huruf. Bab ini mengulang dan mempertajam dua langkah dasarnya — menjabarkan dan memfaktorkan — lalu memakai keduanya untuk menyelesaikan persamaan dan pertidaksamaan secara sistematis, dengan tabel tanda sebagai alat utamanya.

2.1 Menjabarkan dan memfaktorkan

Definisi 2.1 (Menjabarkan, memfaktorkan)

Menjabarkan sebuah bentuk aljabar berarti mengubah hasil kali menjadi jumlah; memfaktorkan berarti sebaliknya, mengubah jumlah menjadi hasil kali. Aturan dasarnya adalah sifat distributif:

k(a + b) = ka + kb, \qquad (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd .

Contoh 2.2

Jabarkan $(2x + 3)(x - 5)$ selangkah demi selangkah:

\begin{align*} (2x + 3)(x - 5) &= 2x \times x + 2x \times (-5) + 3 \times x + 3 \times (-5) \\ &= 2x^2 - 10x + 3x - 15 \\ &= 2x^2 - 7x - 15 . \end{align*}

Teorema 2.3 (Identitas istimewa)

Untuk semua bilangan real $a$ dan $b$ :

(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2, \qquad (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2, \qquad (a+b)(a-b) = a^2 - b^2 .

Bukti. Masing-masing merupakan penjabaran langsung. Untuk yang pertama:

(a+b)^2 = (a+b)(a+b) = a^2 + ab + ba + b^2 = a^2 + 2ab + b^2 .

Yang kedua diperoleh dengan mengganti $b$ oleh $-b$ : $(a-b)^2 = a^2 + 2a(-b) + (-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ . Untuk yang ketiga: $(a+b)(a-b) = a^2 - ab + ba - b^2 = a^2 - b^2$ . ∎

Mengapa (a+b)2 = a2 + 2ab + b2: persegi bersisi a + b terbagi menjadi persegi bersisi a, persegi bersisi b, dan dua persegi panjang a × b. — Mengapa $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ : persegi bersisi $a + b$ terbagi menjadi persegi bersisi $a$ , persegi bersisi $b$ , dan dua persegi panjang $a \times b$ .

Contoh 2.4

Dipakai maju (menjabarkan) dan mundur (memfaktorkan):

\begin{align*} (3x + 2)^2 &= 9x^2 + 12x + 4, & x^2 - 25 &= (x+5)(x-5), \\ (x - 4)^2 &= x^2 - 8x + 16, & 4x^2 + 4x + 1 &= (2x + 1)^2 . \end{align*}

Berhitung di kepala pun terbantu: $101 \times 99 = (100+1)(100-1) = 10000 - 1 = 9999$ .

Metode 2.5 (Memfaktorkan sebuah bentuk aljabar)

Cobalah, menurut urutan ini:

Faktor persekutuan: temukan faktor yang hadir pada setiap suku lalu keluarkan, misalnya $6x^2 + 4x = 2x(3x + 2)$ . Faktor persekutuan itu boleh berupa satu kurung utuh: $(x+1)(2x-3) + (x+1)(x+7) = (x+1)(3x+4)$ .
Identitas istimewa: kenali $a^2 - b^2$ , atau $a^2 \pm 2ab + b^2$ , misalnya $9x^2 - 16 = (3x)^2 - 4^2 = (3x+4)(3x-4)$ .
Gabungkan keduanya, lalu periksa hasilnya dengan menjabarkannya kembali.

Contoh 2.6

Faktorkan $E = (2x + 1)^2 - (x - 3)^2$ . Ini selisih dua kuadrat $a^2 - b^2$ dengan $a = 2x+1$ dan $b = x-3$ :

\begin{align*} E &= \bigl[(2x+1) + (x-3)\bigr] \times \bigl[(2x+1) - (x-3)\bigr] \\ &= (3x - 2)(2x + 1 - x + 3) \\ &= (3x - 2)(x + 4). \end{align*}

Perhatikan kurung kedua: mengurangkan $x - 3$ berarti mengurangkan $x$ dan menambahkan $3$ .

2.2 Persamaan

Definisi 2.7 (Persamaan, penyelesaian)

Sebuah persamaan adalah kesamaan yang memuat sebuah bilangan yang belum diketahui $x$ ; sebuah penyelesaian adalah nilai $x$ yang membuat kesamaan itu benar. Menyelesaikan persamaan berarti mencari semua penyelesaiannya.

Dua persamaan disebut ekuivalen apabila keduanya mempunyai penyelesaian yang persis sama. Menambahkan bilangan yang sama pada kedua ruas, atau mengalikan kedua ruas dengan bilangan taknol yang sama, menghasilkan persamaan yang ekuivalen.

Contoh 2.8 (Persamaan derajat satu)

Selesaikan $5x - 7 = 2x + 8$ , selangkah demi selangkah:

\begin{align*} 5x - 7 &= 2x + 8 \\ 5x - 2x &= 8 + 7 && \text{(tambahkan $7 - 2x$ pada kedua ruas)} \\ 3x &= 15 \\ x &= 5 && \text{(bagi kedua ruas dengan $3$).} \end{align*}

Penyelesaian tunggalnya adalah $5$ . Periksa: $5 \times 5 - 7 = 18$ dan $2 \times 5 + 8 = 18$ .

Teorema 2.9 (Aturan hasil kali nol)

Hasil kali bilangan real sama dengan nol jika dan hanya jika paling sedikit satu faktornya nol:

A \times B = 0 \quad\Longleftrightarrow\quad A = 0 \ \text{ atau } \ B = 0 .

Bukti. Jika $A = 0$ atau $B = 0$ , jelas hasil kalinya $0$ . Sebaliknya, andaikan $AB = 0$ dan $A \neq 0$ . Membagi kedua ruas dengan $A$ memberi $B = 0$ . ∎

Metode 2.10 (Menyelesaikan dengan memfaktorkan)

Untuk menyelesaikan persamaan yang ruas kanannya $0$ dan ruas kirinya dapat difaktorkan:

pindahkan semuanya ke kiri sehingga persamaannya berbunyi $E = 0$ ;
faktorkan $E$ menjadi hasil kali faktor-faktor derajat satu;
terapkan aturan hasil kali nol lalu selesaikan setiap persamaan kecil;
kumpulkan semua penyelesaian yang diperoleh.

Contoh 2.11

Selesaikan $(x - 2)(3x + 6) = 0$ : entah $x - 2 = 0$ , yang memberi $x = 2$ , atau $3x + 6 = 0$ , yang memberi $x = -2$ . Penyelesaian: $-2$ dan $2$ .

Selesaikan $x^2 = 9x$ . Jangan membagi dengan $x$ (nilainya bisa nol!); pindahkan semuanya ke satu ruas lalu faktorkan:

x^2 - 9x = 0 \quad\Longleftrightarrow\quad x(x - 9) = 0 \quad\Longleftrightarrow\quad x = 0 \ \text{ atau } \ x = 9 .

Contoh 2.12 (Persamaan berbentuk pecahan)

Selesaikan $\dfrac{x - 1}{x + 2} = 0$ . Sebuah pecahan bernilai nol tepat ketika pembilangnya nol dan penyebutnya tidak. Di sini $x - 1 = 0$ memberi $x = 1$ , dan $1 + 2 = 3 \neq 0$ : satu-satunya penyelesaian adalah $1$ . Nilai $x = -2$ terlarang (pembagian oleh nol) dan harus selalu dikecualikan lebih dahulu.

2.3 Pertidaksamaan dan tabel tanda

Proposisi 2.13 (Aturan untuk pertidaksamaan)

Misalkan $a \leq b$ .

Untuk sebarang $c$ : $a + c \leq b + c$ (penjumlahan mempertahankan urutan).
Jika $c > 0$ : $ac \leq bc$ (mengalikan dengan bilangan positif mempertahankan urutan).
Jika $c < 0$ : $ac \geq bc$ (mengalikan dengan bilangan negatif membalik urutan).

Bukti. 1. $(b + c) - (a + c) = b - a \geq 0$ . 2. $bc - ac = (b-a)c$ adalah hasil kali dua bilangan taknegatif, sehingga $bc \geq ac$ . 3. Kini $(b-a)c \leq 0$ sebagai hasil kali bilangan taknegatif dan bilangan negatif, sehingga $bc \leq ac$ . ∎

Contoh 2.14

Selesaikan $-2x + 3 > 9$ :

\begin{align*} -2x + 3 &> 9 \\ -2x &> 6 && \text{(kurangi 3)} \\ x &< -3 && \text{(bagi dengan $-2 < 0$: balik arah pertidaksamaan).} \end{align*}

Himpunan penyelesaiannya adalah $\intoo{-\infty}{-3}$ .

Definisi 2.15 (Tabel tanda)

Sebuah tabel tanda mencatat, satu baris untuk setiap faktor, tanda ( $+$ atau $-$ ) setiap faktor sebuah bentuk aljabar ketika $x$ menyusuri $\R$ , dengan $0$ pada setiap nilai yang membuat faktor itu lenyap; baris terakhir memberi tanda hasil kalinya, memakai kaidah tanda kolom demi kolom.

Contoh 2.16

Tanda dari $P(x) = (x - 2)(3 - x)$ . Faktor $x - 2$ lenyap di $2$ dan positif sesudahnya; faktor $3 - x$ lenyap di $3$ dan positif sebelumnya:

$x$	$-\infty$	$2$		$3$	$+\infty$
$x - 2$	$-$	$0$	$+$		$+$
$3 - x$	$+$		$+$	$0$	$-$
$P(x)$	$-$	$0$	$+$	$0$	$-$

Jadi $P(x) > 0$ tepat pada $\intoo{2}{3}$ , dan $P(x) \leq 0$ pada $\intoc{-\infty}{2} \cup \intco{3}{+\infty}$ .

Grafik P(x) = (x-2)(3-x) membenarkan tabel tandanya: positif di antara kedua akarnya, 2 dan 3, serta negatif di luarnya. — Grafik $P(x) = (x-2)(3-x)$ membenarkan tabel tandanya: positif di antara kedua akarnya, $2$ dan $3$ , serta negatif di luarnya.

Metode 2.17 (Menyelesaikan pertidaksamaan dengan tabel tanda)

Untuk menyelesaikan pertidaksamaan seperti $E(x) \geq 0$ atau $E(x) < 0$ :

pindahkan semuanya ke ruas kiri, sehingga ruas kanannya $0$ (jangan pernah mengalikan kedua ruas dengan bentuk aljabar yang tandanya belum diketahui);
faktorkan ruas kiri, atau samakan penyebutnya bila ruas itu berupa pecahan;
susun tabel tanda dengan satu baris untuk setiap faktor (untuk pecahan, tandai nilai terlarang dengan garis rangkap pada baris terakhir);
bacalah interval tempat tanda yang diminta berlaku, sambil memeriksa apakah setiap batasnya termasuk.

Contoh 2.18

Selesaikan $\dfrac{x + 1}{x - 3} \leq 0$ . Pembilangnya lenyap di $-1$ , penyebutnya di $3$ (nilai terlarang). Pecahan itu bernilai negatif ketika keduanya bertanda berlawanan, yaitu untuk $x$ antara $-1$ dan $3$ . Batas tempat pembilang lenyap disertakan, sedangkan nilai terlarang dikecualikan: himpunan penyelesaiannya adalah $\intco{-1}{3}$ .

2.4 Latihan

Latihan 2.1 ★

Jabarkan lalu sederhanakan:

3(2x - 5) - 2(x - 7), \qquad (x + 4)(2x - 1), \qquad (3x - 2)^2, \qquad (5 - x)(5 + x).

Solusi

Solusi Latihan 2.1.

$3(2x-5) - 2(x-7) = 6x - 15 - 2x + 14 = 4x - 1$ .

$(x+4)(2x-1) = 2x^2 - x + 8x - 4 = 2x^2 + 7x - 4$ .

$(3x-2)^2 = 9x^2 - 12x + 4$ .

$(5-x)(5+x) = 25 - x^2$ .

Latihan 2.2 ★

Faktorkan:

x^2 - 49, \qquad x^2 + 10x + 25, \qquad 7x^2 - 14x, \qquad 16x^2 - 8x + 1 .

Solusi

Solusi Latihan 2.2.

$x^2 - 49 = (x+7)(x-7)$ (selisih dua kuadrat).

$x^2 + 10x + 25 = (x+5)^2$ .

$7x^2 - 14x = 7x(x - 2)$ (faktor persekutuan).

$16x^2 - 8x + 1 = (4x - 1)^2$ .

Latihan 2.3 ★

Selesaikan:

4x + 9 = x - 3, \qquad \frac{2x - 1}{3} = 5, \qquad 2(x - 3) = 2x + 1 .

(Salah satunya tidak mempunyai penyelesaian — jelaskan mengapa.)

Solusi

Solusi Latihan 2.3.

$4x + 9 = x - 3$ : $3x = -12$ , jadi $x = -4$ .

$\frac{2x-1}{3} = 5$ : $2x - 1 = 15$ , jadi $x = 8$ .

$2(x-3) = 2x + 1$ terjabar menjadi $2x - 6 = 2x + 1$ , yaitu $-6 = 1$ : salah untuk setiap $x$ . Tidak ada penyelesaian — kedua ruasnya menyatakan garis sejajar yang tidak pernah bertemu.

Latihan 2.4 ★

Selesaikan dengan aturan hasil kali nol:

(x + 5)(2x - 8) = 0, \qquad x^2 - 16 = 0, \qquad x^2 + 6x + 9 = 0 .

Solusi

Solusi Latihan 2.4.

$(x+5)(2x-8) = 0$ : $x = -5$ atau $x = 4$ .

$x^2 - 16 = (x-4)(x+4) = 0$ : $x = 4$ atau $x = -4$ .

$x^2 + 6x + 9 = (x+3)^2 = 0$ : penyelesaian tunggalnya $x = -3$ .

Latihan 2.5 ★

Selesaikan pertidaksamaan berikut, lalu tulis himpunan penyelesaiannya sebagai interval:

3x - 5 \leq 7, \qquad -4x + 1 > 9, \qquad 2(x - 1) \geq 5x + 4 .

Solusi

Solusi Latihan 2.5.

$3x - 5 \leq 7$ : $3x \leq 12$ , jadi $x \leq 4$ : himpunan penyelesaiannya $\intoc{-\infty}{4}$ .

$-4x + 1 > 9$ : $-4x > 8$ , membagi dengan $-4$ membalik arah pertidaksamaan: $x < -2$ : himpunan penyelesaiannya $\intoo{-\infty}{-2}$ .

$2(x-1) \geq 5x + 4$ : $2x - 2 \geq 5x + 4$ , jadi $-3x \geq 6$ , jadi $x \leq -2$ : himpunan penyelesaiannya $\intoc{-\infty}{-2}$ .

Latihan 2.6 ★★

Faktorkan $E = (x - 1)(x + 3) - (x - 1)(2x - 5)$ , lalu selesaikan $E = 0$ .

Solusi

Solusi Latihan 2.6.

Faktor persekutuannya adalah $(x-1)$ :

E = (x-1)\bigl[(x+3) - (2x - 5)\bigr] = (x-1)(x + 3 - 2x + 5) = (x-1)(8 - x).

Lalu $E = 0$ ketika $x = 1$ atau $x = 8$ (aturan hasil kali nol).

Latihan 2.7 ★★

Selesaikan $x^2 = 5x$ , lalu $(2x + 1)^2 = (x - 4)^2$ . (Untuk yang kedua, pindahkan semuanya ke kiri lalu faktorkan selisih dua kuadratnya.)

Solusi

Solusi Latihan 2.7.

$x^2 = 5x$ : $x^2 - 5x = x(x - 5) = 0$ , jadi $x = 0$ atau $x = 5$ (jangan sekali-kali membagi dengan $x$ : penyelesaian $0$ akan hilang).

$(2x+1)^2 = (x-4)^2$ : pindahkan ke kiri lalu faktorkan selisih dua kuadratnya:

(2x+1)^2 - (x-4)^2 = \bigl[(2x+1) + (x-4)\bigr]\bigl[(2x+1) - (x-4)\bigr] = (3x - 3)(x + 5).

Aturan hasil kali nol: $x = 1$ atau $x = -5$ .

Latihan 2.8 ★★

Dengan tabel tanda, selesaikan

(x + 2)(4 - x) > 0, \qquad \frac{2x - 6}{x + 1} \geq 0 .

Solusi

Solusi Latihan 2.8.

$(x+2)(4-x) > 0$ : faktor $x + 2$ lenyap di $-2$ (positif sesudahnya), $4 - x$ lenyap di $4$ (positif sebelumnya). Hasil kalinya positif tepat ketika kedua faktornya positif, yaitu pada $\intoo{-2}{4}$ .

$\frac{2x-6}{x+1} \geq 0$ : pembilang nol di $3$ , penyebut nol di $-1$ (terlarang). Tabel tanda: pecahan itu positif ketika kedua bagiannya bertanda sama, yaitu untuk $x < -1$ atau $x > 3$ ; nilainya nol di $x = 3$ . Himpunan penyelesaiannya: $\intoo{-\infty}{-1} \cup \intco{3}{+\infty}$ .

Latihan 2.9 ★★

Sebuah layanan siaran daring berbiaya $9$ per bulan, ditambah biaya pendaftaran sekali bayar sebesar $15$ ; pesaingnya berbiaya $12$ per bulan tanpa biaya pendaftaran. Setelah berapa bulan layanan pertama menjadi pilihan yang lebih murah secara keseluruhan? Susun lalu selesaikan sebuah pertidaksamaan.

Solusi

Solusi Latihan 2.9.

Setelah $x$ bulan, layanan pertama berbiaya $9x + 15$ dan yang kedua $12x$ . Yang pertama lebih murah apabila

9x + 15 < 12x \ \Longleftrightarrow\ 15 < 3x \ \Longleftrightarrow\ x > 5 .

Mulai bulan ke- $6$ , layanan pertama menjadi pilihan yang lebih murah.

Latihan 2.10 ★★

Selesaikan $\dfrac{x+3}{x-1} = 2$ . (Kalikan kedua ruas dengan $x - 1$ setelah mengecualikan nilai terlarangnya, atau pindahkan semuanya ke kiri dengan penyebut yang sama.)

Solusi

Solusi Latihan 2.10.

Nilai terlarang: $x = 1$ . Untuk $x \neq 1$ , kalikan kedua ruas dengan $x - 1$ :

x + 3 = 2(x - 1) = 2x - 2 \ \Longleftrightarrow\ x = 5 .

Karena $5 \neq 1$ , penyelesaiannya adalah $x = 5$ . Periksa: $\frac{5+3}{5-1} = \frac84 = 2$ .

Latihan 2.11 ★★★

Misalkan $n$ bilangan bulat. Tunjukkan bahwa $(n + 1)^2 - n^2$ selalu ganjil, dan bahwa selisih kuadrat dua bilangan ganjil berurutan selalu merupakan kelipatan $8$ .

Solusi

Solusi Latihan 2.11.

$(n+1)^2 - n^2 = n^2 + 2n + 1 - n^2 = 2n + 1$ , yang ganjil untuk setiap bilangan bulat $n$ .

Dua bilangan ganjil berurutan dapat ditulis $2n - 1$ dan $2n + 1$ . Maka

(2n+1)^2 - (2n-1)^2 = \bigl[(2n+1)+(2n-1)\bigr]\bigl[(2n+1)-(2n-1)\bigr] = 4n \times 2 = 8n,

yaitu kelipatan $8$ .

2.5 Soal: Dari Babilonia ke rasio emas

Soal 2.1

Soal akhir pekan — soal jumlah-dan-hasil-kali, melengkapkan kuadrat sempurna sebagaimana digambar al-Khwarizmi, dan persamaan $x^2 = x + 1$

Empat ribu tahun silam, juru tulis Babilonia menyelesaikan soal ini di atas lempung: carilah dua bilangan bila diketahui jumlah dan hasil kalinya. Kiat mereka — mencari kedua bilangan secara simetris di sekitar setengah jumlahnya — sampai hari ini masih memecahkan setiap persamaan kuadrat, dengan nama modernnya, melengkapkan kuadrat sempurna. Soal ini mempelajari kiat itu, menyaksikan al-Khwarizmi benar-benar melengkapkan sebuah persegi, lalu menerapkan metodenya pada perbandingan yang paling termasyhur di antara semuanya.

Bagian I — Soal Babilonia.

Pemanasan (Teorema 2.3): faktorkan $x^2 - 10x + 25$ , lalu $9x^2 - 49$ , lalu — dengan memadukan sebuah identitas dan selisih dua kuadrat — $x^2 + 6x + 9 - 4$ .
Selesaikan $(x + 1)(x + 5) = 0$ dan $(3x - 7)(3x + 7) = 0$ (Teorema 2.9).
Soal sang juru tulis: dua bilangan berjumlah $10$ dan berhasil kali $21$ . Mengikuti Babilonia, tulislah keduanya sebagai $5 - t$ dan $5 + t$ (simetris di sekitar setengah jumlahnya) lalu carilah $t$ , kemudian kedua bilangan itu.
Dengan metode yang sama: jumlah $14$ , hasil kali $33$ .
Resep umumnya: untuk jumlah $s$ dan hasil kali $p$ , tunjukkan bahwa kedua bilangan itu adalah

$\frac s2 - t \quad\text{dan}\quad \frac s2 + t, \qquad\text{dengan}\quad t^2 = \left(\frac s2\right)^2 - p ,$

lalu nyatakan syarat pada $s$ dan $p$ agar soal itu mempunyai penyelesaian.

Bagian II — Melengkapkan kuadrat sempurna.

Jabarkan $(x - a)(x - b)$ lalu simpulkan: penyelesaian $x^2 - sx + p = 0$ tepat adalah pasangan bilangan yang berjumlah $s$ dan berhasil kali $p$ . (Para juru tulis menyelesaikan persamaan kuadrat tanpa menyadarinya.)
Periksa bahwa $x^2 - 10x + 21 = (x - 5)^2 - 4$ , lalu selesaikan $x^2 - 10x + 21 = 0$ dengan memfaktorkan ruas kanannya sebagai selisih dua kuadrat. Bandingkan dengan pertanyaan 3.
Selesaikan $x^2 + 6x - 7 = 0$ dengan melengkapkan kuadrat sempurna.
Lengkapkan kuadrat sempurna pada $x^2 + 4x + 5$ , lalu jelaskan mengapa persamaan $x^2 + 4x + 5 = 0$ tidak mempunyai penyelesaian real. Nyatakan kriteria umumnya: setelah ditulis sebagai $(x + h)^2 + k$ , kapan sebuah bentuk kuadrat lenyap?
Namanya harfiah. Di Bagdad pada abad kesembilan, al-Khwarizmi menggambar $x^2 + 6x = 7$ sebagai persegi bersisi $x$ dengan dua persegi panjang $3 \times x$ yang direkatkan pada dua sisinya, lalu melengkapkan persegi itu dengan pojok $3 \times 3$ yang hilang. Gambarlah bangunnya dan jelaskan bagaimana gambar itu mengubah persamaannya menjadi $(x + 3)^2 = 16$ — lalu selesaikan.

Bagian III — Tanda, tabel dan dua janji lama.

Susun tabel tanda dari $(x - 3)(x + 2)$ (Definisi 2.15) lalu selesaikan $(x - 3)(x + 2) < 0$ .
Selesaikan $x^2 \leq 10x - 21$ (pindahkan semuanya ke satu ruas lalu pakai kembali pertanyaan 7).
Selesaikan $\dfrac{x - 1}{x + 2} \geq 0$ dengan tabel tanda, sambil memperhatikan nilai terlarangnya.
Sebuah janji lama ditepati: bagi petani pada soal pagar Ratu Dido di jilid sebelumnya, dengan pagar sepanjang $20$ m, luas kandang berukuran $x \times (10 - x)$ memenuhi

$A(x) = x(10 - x) = 25 - (x - 5)^2 .$

Periksa identitas itu, lalu bacalah darinya sebuah bukti bagi apa yang di jilid sebelumnya hanya dapat diduga: luas maksimumnya, dan satu-satunya $x$ yang mencapainya.
Janji lain: buktikan bahwa $x + \dfrac1x \geq 2$ untuk setiap $x > 0$ , dengan kesamaan hanya di $x = 1$ . (Kalikan dengan $x$ , kumpulkan sukunya, kenali sebuah kuadrat — ketaksamaan rataan aritmetika–geometri pada soal akhir pekan tentang relasi Euclid di jilid sebelumnya dalam wujud baru.)

Bagian IV — Potongan emas. Potonglah sebuah ruas garis sepanjang $1$ menjadi bagian besar $x$ dan bagian kecil $1 - x$ sedemikian sehingga seluruhnya berbanding bagian besar sama dengan bagian besar berbanding bagian kecil: $\frac{1}{x} = \frac{x}{1 - x}$ .

Tunjukkan bahwa syarat itu berbunyi $x^2 + x - 1 = 0$ .
Selesaikan dengan melengkapkan kuadrat sempurna, lalu simpan akar yang berupa panjang: $x = \frac{\sqrt5 - 1}{2} \approx 0.618$ .
Rasio emas adalah $\varphi = \frac1x = \frac{2}{\sqrt5 - 1}$ . Rasionalkan penyebutnya (kalikan pembilang dan penyebut dengan $\sqrt5 + 1$ , sebuah identitas sedang bekerja) lalu tunjukkan $\varphi = \frac{\sqrt5 + 1}{2} \approx 1.618$ .
Periksa secara eksak kedua identitas ajaib $\varphi$ :

$\varphi^2 = \varphi + 1, \qquad \frac{1}{\varphi} = \varphi - 1 .$
Penutup: jelaskan mengapa $\varphi$ bersifat irasional (soal akhir pekan tentang sifat irasional di jilid sebelumnya memberi fakta kuncinya tentang $\sqrt5$ ), lalu hitunglah rasio $\frac53$ , $\frac85$ , $\frac{13}{8}$ , $\frac{21}{13}$ dari bilangan Hemachandra–Fibonacci yang berurutan (soal akhir pekan tentang pencacahan irama di jilid sebelumnya) sampai tiga angka desimal. Apa yang tampaknya mereka kejar? (Bukti bahwa mereka benar-benar menangkapnya menjadi bagian bab tentang barisan.)

Solusi

Solusi Soal 2.1.

1. $x^2 - 10x + 25 = (x - 5)^2$ ; $9x^2 - 49 = (3x - 7)(3x + 7)$ ; $x^2 + 6x + 9 - 4 = (x + 3)^2 - 2^2 = (x + 1)(x + 5)$ .

2. $x = -1$ atau $x = -5$ ; $x = \frac73$ atau $x = -\frac73$ .

3. $(5 - t)(5 + t) = 25 - t^2 = 21$ memberi $t^2 = 4$ , $t = 2$ : kedua bilangan itu $3$ dan $7$ (jumlah $10$ , hasil kali $21$ : cocok).

4. $(7 - t)(7 + t) = 49 - t^2 = 33$ : $t = 4$ , bilangannya $3$ dan $11$ .

5. $\left(\frac s2 - t\right)\left(\frac s2 + t\right) = \left(\frac s2\right)^2 - t^2 = p$ memaksa $t^2 = \left(\frac s2\right)^2 - p$ . Penyelesaian ada tepat ketika nilai ini $\geq 0$ , yaitu ketika $p \leq \left(\frac s2\right)^2$ — hasil kali dua bilangan yang jumlahnya tertentu tidak pernah melampaui kuadrat setengah jumlahnya (soal pagar Ratu Dido di jilid sebelumnya sudah tahu).

6. $(x - a)(x - b) = x^2 - (a + b)x + ab$ : jadi persamaan $x^2 - sx + p = 0$ berkata persis “ $x$ adalah salah satu dari dua bilangan yang berjumlah $s$ dan berhasil kali $p$ ”.

7. $(x-5)^2 - 4 = x^2 - 10x + 25 - 4 = x^2 - 10x + 21$ . Selisih dua kuadrat: $(x - 5 - 2)(x - 5 + 2) = (x - 7)(x - 3) = 0$ : penyelesaiannya $3$ dan $7$ — bilangan sang juru tulis pada pertanyaan 3.

8. $x^2 + 6x - 7 = (x + 3)^2 - 16 = 0$ memberi $(x + 3)^2 = 16$ , $x + 3 = \pm 4$ : $x = 1$ atau $x = -7$ .

9. $x^2 + 4x + 5 = (x + 2)^2 + 1 \geq 1 > 0$ untuk setiap $x$ : tidak ada penyelesaian real. Dalam bentuk $(x + h)^2 + k$ : penyelesaian ada tepat ketika $k \leq 0$ (lalu $(x+h)^2 = -k$ mempunyai dua akar $-h \pm \sqrt{-k}$ ); ketika $k > 0$ bentuk itu tetap positif.

10. Persegi bersisi $x$ (luas $x^2$ ) dengan dua persegi panjang $3 \times x$ (seluruhnya $6x$ ) membentuk huruf L berluas $x^2 + 6x = 7$ ; pojok $3 \times 3$ yang hilang (luas $9$ ) melengkapkan sebuah persegi besar bersisi $x + 3$ . Menambahkan $9$ pada kedua ruas: $(x + 3)^2 = 16$ , jadi $x + 3 = 4$ (panjang selalu positif) dan $x = 1$ . Aljabar dan gambarnya adalah satu tindakan yang sama.

11. $(x-3)(x+2)$ : negatif di antara kedua akarnya. Penyelesaian $< 0$ : $x \in \intoo{-2}{3}$ .

12. $x^2 - 10x + 21 \leq 0$ , yaitu $(x - 3)(x - 7) \leq 0$ : di antara kedua akarnya, ujungnya termasuk: $x \in \intcc{3}{7}$ .

13. Nol di $x = 1$ , terlarang di $x = -2$ ; pecahan itu positif di luar kedua akarnya: $x \in \intoo{-\infty}{-2} \cup \intco{1}{+\infty}$ .

14. $25 - (x - 5)^2 = 25 - x^2 + 10x - 25 = x(10 - x)$ : identitasnya terbukti. Karena $(x-5)^2 \geq 0$ selalu, $A(x) \leq 25$ , dengan kesamaan tepat ketika $x = 5$ : kandang persegi $5 \times 5$ , luas maksimum $25$ m $^2$ — tabel di jilid sebelumnya, kini menjadi bukti dua baris.

15. Untuk $x > 0$ , kalikan pernyataannya dengan $x$ : $x^2 + 1 \geq 2x$ , yaitu $x^2 - 2x + 1 = (x - 1)^2 \geq 0$ — benar, dengan kesamaan hanya di $x = 1$ . Membaginya kembali dengan $x > 0$ mempertahankan semuanya (Proposisi 2.13).

16. Perkalian silang pada $\frac1x = \frac{x}{1 - x}$ (semua panjang positif): $x^2 = 1 - x$ , yaitu $x^2 + x - 1 = 0$ .

17. $x^2 + x - 1 = \left(x + \frac12\right)^2 - \frac54 = 0$ memberi $x + \frac12 = \pm\frac{\sqrt5}{2}$ . Akar positifnya: $x = \frac{\sqrt5 - 1}{2} \approx 0.618$ .

18. $\varphi = \frac{2}{\sqrt5 - 1} = \frac{2(\sqrt5 + 1)}{(\sqrt5 - 1)(\sqrt5 + 1)} = \frac{2(\sqrt5 + 1)}{5 - 1} = \frac{\sqrt5 + 1}{2} \approx 1.618$ .

19. $\varphi^2 = \frac{(\sqrt5 + 1)^2}{4} = \frac{6 + 2\sqrt5}{4} = \frac{3 + \sqrt5}{2}$ , sedangkan $\varphi + 1 = \frac{\sqrt5 + 3}{2}$ : keduanya sama. Lalu $\varphi - 1 = \frac{\sqrt5 - 1}{2} = x = \frac1\varphi$ (memang begitulah $\varphi$ didefinisikan). Rasio emas adalah bilangan yang kuadratnya bertambah satu dan kebalikannya berkurang satu.

20. $\sqrt5$ bersifat irasional (soal akhir pekan tentang sifat irasional di jilid sebelumnya: $5$ bukan kuadrat sempurna), dan menambah $1$ lalu membagi dua mempertahankan sifat irasional itu (operasi rasional, Soal 1.1). Rasionya: $\frac53 \approx 1.667$ , $\frac85 = 1.600$ , $\frac{13}{8} = 1.625$ , $\frac{21}{13} \approx 1.615$ : berganti-ganti di atas dan di bawah, sambil mengerucut ke $\varphi = 1.618\ldots$ — bilangan pencacah irama pada soal akhir pekan tentang pencacahan irama di jilid sebelumnya diam-diam mengejar potongan emas; bab tentang barisan akan menangkapnya beraksi.

Istilah yang didefinisikan dalam bab ini

Lihat semua 395 istilah di glosarium