Matematika Sekolah Menengah Atas · Grades 10–12

17Statistika Deskriptif

Statistika memampatkan sebuah daftar bilangan menjadi beberapa ringkasan yang bermakna: di mana datanya berada (rata-rata, median), dan seberapa lebar sebarannya (kuartil, ragam, simpangan baku). Bab ini mengerjakan semuanya pada satu contoh yang dipakai terus. Ringkasan yang sama muncul kembali untuk peubah acak pada Bab 18, dan hukum peluangnya pada Bab 34.

Di sepanjang bab ini, data yang kita pakai adalah nilai (dari $20$ ) sebuah kelas berisi $12$ siswa:

8,\ 9,\ 10,\ 10,\ 11,\ 12,\ 12,\ 12,\ 13,\ 14,\ 16,\ 17 .

17.1 Rata-rata dan median

Definisi 17.1 (Rata-rata)

Rata-rata nilai $x_1, x_2, \dots, x_n$ adalah

\bar x = \frac{x_1 + x_2 + \dots + x_n}{n}.

Jika nilai $x_i$ muncul dengan frekuensi $n_i$ (dengan $n_1 + \dots + n_k = n$ ), maka $\bar x = \frac{n_1 x_1 + \dots + n_k x_k}{n}$ .

Definisi 17.2 (Median)

Sebuah median kumpulan data terurut adalah nilai yang membelahnya menjadi dua: paling sedikit separuh nilainya $\leq$ median, dan paling sedikit separuhnya $\geq$ median. Dalam praktiknya, urutkan $n$ nilai itu; jika $n$ ganjil, mediannya adalah nilai di tengah; jika $n$ genap, ambil titik tengah dua nilai di tengah.

Contoh 17.3

Untuk data yang kita pakai, jumlahnya $144$ , sehingga $\bar x = \frac{144}{12} = 12$ . Kedua nilai di tengahnya (yang ke- $6$ dan ke- $7$ pada daftar terurut) sama-sama $12$ , sehingga mediannya juga $12$ . Rata-rata dan median tidak harus berimpit: median mengabaikan seberapa jauh nilai ekstremnya, rata-rata tidak. Mengganti nilai tertinggi $17$ dengan $20$ menggeser rata-ratanya menjadi $12.25$ tetapi meninggalkan mediannya di $12$ .

17.2 Kuartil

Definisi 17.4 (Kuartil, jangkauan antarkuartil)

Kuartil pertama $Q_1$ adalah nilai terkecil yang membuat paling sedikit seperempat datanya $\leq Q_1$ ; kuartil ketiga $Q_3$ adalah nilai terkecil yang membuat paling sedikit tiga perempat datanya $\leq Q_3$ . Jangkauan antarkuartil adalah $Q_3 - Q_1$ : yaitu lebar paruh tengah datanya.

Contoh 17.5

$n = 12$ : seperempatnya $3$ , sehingga $Q_1$ adalah nilai terurut ke- $3$ : $Q_1 = 10$ . Tiga perempatnya $9$ , sehingga $Q_3$ adalah nilai ke- $9$ : $Q_3 = 13$ . Jangkauan antarkuartilnya $3$ : jadi paruh tengah kelas itu berada dalam rentang $3$ angka.

Data yang kita pakai sebagai diagram titik, rata-ratanya (merah), dan ringkasan lima angka di atasnya (jingga): minimum, Q_1, median, Q_3, maksimum. Kotaknya memuat paruh tengah datanya. — Data yang kita pakai sebagai diagram titik, rata-ratanya (merah), dan ringkasan lima angka di atasnya (jingga): minimum, $Q_1$ , median, $Q_3$ , maksimum. Kotaknya memuat paruh tengah datanya.

17.3 Ragam dan simpangan baku

Definisi 17.6 (Ragam, simpangan baku)

Ragam sebuah kumpulan data adalah rata-rata kuadrat simpangan terhadap rata-ratanya:

V = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar x)^2,

dan simpangan baku adalah $\sigma = \sqrt{V}$ , yang dinyatakan dalam satuan yang sama dengan datanya.

Proposisi 17.7 (Rumus jalan pintas)

Ragamnya adalah rata-rata kuadrat dikurangi kuadrat rata-rata:

V = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i^2 \;-\; \bar x^{\,2}.

Bukti. Jabarkan setiap kuadrat simpangannya: $(x_i - \bar x)^2 = x_i^2 - 2\bar x\, x_i + \bar x^2$ . Setelah dijumlahkan lalu dibagi $n$ :

V = \frac1n \sum x_i^2 - 2\bar x \cdot \underbrace{\frac1n \sum x_i}_{=\ \bar x} + \frac1n \cdot n\bar x^2 = \frac1n\sum x_i^2 - 2\bar x^2 + \bar x^2 = \frac1n\sum x_i^2 - \bar x^2 .

Identitas yang sama, untuk peubah acak, adalah Proposisi 18.13. ∎

Contoh 17.8

Untuk data yang kita pakai, simpangan terhadap $\bar x = 12$ adalah $-4$ , $-3$ , $-2$ , $-2$ , $-1$ , $0$ , $0$ , $0$ , $1$ , $2$ , $4$ , $5$ ; kuadratnya berjumlah

16 + 9 + 4 + 4 + 1 + 0 + 0 + 0 + 1 + 4 + 16 + 25 = 80 .

Karena itu

V = \frac{80}{12} = \frac{20}{3} \approx 6.67, \qquad \sigma = \sqrt{20/3} \approx 2.6 \text{ angka}.

Secara kasar, sebuah nilai yang khas berjarak sekitar $2.6$ angka dari rata-ratanya.

Proposisi 17.9 (Pergantian satuan)

Jika setiap nilainya diubah menjadi $y_i = a x_i + b$ , maka

\bar y = a \bar x + b, \qquad V_y = a^2\, V_x, \qquad \sigma_y = \abs{a}\,\sigma_x .

Bukti. $\bar y = \frac1n \sum (a x_i + b) = a\left(\frac1n\sum x_i\right) + \frac1n \cdot nb = a\bar x + b$ . Lalu $y_i - \bar y = a(x_i - \bar x)$ : setiap simpangannya terskalakan dengan $a$ (pergeseran $b$ saling menghapus), sehingga setiap kuadrat simpangannya terskalakan dengan $a^2$ , dan begitu pula rata-ratanya. Menarik akarnya memberi $\sigma_y = \abs a\,\sigma_x$ . ∎

Contoh 17.10

Suhu yang tercatat dalam derajat Celsius dengan rata-rata $20$ dan simpangan baku $3$ dikonversikan ke Fahrenheit lewat $F = 1.8\,C + 32$ : rata-ratanya menjadi $1.8 \times 20 + 32 = 68$ , simpangan bakunya $1.8 \times 3 = 5.4$ . Menggeser sebuah kumpulan data tidak mengubah sebarannya; menskalakannya ikut menskalakan sebarannya.

Metode 17.11 (Meringkas dan membandingkan kumpulan data)

Untuk membandingkan dua kumpulan data, sandingkan: rata-rata (atau median) untuk kedudukannya, simpangan baku (atau jangkauan antarkuartil) untuk sebarannya. Pasangan (median, jangkauan antarkuartil) bersifat kekar terhadap nilai ekstrem; pasangan (rata-rata, simpangan baku) memakai setiap nilainya dan memasok teori peluang.

Contoh 17.12

Dua pemanah masing-masing melepas $10$ anak panah; nilainya rata-rata $8.5$ untuk keduanya, tetapi simpangan bakunya $0.5$ dan $2.1$ . Tingkatnya sama secara rata-rata — tetapi pemanah pertama jauh lebih ajek.

17.4 Latihan

Latihan 17.1 ★

Hitunglah rata-rata, median, kuartil dan jangkauan antarkuartil kumpulan data

5,\ 7,\ 7,\ 8,\ 9,\ 10,\ 11,\ 14 .

Solusi

Solusi Latihan 17.1.

$n = 8$ , jumlahnya $71$ : rata-ratanya $\bar x = \frac{71}{8} = 8.875$ . Median: titik tengah nilai ke- $4$ dan ke- $5$ , yaitu $\frac{8 + 9}{2} = 8.5$ . Kuartil: seperempat dari $8$ adalah $2$ , sehingga $Q_1$ adalah nilai ke- $2$ , yaitu $7$ ; tiga perempatnya $6$ , sehingga $Q_3$ adalah nilai ke- $6$ , yaitu $10$ . Jangkauan antarkuartilnya: $10 - 7 = 3$ .

Latihan 17.2 ★

Hitunglah ragam dan simpangan baku kumpulan data $2,\ 4,\ 4,\ 4,\ 5,\ 5,\ 7,\ 9$ (rata-ratanya dahulu, lalu rumus jalan pintas Proposisi 17.7).

Solusi

Solusi Latihan 17.2.

Jumlahnya $40$ , sehingga $\bar x = 5$ . Jumlah kuadratnya: $4 + 16 + 16 + 16 + 25 + 25 + 49 + 81 = 232$ . Menurut rumus jalan pintasnya,

V = \frac{232}{8} - 5^2 = 29 - 25 = 4, \qquad \sigma = 2 .

Latihan 17.3 ★

Sebuah dadu dilempar $50$ kali; hasilnya diringkas lewat frekuensi:

hasil	1	2	3	4	5	6
frekuensi	6	9	8	10	9	8

Hitunglah rata-rata hasilnya dan mediannya.

Solusi

Solusi Latihan 17.3.

Rata-ratanya:

\bar x = \frac{1 \times 6 + 2 \times 9 + 3 \times 8 + 4 \times 10 + 5 \times 9 + 6 \times 8}{50} = \frac{181}{50} = 3.62 .

Median: frekuensi kumulatifnya adalah $6, 15, 23, 33, \dots$ , sehingga hasil terurut ke- $25$ dan ke- $26$ sama-sama $4$ : jadi mediannya $4$ .

Latihan 17.4 ★★

Sebuah kelas berisi $15$ siswa mempunyai rata-rata nilai $11.2$ . Siswa ke- $16$ bergabung dan memperoleh $18$ . Berapa rata-rata kelas yang baru?

Solusi

Solusi Latihan 17.4.

Jumlah $15$ nilai itu adalah $15 \times 11.2 = 168$ ; dengan siswa barunya, $\frac{168 + 18}{16} = \frac{186}{16} = 11.625$ .

Latihan 17.5 ★★

Rata-rata kumpulan data $6, 8, x, 12, 14$ adalah $10$ . Carilah $x$ , lalu hitunglah simpangan baku data lengkapnya.

Solusi

Solusi Latihan 17.5.

$\frac{6 + 8 + x + 12 + 14}{5} = 10$ memberi $40 + x = 50$ , jadi $x = 10$ . Simpangan $6, 8, 10, 12, 14$ terhadap rata-rata $10$ adalah $-4, -2, 0, 2, 4$ , dengan jumlah kuadrat $40$ : $V = \frac{40}{5} = 8$ dan $\sigma = 2\sqrt2 \approx 2.83$ .

Latihan 17.6 ★

Nilai dengan rata-rata $12.4$ dan simpangan baku $2.5$ diskalakan ulang lewat $y = \frac{x}{2} + 4$ . Berikan rata-rata dan simpangan baku yang baru.

Solusi

Solusi Latihan 17.6.

Menurut Proposisi 17.9 dengan $a = \frac12$ , $b = 4$ : rata-rata barunya $\frac{12.4}{2} + 4 = 10.2$ ; simpangan baku barunya $\frac{2.5}{2} = 1.25$ .

Latihan 17.7 ★★

Kelompok A ( $20$ nilai) berrata-rata $10$ ; kelompok B ( $30$ nilai) berrata-rata $15$ . Hitunglah rata-rata $50$ nilai itu setelah digabungkan. Apakah nilainya titik tengah $12.5$ ? Mengapa bukan?

Solusi

Solusi Latihan 17.7.

Rata-rata gabungannya adalah rata-rata berbobot

\frac{20 \times 10 + 30 \times 15}{50} = \frac{650}{50} = 13,

dan bukan $12.5$ : kelompok B menyumbang lebih banyak nilai, sehingga menarik rata-rata gabungannya ke arah rata-ratanya sendiri.

Latihan 17.8 ★★

Dua jalur produksi mengisi kantong gula $1$ kg. Sampelnya memberi: jalur 1: rata-rata $1.002$ kg, simpangan baku $0.006$ kg; jalur 2: rata-rata $1.001$ kg, simpangan baku $0.019$ kg. Jalur mana yang harus ditera ulang lebih dahulu, dan mengapa?

Solusi

Solusi Latihan 17.8.

Kedua jalurnya hampir tepat sasaran secara rata-rata ( $1.002$ dan $1.001$ kg), tetapi simpangan baku jalur 2 tiga kali lebih besar: kantongnya jauh lebih beragam, sehingga jauh lebih sering menghasilkan kantong yang kurang atau berlebih isinya. Jalur 2 harus ditangani lebih dahulu — yang perlu dibetulkan adalah keajekannya, bukan hanya rata-ratanya.

Latihan 17.9 ★★

Sebuah kumpulan data berisi $n = 10$ nilai mempunyai $\sum x_i = 70$ dan $\sum x_i^2 = 540$ . Hitunglah rata-rata, ragam dan simpangan bakunya.

Solusi

Solusi Latihan 17.9.

$\bar x = \frac{70}{10} = 7$ ; $V = \frac{540}{10} - 7^2 = 54 - 49 = 5$ ; $\sigma = \sqrt5 \approx 2.24$ .

Latihan 17.10 ★★★

Kumpulan data $1,\ 2,\ 2,\ 3,\ 3,\ 3,\ 4,\ 4,\ 5,\ 23$ memuat sebuah pencilan.

Hitunglah rata-rata dan mediannya dengan dan tanpa nilai $23$ .
Hitunglah jangkauan antarkuartilnya dengan dan tanpa $23$ .
Ringkasan mana yang kekar terhadap pencilannya? Tutup dengan sebuah anjuran.

Solusi

Solusi Latihan 17.10.

1. Dengan $23$ : jumlahnya $50$ , rata-ratanya $5$ ; mediannya adalah titik tengah nilai ke- $5$ dan ke- $6$ $= 3$ . Tanpa $23$ : jumlahnya $27$ , rata-ratanya $3$ ; mediannya (nilai ke-5 dari 9 nilai) $= 3$ .

2. Dengan $23$ ( $n = 10$ ): $Q_1$ adalah nilai ke- $3$ ( $2$ ), $Q_3$ nilai ke- $8$ ( $4$ ): jangkauan antarkuartilnya $2$ . Tanpa nilai itu ( $n = 9$ ): $Q_1$ adalah nilai ke- $3$ ( $2$ ), $Q_3$ nilai ke- $7$ ( $4$ ): tetap $2$ .

3. Satu pencilan itu menyeret rata-ratanya dari $3$ naik ke $5$ tetapi membiarkan median dan jangkauan antarkuartilnya tidak berubah: keduanya bersifat kekar. Bila sebuah kumpulan data mungkin memuat nilai yang menyimpang, laporkanlah median dan jangkauan antarkuartilnya, bukan rata-rata dan simpangan bakunya.

17.5 Soal: Skor-z, sebuah penggaris semesta

Soal 17.1

Soal akhir pekan — simpangan baku membandingkan apel dengan jeruk, ketaksamaan Chebyshev mengubah $\sigma$ menjadi jaminan, dan rata-rata memenangkan medalinya sendiri

Apakah $15/20$ pada ujian yang sukar lebih baik daripada $13/20$ pada ujian yang mudah? Apakah $23$ dalam daftar bilangan kecil sebuah kebetulan atau sebuah pencilan? Bilangan mentah tidak dapat mengatakannya — tetapi setelah dibagi simpangan baku yang tepat, semuanya berbicara dalam satu bahasa, yaitu skor-z. Soal ini menguasai mesin ragamnya (Definisi 17.6, Proposisi 17.7), membangun penggaris semestanya, lalu membuktikan ketaksamaan mengagumkan yang mengubah $\sigma$ dari sebuah bilangan pemerian menjadi sebuah jaminan.

Bagian I — Mekanika ragam.

Untuk kumpulan data $4, 8, 6, 5, 2$ : hitunglah rata-ratanya, lalu ragamnya langsung dari definisinya, lalu $\sigma$ .
Hitunglah ulang ragamnya dengan rumus jalan pintas (Proposisi 17.7) — rata-rata kuadrat dikurangi kuadrat rata-rata — lalu periksa kecocokannya.
Dengan frekuensi: nilai $8$ , $10$ , $14$ diperoleh oleh $3$ , $5$ , $2$ siswa. Hitunglah rata-rata, ragam dan $\sigma$ -nya (dua angka desimal).
Suhu mempunyai rata-rata $20$ dan $\sigma = 3$ (derajat Celsius). Berikan rata-rata dan $\sigma$ -nya dalam Fahrenheit ( $F = 1.8\,C + 32$ ; Proposisi 17.9).
Buktikan kedua aturan yang baru saja dipakai: menambahkan konstanta $b$ pada setiap nilainya menggeser rata-ratanya sebesar $b$ dan membiarkan $\sigma$ tidak berubah; mengalikan dengan $a$ mengalikan rata-ratanya dengan $a$ dan $\sigma$ dengan $\abs a$ .

Bagian II — Penggaris semesta. Yang disebut skor-z sebuah nilai $x$ pada kumpulan data yang berrata-rata $\bar x$ dan bersimpangan baku $\sigma$ adalah $z = \dfrac{x - \bar x}{\sigma}$ : yaitu banyaknya simpangan baku yang memisahkan $x$ dari rata-ratanya.

Ujian A berrata-rata $12$ dan $\sigma = 2$ ; ujian B berrata-rata $8$ dan $\sigma = 4$ . Alice memperoleh $15$ pada A, Bob $13$ pada B. Hitunglah kedua skor-z-nya: penampilan siapa yang berdiri lebih jauh di atas kerumunannya?
Hitunglah kelima skor-z kumpulan data pada pertanyaan 1, lalu periksalah bahwa semuanya berrata-rata $0$ dan bersimpangan baku $1$ . Jelaskan dari pertanyaan 5 mengapa pembakuan selalu menghasilkan rata-rata $0$ dan $\sigma = 1$ .
Sebuah tes bakat berrata-rata $100$ dan $\sigma = 15$ . Nilai mentah berapa yang berskor $z = 2$ ? Berapa skor-z nilai $76$ ?
Seorang dokter anak mencatat berat badan bayi sebagai “ $z = -2.5$ ”. Katakan apa artinya, dan mengapa pertumbuhan dipantau lewat skor-z, bukan lewat kilogram, seiring anak itu bertambah usia.
Pencilan pada Latihan 17.10 (kumpulan data $1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 5, 23$ ): hitunglah rata-ratanya, $\sigma$ , dan skor-z nilai $23$ . Ambang peringatan yang klasik adalah $\abs z \geq 3$ : bagaimana putusannya?
Hitunglah ulang $\sigma$ tanpa nilai $23$ , lalu skor-z yang akan dipunyai $23$ terhadap rata-rata dan $\sigma$ data yang bersih itu. Apa yang telah dilakukan pencilan itu terhadap penggaris yang justru dimaksudkan untuk mengukurnya, dan apa yang disarankan Latihan 17.10 sebagai penangkalnya?

Bagian III — Jaminan Chebyshev.

Buktikan ketaksamaan Bienaymé–Chebyshev untuk sebuah kumpulan data: jika sebagian $p$ nilainya memenuhi $\abs{x - \bar x} \geq k\sigma$ , maka, dengan hanya menyimpan suku-suku itu pada jumlah ragamnya,

$\sigma^2 \geq p \cdot (k\sigma)^2, \qquad\text{sehingga}\qquad p \leq \frac{1}{k^2} .$
Apa yang dijamin ketaksamaan itu tentang bagian sebarang kumpulan data yang berjarak lebih dari $2\sigma$ dari rata-ratanya? Lebih dari $3\sigma$ ? Periksalah pernyataan $2\sigma$ itu pada kumpulan data pertanyaan 1.
Sebuah pabrik menghasilkan baut dengan rata-rata $50$ mm dan $\sigma = 0.1$ mm. Apa yang dijamin Chebyshev tentang bagian baut yang berada di luar $\intcc{49.7}{50.3}$ ? (Produksi yang sesungguhnya jauh lebih baik — kurva lonceng tahun berikutnya mengubah $\frac19$ yang berhati-hati ini menjadi sepersekian persen.)
Dua dana sama-sama memberi imbal hasil $5\,\%$ per tahun secara rata-rata, dengan $\sigma = 2\,\%$ untuk dana A dan $\sigma = 12\,\%$ untuk dana B. Untuk masing-masing dana, apa kata Chebyshev tentang bagian tahun yang imbal hasilnya di bawah $-19\,\%$ ? Apa nama keuangan bagi $\sigma$ ?

Bagian IV — Medali rata-rata, dan sebuah peringatan.

Misalkan $f(c)$ rata-rata kuadrat simpangan $(x_i - c)^2$ terhadap pusat sebarang $c$ . Buktikan identitas

$f(c) = \sigma^2 + (\bar x - c)^2 ,$

lalu simpulkan: rata-rata adalah satu-satunya peminimum rata-rata kuadrat simpangan — itulah medalinya, sepadan dengan peminimuman simpangan mutlak oleh median pada Soal 8.1.
Periksalah identitas itu pada kumpulan data pertanyaan 1 dengan $c = 6$ : hitunglah $f(6)$ secara langsung dan lewat rumusnya.
Ringkasan sama, data berbeda: periksalah bahwa $P = \{3, 5, 7, 9, 11\}$ dan $Q = \{1, 7, 7, 7, 13\}$ berbagi rata-rata yang sama tetapi tidak berbagi ragam yang sama; lalu susunlah kumpulan data berbentuk $\{7 - a, 7, 7, 7, 7 + a\}$ dengan rata-rata dan ragam yang persis sama dengan $P$ — namun berbentuk sama sekali lain.
Buktikan bahwa $\sigma = 0$ memaksa semua nilainya sama. (Setiap suku pada jumlah kuadrat yang bernilai nol pastilah apa?)
Penutup — tangga sang ahli statistik, satu baris untuk setiap anak tangganya: ukuran pemusatan (rata-rata, median), ukuran penyebaran ( $\sigma$ , jangkauan antarkuartil), penggaris semesta ( $z$ ), jaminannya (Chebyshev), dan peringatan pada pertanyaan 18: ringkasan memampatkan, dan pemampatan selalu kehilangan — sedangkan kurva lonceng tahun berikutnya menanti untuk mengubah skor-z menjadi peluang yang eksak.

Solusi

Solusi Soal 17.1.

1. Rata-ratanya $\bar x = \frac{25}{5} = 5$ . Kuadrat simpangannya: $1, 9, 1, 0, 9$ : ragamnya $\frac{20}{5} = 4$ , sehingga $\sigma = 2$ .

2. Rata-rata kuadratnya: $\frac{16 + 64 + 36 + 25 + 4}{5} = 29$ ; dikurangi $\bar x^2 = 25$ : ragamnya $4$ . Jawaban yang sama, separuh pekerjaannya.

3. Rata-ratanya $= \frac{3 \times 8 + 5 \times 10 + 2 \times 14}{10} = 10.2$ ; ragamnya $= \frac{3 \times 64 + 5 \times 100 + 2 \times 196}{10} - 10.2^2 = 108.4 - 104.04 = 4.36$ ; $\sigma \approx 2.09$ .

4. Rata-ratanya: $1.8 \times 20 + 32 = 68\,^\circ$ F; $\sigma$ -nya: $1.8 \times 3 = 5.4\,^\circ$ F — pergeseran $+32$ tidak menyebarkan apa pun.

5. Menambahkan $b$ : setiap simpangannya $x_i + b - (\bar x + b) = x_i - \bar x$ tidak berubah, sehingga ragamnya pun tidak. Mengalikan dengan $a$ : simpangannya dikalikan $a$ , kuadratnya dikalikan $a^2$ , ragamnya dikalikan $a^2$ , dan $\sigma$ dikalikan $\sqrt{a^2} = \abs a$ .

6. $z_A = \frac{15 - 12}{2} = 1.5$ ; $z_B = \frac{13 - 8}{4} = 1.25$ . Alice berdiri lebih jauh di atas kerumunannya: nilai $15$ pada ujian yang lebih sukar mengalahkan $13$ pada ujian yang lebih mudah.

7. Skor- $z$ -nya: $-0.5,\ 1.5,\ 0.5,\ 0,\ -1.5$ : berrata-rata $0$ , bersimpangan baku $1$ . Secara umum, pembakuan mengurangkan $\bar x$ (sehingga rata-ratanya $0$ , $\sigma$ tak tersentuh) lalu membaginya dengan $\sigma$ (sehingga $\sigma$ yang baru menjadi $1$ ): jadi pertanyaan 5 dua kali.

8. Untuk $z = 2$ : $100 + 2 \times 15 = 130$ . Lalu $z(76) = \frac{76 - 100}{15} = -1.6$ .

9. Bayi itu berada $2.5$ simpangan baku di bawah rata-rata berat bayi seusianya — ringan yang mengkhawatirkan bagi kelompoknya. Kilogram mentah tidak dapat dibandingkan antarusia (semua bayi bertambah berat); skor-z mengukur setiap anak terhadap kelompok usianya sendiri, satu penggaris untuk semua usia.

10. Rata-ratanya $5$ ; rata-rata kuadratnya $\frac{622}{10} = 62.2$ , ragamnya $37.2$ , $\sigma \approx 6.10$ ; $z(23) = \frac{18}{6.10} \approx 2.95$ : tepat di bawah ambang peringatannya — ujinya nyaris tidak berkedip.

11. Tanpa $23$ : rata-ratanya $3$ , ragamnya $\frac{93}{9} - 9 \approx 1.33$ , $\sigma \approx 1.15$ ; terhadap penggaris yang bersih itu, $23$ memperoleh skor $z \approx \frac{20}{1.15} \approx 17$ : sebuah raksasa. Pencilan itu menggelembungkan rata-rata sekaligus $\sigma$ , sehingga menyamarkan dirinya sendiri — dan itulah sebabnya Latihan 17.10 menganjurkan ringkasan yang kekar (median, jangkauan antarkuartil) ketika pencemaran data mengancam.

12. Pada jumlah ragamnya, $\sigma^2 = \frac1N \sum (x_i - \bar x)^2$ , simpanlah hanya suku dengan $\abs{x_i - \bar x} \geq k\sigma$ : ada $pN$ suku semacam itu, masing-masing paling sedikit $(k\sigma)^2$ , sehingga $\sigma^2 \geq \frac{1}{N} \cdot pN \cdot k^2\sigma^2 = p\,k^2\sigma^2$ : bagilah dengan $k^2 \sigma^2$ (sebarannya taknol): $p \leq \frac{1}{k^2}$ .

13. Di luar $2\sigma$ : paling banyak $\frac14 = 25\,\%$ dari kumpulan data apa pun; di luar $3\sigma$ : paling banyak $\frac19 \approx 11\,\%$ . Data pertanyaan 1: berjarak lebih dari $2\sigma = 4$ dari rata-rata $5$ berarti $\leq 1$ atau $\geq 9$ : tidak satu pun dari kelima nilainya — $0\,\% \leq 25\,\%$ , seperti dijanjikan.

14. Berada di luar $\intcc{49.7}{50.3}$ berarti melampaui $3\sigma$ : paling banyak $\frac19$ dari produksinya, apa pun bentuk sebarannya — Chebyshev tidak menuntut apa-apa selain sebuah rata-rata dan sebuah $\sigma$ . Produksi yang berbentuk lonceng memusat jauh lebih baik (sekitar $0.3\,\%$ di luar $3\sigma$ ): itulah hukum normal tahun berikutnya.

15. Angka $-19\,\%$ terletak $24$ satuan di bawah rata-rata $5$ . Dana B: $24 = 2\sigma_B$ : Chebyshev mengizinkan sampai $\frac14$ tahun seburuk itu. Dana A: $24 = 12\sigma_A$ : paling banyak $\frac{1}{144}$ . Rata-ratanya sama, bahayanya tak sebanding — dan $\sigma$ itulah yang disebut dunia keuangan sebagai risiko (atau kegolakan).

16. Jabarkan di sekitar $\bar x$ : $(x_i - c)^2 = \left((x_i - \bar x) + (\bar x - c)\right)^2 = (x_i - \bar x)^2 + 2(\bar x - c)(x_i - \bar x) + (\bar x - c)^2$ . Setelah dirata-ratakan: suku tengahnya mati (simpangan terhadap rata-rata berjumlah nol), sehingga tersisa $f(c) = \sigma^2 + (\bar x - c)^2$ — yang minimum tepat di $c = \bar x$ , dengan minimum $\sigma^2$ . Jadi rata-rata adalah pusat kuadrat terkecil, sebagaimana median adalah pusat nilai mutlak terkecil (Soal 8.1).

17. Secara langsung: simpangan terhadap $6$ adalah $-2, 2, 0, -1, -4$ , kuadratnya $4, 4, 0, 1, 16$ : $f(6) = \frac{25}{5} = 5$ . Lewat rumusnya: $\sigma^2 + (5 - 6)^2 = 4 + 1 = 5$ . Cocok.

18. Keduanya berrata-rata $7$ ; ragamnya: $P$ : $\frac{16 + 4 + 0 + 4 + 16}{5} = 8$ ; $Q$ : $\frac{36 + 0 + 0 + 0 + 36}{5} = 14.4$ : jadi sebaran yang berbeda di balik satu rata-rata. Untuk $\{7 - a, 7, 7, 7, 7 + a\}$ : ragam $\frac{2a^2}{5} = 8$ memberi $a = \sqrt{20} \approx 4.47$ : jadi kumpulan data $\{2.53, 7, 7, 7, 11.47\}$ mengusung rata-rata dan ragam $P$ yang persis sama, tetapi dengan profil yang sama sekali berbeda — ringkasan memampatkan, dan pemampatan selalu kehilangan.

19. $\sigma^2 = 0$ berarti jumlah kuadrat $(x_i - \bar x)^2$ lenyap; kuadratnya $\geq 0$ , sehingga jumlah yang bernilai nol memaksa setiap sukunya nol: $x_i = \bar x$ untuk semua $i$ — jadi semua nilainya sama.

20. Ukuran pemusatan mengatakan di mana datanya tinggal; ukuran penyebaran mengatakan seberapa longgar; skor-z membentangkan satu penggaris melintasi semua kumpulan data, ujian, usia dan mata uang; Chebyshev mengubah $\sigma$ menjadi jaminan tanpa syarat; dan pertanyaan 18 menjaga kejujuran kita — tidak ada segenggam bilangan yang pernah memuat seluruh kisahnya. Tahun berikutnya kurva lonceng mempertajam penggaris itu menjadi peluang yang eksak.

Istilah yang didefinisikan dalam bab ini

Lihat semua 395 istilah di glosarium