Matematika Sekolah Menengah Atas · Grades 10–12

26Persamaan Diferensial

Persamaan diferensial mengaitkan sebuah fungsi dengan turunannya. Fisika, kimia, biologi dan ekonomi menyatakan hukumnya dalam bentuk ini: laju pendinginan sebuah benda, peluruhan inti radioaktif, pertumbuhan sebuah populasi, semuanya pernyataan tentang $y'$ . Bab ini menyelesaikan secara tuntas persamaan linear tingkat satu dengan koefisien tetap.

26.1 Persamaan $y' = ay$

Definisi 26.1 (Persamaan diferensial)

Suatu persamaan diferensial adalah persamaan yang bilangan tak diketahuinya berupa fungsi $y$ , dan yang memuat $y$ beserta turunannya. Suatu penyelesaian pada selang $I$ adalah fungsi yang dapat diturunkan dan memenuhi persamaan itu di setiap titik $I$ .

Teorema 26.2 (Penyelesaian $y' = ay$ )

Misalkan $a \in \R$ . Penyelesaian pada $\R$ dari persamaan $y' = ay$ tepat berupa fungsi

y(x) = C\,\eu^{ax}, \qquad C \in \R .

Untuk setiap pasangan $(x_0, y_0)$ ada tepat satu penyelesaian dengan $y(x_0) = y_0$ .

Bukti. Setiap $y = C\eu^{ax}$ memenuhi $y' = Ca\,\eu^{ax} = ay$ . Sebaliknya, misalkan $y$ sebarang penyelesaian dan ambil $z(x) = y(x)\,\eu^{-ax}$ . Maka

z'(x) = y'(x)\,\eu^{-ax} - a\,y(x)\,\eu^{-ax} = \bigl(y'(x) - a y(x)\bigr)\eu^{-ax} = 0,

sehingga $z$ bernilai tetap, sebutlah $C$ , dan $y(x) = C\eu^{ax}$ . Syarat awal $y(x_0) = y_0$ memaksa $C = y_0 \eu^{-a x_0}$ secara tunggal. ∎

Catatan 26.3

Fungsi eksponen dengan demikian dicirikan oleh persamaan diferensial yang paling sederhana dari semuanya: pertumbuhan yang sebanding dengan besarnya. Itulah sebabnya ia muncul di mana-mana di alam.

Persamaan y' = y menetapkan sebuah gradien di setiap titik bidangnya (ruas kelabu). Penyelesaiannya C x — di sini C = 1 (biru), C = 0.3 (merah), C = -0.5 (jingga) — tepat berupa kurva yang mengikuti medan gradien itu. — Persamaan $y' = y$ menetapkan sebuah gradien di setiap titik bidangnya (ruas kelabu). Penyelesaiannya $C\eu^{x}$ — di sini $C = 1$ (biru), $C = 0.3$ (merah), $C = -0.5$ (jingga) — tepat berupa kurva yang mengikuti medan gradien itu.

Contoh 26.4 (Peluruhan radioaktif)

Suatu banyaknya bahan radioaktif memenuhi $N' = -\lambda N$ dengan $\lambda > 0$ , sehingga $N(t) = N_0\,\eu^{-\lambda t}$ ; lihat Contoh 23.9 untuk waktu paruhnya.

26.2 Persamaan $y' = ay + b$

Teorema 26.5 (Penyelesaian $y' = ay + b$ )

Misalkan $a \neq 0$ dan $b \in \R$ . Penyelesaian pada $\R$ dari $y' = ay + b$ tepat berupa fungsi

y(x) = C\,\eu^{ax} - \frac{b}{a}, \qquad C \in \R .

Fungsi tetap $y_p = -\frac ba$ disebut penyelesaian setimbang. Untuk setiap $(x_0, y_0)$ ada tepat satu penyelesaian dengan $y(x_0) = y_0$ ; jika $a < 0$ , setiap penyelesaian menuju kesetimbangan $-\frac ba$ ketika $x \to +\infty$ .

Bukti. Fungsi tetap $y_p = -\frac{b}{a}$ memenuhi $y_p' = 0 = a y_p + b$ . Sekarang $y$ adalah penyelesaian jika dan hanya jika

(y - y_p)' = y' = ay + b = a(y - y_p) + \underbrace{a y_p + b}_{=\,0} = a (y - y_p),

yaitu jika dan hanya jika $z = y - y_p$ memenuhi $z' = az$ . Menurut Teorema 26.2, $z = C\eu^{ax}$ , dan dari situ rumusnya, keberadaannya serta ketunggalannya. Jika $a < 0$ , maka $\eu^{ax} \to 0$ ketika $x \to +\infty$ , sehingga $y(x) \to -\frac ba$ . ∎

Metode 26.6 (Menyelesaikan $y' = ay + b$ dengan syarat awal)

Carilah penyelesaian setimbangnya $y_p = -\frac{b}{a}$ (selesaikan $y' = 0$ ).
Tulislah penyelesaian umumnya $y = C\eu^{ax} + y_p$ .
Tentukan $C$ dari syarat awalnya.
Periksalah perilaku jangka panjangnya dengan naluri fisikanya (apakah penyelesaiannya menuju kesetimbangan?).

Siasat yang sama — satu penyelesaian khusus ditambah penyelesaian umum persamaan homogennya — meluas ke $y' = ay + f(x)$ : lihat Proposisi 26.8.

Contoh 26.7 (Hukum pendinginan Newton)

Secangkir kopi bersuhu $80\,^\circ$ C berada di ruangan bersuhu $20\,^\circ$ C. Hukum Newton menyatakan bahwa suhunya $T$ memenuhi $T' = -k(T - 20)$ untuk suatu $k > 0$ , yaitu $T' = -kT + 20k$ . Kesetimbangannya $20$ , dan $T(t) = 20 + 60\,\eu^{-kt}$ : kopinya mendingin secepat eksponensial menuju suhu ruangannya.

Berapa pun suhu awalnya, semua penyelesaian T' = -k(T - 20) menuju kesetimbangan T = 20 secara eksponensial. — Berapa pun suhu awalnya, semua penyelesaian $T' = -k(T - 20)$ menuju kesetimbangan $T = 20$ secara eksponensial.

26.3 Persamaan $y' = ay + f(x)$

Proposisi 26.8 (Susunan himpunan penyelesaiannya)

Misalkan $f$ kontinu pada selang $I$ dan $y_p$ satu penyelesaian khusus persamaan

y' = ay + f(x)

pada $I$ . Maka penyelesaiannya pada $I$ tepat berupa fungsi $y = C\eu^{ax} + y_p$ , $C \in \R$ .

Bukti. Seperti pada Teorema 26.5: $y$ adalah penyelesaian jika dan hanya jika $z = y - y_p$ memenuhi $z' = (ay + f) - (ay_p + f) = az$ , jika dan hanya jika $z = C\eu^{ax}$ . ∎

Metode 26.9 (Menerka satu penyelesaian khusus)

Carilah satu penyelesaian khusus yang sebentuk dengan $f$ :

$f$ suku banyak berderajat $n$ : cobalah suku banyak berderajat $n$ ;
$f(x) = \alpha\,\eu^{kx}$ dengan $k \neq a$ : cobalah $y_p = \beta\,\eu^{kx}$ ;
$f(x) = \alpha\,\eu^{ax}$ (kasus beresonansi): cobalah $y_p = \beta x\,\eu^{ax}$ .

Substitusikan ke dalam persamaannya lalu samakan koefisiennya.

Contoh 26.10

Selesaikan $y' = 2y + 4x$ . Cobalah $y_p = \alpha x + \beta$ : $\alpha = 2(\alpha x + \beta) + 4x$ untuk semua $x$ memaksa $2\alpha + 4 = 0$ dan $\alpha = 2\beta$ , jadi $\alpha = -2$ , $\beta = -1$ . Penyelesaian umumnya: $y = C\eu^{2x} - 2x - 1$ .

26.4 Latihan

Latihan 26.1 ★

Selesaikan pada $\R$ : (a) $y' = 3y$ dengan $y(0) = 2$ ; (b) $2y' + y = 0$ dengan $y(0) = -1$ ; (c) $y' = -y + 5$ dengan $y(0) = 0$ .

Solusi

Solusi Latihan 26.1.

(a) $y = C\eu^{3x}$ ; $y(0) = 2$ memberi $y = 2\eu^{3x}$ .

(b) $y' = -\frac12 y$ , jadi $y = C\eu^{-x/2}$ ; $y(0) = -1$ memberi $y = -\eu^{-x/2}$ .

(c) Kesetimbangannya $y_p = 5$ ; $y = C\eu^{-x} + 5$ ; $y(0) = 0$ memberi $C = -5$ , jadi $y = 5\left(1 - \eu^{-x}\right)$ .

Latihan 26.2 ★

Sebuah populasi bakteri tumbuh dengan laju yang sebanding dengan besarnya, dan berlipat dua setiap $3$ jam. Tulislah persamaan diferensial yang dipenuhi populasinya $N(t)$ lalu tentukan tetapan pembandingnya.

Solusi

Solusi Latihan 26.2.

$N' = kN$ , jadi $N(t) = N_0 \eu^{kt}$ . Berlipat dua dalam $3$ jam berarti $\eu^{3k} = 2$ , yaitu

k = \frac{\ln 2}{3} \approx 0.231\ \text{jam}^{-1}.

Latihan 26.3 ★

Periksalah bahwa $y_p(x) = x\,\eu^{x}$ adalah penyelesaian $y' = y + \eu^x$ , lalu berikan semua penyelesaiannya pada $\R$ .

Solusi

Solusi Latihan 26.3.

$y_p'(x) = \eu^x + x\eu^x = y_p(x) + \eu^x$ : jadi $y_p$ satu penyelesaian khusus (inilah kasus beresonansi pada Metode 26.9). Menurut Proposisi 26.8, penyelesaiannya adalah $y = C\eu^{x} + x\eu^{x} = (C + x)\,\eu^x$ , $C \in \R$ .

Latihan 26.4 ★★

Selesaikan $y' = -2y + \eu^{x}$ dengan $y(0) = 1$ . (Petunjuk: carilah satu penyelesaian khusus berbentuk $\beta\,\eu^{x}$ .)

Solusi

Solusi Latihan 26.4.

Cobalah $y_p = \beta\eu^x$ : $\beta\eu^x = -2\beta\eu^x + \eu^x$ memberi $3\beta = 1$ , jadi $y_p = \frac13\eu^x$ . Penyelesaian umumnya $y = C\eu^{-2x} + \frac13\eu^{x}$ ; syarat $y(0) = 1$ memberi $C = \frac23$ :

y(x) = \frac{2}{3}\,\eu^{-2x} + \frac{1}{3}\,\eu^{x}.

Latihan 26.5 ★★

Karbon-14 meluruh dengan waktu paruh $5730$ tahun. Sebuah contoh arkeologis memuat $60\%$ karbon-14 milik makhluk hidup. Taksirlah umurnya.

Solusi

Solusi Latihan 26.5.

$N(t) = N_0\,\eu^{-\lambda t}$ dengan $\lambda = \frac{\ln 2}{5730}$ (Contoh 23.9). Kita selesaikan $\eu^{-\lambda t} = 0.6$ :

t = \frac{\ln(1/0.6)}{\lambda} = 5730\,\frac{\ln(5/3)}{\ln 2} \approx 5730 \times \frac{0.5108}{0.6931} \approx 4220 \text{ tahun}.

Latihan 26.6 ★★

Sebuah tangki memuat $100$ L air murni. Air garam yang memuat $0.2$ kg garam tiap liternya mengalir masuk dengan laju $5$ L/menit, dan campurannya (yang dijaga seragam) mengalir keluar dengan laju yang sama. Misalkan $m(t)$ massa garam di dalam tangki pada waktu $t$ (dalam menit).

Berilah alasan bahwa $m' = 1 - \dfrac{m}{20}$ .
Selesaikan, lalu tentukan limit $m(t)$ ketika $t \to +\infty$ . Tafsirkan hasilnya.

Solusi

Solusi Latihan 26.6.

1. Garamnya mengalir masuk dengan laju $0.2 \times 5 = 1$ kg/menit. Aliran keluarnya membawa kepekatan $\frac{m}{100}$ kg/L pada $5$ L/menit, yaitu $\frac{m}{20}$ kg/menit. Jadi $m' = 1 - \frac{m}{20}$ .

2. Kesetimbangannya $m_p = 20$ ; $m(t) = 20 + C\eu^{-t/20}$ , dan $m(0) = 0$ memberi $C = -20$ :

m(t) = 20\left(1 - \eu^{-t/20}\right) \xrightarrow[t\to+\infty]{} 20 \text{ kg}.

Dalam jangka panjang kepekatan tangkinya sama dengan kepekatan air garam yang masuk: $0.2$ kg/L $\times$ $100$ L $= 20$ kg.

Latihan 26.7 ★★

Seorang penerjun payung bermassa $80$ kg jatuh di bawah pengaruh gravitasi ( $g = 9.8\ \text{m/s}^2$ ) dan hambatan udara yang sebanding dengan lajunya, sehingga lajunya memenuhi $v' = g - \frac{k}{m}v$ dengan $k = 16$ kg/s.

Selesaikan persamaannya dengan $v(0) = 0$ .
Hitunglah kecepatan terminalnya $\lim_{t\to+\infty} v(t)$ , dan waktu yang diperlukan untuk mencapai $95\%$ darinya.

Solusi

Solusi Latihan 26.7.

1. $v' = g - \frac{k}{m} v$ dengan $\frac km = \frac{16}{80} = 0.2$ . Kesetimbangannya $v_\infty = \frac{mg}{k} = \frac{9.8}{0.2} = 49$ m/s; $v(t) = 49 + C\eu^{-0.2t}$ , dan $v(0) = 0$ memberi

v(t) = 49\left(1 - \eu^{-0.2 t}\right).

2. Kecepatan terminalnya $49$ m/s ( $\approx 176$ km/jam). Kita inginkan $1 - \eu^{-0.2t} = 0.95$ , yaitu $\eu^{-0.2t} = 0.05$ :

t = \frac{\ln 20}{0.2} \approx \frac{3.00}{0.2} \approx 15 \text{ sekon}.

Latihan 26.8 ★★★

(Persamaan logistik.) Sebuah populasi $y(t) \in \intoo{0}{1}$ (sebagai pecahan dari populasi maksimalnya) memenuhi

y' = y(1 - y).

Misalkan $z = \dfrac{1}{y}$ . Tunjukkan bahwa $z$ memenuhi persamaan linear $z' = -z + 1$ .
Selesaikan untuk $z$ , lalu untuk $y$ , dengan $y(0) = \frac{1}{10}$ .
Tunjukkan bahwa $y(t) \to 1$ ketika $t \to +\infty$ lalu lukiskan bentuk kurva penyelesaiannya.

Solusi

Solusi Latihan 26.8.

1. $z = \frac1y$ memberi $z' = -\frac{y'}{y^2} = -\frac{y(1-y)}{y^2} = -\frac{1-y}{y} = -\frac1y + 1 = -z + 1$ .

2. Kesetimbangannya $z_p = 1$ , jadi $z(t) = 1 + C\eu^{-t}$ . Dari $y(0) = \frac{1}{10}$ diperoleh $z(0) = 10$ , jadi $C = 9$ dan

y(t) = \frac{1}{1 + 9\,\eu^{-t}} .

3. Ketika $t \to +\infty$ , $9\eu^{-t} \to 0$ dan $y(t) \to 1$ . Kurvanya adalah kurva logistik berbentuk S yang klasik (sigmoid): pertumbuhannya lambat mula-mula ( $y$ kecil, $y' \approx y$ ), tercepat ketika $y = \frac12$ (ketika $y' = y(1-y)$ maksimal), lalu menjenuh menuju daya dukungnya yang bernilai $1$ .

Latihan 26.9 ★★★

Misalkan $y$ suatu penyelesaian $y' = ay + b$ dan $u_n = y(n)$ untuk $n \in \N$ . Tunjukkan bahwa $(u_n)$ memenuhi rekurensi aritmetika-geometri $u_{n+1} = q u_n + r$ , lalu nyatakan $q$ dan $r$ dengan $a$ dan $b$ . Syarat $\abs{q} < 1$ bersesuaian dengan apa bagi persamaan diferensialnya?

Solusi

Solusi Latihan 26.9.

Menurut Teorema 26.5, $y(x) = C\eu^{ax} - \frac ba$ . Jadi

u_{n+1} = C\eu^{a(n+1)} - \frac ba = \eu^{a}\left(C\eu^{an} - \frac ba\right) + \frac ba\left(\eu^a - 1\right) = q\,u_n + r

dengan $q = \eu^{a}$ dan $r = \frac{b}{a}\left(\eu^{a} - 1\right)$ . Syarat $\abs q < 1$ berarti $\eu^a < 1$ , yaitu $a < 0$ : tepat syarat yang membuat penyelesaian persamaan diferensialnya menuju kesetimbangan $-\frac ba$ — dan memang titik tetap rekurensinya adalah $\frac{r}{1 - q} = -\frac{b}{a}$ .

26.5 Soal: Jam di dalam benda

Soal 26.1

Soal akhir pekan — karbon-14 menanggali gua, hukum pendinginan Newton menakar waktu kejahatan, dan satu persamaan kecil mengenakan empat kostum

Persamaan diferensial adalah hukum perubahan; menyelesaikannya mengubah hukum itu menjadi sebuah jam. Persamaan mungil yang sama, $y' = ay + b$ (Teorema 26.5), berdetak di dalam arang prasejarah, kopi yang mendingin, tetes hujan yang jatuh dan infus rumah sakit — dan membaca jam itulah urusan soal ini: ia menanggali lukisan Lascaux, memastikan saat kematian, lalu mengaudit anggapannya sendiri seperti ilmuwan yang baik.

Bagian I — Kelancaran.

Selesaikan $y' = 3y$ , $y(0) = 2$ ; lalu $y' = -2y + 6$ , $y(0) = 0$ (Metode 26.6).
Turunkan kembali muslihat ketunggalan di balik Teorema 26.2: jika $y' = ay$ , hitunglah turunan $y(t)\,\eu^{-at}$ lalu simpulkan bahwa setiap penyelesaiannya berbentuk $C\eu^{at}$ .
Untuk $y' = -2y + 6$ : carilah penyelesaian setimbangnya, lalu lukiskan nasib setiap penyelesaian lainnya ketika $t \to +\infty$ . (Titik tetap rekurensi pada Soal 13.1, yang kini menjadi sinambung.)
Untuk hukum peluruhan $y' = -\frac{y}{\tau}$ : tunjukkan bahwa waktu paruhnya $t_{1/2} = \tau \ln 2$ .
Lukiskan (atau uraikan) keluarga penyelesaian $y' = -2y + 6$ : apa yang dilakukan penyelesaian yang bermula di atas $3$ ? Yang di bawah $3$ ? Yang tepat di $3$ ?

Bagian II — Karbon-14. Jaringan hidup mempertahankan nisbah karbon-14 radioaktif yang tetap; pada saat mati asupannya berhenti dan persediaannya meluruh: $N' = -\lambda N$ , dengan waktu paruh $5\,730$ tahun.

Hitunglah $\lambda$ (tiap tahunnya).
Sebuah tulang menyisakan $20\,\%$ nisbah makhluk hidupnya: berapa umurnya?
Arang dari gua berlukis di Lascaux menyisakan kira-kira $15\,\%$ : tanggalilah lukisannya.
Manusia es Ötzi, yang ditemukan di sebuah gletser Alpen, terukur kira-kira $53\,\%$ : tanggalilah dia (para arkeolog menyebut kira-kira $5\,300$ tahun — bagaimana hasilmu?).
Mengapa karbon-14 tidak dapat menanggali dinosaurus? Hitunglah pecahan yang tersisa sesudah sepuluh waktu paruh, nyatakan pecahannya sesudah $65$ juta tahun sebagai pangkat $2$ , lalu simpulkan.
Batang galatnya: jika $53\,\%$ milik Ötzi hanya diketahui sampai $\pm 1\,\%$ , hitunglah rentang umurnya. Ketelitian laboratorium seperti apa membeli ketelitian penanggalan seperti apa?

Bagian III — Pendinginan Newton, dan sebuah kejahatan. Sebuah benda bersuhu $T$ di lingkungan bersuhu tetap $T_a$ mendingin menurut $T' = -k\,(T - T_a)$ .

Selesaikan persamaannya (substitusikan $z = T - T_a$ ):

$T(t) = T_a + (T_0 - T_a)\,\eu^{-kt} .$
Kopi yang dituang pada $90\,^\circ$ C di ruangan $20\,^\circ$ C terbaca $70\,^\circ$ C sesudah $5$ menit. Tentukan $k$ , lalu lama menunggu sampai suhunya enak diminum, $55\,^\circ$ C.
Pertanyaan susunya: agar dapat meminum kopi sehangat mungkin dalam sepuluh menit, haruskah susu dinginnya dimasukkan sekarang atau pada saat terakhir? Jawablah dengan persamaannya (apa yang dilakukan penambahan susu terhadap jurang $T - T_a$ , dan bagaimana jurang itu menggerakkan kehilangan panasnya?).
Forensik: sesosok jenazah ditemukan tengah malam pada $30\,^\circ$ C di ruangan $20\,^\circ$ C; satu jam kemudian terbaca $28\,^\circ$ C. Dengan menganggap $37\,^\circ$ C pada saat kematiannya, perolehlah $k$ dari kedua pengukuran itu, lalu hitunglah saat kematiannya.
Auditlah jam sang dokter forensik: sebutkan tiga pelanggaran nyata terhadap anggapan modelnya dan ke arah mana masing-masing akan membiaskan taksiran saat kematiannya.

Bagian IV — Empat kostum dan sebuah kurva S.

Persamaan logistik pada Latihan 26.8, $y' = y(1 - y)$ dengan $y(0) = 0.1$ : dengan memakai substitusi latihan itu, turunkanlah $y(t) = \dfrac{1}{1 + 9\eu^{-t}}$ , lalu carilah waktu titik beloknya $y = \frac12$ — tanggal milik ahli epidemiologi pada Soal 22.1, yang kini dapat dihitung.
Setetes hujan menuruti $v' = 10 - \frac v2$ (gravitasi dikurangi hambatan), $v(0) = 0$ . Carilah kecepatan terminalnya, selesaikan untuk $v(t)$ , lalu hitunglah kapan tetesnya mencapai $95\,\%$ laju terminalnya.
Sebuah infus rumah sakit menyalurkan obat dengan laju tetap sementara tubuh membuangnya secara sebanding: $c' = 4 - 0.5c$ , $c(0) = 0$ . Carilah kepekatan pada keadaan mapannya dan waktu untuk mencapai setengahnya. Sebutkan dalam satu kalimat kesejajarannya dengan rekurensi pinjaman pada Latihan 26.9.
Penutup — satu persamaan, empat kostum: peluruhan, pendinginan, jatuh, penakaran obat, semuanya $y' = ay + b$ dengan tanda dan nama yang berbeda. Lafalkanlah gelung permodelan yang dijalankan soal ini empat kali (hukum $\to$ persamaan $\to$ penyelesaian $\to$ penakaran $\to$ ramalan $\to$ audit), lalu sebutkan gejala yang menuntut $y''$ — dan soal mana yang sudah menjumpainya.

Solusi

Solusi Soal 26.1.

1. $y = 2\eu^{3t}$ . Untuk yang kedua: kesetimbangannya $3$ , jadi $y = 3 + C\eu^{-2t}$ dengan $y(0) = 0$ , sehingga $C = -3$ dan $y = 3\left(1 - \eu^{-2t}\right)$ .

2. $\left(y\eu^{-at}\right)' = y'\eu^{-at} - ay\eu^{-at} = (y' - ay)\eu^{-at} = 0$ : jadi hasil kalinya sebuah tetapan $C$ , sehingga $y = C\eu^{at}$ — tak ada penyelesaian yang lolos.

3. Kesetimbangannya: $y \equiv 3$ . Setiap penyelesaian lainnya berupa $3 + C\eu^{-2t}$ dengan $C \neq 0$ : fungsi eksponennya mati dan penyelesaiannya meluncur ke $3$ — sebuah titik tetap yang mantap, kembaran sinambung dari titik tetap rekurensi pada Soal 13.1.

4. $y = y_0\eu^{-t/\tau}$ menjadi separuhnya ketika $\eu^{-t/\tau} = \frac12$ , jadi $t = \tau\ln 2$ .

5. Semua penyelesaiannya adalah geseran tegak dari peluruhan menuju $3$ : yang bermula di atasnya jatuh ke $3$ , yang di bawahnya naik ke $3$ , dan penyelesaian tetap $3$ diam saja — sebuah corong di sekeliling kesetimbangannya.

6. $\lambda = \frac{\ln 2}{5730} \approx 1.21 \times 10^{-4}$ tiap tahunnya.

7. $\eu^{-\lambda t} = 0.2$ , jadi $t = \frac{\ln 5}{\lambda} \approx 13\,300$ tahun.

8. $t = \frac{\ln(1/0.15)}{\lambda} \approx 15\,700$ tahun: banteng Lascaux itu berasal dari akhir zaman es.

9. $t = \frac{\ln(1/0.53)}{\lambda} \approx 5\,250$ tahun: hanya selisih satu umur manusia dari angka para arkeolog — jamnya bekerja.

10. Sepuluh waktu paruh menyisakan $2^{-10} \approx 0.1\,\%$ , sudah di tepi keterukuran. Sesudah $65$ juta tahun pecahannya menjadi $2^{-65\,000\,000/5\,730} \approx 2^{-11\,344}$ : tak satu atom pun dari persediaan asalnya tersisa di fosil mana pun — dinosaurus ditanggali dengan jam yang lebih lambat (kalium–argon dan kerabatnya).

11. Nilai $52\,\%$ memberi $\approx 5\,405$ tahun, dan $54\,\%$ memberi $\approx 5\,095$ : jadi $\pm 1\,\%$ milik kimia menjadi kira-kira $\pm 155$ tahun milik sejarah — ketelitian di laboratorium adalah ketelitian pada label museumnya.

12. $z = T - T_a$ memenuhi $z' = -kz$ , jadi $z = (T_0 - T_a)\eu^{-kt}$ , dan $T = T_a + z$ .

13. Jurang awalnya $T_0 - T_a = 70$ ; sesudah lima menit jurangnya $70 - 20 = 50$ , jadi $50 = 70\eu^{-5k}$ dan $k = \frac{\ln(70/50)}{5} \approx 0.067$ tiap menitnya. Enak diminum: $55 - 20 = 35 = 70\eu^{-kt}$ , jadi $t = \frac{\ln 2}{k} \approx 10.3$ menit.

14. Laju kehilangan panasnya sebanding dengan jurang $T - T_a$ : kopi yang mendidih membuang panas paling cepat. Menambahkan susunya sekarang langsung memangkas jurangnya, sehingga panas yang hilang selama sepuluh menit itu lebih sedikit; menambahkannya di akhir membiarkan kopinya mendingin dengan laju penuh lebih dahulu. Untuk cangkir terhangat: susunya dahulu. (Tuan rumah yang tidak sabar membalik urutan termodinamikanya.)

15. Jurang terhadap ruangannya: pada tengah malam $10$ , satu jam kemudian $8$ , jadi $\eu^{-k} = 0.8$ dan $k = \ln\frac{10}{8} \approx 0.223$ tiap jamnya. Pada saat mati jurangnya adalah $17$ ; jurang itu meluruh menjadi $10$ pada tengah malam, sehingga $s = \frac{\ln(17/10)}{k} \approx 2.4$ jam. Saat kematiannya: kira-kira pukul $21{:}40$ .

16. Ruangan yang dipanaskan atau berangin ( $T_a$ tidak tetap) membengkokkan jamnya ke dua arah; pakaian atau massa tubuh mengubah $k$ (tabel dokter forensik menyesuaikannya) — $k$ yang keliru menskalakan seluruh selangnya; dan jenazah yang dipindahkan dari tempat lain menyetel ulang $T_a$ di tengah peluruhannya, sehingga memalsukan kematian yang lebih awal atau lebih lambat. Persamaannya jujur; anggapannyalah yang membawa risiko.

17. $z = \frac1y$ menuruti $z' = 1 - z$ , jadi $z = 1 + 9\eu^{-t}$ (dari $z(0) = 10$ ), sehingga $y = \frac{1}{1 + 9\eu^{-t}}$ . Titik beloknya di $y = \frac12$ : $9\eu^{-t} = 1$ , jadi $t = \ln 9 \approx 2.2$ — tanggal berbaliknya wabah itu, langsung dari rumusnya.

18. Kecepatan terminalnya: $v' = 0$ ketika $v = 20$ m/s. Penyelesaiannya: $v(t) = 20\left(1 - \eu^{-t/2}\right)$ . Lalu untuk $0.95$ : $\eu^{-t/2} = 0.05$ , jadi $t = 2\ln 20 \approx 6$ sekon — tetes hujan mencapai laju jelajahnya dalam hitungan sekon, dan itulah sebabnya hujan tidak membunuh.

19. Keadaan mapannya: $c = 8$ . Setengahnya: $4 = 8\left(1 - \eu^{-t/2}\right)$ , jadi $\eu^{-t/2} = \frac12$ dan $t = 2\ln 2 \approx 1.4$ jam. Infusnya adalah kembaran sinambung dari pinjaman itu: pemasukan tetap, pengeluaran sebanding — Latihan 26.9 membuat kamusnya menjadi eksak.

20. Peluruhan ( $a < 0$ , $b = 0$ ), pendinginan ( $y = T - T_a$ ), jatuh ( $a < 0$ , $b > 0$ : mendekati kesetimbangan dari bawah), penakaran obat (serupa, di dalam pembuluh): satu persamaan, empat dunia. Gelungnya: nyatakan hukum perubahannya; tulis persamaannya; selesaikan (Metode 26.6); tera tetapannya pada pengukuran; ramalkan; lalu audit anggapannya (pertanyaan 16). Osilasi menuntut $y'' = -\omega^2 y$ — yang dijumpai, diselesaikan, dan diayunkan di Soal 24.1.

Istilah yang didefinisikan dalam bab ini

Persamaan diferensial

Lihat semua 395 istilah di glosarium

26.1 Persamaan y′=ayy' = ayy′=ay

26.2 Persamaan y′=ay+by' = ay + by′=ay+b

26.3 Persamaan y′=ay+f(x)y' = ay + f(x)y′=ay+f(x)

26.4 Latihan

26.5 Soal: Jam di dalam benda

Istilah yang didefinisikan dalam bab ini

26.1 Persamaan $y' = ay$

26.2 Persamaan $y' = ay + b$

26.3 Persamaan $y' = ay + f(x)$