Matematika Sekolah Menengah Atas · Grades 10–12

15Vektor dan Garis pada Bidang

Vektor menyandikan perpindahan; garis adalah lintasannya. Perkakas baru yang penting pada bab ini adalah determinan, sebuah bilangan tunggal yang memutuskan apakah dua vektor kolinear — lalu, dari sana, menghasilkan persamaan garis serta menuntaskan pertanyaan kesegarisan dan kesejajaran lewat perhitungan semata. Gagasan yang sama diperluas ke ruang pada Bab 31.

15.1 Vektor: ringkasan

Definisi 15.1 (Vektor, koordinat)

Sebuah vektor $\vec u$ menyatakan perpindahan: semua anak panah dengan arah, jurusan dan panjang yang sama menyatakan vektor yang sama. Pada sebuah sistem koordinat, $\vec u\,(x, y)$ mencatat perpindahannya ( $x$ mendatar, $y$ tegak); untuk titik $A(x_A, y_A)$ dan $B(x_B, y_B)$ ,

\vect{AB}\,\bigl(x_B - x_A,\ y_B - y_A\bigr).

Vektor dijumlahkan koordinat demi koordinat, dan $\lambda\vec u$ berkoordinat $(\lambda x, \lambda y)$ .

Proposisi 15.2 (Titik tengah)

Titik tengah $M$ ruas garis $[AB]$ berkoordinat $\left(\frac{x_A + x_B}{2},\ \frac{y_A + y_B}{2}\right)$ .

Bukti. $M$ dicirikan oleh $\vect{AM} = \frac12\vect{AB}$ : koordinat demi koordinat, $x_M - x_A = \frac12(x_B - x_A)$ , jadi $x_M = \frac{x_A + x_B}{2}$ , dan serupa untuk $y_M$ . ∎

15.2 Kekolinearan dan determinan

Definisi 15.3 (Vektor kolinear)

Dua vektor disebut kolinear bila yang satu merupakan kelipatan skalar yang lain: $\vec v = \lambda \vec u$ untuk suatu $\lambda \in \R$ (atau $\vec u = \vec 0$ ). Secara geometris: keduanya mempunyai arah yang sama, atau salah satunya nol.

Definisi 15.4 (Determinan)

Determinan $\vec u\,(x, y)$ dan $\vec v\,(x', y')$ adalah

\det(\vec u, \vec v) = \begin{vmatrix} x & x' \\ y & y' \end{vmatrix} = x y' - x' y .

Teorema 15.5 (Kriteria kekolinearan)

Dua vektor $\vec u$ dan $\vec v$ kolinear jika dan hanya jika $\det(\vec u, \vec v) = 0$ .

Bukti. ( $\Rightarrow$ ) Jika $\vec v = \lambda\vec u$ , maka $x' = \lambda x$ dan $y' = \lambda y$ , sehingga $\det(\vec u, \vec v) = x(\lambda y) - (\lambda x)y = 0$ ; bila $\vec u = \vec 0$ , determinannya jelas $0$ .

( $\Leftarrow$ ) Andaikan $xy' - x'y = 0$ dan $\vec u \neq \vec 0$ , katakan $x \neq 0$ (kasus $y \neq 0$ setangkup). Ambil $\lambda = \frac{x'}{x}$ . Maka $x' = \lambda x$ menurut susunannya, dan hubungan $xy' = x'y = \lambda x y$ memberi, setelah dibagi $x \neq 0$ , $y' = \lambda y$ . Jadi $\vec v = \lambda \vec u$ . ∎

Contoh 15.6

$\vec u\,(3, -2)$ dan $\vec v\,(-6, 4)$ : $\det = 3 \times 4 - (-6) \times (-2) = 12 - 12 = 0$ , jadi kolinear (memang $\vec v = -2\vec u$ ). Untuk $\vec u\,(3, -2)$ dan $\vec w\,(2, 1)$ : $\det = 3 + 4 = 7 \neq 0$ , jadi tidak kolinear.

Metode 15.7 (Kesegarisan tiga titik)

Titik $A$ , $B$ , $C$ segaris jika dan hanya jika $\vect{AB}$ dan $\vect{AC}$ kolinear: hitunglah kedua vektornya lalu periksalah $\det\bigl(\vect{AB}, \vect{AC}\bigr) = 0$ .

15.3 Persamaan Kartesius sebuah garis

Definisi 15.8 (Vektor arah)

Sebuah vektor arah garis $d$ adalah sebarang vektor taknol $\vec u$ yang membuat $\vect{AB}$ kolinear dengan $\vec u$ untuk semua titik $A, B$ pada $d$ .

Teorema 15.9 (Persamaan Kartesius)

Sebuah garis dengan vektor arah $\vec u\,(-b, a)$ mempunyai persamaan berbentuk

ax + by + c = 0 \qquad (a, b) \neq (0, 0).

Sebaliknya, setiap persamaan semacam itu memerikan garis dengan vektor arah $\vec u\,(-b, a)$ .

Bukti. Misalkan $d$ melalui $A(x_A, y_A)$ dengan arah $\vec u\,(-b, a)$ . Sebuah titik $M(x, y)$ terletak pada $d$ tepat ketika $\vect{AM}$ kolinear dengan $\vec u$ , yaitu (Teorema 15.5)

0 = \det\bigl(\vect{AM}, \vec u\bigr) = (x - x_A)\,a - (-b)(y - y_A) = ax + by - (a x_A + b y_A),

sebuah persamaan berbentuk seperti yang disebutkan, dengan $c = -(a x_A + b y_A)$ . Sebaliknya, penyelesaian $ax + by + c = 0$ dengan, katakanlah, $b \neq 0$ adalah titik $\left(x, -\frac{a x + c}{b}\right)$ : mengurangkan dua di antaranya memperlihatkan bahwa setiap tali busurnya kolinear dengan $(-b, a)$ , dan selalu ada satu penyelesaian — jadi itulah garis melaluinya dengan arah $(-b, a)$ . ∎

Metode 15.10 (Garis melalui dua titik)

Untuk mencari persamaan garis $(AB)$ : hitunglah vektor arahnya $\vect{AB}\,(x_B - x_A, y_B - y_A)$ ; padankan dengan $(-b, a)$ , yaitu ambil $a = y_B - y_A$ dan $b = -(x_B - x_A)$ ; lalu tentukan $c$ dengan memasukkan koordinat $A$ .

Contoh 15.11

Garis melalui $A(1, 2)$ dan $B(4, 3)$ : $\vect{AB}\,(3, 1)$ , sehingga $a = 1$ , $b = -3$ , dan persamaannya $x - 3y + c = 0$ . Memasukkan $A$ : $1 - 6 + c = 0$ , jadi $c = 5$ . Persamaannya: $x - 3y + 5 = 0$ . Periksa dengan $B$ : $4 - 9 + 5 = 0$ .

Catatan 15.12

Ketika $b \neq 0$ , persamaannya dapat diselesaikan untuk $y$ : $y = mx + p$ dengan gradien $m = -\frac ab$ . Bentuk Kartesius $ax + by + c = 0$ lebih umum: bentuk itu juga meliputi garis tegak ( $b = 0$ ), yang tidak bergradien.

Garis x - 3y + 5 = 0 pada , beserta vektor arahnya u = AB (merah, di sini terskalakan 1/2), dan kedua titik yang dipakai untuk menyusun persamaannya. — Garis $x - 3y + 5 = 0$ pada Contoh 15.11, beserta vektor arahnya $\vec u = \vect{AB}$ (merah, di sini terskalakan $\frac12$ ), dan kedua titik yang dipakai untuk menyusun persamaannya.

15.4 Perian parametrik

Definisi 15.13 (Perian parametrik)

Garis melalui $A(x_A, y_A)$ dengan arah $\vec u\,(\alpha, \beta)$ adalah himpunan titik

M\bigl(x_A + t\alpha,\ y_A + t\beta\bigr), \qquad t \in \R .

Bilangan $t$ disebut parameternya: setiap nilai $t$ menghasilkan satu titik pada garis itu, seolah-olah menyusurinya dengan kecepatan tetap $\vec u$ .

Contoh 15.14

Garis pada Contoh 15.11 juga sama dengan $\{(1 + 3t,\ 2 + t) : t \in \R\}$ : $t = 0$ memberi $A$ , $t = 1$ memberi $B$ . Melenyapkan $t$ ( $t = y - 2$ , sehingga $x = 1 + 3(y-2)$ ) mengembalikan $x - 3y + 5 = 0$ .

15.5 Kedudukan relatif dua garis

Proposisi 15.15 (Sejajar atau berpotongan)

Dua garis dengan vektor arah $\vec u$ dan $\vec v$ sejajar jika dan hanya jika $\det(\vec u, \vec v) = 0$ . Dalam bentuk persamaan: $d : ax + by + c = 0$ dan $d' : a'x + b'y + c' = 0$ sejajar jika dan hanya jika $ab' - a'b = 0$ . Garis yang tidak sejajar bertemu di tepat satu titik.

Bukti. Kesejajaran berarti arahnya kolinear, dan itulah Teorema 15.5; dengan $\vec u\,(-b, a)$ dan $\vec v\,(-b', a')$ , determinannya adalah $(-b)a' - (-b')a = ab' - a'b$ . Jika kedua garisnya tidak sejajar, menyelesaikan kedua persamaannya serentak (lewat substitusi atau kombinasi) menghasilkan penyelesaian tunggal: sistemnya berperilaku seperti sistem $2 \times 2$ berdeterminan taknol. ∎

Metode 15.16 (Perpotongan dua garis)

Selesaikan sistem kedua persamaannya: pisahkan satu variabel pada salah satu persamaan lalu substitusikan ke persamaan lainnya, atau padukan kedua persamaannya untuk melenyapkan satu variabel. Selalu periksa titik hasilnya pada kedua persamaan.

Contoh 15.17

Potongkan $d: x - 3y + 5 = 0$ dan $d': 2x + y - 4 = 0$ . Dari $d'$ : $y = 4 - 2x$ . Setelah disubstitusikan ke $d$ :

x - 3(4 - 2x) + 5 = 0 \iff x - 12 + 6x + 5 = 0 \iff 7x = 7 \iff x = 1,

lalu $y = 2$ . Kedua garisnya bertemu di $(1, 2)$ . Periksa pada $d$ : $1 - 6 + 5 = 0$ .

15.6 Latihan

Latihan 15.1 ★

Diberikan $A(2, -1)$ , $B(5, 3)$ dan $C(-1, 1)$ , hitunglah koordinat $\vect{AB}$ , $\vect{AC}$ , $\vect{AB} + \vect{AC}$ dan $2\vect{AB} - 3\vect{AC}$ , serta titik tengah $[BC]$ .

Solusi

Solusi Latihan 15.1.

$\vect{AB}\,(3, 4)$ , $\vect{AC}\,(-3, 2)$ , $\vect{AB} + \vect{AC}\,(0, 6)$ , $2\vect{AB} - 3\vect{AC}\,(6 + 9,\ 8 - 6) = (15, 2)$ . Titik tengah $[BC]$ adalah $\left(\frac{5 + (-1)}{2}, \frac{3+1}{2}\right) = (2, 2)$ .

Latihan 15.2 ★

Apakah vektor berikut kolinear?

\vec u\,(4, -6) \text{ dan } \vec v\,(-2, 3); \qquad \vec u\,(2, 5) \text{ dan } \vec v\,(3, 7); \qquad \vec u\,(0, 3) \text{ dan } \vec v\,(0, -8).

Solusi

Solusi Latihan 15.2.

$\det = 4 \times 3 - (-2) \times (-6) = 12 - 12 = 0$ : kolinear (memang $\vec v = -\frac12 \vec u$ ).

$\det = 2 \times 7 - 3 \times 5 = -1 \neq 0$ : tidak kolinear.

$\det = 0 \times (-8) - 0 \times 3 = 0$ : kolinear (keduanya tegak).

Latihan 15.3 ★

Carilah persamaan Kartesius garis melalui $A(2, 1)$ dengan vektor arah $\vec u\,(3, -1)$ , lalu garis melalui $B(0, 4)$ dan $C(2, 0)$ .

Solusi

Solusi Latihan 15.3.

Melalui $A(2,1)$ , arahnya $(3, -1)$ : memadankan $(-b, a) = (3, -1)$ memberi $a = -1$ , $b = -3$ , sehingga $-x - 3y + c = 0$ ; memasukkan $A$ : $-2 - 3 + c = 0$ , jadi $c = 5$ . Setelah dikalikan $-1$ : $x + 3y - 5 = 0$ .

Melalui $B(0,4)$ dan $C(2,0)$ : $\vect{BC}\,(2, -4)$ , sehingga $a = -4$ , $b = -2$ : $-4x - 2y + c = 0$ ; memasukkan $B$ : $-8 + c = 0$ , jadi $c = 8$ . Setelah disederhanakan dengan $-2$ : $2x + y - 4 = 0$ . Periksa dengan $C$ : $4 + 0 - 4 = 0$ .

Latihan 15.4 ★

Untuk garis $d: 3x - 2y + 6 = 0$ , berikan sebuah vektor arah, titik potongnya dengan kedua sumbu koordinat, lalu putuskan apakah titik $P(2, 6)$ dan $Q(1, 4)$ termasuk pada $d$ .

Solusi

Solusi Latihan 15.4.

Sebuah vektor arahnya adalah $(-b, a) = (2, 3)$ . Titik potongnya: $x = 0$ memberi $y = 3$ , yaitu titik $(0, 3)$ ; $y = 0$ memberi $x = -2$ , yaitu titik $(-2, 0)$ . Untuk $P(2,6)$ : $3 \times 2 - 2 \times 6 + 6 = 0$ , jadi $P \in d$ . Untuk $Q(1,4)$ : $3 - 8 + 6 = 1 \neq 0$ , jadi $Q \notin d$ .

Latihan 15.5 ★★

Apakah titik $A(1, 2)$ , $B(4, 8)$ , $C(-2, -4)$ segaris? Pertanyaan yang sama untuk $D(0, 1)$ , $E(2, 4)$ , $F(5, 9)$ .

Solusi

Solusi Latihan 15.5.

$\vect{AB}\,(3, 6)$ dan $\vect{AC}\,(-3, -6)$ : $\det = 3 \times (-6) - (-3) \times 6 = 0$ , jadi $A$ , $B$ , $C$ segaris.

$\vect{DE}\,(2, 3)$ dan $\vect{DF}\,(5, 8)$ : $\det = 2 \times 8 - 5 \times 3 = 1 \neq 0$ : jadi $D$ , $E$ , $F$ tidak segaris.

Latihan 15.6 ★★

Tentukan titik potongnya, bila ada:

d: 2x + y - 7 = 0 \ \text{ dan }\ d': x - y + 1 = 0; \qquad e: x - 2y + 3 = 0 \ \text{ dan }\ e': -2x + 4y + 1 = 0 .

Solusi

Solusi Latihan 15.6.

Pasangan pertama: menjumlahkan kedua persamaannya memberi $(2x + y - 7) + (x - y + 1) = 3x - 6 = 0$ , jadi $x = 2$ , lalu $y = x + 1 = 3$ : keduanya bertemu di $(2, 3)$ (periksa: $4 + 3 - 7 = 0$ ).

Pasangan kedua: $ab' - a'b = 1 \times 4 - (-2) \times (-2) = 0$ , sehingga kedua garisnya sejajar; mengalikan $e$ dengan $-2$ memberi $-2x + 4y - 6 = 0$ , yang berbeda dari $e'$ ( $-6 \neq 1$ ): jadi sejajar secara tegas, tanpa titik potong.

Latihan 15.7 ★★

Berikan perian parametrik garis $d: 2x - y + 3 = 0$ , lalu sebuah persamaan Kartesius garis $\bigl\{(1 + 2t,\ -3 + t) : t \in \R\bigr\}$ .

Solusi

Solusi Latihan 15.7.

Untuk $d: 2x - y + 3 = 0$ : arahnya $(-b, a) = (1, 2)$ dan titik $(0, 3)$ terletak pada $d$ , sehingga $d = \{(t,\ 3 + 2t) : t \in \R\}$ .

Untuk garis parametrik melalui $(1, -3)$ dengan arah $(2, 1)$ : $a = 1$ , $b = -2$ , sehingga $x - 2y + c = 0$ ; memasukkan $(1, -3)$ : $1 + 6 + c = 0$ , jadi $c = -7$ . Persamaannya: $x - 2y - 7 = 0$ (periksa $t = 1$ , titik $(3, -2)$ : $3 + 4 - 7 = 0$ ).

Latihan 15.8 ★★

Carilah persamaan garis melalui $P(1, -2)$ yang sejajar dengan $d: 4x - 3y + 2 = 0$ , lalu nilai $m$ yang membuat garis $mx + 2y - 5 = 0$ sejajar dengan $d$ .

Solusi

Solusi Latihan 15.8.

Garis yang sejajar mempunyai $(a, b)$ yang sama: $4x - 3y + c = 0$ ; melalui $P(1, -2)$ : $4 + 6 + c = 0$ , jadi $c = -10$ dan garisnya adalah $4x - 3y - 10 = 0$ .

Kesejajaran $mx + 2y - 5 = 0$ dengan $d$ menuntut $ab' - a'b = 4 \times 2 - m \times (-3) = 8 + 3m = 0$ , jadi $m = -\frac83$ .

Latihan 15.9 ★★

Misalkan $A(-1, 0)$ , $B(3, 2)$ dan $C(1, -4)$ . Carilah persamaan Kartesius garis berat segitiga $ABC$ yang ditarik dari $C$ (yaitu garis yang menghubungkan $C$ dengan titik tengah $[AB]$ ).

Solusi

Solusi Latihan 15.9.

Titik tengah $[AB]$ adalah $M\!\left(\frac{-1+3}{2}, \frac{0+2}{2}\right) = (1, 1)$ . Garis beratnya adalah garis $(CM)$ dengan $C(1, -4)$ : kedua titiknya berabsis $1$ , sehingga garis beratnya adalah garis tegak

x - 1 = 0 .

Latihan 15.10 ★★

Untuk nilai parameter $m$ yang mana vektor $\vec u\,(m, 2)$ dan $\vec v\,(3, m - 1)$ kolinear?

Solusi

Solusi Latihan 15.10.

$\det(\vec u, \vec v) = m(m - 1) - 3 \times 2 = m^2 - m - 6$ . Nilainya lenyap ketika $m^2 - m - 6 = 0$ : $\Delta = 1 + 24 = 25$ , akarnya $m = \frac{1 \pm 5}{2}$ , yaitu $m = 3$ atau $m = -2$ .

Latihan 15.11 ★★★

Misalkan $ABCD$ sebuah jajargenjang, $I$ titik tengah $[AB]$ , dan $J$ titik yang ditentukan oleh $\vect{DJ} = \frac23 \vect{DI}$ . Bekerjalah pada sistem koordinat dengan $A(0,0)$ , $B(1,0)$ , $D(0,1)$ (sehingga $C(1,1)$ ):

Hitunglah koordinat $I$ dan $J$ .
Tunjukkan bahwa $A$ , $J$ dan $C$ segaris. (Sebuah fakta yang manis: garis $(DI)$ memotong diagonal $(AC)$ pada sepertiga jalannya.)

Solusi

Solusi Latihan 15.11.

1. $I = \left(\frac12, 0\right)$ . Lalu $\vect{DI} = \left(\frac12 - 0,\ 0 - 1\right) = \left(\frac12, -1\right)$ dan $\vect{DJ} = \frac23\vect{DI} = \left(\frac13, -\frac23\right)$ , sehingga

J = D + \vect{DJ} = \left(\frac13,\ \frac13\right).

2. $\vect{AJ}\left(\frac13, \frac13\right)$ dan $\vect{AC}\,(1, 1)$ : $\det = \frac13 \times 1 - 1 \times \frac13 = 0$ , jadi $A$ , $J$ , $C$ segaris — bahkan $\vect{AJ} = \frac13\vect{AC}$ : garis $(DI)$ memotong diagonal $(AC)$ tepat pada sepertiga panjangnya dari $A$ .

15.7 Soal: Haluan bertabrakan dan koordinat yang cerdik

Soal 15.1

Soal akhir pekan — lintasan yang berpotongan bukan berarti bertabrakan: jarak terdekat di laut, dan teorema yang dibuktikan dengan memilih kerangka yang tepat

Haluan lurus dua kapal berpotongan — haruskah kedua kapal itu bertabrakan? Tidak, kecuali keduanya mencapai titik potong itu pada waktu yang sama: lintasan adalah himpunan titik, gerak bersifat parametrik, dan mengacaukan keduanya sudah menenggelamkan kapal sungguhan. Soal ini menjalankan sebuah layanan lalu lintas kapal kecil pada garis parametrik (Definisi 15.13), lalu beralih ke geometri murni dengan kekuatan super koordinat yang lain: memilih koordinatnya secara cerdik, seperti pada Latihan 15.11, agar teorema klasik menghitung dirinya sendiri.

Bagian I — Garis, dengan tiga cara.

Berikan perian parametrik garis melalui $A(1, 2)$ dengan vektor arah $\vec u(3, -1)$ , lalu lenyapkan parameternya untuk memperoleh persamaan Kartesius.
Untuk garis $2x - 5y + 3 = 0$ : bacalah sebuah vektor arahnya (Teorema 15.9), carilah satu titik padanya, lalu tulislah perian parametriknya.
Hitunglah titik potong kedua garis pada pertanyaan 1 dan 2 (Metode 15.16).
Benarkan dengan determinannya (Teorema 15.5) bahwa kedua garis itu memang harus berpotongan; lalu tunjukkan bahwa $2x - 5y + 3 = 0$ dan $-4x + 10y + 1 = 0$ sejajar secara tegas.
Apakah $A(2, 1)$ , $B(5, 3)$ , $C(11, 7)$ segaris (Metode 15.7)?

Bagian II — Layanan lalu lintas kapal. Pada waktu $t$ (jam), kapal $P$ berada di $(2t,\ 3 + t)$ dan kapal $Q$ di $(10 - t,\ 2t - 1)$ (jaraknya dalam mil laut).

Carilah persamaan Kartesius kedua lintasannya, lalu hitunglah tempat kedua lintasan itu berpotongan.
Pada waktu berapa masing-masing kapal melewati titik potongnya? Apakah kedua kapal itu bertabrakan? Nyatakan peringatan umumnya dalam satu kalimat: lintasan yang berpotongan melawan gerak yang berjumpa.
Hitunglah kuadrat jarak $D^2(t)$ antara kedua kapal pada waktu $t$ , lalu susutkan menjadi bentuk kuadrat dalam $t$ . Pada waktu berapa kedua kapal itu terdekat, dan seberapa dekat keduanya (dengan teknologi titik puncak Soal 10.1)?
Peraturan menuntut pemisahan paling sedikit $1$ mil. Apakah aturan itu dilanggar? Jika ya, selesaikan $D^2(t) < 1$ lalu berikan lama pelanggarannya.
Jelaskan mengapa, bagi sebarang dua kapal pada haluan lurus dengan laju tetap, $D^2(t)$ selalu merupakan fungsi kuadrat dari $t$ — sehingga “titik pendekatan terdekat” selalu berupa perhitungan titik puncak.
Pencegatan: sebuah kapal patroli berangkat dari titik asal pada $t = 0$ dengan kecepatan tetap $(a, b)$ dan harus menemui kapal $P$ tepat pada $t = 3$ . Hitunglah $(a, b)$ yang diperlukan dan laju kapal patroli itu.

Bagian III — Koordinat yang cerdik. Bekerjalah pada kerangka Latihan 15.11: jajargenjang $ABCD$ menjadi $A(0,0)$ , $B(1,0)$ , $C(1,1)$ , $D(0,1)$ ; misalkan $I$ titik tengah $[AB]$ dan $K$ titik tengah $[CD]$ .

Hitunglah persamaan Kartesius garis $(DI)$ .
Potongkan $(DI)$ dengan diagonal $(AC)$ : temukan kembali fakta Latihan 15.11 — potongannya terletak tepat pada sepertiga jalan menaiki diagonalnya.
Kini garis $(BK)$ : carilah persamaannya, potongkan dengan $(AC)$ , lalu simpulkan teorema klasik lengkapnya: kedua ceva $(DI)$ dan $(BK)$ membagi tiga sama panjang diagonal $(AC)$ .
Mengapa membuktikan teorema itu pada satu kerangka khusus ini sah? (Apa yang dipertahankan oleh pemilihan koordinatnya, dan apa saja yang dilibatkan pernyataannya?) Jawablah dalam dua atau tiga kalimat.
Satu pembagian tiga lagi sebagai latihan: misalkan $E$ titik tengah $[BC]$ . Di mana garis $(AE)$ memotong diagonal $(DB)$ yang satunya?

Bagian IV — Teka-teki kedudukan.

Apakah ketiga garis $x + y = 4$ , $2x - y = 2$ , $x - 2y = -2$ berpotongan di satu titik? (Potongkan dua di antaranya, lalu ujilah yang ketiga.)
Untuk setiap bilangan real $m$ , misalkan $d_m$ garis $mx - y + 2 - 3m = 0$ . Tunjukkan bahwa setiap $d_m$ melalui satu titik tetap yang sama. (Kelompokkan sukunya menurut $m$ .)
Pada keluarga $(d_m)$ : anggota yang mana yang sejajar dengan $y = 2x + 7$ ? Yang mana yang melalui titik asal?
Penutup — ketiga busana sebuah garis: Kartesius (uji keanggotaan dengan satu substitusi), tereduksi (gradien dan grafiknya terbaca sekilas), parametrik (gerak, waktu, pencegatan); determinan sebagai peramal kesejajaran; serta kerangka yang dipilih baik-baik sebagai pabrik teorema. Masing-masing satu kalimat.

Solusi

Solusi Soal 15.1.

1. $x = 1 + 3t$ , $y = 2 - t$ . Dari yang kedua, $t = 2 - y$ ; setelah disubstitusikan: $x = 1 + 3(2 - y) = 7 - 3y$ : jadi persamaan Kartesiusnya $x + 3y - 7 = 0$ .

2. Untuk $ax + by + c = 0$ , sebuah vektor arahnya adalah $(-b, a)$ : di sini $(5, 2)$ . Sebuah titiknya: $y = 1$ memberi $x = 1$ : yaitu $(1, 1)$ . Parametriknya: $x = 1 + 5t$ , $y = 1 + 2t$ .

3. Dari $x = 7 - 3y$ pada $2x - 5y + 3 = 0$ : $14 - 6y - 5y + 3 = 0$ , sehingga $y = \frac{17}{11}$ dan $x = 7 - \frac{51}{11} = \frac{26}{11}$ : yaitu titik $\left(\frac{26}{11}, \frac{17}{11}\right)$ .

4. Arahnya $(5, 2)$ dan $(3, -1)$ : $\det = 5 \times (-1) - 2 \times 3 = -11 \neq 0$ : jadi berpotongan, seperti yang sudah ditemukan. Untuk pasangan kedua: arahnya $(5, 2)$ dan $(10, 4)$ mempunyai $\det = 0$ (sejajar), dan melipatduakan $2x - 5y + 3 = 0$ memberi $-4x + 10y - 6 = 0 \neq -4x + 10y + 1 = 0$ : jadi sejajar secara tegas.

5. $\vect{AB}(3, 2)$ , $\vect{AC}(9, 6)$ : $\det = 18 - 18 = 0$ : segaris.

6. $P$ : dari $x = 2t$ , $y = 3 + t$ diperoleh $y = 3 + \frac x2$ . $Q$ : dari $x = 10 - t$ diperoleh $t = 10 - x$ , sehingga $y = 2(10 - x) - 1 = 19 - 2x$ . Perpotongannya: $3 + \frac x2 = 19 - 2x$ memberi $x = 6.4$ , $y = 6.2$ : jadi kedua lintasan itu berpotongan di $(6.4,\ 6.2)$ .

7. $P$ melewatinya ketika $2t = 6.4$ : yaitu $t = 3.2$ jam. $Q$ ketika $10 - t = 6.4$ : yaitu $t = 3.6$ jam. Terpaut dua puluh empat menit: jadi tidak bertabrakan. Peringatannya: sebuah peta menunjukkan lintasan; hanya jam parametriknya yang mengatakan apakah dua gerak menempati titik yang sama pada saat yang sama.

8. $D^2(t) = (3t - 10)^2 + (4 - t)^2 = 10t^2 - 68t + 116$ : titik puncaknya di $t = \frac{68}{20} = 3.4$ jam, tempat $D^2 = 0.4$ : jadi pendekatan terdekatnya $D = \sqrt{0.4} \approx 0.63$ mil pada $t = 3.4$ .

9. Dilanggar: $0.63 < 1$ . Pertidaksamaan $D^2(t) < 1$ berbunyi $10t^2 - 68t + 115 < 0$ : $\Delta = 4624 - 4600 = 24$ , akarnya $\frac{68 \pm \sqrt{24}}{20} = 3.4 \pm 0.245$ : jadi kedua kapal itu terlalu dekat sejak $t \approx 3.16$ sampai $t \approx 3.64$ — sekitar $29$ menit pelanggaran. Salah satunya harus mengubah haluan.

10. Setiap koordinat setiap kapalnya merupakan fungsi afin dari $t$ , sehingga setiap selisih koordinatnya pun afin, dan $D^2$ — jumlah dua kuadrat fungsi afin — merupakan bentuk kuadrat (dengan koefisien utama taknegatif). Karena itu pendekatan terdekatnya selalu terbaca dari sebuah titik puncak.

11. Menemui $P$ pada $t = 3$ , yaitu di $(6, 6)$ : $(3a, 3b) = (6, 6)$ memberi $(a, b) = (2, 2)$ , dengan laju $\sqrt{8} \approx 2.8$ knot.

12. $D(0, 1)$ , $I\left(\frac12, 0\right)$ : arahnya $\left(\frac12, -1\right)$ , yaitu $(1, -2)$ : persamaannya $2x + y = 1$ .

13. $(AC)$ : $y = x$ . Lalu $2x + x = 1$ : $x = \frac13$ : yaitu titik $\left(\frac13, \frac13\right)$ , pada sepertiga jalan dari $A$ ke $C$ .

14. $B(1, 0)$ , $K\left(\frac12, 1\right)$ : arahnya $\left(-\frac12, 1\right)$ , persamaannya $2x + y = 2$ . Dengan $y = x$ : $x = \frac23$ : yaitu titik $\left(\frac23, \frac23\right)$ . Kedua garis ceva itu memotong $(AC)$ di kedua titik pembagi tiganya: teoremanya terbukti, dengan dua kali tiga baris hitungan.

15. Setiap jajargenjang dapat dibawa ke persegi satuan dengan memilih $A$ sebagai titik asal serta $\vect{AB}$ dan $\vect{AD}$ sebagai satuan kedua sumbunya. Pilihan itu mempertahankan segala yang dibicarakan teoremanya — titik tengah, kesegarisan, dan perbandingan sepanjang sebuah garis (semuanya dapat dinyatakan dengan vektor dan skalar) — sehingga membuktikan pernyataannya pada persegi itu sudah membuktikannya untuk setiap jajargenjang. (Pilihan itu tidak membawa panjang atau sudut: keduanya diubah oleh kerangkanya.)

16. $E\left(1, \frac12\right)$ : garis $(AE)$ : $y = \frac x2$ . Diagonal $(DB)$ : dari $(0,1)$ ke $(1,0)$ : $y = 1 - x$ . Perpotongannya: $\frac x2 = 1 - x$ : $x = \frac23$ : yaitu titik $\left(\frac23, \frac13\right)$ — sekali lagi sebuah titik pembagi tiga, kini pada diagonal yang lain. Garis ceva lewat titik tengah memang gemar sepertiga.

17. Dua yang pertama: $x + y = 4$ dan $2x - y = 2$ memberi $3x = 6$ : yaitu $(2, 2)$ . Yang ketiga: $2 - 4 = -2$ : terpenuhi. Jadi ketiganya berpotongan di satu titik, $(2, 2)$ .

18. $mx - y + 2 - 3m = m(x - 3) + (2 - y) = 0$ : agar persamaannya berlaku untuk setiap $m$ , ambillah $x = 3$ , $y = 2$ — dan memang setiap $d_m$ memuat $(3, 2)$ . Jadi sebuah berkas garis melalui satu titik, satu garis untuk setiap gradien $m$ .

19. Sejajar dengan $y = 2x + 7$ : gradiennya $m = 2$ , yaitu garis $2x - y - 4 = 0$ . Melalui titik asal: $2 - 3m = 0$ : $m = \frac23$ .

20. Kartesius: masukkan sebuah titik, keanggotaannya terjawab. Tereduksi: gradien dan titik potong sumbunya terlihat, grafiknya seketika. Parametrik: jamnya sudah terpasang — tabrakan, pendekatan terdekat, pencegatan. Determinan: satu perkalian menyilang, dan kesejajarannya diputuskan. Kerangka yang dipilih: sebuah jajargenjang menjadi persegi satuan, dan sebuah teorema pembagian tiga yang klasik menjadi tiga perpotongan garis.

Istilah yang didefinisikan dalam bab ini

Lihat semua 395 istilah di glosarium