Matematika Sekolah Menengah Atas · Grades 10–12

23Eksponen dan Logaritma

Fungsi eksponen adalah satu-satunya fungsi yang sama dengan turunannya sendiri dan bernilai $1$ di $0$ . Fungsi itu mengubah jumlah menjadi hasil kali; inversnya, logaritma asli, mengubah hasil kali menjadi jumlah. Bersama-sama keduanya memerikan setiap gejala yang laju perubahannya sebanding dengan ukurannya: peluruhan radioaktif, pertumbuhan populasi, bunga majemuk.

23.1 Fungsi eksponen

Teorema 23.1 (Keberadaan dan ketunggalan)

Ada satu fungsi $f \colon \R \to \R$ yang tunggal dan dapat diturunkan sehingga

f' = f \qquad\text{dan}\qquad f(0) = 1 .

Fungsi itu disebut fungsi eksponen dan ditulis $\exp$ , atau $x \mapsto \eu^x$ .

Bukti ketunggalannya. Pertama, fungsi semacam itu tidak pernah lenyap. Memang, misalkan $g(x) = f(x)f(-x)$ ; maka

g'(x) = f'(x)f(-x) - f(x)f'(-x) = f(x)f(-x) - f(x)f(-x) = 0,

sehingga $g$ tetap dan sama dengan $g(0) = 1$ : jadi untuk setiap $x$ berlaku $f(x)f(-x) = 1$ , dan khususnya $f(x) \neq 0$ .

Kini misalkan $f_1, f_2$ dua penyelesaian dan $h = \dfrac{f_1}{f_2}$ (sah sebab $f_2$ tidak pernah lenyap). Maka

h' = \frac{f_1' f_2 - f_1 f_2'}{f_2^2} = \frac{f_1 f_2 - f_1 f_2}{f_2^2} = 0,

sehingga $h$ tetap dan sama dengan $h(0) = 1$ , yaitu $f_1 = f_2$ .

Keberadaannya diterima tanpa bukti pada tingkat ini (dapat diperoleh lewat barisan pada Latihan 20.10, atau sebagai invers logaritma yang disusun lewat pengintegralan pada Bab 25). ∎

Proposisi 23.2 (Persamaan fungsional)

Untuk semua $x, y \in \R$ dan $n \in \Z$ :

\eu^{x+y} = \eu^x\,\eu^y, \qquad \eu^{-x} = \frac{1}{\eu^x}, \qquad \eu^{x-y} = \frac{\eu^x}{\eu^y}, \qquad \bigl(\eu^{x}\bigr)^n = \eu^{nx}.

Lebih lanjut, $\eu^x > 0$ untuk semua $x$ .

Bukti. Tetapkan $y$ lalu tinjaulah $\varphi(x) = \dfrac{\exp(x+y)}{\exp(x)\exp(y)}$ . Pembilang dan penyebutnya, sebagai fungsi dari $x$ , sama-sama merupakan penyelesaian $f' = f$ sampai pada konstanta $\exp(y)$ ; menurunkan $\varphi$ secara langsung (aturan hasil bagi) memberi $\varphi' = 0$ , sehingga $\varphi \equiv \varphi(0) = 1$ , dan itu membuktikan identitas pertamanya. Mengambil $y = -x$ memberi yang kedua (dengan nilai $\eu^0 = 1$ ), lalu yang ketiga menyusul. Yang keempat adalah induksi dari yang pertama untuk $n \geq 0$ , yang diperluas ke $n < 0$ lewat yang kedua.

Kepositifannya: $\eu^x = \left(\eu^{x/2}\right)^2 \geq 0$ dan $\eu^x \neq 0$ (ditunjukkan pada Teorema 23.1), sehingga $\eu^x > 0$ . ∎

Proposisi 23.3 (Variasi dan limit)

Fungsi eksponen tegas naik, cembung, dan

\lim_{x\to-\infty} \eu^x = 0, \qquad \lim_{x\to+\infty} \eu^x = +\infty .

Bukti. $(\exp)' = \exp > 0$ memberi kenaikan yang tegas; $(\exp)'' = \exp > 0$ memberi kecembungannya. Menurut kecembungannya, $\eu^x \geq 1 + x$ (garis singgung di $0$ , lihat Contoh 22.15), sehingga $\eu^x \to +\infty$ ketika $x \to +\infty$ lewat pembandingan. Lalu $\eu^{x} = 1/\eu^{-x} \to 0$ ketika $x \to -\infty$ . ∎

Fungsi eksponen: tegas naik, cembung, dengan _-∈fty x = 0. Fungsi itu terletak di atas garis singgungnya di 0: x ≥ 1 + x. — Fungsi eksponen: tegas naik, cembung, dengan $\lim_{-\infty} \eu^x = 0$ . Fungsi itu terletak di atas garis singgungnya di $0$ : $\eu^x \geq 1 + x$ .

Teorema 23.4 (Pembandingan pertumbuhan)

Untuk setiap bilangan bulat $n \geq 1$ ,

\lim_{x\to+\infty} \frac{\eu^x}{x^n} = +\infty, \qquad \lim_{x\to-\infty} x^n \eu^x = 0 .

Dengan kata lain: fungsi eksponen mengalahkan setiap pangkat $x$ .

Bukti. Untuk $n = 1$ : menerapkan $\eu^t \geq 1 + t \geq t$ pada $t = x/2$ ,

\frac{\eu^x}{x} = \frac{\left(\eu^{x/2}\right)^2}{x} \geq \frac{(x/2)^2}{x} = \frac{x}{4} \xrightarrow[x\to+\infty]{} +\infty .

Untuk $n$ yang umum, tulislah

\frac{\eu^x}{x^n} = \frac{1}{n^n}\left(\frac{\eu^{x/n}}{x/n}\right)^{n} \xrightarrow[x\to+\infty]{} +\infty

menurut kasus $n=1$ dan komposisinya. Limitnya di $-\infty$ menyusul lewat substitusi $x \mapsto -x$ : $\abs{x^n \eu^x} = \frac{\abs{x}^n}{\eu^{\abs x}} \to 0$ . ∎

Fungsi eksponen (biru) akhirnya mengalahkan setiap pangkat: fungsi itu menyalip x2 (merah) sejak awal dan x3 (jingga) di x 4.54. — Fungsi eksponen (biru) akhirnya mengalahkan setiap pangkat: fungsi itu menyalip $x^2$ (merah) sejak awal dan $x^3$ (jingga) di $x \approx 4.54$ .

23.2 Logaritma asli

Definisi 23.5 (Logaritma asli)

Fungsi eksponen kontinu dan tegas naik dari $\R$ pada $\intoo{0}{+\infty}$ ; menurut teorema bijeksi (Teorema 21.15), untuk setiap $y > 0$ persamaan $\eu^x = y$ mempunyai penyelesaian tunggal. Penyelesaian itu disebut logaritma asli dari $y$ , ditulis $\ln y$ . Jadi

\text{untuk } x \in \R,\ y > 0: \qquad y = \eu^x \iff x = \ln y .

Khususnya $\ln 1 = 0$ , $\ln \eu = 1$ , serta $\eu^{\ln y} = y$ dan $\ln(\eu^x) = x$ .

Kurva dan saling mencerminkan terhadap garis y = x: titik (x, x) tercermin menjadi ( x, x). — Kurva $\exp$ dan $\ln$ saling mencerminkan terhadap garis $y = x$ : titik $(x, \eu^x)$ tercermin menjadi $(\eu^x, x)$ .

Proposisi 23.6 (Sifat aljabar)

Untuk semua $a, b > 0$ dan $n \in \Z$ :

\ln(ab) = \ln a + \ln b, \quad \ln\frac{1}{a} = -\ln a, \quad \ln\frac{a}{b} = \ln a - \ln b, \quad \ln(a^n) = n \ln a, \quad \ln\sqrt{a} = \tfrac12 \ln a .

Bukti. $\eu^{\ln a + \ln b} = \eu^{\ln a}\eu^{\ln b} = ab$ , lalu mengambil $\ln$ kedua ruasnya memberi identitas pertamanya. Yang lain menyusul lewat mekanisme yang sama dari identitas Proposisi 23.2 yang bersesuaian. ∎

Proposisi 23.7 (Sifat analitis)

Fungsi $\ln$ dapat diturunkan pada $\intoo{0}{+\infty}$ dengan

(\ln x)' = \frac{1}{x},

tegas naik, cekung, serta $\lim\limits_{x\to0^+} \ln x = -\infty$ dan $\lim\limits_{x\to+\infty} \ln x = +\infty$ . Lebih lanjut, untuk setiap bilangan bulat $n \geq 1$ ,

\lim_{x\to+\infty} \frac{\ln x}{x^{1/n}} = 0, \qquad \lim_{x\to0^+} x \ln x = 0 .

Bukti. Keterdiferensialan fungsi inversnya diterima tanpa bukti pada tingkat ini; dengan menerimanya, turunkan identitas $\eu^{\ln x} = x$ lewat aturan rantai: $(\ln x)'\,\eu^{\ln x} = 1$ , sehingga $(\ln x)' = \frac{1}{x} > 0$ , dan dari sana kenaikan yang tegas, lalu $(\ln x)'' = -\frac1{x^2} < 0$ , dan dari sana kecekungannya. Limitnya di $0^+$ dan $+\infty$ mencerminkan limit $\exp$ lewat bijeksinya. Untuk pembandingan pertumbuhannya, substitusikan $x = \eu^{t}$ : $\frac{\ln x}{x} = \frac{t}{\eu^t} \to 0$ ketika $t \to +\infty$ menurut Teorema 23.4, dan serupa untuk limit lainnya dengan $x = \eu^{-t}$ , yang memberi $x\ln x = -t\eu^{-t} \to 0$ . ∎

Metode 23.8 (Menyelesaikan persamaan dengan $\exp$ dan $\ln$ )

Kedua fungsinya tegas naik, sehingga keduanya dapat diterapkan pada (atau dihapus dari) kedua ruas sebuah persamaan atau pertidaksamaan tanpa mengubah arahnya:

\eu^{u} = \eu^{v} \iff u = v, \qquad \eu^{u} \leq \eu^{v} \iff u \leq v,

dan demikian pula $\ln$ pada besaran yang positif. Periksalah selalu daerah asalnya lebih dahulu ( $\ln$ menuntut argumen yang positif). Untuk persamaan seperti $a^x = b$ dengan $a>0$ , $a \neq 1$ , tulis ulang $a^x = \eu^{x\ln a}$ lalu selesaikan $x = \frac{\ln b}{\ln a}$ .

Contoh 23.9

Sebuah cuplikan radioaktif meluruh mengikuti $N(t) = N_0\,\eu^{-\lambda t}$ . Waktu paruhnya $T$ memenuhi $N(T) = N_0/2$ , yaitu $\eu^{-\lambda T} = \frac12$ , sehingga $T = \frac{\ln 2}{\lambda}$ : jadi waktu paruhnya tidak bergantung pada banyaknya bahan mula-mula.

23.3 Latihan

Latihan 23.1 ★

Sederhanakan $\dfrac{\eu^{3x}\,\eu^{-x+1}}{\eu^{x}}$ dan $\ln\!\left(\dfrac{\eu^2\sqrt{\eu}}{\eu^{-3}}\right)$ .

Solusi

Solusi Latihan 23.1.

$\dfrac{\eu^{3x}\,\eu^{-x+1}}{\eu^{x}} = \eu^{3x - x + 1 - x} = \eu^{x+1}$ .

$\ln\!\left(\dfrac{\eu^2\sqrt{\eu}}{\eu^{-3}}\right) = 2 + \tfrac12 + 3 = \tfrac{11}{2}$ .

Latihan 23.2 ★

Selesaikan dalam $\R$ :

\text{(a) } \eu^{2x} - 3\eu^{x} + 2 = 0; \qquad \text{(b) } \ln(x - 1) + \ln(x + 2) = \ln 4 .

Solusi

Solusi Latihan 23.2.

(a) Ambil $X = \eu^x > 0$ : $X^2 - 3X + 2 = 0$ memberi $X = 1$ atau $X = 2$ , keduanya positif, sehingga $x = 0$ atau $x = \ln 2$ .

(b) Daerah asalnya: $x - 1 > 0$ dan $x + 2 > 0$ , jadi $x > 1$ . Persamaannya menjadi $\ln\bigl((x-1)(x+2)\bigr) = \ln 4$ , sehingga $(x-1)(x+2) = 4$ , yaitu $x^2 + x - 6 = 0$ , jadi $x = 2$ atau $x = -3$ . Hanya $x = 2$ yang berada di daerah asalnya: $S = \{2\}$ .

Latihan 23.3 ★

Hitunglah limitnya:

\lim_{x\to+\infty} \frac{\eu^x - x^2}{\eu^x + 1}, \qquad \lim_{x\to+\infty} \frac{\ln x}{\sqrt x}, \qquad \lim_{x\to0^+} x^2 \ln x, \qquad \lim_{x\to+\infty} \bigl(x - \ln x\bigr).

Solusi

Solusi Latihan 23.3.

Bagilah dengan $\eu^x$ : $\dfrac{1 - x^2\eu^{-x}}{1 + \eu^{-x}} \to \dfrac{1-0}{1+0} = 1$ , dengan memakai $x^2 \eu^{-x} \to 0$ (Teorema 23.4).

$\dfrac{\ln x}{\sqrt x} \to 0$ menurut Proposisi 23.7 (kasus $n = 2$ ).

$x^2 \ln x = x \cdot (x \ln x) \to 0 \times 0 = 0$ .

$x - \ln x = x\left(1 - \frac{\ln x}{x}\right) \to +\infty$ sebab $\frac{\ln x}{x} \to 0$ .

Latihan 23.4 ★★

Telaahlah fungsi $f(x) = x\,\eu^{-x}$ pada $\R$ : variasi, limit, dan nilai ekstremnya; lalu tunjukkan bahwa kurvanya mempunyai sebuah titik belok dan berikan koordinatnya.

Solusi

Solusi Latihan 23.4.

$f'(x) = \eu^{-x} - x\eu^{-x} = (1 - x)\eu^{-x}$ , yang bertanda sama dengan $1 - x$ : jadi $f$ naik pada $\intoc{-\infty}{1}$ , turun pada $\intco{1}{+\infty}$ , dengan maksimum global $f(1) = \eu^{-1}$ .

Limitnya: ketika $x \to +\infty$ , $f(x) = \frac{x}{\eu^x} \to 0$ (Teorema 23.4); ketika $x \to -\infty$ , $x \to -\infty$ dan $\eu^{-x} \to +\infty$ , sehingga $f(x) \to -\infty$ .

$f''(x) = -\eu^{-x} - (1-x)\eu^{-x} = (x - 2)\eu^{-x}$ , yang berganti tanda di $x = 2$ : jadi titik beloknya $\bigl(2,\, 2\eu^{-2}\bigr)$ .

Latihan 23.5 ★★

Tunjukkan bahwa untuk semua $x > -1$ berlaku $\ln(1 + x) \leq x$ , dengan kesamaan hanya di $x = 0$ . Simpulkan bahwa untuk semua $n \geq 1$ ,

\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n \leq \eu \leq \left(1 - \frac{1}{n+1}\right)^{-(n+1)} .

Solusi

Solusi Latihan 23.5.

Misalkan $g(x) = x - \ln(1+x)$ pada $\intoo{-1}{+\infty}$ . Maka $g'(x) = 1 - \frac{1}{1+x} = \frac{x}{1+x}$ , yang negatif pada $\intoo{-1}{0}$ dan positif pada $\intoo{0}{+\infty}$ : jadi $g$ mencapai minimumnya $g(0) = 0$ , sehingga $g \geq 0$ dengan kesamaan hanya di $0$ . Karena itu $\ln(1+x) \leq x$ .

Terapkan ini dengan $x = \frac1n$ : $n\ln\left(1 + \frac1n\right) \leq 1$ , sehingga $\left(1+\frac1n\right)^n = \eu^{\,n\ln(1+1/n)} \leq \eu$ . Terapkan pula dengan $x = -\frac{1}{n+1} > -1$ : $\ln\left(1 - \frac{1}{n+1}\right) \leq -\frac{1}{n+1}$ , sehingga $-(n+1)\ln\left(1 - \frac{1}{n+1}\right) \geq 1$ dan $\left(1 - \frac{1}{n+1}\right)^{-(n+1)} \geq \eu$ .

Latihan 23.6 ★★

Sebuah modal $C_0$ ditanamkan dengan laju $3\%$ per tahun, dengan bunga dimajemukkan setiap tahun.

Nyatakan modalnya $C_n$ setelah $n$ tahun.
Setelah berapa tahun modalnya berlipat dua? Berikan jawaban eksaknya dengan $\ln$ , lalu sebuah nilai numeris.
Bandingkan dengan hampiran “ $70$ dibagi lajunya dalam persen” yang dipakai para bankir.

Solusi

Solusi Latihan 23.6.

1. Setiap tahunnya mengalikan modalnya dengan $1.03$ : $C_n = C_0 (1.03)^n$ .

2. $C_n \geq 2C_0 \iff (1.03)^n \geq 2 \iff n \ln 1.03 \geq \ln 2 \iff n \geq \frac{\ln 2}{\ln 1.03} \approx 23.45$ : jadi modalnya berlipat dua setelah $24$ tahun.

3. $\frac{70}{3} \approx 23.3$ , dekat dengan nilai eksak $\frac{\ln 2}{\ln 1.03}$ . Kaidah itu berhasil sebab $\ln(1 + r) \approx r$ untuk $r$ yang kecil, sehingga $\frac{\ln 2}{\ln(1+r)} \approx \frac{0.693}{r} \approx \frac{70}{100r}$ .

Latihan 23.7 ★★

Selesaikan pertidaksamaan $\eu^{2x} - \eu^{x+1} > 0$ , lalu pertidaksamaan $\ln(x^2 - 1) \leq \ln(x + 5)$ .

Solusi

Solusi Latihan 23.7.

$\eu^{2x} > \eu^{x+1} \iff 2x > x + 1 \iff x > 1$ (fungsi eksponen tegas naik): jadi $S = \intoo{1}{+\infty}$ .

Daerah asal pertidaksamaan kedua: $x^2 - 1 > 0$ dan $x + 5 > 0$ , yaitu $x \in \intoo{-5}{-1} \cup \intoo{1}{+\infty}$ . Pada daerah itu, karena $\ln$ tegas naik,

\ln(x^2-1) \leq \ln(x+5) \iff x^2 - 1 \leq x + 5 \iff x^2 - x - 6 \leq 0 \iff x \in \intcc{-2}{3}.

Setelah diiriskan dengan daerah asalnya: $S = \intco{-2}{-1} \cup \intoc{1}{3}$ .

Latihan 23.8 ★★★

Misalkan $f(x) = \dfrac{\eu^x}{x}$ untuk $x > 0$ .

Telaahlah variasi $f$ pada $\intoo{0}{+\infty}$ lalu berikan minimumnya.
Untuk nilai $k$ yang mana persamaan $\eu^x = kx$ mempunyai $0$ , $1$ atau $2$ penyelesaian di $\intoo{0}{+\infty}$ ?

Solusi

Solusi Latihan 23.8.

1. $f'(x) = \dfrac{\eu^x x - \eu^x}{x^2} = \dfrac{(x-1)\eu^x}{x^2}$ , yang negatif pada $\intoo{0}{1}$ dan positif pada $\intoo{1}{+\infty}$ : jadi minimumnya $f(1) = \eu$ . Limitnya: $f \to +\infty$ di $0^+$ (pembilangnya $\to 1$ , penyebutnya $\to 0^+$ ) dan di $+\infty$ (Teorema 23.4).

2. Untuk $x > 0$ , $\eu^x = kx \iff f(x) = k$ . Dari tabel variasinya ( $+\infty \searrow \eu \nearrow +\infty$ , kontinu dan tegas monoton pada masing-masing sisinya): tanpa penyelesaian untuk $k < \eu$ ; tepat satu ( $x = 1$ ) untuk $k = \eu$ ; dan tepat dua untuk $k > \eu$ (satu di $\intoo{0}{1}$ , satu di $\intoo{1}{+\infty}$ , menurut teorema bijeksi pada masing-masing interval).

Latihan 23.9 ★★★

Untuk $n \geq 1$ , misalkan $u_n = \left(1 + \frac1n\right)^n$ .

Dengan Latihan 23.5, tunjukkan bahwa $(u_n)$ terbatas di atas oleh $\eu$ .
Tunjukkan bahwa $\ln u_n = n \ln\left(1 + \frac1n\right) \to 1$ , lalu simpulkan bahwa $u_n \to \eu$ . (Petunjuk: kenalilah sebuah hasil bagi selisih $\ln$ di $1$ .)

Solusi

Solusi Latihan 23.9.

1. Langsung dari ketaksamaan pertama pada Latihan 23.5: $u_n = \eu^{\,n\ln(1+1/n)} \leq \eu^1 = \eu$ .

2. Tulislah

\ln u_n = n \ln\!\left(1 + \frac1n\right) = \frac{\ln\!\left(1 + \frac1n\right) - \ln 1}{\frac1n},

yaitu hasil bagi selisih $\ln$ di titik $1$ dengan pertambahan $h = \frac1n \to 0$ . Karena $\ln$ dapat diturunkan di $1$ dengan turunan $1$ , maka $\ln u_n \to 1$ . Menurut kekontinuan $\exp$ (Proposisi 21.12), $u_n = \eu^{\ln u_n} \to \eu^1 = \eu$ .

23.4 Soal: Logaritma menjinakkan dunia

Soal 23.1

Soal akhir pekan — waktu pelipatduaan dan kaidah 72, skala gempa bumi, asam dan piano, serta tetapan $\eu$ yang meninggalkan sidik jari di mana-mana

Apa pun yang tumbuh dengan persentase yang tetap tumbuh secara eksponensial — tabungan, bakteri, wabah — dan apa pun yang membentang melewati terlalu banyak pangkat sepuluh untuk digenggam — energi gempa bumi, keasaman, intensitas bunyi — dijinakkan oleh logaritma. Soal ini menghitung waktu pelipatduaan lalu menyingkap kaidah 72 milik para bankir, membaca skala logaritmis dunia, lalu mengumpulkan sidik jari yang ditinggalkan bilangan $\eu$ di setiap tempat kejadian perkara (Proposisi 23.2, Teorema 23.4, Metode 23.8).

Bagian I — Kefasihan.

Selesaikan: $\eu^{2x} = 5$ ; $\ln(3x - 1) = 2$ ; $\eu^{2x} - 3\eu^x + 2 = 0$ (bentuk kuadrat dalam samaran).
Sederhanakan: $\dfrac{\ln 8}{\ln 2}$ ; $\ln\!\left(\eu^3 \sqrt{\eu}\right)$ ; $\eu^{\ln 5 - \ln 2}$ .
Buktikan ketaksamaan induknya: $\eu^x \geq 1 + x$ untuk setiap bilangan real $x$ (telaahlah $f(x) = \eu^x - 1 - x$ ), lalu simpulkan $\ln(1 + u) \leq u$ untuk $u > -1$ .
Hitunglah $\lim_{x \to +\infty} x^2 \eu^{-x}$ , $\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln x}{x}$ (Teorema 23.4), dan $\lim_{x \to 0} \frac{\eu^x - 1}{x}$ (kenalilah sebuah turunan).
Telaahlah $f(x) = x \ln x$ pada $\intoo{0}{+\infty}$ : variasinya, minimumnya, dan limitnya di $0^+$ (diterima tanpa bukti: $x \ln x \to 0$ ). Fungsi kecil ini mengukur informasi dan entropi di sepanjang jilid universitas.

Bagian II — Waktu pelipatduaan dan kaidah 72.

Tabungan tumbuh $3\,\%$ per tahun. Selesaikan $1.03^n = 2$ : berapa lama modalnya berlipat dua?
Para bankir menaksir waktu pelipatduaan sebagai $\frac{72}{\text{laju dalam }\%}$ . Ujilah kaidah itu pada $3\,\%$ , $6\,\%$ dan $9\,\%$ terhadap nilai eksak $\frac{\ln 2}{\ln(1 + r)}$ , lalu jelaskan: untuk $r$ yang kecil, $\ln(1 + r) \approx r$ (ketaksamaan pertanyaan 3 adalah separuh ceritanya), sehingga tetapan eksaknya adalah $100 \ln 2 \approx 69.3$ — lalu mengapa para bankir lebih menyukai $72$ ?
Sebuah bakteri membelah setiap $20$ menit: $p(t) = 2^{t/20}$ ( $t$ dalam menit). Tulis ulang sebagai $\eu^{\lambda t}$ , lalu hitunglah $p$ setelah $24$ jam. Jawabannya (lebih dari $10^{21}$ ) membuktikan apa tentang modelnya — dan apa yang menghentikan koloni yang sesungguhnya?
Kafeina meninggalkan tubuh dengan waktu paruh sekitar $5$ jam. Setelah secangkir kopi berkadar $100$ mg pada pukul 15.00, berapa yang tersisa pada pukul 23.00? Pada pukul berapa kadarnya turun di bawah $10$ mg? (Susah tidur pun berlogaritma.)
Satu euro dengan bunga $100\,\%$ per tahun: hitunglah modal akhir tahunnya bila bunganya dimajemukkan setiap tahun, setiap bulan dan setiap hari, lalu berikan langit-langit yang dibuktikan tak tertembus oleh Latihan 23.9. Tetapan termasyhur mana yang menjadi limit ketamakan murni?
Mengapa para ilmuwan menggambar $\ln(\text{cacah kasus})$ terhadap waktu pada tahap awal sebuah wabah? Apa yang disingkapkan sebuah garis lurus pada gambar itu, dan apa yang diukur gradiennya?

Bagian III — Skala logaritmis dunia. (Tulislah $\log_{10} x = \frac{\ln x}{\ln 10}$ .)

Taraf bunyi dalam desibel: $L = 10 \log_{10}(I/I_0)$ . Sebuah percakapan terukur $60$ dB, sebuah konser rok $120$ dB: berapa kali lipat intensitas bunyinya berbeda?
Magnitudo gempa bumi naik $1$ ketika amplitudo seismiknya dikalikan $10$ , dan energi yang dilepaskannya berskala seperti amplitudo $^{3/2}$ . Bandingkan gempa bermagnitudo $5$ dan bermagnitudo $7$ : perbandingan amplitudonya, lalu perbandingan energinya.
Kimia: $\text{pH} = -\log_{10}[\mathrm{H^+}]$ . Air jeruk lemon ber-pH $2$ , susu ber-pH $6.5$ : berapa perbandingan kepekatan asamnya?
Musik: setiap oktaf melipatduakan frekuensinya. Dari A terendah pada piano ( $27.5$ Hz) sampai C tertingginya ( $4\,186$ Hz), berapa oktaf yang dibentangkan papan tutsnya? Lalu mengapa indra kita — pendengaran, penglihatan, perasaan terhadap gempa — lebih menyukai skala logaritmis? (Satu kalimat.)
Mistar hitung, kalkulator para insinyur selama $350$ tahun: dua batang bertanda sehingga panjang sampai tanda $x$ sebanding dengan $\ln x$ . Jelaskan bagaimana menggeser satu batang di sepanjang batang yang lain mengalikan bilangan, lalu sebutkan identitas Proposisi 23.6 yang melakukan pekerjaannya.

Bagian IV — Sidik jari $\eu$ .

Dari Latihan 23.8: persamaan $\eu^x = kx$ ( $x > 0$ ) mempunyai $0$ , $1$ atau $2$ penyelesaian menurut kedudukan $k$ terhadap sebuah ambang. Nyatakan ulang hasilnya — lalu periksalah fakta geometris di baliknya: garis $y = \eu x$ tepat merupakan garis singgung fungsi eksponen yang melalui titik asal.
Tetapan nyaris-meleset: dengan $n$ karcis undian yang masing-masing berpeluang menang $\frac1n$ , $\P(\text{tidak menang}) = \left(1 - \frac1n\right)^n$ . Hitunglah limitnya lewat $n \ln\!\left(1 - \frac1n\right)$ (pakailah limit baku $\frac{\ln(1 + u)}{u} \to 1$ ), lalu cocokkan dengan $0.368$ yang misterius pada Soal 19.1.
Kaidah $37\,\%$ : untuk memilih yang terbaik di antara $n$ calon yang diwawancarai dalam urutan acak (tanpa boleh kembali), strategi optimumnya menolak $\frac{n}{\eu} \approx 37\,\%$ yang pertama lalu mengambil calon pertama yang lebih baik daripada semua calon sebelumnya — dan berhasil dengan peluang sekitar $\frac1\eu$ . Dari mana kedua $\frac1\eu$ pada pertanyaan 18 dan 19 berasal — nyatakan mekanisme bersamanya (banyak kejadian saling bebas yang berpeluang kecil), lalu hitunglah $\frac1\eu$ sampai tiga angka desimal.
Penutup — potret $\eu$ : langit-langit pemajemukan (pertanyaan 10); bilangan pokok yang garis singgungnya di $0$ bergradien tepat $1$ (pertanyaan 3 dan 4); pertumbuhan yang tidak terkejar polinomial mana pun (pertanyaan 4); tetapan nyaris-meleset dan penghentian optimum (pertanyaan 18–19); serta inversnya $\ln$ , yang mengubah hasil kali menjadi jumlah (pertanyaan 16) dan dasawarsa menjadi inci (Bagian III). Masing-masing satu kalimat.

Solusi

Solusi Soal 23.1.

1. $x = \frac{\ln 5}{2}$ . $3x - 1 = \eu^2$ : jadi $x = \frac{\eu^2 + 1}{3}$ . Dengan $u = \eu^x$ : $u^2 - 3u + 2 = (u - 1)(u - 2) = 0$ : jadi $x = 0$ atau $x = \ln 2$ .

2. $\frac{3\ln 2}{\ln 2} = 3$ ; $3 + \frac12 = \frac72$ ; $\frac52$ .

3. $f'(x) = \eu^x - 1$ : negatif sebelum $0$ , positif sesudahnya: jadi minimumnya $f(0) = 0$ , sehingga $f \geq 0$ di mana-mana: $\eu^x \geq 1 + x$ . Dengan mensubstitusikan $x = \ln(1 + u)$ : $1 + u \geq 1 + \ln(1 + u)$ , yaitu $\ln(1 + u) \leq u$ .

4. $x^2\eu^{-x} = \frac{x^2}{\eu^x} \to 0$ dan $\frac{\ln x}{x} \to 0$ : fungsi eksponen meremukkan pangkat, dan pangkat meremukkan logaritma. Lalu $\frac{\eu^x - 1}{x} = \frac{\eu^x - \eu^0}{x - 0} \to \exp'(0) = 1$ .

5. $f'(x) = \ln x + 1$ : bernilai nol di $\eu^{-1}$ , negatif sebelumnya, positif sesudahnya: jadi minimumnya $f\!\left(\frac1\eu\right) = -\frac1\eu$ ; lalu $x \ln x \to 0$ di $0^+$ : kurvanya meninggalkan titik asal, menukik ke $-\frac1\eu$ , lalu mendaki menjauh.

6. $n = \frac{\ln 2}{\ln 1.03} \approx 23.4$ tahun.

7. Eksaknya: $23.4$ , $11.9$ , $8.0$ tahun; menurut kaidah 72: $24$ , $12$ , $8$ . Karena $\ln(1+r) \approx r$ , berlaku $\frac{\ln 2}{\ln(1+r)} \approx \frac{0.693}{r}$ , yaitu $\frac{69.3}{\text{laju dalam }\%}$ ; para bankir membulatkannya ke atas menjadi $72$ sebab bilangan itu terbagi dengan indah oleh $2, 3, 4, 6, 8, 9, 12$ — berhitung di kepala mengalahkan satu angka ketelitian.

8. $2^{t/20} = \eu^{t \ln 2 / 20}$ : jadi $\lambda = \frac{\ln 2}{20}$ per menit. Setelah $24 \times 60 = 1440$ menit: $2^{72} \approx 4.7 \times 10^{21}$ bakteri — lebih banyak daripada butiran pasir di Bumi, dari satu sel dalam sehari. Modelnya jujur hanya selama makanan dan ruangnya bertahan: pertumbuhan yang sesungguhnya membelok menjadi kurva S logistik (kurva ahli epidemiologi pada Soal 22.1).

9. Pada pukul 23.00 (setelah $8$ jam): $100 \times 2^{-8/5} \approx 33$ mg. Di bawah $10$ mg: $2^{-t/5} < 0.1$ memberi $t > 5\,\frac{\ln 10}{\ln 2} \approx 16.6$ jam: jadi sekitar pukul 07.40 keesokan paginya — espreso pukul tiga berekor panjang.

10. Setiap tahun: $2$ . Setiap bulan: $\left(1 + \frac{1}{12}\right)^{12} \approx 2.613$ . Setiap hari: $\approx 2.715$ . Langit-langitnya: $\eu = 2.71828\ldots$ (Latihan 23.9) — dengan pemajemukan sinambung, ketamakannya konvergen.

11. Jika kasusnya tumbuh secara eksponensial, $c(t) = c_0 \eu^{\lambda t}$ , maka $\ln c(t) = \ln c_0 + \lambda t$ : yaitu garis lurus bergradien $\lambda$ — yaitu laju pertumbuhannya. Bentangan lurus pada gambar logaritmis itu adalah tahap eksponensialnya, dan kecuramannya adalah tempo wabahnya.

12. $120 - 60 = 60$ dB berarti $10\log_{10}(I_2/I_1) = 60$ : jadi konsernya $10^6$ — sejuta kali — lebih kuat daripada percakapannya.

13. Amplitudonya: $10^{7-5} = 100$ . Energinya: $100^{3/2} = 1000$ : jadi dua angka magnitudo menyembunyikan tiga orde besaran energi.

14. $10^{6.5 - 2} = 10^{4.5} \approx 32\,000$ : jadi air jeruk lemon tiga puluh ribu kali lebih asam daripada susu — pH memampatkan jurang kimia ke dalam skala saku.

15. $\log_2\!\frac{4186}{27.5} = \frac{\ln(4186/27.5)}{\ln 2} \approx 7.25$ : jadi piano membentang sedikit lebih dari tujuh oktaf. Indra menanggapi perbandingan rangsangan — melipatduakan intensitasnya terasa seperti satu langkah, berapa pun taraf awalnya — sehingga persepsi dibangun atas skala logaritmis, dan begitu pula satuan yang kita ciptakan untuknya.

16. Menempatkan batang untuk $a$ ujung bertemu ujung dengan kedudukan batang untuk $b$ menjumlahkan panjangnya $\ln a + \ln b$ , dan tanda yang duduk pada panjang total itu terbaca $\eu^{\ln a + \ln b} = ab$ : jadi mistar hitung menghitung hasil kali dengan menjumlahkan logaritma — $\ln(ab) = \ln a + \ln b$ (Proposisi 23.6) yang terpahat pada kayu.

17. Minimum $\frac{\eu^x}{x}$ pada $\intoo{0}{+\infty}$ adalah $\eu$ , di $x = 1$ : jadi tanpa penyelesaian untuk $k < \eu$ , tepat satu untuk $k = \eu$ , dan dua untuk $k > \eu$ . Pemeriksaan garis singgungnya: di $a = 1$ garis singgung $\eu^x$ adalah $y = \eu + \eu(x - 1) = \eu x$ : garis itu melalui titik asal — yaitu garis ambangnya, yang menyerempet kurvanya di $(1, \eu)$ .

18. $n \ln\!\left(1 - \frac1n\right) = \frac{\ln(1 - 1/n)}{-1/n} \times (-1) \to -1$ , sehingga $\left(1 - \frac1n\right)^n \to \eu^{-1} \approx 0.368$ : jadi $0.999^{1000} \approx 0.368$ pada Soal 19.1 pun terjelaskan — tetapan nyaris-meleset milik undian itu adalah $\frac1\eu$ .

19. Keduanya adalah bentuk limit “banyak kejadian saling bebas yang masing-masing tidak mungkin”: peluang bahwa tidak satu pun dari $n$ peluang berukuran $\frac1n$ terwujud menuju $\eu^{-1}$ , dan kaidah sekretaris menyetel jendela penolakannya sehingga keberhasilannya memusat pada tetapan yang sama itu. $\frac1\eu \approx 0.368$ .

20. Langit-langit pemajemukan; satu-satunya bilangan pokok yang garis singgungnya di $0$ bergradien $1$ (itulah sebabnya kalkulus mencintainya); pertumbuhan yang melampaui setiap pangkat; tetapan tempat nyaris-meleset dan penghentian optimum mengendap; serta logaritmanya — perkalian yang menjadi penjumlahan, dan rentang paling liar di dunia yang terlipat ke atas sebuah penggaris.

Istilah yang didefinisikan dalam bab ini

Logaritma asli

Lihat semua 395 istilah di glosarium