Physics · الكتاب 3 · Bachelor Year 1

الفيزياء الجامعية — السنة الأولى

الفيزياء الجامعية — السنة الأولى · Bachelor Year 1

10المضخّم العملياتي

مقياس تشوّه ملصق بعارضة جسر تتغير مقاومته بمقدار جزء من ألف حين تمرّ شاحنة؛ وجسر ويتستون المحيط به (الفصل 6) يحوّل ذلك إلى مليفولطين. ومليفولطان لا يشغّلان شيئًا. وبين المقياس والإنذار الذي سيغلق الجسر أمام المرور تقع شريحة في حجم الظفر، تُباع ببضعة سنتات، تضرب الإشارة في ألف، وترشّحها، وتقارنها بعتبة، وتضيء مصباحًا — أربع مهام في مركّبة واحدة بأربعة توصيلات مختلفة. ويقدّم هذا الفصل المضخّم العملياتي عبر نموذجه المثالي، ويشتقّ حفنة الدارات التي يُبنى منها كل جهاز، ويبيّن ماذا يحدث حين تُنزع التغذية الراجعة.

10.1 المركّبة ونموذجها المثالي

تعريف 10.1 (المضخّم العملياتي)

المضخّم العملياتي دارة متكاملة لها مدخلان — المدخل غير القالب عند الكمون V+V_+ و المدخل القالب عند V−V_- — ومخرج واحد عند الكمون VsV_s، يغذّيه مصدران ±Vcc\pm V_{\mathrm{cc}} (عادةً ±15 V\pm15\,\mathrm{V}) لا يُرسمان عادةً في المخططات. وهو يضخّم الفرق ϵ=V+−V−\epsilon = V_+ - V_-:

Vs=μ ϵما دام ∣Vs∣<Vsat,V_s = \mu\,\epsilon \quad\text{ما دام } \abs{V_s} < V_{\mathrm{sat}},

حيث الكسب في الحلقة المفتوحة μ\mu من رتبة 10510^5 و توتر الإشباع VsatV_{\mathrm{sat}} أدنى قليلًا من VccV_{\mathrm{cc}}. وحين يتجاوز μ∣ϵ∣\mu\abs\epsilon القيمة VsatV_{\mathrm{sat}} يعلق الخرج عند +Vsat+V_{\mathrm{sat}} أو −Vsat-V_{\mathrm{sat}}: وهو النظام المشبَع.

تعريف 10.2 (المضخّم العملياتي المثالي)

يفترض النموذج المثالي: (أ) ألّا يدخل أيّ تيار إلى أيّ من المدخلين، i+=i−=0i_+ = i_- = 0 (أي ممانعة دخل لانهائية)؛ (ب) أن يفرض الخرج توتره مهما يكن التيار المسحوب (أي ممانعة خرج معدومة)؛ (ج) أن يكون الكسب لانهائيًّا، μ→∞\mu \to \infty. وفي النظام الخطي (حيث ∣Vs∣<Vsat\abs{V_s} < V_{\mathrm{sat}}) يفرض الافتراض الثالث

ϵ=V+−V−=0:\epsilon = V_+ - V_- = 0 :

أي إن المدخلين على الكمون نفسه (وهو “القصر التخيلي”) مع أنه لا يمرّ بينهما أيّ تيار.

المضخّم العملياتي: الرمز بمدخليه، ومميِّزته في النقل V_s( ) — قطعة خطية شديدة الانحدار ميلها 105 (رُسمت أقلّ انحدارًا بكثير)، ثم إشباع عند ± V_ sat. وفي النموذج المثالي تكون القطعة الخطية شاقولية: = 0.
المضخّم العملياتي: الرمز بمدخليه، ومميِّزته في النقل Vs(ϵ)V_s(\epsilon) — قطعة خطية شديدة الانحدار ميلها μ∼105\mu \sim 10^5 (رُسمت أقلّ انحدارًا بكثير)، ثم إشباع عند ±Vsat\pm V_{\mathrm{sat}}. وفي النموذج المثالي تكون القطعة الخطية شاقولية: ϵ=0\epsilon = 0.

قضية 10.3 (التغذية الراجعة السالبة والنظام الخطي)

إذا وُصل الخرج راجعًا إلى المدخل القالب عبر شبكة (أي تغذية راجعة سالبة)، كان للدارة نقطة عمل خطية مستقرة عند ϵ=0\epsilon = 0 وانطبقت قواعد المضخّم المثالي. وإذا أُعيد الخرج إلى المدخل غير القالب (أي تغذية راجعة موجبة)، أو لم يُعَد أصلًا، أُشبع المضخّم: Vs=±VsatV_s = \pm V_{\mathrm{sat}} حسب إشارة ϵ\epsilon.

برهان جزئي. مع التغذية الراجعة السالبة، لنفترض أن VsV_s ارتفع قليلًا فوق قيمته التوازنية؛ فيرتفع V−V_- عبر شبكة التغذية الراجعة، وينخفض ϵ\epsilon، ويسحب المضخّم VsV_s إلى الأسفل من جديد: فيُصحَّح الاضطراب. أما مع التغذية الراجعة الموجبة فالاضطراب نفسه يرفع V+V_+، ويزيد ϵ\epsilon، ويدفع VsV_s أبعد حتى يُشبع. أما الحجة الكاملة (نموذج من الرتبة الأولى للمضخّم، μ(jω)=μ0/(1+jω/ω0)\mu(j\omega) = \mu_0/(1 + j\omega/\omega_0)، واستقرار المعادلة التفاضلية الناتجة) فموضوع مجلد السنة الثانية؛ والقاعدة أعلاه هي ما يُستعمل. ∎

ملاحظة 10.4 (المضخّمات الحقيقية)

ثلاثة انحرافات عن المثالي تهمّ عمليًّا. فالكسب في الحلقة المفتوحة يهبط مع التواتر كالمقدار μ0/(1+jf/f0)\mu_0/(1 + jf/f_0) حيث f0∼10 Hzf_0 \sim 10\,\mathrm{Hz}: والجداء μ0f0=fT∼1 MHz\mu_0 f_0 = f_T \sim 1\,\mathrm{MHz} (وهو جداء الكسب في عرض النطاق) هو عرض النطاق المتاح لتابع، وللدارة ذات الكسب GG في الحلقة المغلقة عرض نطاق fT/Gf_T/G. ولا يستطيع الخرج التغير أسرع من معدل الانزلاق، ∼1 V/µs\sim1\,\mathrm{V}/\text{µ}\mathrm{s}. كما أن توتر إزاحة صغيرًا عند الدخل (∼1 mV\sim1\,\mathrm{mV}) يُضخَّم مثل الإشارة — وهو قاتل لمداخل بالمليفولط ما لم يُعدَّل.

10.2 الدارات الخطية الأساسية

طريقة 10.5 (تحليل دارة مضخّم عملياتي مثالي في النظام الخطي)

  1. تحقق من أن التغذية الراجعة تذهب إلى المدخل القالب.
  2. اكتب i+=i−=0i_+ = i_- = 0: فعقدتا الدخل تحققان قانون العقد لكيرشوف بلا تيار داخل إلى المضخّم (فتنطبق المجزّئات ومبرهنة ميلمان).
  3. اكتب V+=V−V_+ = V_- وحلّ لإيجاد VsV_s.
  4. تحقق بعد ذلك من أن ∣Vs∣<Vsat\abs{V_s} < V_{\mathrm{sat}}؛ فإن لم يكن كذلك كان المضخّم مشبَعًا وكانت النتيجة ±Vsat\pm V_{\mathrm{sat}}.

قضية 10.6 (التابع والمضخّم غير القالب والمضخّم القالب)

  • التابع: الخرج موصول بالمدخل V−V_- والدخل على V+V_+: Vs=VeV_s = V_e؛ وممانعة دخل لانهائية وممانعة خرج معدومة.

  • المضخّم غير القالب: الخرج إلى V−V_- عبر مجزّئ R2R_2 (تغذية راجعة) و R1R_1 (إلى الأرضي)، والدخل على V+V_+:

    Vs=(1+R2R1)Ve.V_s = \left(1 + \frac{R_2}{R_1}\right)V_e .

  • المضخّم القالب: V+V_+ مؤرَّض، والدخل عبر R1R_1 إلى V−V_-، والتغذية الراجعة R2R_2 من الخرج إلى V−V_-:

    Vs=−R2R1 Ve,V_s = -\frac{R_2}{R_1}\,V_e ,

    مع بقاء V−V_- عند كمون الأرضي (وهو أرضي تخيلي) وممانعة دخل R1R_1.

برهان. التابع: V−=VsV_- = V_s و V+=VeV_+ = V_e؛ ويعطي ϵ=0\epsilon = 0 أن Vs=VeV_s = V_e. وغير القالب: لا تيار داخل إلى V−V_-، فيعطي المجزّئ V−=VsR1/(R1+R2)V_- = V_sR_1/(R_1 + R_2)؛ ثم نساويه بالمقدار V+=VeV_+ = V_e. والقالب: V−=V+=0V_- = V_+ = 0؛ وقانون العقد عند V−V_- مع i−=0i_- = 0: (Ve−0)/R1+(Vs−0)/R2=0(V_e - 0)/R_1 + (V_s - 0)/R_2 = 0. ويقدّم المنبع Ve/R1V_e/R_1: فممانعة الدخل R1R_1. ∎

المضخّمات الأساسية الثلاثة. في كلٍّ منها يغذّي الخرج المدخلَ القالب، ويعمل المضخّم في نظامه الخطي، ويثبّت نسبُ المقاومات وحدها الكسبَ — لا الخاصّ بالمضخّم، وهو هائل وسيّئ التحديد.
المضخّمات الأساسية الثلاثة. في كلٍّ منها يغذّي الخرج المدخلَ القالب، ويعمل المضخّم في نظامه الخطي، ويثبّت نسبُ المقاومات وحدها الكسبَ — لا μ\mu الخاصّ بالمضخّم، وهو هائل وسيّئ التحديد.

مثال 10.7 (لماذا التابع)

محسّ مقاومته التيفنانية 10 kΩ10\,\mathrm{k}\Omega يغذّي حمولة 1 kΩ1\,\mathrm{k}\Omega فلا يقدّم إلا 1/111/11 من توتر دارته المفتوحة (الملاحظة 6.14). وتابع بينهما لا يسحب تيارًا من المحسّ ويقود الحمولة من خرج معدوم الممانعة: فيصل التوتر كاملًا. والتابع مكيِّف ممانعة — وهو يجعل قاعدة التتالي في القضية 9.14 تامة.

قضية 10.8 (المضخّم الجامع والمضخّم الفارقي)

المدخلان V1,V2V_1, V_2 عبر R1,R2R_1, R_2 إلى العقدة القالبة، والتغذية الراجعة RfR_f، و V+V_+ مؤرَّض:

Vs=−Rf(V1R1+V2R2)(مضخّم جامع).V_s = -R_f\left(\frac{V_1}{R_1} + \frac{V_2}{R_2}\right) \quad (\text{مضخّم جامع}).

ومع V1V_1 عبر R1R_1 إلى V−V_- (والتغذية الراجعة R2R_2) و V2V_2 عبر R1R_1 إلى V+V_+ (مع R2R_2 من V+V_+ إلى الأرضي):

Vs=R2R1 (V2−V1)(مضخّم فارقي).V_s = \frac{R_2}{R_1}\,(V_2 - V_1) \quad (\text{مضخّم فارقي}).

برهان. الجامع: قانون العقد عند الأرضي التخيلي، V1/R1+V2/R2+Vs/Rf=0V_1/R_1 + V_2/R_2 + V_s/R_f = 0. والفارقي: V+=V2R2/(R1+R2)V_+ = V_2R_2/(R_1 + R_2) (بالمجزّئ)؛ وقانون العقد عند V−V_-: (V1−V−)/R1+(Vs−V−)/R2=0(V_1 - V_-)/R_1 + (V_s - V_-)/R_2 = 0، ومنه Vs=V−(1+R2/R1)−V1R2/R1V_s = V_-(1 + R_2/R_1) - V_1R_2/R_1؛ ثم نضع V−=V+V_- = V_+ ونبسّط. ∎

10.3 المكامِل والدارة المشتقّة

قضية 10.9 (المكامِل)

الدخل عبر RR إلى V−V_-، ومكثف CC تغذيةً راجعة، و V+V_+ مؤرَّض:

Vs(t)=−1RC∫0tVe(t′)  ⁣dt′+Vs(0),H‾=−1jRCω.V_s(t) = -\frac{1}{RC}\int_0^t V_e(t')\,\dd t' + V_s(0), \qquad \underline H = -\frac{1}{jRC\omega} .

يهبط الكسب 20 dB20\,\mathrm{dB} لكل عقد عند كل تواتر ويكون الطور +90∘+90^\circ: أي مكامِل تامّ — إلى أن تدفع أصغر إزاحة أو انحياز، بعد مكاملتها إلى الأبد، الخرجَ إلى الإشباع.

برهان. الأرضي التخيلي: التيار Ve/RV_e/R يجري إلى المكثف، والتوتر بين V−V_- والخرج هو −Vs-V_s؛ ومنه C  ⁣d(−Vs)/ ⁣dt=Ve/RC\,\dd(-V_s)/\dd t = V_e/R، وبالترميز العقدي H‾=−1/(jRCω)\underline H = -1/(jRC\omega). ∎

ملاحظة 10.10 (ترويض المكامِل)

مقاومة R′R' على التفرع مع CC تعطي

H‾=−R′/R1+jR′Cω,\underline H = -\frac{R'/R}{1 + jR'C\omega},

أي مرشّح تمرير منخفض من الرتبة الأولى كسبه في التيار المستمر −R′/R-R'/R وتواتر قطعه 1/R′C1/R'C، وهو يكامل من أجل ω≫1/R′C\omega \gg 1/R'C لكنه لا ينجرف إلى الإشباع. وكذلك الدارة المشتقّة (مكثف عند الدخل و مقاومة تغذيةً راجعة: Vs=−RC  ⁣dVe/ ⁣dtV_s = -RC\,\dd V_e/\dd t و H‾=−jRCω\underline H = -jRC\omega) تضخّم ضجيج التواترات العالية بلا حدّ ما لم تحدّ مقاومة صغيرة على التسلسل كسبَها.

المكامِل ومخطط بودي له (بالأزرق، -20\, dB/ decade على امتداده كله، وكسب لانهائي في التيار المستمر)؛ ومع مقاومة على طرفَي C يُحدّ الكسب عند التواترات المنخفضة (بالأحمر): أي مرشّح تمرير منخفض يكامل فوق تواتر قطعه.
المكامِل ومخطط بودي له (بالأزرق، −20 dB/decade-20\,\mathrm{dB}/\mathrm{decade} على امتداده كله، وكسب لانهائي في التيار المستمر)؛ ومع مقاومة على طرفَي CC يُحدّ الكسب عند التواترات المنخفضة (بالأحمر): أي مرشّح تمرير منخفض يكامل فوق تواتر قطعه.

مثال 10.11 (مثلث من مربع)

R=10 kΩR = 10\,\mathrm{k}\Omega و C=100 nFC = 100\,\mathrm{nF} و 1/RC=1000 s−11/RC = 1000\,\mathrm{s}^{-1}. وموجة مربعة عند 1 kHz1\,\mathrm{kHz} قدرها ±1 V\pm1\,\mathrm{V} تعطي مثلثًا ميله ∓1000 V/s\mp1000\,\mathrm{V}/\mathrm{s} وسعته ET/4RC=0.25 VET/4RC = 0.25\,\mathrm{V} — بلا التوهين 1/ω1/\omega الذي في دارة RC سلبية، وبخرج معدوم الممانعة يغذّي المرحلة التالية.

10.4 المرشّحات الفعّالة

قضية 10.12 (تمرير منخفض فعّال من الرتبة الأولى)

المضخّم القالب مع مكثف CC على طرفَي مقاومة تغذيته الراجعة R2R_2 له

H‾=−R2/R11+jR2Cω:\underline H = -\frac{R_2/R_1}{1 + jR_2C\omega}:

أي تمرير منخفض كسبه في التيار المستمر −R2/R1-R_2/R_1 (وقد يتجاوز 11) وتواتر قطعه ωc=1/R2C\omega_c = 1/R_2C، بممانعة خرج معدومة — فتتتالى المراحل بالضرب البسيط.

برهان. مضخّم قالب مع ممانعة التغذية الراجعة R2∥1/jCω=R2/(1+jR2Cω)R_2 \parallel 1/jC\omega = R_2/(1 + jR_2C\omega) بدلًا من R2R_2. ∎

10.5 بلا تغذية راجعة سالبة: المقارِنات

قضية 10.13 (المقارِن)

بلا تغذية راجعة يكون المضخّم المثالي مشبَعًا: Vs=+VsatV_s = +V_{\mathrm{sat}} إذا كان V+>V−V_+ > V_-، و −Vsat-V_{\mathrm{sat}} إذا كان V+<V−V_+ < V_-. ومع مرجع VrefV_{\mathrm{ref}} على أحد المدخلين و إشارة على الآخر، يخبر الخرج هل تتجاوز الإشارة المرجع — أي محوّل ببتّ واحد.

برهان. يتجاوز μϵ\mu\epsilon القيمة VsatV_{\mathrm{sat}} من أجل أيّ ∣ϵ∣>Vsat/μ∼0.1 mV\abs\epsilon > V_{\mathrm{sat}}/\mu \sim 0.1\,\mathrm{mV}. ∎

قضية 10.14 (قادح شميت)

أعِد كسرًا β=R1/(R1+R2)\beta = R_1/(R_1 + R_2) من الخرج إلى V+V_+ (مجزّئ R1R_1 إلى الأرضي و R2R_2 من الخرج) وطبّق الإشارة VeV_e على V−V_-. عندئذٍ ينتقل الخرج من +Vsat+V_{\mathrm{sat}} إلى −Vsat-V_{\mathrm{sat}} حين يرتفع VeV_e فوق +βVsat+\beta V_{\mathrm{sat}}، ويعود حين يهبط VeV_e دون −βVsat-\beta V_{\mathrm{sat}}: أي عتبتان و تخلّف عرضه 2βVsat2\beta V_{\mathrm{sat}}، محصَّن ضد ضجيج أصغر من ذلك العرض.

برهان. تغذية راجعة موجبة: فالحالة مشبَعة. فإذا كان Vs=+VsatV_s = +V_{\mathrm{sat}} كان V+=βVsatV_+ = \beta V_{\mathrm{sat}}، وبقي ϵ=βVsat−Ve\epsilon = \beta V_{\mathrm{sat}} - V_e موجبًا حتى يتجاوز VeV_e القيمة βVsat\beta V_{\mathrm{sat}}؛ عندئذٍ ينقلب الخرج، ويهبط V+V_+ إلى −βVsat-\beta V_{\mathrm{sat}}، وتدوم الحالة الجديدة حتى يهبط VeV_e دون تلك القيمة. ∎

قادح شميت: التغذية الراجعة الموجبة عبر R_1 و R_2 تعطي عتبتين ± V_ sat. وينقلب الخرج من العالي إلى المنخفض حين يرتفع V_e فوق العتبة العليا، ومن المنخفض إلى العالي حين يهبط دون العتبة الدنيا (بالأسهم): أي دورة تخلّف.
قادح شميت: التغذية الراجعة الموجبة عبر R1R_1 و R2R_2 تعطي عتبتين ±βVsat\pm\beta V_{\mathrm{sat}}. وينقلب الخرج من العالي إلى المنخفض حين يرتفع VeV_e فوق العتبة العليا، ومن المنخفض إلى العالي حين يهبط دون العتبة الدنيا (بالأسهم): أي دورة تخلّف.

مثال 10.15 (مذبذب الاسترخاء)

أعِد وصل خرج قادح شميت إلى مدخله القالب نفسه عبر RR، مع CC من V−V_- إلى الأرضي. عندئذٍ يُشحن المكثف نحو ±Vsat\pm V_{\mathrm{sat}} ويقلب القادح كلما بلغ ±βVsat\pm\beta V_{\mathrm{sat}}: فيكون الخرج موجة مربعة، ويكون توتر المكثف سلسلة أقواس أسّية، ويكون الدور

T=2RCln⁡1+β1−βT = 2RC\ln\frac{1 + \beta}{1 - \beta}

(التمرين 10.12): أي 2.2 RC2.2\,RC من أجل β=12\beta = \tfrac12. فلا دخل، ومكثف واحد، وساعة — أي جملة تتذبذب لأنها لا تستطيع الاستقرار، وهو موضوع يعود مع مذبذبات التغذية الراجعة في مجلد السنة الثانية.

10.6 تمارين

تمرين 10.1 ★

مضخّم غير قالب له R1=1.0 kΩR_1 = 1.0\,\mathrm{k}\Omega و R2=9.0 kΩR_2 = 9.0\,\mathrm{k}\Omega و Vsat=15 VV_{\mathrm{sat}} = 15\,\mathrm{V}. فما الكسب؟ وما الخرج من أجل Ve=0.50 VV_e = 0.50\,\mathrm{V}؟ وما أكبر دخل قبل الإشباع؟

حل

حل التمرين 10.1.

G=1+9=10G = 1 + 9 = 10؛ وVs=5.0 VV_s = 5.0\,\mathrm{V}؛ والإشباع عند Ve=15/10=1.5 VV_e = 15/10 = 1.5\,\mathrm{V}.

تمرين 10.2 ★

مضخّم قالب له R1=10 kΩR_1 = 10\,\mathrm{k}\Omega و R2=100 kΩR_2 = 100\,\mathrm{k}\Omega. أعطِ الكسب وممانعة الدخل والتيار المسحوب من منبع 1.0 V1.0\,\mathrm{V} والخرج.

حل

حل التمرين 10.2.

G=−10G = -10؛ وممانعة الدخل R1=10 kΩR_1 = 10\,\mathrm{k}\Omega؛ وi=1.0/104=0.10 mAi = 1.0/10^4 = 0.10\,\mathrm{mA}؛ وVs=−10 VV_s = -10\,\mathrm{V}.

تمرين 10.3 ★

محسّ مقاومته الداخلية 10 kΩ10\,\mathrm{k}\Omega وتوتر دارته المفتوحة 1.0 V1.0\,\mathrm{V} يجب أن يقود حمولة 1.0 kΩ1.0\,\mathrm{k}\Omega. فما التوتر على طرفَي الحمولة دون تابع بينهما ومعه؟

حل

حل التمرين 10.3.

دون تابع: المجزّئ 1/(1+10)=0.0911/(1 + 10) = 0.091، أي 91 mV91\,\mathrm{mV}. ومع التابع: 1.0 V1.0\,\mathrm{V} — فالتابع لا يسحب شيئًا من المحسّ ويقدّم 1 mA1\,\mathrm{mA} التي تحتاجها الحمولة.

تمرين 10.4 ★

مضخّم جامع له Rf=10 kΩR_f = 10\,\mathrm{k}\Omega ومدخلاه عبر 10 kΩ10\,\mathrm{k}\Omega و20 kΩ20\,\mathrm{k}\Omega. اكتب VsV_s؛ واحسبه من أجل V1=1.0 VV_1 = 1.0\,\mathrm{V} و V2=2.0 VV_2 = 2.0\,\mathrm{V}.

حل

حل التمرين 10.4.

Vs=−Rf(V1/R1+V2/R2)=−(V1+V2/2)=−(1.0+1.0)=−2.0 VV_s = -R_f(V_1/R_1 + V_2/R_2) = -(V_1 + V_2/2) = -(1.0 + 1.0) = -2.0\,\mathrm{V}.

تمرين 10.5 ★★

اشتقّ للمضخّم الفارقي العلاقة Vs=(R2/R1)(V2−V1)V_s = (R_2/R_1)(V_2 - V_1). ومع R1=10 kΩR_1 = 10\,\mathrm{k}\Omega و R2=100 kΩR_2 = 100\,\mathrm{k}\Omega و V1=1.00 VV_1 = 1.00\,\mathrm{V} و V2=1.05 VV_2 = 1.05\,\mathrm{V}: ما الخرج؟ وماذا حلّ بالمقدار 1 V1\,\mathrm{V} المشترك بين المدخلين؟

حل

حل التمرين 10.5.

V+=V2R2/(R1+R2)V_+ = V_2R_2/(R_1 + R_2)؛ وعند V−V_-: (V1−V−)/R1=(V−−Vs)/R2(V_1 - V_-)/R_1 = (V_- - V_s)/R_2، ومنه Vs=V−(1+R2/R1)−V1R2/R1V_s = V_-(1 + R_2/R_1) - V_1R_2/R_1؛ ومع V−=V+V_- = V_+: Vs=V2R2/R1−V1R2/R1V_s = V_2R_2/R_1 - V_1R_2/R_1. والأعداد: 10×0.05=0.50 V10 \times 0.05 = 0.50\,\mathrm{V}؛ والمقدار 1 V1\,\mathrm{V} المشترك لا يسهم بشيء — وهو رفض النمط المشترك.

تمرين 10.6 ★★

مكامِل مع R=10 kΩR = 10\,\mathrm{k}\Omega و C=100 nFC = 100\,\mathrm{nF}، وخرجه معدوم ابتداءً. تُطبَّق قفزة 1.0 V1.0\,\mathrm{V}: فما ميل الخرج و الزمن اللازم للإشباع (15 V15\,\mathrm{V})؟ ومع موجة مربعة عند 1.0 kHz1.0\,\mathrm{kHz} قدرها ±1.0 V\pm1.0\,\mathrm{V}: ما شكل الخرج وسعته؟

حل

حل التمرين 10.6.

Vs=−(1/RC)∫VeV_s = -(1/RC)\int V_e: فالميل −1000×1.0=−1000 V/s-1000 \times 1.0 = -1000\,\mathrm{V}/\mathrm{s}؛ والإشباع بعد 15/1000=15 ms15/1000 = 15\,\mathrm{ms}. وللموجة المربعة: مثلث سعته ET/4RC=1.0×10−3/(4×10−3)=0.25 VET/4RC = 1.0 \times 10^{-3}/(4 \times 10^{-3}) = 0.25\,\mathrm{V} (زائد ما تركته الشحنة الابتدائية من ثابت).

تمرين 10.7 ★★

تُضاف مقاومة 1.0 MΩ1.0\,\mathrm{M}\Omega على طرفَي مكثف المكامِل السابق. أعطِ دالة النقل والكسب في التيار المستمر وتواتر القطع والكسب عند 1.0 kHz1.0\,\mathrm{kHz}؛ وفي أيّ مجال تظلّ الدارة تكامل؟

حل

حل التمرين 10.7.

H‾=−(R′/R)/(1+jR′Cω)\underline H = -(R'/R)/(1 + jR'C\omega): فالكسب في التيار المستمر −100-100؛ وتواتر القطع 1/(2πR′C)=1.6 Hz1/(2\pi R'C) = 1.6\,\mathrm{Hz}؛ وعند 1 kHz1\,\mathrm{kHz} يكون R′Cω=628R'C\omega = 628 و G=100/628=0.16G = 100/628 = 0.16 — أي قيمة المكامِل 1/RCω1/RC\omega. وهو يكامل من أجل f≫1.6 Hzf \gg 1.6\,\mathrm{Hz}.

تمرين 10.8 ★★

صمّم مرشّح تمرير منخفض فعّالًا قالبًا كسبه 20 dB20\,\mathrm{dB} في نطاق التمرير وتواتر قطعه 500 Hz500\,\mathrm{Hz}، مستعملًا R1=1.0 kΩR_1 = 1.0\,\mathrm{k}\Omega.

حل

حل التمرين 10.8.

R2/R1=10R_2/R_1 = 10: ومنه R2=10 kΩR_2 = 10\,\mathrm{k}\Omega؛ وC=1/(2πR2fc)=1/(2π×104×500)=32 nFC = 1/(2\pi R_2f_c) = 1/(2\pi \times 10^4 \times 500) = 32\,\mathrm{nF}.

تمرين 10.9 ★★

مضخّم حقيقي له μ0=105\mu_0 = 10^5 و fT=1.0 MHzf_T = 1.0\,\mathrm{MHz}. ومن أجل مضخّم غير قالب مصمَّم لكسب قدره 100100: أوجد الكسب الفعلي في التيار المستمر (مع إبقاء μ0\mu_0 منتهيًا في التحليل)، وعرض النطاق. وما عرض نطاق تابع؟

حل

حل التمرين 10.9.

مع μ\mu منتهٍ: Vs=μ(Ve−βVs)V_s = \mu(V_e - \beta V_s) حيث β=1/100\beta = 1/100، ومنه G=μ/(1+μβ)=105/(1+103)=99.9G = \mu/(1 + \mu\beta) = 10^5/(1 + 10^3) = 99.9. وعرض النطاق fT/G=10 kHzf_T/G = 10\,\mathrm{kHz}؛ وللتابع: 1 MHz1\,\mathrm{MHz}.

تمرين 10.10 ★★★

مقارِن مع Vref=2.0 VV_{\mathrm{ref}} = 2.0\,\mathrm{V} على V−V_- يراقب إشارة ترتفع ببطء وتحمل 50 mV50\,\mathrm{mV} من الضجيج. صف الخرج وهي تعبر 2.0 V2.0\,\mathrm{V}. وما العلاج؟

حل

حل التمرين 10.10.

كل جولة ضجيج تعبر 2.0 V2.0\,\mathrm{V} تقلب الخرج: أي رشقة من التبديل السريع (“الرفرفة”) حول العبور. والعلاج: تخلّف أعرض من الضجيج، أي قادح شميت.

تمرين 10.11 ★★★

قادح شميت مع R1=1.0 kΩR_1 = 1.0\,\mathrm{k}\Omega و R2=9.0 kΩR_2 = 9.0\,\mathrm{k}\Omega و Vsat=15 VV_{\mathrm{sat}} = 15\,\mathrm{V}: اشتقّ العتبتين واحسبهما. وارسم VsV_s من أجل VeV_e مثلثي سعته 3 V3\,\mathrm{V}.

حل

حل التمرين 10.11.

V+=VsR1/(R1+R2)=Vs/10V_+ = V_sR_1/(R_1 + R_2) = V_s/10: فالعتبتان ±1.5 V\pm1.5\,\mathrm{V}. ويكون الخرج +15 V+15\,\mathrm{V} بينما يرتفع VeV_e حتى 1.5 V1.5\,\mathrm{V}، ثم ينقلب إلى −15 V-15\,\mathrm{V}، ويبقى هناك حتى يهبط VeV_e دون −1.5 V-1.5\,\mathrm{V}، ثم ينقلب راجعًا: أي موجة مربعة بتواتر المثلث، وحوافها عند عبور العتبتين.

تمرين 10.12 ★★★

مذبذب استرخاء مع R1=R2R_1 = R_2 (أي β=12\beta = \tfrac12). اشتقّ الدور T=2RCln⁡1+β1−βT = 2RC\ln\frac{1 + \beta}{1 - \beta} من شحن CC عبر RR بين العتبتين؛ واختر RR من أجل 1.0 kHz1.0\,\mathrm{kHz} مع C=100 nFC = 100\,\mathrm{nF}؛ وارسم Vs(t)V_s(t) و VC(t)V_C(t).

حل

حل التمرين 10.12.

مع Vs=+VsatV_s = +V_{\mathrm{sat}} يُشحن VCV_C من −βVsat-\beta V_{\mathrm{sat}} نحو +Vsat+V_{\mathrm{sat}}: VC=Vsat−(1+β)Vsate−t/RCV_C = V_{\mathrm{sat}} - (1 + \beta)V_{\mathrm{sat}} \eu^{-t/RC}، ويبلغ +βVsat+\beta V_{\mathrm{sat}} حين يكون e−t/RC=(1−β)/(1+β)\eu^{-t/RC} = (1 - \beta)/(1 + \beta): فنصف الدور RCln⁡1+β1−βRC\ln\frac{1 + \beta}{1 - \beta}، ومنه TT. ومن أجل β=12\beta = \tfrac12: T=2RCln⁡3=2.2RCT = 2RC\ln 3 = 2.2RC؛ وRC=1/(2.2×103)=0.455 msRC = 1/(2.2 \times 10^3) = 0.455\,\mathrm{ms} و R=4.6 kΩR = 4.6\,\mathrm{k}\Omega. وVsV_s: موجة مربعة ±15 V\pm15\,\mathrm{V}؛ وVCV_C: أقواس أسّية بين ±7.5 V\pm7.5\,\mathrm{V}.

10.7 مسألة: سلسلة قياس لمقياس تشوّه

مسألة 10.1

مسألة نهاية الأسبوع — من مليفولطين على عارضة جسر إلى مصباح أحمر: توابع ومضخّم فارقي ومرشّح فعّال وقادح شميت، والنقصان اللذان يقرّران هل تعمل السلسلة

مقياس تشوّه مقاومته R(1+ϵ)R(1 + \epsilon) حيث R=1.00 kΩR = 1.00\,\mathrm{k}\Omega و 0≤ϵ≤2.0×10−30 \leq \epsilon \leq 2.0 \times 10^{-3}، يشكّل جسر ويتستون مع ثلاث مقاومات ثابتة 1.00 kΩ1.00\,\mathrm{k}\Omega، يغذّيه E=5.00 VE = 5.00\,\mathrm{V}. وخرج الجسر u=VB−VAu = V_B - V_A (بين النقطتين الوسطيتين) هو u≈Eϵ/4u \approx E\epsilon/4 (وتُختار الإشارة بالتوصيل). والمضخّمات: مثالية ما لم يُذكر خلاف ذلك؛ و Vsat=15 VV_{\mathrm{sat}} = 15\,\mathrm{V}؛ وعند الحاجة، fT=1.0 MHzf_T = 1.0\,\mathrm{MHz}، ومعدل انزلاق 0.5 V/µs0.5\,\mathrm{V}/\text{µ}\mathrm{s}، وإزاحة دخل 1 mV1\,\mathrm{mV}.

الجزء I — الجسر وتحميله.

  1. ذكّر لماذا يكون u≈Eϵ/4u \approx E\epsilon/4 من أجل ϵ\epsilon صغير.
  2. احسب uu عند المدى الكامل (أي ϵ=2.0×10−3\epsilon = 2.0 \times 10^{-3}).
  3. أعطِ كمون كل نقطة وسطى (بالنسبة إلى طرف الجسر السالب) عند تشوّه معدوم وعند المدى الكامل. وماذا تسمّى قيمتهما المشتركة؟
  4. كل نقطة وسطى خرجُ مجزّئ من مقاومتين 1 kΩ1\,\mathrm{k}\Omega: فما المقاومة التيفنانية المرئية بين النقطتين الوسطيتين؟
  5. يُوصل مضخّم مقاومة دخله 10 kΩ10\,\mathrm{k}\Omega على طرفَي خرج الجسر: فأيّ كسر من uu يتلقاه؟
  6. لماذا يعالج تابعٌ على كل نقطة وسطى هذا؟ اذكر الخاصيتين المستعملتين.
  7. ما توترا خرج التابعين (بدلالة VAV_A و VBV_B)، وأيّ تيار يسحبانه من الجسر؟

الجزء II — تضخيم الفرق.

  1. يغذّي التابعان مضخّمًا فارقيًّا (R1R_1 عند كلا المدخلين، و R2R_2 تغذيةً راجعة وإلى الأرضي). اشتقّ Vs=(R2/R1)(VB−VA)V_s = (R_2/R_1)(V_B - V_A).
  2. اختر R1=10 kΩR_1 = 10\,\mathrm{k}\Omega و R2R_2 من أجل كسب قدره 100100.
  3. مرحلة ثانية غير قالبة تضرب في 1010: أعطِ مقاومتيها والكسب الكلي والخرج عند المدى الكامل.
  4. تقع النقطتان الوسطيتان قرب E/2=2.5 VE/2 = 2.5\,\mathrm{V} (وهو توتر النمط المشترك). فماذا يفعل به مضخّم فارقي مطابَق تمامًا؟ وإذا اختلّت إحدى نسب المقاومات بمقدار 1%1\%، فقدّر التوتر الزائف منسوبًا إلى الدخل وقارنه بالإشارة.
  5. للمضخّم الأول إزاحة دخل قدرها 1 mV1\,\mathrm{mV}. فأيّ خطأ في الخرج ينتجه بعد الكسب الكلي؟ واستنتج.
  6. مع fT=1 MHzf_T = 1\,\mathrm{MHz}، ما عرض نطاق كل مرحلة؟ وهل يكفي لإشارة دون 5 Hz5\,\mathrm{Hz}؟
  7. يجب أن يتأرجح الخرج بمقدار 2.5 V2.5\,\mathrm{V} حين تصل شاحنة في نحو 10 ms10\,\mathrm{ms}: فهل يحدّ معدل الانزلاق ذلك؟

الجزء III — الترشيح. تحمل الإشارة المضخَّمة همهمة عند 50 Hz50\,\mathrm{Hz} ملتقَطة من الشبكة.

  1. صمّم مرشّح تمرير منخفض فعّالًا قالبًا كسبه −1-1 وتواتر قطعه 10 Hz10\,\mathrm{Hz}، مستعملًا R1=R2=16 kΩR_1 = R_2 = 16\,\mathrm{k}\Omega: أوجد CC.
  2. احسب توهينه عند 50 Hz50\,\mathrm{Hz} بالديسيبل.
  3. احسب انزياح الطور عند 5 Hz5\,\mathrm{Hz} والتأخير الموافق. وهل هو مقبول لإنذار؟
  4. لماذا يُفضَّل مرشّح فعّال هنا على مرشّح RC سلبي (لسببين)؟
  5. تُوضع مرحلة ثانية مماثلة على التتالي: فما التوهين عند 50 Hz50\,\mathrm{Hz}؟ ولماذا تكون قاعدة الجداء تامة هنا؟

الجزء IV — العتبة والإنذار. يجب أن ينطلق الإنذار حين يتجاوز التشوّه 1.6×10−31.6 \times 10^{-3}.

  1. أيّ توتر خرج للسلسلة يوافق ذلك؟ ومقارِن بهذا المرجع: ما حالتا خرجه؟
  2. ما زالت الإشارة المرشَّحة تحمل 50 mV50\,\mathrm{mV} من الضجيج قرب العتبة. فماذا يفعل المقارِن البسيط؟
  3. قادح شميت مع المرجع على أحد المدخلين وتغذية راجعة β\beta: بيّن أن العتبتين هما Vref±βVsatV_{\mathrm{ref}} \pm \beta V_{\mathrm{sat}}؛ واختر β\beta من أجل ±0.10 V\pm0.10\,\mathrm{V} وأعطِ R1R_1 و R2R_2.
  4. اذكر العتبتين بالفولط وبالتشوّه.
  5. يقود الخرج ثنائي LED (2.0 V2.0\,\mathrm{V} و13 mA13\,\mathrm{mA}) عبر مقاومة: احسبها. وما الذي يحمي الثنائي حين يكون الخرج عند −Vsat-V_{\mathrm{sat}}؟
  6. لخّص السلسلة مرحلةً مرحلة، وسمِّ الانحرافين عن المثالية اللذين يفرضان حدودها الحقيقية.
حل

حل المسألة 10.1.

1. مجزّئان: u=E[12−(1+ϵ)/(2+ϵ)]≈−Eϵ/4u = E[\tfrac12 - (1 + \epsilon)/(2 + \epsilon)] \approx -E\epsilon/4 (القضية 6.22)؛ والتوصيل يثبّت الإشارة.

2. u=5.00×2.0×10−3/4=2.5 mVu = 5.00 \times 2.0\times10^{-3}/4 = 2.5\,\mathrm{mV}.

3. VA=E/2=2.500 VV_A = E/2 = 2.500\,\mathrm{V} دائمًا؛ وVB=E(1+ϵ)/(2+ϵ)≈2.500+0.0025=2.5025 VV_B = E(1 + \epsilon)/(2 + \epsilon) \approx 2.500 + 0.0025 = 2.5025\,\mathrm{V} عند المدى الكامل. و المقدار 2.5 V2.5\,\mathrm{V} المشترك بينهما هو توتر النمط المشترك.

4. كل نقطة وسطى: 1∥1=500 Ω1 \parallel 1 = 500\,\Omega؛ وبين النقطتين الوسطيتين، 1.0 kΩ1.0\,\mathrm{k}\Omega.

5. 10/(10+1)=0.9110/(10 + 1) = 0.91: أي ضياع قدره 9%9\%.

6. ممانعة دخل لانهائية (فلا تيار من الجسر، وتبقى النقطتان الوسطيتان على كموني دارتهما المفتوحة) وممانعة خرج معدومة (فتستطيع المرحلة التالية أن تسحب ما تحتاجه).

7. VAV_A و VBV_B بالضبط؛ وتيار معدوم.

8. كما في القضية 10.8: V+=VBR2/(R1+R2)V_+ = V_BR_2/(R_1 + R_2)، ثم قانون العقد عند V−V_-، ثم V−=V+V_- = V_+.

9. R2=1.0 MΩR_2 = 1.0\,\mathrm{M}\Omega.

10. 1+R2/R1=101 + R_2/R_1 = 10: مثلًا 1 kΩ1\,\mathrm{k}\Omega و9 kΩ9\,\mathrm{k}\Omega. والكسب الكلي 10001000؛ والمدى الكامل 2.5×10−3×1000=2.5 V2.5 \times 10^{-3} \times 1000 = 2.5\,\mathrm{V}.

11. مع التطابق: يتلاشى المقدار المشترك 2.5 V2.5\,\mathrm{V} تمامًا (فلا يبقى إلا VB−VAV_B - V_A). أما عدم تطابق قدره 1%1\% فيمرّر نحو 1%1\% منه: أي خطأ منسوب إلى الدخل من رتبة 25 mV25\,\mathrm{mV}، وهو عشرة أضعاف إشارة المدى الكامل — فيجب أن تتطابق المقاومات الأربع إلى أفضل من 0.01%0.01\% (أو يُزال توتر النمط المشترك أولًا).

12. 1 mV×1000=1 V1\ \mathrm{mV} \times 1000 = 1\,\mathrm{V}، أي أربعون بالمئة من المدى الكامل: فهو غير صالح للاستعمال دون تعديل الإزاحة، أو مضخّم منخفض الإزاحة، أو معايرة صفرية بلا حمل على العارضة.

13. المرحلة 1: fT/100=10 kHzf_T/100 = 10\,\mathrm{kHz}؛ والمرحلة 2: 100 kHz100\,\mathrm{kHz}؛ أي أعلى بكثير من 5 Hz5\,\mathrm{Hz}.

14. المطلوب 2.5/10−2=250 V/s=0.25 mV/µs2.5/10^{-2} = 250\,\mathrm{V}/\mathrm{s} = 0.25\,\mathrm{mV}/\text{µ}\mathrm{s}، أي أدنى بألفَي مرة من معدل الانزلاق: فلا.

15. C=1/(2πR2fc)=1/(2π×1.6×104×10)=1.0 µFC = 1/(2\pi R_2f_c) = 1/(2\pi \times 1.6\times10^4 \times 10) = 1.0\,\text{µ}\mathrm{F}.

16. x=5x = 5: ومنه G=1/26G = 1/\sqrt{26}، أي −14 dB-14\,\mathrm{dB}.

17. φ=−arctan⁡0.5=−27∘\varphi = -\arctan 0.5 = -27^\circ؛ والتأخير φ/ω=15 ms\varphi/\omega = 15\,\mathrm{ms} — وهو لا شيء أمام مرور شاحنة.

18. لا تحميل للمرحلة التالية (بفضل ممانعة الخرج المعدومة) ووجود كسب متاح؛ وكذلك لا توهين للإشارة المطلوبة دون تواتر القطع.

19. −28 dB-28\,\mathrm{dB} (فالكسوب تتضارب والديسيبلات تُجمع)، وهو تامّ لأن ممانعة خرج المرحلة الأولى معدومة: فالمرحلة الثانية لا تحمّلها.

20. ϵ=1.6×10−3→u=2.0 mV→2.0 V\epsilon = 1.6\times10^{-3} \to u = 2.0\,\mathrm{mV} \to 2.0\,\mathrm{V}؛ والخرج +Vsat+V_{\mathrm{sat}} حين تتجاوز الإشارة 2.0 V2.0\,\mathrm{V}، و −Vsat-V_{\mathrm{sat}} دونها (أو العكس، حسب التوصيل).

21. يرفرف: فيومض المصباح كلما عبر الضجيج المرجع.

22. مع VrefV_{\mathrm{ref}} عبر R2R_2 والخرج عبر R1R_1… في الصورة المعيارية يقع المدخل غير القالب عند Vref(1−β)+βVsV_{\mathrm{ref}}(1 - \beta) + \beta V_s؛ وبأخذ المرجع منزاحًا تبعًا لذلك، تكون مستويات التبديل Vref±βVsatV_{\mathrm{ref}} \pm \beta V_{\mathrm{sat}}. ومن βVsat=0.10 V\beta V_{\mathrm{sat}} = 0.10\,\mathrm{V} نجد β=1/150\beta = 1/150، مثلًا R1=1.0 kΩR_1 = 1.0\,\mathrm{k}\Omega و R2=149 kΩR_2 = 149\,\mathrm{k}\Omega.

23. 2.1 V2.1\,\mathrm{V} (للانطلاق) و1.9 V1.9\,\mathrm{V} (للعودة): أي تشوّهان 1.68×10−31.68 \times 10^{-3} و1.52×10−31.52 \times 10^{-3}.

24. R=(15−2.0)/0.013=1.0 kΩR = (15 - 2.0)/0.013 = 1.0\,\mathrm{k}\Omega. وعند −Vsat-V_{\mathrm{sat}} يكون الثنائي منحازًا عكسيًّا بمقدار 15 V15\,\mathrm{V}، أي فوق تقنينه: فيحميه ثنائي عادي على التوازي المعاكس (أو على التسلسل).

25. الجسر (2.5 mV2.5\,\mathrm{mV} عند المدى الكامل) →\to تابعان (بلا تحميل) →\to مضخّم فارقي ×100\times100 →\to مضخّم غير قالب ×10\times10 →\to تمرير منخفض فعّال عند 10 Hz10\,\mathrm{Hz} →\to قادح شميت عند 2.0 V±0.1 V2.0\,\mathrm{V} \pm 0.1\,\mathrm{V} →\to ثنائي LED. والحدود الحقيقية: توتر الإزاحة عند الدخل وتطابق مقاومات المضخّم الفارقي، وكلاهما يقارن إشارة المليفولط.

المصطلحات المعرَّفة في هذا الفصل

عرض كل المصطلحات (393) في المسرد