الفيزياء الجامعية — السنة الأولى · Bachelor Year 1

25تغيّرات طور مادة نقية

الماء هو المادة الوحيدة التي رآها الجميع في الحالات الثلاث، وهو المائع العامل في معظم محطات التوليد في العالم، والمائع المبرِّد في أوائل آلات الثلج، ومحرك الطقس. والجليد ينصهر عند درجة حرارة لا تتزحزح والحرارة تنهال عليه؛ والغلاية تغلي عند $100{}^{\circ}\mathrm{C}$ على شاطئ البحر وعند $70{}^{\circ}\mathrm{C}$ على إفرست؛ وقارورة محكمة فيها ماء شديد البرودة تتجمد بضربة خفيفة. ويرسم هذا الفصل خريطة أطوار مادة نقية — أي مخططَي $(T, P)$ و $(v, P)$ — ويعطي الأدوات الثلاث التي ترافقها: قاعدة الرافعة (كم من كل طور)، والحرارة الكامنة (كم يكلّف التغيّر، طاقةً وإنتروبيا)، وعلاقة كلاوزيوس-كلابيرون (كيف تميل خطوط الحدود). وينتهي حيث تخفق الخريطة: عند الحالات شبه المستقرة، ومنها يأتي الطقس ومفاجآت قِدر الضغط.

25.1 الأطوار ومخطط $(T, P)$

تعريف 25.1 (المادة النقية والطور وتغيّر الطور)

المادة النقية جسم من نوع كيميائي واحد. والطور جزء منها متجانس في خواصه الفيزيائية: صلب أو سائل أو غاز (ويُسمّى بخارًا حين يتعايش مع سائله). وتغيّر الطور (انصهار/تجمّد، تبخّر/تكاثف، تسامٍ/ترسّب) هو الانتقال من طور إلى آخر؛ ويقع عند ضغط ثابت عند درجة حرارة ثابتة، مع تبادل حرارة بلا تغيّر في درجة الحرارة: هي الحرارة الكامنة.

قضية 25.2 (مخطط التوازن)

في المستوي $(T, P)$ يشغل كل طور منطقة؛ ولا يتعايش طوران إلا على منحنٍ (تسامٍ، انصهار، تبخّر)، ولا تتعايش الثلاثة إلا عند نقطة واحدة، هي النقطة الثلاثية. ومنحني التبخّر $P = P_s(T)$ — وهو ضغط البخار المشبع — ينتهي عند النقطة الحرجة $(T_c, P_c)$ ، ولا يبقى السائل والغاز متمايزين وراءها. وفي الماء: النقطة الثلاثية $273.16\,\mathrm{K}$ و $611\,\mathrm{Pa}$ ؛ والنقطة الحرجة $647\,\mathrm{K}$ و $221\,\mathrm{bar}$ . ومنحني انصهار الماء يميل إلى اليسار (فالجليد أقل كثافة من الماء)؛ أما في كل مادة أخرى تقريبًا فيميل إلى اليمين.

برهان. نقبله في هذا المستوى. ∎

مخطط أطوار الماء (لا بمقياس). ويتبع التسخين عند الضغط الجوي متساوي الضغط المتقطع: فينصهر الجليد حيث يقطع منحني الانصهار، ويغلي الماء حيث يقطع منحني التبخّر. ومنحني انصهار الماء يميل إلى اليسار: فالضغط يخفض درجة انصهاره.

ملاحظة 25.3 (الغليان والتبخّر السطحي وقِدر الضغط)

يتبخر السائل عند أيّ درجة حرارة من سطحه، ما دام الضغط الجزئي لبخاره فوقه دون $P_s(T)$ ؛ ويغلي حين يبلغ $P_s(T)$ الضغطَ المحيط، فتستطيع فقاعات البخار أن تنمو في داخله. والماء يغلي عند $100{}^{\circ}\mathrm{C}$ لأن $P_s(100{}^{\circ}\mathrm{C}) = 1.013\,\mathrm{bar}$ ؛ وعند $0.33\,\mathrm{bar}$ على إفرست يغلي قرب $70{}^{\circ}\mathrm{C}$ ، وفي قِدر ضغط عند $1.8\,\mathrm{bar}$ قرب $117{}^{\circ}\mathrm{C}$ . ودرجة حرارة سائل يغلي يثبّتها الضغط — وهي واقعة استُعملت لتعريف سلّم سيلزيوس قرنين من الزمان.

25.2 مخطط $(v, P)$ وقاعدة الرافعة

قضية 25.4 (متساويات حرارة أندروز)

في مستوي كلابيرون $(v, P)$ للحجم النوعي، يكون لمتساوي حرارة $T < T_c$ ثلاثة أجزاء: فرع شديد الميل (وهو السائل، الذي يكاد لا ينضغط)، ومسطّح أفقي عند $P = P_s(T)$ يتعايش فيه السائل والبخار، وفرع شبيه بقطع زائد (وهو البخار). وطرفا المسطّح هما الحجمان النوعيان $v_l(T)$ و $v_v(T)$ للسائل والبخار المشبعين؛ ومحلّهما هو منحني التشبع (أي القبة)، وقمته النقطة الحرجة، حيث يكون لمتساوي الحرارة $T_c$ انعطاف أفقي. ولا وجود لمسطّح فوق $T_c$ .

برهان. نقبله في هذا المستوى. ∎

مبرهنة 25.5 (قاعدة الرافعة)

كتلة $m$ حجمها النوعي $v$ على المسطّح عند $T$ تنقسم إلى نسبة كتلية بخارية $x = m_v/m$ (وهي نسبة البخار) ونسبة سائلة $1 - x$ مع

v = (1 - x)v_l + x\,v_v , \qquad\text{أي}\qquad x = \frac{v - v_l}{v_v - v_l} = \frac{LM}{LV} ,

وهي نسبة القطعتين اللتين تقطعهما نقطة الحالة $M$ على المسطّح. وتصحّ القاعدة نفسها من أجل كل مقدار امتدادي لواحدة الكتلة ( $u$ و $h$ و $s$ ): $h = (1 - x)h_l + xh_v$ .

برهان. الحجوم تتجمع: $V = m_lv_l + m_vv_v$ ؛ فاقسم على $m$ . والطاقة والإنثالبي والإنتروبيا امتدادية كذلك. ∎

متساويات حرارة أندروز في مخطط كلابيرون. فتحت القبة يكون متساوي الحرارة T_1 مسطّحًا عند P_s(T_1)؛ وتكون حالة M عليه مزيجًا نسبته البخارية x هي النسبة LM/LV. ويلامس متساوي الحرارة الحرج القبةَ عند قمتها بانعطاف أفقي؛ وفوق T_c لا مسطّح ولا تمايز بين السائل والغاز. — متساويات حرارة أندروز في مخطط كلابيرون. فتحت القبة يكون متساوي الحرارة $T_1$ مسطّحًا عند $P_s(T_1)$ ؛ وتكون حالة $M$ عليه مزيجًا نسبته البخارية $x$ هي النسبة $LM/LV$ . ويلامس متساوي الحرارة الحرج القبةَ عند قمتها بانعطاف أفقي؛ وفوق $T_c$ لا مسطّح ولا تمايز بين السائل والغاز.

مثال 25.6 (غلاية ومِرجل)

الماء عند $100{}^{\circ}\mathrm{C}$ و $1\,\mathrm{atm}$ : $v_l = 1.04 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{kg}$ و $v_v = 1.67\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{kg}$ — أي بنسبة $1600$ . ووعاء مغلق سعته $1.0\,\mathrm{L}$ فيه $0.50\,\mathrm{kg}$ من الماء عند تلك الدرجة له $v = 2.0 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{kg}$ و $x = (2.0 - 1.04) \times 10^{-3}/1.67 = 5.8 \times 10^{-4}$ : أي $0.29\,\mathrm{g}$ من البخار تشغل نصف الوعاء. ومضاعفة كتلة البخار في وعاء محكم لا تكاد تزحزح نقطة الحالة؛ فالضغط تعيّنه درجة الحرارة وحدها.

25.3 طاقيات تغيّر الطور

قضية 25.7 (الحرارة الكامنة وإنثالبي التحول وإنتروبيته)

عند درجة الحرارة $T$ وضغط التعايش $P_s(T)$ ، يكون تحول واحدة الكتلة من الطور 1 إلى الطور 2 عكوسًا، ومتساوي الحرارة ومتساوي الضغط، ويكون

L_{12}(T) = h_2 - h_1 , \qquad s_2 - s_1 = \frac{L_{12}}{T} , \qquad u_2 - u_1 = L_{12} - P_s(v_2 - v_1) .

حيث $L_{12} > 0$ في الانتقال نحو الطور الأقل انتظامًا (الانصهار والتبخّر والتسامي)، ويكون $L_{21} = -L_{12}$ . وفي الماء عند $1\,\mathrm{atm}$ : $L_f = 334\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$ عند $0{}^{\circ}\mathrm{C}$ ، و $L_v = 2257\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$ عند $100{}^{\circ}\mathrm{C}$ .

برهان. تكون الحرارة المتلقاة عند ثبات الضغط هي $\Delta H$ (القضية 22.7)؛ وهي، بكونه عكوسًا ومتساوي الحرارة، $T\Delta S$ (القضية 23.3)؛ ولدينا $U = H - PV$ . ∎

مثال 25.8 (أين تذهب حرارة التبخّر)

في الماء عند $100{}^{\circ}\mathrm{C}$ : $P_s(v_v - v_l) = 1.013 \times 10^5 \times 1.67 = 169\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$ ، ومنه $u_v - u_l = 2257 - 169 = 2088\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$ : فيذهب $93\%$ من الحرارة الكامنة إلى تمزيق الجزيئات بعضها عن بعض، و $7\%$ إلى دفع الجوّ إلى الوراء. وإنتروبيا التبخّر، $2257/373 = 6.05\,\mathrm{kJ}/(\mathrm{kg}\,\mathrm{K})$ ، تقزّم إنتروبيا الانصهار، $334/273 = 1.22\,\mathrm{kJ}/(\mathrm{kg}\,\mathrm{K})$ : فالانصهار يرخي الجزيئات، والغليان يحرّرها.

طريقة 25.9 (المسعرية مع تغيّرات الطور)

في وعاء معزول عند ضغط ثابت يكون $\sum\Delta H_i = 0$ . فخمّن الحالة النهائية (أيّ الأطوار حاضر، وعند أيّ درجة حرارة)؛ واكتب $\Delta H$ لكل جسم بوصفها حرارات محسوسة $mc\,\Delta T$ زائد حرارات كامنة $\pm mL$ للتغيّرات التي يمرّ بها؛ ثم حُلّ؛ وتحقّق من التخمين: فجسم ينتهي فوق درجة غليانه أو دون درجة انصهاره، أو كتلة سالبة لطور، يعني أن التخمين كان خطأ — وتكون الحالة النهائية عندئذ مزيجًا عند درجة حرارة التحول، ويصير المجهول هو الكتلة المتحولة (المثال 22.13).

مثال 25.10 (حروق البخار)

$10\,\mathrm{g}$ من البخار عند $100{}^{\circ}\mathrm{C}$ تتكاثف على الجلد فتعطي $0.010 \times 2257 = 22.6\,\mathrm{kJ}$ قبل أن تبرد درجة واحدة — أي بقدر ما تعطيه $10\,\mathrm{g}$ من الماء المغلي وهي تبرد بمقدار $540\,\mathrm{K}$ . ولهذا يسلخ البخار أشدّ بكثير من الماء عند الدرجة نفسها، ولهذا يحتاج مشعّ بخاري إلى تدفق كتلي ضئيل.

القبة نفسها في مخطط الإنتروبيا. يقطعها متساوي ضغط في قطعة أفقية طولها L_v/T؛ والمساحة تحت القطعة هي الحرارة الكامنة. وتُرسم أدوار محطات التوليد في هذا المستوي، وتُقرأ نسبة البخار عند مخرج العنفة على القطعة بقاعدة الرافعة. — القبة نفسها في مخطط الإنتروبيا. يقطعها متساوي ضغط في قطعة أفقية طولها $L_v/T$ ؛ والمساحة تحت القطعة هي الحرارة الكامنة. وتُرسم أدوار محطات التوليد في هذا المستوي، وتُقرأ نسبة البخار عند مخرج العنفة على القطعة بقاعدة الرافعة.

25.4 علاقة كلاوزيوس-كلابيرون

مبرهنة 25.11 (كلاوزيوس-كلابيرون)

على امتداد منحني تعايش الطورين 1 و 2، يكون

\frac{\dd P_s}{\dd T} = \frac{L_{12}(T)}{T\,(v_2 - v_1)} .

برهان. أدر واحدة الكتلة في دور كارنو تفاضلي داخل القبة: تحول تامّ $1 \to 2$ على امتداد المسطّح عند $T + \dd T$ وعند الضغط $P_s + \dd P_s$ (فالحرارة المتلقاة $L_{12}$ إلى المرتبة الأولى)؛ ثم خطوة كظومة تفاضلية نزولًا إلى $T$ ؛ ثم التحول العكسي على امتداد المسطّح عند $T$ و $P_s$ ؛ ثم خطوة كظومة عائدة. والدور عكوس، ثنائي المنبع بين $T + \dd T$ و $T$ ، فيكون مردوده $\dd T/T$ (المبرهنة 24.5)؛ وشغله، وهو مساحة المستطيل الرفيع، هو $\dd P_s\,(v_2 - v_1)$ . ومنه $\dd P_s\,(v_2 - v_1)/L_{12} = \dd T/T$ . ∎

دور كارنو التفاضلي الذي يبرهن على علاقة كلاوزيوس-كلابيرون: مسطّحان يفصل بينهما T، تصل بينهما خطوتان كظومتان أقصر من أن تُرسما؛ وتساوي مبرهنة كارنو بين نسبة مساحته إلى الحرارة المتلقاة والمقدار T/T. — دور كارنو التفاضلي الذي يبرهن على علاقة كلاوزيوس-كلابيرون: مسطّحان يفصل بينهما $\dd T$ ، تصل بينهما خطوتان كظومتان أقصر من أن تُرسما؛ وتساوي مبرهنة كارنو بين نسبة مساحته إلى الحرارة المتلقاة والمقدار $\dd T/T$ .

نتيجة 25.12 (ضغط البخار المشبع لسائل)

إذا كان البخار غازًا مثاليًّا و $v_v \gg v_l$ ، بحيث يكون $v_v - v_l \approx RT/(MP_s)$ ، وإذا تغيّرت $L_v$ قليلًا، فإن

\frac{\dd P_s}{P_s} = \frac{ML_v}{R}\,\frac{\dd T}{T^2} , \qquad \ln\frac{P_s(T)}{P_s(T_0)} = \frac{ML_v}{R}\Bigl(\frac{1}{T_0} - \frac{1}{T}\Bigr) :

أي أن ضغط البخار يرتفع ارتفاعًا أسّيًّا تقريبًا مع درجة الحرارة. وفي الماء قرب $100{}^{\circ}\mathrm{C}$ : $ML_v/R = 0.018 \times 2.257 \times 10^6/ 8.314 = 4890\,\mathrm{K}$ و $\dd P_s/\dd T = 2.257 \times 10^6/(373 \times 1.67) = 3.6\,\mathrm{kPa}/\mathrm{K}$ : فكل كلفن إضافي في درجة الغليان يكلّف $36\,\mathrm{mbar}$ من الضغط الإضافي.

برهان. عوّض $v_v - v_l \approx RT/(MP_s)$ في المبرهنة وافصل المتغيرات؛ ثم كامل مع $L_v$ ثابتة. ∎

ضغط البخار المشبع للماء. والمنحني قريب من أسّي في -1/T؛ ودرجة الغليان هي حيث يقطع الضغطَ المحيط. — ضغط البخار المشبع للماء. والمنحني قريب من أسّي في $-1/T$ ؛ ودرجة الغليان هي حيث يقطع الضغطَ المحيط.

مثال 25.13 (الجليد تحت المزلج)

في الجليد والماء: $L_f = 334\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$ و $v_l - v_s = (1.000 - 1.091) \times 10^{-3} = -9.1 \times 10^{-5}\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{kg}$ : ومنه $\dd P/\dd T = 3.34 \times 10^5/(273 \times (-9.1 \times 10^{-5})) = -1.3 \times 10^{7}\,\mathrm{Pa}/\mathrm{K} = -130\,\mathrm{bar}/\mathrm{K}$ . ومتزلج كتلته $70\,\mathrm{kg}$ على نصل واحد أبعاده $30\,\mathrm{cm}$ في $3\,\mathrm{mm}$ ( $9\,\mathrm{cm}^{2}$ ) يؤثر بنحو $8\,\mathrm{bar}$ ، فيخفض درجة الانصهار بمقدار $0.06\,\mathrm{K}$ — فليس الانصهار بالضغط هو سبب انزلاق المزالج (إذ إن طبقة سطحية رفيعة من الجليد تشبه السائل من تلقائها، والاحتكاك يسخّن)؛ لكن الميل السالب حقيقي، وهو سبب أن سلكًا محمَّلًا بأثقال يشقّ كتلة جليد تتجمد من جديد خلفه.

25.5 الحالات شبه المستقرة

تعريف 25.14 (التبريد الفائق والتسخين الفائق)

يمكن لطور أن يدوم وراء حدّ توازنه: فالماء السائل يُبرَّد دون $0{}^{\circ}\mathrm{C}$ بلا تجمّد (وهو التبريد الفائق)، ويُسخَّن فوق درجة غليانه بلا غليان (وهو التسخين الفائق)، ويُضغط البخار وراء $P_s$ بلا تكاثف (وهو التشبع الفائق). وتقتضي مثل هذه الحالات شبه المستقرة غياب مواقع التنوّي — الغبار، والخدوش، والغاز المنحلّ، وبلورات الجليد — التي يستطيع الطور الجديد أن يبدأ عليها؛ وأيّ اضطراب يقلبها فجأةً ولاعكوسيًّا إلى التوازن.

مثال 25.15 (القارورة المبرَّدة تبريدًا فائقًا)

ماء ساكن عند $-8{}^{\circ}\mathrm{C}$ في قارورة نظيفة، تُطرَق: فتنطلق بلورات الجليد خلاله وتقفز درجة الحرارة إلى $0{}^{\circ}\mathrm{C}$ . والسيرورة كظومة وسريعة، فتجمّد الحرارة المحسوسة $c\,\Delta T$ النسبةَ $x = c\,\Delta T/L_f = 4.18 \times 8/334 = 0.10$ من الماء؛ والإنتروبيا المُنشأة، $c\ln(273/265) - xL_f/273 = 124 - 122 = +2\,\mathrm{J}/(\mathrm{kg}\,\mathrm{K})$ ، موجبة كما يجب. والغيوم مملوءة بقطيرات مبرَّدة تبريدًا فائقًا حتى $-40{}^{\circ}\mathrm{C}$ ؛ ويستغل ذلك تجمّدُ الطائرات وتلقيحُ الغيوم كلاهما.

ملاحظة 25.16 (حصى الغليان وحجرات الفقاعات)

فقاعة نصف قطرها $r$ في سائل عند الضغط $P$ تحوي بخارًا عند $P + 2\sigma/r$ (حيث $\sigma$ التوتر السطحي، في مجلد السنة الثانية)؛ ولا تستطيع أن تنمو إلا إذا كان $P_s(T) > P + 2\sigma/r$ ، فلا يكون في سائل نظيف عند درجة غليانه فقاعة صغيرة كفايةً لتبدأ، فيُسخَّن تسخينًا فائقًا ببضعة كلفنات قبل أن يثور — وهو “النطّ” الذي تمنعه حصى الغليان بأن تقدّم تجاويف مملوءة بغاز محتبس. وحجرة الفقاعات في فيزياء الجسيمات كانت تعمل على عدم الاستقرار نفسه معكوسًا: فالسائل المسخَّن تسخينًا فائقًا يغلي أولًا على امتداد أثر جسيم مؤيِّن.

مثال 25.17 (الرطوبة والندى)

يحمل الهواء بخار ماء عند ضغط جزئي $P_v \leq P_s(T)$ ؛ والرطوبة النسبية هي $P_v/P_s(T)$ ، ونقطة الندى هي درجة الحرارة التي يهبط عندها $P_s$ إلى $P_v$ . فهواء عند $25{}^{\circ}\mathrm{C}$ ( $P_s = 3.17\,\mathrm{kPa}$ ) برطوبة $60\%$ له $P_v = 1.9\,\mathrm{kPa}$ و $\rho_v = P_vM/(RT) = 14\,\mathrm{g}/\mathrm{m}^{3}$ ، ويتندّى على أيّ سطح دون $17{}^{\circ}\mathrm{C}$ تقريبًا — على العشب عند الفجر، وعلى القارورة الباردة، وعلى مرآة الحمّام. وإذا ارتفع الهواء نفسه برد كظومًا بمعدل $9.8\,\mathrm{K}/\mathrm{km}$ (المسألة 25.1) وبلغ نقطة ندائه على ارتفاع كيلومتر أو نحوه: وهناك تكون القيعان المسطّحة للسحب الركامية.

25.6 تمارين

تمرين 25.1 ★

باستعمال مخطط الدرس، أعطِ طور الماء (أ) عند $20{}^{\circ}\mathrm{C}$ تحت $0.5\,\mathrm{kPa}$ ؛ (ب) عند $-5{}^{\circ}\mathrm{C}$ تحت $1\,\mathrm{bar}$ ؛ (ج) عند $400{}^{\circ}\mathrm{C}$ تحت $200\,\mathrm{bar}$ ؛ (د) عند $0.01{}^{\circ}\mathrm{C}$ تحت $611\,\mathrm{Pa}$ . ولماذا تجفّ بركة عند $20{}^{\circ}\mathrm{C}$ مع أن الماء “يغلي عند 100”؟

حل

حل التمرين 25.1.

(أ) بخار: فالمقدار $0.5\,\mathrm{kPa}$ دون $P_s(20{}^{\circ}\mathrm{C}) = 2.3\,\mathrm{kPa}$ . (ب) صلب. (ج) فوق $T_c = 374{}^{\circ}\mathrm{C}$ : أي مائع فوق حرج، بلا تمايز بين السائل والغاز. (د) النقطة الثلاثية: فالأطوار الثلاثة. أما البركة فتتبخر من سطحها ما دام ضغط البخار في الهواء دون $P_s(20{}^{\circ}\mathrm{C})$ ؛ وليس الغليان إلا الحالة التي تستطيع فيها الفقاعات أن تتشكل داخل السائل.

تمرين 25.2 ★

$100\,\mathrm{g}$ من البخار عند $100{}^{\circ}\mathrm{C}$ تُفقَّع في $1.0\,\mathrm{kg}$ من الماء عند $20{}^{\circ}\mathrm{C}$ في وعاء معزول. أوجد درجة الحرارة النهائية ( $L_v = 2257\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$ و $c = 4.18\,\mathrm{kJ}/(\mathrm{kg}\,\mathrm{K})$ ). وقارن بإضافة $100\,\mathrm{g}$ من الماء عند $100{}^{\circ}\mathrm{C}$ .

حل

حل التمرين 25.2.

$0.1 \times 2257 + 0.1 \times 4.18\,(100 - T_f) = 1.0 \times 4.18\,(T_f - 20)$ : ومنه $351.1 = 4.60\,T_f$ و $T_f = 76{}^{\circ}\mathrm{C}$ . وبماء ساخن بدلًا من ذلك: $100 - T_f = 10(T_f - 20)$ و $T_f = 27{}^{\circ}\mathrm{C}$ — فالحرارة الكامنة تساوي $540\,\mathrm{K}$ من الحرارة المحسوسة.

تمرين 25.3 ★

وعاء صلب سعته $2.0\,\mathrm{L}$ فيه $1.0\,\mathrm{kg}$ من الماء عند $150{}^{\circ}\mathrm{C}$ في توازن سائل وبخار ( $P_s = 4.76\,\mathrm{bar}$ و $v_l = 1.09 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{kg}$ و $v_v = 0.393\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{kg}$ ). أوجد نسبة البخار، وكتلة البخار، والحجم الذي يشغله السائل.

حل

حل التمرين 25.3.

$v = 2.0 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{kg}$ ؛ و $x = (2.0 - 1.09) \times 10^{-3}/0.392 = 2.3 \times 10^{-3}$ : أي $2.3\,\mathrm{g}$ من البخار تملأ $0.91\,\mathrm{L}$ ؛ ويشغل $0.998\,\mathrm{kg}$ من السائل المقدارَ $0.998 \times 1.09 = 1.09\,\mathrm{L}$ .

تمرين 25.4 ★

إنتروبيا تبخّر الماء عند $100{}^{\circ}\mathrm{C}$ ، للكيلوغرام وللمول؛ وإنتروبيا الانصهار للمول عند $0{}^{\circ}\mathrm{C}$ . ولسوائل عادية كثيرة إنتروبيا تبخّر مولية قرب $88\,\mathrm{J}/(\mathrm{mol}\,\mathrm{K})$ (وهي قاعدة تروتون): فهل الماء عادي؟

حل

حل التمرين 25.4.

$2257/373 = 6.05\,\mathrm{kJ}/(\mathrm{kg}\,\mathrm{K})$ ، أي $\times 0.018 = 109\,\mathrm{J}/(\mathrm{mol}\,\mathrm{K})$ ؛ والانصهار $334/273 \times 0.018 = 22\,\mathrm{J}/(\mathrm{mol}\,\mathrm{K})$ . والقيمة $109$ للماء تفوق بكثير قيمة تروتون $88$ : فالروابط الهيدروجينية تجعل الماء السائل أكثر انتظامًا من سائل عادي، فيكسب تبخيره فوضى أكبر.

تمرين 25.5 ★★

درجة غليان الماء على قمة إفرست، حيث $P = 0.33\,\mathrm{bar}$ ، انطلاقًا من النتيجة 25.12 مع $ML_v/R = 4890\,\mathrm{K}$ ؛ ثم عند $2000\,\mathrm{m}$ (حيث $P = 0.80\,\mathrm{bar}$ ). وماذا يصير إلى بيضة تُسلَق $3\,\mathrm{min}$ ؟

حل

حل التمرين 25.5.

$1/T = 1/373.15 - \ln(P/P_0)/4890$ . وعلى إفرست: $\ln(0.33/1.013) = -1.12$ ، ومنه $1/T = 2.680 \times 10^{-3} + 2.29 \times 10^{-4}$ و $T = 344\,\mathrm{K} = 71{}^{\circ}\mathrm{C}$ . وعند $0.80\,\mathrm{bar}$ : $\ln = -0.236$ و $T = 366\,\mathrm{K} = 93{}^{\circ}\mathrm{C}$ . وعند $71{}^{\circ}\mathrm{C}$ يتماسك البياض ببطء ولا يكاد الصفار يتماسك: فتصير بيضة $3\,\mathrm{min}$ بيضةَ $10\,\mathrm{min}$ أو أكثر.

تمرين 25.6 ★★

درجة الحرارة داخل قِدر ضغط ينفتح صمامه عند $1.8\,\mathrm{bar}$ مطلقًا؛ ثم لو ضُبط صمامه على $2.5\,\mathrm{bar}$ . وللبخار عند $1.8\,\mathrm{bar}$ حجم نوعي $v_v = 0.98\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{kg}$ : فكم غرامًا من البخار يحوي قِدر سعته $6\,\mathrm{L}$ فوق $4\,\mathrm{L}$ من الماء؟

حل

حل التمرين 25.6.

$\ln(1.8/1.013) = 0.575$ : ومنه $1/T = 2.680 \times 10^{-3} - 1.18 \times 10^{-4}$ و $T = 390\,\mathrm{K} = 117{}^{\circ}\mathrm{C}$ ؛ وعند $2.5\,\mathrm{bar}$ : $\ln = 0.903$ و $T = 401\,\mathrm{K} = 128{}^{\circ}\mathrm{C}$ . والبخار: $2\,\mathrm{L}/0.98 = 2.0\,\mathrm{g}$ — فلا يحوي القِدر إلا الماء وقليلًا من البخار.

تمرين 25.7 ★★

ميل منحني انصهار الماء عند $0{}^{\circ}\mathrm{C}$ ( $L_f = 334\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$ و $v_s = 1.091 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{kg}$ و $v_l = 1.000 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{kg}$ ). وعند أيّ ضغط ينصهر الجليد عند $-1{}^{\circ}\mathrm{C}$ ؟ وجليد في أسفل صفيحة جليدية سماكتها $3\,\mathrm{km}$ ( $\rho = 917\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ ): ما درجة الانصهار هناك، وما نتيجة ذلك في جريان الأنهار الجليدية؟

حل

حل التمرين 25.7.

$\dd P/\dd T = 3.34 \times 10^5/[273 \times (-9.1 \times 10^{-5})] = -1.3 \times 10^{7}\,\mathrm{Pa}/\mathrm{K} = -130\,\mathrm{bar}/\mathrm{K}$ : فينصهر الجليد عند $-1{}^{\circ}\mathrm{C}$ تحت نحو $130\,\mathrm{bar}$ . وتحت $3\,\mathrm{km}$ من الجليد يكون $P = 917 \times 9.8 \times 3000 = 270\,\mathrm{bar}$ : فالانصهار عند $-2{}^{\circ}\mathrm{C}$ ؛ فقد يكون قاع النهر الجليدي عند درجة انصهاره بينما السطح أبرد منه بكثير، وطبقة الماء المنصهر تدع الصفيحة الجليدية تنزلق.

تمرين 25.8 ★★

كيلوغرام واحد من الماء يغلي كله عند $100{}^{\circ}\mathrm{C}$ تحت $1\,\mathrm{atm}$ ( $v_v = 1.673\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{kg}$ و $v_l = 1.04 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{kg}$ ). أوجد الشغل المتلقى والحرارة المتلقاة و $\Delta U$ و $\Delta H$ و $\Delta S$ للماء؛ والإنتروبيا المُنشأة إن أتت الحرارة من لهب عند $1500\,\mathrm{K}$ .

حل

حل التمرين 25.8.

$W = -P(v_v - v_l) = -1.013 \times 10^5 \times 1.672 = -169\,\mathrm{kJ}$ (إذ يدفع الماء الجوّ إلى الوراء)؛ و $Q = L_v = 2257\,\mathrm{kJ}$ ؛ و $\Delta U = 2257 - 169 = 2088\,\mathrm{kJ}$ ؛ و $\Delta H = 2257\,\mathrm{kJ}$ ؛ و $\Delta S = 2257/373 = 6.05\,\mathrm{kJ}/\mathrm{K}$ . ومن لهب عند $1500\,\mathrm{K}$ : $S_{\mathrm{exch}} = 2257/1500 = 1.50\,\mathrm{kJ}/\mathrm{K}$ ، والمُنشأة $4.5\,\mathrm{kJ}/\mathrm{K}$ — فمعظم جودة اللهب تُبدَّد في تسخين الماء.

تمرين 25.9 ★★

ضغوط التشبع: $1.23\,\mathrm{kPa}$ عند $10{}^{\circ}\mathrm{C}$ ، و $1.70\,\mathrm{kPa}$ عند $15{}^{\circ}\mathrm{C}$ ، و $2.34\,\mathrm{kPa}$ عند $20{}^{\circ}\mathrm{C}$ ، و $3.17\,\mathrm{kPa}$ عند $25{}^{\circ}\mathrm{C}$ ، و $4.24\,\mathrm{kPa}$ عند $30{}^{\circ}\mathrm{C}$ . وغرفة عند $22{}^{\circ}\mathrm{C}$ رطوبتها النسبية $70\%$ : أوجد ضغط البخار، ونقطة الندى (بالاستكمال الخطي)، وكتلة بخار الماء في $50\,\mathrm{m}^{3}$ . ولوح نافذة عند $12{}^{\circ}\mathrm{C}$ : فهل يتضبّب؟ ثم تُسخَّن الغرفة إلى $25{}^{\circ}\mathrm{C}$ بلا إضافة ماء: فما الرطوبة الجديدة؟

حل

حل التمرين 25.9.

$P_s(22{}^{\circ}\mathrm{C}) \approx 2.34 + 0.4 \times 0.83 = 2.67\,\mathrm{kPa}$ و $P_v = 0.70 \times 2.67 = 1.87\,\mathrm{kPa}$ ؛ ونقطة الندى حيث $P_s = 1.87$ : $15 + 5 \times 0.17/0.64 = 16{}^{\circ}\mathrm{C}$ . والكتلة: $\rho_v = 1870 \times 0.018/ (8.314 \times 295) = 13.7\,\mathrm{g}/\mathrm{m}^{3}$ ، أي $0.69\,\mathrm{kg}$ في الغرفة. واللوح عند $12{}^{\circ}\mathrm{C}$ : $P_s \approx 1.42\,\mathrm{kPa} < 1.87$ ، فيتضبّب. وعند $25{}^{\circ}\mathrm{C}$ تهبط الرطوبة إلى $1.87/3.17 = 59\%$ .

تمرين 25.10 ★★★

النقطة الثلاثية. (أ) بيّن انطلاقًا من كون $h$ دالة حالة أنه عند النقطة الثلاثية يكون $L_s = L_f + L_v$ (أي التسامي = الانصهار + التبخّر). (ب) بيّن بعلاقة كلاوزيوس-كلابيرون أن منحني التسامي أشدّ ميلًا من منحني التبخّر عند النقطة الثلاثية (بإهمال $v_s$ و $v_l$ أمام $v_v$ ). (ج) وفي الماء: $L_f = 334\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$ و $L_v = 2500\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$ و $T = 273.16\,\mathrm{K}$ و $P = 611\,\mathrm{Pa}$ ، والبخار غاز مثالي: أوجد الميلين بوحدة $\mathrm{Pa}/\mathrm{K}$ . (د) ولماذا يختفي الثلج في يوم بارد جافّ من دون أن ينصهر أبدًا؟

حل

حل التمرين 25.10.

(أ) $h$ دالة حالة: فالمرور من الصلب $\to$ إلى السائل $\to$ إلى البخار عند النقطة الثلاثية أو من الصلب $\to$ إلى البخار مباشرةً يعطي $\Delta h$ نفسه: ومنه $L_s = L_f + L_v$ . (ب) ومع $v_s, v_l \ll v_v$ يكون الميلان $L/(Tv_v)$ عند $T$ و $v_v$ نفسيهما: فنسبتهما $L_s/L_v > 1$ . (ج) ولدينا $v_v = RT/(MP) = 8.314 \times 273.16/(0.018 \times 611) = 206\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{kg}$ ؛ فالتبخّر $2.50 \times 10^6/(273.16 \times 206) = 44\,\mathrm{Pa}/\mathrm{K}$ ، والتسامي $2.83 \times 10^6/ (273.16 \times 206) = 50\,\mathrm{Pa}/\mathrm{K}$ . (د) ودون $0{}^{\circ}\mathrm{C}$ عند $1\,\mathrm{bar}$ لا وجود لسائل؛ فإذا كان ضغط بخار الهواء دون $P_s$ فوق الجليد ( $260\,\mathrm{Pa}$ عند $-10{}^{\circ}\mathrm{C}$ ) تسامى الثلج — فتأكله الريح الباردة الجافة.

تمرين 25.11 ★★★

الماء المسخَّن تسخينًا فائقًا. فقاعة نصف قطرها $r$ في ماء عند الضغط $P_0$ تحوي بخارًا عند $P_0 + 2\sigma/r$ مع $\sigma = 0.059\,\mathrm{N}/\mathrm{m}$ (مسلَّم به). (أ) أوجد أصغر نصف قطر لفقاعة تستطيع النمو في ماء عند $105{}^{\circ}\mathrm{C}$ تحت $1.013\,\mathrm{bar}$ ، باستعمال $\dd P_s/\dd T = 3.6\,\mathrm{kPa}/\mathrm{K}$ . (ب) والسؤال نفسه عند $101{}^{\circ}\mathrm{C}$ . (ج) كوب ماء سُخّن تسخينًا فائقًا إلى $105{}^{\circ}\mathrm{C}$ في فرن ميكروويف تضطربه ملعقة: أوجد نسبة الماء الذي يتبخر فجأةً، وحجم البخار المنتَج لكل لتر من الماء — وعلّق على الخطر. (د) ولماذا تمنع حصى الغليان ذلك؟

حل

حل التمرين 25.11.

(أ) $P_s(105{}^{\circ}\mathrm{C}) \approx 1.013 + 5 \times 0.036 = 1.19\,\mathrm{bar}$ : ومنه $\Delta P = 0.18\,\mathrm{bar}$ و $r^\ast = 2 \times 0.059/(1.8 \times 10^4) = 6.6\,\text{µ}\mathrm{m}$ . (ب) $\Delta P = 3.6\,\mathrm{kPa}$ و $r^\ast = 33\,\text{µ}\mathrm{m}$ . (ج) $x = c\,\Delta T/L_v = 4.18 \times 5/2257 = 0.93\%$ : أي $9.3\,\mathrm{g}$ للتر، ومنه $9.3 \times 10^{-3} \times 1.67 = 16\,\mathrm{L}$ من البخار تُنتَج في جزء من الثانية داخل كوب — فيُقذف الماء إلى الخارج وهو يغلي. (د) وحصى الغليان تحبس الهواء في مسامّها: فتوجد فيها أصلًا فقاعات بعشرات الميكرومترات، فيبدأ الغليان حالما يبلغ $P_s$ المقدارَ $P_0$ .

تمرين 25.12 ★★★

دور مائع مبرِّد. مضخة حرارية تدير R-134a على التعريف 24.16: التبخّر عند $-10{}^{\circ}\mathrm{C}$ ( $2.0\,\mathrm{bar}$ ؛ $h_l = 187\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$ و $h_v = 392\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$ )، والتكاثف عند $40{}^{\circ}\mathrm{C}$ ( $10.2\,\mathrm{bar}$ ؛ $h_l = 256\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$ و $h_v = 419\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$ ). ويغادر المائع المكثِّف سائلًا مشبعًا والمبخِّر بخارًا مشبعًا؛ ويقدّمه الضاغط عند $h = 430\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$ . وسلّم بأن $h$ ينحفظ في الصمام وبأن شغل الضاغط للكيلوغرام هو $\Delta h$ (وهي موازنات الجريان المستقر، في مجلد السنة الثانية)؛ وفي المبادلين، عند ثبات الضغط، $q = \Delta h$ (القضية 22.7). (أ) أوجد نسبة البخار عند مدخل المبخِّر. (ب) والحرارة المأخوذة للكيلوغرام في المبخِّر، والحرارة المعطاة في المكثِّف، وشغل الانضغاط؛ وتحقّق من المبدأ الأول. (ج) و $e_p$ و $e_f$ ؛ وقارنهما بقيمتَي كارنو بين درجتَي حرارة التشبع. (د) والتدفق الكتلي من أجل $6\,\mathrm{kW}$ من التدفئة.

حل

حل التمرين 25.12.

(أ) بعد الصمام يكون $h = 256\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$ عند $-10{}^{\circ}\mathrm{C}$ : ومنه $x = (256 - 187)/(392 - 187) = 0.34$ . (ب) وفي المبخِّر $q_c = 392 - 256 = 136\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$ ؛ وفي الضاغط $w = 430 - 392 = 38\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$ ؛ وفي المكثِّف $q_h = 256 - 430 = -174\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$ ؛ و $136 + 38 - 174 = 0$ . (ج) $e_p = 174/38 = 4.6$ و $e_f = 136/38 = 3.6$ ؛ وكارنو $313/50 = 6.3$ و $263/50 = 5.3$ : أي نحو $0.7$ من المثالي. (د) $\dot m = 6000/174000 = 34\,\mathrm{g}/\mathrm{s}$ ، أي $2.1\,\mathrm{kg}$ في الدقيقة.

قِدر ضغط: عند 1.8\, bar يغلي الماء عند 117 C، والصمام المثقَّل هو الذي يعيّن الضغط. — قِدر ضغط: عند $1.8\,\mathrm{bar}$ يغلي الماء عند $117{}^{\circ}\mathrm{C}$ ، والصمام المثقَّل هو الذي يعيّن الضغط.

25.7 مسألة: الماء في أربعة مشاهد

مسألة 25.1

مسألة نهاية الأسبوع — قِدر الضغط، والسحابة، والوعاء المحكم، والقارورة المبرَّدة تبريدًا فائقًا: مادة واحدة وأربعة استعمالات لمخطط أطوارها

معطيات الماء: $L_v = 2257\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$ عند $100{}^{\circ}\mathrm{C}$ ونحو $2.2\,\mathrm{MJ}/\mathrm{kg}$ عند $117{}^{\circ}\mathrm{C}$ ، و $2.45\,\mathrm{MJ}/\mathrm{kg}$ قرب $20{}^{\circ}\mathrm{C}$ ؛ و $L_f = 334\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$ ؛ و $c = 4.18\,\mathrm{kJ}/(\mathrm{kg}\,\mathrm{K})$ للسائل؛ و $M = 18\,\mathrm{g}/\mathrm{mol}$ ؛ و $ML_v/R = 4890\,\mathrm{K}$ قرب $100{}^{\circ}\mathrm{C}$ . وضغوط التشبع: $0.61\,\mathrm{kPa}$ عند $0{}^{\circ}\mathrm{C}$ ، و $1.23\,\mathrm{kPa}$ عند $10{}^{\circ}\mathrm{C}$ ، و $1.70\,\mathrm{kPa}$ عند $15{}^{\circ}\mathrm{C}$ ، و $2.34\,\mathrm{kPa}$ عند $20{}^{\circ}\mathrm{C}$ ، و $3.17\,\mathrm{kPa}$ عند $25{}^{\circ}\mathrm{C}$ ، و $4.24\,\mathrm{kPa}$ عند $30{}^{\circ}\mathrm{C}$ ، و $101.3\,\mathrm{kPa}$ عند $100{}^{\circ}\mathrm{C}$ . والحجوم النوعية المشبعة: $v_l = 1.0 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{kg}$ للماء البارد، و $1.9 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{kg}$ عند $360{}^{\circ}\mathrm{C}$ ؛ و $v_v = 0.0217\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{kg}$ عند $300{}^{\circ}\mathrm{C}$ ، و $0.0108$ عند $340{}^{\circ}\mathrm{C}$ ، و $0.0088$ عند $350{}^{\circ}\mathrm{C}$ ؛ والنقطة الحرجة $374{}^{\circ}\mathrm{C}$ و $221\,\mathrm{bar}$ و $v_c = 3.1 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{kg}$ . والهواء: $M = 29\,\mathrm{g}/\mathrm{mol}$ و $c_p = 1.0\,\mathrm{kJ}/(\mathrm{kg}\,\mathrm{K})$ و $\gamma = 1.4$ ؛ و $g = 9.8\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ ؛ و $R = 8.314\,\mathrm{J}/(\mathrm{mol}\,\mathrm{K})$ .

الجزء I — قِدر الضغط.

لماذا لا يمكن تسخين ماء في إناء مفتوح عند سطح البحر فوق $100{}^{\circ}\mathrm{C}$ ، مهما يشتدّ اللهب؟
انطلاقًا من علاقة كلاوزيوس-كلابيرون، اشتقّ $\ln[P_s(T)/P_s(T_0)] = (ML_v/R)(1/T_0 - 1/T)$ ، مع ذكر التقريبات.
درجة الحرارة في قِدر ينفتح صمامه عند $1.8\,\mathrm{bar}$ مطلقًا.
الصمام ثقل يستقر على فتحة مساحتها $20\,\mathrm{mm}^{2}$ ؛ والضغط الجوي $1.0\,\mathrm{bar}$ : فما كتلة الثقل؟
يُرفع $2.0\,\mathrm{L}$ من الماء من $20{}^{\circ}\mathrm{C}$ إلى درجة حرارة العمل بصفيحة استطاعتها $2.0\,\mathrm{kW}$ (أهمل القِدر): أوجد الحرارة والزمن.
وبعد بلوغها تُترك الصفيحة عند $2.0\,\mathrm{kW}$ : فما كتلة البخار الذي يغادر الصمام في الدقيقة؟ وما الذي ينبغي للطاهي فعله؟
تتضاعف سرعة تفاعلات الطهي تقريبًا كل $10\,\mathrm{K}$ : فبأيّ عامل يقصّر القِدر وصفةً مدتها $30\,\mathrm{min}$ عند سطح البحر؟ وكم تستغرق الوصفة على إفرست، حيث يغلي الماء عند $70{}^{\circ}\mathrm{C}$ ؟

الجزء II — السحابة.

عرّف الرطوبة النسبية. وهواء عند $25{}^{\circ}\mathrm{C}$ برطوبة $60\%$ : أوجد الضغط الجزئي للبخار، وكتلة البخار في المتر المكعب (بالغاز المثالي).
نقطة ندى ذلك الهواء (باستكمال الجدول خطيًّا). وفسّر الندى على العشب عند الفجر والقطرات على قارورة باردة.
ترتفع كتلة هوائية جافة بلا تبادل حرارة. انطلاقًا من القانون الكظوم العكوس ومن علاقة سكون الموائع $\dd P/\dd z = -\rho g$ ، بيّن أن $\dd T/\dd z = -g/c_p$ ثم قدّرها.
تهبط نقطة ندى الكتلة الصاعدة نفسها بنحو $2\,\mathrm{K}/\mathrm{km}$ مع هبوط الضغط. فما الارتفاع الذي تصير عنده كتلة السؤال 8 مشبعة — أي قاعدة السحابة؟
وفوق القاعدة، يحرّر البخار المتكاثف حرارته الكامنة في الكتلة. فبكم تدفأ تلك الكتلة إذا تكاثف $1\,\mathrm{g}$ من الماء لكل كيلوغرام من الهواء؟ وما أثر ذلك في معدل تبريد الكتلة وهي تواصل صعودها، ولماذا يهمّ ذلك في العواصف الرعدية؟
سحابة ركامية حجمها $1\,\mathrm{km}^{3}$ تحمل $1\,\mathrm{g}$ من الماء السائل في المتر المكعب: أوجد كتلة الماء، والطاقة التي يحرّرها تكاثفه، بالجول وبوحدة $\mathrm{GW}\mathrm{h}$ .
مرآة حمّام عند $18{}^{\circ}\mathrm{C}$ ، والهواء عند $25{}^{\circ}\mathrm{C}$ برطوبة $80\%$ : فهل تتضبّب؟ وعند أيّ رطوبة تكفّ عن ذلك؟

الجزء III — الوعاء المحكم. وعاء فولاذي صلب سعته $1.0\,\mathrm{L}$ يُملأ بكتلة $m$ من الماء ويُحكم بلا هواء، ثم يُسخَّن ببطء.

مع $m = 0.50\,\mathrm{kg}$ عند $20{}^{\circ}\mathrm{C}$ : أوجد الضغط في الداخل، والحجم النوعي، وكتلة البخار (باستعمال الغاز المثالي من أجل $v_v$ )، ونسبة الحجم التي يملؤها السائل.
وبالتسخين: هل يرتفع مستوى السائل أم يهبط؟ وعند أيّ درجة حرارة تقريبًا يملأ السائل الوعاء، وماذا يحدث للضغط بعد ذلك؟ (استعمل $v_l$ عند $360{}^{\circ}\mathrm{C}$ .)
ومع $m = 0.10\,\mathrm{kg}$ : هل يرتفع مستوى السائل أم يهبط عند التسخين؟ وعند أيّ درجة حرارة تقريبًا تتبخر آخر قطرة (استعمل جدول $v_v$ )؟
ومع $m = 0.31\,\mathrm{kg}$ : صِف ما يراه راصد عند سطح التماسّ بينما تقترب درجة الحرارة من $374{}^{\circ}\mathrm{C}$ .
ارسم مسارات التسخين الثلاثة في مخطط $(v, P)$ مع قبة التشبع، وقل من أيّ جهة من النقطة الحرجة يمرّ كلٌّ منها.
والوعاء نفسه سعة $1.0\,\mathrm{L}$ فيه $0.50\,\mathrm{kg}$ من الماء يُحكم الآن مع الهواء الذي كان فيه عند $20{}^{\circ}\mathrm{C}$ و $1.0\,\mathrm{bar}$ ، ويُسخَّن إلى $100{}^{\circ}\mathrm{C}$ : أوجد الضغط الكلي في الداخل (بقانون دالتون)، والقوة على غطاء مساحته $100\,\mathrm{cm}^{2}$ .

الجزء IV — القارورة المبرَّدة تبريدًا فائقًا.

قارورة ماء نظيفة ساكنة بردت إلى $-8{}^{\circ}\mathrm{C}$ بلا تجمّد. فما اسم هذه الحالة، ولماذا هي ممكنة، وماذا يحدث حين تُطرَق القارورة؟ ولماذا تستقر درجة الحرارة عندئذ عند $0{}^{\circ}\mathrm{C}$ بالضبط؟
نسبة الماء التي تتجمد (فالسيرورة سريعة، ومن ثمّ كظومة).
الإنتروبيا المُنشأة للكيلوغرام؛ وتحقّق من الإشارة.
والمفاجأة المعاكسة: كوب ماء سُخّن إلى $105{}^{\circ}\mathrm{C}$ في فرن ميكروويف بلا غليان، ثم اضطُرب. أوجد نسبة الماء التي تتبخر فجأةً، وحجم البخار المنتَج لكل لتر ( $v_v = 1.67\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{kg}$ )، ولماذا يثور الكوب.
الشغل الضائع: كان اللتر المبرَّد تبريدًا فائقًا ليدير محركًا عكوسًا مع محيط عند $0{}^{\circ}\mathrm{C}$ ؛ وبأخذ $T_0 = 273\,\mathrm{K}$ ، يكون الشغل المرميّ بتركه يتجمد عند طرقة هو $T_0S_{\mathrm{created}}$ . قدّره للتر وقارنه برفع القارورة مترًا واحدًا. واستنتج: ماذا تخزّن حالة شبه مستقرة؟

حل

حل المسألة 25.1.

1. عند $1\,\mathrm{atm}$ يغلي الماء عند $100{}^{\circ}\mathrm{C}$ ؛ وما دام السائل باقيًا فإن أيّ حرارة تُقدَّم تصنع بخارًا عند تلك الدرجة (وهي الحرارة الكامنة) بدل أن تسخّن السائل: فدرجة الحرارة يثبّتها الضغط.

2. لدينا $\dd P_s/\dd T = L_v/[T(v_v - v_l)]$ ، ومع $v_l \ll v_v = RT/(MP_s)$ (والبخار غاز مثالي): ومنه $\dd P_s/P_s = (ML_v/R)\,\dd T/T^2$ ؛ وبأخذ $L_v$ ثابتة والمكاملة: $\ln(P_s/P_0) = (ML_v/R)(1/T_0 - 1/T)$ .

3. $1/T = 1/373.15 - \ln(1.8/1.013)/4890 = 2.562 \times 10^{-3}$ : ومنه $T = 390\,\mathrm{K} = 117{}^{\circ}\mathrm{C}$ .

4. $m = \Delta P\,A/g = 0.8 \times 10^5 \times 2.0 \times 10^{-5}/9.8 = 0.16\,\mathrm{kg}$ .

5. $Q = 2.0 \times 4.18 \times 97 = 811\,\mathrm{kJ}$ ؛ و $t = 811/2.0 = 405\,\mathrm{s} \approx 7\,\mathrm{min}$ .

6. $2000/(2.2 \times 10^6) = 0.91\,\mathrm{g}/\mathrm{s} = 55\,\mathrm{g}/\mathrm{min}$ — أي لتران يذهبان في $37\,\mathrm{min}$ . فاخفض الصفيحة إلى أدنى ما يبقي الصمام يهسّ: فدرجة الحرارة يعيّنها الضغط لا اللهب.

7. $+17\,\mathrm{K}$ : أي $2^{1.7} = 3.2$ أضعاف في السرعة، فتصير $30\,\mathrm{min}$ $\to$ $9\,\mathrm{min}$ . وعلى إفرست، $-30\,\mathrm{K}$ : أي $2^{-3}$ ، فأربع ساعات.

8. الرطوبة النسبية $= P_v/P_s(T)$ . ومنه $P_v = 0.60 \times 3.17 = 1.90\,\mathrm{kPa}$ ؛ و $\rho_v = P_vM/(RT) = 1900 \times 0.018/(8.314 \times 298) = 13.8\,\mathrm{g}/\mathrm{m}^{3}$ .

9. $P_s(T_d) = 1.90\,\mathrm{kPa}$ : أي بين $15{}^{\circ}\mathrm{C}$ ( $1.70\,\mathrm{kPa}$ ) و $20{}^{\circ}\mathrm{C}$ ( $2.34\,\mathrm{kPa}$ ): ومنه $T_d = 15 + 5 \times 0.20/0.64 = 16.6{}^{\circ}\mathrm{C}$ . والعشب الذي يشعّ نحو سماء الليل، أو قارورة أُخرجت من الثلاجة، يهبط دون $T_d$ : فيكون البخار الملامس له عندئذ فوق التشبع فيتكاثف.

10. $TP^{(1-\gamma)/\gamma} = \text{ثابت}$ : ومنه $\dd T/T = \frac{\gamma - 1}{\gamma} \dd P/P$ ؛ و $\dd P = -\rho g\,\dd z$ مع $\rho = PM/(RT)$ : فيكون $\dd T/T = -\frac{\gamma - 1}{\gamma}\frac{Mg}{RT}\dd z$ ، ومنه $\dd T/\dd z = -\frac{\gamma - 1}{\gamma}\frac{Mg}{R} = -g/c_p$ لأن $c_p = \gamma R/[(\gamma - 1)M]$ . والقيمة $9.8/1000 = 9.8\,\mathrm{K}/\mathrm{km}$ .

11. ينغلق الفرق $T - T_d$ بمعدل $9.8 - 2 = 7.8\,\mathrm{K}/\mathrm{km}$ : ومنه $z = (25 - 16.6)/ 7.8 = 1.1\,\mathrm{km}$ .

12. $1 \times 2.45 = 2.45\,\mathrm{kJ}$ لكل كيلوغرام من الهواء: ومنه $\Delta T = 2.45\,\mathrm{K}$ . ويعوّض هذا التحرير جزءًا من التبريد الكظوم: فتبرد الكتلة المشبعة بمعدل $5\text{ to }6\,\mathrm{K}/\mathrm{km}$ لا غير، وتبقى أدفأ وأخفّ من محيطها فتواصل الصعود — فالحرارة الكامنة وقود العاصفة الرعدية.

13. $10^9 \times 1\,\mathrm{g} = 1000\,\mathrm{t}$ ؛ و $10^6 \times 2.45 \times 10^6 = 2.5 \times 10^{12}\,\mathrm{J} = 0.68\,\mathrm{GW}\mathrm{h}$ — أي أربعون دقيقة من محطة توليد كبيرة.

14. $P_v = 0.80 \times 3.17 = 2.54\,\mathrm{kPa}$ ؛ و $P_s(18{}^{\circ}\mathrm{C}) \approx 1.70 + 0.6 \times 0.64 = 2.08\,\mathrm{kPa} < 2.54$ : فتتضبّب، إلى أن تهبط الرطوبة دون $2.08/3.17 = 66\%$ .

15. $P = P_s(20{}^{\circ}\mathrm{C}) = 2.3\,\mathrm{kPa}$ ؛ و $v = 2.0 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{kg}$ ؛ و $v_v = RT/(MP_s) = 8.314 \times 293/(0.018 \times 2340) = 58\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{kg}$ ؛ و $x = (2.0 - 1.0) \times 10^{-3}/58 = 1.7 \times 10^{-5}$ : أي $9\,\mathrm{mg}$ من البخار؛ والسائل $0.50 \times 10^{-3} = 0.50\,\mathrm{L}$ ، أي نصف الوعاء.

16. $v = 2.0 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{kg} < v_c$ : فيلقى متساوي الحجم الفرع السائل من القبة — إذ يتمدد السائل أسرع مما يتبخر، ويرتفع المستوى، ويمتلئ الوعاء سائلًا حين يكون $v_l(T) = 2.0 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{kg}$ ، أي فوق $360{}^{\circ}\mathrm{C}$ بقليل (ونحو $190\,\mathrm{bar}$ ). وبعد ذلك يكون سائل يكاد لا ينضغط مسخَّنًا عند ثبات الحجم: فيصعد الضغط بعشرات البارات في الكلفن — وينفجر الوعاء. فلا تُحكم أبدًا وعاءً مملوءًا بسائل.

17. $v = 1.0 \times 10^{-2}\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{kg} > v_c$ : ويهبط المستوى؛ وتذهب آخر قطرة حين يكون $v_v(T) = 0.010$ ، أي بين $340{}^{\circ}\mathrm{C}$ ( $0.0108$ ) و $350{}^{\circ}\mathrm{C}$ ( $0.0088$ ): فنحو $344{}^{\circ}\mathrm{C}$ و $150\,\mathrm{bar}$ .

18. $v = 3.2 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{kg} \approx v_c$ : فيبقى سطح التماسّ قرب منتصف الارتفاع، ويزداد استواءً وخفوتًا مع تقارب الكثافتين، ويصير المائع حليبيًّا (وهو التعتيم الحرج)، وعند $374{}^{\circ}\mathrm{C}$ و $221\,\mathrm{bar}$ يختفي سطح التماسّ: فيكون طور واحد.

19. ثلاثة مستقيمات شاقولية: $v = 2.0 \times 10^{-3}$ يغادر القبة عبر الفرع السائل، يسار C؛ و $10^{-2}$ عبر الفرع البخاري، يمين C؛ و $3.2 \times 10^{-3}$ عبر القمة.

20. الهواء: $0.5\,\mathrm{L}$ عند $1.0\,\mathrm{bar}$ و $293\,\mathrm{K}$ ، وبالحجم نفسه عند $373\,\mathrm{K}$ : ومنه $P_{\text{الهواء}} = 1.0 \times 373/293 = 1.27\,\mathrm{bar}$ ؛ زائد $P_s = 1.01\,\mathrm{bar}$ : أي $2.3\,\mathrm{bar}$ في الداخل، و $1.3\,\mathrm{bar}$ فوق الخارج: ومنه $1.3 \times 10^5 \times 10^{-2} = 1.3\,\mathrm{kN}$ على الغطاء — أي ثقل $130\,\mathrm{kg}$ .

21. مبرَّد تبريدًا فائقًا، وهو شبه مستقر: فلا موقع تنوٍّ (ماء نظيف، بلا غبار ولا حركة) للبلورة الأولى. والطرقة تُنوّي الجليد، الذي ينمو خلال القارورة محرِّرًا $L_f$ ؛ فترتفع درجة الحرارة إلى $0{}^{\circ}\mathrm{C}$ وتقف هناك، وهي درجة الحرارة الوحيدة التي يتعايش عندها الجليد والماء عند $1\,\mathrm{atm}$ : فيتوقف التجمّد حالما تبلغ الحرارةُ المحرَّرة بالمزيج إليها.

22. $x = c\,\Delta T/L_f = 4.18 \times 8/334 = 0.10$ .

23. $\Delta s = c\ln(273/265) - xL_f/273 = 124.3 - 122.3 = +2.0\,\mathrm{J}/(\mathrm{kg}\,\mathrm{K})$ : فهي كظومة، ومن ثمّ كلها مُنشأة؛ وهي موجبة، كما يجب في سيرورة تلقائية.

24. $x = 4.18 \times 5/2257 = 0.93\%$ : أي $9.3\,\mathrm{g}$ من البخار للتر، و $9.3 \times 10^{-3} \times 1.67 = 16\,\mathrm{L}$ من البخار تولد في الكتلة في جزء من الثانية: فيثور الكوب.

25. $T_0S_{\mathrm{created}} = 273 \times 2.0 = 550\,\mathrm{J}$ للتر، مقابل $mgh = 9.8\,\mathrm{J}$ : أي أكثر بستّ وخمسين مرة. فالحالة شبه المستقرة تخزّن شغلًا — هو ما كان مسار عكوس ليستخرجه — وتحوّله طرقةٌ كلَّه إلى إنتروبيا.

المصطلحات المعرَّفة في هذا الفصل

عرض كل المصطلحات (393) في المسرد