الفيزياء الجامعية — السنة الأولى · Bachelor Year 1

15العزم الحركي

تسحب متزلجة تدور وذراعاها ممدودتان ذراعيها إليها، فتدور، بلا دفعة من أحد، بضعف السرعة. وينفتح باب لطرف إصبع عند المقبض ويقاوم كتفًا عند المفصلة. وتجرف الكواكب مساحات متساوية في أزمنة متساوية — وقد لاحظ كبلر ذلك قبل أربعة قرون، قبل أن يستطيع أحد قول السبب بزمن طويل. والقمر، تشدّه المدود التي يثيرها، يبتعد عن الأرض بضعة سنتيمترات في السنة بينما تطول أيامنا طولًا لا يُحسّ. ووراء هذه الأربع جميعًا مقدار متجهي واحد هو العزم الحركي، وقانون واحد: مشتقه يساوي عزم القوى. ويعرّف هذا الفصل الاثنين، ويبرهن على القانون من أجل جسيم ومن أجل جملة، ويستعمله في البنادول والمدارات والأشياء الدوّارة.

تدور المتزلجة أسرع حين تضمّ ذراعيها: فبلا عزم خارجي حول المحور الشاقولي ينحفظ العزم الحركي، ويعني عزم عطالة أصغر سرعةً زاوية أكبر.

15.1 عزم قوة

تعريف 15.1 (العزم حول نقطة؛ وحول محور)

إن عزم (أو عزم دوران) قوة حول نقطة $O$ ، إذا كانت القوة $\vect F$ مؤثرة في $M$ ، هو المتجهة

\vect{\mathcal M}_O(\vect F) = \vect{OM}\wedge\vect F \qquad (\mathrm{N}\,\mathrm{m}),

وهي عمودية على مستوي $\vect{OM}$ و $\vect F$ ، ومعيارها $OM\cdot F\sin\alpha = F\,d$ ، حيث $d$ — وهو ذراع الرافعة — هو بعد $O$ عن حامل $\vect F$ . أما العزم حول محور موجَّه $\Delta$ (متجهته الواحدية $\vect e_\Delta$ ) يمرّ بالنقطة $O$ فهو المقدار السلّمي $\mathcal M_\Delta = \vect{\mathcal M}_O\cdot\vect e_\Delta$ ، وهو مستقل عن اختيار $O$ على $\Delta$ ؛ ويتلاشى إذا كانت $\vect F$ موازية للمحور $\Delta$ أو قاطعةً له. وقوتان متعاكستان على حاملين مختلفين تشكّلان مزدوجة عزمها $\vect F\wedge\vect{AB}$ هو نفسه حول كل نقطة.

مثال 15.2 (الباب)

دفعٌ مقداره $20\,\mathrm{N}$ عمودي على باب على بعد $0.80\,\mathrm{m}$ من المفصلات عزمه $16\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}$ حول محور المفصلة؛ والدفع نفسه عند $0.10\,\mathrm{m}$ عزمه $2\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}$ ؛ وعلى امتداد الباب (فحامله يمرّ بالمفصلات) عزمه معدوم. أما ردّ فعل المفصلة نفسها، وهو يقطع المحور، فلا عزم له حوله: وذلك ما يجعل المحور الموضع الطبيعي لأخذ العزوم.

عزم F حول O: أي الجداء المتجهي OM F، ومعياره F\,d حيث d بعد O عن الحامل (وهو ذراع الرافعة)، وهو موجَّه عموديًّا على الشكل — أي هنا نحو القارئ. — عزم $\vect F$ حول $O$ : أي الجداء المتجهي $\vect{OM}\wedge\vect F$ ، ومعياره $F\,d$ حيث $d$ بعد $O$ عن الحامل (وهو ذراع الرافعة)، وهو موجَّه عموديًّا على الشكل — أي هنا نحو القارئ.

15.2 العزم الحركي لجسيم

تعريف 15.3 (العزم الحركي)

إن العزم الحركي حول $O$ لجسيم كتلته $m$ يقع في $M$ وسرعته $\vect v$ هو

\vect L_O = \vect{OM}\wedge m\vect v \qquad (\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}),

وحول محور $\Delta$ يمرّ بالنقطة $O$ يكون $L_\Delta = \vect L_O\cdot\vect e_\Delta$ . ومن أجل حركة في مستوٍ عمودي على $\Delta$ ، بالإحداثيات القطبية حول المحور، يكون $L_\Delta = mr^2\dot\theta$ ؛ ومن أجل دائرة نصف قطرها $R$ ، $L_\Delta = mR^2\omega = mRv$ .

برهان. $\vect{OM} = r\vect e_r$ ، و $\vect v = \dot r\vect e_r + r\dot\theta\vect e_\theta$ : $\vect{OM}\wedge m\vect v = mr^2\dot\theta\,\vect e_r\wedge\vect e_\theta = mr^2\dot\theta\,\vect e_z$ . ∎

مبرهنة 15.4 (مبرهنة العزم الحركي)

في مرجع عطالي، ومن أجل نقطة $O$ ثابتة في ذلك المرجع،

\frac{\dd\vect L_O}{\dd t} = \sum\vect{\mathcal M}_O(\vect F_i), \qquad \frac{\dd L_\Delta}{\dd t} = \sum\mathcal M_\Delta(\vect F_i)

من أجل محور ثابت $\Delta$ . وإذا تلاشى العزم الكلي حول $O$ انحفظ $\vect L_O$ .

برهان. $\dd(\vect{OM}\wedge m\vect v)/\dd t = \vect v\wedge m\vect v + \vect{OM}\wedge m\vect a = \vect 0 + \vect{OM}\wedge\sum\vect F_i$ ، باستعمال قانون نيوتن الثاني (مع $O$ ثابتة بحيث $\dd\vect{OM}/\dd t = \vect v$ ). ثم أسقِط على $\vect e_\Delta$ . ∎

نتيجة 15.5 (القوى المركزية: الحركة المستوية وقانون المساحات)

جسيم لا يخضع إلا إلى قوة مركزية (أي موجَّهة دائمًا على امتداد $\vect{OM}$ ، نحو المركز الثابت $O$ أو بعيدًا عنه) يبقي $\vect L_O$ ثابتًا. وتبقى حركته في المستوي المارّ بالنقطة $O$ عموديًّا على $\vect L_O$ ، ويكون في ذلك المستوي $r^2\dot\theta = C$ (ثابتًا): أي إن متجهة الموضع $\vect{OM}$ تجرف مساحةً بمعدّل ثابت هو السرعة المساحية

\frac{\dd A}{\dd t} = \frac12 r^2\dot\theta = \frac{L_O}{2m} = \frac{C}{2} .

برهان. $\vect{OM}\wedge\vect F = \vect 0$ من أجل $\vect F \parallel \vect{OM}$ : ومنه $\vect L_O$ ثابت. و $\vect{OM}\perp\vect L_O$ دائمًا، ومن هنا المستوي؛ و $L_O = mr^2\dot\theta$ ثابت. والمساحة المجروفة خلال $\dd t$ هي مثلث ضلعاه $\vect{OM}$ و $\vect v\dd t$ : أي $\dd A = \tfrac12\abs{\vect{OM} \wedge\vect v}\dd t = \tfrac12 r^2\dot\theta\,\dd t$ . ∎

قانون المساحات من أجل قوة مركزية: تجرف متجهة الموضع المنطلقة من المركز O مساحات متساوية في أزمنة متساوية، فيتحرك الجسيم بسرعة كبيرة قرب O وببطء بعيدًا عنه — وهو قانون كبلر الثاني، نتيجةً لانحفاظ L_O وحده، أيًّا كان قانون القوة. — قانون المساحات من أجل قوة مركزية: تجرف متجهة الموضع المنطلقة من المركز $O$ مساحات متساوية في أزمنة متساوية، فيتحرك الجسيم بسرعة كبيرة قرب $O$ وببطء بعيدًا عنه — وهو قانون كبلر الثاني، نتيجةً لانحفاظ $\vect L_O$ وحده، أيًّا كان قانون القوة.

مثال 15.6 (البندول بالعزوم)

بندول بسيط، ومحور $\Delta$ يمرّ بنقطة التعليق عموديًّا على مستوي التأرجح: يكون $L_\Delta = m\ell^2\dot\theta$ ؛ والشدّ يقطع المحور (فلا عزم له)، وعزم الوزن هو $-mg\ell\sin\theta$ (وذراع الرافعة $\ell\sin\theta$ ، وهو مُعيد). فتعطي المبرهنة $m\ell^2\ddot\theta = -mg\ell\sin\theta$ ، أي معادلة المثال 12.12 دون كتابة الشدّ أصلًا — وهي الميزة الكبرى للعزوم: فالقوى المارّة بالمحور تختفي.

مثال 15.7 (سحب قرص إلى الداخل)

ينزلق قرص على جليد عديم الاحتكاك على دائرة، يمسكه خيط يمرّ بثقب في المركز؛ ويُسحب الخيط حتى ينتصف نصف القطر. والشدّ مركزي: فينحفظ $L = mr^2\omega$ ، ومنه يُضرب $\omega$ في $4$ ، والسرعة $r\omega$ في $2$ ، والطاقة الحركية في $4$ — والطاقة الزائدة هي شغل السحب، الذي يقاومه القرص طوال طريقه إلى الداخل. وذراعا المتزلجة فيزياء واحدة مع كتلة موزَّعة (التمرين 15.4).

15.3 جمل النقاط والدوران حول محور ثابت

مبرهنة 15.8 (العزم الحركي لجملة)

من أجل جملة من الجسيمات، مع $\vect L_O = \sum_i\vect{OM_i}\wedge m_i\vect v_i$ و $O$ ثابتة في مرجع عطالي،

\frac{\dd\vect L_O}{\dd t} = \sum\vect{\mathcal M}_O(\vect F_{\mathrm{ext}}):

فلا تُحسب إلا عزوم القوى الخارجية؛ أما القوى الداخلية، التي تحقق قانون الفعل ورد الفعل على امتداد المستقيم الواصل بين الجسيمين، فلا تسهم بشيء.

برهان. اجمع مبرهنات الجسيمات. ومن أجل ثنائية داخلية، $\vect{OM_i}\wedge\vect F_{j\to i} + \vect{OM_j}\wedge\vect F_{i\to j} = (\vect{OM_i} - \vect{OM_j})\wedge\vect F_{j\to i} = \vect{M_jM_i}\wedge\vect F_{j\to i} = \vect 0$ لأن القوة على امتداد $\vect{M_jM_i}$ . ∎

قضية 15.9 (دوران صلب حول محور ثابت)

إذا حافظت الجسيمات على أبعاد ثابتة $r_i$ عن محور $\Delta$ ودارت كلها حوله بالسرعة الزاوية نفسها $\omega$ (أي دوران صلب)، كان

L_\Delta = J_\Delta\,\omega, \qquad J_\Delta = \sum_i m_ir_i^2, \qquad E_k = \tfrac12 J_\Delta\omega^2,

حيث $J_\Delta$ هو عزم العطالة حول $\Delta$ ، وتُقرأ المبرهنة $J_\Delta\dot\omega = \sum\mathcal M_\Delta(\vect F_{\mathrm{ext}})$ .

برهان. يسهم كل جسيم بالمقدار $m_ir_i^2\omega$ في $L_\Delta$ ، وبالمقدار $\tfrac12 m_i(r_i\omega)^2$ في $E_k$ . ويوسّع الفصل 19 هذا إلى الأجسام الصلبة المتصلة. ∎

مثال 15.10 (المتزلجة)

بذراعين ممدودتين يكون لجسم المتزلجة $J \approx 4\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{2}$ مضافًا إليه ذراعان كتلة كلٍّ منهما $3\,\mathrm{kg}$ على بعد $0.8\,\mathrm{m}$ : أي $J_1 = 4 + 2 \times 3 \times 0.64 = 7.8\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{2}$ . وبذراعين مضمومتين (على $0.2\,\mathrm{m}$ ): $J_2 = 4.2\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{2}$ . ولا عزم لردّ فعل الجليد ولا للوزن حول المحور الشاقولي: فينحفظ $J\omega$ ويرتفع معدل الدوران بالعامل $J_1/J_2 = 1.85$ — من $2$ إلى $3.7$ دورة في الثانية — بينما ترتفع الطاقة الحركية بالعامل نفسه، وتدفعه العضلات وهي تضمّ الذراعين.

جسيمات تدور دورانًا صلبًا حول محور: يدور كلٌّ منها على دائرته الخاصة بالسرعة المشتركة، ويسهم بالمقدار m_ir_i2 في العزم الحركي حول المحور. والكتلة البعيدة عن المحور تُحسب بمربع بعدها — كذراعَي المتزلجة الممدودتين. — جسيمات تدور دورانًا صلبًا حول محور: يدور كلٌّ منها على دائرته الخاصة بالسرعة $\omega$ المشتركة، ويسهم بالمقدار $m_ir_i^2\omega$ في العزم الحركي حول المحور. والكتلة البعيدة عن المحور تُحسب بمربع بعدها — كذراعَي المتزلجة الممدودتين.

ملاحظة 15.11 (السكون)

لجسم صلب ساكن $\vect L_O = \vect 0$ ثابت: فيجب أن تكون محصلة القوى الخارجية معدومة و أن يكون عزمها الكلي حول أيّ نقطة معدومًا. والشرط الثاني هو قانون الرافعة في الميزان والأرجوحة الخشبية والعتلة: فقوة صغيرة بعيدة عن نقطة الارتكاز توازن قوة كبيرة قريبة منها.

15.4 تمارين

تمرين 15.1 ★

قوة $50\,\mathrm{N}$ على مفتاح ربط على بعد $0.30\,\mathrm{m}$ من الصامولة: احسب العزم حين تكون القوة عمودية على الذراع؛ ثم حين تصنع معها $60^\circ$ ؛ ثم على امتدادها.

حل

حل التمرين 15.1.

$Fd = 50 \times 0.30 = 15\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}$ ؛ و $Fd\sin 60^\circ = 13\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}$ ؛ وعلى امتداد الذراع يمرّ الحامل بالصامولة: فالعزم $0$ .

تمرين 15.2 ★

احسب العزم الحركي للأرض حول الشمس (بمدار دائري، $r = 1.50 \times 10^{11}\,\mathrm{m}$ و $v = 29.8\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ و $m = 5.97 \times 10^{24}\,\mathrm{kg}$ )، وسرعتها المساحية.

حل

حل التمرين 15.2.

$L = mrv = 5.97\times10^{24} \times 1.50\times10^{11} \times 2.98\times10^4 = 2.7 \times 10^{40}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$ ؛ و $\dd A/\dd t = L/2m = rv/2 = 2.2 \times 10^{15}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$ .

تمرين 15.3 ★

بندول مخروطي (خيطه $1.0\,\mathrm{m}$ ، ويصنع $30^\circ$ مع الشاقول، التمرين 12.9). احسب $L$ حول المحور الشاقولي المارّ بنقطة التعليق لواحدة الكتلة، وفسّر لماذا ينحفظ مع أن شدّ الخيط والوزن يؤثران.

حل

حل التمرين 15.3.

$r = \ell\sin 30^\circ = 0.50\,\mathrm{m}$ و $\omega = 3.4\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ : ومنه $L_z/m = r^2\omega = 0.84\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$ . وحامل الشدّ يمرّ بنقطة التعليق (فعزمه معدوم حول أيّ محور يمرّ بها)؛ والوزن مواز للمحور الشاقولي (فعزمه معدوم حوله): ومنه ينحفظ $L_z$ .

تمرين 15.4 ★

لجذع متزلجة $J = 4.0\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{2}$ حول محور الدوران؛ وتُعامل كل ذراع ( $3.0\,\mathrm{kg}$ ) كنقطة على بعد $0.80\,\mathrm{m}$ ، ثم على $0.20\,\mathrm{m}$ . احسب معدّل الدوران بعد ضمّ الذراعين، انطلاقًا من $2.0\,$ دورة في الثانية؛ ونسبة الطاقتين الحركيتين؛ ومن أين تأتي الطاقة الزائدة؟

حل

حل التمرين 15.4.

$J_1 = 4.0 + 2 \times 3.0 \times 0.64 = 7.8\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{2}$ و $J_2 = 4.0 + 2 \times 3.0 \times 0.04 = 4.2\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{2}$ ؛ و $\omega_2 = \omega_1J_1/J_2 = 1.85\omega_1$ : أي $3.7\,$ دورة في الثانية. و $E_k = L^2/2J$ : فالنسبة $J_1/J_2 = 1.85$ ؛ والعضلات، وهي تسحب الذراعين إلى الداخل ضدّ النزوع الطاردَ، هي التي تبذل الشغل.

تمرين 15.5 ★★

اشتقّ معادلة البندول $\ell\ddot\theta + g\sin\theta = 0$ من مبرهنة العزم الحركي حول محور التعليق، وأعطِ عزم كل قوة.

حل

حل التمرين 15.5.

$L_\Delta = m\ell^2\dot\theta$ ؛ والشدّ: عزمه معدوم (فهو يقطع المحور)؛ والوزن: $-mg\ell\sin\theta$ (وذراع الرافعة $\ell\sin\theta$ ، وهو مُعيد). ومنه $m\ell^2\ddot\theta = -mg\ell\sin\theta$ .

تمرين 15.6 ★★

يتغير بعد الأرض عن الشمس من $1.471 \times 10^{11}\,\mathrm{m}$ (في الحضيض) إلى $1.521 \times 10^{11}\,\mathrm{m}$ (في الأوج). باستعمال قانون المساحات، أوجد نسبة سرعتيها عند هاتين النقطتين؛ ومع سرعة متوسطة $29.8\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ ، أعطِ السرعتين.

حل

حل التمرين 15.6.

$r_pv_p = r_av_a$ : ومنه $v_p/v_a = r_a/r_p = 1.034$ ؛ ومع $(v_p + v_a)/2 \approx 29.8\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ : يكون $v_p = 30.3\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ و $v_a = 29.3\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ .

تمرين 15.7 ★★

يدور قرص كتلته $0.20\,\mathrm{kg}$ بسرعة $2.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ على خيط طوله $0.50\,\mathrm{m}$ يمرّ بثقب؛ ويُسحب الخيط حتى يصير نصف القطر $0.25\,\mathrm{m}$ . احسب السرعة والسرعة الزاوية الجديدتين؛ والطاقتين الحركيتين قبل وبعد؛ والشغل الذي يبذله السحب. ولماذا يستطيع الشدّ أن يبذل شغلًا هنا؟

حل

حل التمرين 15.7.

$L = mrv$ منحفظ: ومنه $v_2 = v_1r_1/r_2 = 4.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ و $\omega_2 = v_2/r_2 = 16\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ (بعد $4\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ ). و $E_1 = 0.40\,\mathrm{J}$ و $E_2 = 1.6\,\mathrm{J}$ : فالسحب يبذل $1.2\,\mathrm{J}$ . والشدّ قطري، لكن انتقال القرص صار له مركّبة قطرية (إذ يلتفّ إلى الداخل): فالشغل $\vect T\cdot\dd\vect\ell$ لم يعد معدومًا.

تمرين 15.8 ★★

يستند لوح منتظم كتلته $20\,\mathrm{kg}$ وطوله $4.0\,\mathrm{m}$ على مرتكز يبعد $1.5\,\mathrm{m}$ عن طرفه الأيسر؛ ويجلس طفل كتلته $30\,\mathrm{kg}$ عند الطرف الأيسر. فأين يجب أن يجلس طفل كتلته $45\,\mathrm{kg}$ ليتحقق التوازن؟ وماذا يحمل المرتكز؟

حل

حل التمرين 15.8.

العزوم حول المرتكز (بأبعاد مقيسة عنه): الطفل $30 \times 1.5 = 45$ (يسارًا)؛ ووزن اللوح عند مركزه، على بعد $0.5$ يمينًا: $20 \times 0.5 = 10$ (يمينًا)؛ والطفل الثاني على بعد $x$ يمينًا: $45x$ . والتوازن: $45 = 10 + 45x$ ، ومنه $x = 0.78\,\mathrm{m}$ . ويحمل المرتكز الوزن الكلي، $95 \times 9.81 = 932\,\mathrm{N}$ .

تمرين 15.9 ★★

آلة أتوود ( $m_1 = 2.0\,\mathrm{kg}$ و $m_2 = 1.0\,\mathrm{kg}$ ) معلَّقة على بكرة نصف قطرها $0.10\,\mathrm{m}$ وعزم عطالتها $0.010\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{2}$ لا ينزلق عليها الخيط. باستعمال مبرهنة العزم الحركي للبكرة وقانون نيوتن للكتلتين، أوجد التسارع والشدّين. وقارن بحالة البكرة عديمة الكتلة.

حل

حل التمرين 15.9.

للكتلتين: $m_1a = m_1g - T_1$ و $m_2a = T_2 - m_2g$ ؛ وللبكرة: $J\dot\omega = (T_1 - T_2)R$ مع $a = R\dot\omega$ . وبالجمع: $a = (m_1 - m_2)g/(m_1 + m_2 + J/R^2) = 9.81/(3.0 + 1.0) = 2.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ (مقابل $3.3\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ )؛ و $T_1 = m_1(g - a) = 14.7\,\mathrm{N}$ و $T_2 = m_2(g + a) = 12.3\,\mathrm{N}$ — وهما غير متساويين، لأن البكرة تحتاج إلى عزم محصّل.

تمرين 15.10 ★★★

يمرّ مذنّب بحضيضه على بعد $0.50\,\mathrm{AU}$ من الشمس بسرعة $40\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ . فحين يكون على بعد $10\,\mathrm{AU}$ ، ما مركّبة سرعته العمودية على متجهة الموضع؟ وهل يستطيع قانون المساحات أن يعطي سرعته الكاملة؟

حل

حل التمرين 15.10.

$r_1v_1 = r_2v_{\perp 2}$ : ومنه $v_{\perp 2} = 40 \times 0.5/10 = 2.0\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ . ولا يعطي قانون المساحات إلا المركّبة العمودية؛ أما القطرية فتحتاج إلى انحفاظ الطاقة (الفصل 16).

تمرين 15.11 ★★★

نجم كالشمس ( $R = 7.0 \times 10^{8}\,\mathrm{m}$ ، ودور دورانه $25\,\mathrm{d}$ ) ينهار إلى نجم نيوتروني نصف قطره $10\,\mathrm{km}$ ، محافظًا على كتلته وعزمه الحركي (مع $J \propto MR^2$ ). فما الدور الجديد؟ وما السرعة الاستوائية؟ وماذا تقول لك الأخيرة عن الفرضية؟

حل

حل التمرين 15.11.

$J\omega$ ثابت مع $J \propto R^2$ : ومنه $T' = T(R'/R)^2 = 25 \times 86400 \times (10^4/7\times10^8)^2 = 4.4 \times 10^{-4}\,\mathrm{s}$ . والسرعة الاستوائية $2\pi R'/T' = 1.4 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ، أي نصف سرعة الضوء: فلا يمكن للانهيار أن يحتفظ بالعزم الحركي كله — إذ يُطرح كثير منه (وتدخل النسبية).

تمرين 15.12 ★★★

تنزلق خرزة بلا احتكاك على امتداد قضيب مستقيم يدور في مستوٍ أفقي بسرعة زاوية ثابتة $\omega$ حول محور شاقولي يمرّ بأحد طرفيه. اكتب $L_z$ للخرزة؛ وبيّن أنه لا ينحفظ واحسب العزم الذي يجب أن يؤثر به القضيب؛ ثم استنتج ردّ الفعل العرضي للقضيب على الخرزة.

حل

حل التمرين 15.12.

$L_z = mr^2\omega$ ، و $r$ يتغير: ومنه $\dd L_z/\dd t = 2mr\dot r\omega \neq 0$ . ويجب أن يكون هذا عزم ردّ الفعل العرضي $N$ للقضيب: أي $rN = 2mr\dot r\omega$ ، ومنه $N = 2m\dot r\omega$ — فالقضيب يدفع الخرزة جانبًا وهي تنزلق نحو الخارج (وهو حدّ كوريوليس في الفصل 18).

15.5 مسألة: لماذا يبتعد القمر

مسألة 15.1

مسألة نهاية الأسبوع — المدود التي يثيرها القمر على الأرض تشدّه إلى الأمام وتشدّ الأرض إلى الخلف: كيف ينساب العزم الحركي من أيامنا إلى مدار القمر، سنتيمترًا بعد سنتيمتر، وإلى أين تذهب الطاقة

المعطيات: $G = 6.67 \times 10^{-11}\,\mathrm{SI}$ ؛ وللأرض $M = 5.97 \times 10^{24}\,\mathrm{kg}$ و $R = 6.37 \times 10^{6}\,\mathrm{m}$ ، ودورانها $\Omega = 2\pi/(86\,164\,\mathrm{s})$ ، وعزم عطالتها $J = 0.33\,MR^2$ ؛ وللقمر $m = 7.35 \times 10^{22}\,\mathrm{kg}$ ، ويُعامل مداره دائريًّا، $r = 3.84 \times 10^{8}\,\mathrm{m}$ ؛ ويقيس التحديد الليزري للمسافة إلى القمر $\dd r/\dd t = 3.8\,\mathrm{cm}/\mathrm{yr}$ ؛ ويطول اليوم بمقدار $2.3\,\mathrm{ms}$ في كل قرن؛ و $1$ قرن $= 3.16 \times 10^{9}\,\mathrm{s}$ .

الجزء I — العزوم الحركية.

احسب السرعة الزاوية المدارية $\omega$ للقمر انطلاقًا من قانون نيوتن (بمدار دائري)، وتحقق منها بمقارنتها بالشهر النجمي $27.3\,\mathrm{d}$ .
احسب العزم الحركي المداري للقمر $L_{\text{مداري}} = mr^2\omega$ .
بيّن أنه من أجل مدار دائري $L_{\text{مداري}} = m\sqrt{GMr}$ ، ثم استنتج $\dd L_{\text{مداري}}/\dd r = L_{\text{مداري}}/2r$ .
احسب العزم الحركي الذاتي للأرض $L_{\text{ذاتي}} = J\Omega$ وقارنه بالمقدار $L_{\text{مداري}}$ .
يدور القمر حول نفسه مرة في كل شهر: قدّر عزمه الحركي الذاتي (مع $J_m \approx 0.4\,mR_m^2$ و $R_m = 1.74 \times 10^{6}\,\mathrm{m}$ ) وبرّر إهماله.
ما العزوم الخارجية المؤثرة في جملة الأرض–القمر حول مركز كتلتها؟ وبرهن على أن العزم الكلي $L = L_{\text{ذاتي}} + L_{\text{مداري}}$ ينحفظ بتقريب جيد.

الجزء II — عزم المدّ. يثير القمر انتفاخين مائيين على الأرض؛ ولأن الأرض تدور أسرع مما يدور القمر في مداره، يجرّ الاحتكاك الانتفاخين أمام مستقيم الأرض–القمر بزاوية صغيرة.

ارسم تخطيطيًّا الأرض والانتفاخ السابق والقمر. فبأيّ اتجاه يؤثر جذب القمر للانتفاخ الأقرب، بالنسبة إلى دوران الأرض؟
استنتج إشارة العزم على دوران الأرض: فهل يطول اليوم أم يقصر؟
وبالفعل ورد الفعل، أيّ عزم يؤثر في حركة القمر المدارية؟ وهل يكبر $L_{\text{مداري}}$ أم يصغر؟
انطلاقًا من السؤال 3، هل يكبر $r$ أم يصغر؟ وماذا عن سرعة القمر المدارية $v = \sqrt{GM/r}$ ؟
حلّ المفارقة الظاهرية: يُدفع القمر إلى الأمام، ومع ذلك ينتهي به الأمر إلى حركة أبطأ.
إلى أيّ حالة نهائية يميل هذا التبادل؟

الجزء III — الأعداد.

انطلاقًا من طول اليوم، احسب التغير النسبي $\Delta\Omega/\Omega$ في كل قرن.
استنتج تغير $L_{\text{ذاتي}}$ في كل قرن.
استنتج تغير $L_{\text{مداري}}$ في كل قرن.
باستعمال السؤال 3، حوّله إلى تغير في $r$ في كل قرن وفي كل سنة. وقارنه بقيمة التحديد الليزري.
بأيّ نسبة، وبكم ثانية، يطول الشهر النجمي في كل قرن (مع $T \propto r^{3/2}$ )؟
احسب تغير الطاقة الحركية الدورانية للأرض في كل قرن (مع $\Delta E = L_{\text{ذاتي}}\Delta\Omega$ من الرتبة الأولى).
احسب تغير الطاقة الميكانيكية المدارية للقمر، $E_{\text{مداري}} = -GMm/2r$ ، في كل قرن.

الجزء IV — الطاقة.

بيّن أن الأرض تفقد طاقة أكثر مما يكسب القمر، ثم احسب الفرق في كل قرن والاستطاعة الموافقة. وإلى أين تذهب؟
قارن تلك الاستطاعة باستهلاك البشرية، ونحوه $18\,\mathrm{TW}$ ، وبتدفق حرارة الأرض الداخلية، ونحوه $47\,\mathrm{TW}$ .
في الحالة النهائية من السؤال 12 يتساوى اليوم والشهر: $\Omega = \omega = \sqrt{GM/r^3}$ . اكتب انحفاظ $L_{\text{ذاتي}} + L_{\text{مداري}}$ ، وتحقق من أن $r \approx 5.5 \times 10^{8}\,\mathrm{m}$ يحققه، وأعطِ الدور المشترك بالأيام.
ولماذا لن تُبلغ تلك الحالة في الواقع أبدًا؟ (فكّر في مدود الشمس.)
يُظهر القمر للأرض وجهًا واحدًا أصلًا. فسّر ذلك بالآلية نفسها، وقل لماذا حدث للقمر أولًا.
لخّص في ثلاثة أسطر: ما الذي ينحفظ، وما الذي يُتبادل، وما الذي يتبدّد.

حل

حل المسألة 15.1.

1. $m\omega^2r = GMm/r^2$ : ومنه $\omega = \sqrt{GM/r^3} = \sqrt{3.98\times 10^{14}/5.66\times10^{25}} = 2.65 \times 10^{-6}\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ ، والدور $2\pi/\omega = 2.37 \times 10^{6}\,\mathrm{s} = 27.4\,\mathrm{d}$ .

2. $L_{\text{مداري}} = 7.35\times10^{22} \times 1.475\times10^{17} \times 2.65\times10^{-6} = 2.9 \times 10^{34}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$ .

3. $v = \sqrt{GM/r}$ و $L = mrv = m\sqrt{GMr}$ ؛ ومنه $\dd L/\dd r = \tfrac12 m\sqrt{GM/r} = L/2r$ .

4. $J = 0.33 \times 5.97\times10^{24} \times 4.06\times10^{13} = 8.0 \times 10^{37}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{2}$ ؛ و $\Omega = 7.29 \times 10^{-5}\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ ؛ و $L_{\text{ذاتي}} = 5.8 \times 10^{33}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$ ، أي خُمس $L_{\text{مداري}}$ .

5. $J_m \approx 0.4 \times 7.35\times10^{22} \times 3.0\times10^{12} = 8.9 \times 10^{34}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{2}$ ، مضروبًا في $\omega$ : أي $2.4 \times 10^{29}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$ ، وهو $10^{-5}$ من عزم المدار: فهو مهمل.

6. يؤثر جذب الشمس في مركز كتلة الجملة (فلا عزم له حوله من الرتبة الأولى)؛ وأثره المدّي في الثنائية صغير: فينحفظ العزم الكلي $L$ بالدقة اللازمة هنا.

7. الانتفاخ الأقرب، وهو أمام مستقيم الأرض–القمر، يجذبه القمر بقوة مركّبتها المماسية تعاكس دوران الأرض.

8. عزم سالب على الدوران: فتتباطأ الأرض ويطول اليوم.

9. يجذب الانتفاخ القمر إلى الأمام: فعزم موجب على المدار، ويكبر $L_{\text{مداري}}$ .

10. $L_{\text{مداري}} \propto \sqrt r$ يكبر، ومنه يكبر $r$ ؛ و $v \propto 1/\sqrt r$ يتناقص.

11. يبذل الشدّ الأمامي شغلًا موجبًا فيرفع طاقة القمر؛ والمدار الأعلى مدار أبطأ: فتذهب الطاقة إلى الارتفاع (أي إلى الكامنة)، بأكثر مما تفقده الطاقة الحركية.

12. القفل المدّي للأرض: أي يوم يساوي شهرًا، فلا انتفاخ سابق ولا عزم.

13. $\Delta\Omega/\Omega = -2.3 \times 10^{-3}\,\mathrm{s}/86\,164\,\mathrm{s} = -2.7 \times 10^{-8}$ في كل قرن.

14. $\Delta L_{\text{ذاتي}} = L_{\text{ذاتي}}\Delta\Omega/\Omega = -1.55 \times 10^{26}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$ في كل قرن.

15. $\Delta L_{\text{مداري}} = +1.55 \times 10^{26}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$ في كل قرن.

16. $\Delta r = 2r\,\Delta L/L = 2 \times 3.84\times10^8 \times 1.55 \times10^{26}/2.9\times10^{34} = 4.1\,\mathrm{m}$ في كل قرن، أي $4.1\,\mathrm{cm}/\mathrm{yr}$ : وهي قريبة من القيمة المقيسة $3.8\,\mathrm{cm}/\mathrm{yr}$ (فطول اليوم له أيضًا جزء غير مدّي).

17. $\Delta T/T = \tfrac32\Delta r/r = 1.6\times10^{-8}$ : ومنه $2.37\times 10^6 \times 1.6\times10^{-8} = 0.04\,\mathrm{s}$ في كل قرن.

18. $\Delta E_{\text{دوراني}} = L_{\text{ذاتي}}\Delta\Omega = 5.8\times10^{33} \times 7.29\times10^{-5} \times (-2.7\times10^{-8}) = -1.1 \times 10^{22}\,\mathrm{J}$ في كل قرن.

19. $\Delta E_{\text{مداري}} = GMm\Delta r/2r^2 = 2.93\times10^{37} \times 4.1/(2 \times 1.475\times10^{17}) = +4.1 \times 10^{20}\,\mathrm{J}$ في كل قرن.

20. المحصلة $-1.1\times10^{22} + 4\times10^{20} \approx -1.06 \times 10^{22}\,\mathrm{J}$ في كل قرن: أي $3.4\times10^{12}\ \mathrm{W}$ ، تتبدد حرارةً بالاحتكاك المدّي في المحيطات وفي الأرض الصلبة.

21. أي خُمس استطاعة البشرية، وجزء من أربعة عشر من التدفق الحراري الأرضي — أي مدفأة صغيرة لكنها دائمة.

22. $L_{\text{كلي}} = 3.5\times10^{34}$ . وعند $r = 5.5\times10^8$ : $\omega = \sqrt{GM/r^3} = 1.55 \times 10^{-6}\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ و $J\omega = 1.2\times10^{32}$ و $m\sqrt{GMr} = 7.35\times10^{22} \times 4.68\times10^{11} = 3.44\times10^{34}$ ؛ والمجموع $3.45\times10^{34}$ : فهو متوافق. والدور $2\pi/\omega = 4.1 \times 10^{6}\,\mathrm{s} = 47\,\mathrm{d}$ .

23. تظلّ مدود الشمس تبطّئ الأرض دون معدّل القمر المداري، فينعكس عندئذ عزم الأرض–القمر؛ ثم إن الشمس ستكون قد تطورت قبل ذلك بزمن طويل (فسلّم الزمن عشرات مليارات السنين).

24. أثارت الأرض مدودًا على القمر فكبحت دورانه حتى بقي وجه واحد نحونا؛ ولأنه أخفّ وأقرب إلى شريك أثقل، كان قفله أسرع بكثير.

25. ينحفظ: العزم الحركي الكلي. ويُتبادل: عزم حركي من دوران الأرض إلى مدار القمر، نحو $1.6 \times 10^{26}\,\mathrm{SI}$ في كل قرن. ويتبدد: طاقة ميكانيكية، بضعة تيراواط، حرارةً مدّية.

المصطلحات المعرَّفة في هذا الفصل

عرض كل المصطلحات (393) في المسرد