الفيزياء الجامعية — السنة الأولى · Bachelor Year 1

14الهزّازات الميكانيكية: التخميد والرنين

ادفع أرجوحة طفل في اللحظة الخطأ فلا يحدث شيء يُذكر؛ وادفعها مرة في كل دور، برفق، فيصرخ الطفل بعد عشرات التأرجحات من أعلى القوس. وترتجف غسّالة ارتجافًا عنيفًا عند سرعة بعينها من دورة العصر، ثم تهدأ فوقها. وتغنّي كأس نبيذ حين يدور إصبع مبلول على حافتها بالمعدّل الصحيح تمامًا، وتتحطم حين يمسك مغنٍّ النغمة نفسها بصوت عالٍ كفايةً. وكل واحدة من هذه رنين: أي جملة لها تواتر خاص، تُقاد قرب ذلك التواتر، فتراكم الطاقة دورةً بعد دورة حتى ينزفها الاحتكاك بالسرعة التي تدخل بها. ويأخذ هذا الفصل الهزّاز الميكانيكي — حرًّا ثم مخمَّدًا ثم مقادًا — ويشتقّ منحنيات الرنين التي ظهرت توائمها الكهربائية في الفصل 8.

14.1 الهزّاز التوافقي

تعريف 14.1 (الهزّاز التوافقي)

جملة يحقق فيها الانتقال $x$ عن توازن مستقر

\ddot x + \omega_0^2\,x = 0

هي هزّاز توافقي تواتره الزاوي الخاص $\omega_0$ (ودوره $T_0 = 2\pi/\omega_0$ ). وللحلّ $x = A\cos(\omega_0t + \varphi)$ سعة وطور تحدّدهما الشروط الابتدائية، ودور مستقل عن السعة (وهو تساوي الأدوار).

قضية 14.2 (من أين تأتي الهزّازات التوافقية)

كتلة $m$ على نابض $k$ : $\omega_0^2 = k/m$ (بقانون هوك).
بندول بسيط طوله $\ell$ ، عند الزوايا الصغيرة: $\omega_0^2 = g/\ell$ .
أيّ جسيم بجوار توازن مستقر لطاقة كامنة $E_p$ : $\omega_0^2 = E_p''(x_0)/m$ (القضية 13.12).
دارة LC: $\omega_0^2 = 1/LC$ ، مع $q \leftrightarrow x$ و $L \leftrightarrow m$ و $1/C \leftrightarrow k$ .

والطاقة $E = \tfrac12 m\dot x^2 + \tfrac12 m\omega_0^2x^2 = \tfrac12 m\omega_0^2A^2$ ثابتة، تتقاذف بين الصورة الحركية والصورة الكامنة مرتين في كل دور.

برهان. قانون نيوتن الثاني مع $F = -kx$ ؛ ومعادلة البندول $\ddot\theta + (g/\ell)\sin\theta = 0$ مع $\sin\theta \approx \theta$ ؛ وصيغة تايلور عند النهاية الصغرى للطاقة $E_p$ ؛ وقانون العروة في دارة LC. وللطاقة: اشتقّ واستعمل المعادلة. ∎

مثال 14.3 (أسطوانة تتأرجح طفوًا)

تطفو أسطوانة شاقولية مقطعها $S$ وقد غُمر منها عمق $h$ (إذ $mg = \rho_wgSh$ ، ودافعة أرخميدس من الفصل 21). فإذا دُفعت إلى أسفل بالمقدار $x$ تلقّت قوة إضافية نحو الأعلى $\rho_wgSx$ : أي $m\ddot x = -\rho_wgSx$ ، ومنه $\omega_0^2 = \rho_wgS/m = g/h$ — وهو نفسه ما لبندول طوله $h$ . وعوّامة مغمورة بعمق $1\,\mathrm{m}$ تتأرجح بدور $2\,\mathrm{s}$ ، أيًّا كانت كتلتها.

14.2 الهزّاز المخمَّد

قضية 14.4 (الهزّاز المخمَّد)

مع احتكاك لزج $-\alpha\dot x$ تصير المعادلة

\ddot x + \frac{\omega_0}{Q}\dot x + \omega_0^2x = 0, \qquad Q = \frac{\sqrt{km}}{\alpha} = \frac{m\omega_0}{\alpha},

وهي الصيغة القانونية من الرتبة الثانية في الفصل 7: فمن أجل $Q > \tfrac12$ يكون التخميد شبه دوري $x = A\eu^{-t/\tau}\cos(\omega t + \varphi)$ مع $\tau = 2Q/\omega_0$ و $\omega = \omega_0\sqrt{1 - 1/4Q^2}$ ؛ وتتناقص الطاقة وفق $\eu^{-2t/\tau}$ ، ولدينا

Q = 2\pi\,\frac{\text{الطاقة المخزونة}}{\text{الطاقة المتبددة في كل دور}} \quad (Q \gg 1) .

برهان. اقسم $m\ddot x + \alpha\dot x + kx = 0$ على $m$ . وللطاقة: تفقد $E \propto A^2\eu^{-2t/\tau}$ الجزءَ $2T/\tau = 2\pi/Q$ في كل دور حين يكون ذلك صغيرًا. ∎

مثال 14.5 (كم يدوم الرنّ)

تظلّ شوكة رنانة عند $440\,\mathrm{Hz}$ تُسمع بعد عشر ثوانٍ من قرعها: إذ هبطت سعتها إلى نحو $5\%$ في $3\tau = 10\,\mathrm{s}$ ، ومنه $\tau = 3.3\,\mathrm{s}$ و $Q = \omega_0\tau/2 \approx 4600$ . أما تعليق سيارة ( $Q \approx 0.7$ ) فيتوقف خلال دور واحد؛ وأرجوحة طفل ( $Q \approx 20$ ) تفقد ثلث طاقتها في كل تأرجحة وتحتاج إلى دفعة في كل مرة.

14.3 الاهتزازات القسرية والرنين

مبرهنة 14.6 (هزّاز مقاد جيبيًّا)

إذا قادته قوة $F_0\cos\omega t$ فإن الهزّاز المخمَّد

m\ddot x + \alpha\dot x + kx = F_0\cos\omega t

يستقر، بعد نظام عابر مدته $\sim\tau$ ، على النظام القسري $x = X\cos(\omega t + \varphi)$ حيث، بكتابة $x_r = \omega/\omega_0$ و $X_0 = F_0/k$ الانحرافَ السكوني،

X = \frac{X_0}{\sqrt{(1 - x_r^2)^2 + x_r^2/Q^2}}, \qquad \tan\varphi = -\frac{x_r/Q}{1 - x_r^2}, \quad \varphi \in [-\pi, 0] .

تبلغ السعة $X$ ذروتها، من أجل $Q > 1/\sqrt2$ ، عند $\omega_r = \omega_0\sqrt{1 - 1/2Q^2}$ حيث $X_{\max} \approx QX_0$ ؛ أما سعة السرعة $V = \omega X$ فتبلغ ذروتها تمامًا عند $\omega_0$ ، حيث $V_{\max} = F_0/\alpha$ ، ومنحني رنينها

\frac{V}{V_{\max}} = \frac{1}{\sqrt{1 + Q^2(x_r - 1/x_r)^2}}

عرض نطاقه $\Delta\omega = \omega_0/Q$ . وعند $\omega_0$ يتأخر الانتقال عن القوة بمقدار $\pi/2$ ، وتكون السرعة على الطور معها.

برهان. بالطريقة العقدية (الفصل 8): $\underline X(-\omega^2 + j\omega\omega_0/Q + \omega_0^2) = F_0/m$ ، ومنه $\underline X = (F_0/m)/(\omega_0^2 - \omega^2 + j\omega\omega_0/Q)$ ؛ ثم اقسم البسط والمقام على $\omega_0^2 = k/m$ . وينتج المقياس والعمدة؛ وقد حُدّدت النهاية العظمى للسعة $X$ في القضية 8.10 (فالدالة نفسها). وللسرعة: $\underline V = j\omega\underline X$ يعطي $V = \omega X$ ؛ وبكتابة $(1 - x_r^2)/x_r = 1/x_r - x_r$ يصير المقام $\sqrt{1/Q^2 + (1/x_r - x_r)^2}$ ، أي صيغة RLC. وعند $x_r = 1$ يكون $\underline X = -jQX_0$ : أي تأخر بمقدار $\pi/2$ . ∎

سعة (يسارًا) وطور (يمينًا) الهزّاز القسري بدلالة تواتر الإقادة، من أجل عوامل جودة عدة. فذروة حادّة قرب _0 من أجل Q الكبير، ولا ذروة دون Q = 1/√2؛ ويمرّ الانتقال من الطور نفسه ( صغير) إلى الطور المعاكس ( كبير)، مارًّا بتأخر π/2 عند _0 — وكلما كان الرنين أحدّ كان التحوّل أشدّ فجائيةً. — سعة (يسارًا) وطور (يمينًا) الهزّاز القسري بدلالة تواتر الإقادة، من أجل عوامل جودة عدة. فذروة حادّة قرب $\omega_0$ من أجل $Q$ الكبير، ولا ذروة دون $Q = 1/\sqrt2$ ؛ ويمرّ الانتقال من الطور نفسه ( $\omega$ صغير) إلى الطور المعاكس ( $\omega$ كبير)، مارًّا بتأخر $\pi/2$ عند $\omega_0$ — وكلما كان الرنين أحدّ كان التحوّل أشدّ فجائيةً.

ملاحظة 14.7 (رنينان في دارة واحدة)

إن التقابل $x \leftrightarrow q$ و $\dot x \leftrightarrow i$ و $m \leftrightarrow L$ و $\alpha \leftrightarrow R$ و $k \leftrightarrow 1/C$ و $F \leftrightarrow e$ يحمل الهزّاز المقاد على دارة RLC على التسلسل في الفصل 8: فرنين السرعة هو رنين التيار (وهو دائمًا عند $\omega_0$ وعرض نطاقه $\omega_0/Q$ )، ورنين السعة هو رنين الشحنة، أي رنين توتر المكثفة (وهو دون $\omega_0$ قليلًا، وغائب من أجل $Q$ الصغير). أما الاستطاعة الممتصة $\langle F\dot x\rangle = \tfrac12 F_0V\cos\varphi_v$ فتبلغ ذروتها عند $\omega_0$ بالقيمة $F_0^2/2\alpha$ ، ونقطتا نصف الاستطاعة هما عرض نطاق السرعة — تمامًا كما في دارة RLC.

مثال 14.8 (سرعات الرنين)

لتعليق سيارة $f_0 \approx 1.3\,\mathrm{Hz}$ (المسألة 7.1). وعلى طريق فيها تموّجات كل $\lambda = 10\,\mathrm{m}$ يكون تواتر الإثارة $v/\lambda$ : فالرنين عند $v = \lambda f_0 = 13\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ، أي نحو $47\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ — وهي السرعة التي تهزّ عندها الطريق المضلّعة السيارةَ أشدّ ما تهزّ، وهي سبب تركيب مخمّد $Q \approx 0.7$ : فمع $Q = 5$ كان الهيكل سيتأرجح بخمسة أضعاف سعة الطريق. وفوق الرنين ( $x_r \gg 1$ ) تتناقص السعة وفق $X_0/x_r^2$ : فيبدو الهيكل “طافيًا” فوق المطبّات السريعة — أي العزل، وهو الوجه الآخر للرنين.

14.4 إثارة القاعدة: العزل ومقياس الزلازل

قضية 14.9 (هزّاز تهزّه دعامته)

لتتحرك دعامة جملة كتلة–نابض–مخمّد بالمقدار $x_g(t)$ (كالطريق تحت سيارة، أو الأرض تحت مقياس زلازل)، وليكن $u$ انتقال الكتلة بالنسبة إلى الدعامة، و $x = x_g + u$ انتقالها المطلق (عن التوازن). عندئذ

m\ddot u + \alpha\dot u + ku = -m\ddot x_g ,

ومن أجل $x_g = X_g\cos\omega t$ ، مع $x_r = \omega/\omega_0$ :

\frac{U}{X_g} = \frac{x_r^2}{\sqrt{(1 - x_r^2)^2 + x_r^2/Q^2}}, \qquad \frac{X}{X_g} = \sqrt{\frac{1 + x_r^2/Q^2}{(1 - x_r^2)^2 + x_r^2/Q^2}} .

من أجل $x_r \gg 1$ : $U \to X_g$ (فالكتلة تبقى ساكنة في الفضاء — ومقياس الزلازل يقرأ انتقال الأرض) و $X \to 0$ (فالكتلة معزولة عن الهزّ)؛ ومن أجل $x_r \ll 1$ : $U \approx \ddot x_g/\omega_0^2$ (أي مقياس تسارع) و $X \approx X_g$ (فالكتلة تتبع الدعامة).

برهان. يؤثر النابض والمخمّد في الحركة النسبية: $m\ddot x = -ku - \alpha\dot u$ ، ولدينا $\ddot x = \ddot x_g + \ddot u$ . وبالصيغة العقدية $\underline U(\omega_0^2 - \omega^2 + j\omega\omega_0/Q) = \omega^2X_g$ ، ومنه $U/X_g$ ؛ ثم $\underline X = \underline U + X_g = X_g(1 + jx_r/Q)/(1 - x_r^2 + jx_r/Q)$ . ∎

كتلة تُهزّ عبر دعامتها. يسارًا: الحركة النسبية U/X_g — أي مقياس تسارع دون _0 (بميل 2 على السلّمين اللوغاريتميين)، ومقياس زلازل فوقه. ويمينًا: الحركة المطلقة X/X_g — فالكتلة تتبع الدعامة عند التواترات المنخفضة، وتُعزل عنها فوق _0 بكثير؛ و Q الكبير لا يشتري إلا ذروة خطرة. — كتلة تُهزّ عبر دعامتها. يسارًا: الحركة النسبية $U/X_g$ — أي مقياس تسارع دون $\omega_0$ (بميل $2$ على السلّمين اللوغاريتميين)، ومقياس زلازل فوقه. ويمينًا: الحركة المطلقة $X/X_g$ — فالكتلة تتبع الدعامة عند التواترات المنخفضة، وتُعزل عنها فوق $\omega_0$ بكثير؛ و $Q$ الكبير لا يشتري إلا ذروة خطرة.

مثال 14.10 (لماذا توضع الآلات على قواعد ليّنة)

محرّك عند $50\,\mathrm{Hz}$ على قواعد مطاطية موالفة على $f_0 = 10\,\mathrm{Hz}$ (أي $x_r = 5$ و $Q \approx 2$ ): $X/X_g = \sqrt{(1 + 6.25)/(576 + 6.25)} = 0.11$ — أي إن تسعة أعشار الاهتزاز تبقى خارج الأرضية. ويجب أن تكون القواعد ألين مما يوحي به الحدس: فتقسيتها ترفع $f_0$ نحو $50$ هرتز وتقضي على العزل. والصيغة نفسها، مقروءةً بالاتجاه الآخر، هي سيارة المثال 14.8 على طريق مضلّعة.

14.5 الطاقة: كيف يُبنى الرنين

قضية 14.11 (موازنة الطاقة في النظام القسري)

في النظام القسري الدائم تساوي الاستطاعة المتوسطة التي تقدّمها قوة الإقادة الاستطاعةَ المتوسطة التي يبدّدها الاحتكاك، $\tfrac12\alpha V^2$ . وعند الرنين تكون الطاقة المخزونة $\tfrac12 mV_{\max}^2$ مساويةً $Q/2\pi$ مرة الطاقةَ المقدَّمة في كل دور: فالهزّاز يراكم شغل الإقادة على نحو $Q$ دورًا قبل أن تساوي الضياعاتُ الوارد، وهو أيضًا عدد الدورات ( $\sim\tau/T$ ) التي يدوم فيها النظام العابر.

برهان. توسّط مبرهنة الطاقة على دور: $\langle\dd E/\dd t\rangle = 0$ في النظام الدائم، ومنه $\langle F\dot x\rangle = \langle\alpha\dot x^2\rangle = \tfrac12\alpha V^2$ . وعند الرنين $V_{\max} = F_0/\alpha$ ، والطاقة المخزونة $\tfrac12 m(F_0/\alpha)^2$ ، والمقدَّمة في كل دور $\tfrac12\alpha(F_0/\alpha)^2T$ ؛ والنسبة $m/(\alpha T) = Q/2\pi$ . ∎

مثال 14.12 (الأرجوحة)

أرجوحة طولها $2.5\,\mathrm{m}$ (أي $T_0 = 3.2\,\mathrm{s}$ و $Q \approx 20$ ) تتلقّى دفعة مقدارها $50\,\mathrm{N}$ على $0.5\,\mathrm{m}$ في كل دور: أي $25\,\mathrm{J}$ في كل دورة. فتنمو حتى يساوي الضياعُ في كل دور، $2\pi E/Q$ ، $25\,\mathrm{J}$ : ومنه $E = 80\,\mathrm{J}$ ؛ ومع طفل كتلته $30\,\mathrm{kg}$ يعطي $mg\ell(1 - \cos\theta_{\max}) = 80\,\mathrm{J}$ القيمةَ $\theta_{\max} \approx 27^\circ$ . ولو دُفعت بأيّ إيقاع آخر لتناوب شغل الدفعات في الإشارة وتوسّط إلى الصفر.

انطلاق رنين (مع Q = 5، والإقادة تُشغَّل عند t = 0 عند _0): تنمو السعة نحو QX_0 بثابت الزمن = 2Q/ _0، أي على نحو Q/π دورًا — وهو النظام العابر في مركَّبًا على النظام القسري. — انطلاق رنين (مع $Q = 5$ ، والإقادة تُشغَّل عند $t = 0$ عند $\omega_0$ ): تنمو السعة نحو $QX_0$ بثابت الزمن $\tau = 2Q/\omega_0$ ، أي على نحو $Q/\pi$ دورًا — وهو النظام العابر في الفصل 7 مركَّبًا على النظام القسري.

14.6 تمارين

تمرين 14.1 ★

كتلة $0.20\,\mathrm{kg}$ على نابض صلابته $80\,\mathrm{N}/\mathrm{m}$ تهتزّ بسعة $5.0\,\mathrm{cm}$ . احسب التواتر الزاوي والتواتر والدور والسرعة العظمى والطاقة الكلية.

حل

حل التمرين 14.1.

$\omega_0 = \sqrt{80/0.20} = 20\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ و $f_0 = 3.2\,\mathrm{Hz}$ و $T_0 = 0.31\,\mathrm{s}$ ؛ و $v_{\max} = A\omega_0 = 1.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ؛ و $E = \tfrac12 kA^2 = 0.10\,\mathrm{J}$ .

تمرين 14.2 ★

احسب دور بندول طوله $1.0\,\mathrm{m}$ على الأرض وعلى القمر ( $g = 1.62\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ ). وماذا يحدث لدور جملة الكتلة–النابض على القمر؟

حل

حل التمرين 14.2.

$T = 2\pi\sqrt{\ell/g}$ : أي $2.0\,\mathrm{s}$ على الأرض و $4.9\,\mathrm{s}$ على القمر. أما دور الكتلة–النابض، $2\pi\sqrt{m/k}$ ، فلا يتضمن $g$ : فيبقى دون تغيير.

تمرين 14.3 ★

لهزّاز $f_0 = 2.0\,\mathrm{Hz}$ و $Q = 50$ . احسب زمن تخميد السعة $\tau$ ؛ وزمن انتصاف الطاقة؛ وعدد الاهتزازات قبل أن تهبط السعة إلى $5\%$ .

حل

حل التمرين 14.3.

$\tau = 2Q/\omega_0 = 100/(4\pi) = 8.0\,\mathrm{s}$ ؛ والطاقة $\propto \eu^{-2t/\tau}$ تنتصف عند $t = \tau\ln2/2 = 2.8\,\mathrm{s}$ ؛ وتبلغ $5\%$ بعد $3\tau = 24\,\mathrm{s}$ ، أي نحو $48 \approx Q$ اهتزازة.

تمرين 14.4 ★

كتلة على نابض ( $k = 100\,\mathrm{N}/\mathrm{m}$ و $Q = 10$ ) تُقاد بقوة سعتها $1.0\,\mathrm{N}$ . احسب الانحراف السكوني؛ والسعة عند الرنين؛ والسعة عند $\omega = 3\omega_0$ .

حل

حل التمرين 14.4.

$X_0 = F_0/k = 1.0\,\mathrm{cm}$ ؛ وعند الرنين $\approx QX_0 = 10\,\mathrm{cm}$ ؛ وعند $3\omega_0$ : $X_0/\sqrt{64 + 0.09} = 0.13\,\mathrm{cm}$ .

تمرين 14.5 ★★

سيارة ( $f_0 = 1.3\,\mathrm{Hz}$ و $Q = 0.7$ ) تعبر مطبّات تبعد $8.0\,\mathrm{m}$ بعضها عن بعض. فما سرعة الرنين؟ وعند $60\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ ، أيّ جزء من سعة المطبّ يشعر به الهيكل؟ علّق على ذلك.

حل

حل التمرين 14.5.

$v = Lf_0 = 8.0 \times 1.3 = 10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ (أي $37\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ ). وعند $60\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ : $f = 16.7/8.0 = 2.1\,\mathrm{Hz}$ و $x_r = 1.6$ : ومنه $X/X_g = \sqrt{(1 + 5.2)/(2.4 + 5.2)} = 0.90$ — أي عزل ضعيف؛ فالعزل يقتضي $x_r \gg 1$ (وعند $120\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ يكون $x_r = 3.2$ : أي $0.45$ ).

تمرين 14.6 ★★

فسّر بموازنة الطاقة لماذا يجب دفع الأرجوحة عند دورها الخاص؛ ومن أجل $Q = 20$ ودفعة تضيف $25\,\mathrm{J}$ في كل دورة، أوجد طاقة النظام الدائم، والسعة من أجل طفل كتلته $30\,\mathrm{kg}$ على أرجوحة طولها $2.5\,\mathrm{m}$ .

حل

حل التمرين 14.6.

لا يكون شغل الدفعة موجبًا إلا حين تؤثر في اتجاه الحركة؛ فإذا دُفعت في كل دور تجمّعت الدفعات كلها؛ وبأيّ إيقاع آخر تتناوب. وفي النظام الدائم: $2\pi E/Q = 25\,\mathrm{J}$ ومنه $E = 80\,\mathrm{J}$ ؛ و $mg\ell(1 - \cos\theta_{\max}) = 80$ : أي $1 - \cos\theta_{\max} = 0.109$ ، ومنه $\theta_{\max} = 27^\circ$ .

تمرين 14.7 ★★

تتناقص القيم العظمى المتتالية لاهتزاز حرّ بنسبة $10\%$ في كل دور. أوجد $Q$ وعرض نطاق رنين سرعته (بالهرتز) إذا كان $f_0 = 2.0\,\mathrm{Hz}$ .

حل

حل التمرين 14.7.

$\delta = \ln(1/0.9) = 0.105$ و $Q = \pi/\delta = 30$ ؛ و $\Delta f = f_0/Q = 0.067\,\mathrm{Hz}$ .

تمرين 14.8 ★★

أعطِ طور الانتقال بالنسبة إلى القوة دون الرنين بكثير، وعند الرنين، وفوقه بكثير، ثم طور السرعة عند الرنين. ولماذا يكون رنين السرعة هو المهمّ من أجل الاستطاعة؟

حل

حل التمرين 14.8.

الانتقال: على الطور ( $\varphi = 0$ ) دون الرنين بكثير، و $-\pi/2$ عند الرنين، و $-\pi$ (أي معاكس) فوقه بكثير. والسرعة عند الرنين: على الطور مع القوة. والاستطاعة هي $\vect F\cdot\vect v$ : فطور السرعة، لا طور الانتقال، هو الذي يقرّر مقدار الشغل الذي تبذله الإقادة.

تمرين 14.9 ★★

بيّن أن سعة السرعة $V = \omega X$ عظمى تمامًا عند $\omega_0$ ، حيث $V_{\max} = F_0/\alpha$ ، وأن $V/V_{\max}$ يأخذ الصيغة $1/\sqrt{1 + Q^2(x_r - 1/x_r)^2}$ .

حل

حل التمرين 14.9.

لدينا $V = \omega X$ ، وهي تساوي $\omega(F_0/m)/\sqrt{(\omega_0^2 - \omega^2)^2 + (\omega\omega_0/Q)^2}$ ؛ واقسم البسط والمقام على $\omega\omega_0/Q$ ، فينتج عندئذ $V = (F_0Q/m\omega_0)/\sqrt{1 + Q^2(\omega_0/\omega - \omega/\omega_0)^2}$ ، مع $F_0Q/m\omega_0 = F_0/\alpha$ . والجذر $\geq 1$ ، ويساوي $1$ تمامًا عند $\omega = \omega_0$ .

تمرين 14.10 ★★★

احسب الاستطاعة المتوسطة الممتصة عند الرنين من أجل $F_0 = 1.0\,\mathrm{N}$ و $\alpha = 0.050\,\mathrm{N}\,\mathrm{s}/\mathrm{m}$ ، والطاقة المخزونة إذا كان $m = 0.20\,\mathrm{kg}$ ؛ وتحقق من أن نسبتهما $Q/\omega_0$ مع $\omega_0 = 20\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ .

حل

حل التمرين 14.10.

$P = F_0^2/2\alpha = 10\,\mathrm{W}$ ؛ و $V_{\max} = F_0/\alpha = 20\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ و $E = \tfrac12 mV_{\max}^2 = 40\,\mathrm{J}$ ؛ و $E/P = 4.0\,\mathrm{s}$ و $Q/\omega_0 = m/\alpha = 4.0\,\mathrm{s}$ .

تمرين 14.11 ★★★

تُسمع شوكة رنانة عند $440\,\mathrm{Hz}$ مدة $10\,\mathrm{s}$ (حتى تهبط السعة إلى $5\%$ ). قدّر $\tau$ و $Q$ وعرض نطاق رنينها، وعلّق على سبب كونها مرجعًا جيدًا للتواتر.

حل

حل التمرين 14.11.

$3\tau = 10\,\mathrm{s}$ : ومنه $\tau = 3.3\,\mathrm{s}$ و $Q = \omega_0\tau/2 = 2\pi \times 440 \times 3.3/2 \approx 4600$ ؛ و $\Delta f = f_0/Q = 0.1\,\mathrm{Hz}$ . فهي تستجيب لتواتر واحد أساسًا وتصدره: أي مرجع دقيق حتى أجزاء قليلة من $10^4$ .

تمرين 14.12 ★★★

اشتقّ تواتر تأرجح أسطوانة طافية (المثال 14.3) انطلاقًا من قانون نيوتن وقوة أرخميدس $\rho_wgS(h + x)$ ؛ وبيّن أن $\omega_0^2 = g/h$ ؛ واحسب الدور من أجل $h = 10\,\mathrm{cm}$ . ولماذا تكون النتيجة مستقلة عن الكتلة وعن السائل؟

حل

حل التمرين 14.12.

لدينا $m\ddot x = mg - \rho_wgS(h + x)$ ، أي $-\rho_wgSx$ لأن $mg = \rho_wgSh$ : ومنه $\omega_0^2 = \rho_wgS/m = g/h$ و $T = 2\pi\sqrt{0.10/9.81} = 0.63\,\mathrm{s}$ . ولا تدخل الكتلة ولا كثافة السائل إلا عبر عمق التوازن $h$ .

مرسمة زلازل: كتلة ثقيلة على تعليق ليّن تبقى ساكنة بينما تتحرك الأرض، ويكتب القلم الفرق — وهو الهزّاز المُثار من قاعدته في مسألة نهاية الأسبوع.

14.7 مسألة: مرسمة الزلازل

مسألة 14.1

مسألة نهاية الأسبوع — كتلة معلّقة بنابض داخل صندوق مثبّت في الأرض، والأرض تهتزّ: فماذا يسجّل القلم، ولماذا تقيس الآلة نفسها الانتقال عند التواترات العالية والتسارع عند التواترات المنخفضة، ولماذا لا يمكن أن يكون مقياس الزلازل الطويل الدور مجرّد نابض طويل

كتلة $m = 1.0\,\mathrm{kg}$ معلّقة بنابض صلابته $k$ داخل هيكل صلب مثبّت في الأرض؛ ويؤثر مخمّد بالقوة $-\alpha\dot u$ ، حيث $u$ انتقال الكتلة بالنسبة إلى الهيكل، مقيسًا عن موضع توازنها. وتتحرك الأرض، ومعها الهيكل، شاقوليًّا بالمقدار $x_g(t)$ . ومرجع النجوم البعيدة عطالي.

الجزء I — المعادلة.

اكتب الموضع المطلق للكتلة على الصورة $x = x_g + u + \text{ثابت}$ ، وعدّد القوى المؤثرة في الكتلة (في المرجع العطالي)، وبيّن أن

$m\ddot u + \alpha\dot u + ku = -m\ddot x_g .$
ضعها في الصيغة القانونية؛ وحدّد $\omega_0$ و $Q$ .
بُنيت الآلة على $f_0 = 0.50\,\mathrm{Hz}$ و $Q = 0.70$ : احسب $k$ و $\alpha$ .
تسارع أرضي ثابت $a_g$ (كأن يميل الهيكل) يعطي أيّ قيمة دائمة $u$ ؟ فسّر ذلك.
ماذا يسجّل القلم المثبّت في الكتلة، وهو يكتب على أسطوانة مثبّتة في الهيكل؟

الجزء II — حركة أرضية توافقية. تتحرك الأرض وفق $x_g = X_g\cos\omega t$ ؛ ولنكتب $x_r = \omega/\omega_0$ .

باستعمال السعات العقدية، بيّن أن $\underline U = X_g\,x_r^2/ (1 - x_r^2 + jx_r/Q)$ .
استنتج $U/X_g$ بدلالة $x_r$ و $Q$ .
في الحالة الحدية $x_r \gg 1$ : بيّن أن $U \to X_g$ وفسّر فيزيائيًّا ما تفعله الكتلة (فماذا تقيس الآلة؟).
في الحالة الحدية $x_r \ll 1$ : بيّن أن $U \approx x_r^2X_g = a_g/\omega_0^2$ حيث $a_g$ سعة تسارع الأرض: فما الآلة الآن؟
ما القيمة عند $x_r = 1$ ؟ ولماذا يكون $Q \approx 0.7$ اختيارًا معقولًا؟
ارسم تخطيطيًّا $U/X_g$ بدلالة $x_r$ (بسلّمين لوغاريتميين) من أجل $Q = 0.7$ و $Q = 5$ .
ما طور $u$ بالنسبة إلى $x_g$ عند التواترات العالية؟ فسّر ذلك.

الجزء III — التصميم من أجل الزلازل. تُنتج الزلازل البعيدة موجات سطحية من $0.05\,$ إلى $0.1\,\mathrm{Hz}$ بسعات مليمترية؛ وتبلغ الهزّات المحلية من $5\,$ إلى $10\,\mathrm{Hz}$ .

لتسجيل موجات $0.05\,\mathrm{Hz}$ انتقالاتٍ نريد $f_0 \ll 0.05\,\mathrm{Hz}$ ، فلتكن $0.02\,\mathrm{Hz}$ . فما الاستطالة السكونية للنابض تحت وزن الكتلة؟ علّق على ذلك.
بندول بسيط له التواتر نفسه: فما طوله؟
تستعمل الآلات الطويلة الدور الحقيقية بندولًا شبه أفقي على هيئة “بوابة حديقة”، أو تغذيةً راجعة إلكترونية بالقوة. فسّر في جملة واحدة ما يحققه كل منهما.
من أجل آلة $0.50\,\mathrm{Hz}$ ، احسب الاستطالة السكونية: أهي ممكنة؟
بهذه الآلة، تعطي موجة $0.10\,\mathrm{Hz}$ سعتها $1.0\,\mathrm{mm}$ أيّ $U$ ؟ وفي أيّ نظام تكون الآلة؟
هزّة محلية عند $5.0\,\mathrm{Hz}$ سعتها $1.0\,\mathrm{mm}$ : فما $U$ ؟ وما النظام؟

الجزء IV — مقياس التسارع في الهاتف. لكتلة مصنوعة مجهريًّا على نوابض من السيليسيوم $f_0 = 1.0\,\mathrm{kHz}$ و $Q = 0.7$ .

هزّ عند $10\,\mathrm{Hz}$ سعة تسارعه $g$ : احسب $U$ . وكيف يُقرأ انتقال كهذا؟
إلى أيّ تواتر تبقى القراءة ضمن $10\%$ من $a_g/\omega_0^2$ ؟
أيّ ثابت زمن $\tau = 2Q/\omega_0$ يحكم استجابتها لهزّة، ولماذا يهمّ ذلك في كشف السقوط؟
ثابت الزمن $\tau$ لمقياس الزلازل: قيمته ونتيجته بعد قفزة أرضية مفاجئة.
لماذا يُختار التخميد الحرج (أو القريب من الحرج) للآلتين كلتيهما، بدل $Q$ كبير؟
يُهزّ الهاتف عند $1.0\,\mathrm{kHz}$ تمامًا: فبأيّ عامل تخطئ القراءة؟
لخّص: جهاز واحد، ونظامان، تقرّرهما مقارنة واحدة بعينها.

حل

حل المسألة 14.1.

1. القوى: الوزن (توازنه الاستطالة السكونية)، والنابض $-ku$ ، والمخمّد $-\alpha\dot u$ ؛ ومنه $m\ddot x = -ku - \alpha\dot u$ مع $\ddot x = \ddot x_g + \ddot u$ .

2. $\ddot u + (\omega_0/Q)\dot u + \omega_0^2u = -\ddot x_g$ مع $\omega_0 = \sqrt{k/m}$ و $Q = \sqrt{km}/\alpha$ .

3. $k = m\omega_0^2 = \pi^2 = 9.9\,\mathrm{N}/\mathrm{m}$ ؛ و $\alpha = m\omega_0/Q = 3.14/0.70 = 4.5\,\mathrm{N}\,\mathrm{s}/\mathrm{m}$ .

4. $u = -a_g/\omega_0^2$ : فتهبط الكتلة بمقدار ثابت — أي إن الآلة مقياس تسارع عند التواتر الصفري (ومقياس ميل).

5. الانتقال النسبي $u(t)$ .

6. $-\omega^2\underline U + j\omega(\omega_0/Q)\underline U + \omega_0^2\underline U = \omega^2X_g$ ؛ ثم اقسم على $\omega_0^2$ .

7. $U/X_g = x_r^2/\sqrt{(1 - x_r^2)^2 + x_r^2/Q^2}$ .

8. $U \to X_g$ : فالكتلة لا تتحرك في المرجع العطالي (إذ تبقيها عطالتها ساكنةً بينما يعجز النابض اللين عن جرّها)؛ ويتحرك الهيكل حولها، فيسجّل القلم انتقال الأرض — أي مقياس زلازل.

9. $U \approx x_r^2X_g = \omega^2X_g/\omega_0^2 = a_g/\omega_0^2$ : أي مقياس تسارع.

10. $U = QX_g = 0.7X_g$ : فلا ذروة؛ والنظامان يلتقيان بسلاسة ولا ترنّ الآلة.

11. من أجل $Q = 0.7$ : مستقيم ميله $2$ يرتفع إلى $1$ قرب $x_r = 1$ ، ثم مستوٍ عند $1$ ؛ ومن أجل $Q = 5$ : الشيء نفسه مع ذروة ارتفاعها $5$ عند $x_r = 1$ .

12. $\underline U \to -X_g$ : أي $u = -x_g$ ، فالكتلة ساكنة بينما يتحرك الهيكل.

13. $\Delta\ell = g/\omega_0^2 = 9.81/(2\pi \times 0.02)^2 = 620\,\mathrm{m}$ : وهو أمر عبثي.

14. $\ell = g/\omega_0^2 = 620\,\mathrm{m}$ .

15. بوابة الحديقة: يتأرجح البندول حول محور شبه شاقولي، فلا يعيده إلا جزء ضئيل من $g$ ، فيعطي ذراع قصير دورًا طويلًا. والتغذية الراجعة بالقوة: يبقي وشيعٌ الكتلةَ ثابتة، ويكون التيار اللازم متناسبًا مع تسارع الأرض — فالصلابة إلكترونية وقابلة للضبط.

16. $\Delta\ell = 9.81/\pi^2 = 0.99\,\mathrm{m}$ : وهو ممكن.

17. $x_r = 0.2$ : ومنه $U/X_g = 0.04/\sqrt{0.92 + 0.08} = 0.040$ : أي $40\,\text{µ}\mathrm{m}$ — في نظام مقياس التسارع، ويحتاج إلى تضخيم (برافعة ضوئية أو بالإلكترونيات).

18. $x_r = 10$ : ومنه $100/\sqrt{9801 + 204} \approx 1.00$ : أي $1.0\,\mathrm{mm}$ ، وهو تسجيل أمين للانتقال.

19. $\omega_0 = 6.3 \times 10^{3}\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ : ومنه $U = g/\omega_0^2 = 2.5 \times 10^{-7}\,\mathrm{m}$ — ويُقرأ تغيّرَ فجوة مكثفة.

20. $U/(a_g/\omega_0^2) = 1/\sqrt{(1 - x_r^2)^2 + x_r^2/Q^2}$ ؛ ومع $Q = 0.7$ يتناقص باطّراد ويبقى فوق $0.9$ حتى $x_r \approx 0.7$ : أي نحو $700\,\mathrm{Hz}$ .

21. $\tau = 2Q/\omega_0 = 0.22\,\mathrm{ms}$ : فهي تتابع سقوطًا (يدوم عشرات الميلي ثانية) دون تأخر.

22. $\tau = 1.4/3.14 = 0.45\,\mathrm{s}$ : فبعد قفزة أرضية يستقر التسجيل في نصف ثانية دون رنين.

23. $Q$ الكبير كان سيجعل الآلة ترنّ عند $f_0$ بعد كل هزّة (فتسجّل نفسها بدل الأرض) وتبلغ ذروة قرب $f_0$ ؛ أما $Q \approx 0.7$ فمستوٍ وسريع.

24. $U = QX_g = 0.7X_g$ مقابل القيمة المثالية $X_g$ (أو $a_g/\omega_0^2 = X_g$ ): أي أدنى بنسبة $30\%$ .

25. قارن تواتر الإشارة بالتواتر $f_0$ : فوقه بكثير تكون الكتلة مرجعًا ثابتًا ويكون $u$ هو الانتقال؛ ودونه بكثير يكون $u$ هو التسارع مقسومًا على $\omega_0^2$ .

المصطلحات المعرَّفة في هذا الفصل

الهزّاز التوافقي

عرض كل المصطلحات (393) في المسرد