26الكهرباء الساكنة: المجال وقانون غاوس

حل التمرين 26.1.

$F_e = 8.99 \times 10^9 \times (1.6 \times 10^{-19})^2/(2 \times 10^{-15})^2 = 58\,\mathrm{N}$؛ و $F_g = 6.67 \times 10^{-11} \times (1.67 \times 10^{-27})^2/(4 \times 10^{-30}) = 4.6 \times 10^{-35}\,\mathrm{N}$؛ والنسبة $1.2 \times 10^{36}$. وتتماسك النوى لأن التآثر القوي، على مدى الفمتومتر، يغلب حتى هذا التنافر.

حل التمرين 26.2.

$E = 8.99 \times 10^9 \times 10^{-6}/1 = 9.0\,\mathrm{kV}/\mathrm{m}$. والمجال المتجه نحو الأسفل هو مجال شحنة سالبة: ومنه $Q = -4\pi\varepsilon_0R^2E = -1.11 \times 10^{-10} \times (6.37 \times 10^6)^2 \times 100 = -4.5 \times 10^{5}\,\mathrm{C}$.

حل التمرين 26.3.

على المحور، من أجل $|x| > a$: $E_x = \dfrac{q}{4\pi\varepsilon_0}\Bigl[\dfrac{1}{(x - a)^2} + \dfrac{1}{(x + a)^2}\Bigr]$، مبتعدًا. وعلى المحور $y$ تتلاشى المركّبات على $x$: فيكون $E_y = \dfrac{2qy}{4\pi\varepsilon_0(y^2 + a^2)^{3/2}}$؛ و $\dd E_y/\dd y \propto (y^2 + a^2) - 3y^2 = 0$ عند $y = a/\sqrt2$. وينعدم المجال عند المبدأ؛ والخطوط التي تغادر كل شحنة نحو الأخرى تنحرف مبتعدةً على امتداد $\pm y$ — وهي نقطة سرج.

حل التمرين 26.4.

بين الشحنتين يتجه المجالان كلاهما نحو $-q$: فلا انعدام. وعلى يسار $+2q$ يكون $2q/x^2 > q/(x + a)^2$ دائمًا. ووراء $-q$، على بعد $d$ منها: $2q/(a + d)^2 = q/d^2$، ومنه $a + d = \sqrt2\,d$ و $d = a/(\sqrt2 - 1) = 2.4a$. ويغادر خطان $+2q$ مقابل كل خط ينتهي على $-q$؛ ويذهب النصف الآخر إلى اللانهاية، حيث يبدو الزوج شحنةً $+q$.

حل التمرين 26.5.

حلقة نصف قطرها $a$ وعرضها $\dd a$: $\dd q = 2\pi\sigma a\,\dd a$ و $\dd E_z = \dfrac{\sigma z}{2\varepsilon_0}\dfrac{a\,\dd a}{(a^2 + z^2)^{3/2}}$؛ وبالمكاملة: $\dfrac{\sigma z}{2\varepsilon_0}\Bigl[-\dfrac{1}{\sqrt{a^2 + z^2}}\Bigr]_0^R = \dfrac{\sigma}{2\varepsilon_0} \Bigl(1 - \dfrac{z}{\sqrt{z^2 + R^2}}\Bigr)$. وعند $z \ll R$: $\sigma/2\varepsilon_0$، أي المستوي اللانهائي. وعند $z \gg R$: $z/\sqrt{z^2 + R^2} \approx 1 - R^2/2z^2$، ومنه $E_z \approx \sigma R^2/4\varepsilon_0z^2 = Q/4\pi\varepsilon_0z^2$، أي الشحنة النقطية.

حل التمرين 26.6.

$Q = 79e = 1.26 \times 10^{-17}\,\mathrm{C}$؛ و $E(R) = 8.99 \times 10^9 \times 1.26 \times 10^{-17}/ (7 \times 10^{-15})^2 = 2.3 \times 10^{21}\,\mathrm{V}/\mathrm{m}$؛ وعند $R/2$ النصف: $1.2 \times 10^{21}\,\mathrm{V}/\mathrm{m}$؛ وعند $1\,\mathrm{pm}$: $1.14 \times 10^{-7}/10^{-24} = 1.1 \times 10^{17}\,\mathrm{V}/\mathrm{m}$ — أي $10^{15}$ ضعف مجال انهيار الهواء، على مسافة تعيش عندها الإلكترونات.

حل التمرين 26.7.

أسطوانة نصف قطرها $r$ وطولها $h$: $2\pi rh\,E = \lambda h/\varepsilon_0$، ومنه $E = \lambda/2\pi\varepsilon_0r$. ويقع التفريغ الهالي حين $\lambda = 2\pi\varepsilon_0 rE = 2\pi \times 8.85 \times 10^{-12} \times 0.01 \times 3 \times 10^6 = 1.7\,\text{µ}\mathrm{C}/\mathrm{m}$؛ وعند $5\,\mathrm{m}$ يكون $E = 3 \times 10^6 \times 0.01/5 = 6\,\mathrm{kV}/\mathrm{m}$.

حل التمرين 26.8.

$E = \sigma/\varepsilon_0 = 10^{-6}/8.85 \times 10^{-12} = 1.1 \times 10^{5}\,\mathrm{V}/\mathrm{m}$. ولا تؤثر صفيحة بقوة صافية في نفسها (فإسهامات مجالها الخاص تتلاشى مثنى مثنى)؛ ومجال الصفيحة الأخرى عند موضعها هو $\sigma/2\varepsilon_0$، ومنه $F = Q\sigma/2\varepsilon_0 = 10^{-6} \times 10^{-6}/(2 \times 8.85 \times 10^{-12}) = 5.6 \times 10^{-2}\,\mathrm{N}$، وهي جاذبة؛ والضغط $\sigma^2/2\varepsilon_0 = 0.056\,\mathrm{Pa}$.

حل التمرين 26.9.

عند $r < a$: تستقر شحنة الناقل الداخلي على سطحه، فلا شحنة في الداخل ويكون $E = 0$. وعند $a < r < b$: $E = \lambda/2\pi\varepsilon_0r$. وعند $r > b$: الشحنة المحصورة $\lambda - \lambda = 0$، ومنه $E = 0$ — فالكبل لا يشعّ أيّ مجال ساكن. وعند $r = a$: $2 \times 8.99 \times 10^9 \times 10^{-8}/(5 \times 10^{-4}) = 3.6 \times 10^{5}\,\mathrm{V}/\mathrm{m}$.

حل التمرين 26.10.

$\rho = 3Q/4\pi(R_2^3 - R_1^3)$. وعند $r < R_1$: $E = 0$. وعند $R_1 < r < R_2$: $4\pi r^2E = \rho\,\tfrac43\pi(r^3 - R_1^3)/\varepsilon_0$، ومنه $E = \dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0r^2}\, \dfrac{r^3 - R_1^3}{R_2^3 - R_1^3}$. وعند $r > R_2$: $Q/4\pi\varepsilon_0r^2$. وعند $R_1$ يعطي الجانبان $0$؛ وعند $R_2$ يعطيان $Q/4\pi\varepsilon_0R_2^2$. وفي القشرة يتزايد $E \propto r - R_1^3/r^2$، فيكون الأعظمي عند $R_2$، ثم يتناقص بنسبة $1/r^2$. وفي التجويف المجال معدوم: فلا تحسّ شحنة هناك بأيّ قوة — أينما استقرت.

حل التمرين 26.11.

(أ) اللبّ $\tfrac43\pi(3.48 \times 10^6)^3 \times 11000 = 1.94 \times 10^{24}\,\mathrm{kg}$؛ والوشاح $\tfrac43\pi[(6.37 \times 10^6)^3 - (3.48 \times 10^6)^3] \times 4500 = 4.08 \times 10^{24}\,\mathrm{kg}$؛ والمجموع $6.0 \times 10^{24}\,\mathrm{kg}$، بفارق دون $1\%$. (ب) وعند السطح $GM/R^2 = 9.9\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$؛ وعند الحدّ $6.67 \times 10^{-11} \times 1.94 \times 10^{24}/(3.48 \times 10^6)^2 = 10.7\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$. (ج) ومع $g = GM(r)/r^2$ و $\dd M = 4\pi r^2\rho_m\,\dd r$: $\dd g/\dd r = 4\pi G\rho_m - 2GM(r)/r^3 = 4\pi G[\rho_m - \tfrac23\bar\rho(r)]$، حيث $\bar\rho(r) = M(r)/\tfrac43\pi r^3$ متوسط الكثافة تحت $r$. وتتزايد $g$ مع العمق (أي $\dd g/\dd r < 0$) إذا وفقط إذا كان $\rho_m < \tfrac23\bar\rho$. وتحت السطح مباشرةً يكون $\bar\rho = 5500$ و $\tfrac23\bar\rho = 3700 < 4500$: فتهبط $g$ هبوطًا طفيفًا أولًا؛ وعند حدّ اللبّ يكون $\bar\rho = 11000$ و $7300 > 4500$: فترتفع هناك إلى $10.7$.

حل التمرين 26.12.

(أ) في الداخل $E = er/4\pi\varepsilon_0R^3$ مبتعدًا؛ وعلى الإلكترون $\vect F = -\dfrac{e^2}{4\pi\varepsilon_0R^3}\,\vect r$: أي نابض. (ب) و $\omega = \sqrt{e^2/4\pi\varepsilon_0mR^3} = \sqrt{2.31 \times 10^{-28}/(9.11 \times 10^{-31} \times 10^{-30})} = 1.6 \times 10^{16}\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ و $f = 2.5 \times 10^{15}\,\mathrm{Hz}$ و $\lambda = c/f = 120\,\mathrm{nm}$. (ج) وهو قريب على نحو مدهش من الخط $122\,\mathrm{nm}$: فحجم الذرة وشدتها صحيحان. لكن النموذج يعطي تواترًا واحدًا لا سلسلة، والنواة ليست كرة قطرها $0.1\,\mathrm{nm}$ بل نقطة أبعادها $10^{-15}$ متر — وكان إلكترون كلاسيكي يدور ليشعّ طاقته كلها في نانوثوانٍ. والعلاج في الفصل 30.