29التحريض الكهرمغناطيسي وتطبيقاته

حل التمرين 29.1.

$\Phi = NBS\cos30^\circ = 100 \times 0.2 \times 10^{-3} \times 0.866 = 1.7 \times 10^{-2}\,\mathrm{Wb}$؛ و $\langle e\rangle = \Delta\Phi/\Delta t = 1.7\,\mathrm{V}$ في $10\,\mathrm{ms}$، و$17\,\mathrm{V}$ في $1\,\mathrm{ms}$. ويجري التيار بحيث يعيد إنشاء التدفق المتلاشي: فمجاله على امتداد $\vect B$ القديم.

حل التمرين 29.2.

$e = B\ell v = 0.5 \times 0.2 \times 2 = 0.20\,\mathrm{V}$؛ و $i = 2.0\,\mathrm{A}$؛ و $F = B\ell i = 0.20\,\mathrm{N}$ كابحة، فيطبّق الدافع $0.20\,\mathrm{N}$؛ و $Fv = 0.40\,\mathrm{W} = Ri^2$.

حل التمرين 29.3.

$L = \mu_0n^2S\ell = 4\pi \times 10^{-7} \times 10^6 \times 4 \times 10^{-4} \times 0.2 = 0.10\,\mathrm{mH}$؛ و $W = \tfrac12LI^2 = 1.3\,\mathrm{mJ}$؛ و $\tau = L/R = 0.1\,\mathrm{ms}$. و $B = \mu_0nI = 6.3\,\mathrm{mT}$ و $B^2/2\mu_0 = 15.7\,\mathrm{J}/\mathrm{m}^{3}$ على $S\ell = 8 \times 10^{-5}\,\mathrm{m}^{3}$: أي $1.3\,\mathrm{mJ}$.

حل التمرين 29.4.

$N_2/N_1 = 12/230 = 0.052$؛ و $N_1 = 50/0.052 = 960$ لفة؛ و $i_1 = 2 \times 0.052 = 0.10\,\mathrm{A}$. والتيار المستقر يعطي تدفقًا مستقرًّا: فلا $\dd\varphi/\dd t$، ولا توتر ثانوي — ويحترق الأولي، وهو دارة قصر.

حل التمرين 29.5.

(أ) يتزايد التدفق (على امتداد جهة الاقتراب): فيُحدث التيار مجالًا يعارضه — إذ يواجه قطبُه الشمالي القطبَ الشمالي للمغناطيس — و تُدفَع الحلقة بعيدًا. (ب) تيار يعارض مجالُه التزايدَ؛ و الحلقة، وهي ثنائي قطب معاكس للمتجهة $\vect B$، تُدفَع نحو المجال الأضعف. (ج) وفي أثناء سقوطها يتزايد التدفق: فالتيار نفسه كما في (أ)، وتُكبَح الحلقة. (د) وكل مقطع من الأنبوب أمام المغناطيس يرى تدفقًا متزايدًا، وخلفه متناقصًا؛ ويكبح التياران المحرَّضان المغناطيس؛ وعند السرعة التي توازن فيها قوة لابلاس الثقلَ يسقط المغناطيس بانتظام وتصير طاقة وضعه المفقودة حرارةَ جول في الأنبوب.

حل التمرين 29.6.

$E_{\max} = NBS\omega = 200 \times 2 \times 10^{-3} \times 0.1 \times 314 = 12.6\,\mathrm{V}$، والفعّالة $8.9\,\mathrm{V}$؛ و $I_{\max} = 1.26\,\mathrm{A}$ و $\Gamma_{\max} = NBSI_{\max} = 0.050\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}$ (حين $\sin\omega t = 1$)؛ و $\langle P\rangle = E_{\max}^2/2R = 7.9\,\mathrm{W}$ $= \langle\Gamma\omega\rangle = \tfrac12 \times 0.05 \times 314$؛ وحين $e = 0$ يكون التيار معدومًا وينعدم العزم — فالعزم ينبض عند $100\,\mathrm{Hz}$.

حل التمرين 29.7.

$e = Bav$ و $i = Bav/R$ و $F = B^2a^2v/R = 10\,v$ (بالنيوتن). ومنه $m\,\dd v/\dd t = -B^2a^2v/R$: $v = v_0\eu^{-t/\tau}$ و $\tau = mR/B^2a^2 = 0.10\,\mathrm{s}$؛ والمسافة $v_0\tau = 10\,\mathrm{cm}$ (إن كانت منطقة المجال طويلة كفايةً). والطاقة الحركية، $0.5\,\mathrm{J}$، تتبدد بالمقدار $Ri^2$ في الحلقة.

حل التمرين 29.8.

تدفق مجال الملف اللولبي $\mu_0n_1i_1$ عبر اللفات $N_2$: ومنه $M = \mu_0n_1N_2S_2 = 4\pi \times 10^{-7} \times 2000 \times 50 \times 2 \times 10^{-4} = 25\,\text{µ}\mathrm{H}$. وفي التزايد الخطي: $e = M\,\dd i_1/\dd t = 2.5\,\mathrm{mV}$؛ وعند $10\,\mathrm{kHz}$ و$1\,\mathrm{A}$: $e_{\max} = M\omega I = 25 \times 10^{-6} \times 6.3 \times 10^4 = 1.6\,\mathrm{V}$. و $M$ متناظر: فالعدد نفسه يعطي التدفق الذي ترسله الوشيعة الصغيرة عبر الملف اللولبي — وهو أصعب بكثير في الحساب المباشر.

حل التمرين 29.9.

$W = B^2V/2\mu_0 = 2.25/(2.51 \times 10^{-6}) = 0.90\,\mathrm{MJ}$؛ و $L = 2W/I^2 = 7.2\,\mathrm{H}$؛ و $h = W/mg = 92\,\mathrm{m}$؛ والهيليوم: $9 \times 10^5/2600 = 350\,\mathrm{L}$. وأما مجال الأرض: $(5 \times 10^{-5})^2/2\mu_0 = 1 \times 10^{-3}\,\mathrm{J}/\mathrm{m}^{3}$، أي $50\,\mathrm{mJ}$ في الغرفة.

حل التمرين 29.10.

(أ) $E - B\ell v = Ri$ (فالقوة المحركة المضادة تعارض المنبع)، و $m\,\dd v/\dd t = B\ell i$: ومنه $m\,\dd v/\dd t = B\ell(E - B\ell v)/R$. (ب) و $v_\infty = E/B\ell$ و $\tau = mR/B^2\ell^2$. (ج) واضرب المعادلة الكهربائية في $i$: $Ei = Ri^2 + B\ell vi$، ويكون $B\ell vi = Fv$ هو الاستطاعة الميكانيكية؛ والمردود $Fv/Ei = B\ell v/E = v/v_\infty$ — فيكون $100\%$ عند اللاحمل وحده، حيث لا يُقدَّم شيء. (د) و $v_\infty = 2/(0.5 \times 0.2) = 20\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ و $\tau = 0.05 \times 0.1/0.01 = 0.5\,\mathrm{s}$. (ه) و $F = B\ell I = 1 \times 0.1 \times 10^6 = 1 \times 10^{5}\,\mathrm{N}$ (بأخذ $\ell = 10\,\mathrm{cm}$)، و $a = 1 \times 10^{7}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$، و $v = \sqrt{2a \times 5} = 1 \times 10^{4}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ — أي عشرة كيلومترات في الثانية، وهو وعد المدافع الكهرمغناطيسية ومشكلتها (فالسكتان تتآكلان).

حل التمرين 29.11.

(أ) عند نصف القطر $r$ يتحرك المعدن بالسرعة $v = \omega r$؛ و $\vect v\wedge\vect B$ قطري طويلته $\omega rB$: ومنه $e = \int_0^R\omega Br\,\dd r = \tfrac12B\omega R^2$. (ب) و $\omega = 314$: $e = 0.5 \times 1 \times 314 \times 0.01 = 1.6\,\mathrm{V}$. (ج) و“لفة” واحدة لا غير، فبضعة فولطات على الأكثر؛ وفي $1\,\mathrm{m}\Omega$: $1.6\,\mathrm{kA}$، والعزم $= P/\omega = ei/\omega = 2500/314 = 8\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}$. (د) والدارة فرشاة-نصف قطر- حافة-فرشاة تكنس مساحة $\tfrac12R^2\omega\,\dd t$ في كل $\dd t$: ومنه $\dd\Phi/\dd t = \tfrac12BR^2\omega$ — أي التدفق عبر الدارة المتحركة المتشوّهة.

حل التمرين 29.12.

(أ) $e_2 = -M\,\dd i_1/\dd t$، وقيمته القمّية $M\omega I_1 = 10^{-6} \times 1.57 \times 10^5 \times 30 = 4.7\,\mathrm{V}$. (ب) و $I_2 = 4.7/0.01 = 470\,\mathrm{A}$ قمّيًّا؛ و $\langle P\rangle = R_pI_2^2/2 = 1.1\,\mathrm{kW}$. (ج) والقوة المحركة $\propto\omega$: فالتواتر المرتفع يعطي قوة محركة مفيدة بتحريض $M$ متواضع؛ والزجاج عازل فلا يجري فيه شيء — والحرارة تولد داخل المعدن. (د) ويُحدث تيار الإناء في الوشيعة $M\omega I_2 = 10^{-6} \times 1.57 \times 10^5 \times 470 = 74\,\mathrm{V}$ قمّيًّا، على الطور مع $i_1$ (فتيار الإناء لا يتأخر عن $e_2$ بشيء، إذ هو مقاوم، و $e_2$ يتأخر عن $i_1$ بزاوية $90{}^{\circ}$… ومن ثمّ تكون القوة المحركة المرتدّة $-M\,\dd i_2/\dd t$، في تعاكس طوري مع التوتر المحرّك للتيار $i_1$): فيقدّم المولّد $\tfrac12 \times 74 \times 30 = 1.1\,\mathrm{kW}$ زيادةً — أي بالضبط ما يبدّده الإناء.