الفيزياء الجامعية — السنة الأولى · Bachelor Year 1

16القوى المركزية: الكواكب والأقمار الصناعية

يدور واحد وثلاثون قمرًا صناعيًّا حول الأرض مرتين في اليوم، كلٌّ منها ساعة ومذياع، وهاتف يسمع أربعة منها يعرف أين هو بدقة بضعة أمتار. ويسقط مذنّب هالي نحو الشمس ثمانيًا وثلاثين سنة، فيدور حولها في بضعة أسابيع، ثم يصعد مبتعدًا ثمانيًا وثلاثين سنة أخرى. ويغادر مسبار متجه إلى المريخ الأرضَ بالسرعة التي تجعل مساره يلامس مدار المريخ ملامسةً بالكاد. وكل هذا حركة جسم يُجذب نحو نقطة ثابتة بقوة تتناقص كمقلوب مربع البعد، وكله ينتج من مقدارين منحفظين — الطاقة والعزم الحركي — مضافًا إليهما فكرة جديدة واحدة هي الطاقة الكامنة الفعّالة. ويشتقّ هذا الفصل أشكال المدارات وسرعاتها، وقوانين كبلر الثلاثة، وحساب وضع قمر صناعي حيث يُراد.

16.1 القوى المركزية المحافظة

تعريف 16.1 (قوة مركزية؛ قوة مركزية محافظة)

تكون قوة مركزية مركزها $O$ إذا كانت موجَّهة دائمًا على امتداد $\vect{OM}$ : $\vect F = F(M)\,\vect e_r$ . وتكون مركزية محافظة إذا لم يتوقف مقدارها إلا على $r = OM$ : $\vect F = F(r)\,\vect e_r$ ، وهي تشتقّ عندئذ من طاقة كامنة $E_p(r)$ حيث $F(r) = -\dd E_p/\dd r$ .

مبرهنة 16.2 (الحركة تحت قوة مركزية محافظة)

جسيم كتلته $m$ لا يخضع إلا إلى قوة مركزية محافظة:

يحفظ عزمه الحركي $\vect L_O$ ؛ فحركته مستوية، وبالإحداثيات القطبية في ذلك المستوي يكون $r^2\dot\theta = C$ ثابتًا (وهو قانون المساحات، النتيجة 15.5)؛
ويحفظ طاقته الميكانيكية $E_m = \tfrac12 m(\dot r^2 + r^2\dot\theta^2) + E_p(r)$ ، التي يمكن كتابتها

$E_m = \tfrac12 m\dot r^2 + E_{p,\mathrm{eff}}(r), \qquad E_{p,\mathrm{eff}}(r) = E_p(r) + \frac{mC^2}{2r^2} = E_p(r) + \frac{L^2}{2mr^2} .$

فالحركة القطرية إذن حركة جسيم في بُعد واحد في الطاقة الكامنة الفعّالة $E_{p,\mathrm{eff}}$ : فنقاط الرجوع القطرية هي جذور $E_{p,\mathrm{eff}}(r) = E_m$ ، وتكون الحركة مرتبطة إذا حُبست بين نقطتين منها، ودائرية إذا استقر $r$ عند نهاية صغرى للمقدار $E_{p,\mathrm{eff}}$ .

برهان. الجزء الأول هو النتيجة 15.5. والقوة محافظة ولا تؤثر قوة أخرى، فتنحفظ $E_m$ ؛ وفي المستوي، $v^2 = \dot r^2 + r^2\dot\theta^2$ و $r^2\dot\theta^2 = C^2/r^2$ . أما الحدّ $mC^2/2r^2$ ، وهو الطاقة الحركية للحركة الزاوية، فيعمل عمل حاجز طارد مركزي في المسألة القطرية، وينطبق عليه تحليل البُعد الواحد في الفصل 13. ∎

16.2 جاذبية نيوتن

تعريف 16.3 (الجاذبية الكونية)

كتلة نقطية $M$ في $O$ تجذب كتلة نقطية $m$ في $M$ بالقوة

\vect F = -\frac{GMm}{r^2}\,\vect e_r, \qquad E_p = -\frac{GMm}{r} \quad (E_p \to 0 \text{ عند اللانهاية}),

حيث $G = 6.67 \times 10^{-11}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{kg}^{2}$ . وجسم متناظر كرويًّا يجذب خارج نفسه كأنّ كتلته كلها في مركزه (وهذا مقبول؛ وهو نتيجة لمبرهنة غاوس، الفصل 26).

قضية 16.4 (الطاقة الكامنة الفعّالة للجاذبية)

من أجل $E_p = -GMm/r$ ،

E_{p,\mathrm{eff}}(r) = -\frac{GMm}{r} + \frac{L^2}{2mr^2}

تؤول إلى $+\infty$ عند $r \to 0$ (من أجل $L \neq 0$ )، وإلى $0^-$ عند اللانهاية، ولها نهاية صغرى وحيدة عند $r_c = L^2/GMm^2$ قيمتها $-G^2M^2m^3/2L^2$ . ومن هنا: $E_m < 0$ — حركة مرتبطة بين نصف قطر أصغري وآخر أعظمي (الحضيض والأوج)؛ و $E_m \geq 0$ — حركة غير مرتبطة، فيأتي الجسم من اللانهاية ويعود إليها؛ و $E_m$ مساوية للنهاية الصغرى — مدار دائري نصف قطره $r_c$ .

برهان. النهايات بالمعاينة؛ و $E_{p,\mathrm{eff}}' = GMm/r^2 - L^2/mr^3 = 0$ عند $r_c$ ؛ ثم عوّض. والحالة الدائرية هي $\dot r = 0$ دائمًا، وهي ممكنة عند النهاية الصغرى فقط. ∎

الطاقة الكامنة الفعّالة لجاذبية نيوتن: أي الجذب -GMm/r مضافًا إليه الحاجز الطارد المركزي L2/2mr2. فدون الطاقة الصفرية تُحبس الحركة القطرية بين نقطتَي رجوع (الحضيض والأوج)؛ وعند النهاية الصغرى يكون المدار دائريًّا؛ وعند الصفر أو فوقه يفلت الجسم. — الطاقة الكامنة الفعّالة لجاذبية نيوتن: أي الجذب $-GMm/r$ مضافًا إليه الحاجز الطارد المركزي $L^2/2mr^2$ . فدون الطاقة الصفرية تُحبس الحركة القطرية بين نقطتَي رجوع (الحضيض والأوج)؛ وعند النهاية الصغرى يكون المدار دائريًّا؛ وعند الصفر أو فوقه يفلت الجسم.

مبرهنة 16.5 (المدارات الدائرية)

على مدار دائري نصف قطره $r$ حول كتلة $M$ :

v = \sqrt{\frac{GM}{r}}, \qquad T = 2\pi\sqrt{\frac{r^3}{GM}}, \qquad E_m = -\frac{GMm}{2r} = -E_k = \tfrac12 E_p .

وبخاصة $T^2/r^3 = 4\pi^2/GM$ هو نفسه من أجل كل المدارات الدائرية حول المركز نفسه (وهو قانون كبلر الثالث).

برهان. تحتاج الحركة الدائرية المنتظمة إلى قوة جاذبة مركزية $mv^2/r = GMm/r^2$ ؛ و $T = 2\pi r/v$ ؛ و $E_k = \tfrac12 mv^2 = GMm/2r$ و $E_p = -GMm/r$ . ∎

مثال 16.6 (ثلاثة مدارات)

$GM_\oplus = 3.99 \times 10^{14}\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}^{2}$ . المدار المنخفض ( $r = 6770\,\mathrm{km}$ ، أي على ارتفاع $400\,\mathrm{km}$ ): $v = 7.7\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ و $T = 92\,\mathrm{min}$ . والمدار الثابت بالنسبة إلى الأرض ( $T = 86\,164\,\mathrm{s}$ ، أي يوم نجمي واحد): $r = (GMT^2/4\pi^2)^{1/3} = 42\,200\,\mathrm{km}$ و $v = 3.1\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ . والقمر ( $r = 384\,000\,\mathrm{km}$ ): $T = 27.4\,\mathrm{d}$ — وتسارعه الجاذب المركزي $v^2/r = 2.7 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ هو $g/3600$ عند ستين نصف قطر أرضي: أي التربيع العكسي، وقد تحقق منه نيوتن نفسه.

16.3 قوانين كبلر وشكل المدارات

مبرهنة 16.7 (المسارات في مجال نيوتني)

مسار جسم في مجال كتلة ثابتة $M$ هو مقطع مخروطي له $O$ في إحدى بؤرتيه: فهو إهليلج إذا كان $E_m < 0$ ، وقطع مكافئ إذا كان $E_m = 0$ ، وقطع زائد إذا كان $E_m > 0$ . ومن أجل إهليلج نصف محوره الكبير $a$ واختلافه المركزي $e$ :

(كبلر الأول) يقع مركز القوة في بؤرة؛ ويقع الحضيض والأوج عند $r_p = a(1 - e)$ و $r_a = a(1 + e)$ ؛
(كبلر الثاني) السرعة المساحية ثابتة (وهو قانون المساحات)؛
(كبلر الثالث) يحقق الدور $T^2 = 4\pi^2a^3/GM$ ؛
وتتوقف الطاقة على $a$ وحده، $E_m = -GMm/2a$ ، بحيث تُعطى السرعة على البعد $r$ بالعلاقة

$v^2 = GM\left(\frac{2}{r} - \frac{1}{a}\right) .$

برهان. نقبله في هذا المستوى. ∎

ملاحظة 16.8 (ما هو مبرهَن وما هو مقبول)

بُرهن أعلاه على كبلر الثاني وعلى التصنيف الطاقي. أما أن المدارات المرتبطة إهليلجات بالضبط لها $O$ في بؤرة، مع كبلر الثالث و $E_m = -GMm/2a$ في الحالة العامة، فيحتاج إلى مكاملة المعادلة القطرية (ويفعل ذلك مجلد السنة الثانية)؛ ومن أجل المدارات الدائرية ( $a = r$ و $e = 0$ ) تؤول كل عبارة إلى المبرهنة 16.5، وهو التحقق الممكن هنا. أما العلاقة $v^2 = GM(2/r - 1/a)$ فتنتج من $E_m = \tfrac12 mv^2 - GMm/r = -GMm/2a$ متى سُلّم بصيغة الطاقة تلك.

يسارًا: مدار إهليلجي حول البؤرة O — نصف محوره الكبير a، ونصفه الصغير b، وبعده البؤري c = ea؛ ويكون الجسم أسرع ما يكون عند الحضيض P وأبطأ ما يكون عند الأوج A. ويمينًا: قطع زائد (بطاقة موجبة) وقطع مكافئ (بطاقة معدومة) حول البؤرة نفسها — أي المسارات غير المرتبطة للمذنبات والمسبارات. — يسارًا: مدار إهليلجي حول البؤرة $O$ — نصف محوره الكبير $a$ ، ونصفه الصغير $b$ ، وبعده البؤري $c = ea$ ؛ ويكون الجسم أسرع ما يكون عند الحضيض $P$ وأبطأ ما يكون عند الأوج $A$ . ويمينًا: قطع زائد (بطاقة موجبة) وقطع مكافئ (بطاقة معدومة) حول البؤرة نفسها — أي المسارات غير المرتبطة للمذنبات والمسبارات.

مثال 16.9 (مذنّب هالي)

الحضيض $0.586\,\mathrm{AU}$ والأوج $35.1\,\mathrm{AU}$ : ومنه $a = 17.8\,\mathrm{AU}$ و $e = 0.967$ و $T = \sqrt{17.8^3} = 75\,\mathrm{yr}$ (بكبلر الثالث بالوحدات الفلكية والسنوات، حيث $T^2 = a^3$ للشمس). ومع $GM_\odot = 1.33 \times 10^{20}\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}^{2}$ تكون السرعة عند الحضيض $\sqrt{GM(2/r_p - 1/a)} = 54\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ وعند الأوج $0.9\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ — أي أبطأ ستين مرة، كما يقتضي قانون المساحات ( $r_pv_p = r_av_a$ ).

16.4 الأقمار الصناعية

قضية 16.10 (سرعة الإفلات؛ المدار الثابت بالنسبة إلى الأرض)

انطلاقًا من سطح جسم كتلته $M$ ونصف قطره $R$ ، تكون سرعة الإطلاق الدنيا لبلوغ اللانهاية $v_e = \sqrt{2GM/R} = \sqrt2\,v_c$ ، حيث $v_c = \sqrt{GM/R}$ هي السرعة الدائرية عند مستوى الأرض: أي $11.2\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ من أجل الأرض. أما القمر الصناعي الثابت بالنسبة إلى الأرض فيدور في المستوي الاستوائي بالدور النجمي للأرض، عند $r = 42\,200\,\mathrm{km}$ (أي $35\,800\,\mathrm{km}$ فوق سطح الأرض).

برهان. $E_m \geq 0$ : أي $\tfrac12 mv_e^2 - GMm/R = 0$ . وكبلر الثالث مع $T = 86\,164\,\mathrm{s}$ . ∎

قضية 16.11 (انتقال هومان)

لنقل قمر صناعي من مدار دائري نصف قطره $r_1$ إلى مدار دائري في المستوي نفسه نصف قطره $r_2 > r_1$ بحرقين قصيرين، أشعِل عند $r_1$ لدخول إهليلج الانتقال الذي حضيضه $r_1$ وأوجه $r_2$ (مع $a = (r_1 + r_2)/2$ )، ثم انسَبْ نصف دور، ثم أشعِل ثانيةً عند $r_2$ لجعل المدار دائريًّا:

\Delta v_1 = \sqrt{\frac{GM}{r_1}}\left(\sqrt{\frac{2r_2}{r_1 + r_2}} - 1\right), \qquad \Delta v_2 = \sqrt{\frac{GM}{r_2}}\left(1 - \sqrt{\frac{2r_1}{r_1 + r_2}}\right), \qquad t = \pi\sqrt{\frac{(r_1 + r_2)^3}{8GM}} .

برهان. السرعتان على إهليلج الانتقال من $v^2 = GM(2/r - 1/a)$ عند $r_1$ و $r_2$ ؛ ثم اطرح السرعتين الدائريتين؛ ونصف الدور من المبرهنة 16.7. ∎

انتقال هومان بين مدارين دائريين: يرفع الحرق الأول عند المدار الداخلي الأوجَ إلى r_2؛ وبعد نصف إهليلج يرفع حرق ثانٍ الحضيضَ — وهو طريق الحرقين الأقلّ وقودًا، وهو الطريق الذي يأخذ مسبارًا إلى المريخ. — انتقال هومان بين مدارين دائريين: يرفع الحرق الأول عند المدار الداخلي الأوجَ إلى $r_2$ ؛ وبعد نصف إهليلج يرفع حرق ثانٍ الحضيضَ — وهو طريق الحرقين الأقلّ وقودًا، وهو الطريق الذي يأخذ مسبارًا إلى المريخ.

مثال 16.12 (من المدار المنخفض إلى المدار الثابت)

$r_1 = 6770\,\mathrm{km}$ و $r_2 = 42\,200\,\mathrm{km}$ : ومنه $\Delta v_1 = 2.4\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ و $\Delta v_2 = 1.5\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ ، وانسياب $5.3\,\mathrm{h}$ . والمجموع، $3.9\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ ، هو نصف ما كلّفه الإطلاق إلى المدار المنخفض أصلًا: و“الميل الأخير” إلى مدار عالٍ مكلف، ولذلك تحمل الأقمار الصناعية محركها الخاص من أجله.

ملاحظة 16.13 (المراكز الدافعة)

من أجل قوة دافعة تتناسب عكسًا مع مربع البعد (كشحنتين متماثلتين، الفصل 26) لا يكون للطاقة الكامنة الفعّالة بئر: فكل مسار قطع زائد، إذ يقترب الجسيم فينحرف ثم يبتعد. وإذا صُوّب جسيم $\alpha$ مباشرةً نحو نواة ذهب، نتج بعد أقرب اقتراب من الطاقة وحدها، $E_k = 2Ze^2/4\pi\varepsilon_0 r_{\min}$ — وهي طريقة رذرفورد في حصر حجم النواة (التمرين 16.11).

16.5 تمارين

تمرين 16.1 ★

تدور محطة الفضاء الدولية على ارتفاع $400\,\mathrm{km}$ ( $R_\oplus = 6370\,\mathrm{km}$ و $GM_\oplus = 3.99 \times 10^{14}\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}^{2}$ ). احسب السرعة والدور وعدد مرات الشروق التي يراها طاقمها في اليوم.

حل

حل التمرين 16.1.

$r = 6770\,\mathrm{km}$ : ومنه $v = \sqrt{GM/r} = 7.7\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ ؛ و $T = 2\pi r/v = 5.5 \times 10^{3}\,\mathrm{s} = 92\,\mathrm{min}$ ؛ و $1440/92 \approx 16$ شروقًا في اليوم.

تمرين 16.2 ★

أوجد نصف قطر المدار الثابت بالنسبة إلى الأرض وارتفاعه انطلاقًا من اليوم النجمي $86\,164\,\mathrm{s}$ ، ثم أوجد السرعة المدارية.

حل

حل التمرين 16.2.

$r = (GMT^2/4\pi^2)^{1/3} = (3.99\times10^{14} \times 7.42\times10^9/39.5)^{1/3} = 4.22 \times 10^{7}\,\mathrm{m}$ : أي ارتفاع $35\,800\,\mathrm{km}$ ؛ و $v = 2\pi r/T = 3.1\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ .

تمرين 16.3 ★

احسب سرعة الإفلات من الأرض ومن القمر ( $GM = 4.90 \times 10^{12}\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}^{2}$ و $R = 1740\,\mathrm{km}$ ). ولماذا لا يحتفظ القمر بغلاف جوي؟

حل

حل التمرين 16.3.

$v_e = \sqrt{2GM/R}$ : فللأرض $11.2\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ ؛ وللقمر $\sqrt{2 \times 4.90\times 10^{12}/1.74\times10^6} = 2.4\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ . ولجزيئات الغاز عند بضع مئات الأمتار في الثانية ذيل في توزيع سرعاتها فوق $2.4\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ ؛ فعلى مدى الأزمنة الجيولوجية تسرّب غاز القمر.

تمرين 16.4 ★

للمريخ $a = 1.524\,\mathrm{AU}$ ، وللمشتري $5.20\,\mathrm{AU}$ : احسب سنتيهما بقانون كبلر الثالث. وماذا عن جسم على $30\,\mathrm{AU}$ (نبتون)؟

حل

حل التمرين 16.4.

$T = a^{3/2}$ (بالسنوات والوحدات الفلكية): فللمريخ $1.88\,\mathrm{yr}$ ؛ وللمشتري $11.9\,\mathrm{yr}$ ؛ وعند $30\,\mathrm{AU}$ : $164\,\mathrm{yr}$ .

تمرين 16.5 ★★

احسب الطاقة اللازمة لوضع $1000\,\mathrm{kg}$ على مدار المحطة الدولية انطلاقًا من السكون عند السطح (بإهمال دوران الأرض والهواء). وقارنها بالطاقة الكيميائية للبنزين ( $46\,\mathrm{MJ}/\mathrm{kg}$ ).

حل

حل التمرين 16.5.

$\Delta E = \tfrac12 mv^2 + GMm(1/R - 1/r) = 2.94\times10^{10} + 3.99\times 10^{17} \times (1.570 - 1.477)\times10^{-7} = 2.94\times10^{10} + 0.37\times 10^{10} = 3.3 \times 10^{10}\,\mathrm{J}$ — أي $33\,\mathrm{MJ}/\mathrm{kg}$ ، وهي طاقة $0.7\,\mathrm{kg}$ من البنزين لكل كيلوغرام يوضع في المدار (وتحتاج الصواريخ إلى أكثر من ذلك بكثير، لأن عليها رفع وقودها).

تمرين 16.6 ★★

مذنّب هالي: الحضيض $0.586\,\mathrm{AU}$ والأوج $35.1\,\mathrm{AU}$ . احسب $a$ و $e$ والدور والسرعتين عند الحضيض والأوج ( $GM_\odot = 1.33 \times 10^{20}\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}^{2}$ و $1\,\mathrm{AU} = 1.496 \times 10^{11}\,\mathrm{m}$ ).

حل

حل التمرين 16.6.

$a = (0.586 + 35.1)/2 = 17.8\,\mathrm{AU}$ ؛ و $e = (35.1 - 0.586)/35.7 = 0.967$ ؛ و $T = 17.8^{3/2} = 75\,\mathrm{yr}$ . و $v_p^2 = GM(2/r_p - 1/a)$ مع $r_p = 8.77\times10^{10}$ م و $a = 2.67\times10^{12}$ م: ومنه $v_p = 54\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ ؛ و $v_a = v_pr_p/r_a = 0.91\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ .

تمرين 16.7 ★★

انتقال هومان من مدار المحطة الدولية ( $6770\,\mathrm{km}$ ) إلى المدار الثابت بالنسبة إلى الأرض ( $42\,200\,\mathrm{km}$ ): احسب الحرقين ومجموعهما والمدة.

حل

حل التمرين 16.7.

$a = 24\,490\,\mathrm{km}$ . و $v_1 = 7.67\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ ؛ وعلى الإهليلج عند $r_1$ : $\sqrt{GM(2/r_1 - 1/a)} = 10.07\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ : ومنه $\Delta v_1 = 2.4\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ . وعند $r_2$ : $\sqrt{GM(2/r_2 - 1/a)} = 1.62\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ ، والسرعة الدائرية $3.07\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ : ومنه $\Delta v_2 = 1.45\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ . والمجموع $3.85\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ ؛ والمدة $\pi\sqrt{a^3/GM} = 1.9 \times 10^{4}\,\mathrm{s} = 5.3\,\mathrm{h}$ .

تمرين 16.8 ★★

بيّن أن النهاية الصغرى للمقدار $E_{p,\mathrm{eff}}$ تقع عند $r_c = L^2/GMm^2$ ، وأن الاهتزازات القطرية الصغيرة حولها لها التواتر الزاوي $\sqrt{GM/r_c^3}$ — أي التواتر المداري نفسه. فماذا يقول هذا عن مدار دائري اضطرب قليلًا؟

حل

حل التمرين 16.8.

$E_{p,\mathrm{eff}}' = GMm/r^2 - L^2/mr^3 = 0$ عند $r_c = L^2/GMm^2$ . و $E_{p,\mathrm{eff}}'' = -2GMm/r^3 + 3L^2/mr^4$ ؛ وعند $r_c$ تعطي $L^2 = GMm^2r_c$ القيمةَ $E'' = GMm/r_c^3$ ، ومنه $\omega_r^2 = E''/m = GM/r_c^3 = \omega_{\text{مداري}}^2$ . فيهتزّ اضطراب قطري صغير مرة واحدة بالضبط في كل دورة: أي إن المدار ينغلق على نفسه — فهو إهليلج قليل الاختلاف المركزي، لا وردة.

تمرين 16.9 ★★

يطفو روّاد الفضاء على متن المحطة الدولية. فسّر ذلك بالقوى؛ وما قيمة $g$ على ارتفاعهم، ولماذا لا يناقض ذلك الطفو؟

حل

حل التمرين 16.9.

لا تؤثر إلا الثقالة في المحطة والطاقم معًا؛ وكلاهما يسقط على المدار نفسه، فلا حاجة إلى قوة تماسّ بينهما — فلا أرضية تدفع، ومن هنا “انعدام الوزن”. و $g = GM/r^2 = 3.99\times10^{14}/(6.77\times10^6)^2 = 8.7\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ : فالثقالة بكامل قوتها تقريبًا؛ والوزن ليس غائبًا، بل هو منفَق كله في ثني المسار.

تمرين 16.10 ★★★

“اختبار القمر” عند نيوتن: احسب تسارع القمر الجاذب المركزي انطلاقًا من $r = 3.84 \times 10^{8}\,\mathrm{m}$ و $T = 27.3\,\mathrm{d}$ ، وقارنه بالمقدار $g(R/r)^2$ . ثم استنتج.

حل

حل التمرين 16.10.

$a = 4\pi^2r/T^2 = 39.5 \times 3.84\times10^8/(2.36\times10^6)^2 = 2.7 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ ؛ و $g(R/r)^2 = 9.81/60.3^2 = 2.7 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ : أي إن قانون القوة نفسه الذي يُسقط تفاحة يمسك القمر، مخفَّفًا بالمقدار $1/r^2$ .

تمرين 16.11 ★★★

جسيم $\alpha$ ( $q = 2e$ و $E_k = 5.0\,\mathrm{MeV}$ ) يُطلق مباشرةً نحو نواة ذهب ( $Z = 79$ ) تُعتبر ثابتة. باستعمال انحفاظ الطاقة مع $E_p = 2Ze^2/4\pi\varepsilon_0r$ (ومع $1/4\pi\varepsilon_0 = 8.99 \times 10^{9}\,\mathrm{SI}$ )، أوجد بعد أقرب اقتراب؛ وقارنه بنصف القطر النووي، ونحوه $7\,\mathrm{fm}$ . وما الطاقة اللازمة لملامسة النواة؟

حل

حل التمرين 16.11.

$E_k = 2Ze^2/4\pi\varepsilon_0r_{\min}$ : ومنه $r_{\min} = 8.99\times10^9 \times 2 \times 79 \times (1.60\times10^{-19})^2/8.0\times10^{-13} = 4.5 \times 10^{-14}\,\mathrm{m} = 45\,\mathrm{fm}$ ، أي ستة أضعاف نصف القطر النووي: فيرتدّ الجسيم $\alpha$ قبل الملامسة. ولبلوغ $7\,\mathrm{fm}$ : $E_k \approx 32\,\mathrm{MeV}$ .

تمرين 16.12 ★★★

يبطّئ الغلاف الجوي المتبقي قمرًا صناعيًّا في مدار منخفض، فتتناقص طاقته الميكانيكية. بيّن بالعلاقتين $E_m = -GMm/2r$ و $v = \sqrt{GM/r}$ أنه يتحرك عندئذ أسرع. وإلى أين تذهب الطاقة، وأيّ جزء من الطاقة الكامنة الضائعة يصير حرارة؟

حل

حل التمرين 16.12.

$E_m = -GMm/2r$ يتناقص $\Rightarrow$ يتناقص $r$ $\Rightarrow$ فتكبر $v = \sqrt{GM/r}$ . فترتفع الطاقة الحركية $GMm/2r$ بالمقدار $\abs{\Delta E}$ بينما تهبط الطاقة الكامنة $-GMm/r$ بالمقدار $2\abs{\Delta E}$ : أي إن نصف الطاقة الكامنة المحرَّرة يصير حركية، والنصف الآخر يتبدد حرارةً بفعل السحب.

قمر صناعي للتحديد العالمي للمواقع (تصور فني لوكالة الفضاء الأمريكية): أحد الثلاثين ونيّف في كوكبة 20\,200\, km في مسألة نهاية الأسبوع، وكلٌّ منها ساعة في مدار كبلري. — قمر صناعي للتحديد العالمي للمواقع (تصور فني لوكالة الفضاء الأمريكية): أحد الثلاثين ونيّف في كوكبة $20\,200\,\mathrm{km}$ في مسألة نهاية الأسبوع، وكلٌّ منها ساعة في مدار كبلري.

16.6 مسألة: الأقمار التي تخبرك أين أنت

مسألة 16.1

مسألة نهاية الأسبوع — كوكبة ملاحية على ارتفاع عشرين ألف كيلومتر: مدارها، والوقود اللازم لبلوغها، وكم قمرًا يرى الهاتف، ولماذا يجب أن تُضبط ساعاتها لتسير متأخرة

المعطيات: $GM_\oplus = 3.986 \times 10^{14}\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}^{2}$ و $R_\oplus = 6371\,\mathrm{km}$ ، واليوم النجمي $86\,164\,\mathrm{s}$ ، و $c = 2.998 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . وتدور الأقمار حول الأرض في نصف يوم نجمي بالضبط على مدارات دائرية.

الجزء I — المدار.

احسب نصف قطر المدار والارتفاع.
احسب السرعة المدارية.
احسب تسارع القمر الصناعي وقارنه بالمقدار $g$ عند السطح.
احسب الطاقة الميكانيكية لكل كيلوغرام، وجزأيها الحركي والكامن.
لماذا يُختار نصف يوم نجمي بدل نصف يوم شمسي؟ وما الذي يراه مراقب أرضي يتكرر؟
بأيّ زاوية يُرى قرص الأرض من قمر صناعي؟
قارن نصف قطر هذا المدار بنصف قطر المدار الثابت بالنسبة إلى الأرض: فأيّهما أعلى، وبأيّ عامل؟

الجزء II — الوصول إلى هناك.

احسب الطاقة لكل كيلوغرام للانتقال من السكون عند السطح إلى المدار النهائي (بإهمال الهواء ودوران الأرض).
يبلغ الصاروخ أولًا مدارًا دائريًّا منخفضًا على $400\,\mathrm{km}$ . فما السرعة هناك؟
انتقال هومان من ذلك المدار إلى المدار النهائي: احسب الحرقين ومجموعهما.
احسب مدة الانتقال.
قارن مجموع الحرقين بسرعة الإفلات من المدار المنخفض: فكم تبعد هذه المهمة عن “مغادرة الأرض”؟
كتلة المرحلة العليا مع القمر الصناعي $2000\,\mathrm{kg}$ قبل الانتقال؛ وسرعة عادم المحرك $3.0\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ ، ومعادلة الصاروخ تعطي $\Delta v = u\ln(m_0/m_1)$ . فما الوقود الدافع اللازم للحرقين؟

الجزء III — التغطية والتوقيت.

يُرى قمر صناعي من كل نقطة من الأرض تقع داخل المخروط الذي نصف زاويته $\theta$ حيث $\cos\theta = R/r$ حول مستقيم الأرض–القمر. احسب $\theta$ و النسبة $(1 - \cos\theta)/2$ من سطح الأرض التي يغطيها.
مع $24$ قمرًا موزَّعة بانتظام، كم قمرًا يُرى في المتوسط من نقطة واحدة؟ وهل الحدّ الأدنى $4$ اللازم للتحديد معقول؟
احسب زمن انتقال الضوء من قمر في السمت؛ ثم من قمر عند الأفق.
لتحديد المستقبِل بدقة $3\,\mathrm{m}$ ، بأيّ دقة يجب توقيت الإشارات؟
ساعة المستقبِل نفسه ساعة كوارتز رخيصة، تخطئ بميلي ثوانٍ: فلماذا تلزم أربعة أقمار بدل ثلاثة؟
ساعات الأقمار ذرية. أعطِ الاستقرار النسبي اللازم من أجل خطأ $3\,\mathrm{m}$ بعد يوم واحد.

الجزء IV — لمحة عن النسبية. يزيح أثران ساعات الأقمار بالنسبة إلى الساعات الأرضية (والصيغتان مقبولتان، من مجلد السنة الثالثة): فالحركة تبطّئ الساعة بالنسبة $v^2/2c^2$ ؛ والارتفاع يسرّعها بالمقدار $GM(1/R - 1/r)/c^2$ .

احسب التباطؤ الناجم عن السرعة، بالميكرو ثانية في اليوم.
احسب التسارع الناجم عن الارتفاع، بالميكرو ثانية في اليوم.
احسب الأثر المحصّل، وخطأ الموضع الذي كان سيسببه في اليوم لو لم يُصحَّح.
تُضبط ساعات الأقمار قبل الإطلاق على $10.229\,999\,995\,43\,\mathrm{MHz}$ بدل $10.23\,\mathrm{MHz}$ . تحقق من أن هذا يعوّض الأثر المحصّل.
ليست المدارات كبلرية بالضبط: سمِّ ثلاثة اضطرابات وقل كيف تتعامل المنظومة معها.
لخّص السلسلة: قانونا انحفاظ، ومدار واحد، وكوكبة واحدة، والتصحيح الوحيد الذي ما كان أحد ليتوقعه.

حل

حل المسألة 16.1.

1. $T = 43\,082\,\mathrm{s}$ : ومنه $r = (GMT^2/4\pi^2)^{1/3} = (3.986\times10^{14} \times 1.856\times10^9/39.48)^{1/3} = 2.656 \times 10^{7}\,\mathrm{m}$ ؛ والارتفاع $20\,190\,\mathrm{km}$ .

2. $v = \sqrt{GM/r} = 3.87\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ .

3. $a = v^2/r = GM/r^2 = 0.565\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2} = g(R/r)^2$ ، أي أضعف سبع عشرة مرة مما هو عند السطح — لكنه ليس معدومًا: فالقمر الصناعي يسقط باستمرار حول الأرض.

4. $E_m/m = -GM/2r = -7.5\,\mathrm{MJ}/\mathrm{kg}$ ؛ و $E_k/m = +7.5\,\mathrm{MJ}/\mathrm{kg}$ و $E_p/m = -15.0\,\mathrm{MJ}/\mathrm{kg}$ .

5. تدور الأرض دورة واحدة في كل يوم نجمي بالنسبة إلى النجوم (وهي مرجع المدار)؛ وبعد دورتين يعود القمر الصناعي فوق النقطة الأرضية نفسها: فتتكرر المسارات الأرضية كل يوم نجمي.

6. $\sin\beta = R/r = 0.240$ : ومنه $\beta = 13.9^\circ$ ، أي قرص عرضه $28^\circ$ .

7. المدار الثابت بالنسبة إلى الأرض $42\,200\,\mathrm{km}$ : أي أعلى بالعامل $1.59$ ؛ فمدار الملاحة دونه.

8. $GM(1/R - 1/2r) = 3.986\times10^{14}(1.570\times10^{-7} - 1.88\times 10^{-8}) = 5.5 \times 10^{7}\,\mathrm{J}/\mathrm{kg} = 55\,\mathrm{MJ}/\mathrm{kg}$ .

9. $r_1 = 6771\,\mathrm{km}$ : $v = 7.67\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ .

10. $a = 16\,665\,\mathrm{km}$ ؛ وعند $r_1$ : $\sqrt{GM(2/r_1 - 1/a)} = 9.69\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ ، ومنه $\Delta v_1 = 2.0\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ ؛ وعند $r_2$ : $2.47\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ مقابل الدائرية $3.87\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ ، ومنه $\Delta v_2 = 1.4\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ ؛ والمجموع $3.4\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ .

11. $\pi\sqrt{a^3/GM} = 1.07 \times 10^{4}\,\mathrm{s} \approx 3.0\,\mathrm{h}$ .

12. الإفلات من المدار المنخفض: $(\sqrt2 - 1)\times 7.67 = 3.2\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ : فقيمة المهمة $3.4\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ تتجاوزها — أي إن بلوغ هذا المدار يكلّف نحو ما تكلّفه مغادرة الأرض كلها.

13. $m_0/m_1 = \eu^{3.4/3.0} = 3.1$ : ومنه $m_1 = 640\,\mathrm{kg}$ ، والوقود الدافع $1360\,\mathrm{kg}$ — أي ثلثا الكتلة.

14. $\cos\theta = 0.240$ و $\theta = 76^\circ$ ؛ والنسبة $(1 - 0.240)/2 = 0.38$ .

15. $24 \times 0.38 = 9$ في المتوسط؛ والأربعة متجاوَزة بأريحية في كل وقت تقريبًا.

16. في السمت: $2.02\times10^7/c = 67\,\mathrm{ms}$ ؛ وعند الأفق: البعد $\sqrt{r^2 - R^2} = 2.58 \times 10^{7}\,\mathrm{m}$ ، أي $86\,\mathrm{ms}$ .

17. $3/c = 10\,\mathrm{ns}$ .

18. انزياح ساعة المستقبِل مجهول رابع إلى جانب إحداثياته الثلاثة: فأربع مسافات، وأربع معادلات.

19. $10^{-8}\ \mathrm{s}/86\,400\,\mathrm{s} \approx 1 \times 10^{-13}$ .

20. $v^2/2c^2 = (3874)^2/(2 \times 8.99\times10^{16}) = 8.3 \times 10^{-11}$ : ومنه $8.3\times10^{-11} \times 86400 = 7.2\,\text{µ}\mathrm{s}$ في اليوم، تباطؤًا.

21. $GM(1/R - 1/r)/c^2 = 3.986\times10^{14} \times 1.19\times10^{-7}/ 8.99\times10^{16} = 5.3 \times 10^{-10}$ : أي $45.7\,\text{µ}\mathrm{s}$ في اليوم، تسارعًا.

22. المحصلة $+38.5\,\text{µ}\mathrm{s}$ في اليوم؛ و $c \times 38.5\times10^{-6} = 11.5\,\mathrm{km}$ من الخطأ في اليوم.

23. $(10.23 - 10.22999999543)/10.23 = 4.47 \times 10^{-10}$ ، وهي توافق المحصلة $4.5\times10^{-10}$ (أي $38.5\,\text{µ}\mathrm{s}$ على $86\,400\,\mathrm{s}$ ).

24. انتفاخ الأرض الاستوائي، وجذب القمر والشمس، وضغط الإشعاع الشمسي (وإشعالات صغيرة للدوافع): فيقيس القطاع الأرضي المدارات باستمرار ويرفع تقاويم فلكية جديدة تبثّها الأقمار.

25. تحدّد الطاقة والعزم الحركي مدارًا دائريًّا انطلاقًا من دوره؛ ويضعه كبلر الثالث؛ وتحدّد الهندسة التغطية وأزمنة الضوء؛ أما الساعات — وهي قلب المنظومة — فيجب تصحيحها من أجل النسبية بمقدار $38\,\text{µ}\mathrm{s}$ في اليوم، وإلا انحرف التحديد بعشرة كيلومترات مع حلول الليل.

المصطلحات المعرَّفة في هذا الفصل

عرض كل المصطلحات (393) في المسرد