الفيزياء الجامعية — السنة الأولى · Bachelor Year 1

22المبدأ الأول للترموديناميك

انفخ إطار دراجة يسخن جسم المنفاخ حتى لا تُطيق الإمساك به. ومحرك الديزل لا شمعة إشعال فيه: فهو يضغط هواءه إلى جزء من عشرين، فيسخن الهواء حتى يشعل الوقود من تلقائه. وقارورة غاز مضغوط يكسوها الصقيع وهي تفرغ. وفي كل حالة تتغير صورة الطاقة — فيصير الشغل حرارة، وتصير الحرارة شغلًا، ويصيران معًا طاقة داخلية — والمبدأ الأول للترموديناميك هو المحاسبة التي تجعل الحساب متوازنًا. ويعرّف هذا الفصل الشغل والحرارة لجملة ترموديناميكية، وينصّ المبدأ الأول، ويقدّم الطاقة الداخلية والإنثالبي بوصفهما المقدارين اللذين يحفظهما، ثم يطبّقه على تحولات الغاز المثالي وعلى المسعرية.

منفاخ دراجة: شغل اليد على الهواء المحبوس يرفع طاقته الداخلية، فيدفأ جسم المنفاخ — المبدأ الأول في راحة الكفّ.

22.1 التحولات والشغل والحرارة

تعريف 22.1 (الجملة والتحول)

الجملة الترموديناميكية هي المادة داخل حدّ مختار؛ وما عداها هو الوسط الخارجي. والتحول ينقلها من حالة توازن إلى أخرى. ويكون شبه سكوني إذا مرّت الجملة بمتتالية من حالات التوازن (أي ببطء يكفي لتعريف $P$ و $T$ في كل موضع منها)، ويكون عكوسًا إذا أدّى، فوق ذلك، عكسُ الشروط الخارجية إلى عكس المسار (بلا احتكاك، وبلا فرق منتهٍ في درجة الحرارة أو الضغط مع الوسط الخارجي). ويُسمّى التحول بما يبقى ثابتًا فيه: متساوي الحرارة ( $T$ )، متساوي الضغط ( $P$ )، متساوي الحجم ( $V$ )؛ وكظوم إن لم تُتبادَل حرارة؛ ووحيد الضغط (وحيد الحرارة) إذا ثبت الضغط الخارجي (أو درجة الحرارة الخارجية) مهما يجرِ في الداخل.

قضية 22.2 (شغل قوى الضغط)

جملة يتغير حجمها بمقدار $\dd V$ في مواجهة ضغط خارجي $P_{\mathrm{ext}}$ تتلقى الشغل

\delta W = -P_{\mathrm{ext}}\,\dd V, \qquad W = -\int_{V_1}^{V_2}P_{\mathrm{ext}}\,\dd V .

وفي تحول شبه سكوني يكون $P_{\mathrm{ext}} = P$ (أي ضغط الجملة نفسها) ويكون $W = -\int P\,\dd V$ مقابلًا للمساحة تحت المسار في مخطط كلابيرون بإشارة سالبة: فهو موجب عند الانضغاط وسالب عند التمدد.

برهان. مكبس مساحته $S$ يدفعه الوسط الخارجي بالقوة $P_{\mathrm{ext}}S$ فينزاح بمقدار $\dd x$ نحو الخارج: فيؤدي الوسط الخارجي على الجملة الشغل $-P_{\mathrm{ext}}S\,\dd x = -P_{\mathrm{ext}}\,\dd V$ . وأيّ حدّ هو مجموعة من مكابس كهذه. وفي التحول شبه السكوني يكون المكبس في توازن، فيكون $P_{\mathrm{ext}} = P$ إلى فرق متلاشٍ. ∎

تعريف 22.3 (الحرارة)

الحرارة $Q$ طاقة تُنقل إلى الجملة بغير الشغل العياني — بتصادمات جزيئية عند جدار (وهو التوصيل)، أو بجريان مائع (وهو الحمل)، أو بالإشعاع. والمنظِّم الحراري جسم من الكبر بحيث لا تتغير درجة حرارته مهما تبادل من حرارة. واصطلاح الإشارة في الكتاب كله: أن $W$ و $Q$ تتلقاهما الجملة، فهما موجبان حين يدخلان.

22.2 المبدأ الأول

مبرهنة 22.4 (المبدأ الأول للترموديناميك)

لجملة مغلقة دالةُ حالة، هي طاقتها الداخلية $U$ (وهي امتدادية)، بحيث يكون في أيّ تحول

\Delta U + \Delta E_{k} = W + Q ,

حيث $E_k$ الطاقة الحركية العيانية (وهي معدومة لجملة ساكنة): فالطاقة المتلقاة شغلًا وحرارةً تُخزَّن طاقةً داخلية. ويتوقف كلٌّ من $W$ و $Q$ على المسار؛ ولا يتوقف مجموعهما عليه.

برهان. نقبله في هذا المستوى. ∎

ملاحظة 22.5 (ما الذي ينصّ عليه)

هو انحفاظ الطاقة، مع الاعتراف بالحرارة نقلًا للطاقة (تجربة جول بالدولاب ذي الريش: فشغل مقيس يرفع دائمًا درجة حرارة الماء بقدر ما ترفعها حرارة مقيسة). وقولنا “ $U$ دالة حالة” يعني أن $\Delta U$ تعيّنه الحالتان الابتدائية والنهائية — فيكون في دور $\Delta U = 0$ و $W + Q = 0$ : فمحرك يقدّم شغلًا لا بدّ أن يتلقى حرارة. ومضمون $U$ المجهري هو مضمون التعريف 20.10.

تعريف 22.6 (الإنثالبي؛ السعات الحرارية)

الإنثالبي $H = U + PV$ دالة حالة ملائمة للتحولات عند ثبات الضغط. والسعتان الحراريتان عند ثبات الحجم وعند ثبات الضغط هما

C_V = \left(\frac{\partial U}{\partial T}\right)_V, \qquad C_P = \left(\frac{\partial H}{\partial T}\right)_P ,

بوحدة $\mathrm{J}/\mathrm{K}$ ؛ وللمول $C_{V,m}$ و $C_{P,m}$ ؛ وللكيلوغرام الحرارتان النوعيتان $c_V$ و $c_P$ .

قضية 22.7 (الحرارة عند ثبات الحجم وعند ثبات الضغط)

من أجل جملة ساكنة لا تتبادل الشغل إلا بقوى الضغط:

التحول المتساوي الحجم: $W = 0$ و $Q_V = \Delta U$ ؛
التحول الوحيد الضغط بين حالتين عند الضغط الخارجي $P_0$ : $Q_P = \Delta H$ .

برهان. المتساوي الحجم: $\dd V = 0$ . والوحيد الضغط: $W = -P_0(V_2 - V_1)$ ، ومنه $Q = \Delta U + P_0\Delta V = \Delta(U + PV)$ لأن $P_1 = P_2 = P_0$ . ∎

قضية 22.8 (الغاز المثالي: $U$ و $H$ وعلاقة ماير)

من أجل غاز مثالي، تتوقف $U$ و $H$ على $T$ وحدها (وهما قانونا جول): $\dd U = C_V\,\dd T$ و $\dd H = C_P\,\dd T$ ، ويكون

C_{P,m} - C_{V,m} = R, \qquad \gamma = \frac{C_P}{C_V}, \qquad C_{V,m} = \frac{R}{\gamma - 1}, \quad C_{P,m} = \frac{\gamma R}{\gamma - 1} ;

حيث $\gamma = 5/3$ للغازات أحادية الذرة، و $7/5$ لثنائية الذرة عند درجات الحرارة العادية. أما الطور المكثَّف في نموذج القضية 20.13، فيكون فيه $C_P \approx C_V = C$ و $\dd U \approx \dd H = C\,\dd T$ .

برهان. لدينا $H = U + nRT$ ؛ ونشتقّ بالنسبة إلى $T$ . وتكون $C_{V,m} = \tfrac32 R$ أو $\tfrac52 R$ حسب القضية 20.11. ∎

22.3 تحولات الغاز المثالي

قضية 22.9 (التحولات النموذجية الأربعة)

من أجل $n$ مولًا من غاز مثالي:

متساوي الحجم: $W = 0$ و $Q = \Delta U = nC_{V,m}\Delta T$ ؛
متساوي الضغط (شبه سكوني): $W = -P\Delta V = -nR\Delta T$ و $Q = \Delta H = nC_{P,m}\Delta T$ ؛
متساوي الحرارة عكوس: $\Delta U = 0$ و $W = -Q = -nRT\ln(V_2/V_1) = nRT\ln(P_2/P_1)$ ؛
كظوم عكوس: $Q = 0$ و $W = \Delta U = nC_{V,m}(T_2 - T_1)$ ، وعلى امتداد المسار (وهو قانون لابلاس)

$PV^\gamma = \text{ثابت}, \qquad TV^{\gamma - 1} = \text{ثابت}, \qquad T^\gamma P^{1 - \gamma} = \text{ثابت} .$

برهان. المتساوي الحجم والمتساوي الضغط: من القضيتين السابقتين. والمتساوي الحرارة: $W = -\int nRT\,\dd V/V$ . والكظوم: $\dd U = \delta W$ ، أي $nC_{V,m}\dd T = -P\,\dd V = -nRT\,\dd V/V$ ، ومنه $\dd T/T = -(\gamma - 1)\dd V/V$ (باستعمال $R/C_{V,m} = \gamma - 1$ )؛ ونكامل فنجد $TV^{\gamma - 1}$ ثابتًا؛ وتأتي الصيغتان الأخريان من $PV = nRT$ . ∎

على اليمين: في مخطط كلابيرون يكون الشغل المتلقى في انضغاط شبه سكوني هو المساحة تحت المسار؛ وانطلاقًا من النقطة نفسها يكون الكظوم أشدّ ميلًا من متساوي الحرارة (> 1): فالغاز المضغوط بلا ضياع للحرارة يسخن ويرتقي إلى متساوي حرارة أعلى. وعلى اليسار: شغل الوسط الخارجي على مكبس. — على اليمين: في مخطط كلابيرون يكون الشغل المتلقى في انضغاط شبه سكوني هو المساحة تحت المسار؛ وانطلاقًا من النقطة نفسها يكون الكظوم أشدّ ميلًا من متساوي الحرارة ( $\gamma > 1$ ): فالغاز المضغوط بلا ضياع للحرارة يسخن ويرتقي إلى متساوي حرارة أعلى. وعلى اليسار: شغل الوسط الخارجي على مكبس.

مثال 22.10 (المنفاخ والديزل)

هواء ( $\gamma = 1.4$ ) يُضغط كظومًا من $1\,\mathrm{bar}$ و $300\,\mathrm{K}$ إلى $7\,\mathrm{bar}$ (وهو منفاخ دراجة): $T_2 = 300 \times 7^{0.286} = 523\,\mathrm{K}$ — أي $250{}^{\circ}\mathrm{C}$ للحظة، وهو ما يحسّه جسم المنفاخ. وفي محرك ديزل نسبة انضغاطه $20$ : $T_2 = 300 \times 20^{0.4} = 994\,\mathrm{K}$ و $P_2 = 20^{1.4} = 66\,\mathrm{bar}$ — أي فوق درجة الاشتعال الذاتي للوقود: فلا يحتاج المحرك إلى شرارة (ومسألة نهاية الأسبوع تجري الدور كله).

ملاحظة 22.11 (التحولات اللاعكوسة)

حين لا يكون التحول شبه سكوني لا ينطبق قانون لابلاس ولا $W = -\int P\,\dd V$ ؛ ولا يبقى إلا $W = -\int P_{\mathrm{ext}}\,\dd V$ والمبدأ الأول. وهاتان حالتان كلاسيكيتان: غاز يتمدد في الخلاء (وهو تمدد جول) لا يتلقى شغلًا ولا، في جدران كظومة، حرارةً — فيكون $\Delta U = 0$ ، ويحفظ الغاز المثالي درجة حرارته؛ وغاز يُضغط فجأة بضغط خارجي يقفز إلى $P_2$ يتلقى $W = -P_2\Delta V$ ، وهو أكبر من الشغل العكوس إلى الضغط نفسه، فينتهي أسخن (التمرين 22.11).

22.4 المسعرية

طريقة 22.12 (الموازنة المسعرية)

أجسام توضع في تماسّ حراري داخل وعاء معزول عند ضغط ثابت (هو الضغط الجوي) لا تتبادل الحرارة إلا فيما بينها: فيكون المجموع $\Delta H = \sum Q_P = 0$ . ولكل جسم $\Delta H = mc\,\Delta T$ (إن لم يتغير طوره) أو $\pm mL$ عند تغيّر حالة عند درجة حرارة تحوّله، حيث $L$ هي الحرارة الكامنة (أي إنثالبي الانصهار أو التبخر لواحدة الكتلة: ففي الماء $L_f = 334\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$ عند $0{}^{\circ}\mathrm{C}$ ، و $L_v = 2260\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$ عند $100{}^{\circ}\mathrm{C}$ ). فاكتب الموازنة، وحُلّ لإيجاد درجة الحرارة النهائية، وتحقّق من أن الطور المفترض لكل جسم ينسجم معها.

مثال 22.13 (جليد في ماء)

$50\,\mathrm{g}$ من الجليد عند $0{}^{\circ}\mathrm{C}$ في $200\,\mathrm{g}$ من الماء عند $30{}^{\circ}\mathrm{C}$ : يحتاج الانصهار إلى $16.7\,\mathrm{kJ}$ ؛ ويستطيع الماء أن يعطي $25.1\,\mathrm{kJ}$ وهو يبرد إلى $0{}^{\circ}\mathrm{C}$ ، فينصهر الجليد كله وتعطي الموازنة $0.250 \times 4180 \times (T_f - 0) = 25.1 - 16.7$ كيلوجول $T_f = 8{}^{\circ}\mathrm{C}$ . ولو كان الجليد $100\,\mathrm{g}$ للزم $33.4\,\mathrm{kJ}$ : فلا ينصهر إلا بعضه ويكون $T_f = 0{}^{\circ}\mathrm{C}$ — ومن هنا أهمية التحقق.

تسخين كيلوغرام من الماء من جليد عند -20 C حتى البخار: تتوقف درجة الحرارة عند كل تغيّر حالة ريثما تُقدَّم الحرارة الكامنة — 334\, kJ للانصهار، و2260\, kJ للغليان، وهو أكبر بكثير من 418\, kJ التي تحمل السائل من 0\, إلى 100 C. — تسخين كيلوغرام من الماء من جليد عند $-20{}^{\circ}\mathrm{C}$ حتى البخار: تتوقف درجة الحرارة عند كل تغيّر حالة ريثما تُقدَّم الحرارة الكامنة — $334\,\mathrm{kJ}$ للانصهار، و $2260\,\mathrm{kJ}$ للغليان، وهو أكبر بكثير من $418\,\mathrm{kJ}$ التي تحمل السائل من $0\,$ إلى $100{}^{\circ}\mathrm{C}$ .

22.5 تمارين

تمرين 22.1 ★

مول واحد من الهواء ( $C_{P,m} = 29.1\,\mathrm{J}/(\mathrm{mol}\,\mathrm{K})$ ) يُسخَّن من $300\,\mathrm{K}$ إلى $400\,\mathrm{K}$ عند ثبات الضغط. أوجد الحرارة المتلقاة والشغل المتلقى وتغيّر الطاقة الداخلية.

حل

حل التمرين 22.1.

$Q = C_{P,m}\Delta T = 29.1 \times 100 = 2.91\,\mathrm{kJ}$ ؛ و $W = -nR\Delta T = -0.83\,\mathrm{kJ}$ ؛ و $\Delta U = Q + W = 2.08\,\mathrm{kJ} = C_{V,m}\Delta T$ .

تمرين 22.2 ★

مول واحد من غاز عند $300\,\mathrm{K}$ يُضغط عند ثبات الحرارة وعلى نحو عكوس من $2.0\,\mathrm{L}$ إلى $0.50\,\mathrm{L}$ . أوجد الشغل المتلقى والحرارة المتبادلة و $\Delta U$ .

حل

حل التمرين 22.2.

$W = -nRT\ln(V_2/V_1) = -2494\ln(0.25) = +3.46\,\mathrm{kJ}$ ؛ و $\Delta U = 0$ ومنه $Q = -3.46\,\mathrm{kJ}$ (تُعطى للحوض).

تمرين 22.3 ★

هواء عند $300\,\mathrm{K}$ و $1\,\mathrm{bar}$ يُضغط كظومًا وعلى نحو عكوس إلى عُشر حجمه. أوجد درجة الحرارة والضغط النهائيين.

حل

حل التمرين 22.3.

$T_2 = T_1 \times 10^{\gamma - 1} = 300 \times 10^{0.4} = 754\,\mathrm{K}$ ؛ و $P_2 = 10^{1.4} = 25\,\mathrm{bar}$ .

تمرين 22.4 ★

أعطِ $C_{V,m}$ و $C_{P,m}$ و $\gamma$ للأرغون وللآزوت. وفي الماء السائل ( $c = 4180\,\mathrm{J}/(\mathrm{kg}\,\mathrm{K})$ )، لماذا يُهمَل التمييز بين $c_P$ و $c_V$ ؟

حل

حل التمرين 22.4.

الأرغون: $C_{V,m} = \tfrac32 R = 12.5$ و $C_{P,m} = \tfrac52 R = 20.8$ جول لكل مول وكلفن، و $\gamma = 1.67$ ؛ والآزوت: $20.8$ ثم $29.1$ و $\gamma = 1.40$ . أما الماء فتمدده بالتسخين ضئيل جدًّا، فيكون الشغل $P\,\dd V$ عند ثبات الضغط مهمَلًا أمام الحرارة: $c_P - c_V \approx 0$ .

تمرين 22.5 ★★

$200\,\mathrm{g}$ من الماء عند $80{}^{\circ}\mathrm{C}$ تُمزج مع $300\,\mathrm{g}$ عند $20{}^{\circ}\mathrm{C}$ في كأس معزول. أوجد درجة الحرارة النهائية؛ وما الذي يتغير إذا كانت للكأس نفسه سعة حرارية $80\,\mathrm{J}/\mathrm{K}$ وكان في البدء عند $20{}^{\circ}\mathrm{C}$ ؟

حل

حل التمرين 22.5.

$T_f = (200 \times 80 + 300 \times 20)/500 = 44{}^{\circ}\mathrm{C}$ . ومع الكأس: $(200 \times 4.18 \times 80 + (300 \times 4.18 + 80) \times 20)/(500 \times 4.18 + 80) = 43{}^{\circ}\mathrm{C}$ .

تمرين 22.6 ★★

$50\,\mathrm{g}$ من الجليد عند $-10{}^{\circ}\mathrm{C}$ ( $c_{\text{الجليد}} = 2100\,\mathrm{J}/(\mathrm{kg}\,\mathrm{K})$ ) تُلقى في $200\,\mathrm{g}$ من الماء عند $30{}^{\circ}\mathrm{C}$ . أوجد الحالة ودرجة الحرارة النهائيتين. والسؤال نفسه مع $150\,\mathrm{g}$ من الجليد.

حل

حل التمرين 22.6.

الجليد: تسخينه إلى $0$ : $0.050 \times 2100 \times 10 = 1.05\,\mathrm{kJ}$ ؛ وانصهاره: $16.7\,\mathrm{kJ}$ ؛ فالمجموع $17.8\,\mathrm{kJ}$ . ويستطيع الماء أن يعطي $25.1\,\mathrm{kJ}$ نزولًا إلى $0$ : فينصهر كله؛ ثم $0.250 \times 4180\,T_f = 25.1 - 17.8$ كيلوجول، ومنه $T_f = 7{}^{\circ}\mathrm{C}$ . ومع $150\,\mathrm{g}$ : يلزم $53.3\,\mathrm{kJ}$ وهو $>$ $25.1\,\mathrm{kJ}$ : فلا ينصهر إلا $(25.1 - 3.15)/334 = 66\,\mathrm{g}$ من الجليد، ويكون $T_f = 0{}^{\circ}\mathrm{C}$ ، ويبقى $84\,\mathrm{g}$ من الجليد.

تمرين 22.7 ★★

غاز يتبع دورًا مستطيلًا في مخطط كلابيرون: $(V_1, P_1) \to (V_2, P_1) \to (V_2, P_2) \to (V_1, P_2) \to (V_1, P_1)$ مع $V_2 > V_1$ و $P_2 > P_1$ . أوجد الشغل المتلقى على امتداد الدور بدلالة المساحة؛ ثم إشارته ومعنى تلك الإشارة.

حل

حل التمرين 22.7.

$W = -P_1(V_2 - V_1) + 0 - P_2(V_1 - V_2) + 0 = (P_2 - P_1)(V_2 - V_1) > 0$ : فالدور يُقطع بعكس عقارب الساعة (تمدد عند ضغط منخفض، وانضغاط عند ضغط مرتفع)، ومن ثمّ يتلقى الغاز شغلًا صافيًا يساوي المساحة المحصورة؛ ولو قُطع مع عقارب الساعة لقدّمه — فكان محركًا.

تمرين 22.8 ★★

منفاخ دراجة يضغط الهواء من $1\,\mathrm{bar}$ و $300\,\mathrm{K}$ إلى $7\,\mathrm{bar}$ بسرعة تكفي لأن يكون التحول كظومًا. أوجد درجة الحرارة المبلوغة؛ ولماذا يدفأ المنفاخ؛ ولماذا يهبط ضغط الإطار قليلًا بعد انتهاء النفخ.

حل

حل التمرين 22.8.

$T_2 = 300 \times 7^{0.286} = 523\,\mathrm{K}$ . والهواء المضغوط الساخن يسخّن جسم المنفاخ بالتوصيل في كل دفعة. وفي الإطار يبرد الهواء إلى درجة حرارة المحيط عند ثبات الحجم: فيكون $P \propto T$ ، ويهبط الضغط بنسبة درجتَي الحرارة — فأعِد نفخه قليلًا.

تمرين 22.9 ★★

غاز مثالي يتمدد في وعاء مفرَّغ ومعزول (وهو تمدد جول). أوجد الشغل والحرارة و $\Delta U$ و $\Delta T$ . وهل التحول عكوس؟ وماذا يفعل غاز حقيقي؟

حل

حل التمرين 22.9.

$W = 0$ (إذ لا ضغط خارجي يدفع الغاز في مواجهته)، و $Q = 0$ : ومنه $\Delta U = 0$ ، ومن ثمّ $\Delta T = 0$ لغاز مثالي. والتحول لاعكوس: فالغاز لا يعود أبدًا من تلقائه. أما الغاز الحقيقي، وجزيئاته يجذب بعضها بعضًا، فيبرد قليلًا (إذ يصير جزء من الطاقة الحركية طاقةً كامنة وهي تتباعد).

تمرين 22.10 ★★★

غليان $1.0\,\mathrm{kg}$ من الماء عند $100{}^{\circ}\mathrm{C}$ و $1\,\mathrm{atm}$ (حجم البخار $1.67\,\mathrm{m}^{3}$ ). أوجد الحرارة المقدَّمة والشغل المتبادل مع الجوّ و $\Delta U$ . وأين يذهب معظم الحرارة الكامنة؟

حل

حل التمرين 22.10.

$Q = L_v = 2.26\,\mathrm{MJ}$ ؛ و $W = -P(V_g - V_l) = -1.013\times10^5 \times 1.67 = -0.17\,\mathrm{MJ}$ ؛ و $\Delta U = 2.09\,\mathrm{MJ}$ : فيذهب $93\%$ من الحرارة إلى تفريق الجزيئات (أي إلى الطاقة الداخلية)، و $7\%$ إلى دفع الجوّ إلى الوراء.

تمرين 22.11 ★★★

مول واحد من غاز ثنائي الذرة عند $300\,\mathrm{K}$ و $1\,\mathrm{bar}$ ، في أسطوانة معزولة، يُضغط برفع الضغط الخارجي فجأةً إلى $5\,\mathrm{bar}$ ثم انتظار التوازن. أوجد درجة الحرارة والحجم النهائيين (بالمبدأ الأول مع $W = -P_{\mathrm{ext}}\Delta V$ )؛ وقارن بالانضغاط الكظوم العكوس إلى $5\,\mathrm{bar}$ .

حل

حل التمرين 22.11.

$W = -P_2(V_2 - V_1)$ و $\Delta U = nC_{V,m}(T_2 - T_1)$ و $V_2 = nRT_2/P_2$ و $V_1 = nRT_1/P_1$ : ومنه $\tfrac52(T_2 - 300) = -T_2 + 300 \times 5$ و $3.5T_2 = 2250$ و $T_2 = 643\,\mathrm{K}$ و $V_2 = 10.7\,\mathrm{L}$ . أما العكوس: $T_2 = 300 \times 5^{0.286} = 475\,\mathrm{K}$ و $V_2 = 7.9\,\mathrm{L}$ . فالانضغاط المفاجئ يؤدي على الغاز شغلًا أكبر (إذ تؤثر $5\,\mathrm{bar}$ كاملةً منذ البداية) وينتهي أسخن وأقل انضغاطًا.

تمرين 22.12 ★★★

الصوت انضغاط سريع، ومن ثمّ كظوم: وسرعته $c = \sqrt{\gamma P/\rho}$ (وكانت القيمة المتساوية الحرارة $\sqrt{P/\rho}$ خطأ نيوتن). احسب القيمتين من أجل الهواء عند $20{}^{\circ}\mathrm{C}$ وقارنهما بالقيمة المقيسة $343\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . وبيّن أن $c = \sqrt{\gamma RT/M}$ وقارن بالسرعة التربيعية المتوسطة في الفصل 20.

حل

حل التمرين 22.12.

$\rho = PM/RT = 1.20\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ : ومنه $\sqrt{\gamma P/\rho} = \sqrt{1.4 \times 1.013\times10^5/1.20} = 343\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ؛ و $\sqrt{P/\rho} = 290\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ، أي أدنى بنسبة $15\%$ . ومع $P/\rho = RT/M$ يكون $c = \sqrt{\gamma RT/M}$ ؛ ومقابل $u = \sqrt{3RT/M}$ = $502\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ : يكون $c/u = \sqrt{\gamma/3} = 0.68$ .

22.6 مسألة: من منفاخ الدراجة إلى محرك الديزل

مسألة 22.1

مسألة نهاية الأسبوع — منفاخ يدوي يحرق الأصابع، وأسطوانة تشعل وقودها بنفسها، وكرة فولاذية ترتدّ على وسادة من الهواء: المبدأ الأول في ثلاثة انضغاطات

الهواء: غاز مثالي ثنائي الذرة، $\gamma = 1.40$ و $C_{V,m} = \tfrac52 R$ و $C_{P,m} = \tfrac72 R$ و $M = 29\,\mathrm{g}/\mathrm{mol}$ ؛ و $R = 8.314\,\mathrm{J}/(\mathrm{mol}\,\mathrm{K})$ . والحالة الابتدائية في كل موضع: $P_1 = 1.00\,\mathrm{bar}$ و $T_1 = 300\,\mathrm{K}$ .

الجزء I — منفاخ الدراجة. حجم أسطوانة المنفاخ $V_1 = 212\,\mathrm{cm}^{3}$ ؛ ويُضغط الهواء الذي فيها على نحو عكوس وكظوم حتى يبلغ ضغط الإطار، وهو $7.0\,\mathrm{bar}$ .

كمية الهواء في الأسطوانة.
الحجم في نهاية الانضغاط.
درجة الحرارة في نهاية الانضغاط.
الشغل الذي يتلقاه الهواء في دفعة واحدة.
على الإطار ( $2.0\,\mathrm{L}$ ) أن ينتقل من $1\,\mathrm{bar}$ إلى $7\,\mathrm{bar}$ عند $300\,\mathrm{K}$ : فكم دفعةً يلزم، وكم يبلغ الشغل كله (وخذ الشغل في الدفعة ثابتًا)؟
ثم يبرد الهواء الساخن في الإطار إلى $300\,\mathrm{K}$ : فماذا يحدث لضغط الإطار، وماذا يفعل الدرّاج؟
قارن الشغل الكظوم في الدفعة بشغل انضغاط متساوي الحرارة إلى $7\,\mathrm{bar}$ نفسها. ولماذا يكون الشغل المتساوي الحرارة أكبر مع أن الغاز ينتهي أبرد؟

الجزء II — انضغاط الديزل. أسطوانة حجمها $V_1 = 0.50\,\mathrm{L}$ تضغط هواءها على نحو عكوس وكظوم بعامل $20$ .

كمية الهواء، ودرجة الحرارة $T_2$ بعد الانضغاط.
الضغط $P_2$ .
يشتعل الوقود من تلقائه فوق $500\,\mathrm{K}$ تقريبًا: فسّر لماذا لا يحتاج الديزل إلى شمعة إشعال، ولماذا يجب ألّا يشتعل محرك البنزين ذاتيًّا (ونسبته $\approx 10$ ، انظر التمرين 22.3).
الشغل الذي يتلقاه الهواء أثناء الانضغاط.
عند $3000\,\mathrm{rpm}$ تضغط أسطوانة واحدة $25$ مرة في الثانية: فما الاستطاعة التي يمتصّها الانضغاط (وهي تُردّ لاحقًا في الدور)؟
الانضغاطات الحقيقية سريعة (فتكون لاعكوسة) وتفقد حرارة إلى الجدران: فإلى أيّ جهة يزيح كلٌّ من الأثرين $T_2$ ؟

الجزء III — الاحتراق والتمدد. عند أعلى الشوط يحترق $20\,\mathrm{mg}$ من الوقود (قيمته الحرارية $43\,\mathrm{MJ}/\mathrm{kg}$ ) بينما يبدأ المكبس بالنزول، عند ثبات الضغط $P_2$ ؛ ثم يتمدد الغاز على نحو عكوس وكظوم عائدًا إلى $V_1$ . وعامِل الغاز على أنه هواء في كل ذلك.

الحرارة التي يحرّرها الوقود.
درجة الحرارة $T_3$ والحجم $V_3$ في نهاية الاحتراق المتساوي الضغط.
الشغل المتبادل في المرحلة المتساوية الضغط (انتبه للإشارة!).
درجة الحرارة $T_4$ في نهاية التمدد الكظوم، والشغل المتبادل فيه.
الشغل الصافي الذي يقدّمه الغاز على امتداد الأشواط الأربعة، ونسبته إلى الحرارة المحرَّرة (وهي المردود المثالي).
قارن ذلك المردود بالمقدار $1 - T_1/T_3$ ، وهو الحدّ الذي سيقيمه الفصل 24 لأيّ محرك يعمل بين درجتَي الحرارة القصويين هاتين.
الحرارة المطروحة مع العادم، بالمبدأ الأول على امتداد الدور؛ وتحقّق من الموازنة.

الجزء IV — قياس $\gamma$ بكرة مرتدّة. كرة فولاذية كتلتها $m = 16.5\,\mathrm{g}$ تنطبق على أنبوب زجاجي شاقولي مقطعه $S = 2.0\,\mathrm{cm}^{2}$ مغلق من أسفله بدورق حجمه $V = 10\,\mathrm{L}$ من الهواء عند $P = 1.0\,\mathrm{bar}$ ؛ فإذا أُزيحت بمقدار $x$ عن وضع توازنها اهتزّت.

لماذا يمكن اعتبار انضغاطات الهواء وتمدداته كظومة؟ واكتب العلاقة بين انزياح صغير $x$ وتغيّر الضغط $\dd P$ (قانون لابلاس، بعد النشر الخطي).
استنتج القوة المُعيدة على الكرة وبيّن أن حركتها توافقية، مع $\omega_0^2 = \gamma PS^2/mV$ .
احسب الدور، ثم قيمة $\gamma$ التي تُستنتج من دور مقيس قدره $1.10\,\mathrm{s}$ .
لماذا يحيد الاحتكاك بين الكرة والأنبوب، وتسرّب الهواء، بالنتيجة، وإلى أيّ جهة؟
لخّص الانضغاطات الثلاثة: أيّ مقدار حفظه المبدأ الأول في كل منها، وما الذي حكمه الأس الكظوم $\gamma$ .

حل

حل المسألة 22.1.

1. $n = P_1V_1/RT_1 = 10^5 \times 2.12\times10^{-4}/2494 = 8.5 \times 10^{-3}\,\mathrm{mol}$ .

2. $PV^\gamma$ ثابت: ومنه $V_2 = V_1(P_1/P_2)^{1/\gamma} = 212 \times 7^{-0.714} = 53\,\mathrm{cm}^{3}$ .

3. $T_2 = T_1(P_2/P_1)^{(\gamma - 1)/\gamma} = 300 \times 7^{0.286} = 523\,\mathrm{K}$ .

4. $W = nC_{V,m}(T_2 - T_1) = 8.5\times10^{-3} \times 20.8 \times 223 = 39\,\mathrm{J}$ .

5. الهواء الواجب إضافته: $\Delta n = \Delta P\,V/RT = 6\times10^5 \times 2\times10^{-3}/ 2494 = 0.48\,\mathrm{mol}$ : أي $0.48/8.5\times10^{-3} = 57$ دفعة، ونحو $2.2\,\mathrm{kJ}$ — أي دقيقة من الجهد الصادق.

6. عند ثبات الحجم يكون $P \propto T$ : فيهبط الضغط وهو يبرد (بنسبة تبلغ $300/523$ لهواء الدفعة الأخيرة)؛ فيضيف الدرّاج بضع دفعات بعد وقفة.

7. $W_{\text{المتساوي}} = nRT\ln(P_2/P_1) = 8.5\times10^{-3} \times 2494 \times 1.95 = 41\,\mathrm{J} > 39\,\mathrm{J}$ : فالمسار المتساوي الحرارة يضغط الغاز أكثر (إلى $30\,\mathrm{cm}^{3}$ بدل $53\,\mathrm{cm}^{3}$ ) ليبلغ $7\,\mathrm{bar}$ ، لأنه يبقى باردًا — فحجم مكنوس أكبر، وشغل أكبر.

8. $n = 10^5 \times 5\times10^{-4}/2494 = 0.020\,\mathrm{mol}$ ؛ و $T_2 = 300 \times 20^{0.4} = 994\,\mathrm{K}$ .

9. $P_2 = 20^{1.4} = 66\,\mathrm{bar}$ .

10. تفوق $994\,\mathrm{K}$ بكثير درجة الاشتعال الذاتي للوقود: فيشتعل الوقود المحقون عند التماسّ. أما محرك البنزين فلا يضغط مزيج الهواء والوقود إلا إلى نحو $750\,\mathrm{K}$ كي لا يشتعل قبل الشرارة؛ ونسبة انضغاط مفرطة تعطي “الطرق”.

11. $W = nC_{V,m}(T_2 - T_1) = 0.020 \times 20.8 \times 694 = 289\,\mathrm{J}$ .

12. $25 \times 289 = 7.2\,\mathrm{kW}$ لكل أسطوانة، تُخزَّن في الغاز الساخن وتُردّ في التمدد.

13. اللاعكوسية (إذ لا يتبع الغاز المسار شبه السكوني، ويتبدد شغل زائد) ترفع $T_2$ ؛ والحرارة المفقودة إلى الجدران تخفضها. وفي محرك حقيقي يغلب الأثر الثاني عادةً: فتكون $T_2$ أدنى قليلًا من القيمة المثالية.

14. $Q = 20\times10^{-6} \times 43\times10^6 = 860\,\mathrm{J}$ .

15. متساوي الضغط: $Q = nC_{P,m}(T_3 - T_2)$ : ومنه $T_3 - T_2 = 860/(0.020 \times 29.1) = 1480\,\mathrm{K}$ و $T_3 = 2470\,\mathrm{K}$ ؛ و $V_3 = V_2T_3/T_2 = 25 \times 2.48 = 62\,\mathrm{cm}^{3}$ .

16. $W = -P_2(V_3 - V_2) = -66\times10^5 \times 37\times10^{-6} = -244\,\mathrm{J}$ : وهو شغل يقدّمه الغاز.

17. $T_4 = T_3(V_3/V_1)^{\gamma - 1} = 2470 \times (0.124)^{0.4} = 1070\,\mathrm{K}$ ؛ و $W = nC_{V,m}(T_4 - T_3) = 0.020 \times 20.8 \times (-1400) = -582\,\mathrm{J}$ .

18. الشغل الصافي المقدَّم $= 244 + 582 - 289 = 537\,\mathrm{J}$ ؛ والنسبة $537/860 = 62\%$ (وهو مردود دور ديزل المثالي عند هذه الضبطيات؛ وتبلغ المحركات الحقيقية نحو $40\%$ ).

19. $1 - 300/2470 = 88\%$ : فدور ديزل المثالي يبقى دون حدّ كارنو بكثير، لأنه يتلقى حرارته على امتداد مجال من درجات الحرارة لا عند أعلاها.

20. على امتداد دور يكون $\Delta U = 0$ : ومنه $Q_{\text{الخارجة}} = -(860 - 537) = -323\,\mathrm{J}$ ، أي أن $323\,\mathrm{J}$ تخرج مع العادم؛ وللتحقق: $nC_{V,m}(T_4 - T_1) = 0.020 \times 20.8 \times 770 = 320\,\mathrm{J}$ .

21. الاهتزاز سريع (ثانية واحدة) بالقياس إلى توصيل الحرارة عبر $10\,\mathrm{L}$ من الهواء: فهو كظوم. وبالنشر الخطي للمقدار $PV^\gamma$ : $\dd P/P = -\gamma\,\dd V/V = -\gamma Sx/V$ .

22. القوة على الكرة $S\,\dd P = -\gamma PS^2x/V$ : ومنه $m\ddot x = -(\gamma PS^2/V)x$ ، وهي توافقية، مع $\omega_0^2 = \gamma PS^2/mV$ .

23. $\omega_0^2 = 1.4 \times 10^5 \times 4\times10^{-8}/(0.0165 \times 0.010) = 33.9\,\mathrm{s}^{-2}$ : ومنه $T = 2\pi/5.83 = 1.08\,\mathrm{s}$ . وانطلاقًا من $T = 1.10\,\mathrm{s}$ : $\gamma = 4\pi^2mV/(T^2PS^2) = 4\pi^2 \times 0.0165 \times 0.010/(1.21 \times 10^5 \times 4\times10^{-8}) = 1.35$ .

24. الاحتكاك يخمد الحركة، ويزيح وضع التوازن إن كان جافًّا؛ والتسرّب بجانب الكرة يدع الهواء يفلت أثناء الانضغاط، فيخفض القوة المُعيدة: وكلاهما يطيل الدور ويحيد بالمقدار $\gamma$ نحو الأدنى — كما في القيمة $1.35$ أعلاه.

25. المنفاخ والديزل: $Q = 0$ ، ومنه $\Delta U = W$ — فصار الشغل طاقةً داخلية ودرجةَ حرارة، وفق قانون لابلاس بالأس $\gamma$ . أما الكرة: فالانضغاط السريع كظوم، و $\gamma$ هي التي تعيّن صلابة نابض الهواء.

المصطلحات المعرَّفة في هذا الفصل

عرض كل المصطلحات (393) في المسرد