الفيزياء الجامعية — السنة الأولى · Bachelor Year 1

27الكمون الكهربائي؛ النواقل والمكثفات

المجال ثلاثة أعداد عند كل نقطة؛ والكمون عدد واحد. ولأن القوة الكهرسكونية محافظة، يمكن طيّ مجال توزيع شحن كله في دالة سلّمية واحدة، هي الكمون، ويُستعاد منها بالاشتقاق — وهو الاقتصاد نفسه الذي حوّل القوى إلى طاقة كامنة في الميكانيك. والكمون هو ما يقرؤه الفولطمتر، وما يحفظه المولّد، وما يسرّع الإلكترونات في أنبوب؛ وأسطحه المتساوية ترسم خريطة المجال بلمحة. ويبني هذا الفصل الكمون، ويستعمله على ثنائي القطب (وهو أول نموذج كهربائي لجزيء)، ثم ينتقل إلى الجسمين اللذين تُصنع منهما كل دارة: النواقل، التي تترتب الشحن عليها بحيث تُميت المجال في الداخل، والمكثفات، التي تخزّن الشحنة والطاقة في مجال.

شخص مشحون إلى بضع مئات من الكيلوفولطات بمولّد فان دي غراف: فهو ناقل متساوي الكمون تتنافر شعراته، وهي كلها عند الكمون نفسه ومشحونة الشحنة نفسها.

27.1 الكمون الكهرسكوني

مبرهنة 27.1 (مجال الكهرباء الساكنة محافظ)

توجد دالة سلّمية $V(M)$ ، هي الكمون الكهرسكوني (بالفولط، $\mathrm{V}$ )، بحيث يكون

\vect E = -\overrightarrow{\operatorname{grad}}\,V , \qquad V_A - V_B = \int_A^B \vect E\cdot\dd\vect l

على امتداد أيّ مسار من $A$ إلى $B$ (فإن التكامل الخطي للمتجهة $\vect E$ من $A$ إلى $B$ مستقل عن المسار، ومعدوم على امتداد حلقة مغلقة). ومن أجل شحنة نقطية $q$ عند $O$ يكون $V(M) = \dfrac{q}{4\pi\varepsilon_0\,OM}$ مع الاصطلاح $V(\infty) = 0$ ؛ ومن أجل عدة شحن تتجمع الكمونات. وطاقة الوضع لشحنة $q'$ عند $M$ هي $E_p = q'V(M)$ ، ويكون شغل القوة الكهربائية من $A$ إلى $B$ هو $q'(V_A - V_B)$ .

برهان. لقوة كولوم التي تؤثر بها شحنة ثابتة $q$ في $q'$ شكل ثقالة نيوتن حيث يحلّ $-Gm_1m_2$ محلَّه المقدارُ $qq'/4\pi\varepsilon_0$ ؛ والحساب نفسه الذي أعطى $E_p = -Gm_1m_2/r$ (القضية 13.7) يعطي $E_p = qq'/4\pi\varepsilon_0r$ : وبالقسمة على $q'$ نجد $V$ ، ويكون $\vect E = \vect F/q' = -\overrightarrow{\operatorname{grad}}(E_p)/q'$ . ويحمل التراكب النتيجة إلى أيّ توزيع؛ وصيغة التكامل الخطي هي تعريف التدرج مكاملًا على امتداد المسار. ∎

قضية 27.2 (قراءة كمون)

الأسطح المتساوية الكمون $V = \text{ثابت}$ عمودية في كل موضع على خطوط المجال، ويتجه المجال نحو الكمون المتناقص.
$|\vect E|$ هو معدل تغيّر $V$ على امتداد الجهة الأشدّ ميلًا: فحيث تتقارب الأسطح المتساوية الكمون يكون المجال قويًّا.
$V$ معرَّف إلى ثابت جمعي؛ ولا تُقاس إلا الفروق (أي التوترات). ويُجعل المرجع الأرضي أو اللانهاية معدومًا اصطلاحًا.
في الإحداثيات الكروية مع تناظر حول $O$ يكون $E_r = -\dd V/ \dd r$ ؛ وفي الإحداثيات القطبية $(r, \theta)$ في مستوٍ يكون $E_r = -\partial V/\partial r$ و $E_\theta = -\dfrac1r\,\partial V/\partial\theta$ .

برهان. على سطح متساوي الكمون يكون $\dd V = -\vect E\cdot\dd\vect l = 0$ من أجل كل انزياح في السطح، فيكون $\vect E$ ناظميًّا عليه؛ وبالتحرك على امتداد $\vect E$ يكون $\dd V = -E\,\dd l < 0$ . وتأتي المركّبتان القطبيتان من $\dd V = (\partial V/\partial r)\dd r + (\partial V/\partial\theta)\dd\theta$ ومن $\dd\vect l = \dd r\,\vect e_r + r\,\dd\theta\,\vect e_\theta$ . ∎

الأسطح المتساوية الكمون (بالبرتقالي) وخطوط المجال (بالأزرق) لشحنة نقطية ولمكثف مستوٍ. وتقطع الخطوط الأسطحَ المتساوية الكمون بزوايا قائمة وتجري من الكمون العالي إلى المنخفض؛ وحيث تتزاحم تلك الأسطح يكون المجال قويًّا.

طريقة 27.3 (حساب كمون)

إما أن تجمع $\dd q/4\pi\varepsilon_0r$ على التوزيع (حين يكون المجموع قابلًا للحساب ويكون التوزيع منتهيًا، فيكون $V(\infty) = 0$ ذا معنًى)، وإما أن تكامل $\dd V = -\vect E\cdot\dd\vect l$ على امتداد مسار ملائم انطلاقًا من نقطة يُعرَف عندها $V$ ، مستعملًا المجال الذي يعطيه قانون غاوس. أما التوزيعات اللانهائية (سلك، مستوٍ) فلا تنفع فيها إلا الطريقة الثانية، ويجب اختيار مبدأ $V$ عند نقطة منتهية.

قضية 27.4 (كمونات التوزيعات الكلاسيكية)

كرة نصف قطرها $R$ وشحنتها $Q$ في حجمها: $V(r) = \dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0r}$ في الخارج؛ و $V(r) = \dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0}\,\dfrac{3R^2 - r^2}{2R^3}$ في الداخل، ومنه $V(0) = \tfrac32\,Q/4\pi\varepsilon_0R$ . وإذا كانت $Q$ على السطح كان $V$ منتظمًا في الداخل ومساويًا $Q/4\pi\varepsilon_0R$ .
سلك لانهائي شحنته $\lambda$ : $V(r) = -\dfrac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0}\ln\dfrac{r}{r_0}$ .
مكثف مستوٍ، مجاله $E$ من الصفيحة 1 إلى الصفيحة 2 على بعد $d$ منها: يتناقص $V$ خطيًّا عبر الفجوة ويكون $V_1 - V_2 = Ed$ .

برهان. كامل $E_r = -\dd V/\dd r$ بمجالات القضية 26.12، من اللانهاية نحو الداخل في الكرة (والاتصال عند $R$ يعيّن ثابت الداخل)، ومن $r_0$ في السلك، وعبر الفجوة في المكثف. ∎

الكمون (بالخط المتصل) والمجال (بالمتقطع) لكرة مشحونة بانتظام. فالكمون متصل وميله متصل؛ وهو قطع مكافئ في الداخل، حيث يكون المجال خطيًّا، وبالمقدار 1/r في الخارج. ويقع أعظميه عند المركز، حيث ينعدم المجال — فأعظمي V نقطة مجال معدوم، لا العكس. — الكمون (بالخط المتصل) والمجال (بالمتقطع) لكرة مشحونة بانتظام. فالكمون متصل وميله متصل؛ وهو قطع مكافئ في الداخل، حيث يكون المجال خطيًّا، وبالمقدار $1/r$ في الخارج. ويقع أعظميه عند المركز، حيث ينعدم المجال — فأعظمي $V$ نقطة مجال معدوم، لا العكس.

مثال 27.5 (الإلكترون-فولط من جديد)

إلكترون يعبر فجوة قدرها $100\,\mathrm{V}$ يكسب $eU = 100\,\mathrm{eV} = 1.6 \times 10^{-17}\,\mathrm{J}$ ، مهما يكن شكل المجال بين المسريين: فالكمون يجعل المسار بلا أهمية (التعريف 17.3). وشحنة $1\,\text{µ}\mathrm{C}$ على بعد $1\,\mathrm{m}$ من أخرى لها $V = 9\,\mathrm{kV}$ ويخزّن الزوج $9\,\mathrm{mJ}$ ؛ والكمون في مركز نواة ذهب $24\,\mathrm{MV}$ (التمرين 27.6).

27.2 ثنائي القطب الكهربائي

تعريف 27.6 (ثنائي القطب الكهربائي)

شحنتان متعاكستان $-q$ عند $N$ و $+q$ عند $P$ ، تفترقان بالمسافة $a = NP$ ، تؤلفان ثنائي قطب كهربائيًّا عزمه $\vect p = q\,\vect{NP}$ (بوحدة $\mathrm{C}\,\mathrm{m}$ )، متجهًا من $-$ إلى $+$ . وتقريب ثنائي القطب هو دراسة مجاله على مسافات $r \gg a$ . وكل جزيء لا ينطبق فيه مركز الشحنة الموجبة على مركز السالبة (كالماء، $p = 6.2 \times 10^{-30}\,\mathrm{C}\,\mathrm{m}$ ) ثنائي قطب؛ والذرة المتعادلة في مجال تصير كذلك (وهو ثنائي قطب مستحث).

قضية 27.7 (مجال ثنائي القطب)

عند $M$ مع $OM = r \gg a$ (حيث $O$ منتصف $NP$ ) و $\theta$ الزاوية بين $\vect p$ و $\vect{OM}$ ، يكون

V(M) = \frac{p\cos\theta}{4\pi\varepsilon_0 r^2}, \qquad E_r = \frac{2p\cos\theta}{4\pi\varepsilon_0r^3}, \qquad E_\theta = \frac{p\sin\theta}{4\pi\varepsilon_0r^3} .

ويتناقص مجال ثنائي القطب بنسبة $1/r^3$ ، أسرع من $1/r^2$ للشحنة: فمن بعيد تكاد الشحنتان تتلاشيان، ولا يبقى إلا تباعدهما.

برهان. $V = \dfrac{q}{4\pi\varepsilon_0}\Bigl(\dfrac1{PM} - \dfrac1{NM}\Bigr)$ مع $PM \approx r - \tfrac a2\cos\theta$ و $NM \approx r + \tfrac a2\cos\theta$ (بإسقاط $\pm\tfrac a2$ على $\vect{OM}$ )؛ وإلى المرتبة الأولى في $a/r$ يكون $1/PM - 1/NM \approx a\cos\theta/r^2$ . ثم $E_r = -\partial V/\partial r$ و $E_\theta = -(1/r)\,\partial V/\partial\theta$ . ∎

على اليمين: هندسة تقريب ثنائي القطب — فالنقطة M منظورًا إليها من المركز O على البعد r وبالزاوية عن p، مع مركّبتَي المجال القطرية والمعامدة. وعلى اليسار: خطوط المجال (بالأزرق، r 2) والأسطح المتساوية الكمون (بالبرتقالي، r √| |) لثنائي قطب متجه إلى اليمين؛ والمستوي المارّ بالنقطة O والعمودي على p هو السطح المتساوي الكمون V = 0. — على اليمين: هندسة تقريب ثنائي القطب — فالنقطة $M$ منظورًا إليها من المركز $O$ على البعد $r$ وبالزاوية $\theta$ عن $\vect p$ ، مع مركّبتَي المجال القطرية والمعامدة. وعلى اليسار: خطوط المجال (بالأزرق، $r \propto \sin^2\theta$ ) والأسطح المتساوية الكمون (بالبرتقالي، $r \propto \sqrt{|\cos\theta|}$ ) لثنائي قطب متجه إلى اليمين؛ والمستوي المارّ بالنقطة $O$ والعمودي على $\vect p$ هو السطح المتساوي الكمون $V = 0$ .

قضية 27.8 (ثنائي قطب في مجال خارجي)

ثنائي قطب $\vect p$ في مجال منتظم $\vect E$ لا يحسّ بأيّ قوة صافية، بل بعزم مزدوج $\vect\Gamma = \vect p\wedge\vect E$ ينحو إلى مطابقته مع المجال، وتكون له طاقة الوضع $E_p = -\vect p\cdot\vect E$ ، وهي أصغرية عند المطابقة. وفي مجال غير منتظم يُجذب فوق ذلك نحو مناطق المجال القوي (وفي بعد واحد $F_x = p\,\dd E/\dd x$ من أجل ثنائي قطب مطابق).

برهان. القوتان $\pm q\vect E$ تتلاشيان؛ وعزمهما بالنسبة إلى $O$ هو $\vect{OP}\wedge q\vect E + \vect{ON}\wedge(-q\vect E) = q\vect{NP}\wedge\vect E$ . وأما الطاقة: $qV(P) - qV(N) = -q\,\vect{NP}\cdot\vect E$ في مجال منتظم (لأن $V(P) - V(N) = -\vect E\cdot\vect{NP}$ ). وفي مجال غير منتظم، مع مطابقة على امتداد $x$ : $F_x = qE(x + a) - qE(x) \approx qa\,\dd E/\dd x$ . ∎

مثال 27.9 (لماذا يجذب المشط الورق)

يُحدث مشط مشحون مجالًا يتناقص مع البعد؛ وقصاصة من الورق، وهي متعادلة، تستقطبها (فتصير ثنائي قطب مستحثًّا على امتداد $\vect E$ )، وتجذبها القوة $p\,\dd E/\dd x$ على ثنائي قطب مطابق نحو منطقة المجال القوي: أي نحو المشط. ولا أهمية لإشارة شحنة المشط؛ والآلية نفسها تُبقي المنطاد على الجدار وتجعل خيط الماء ينحرف. وفي جزيئات الماء يكون $pE$ في مجال $1\,\mathrm{MV}/\mathrm{m}$ مساويًا $6 \times 10^{-24}\,\mathrm{J}$ ، أي أصغر $600$ مرة من $k_BT$ عند درجة حرارة الغرفة: فلا تنجو من التقلّب الحراري إلا مطابقة صافية طفيفة (التمرين 27.7).

27.3 النواقل في التوازن الكهرسكوني

مبرهنة 27.10 (خواصّ ناقل في التوازن)

في ناقل تكون فيه الشحن الحرة ساكنة:

$\vect E = \vect 0$ في الداخل، ويكون الناقل حجمًا متساوي الكمون: فيكون $V$ منتظمًا فيه وعلى سطحه.
تستقر أيّ شحنة صافية على السطح، بكثافة سطحية $\sigma$ ؛ ويكون الداخل متعادلًا.
وفي الخارج مباشرةً يكون المجال ناظميًّا على السطح ومساويًا $\vect E = \dfrac{\sigma}{\varepsilon_0}\,\vect n$ (وهي مبرهنة كولوم).
وفي تجويف داخل ناقل، خالٍ من الشحنة، يكون $\vect E = \vect 0$ و $V$ منتظمًا مهما يجرِ في الخارج (وهو قفص فاراداي).

برهان. (1) كان مجالٌ ليحرّك الشحن الحرة: فيقتضي التوازن $\vect E = \vect 0$ ، ومنه $\dd V = 0$ بين أيّ نقطتين داخليتين؛ والسطح هو النهاية. (2) قانون غاوس على أيّ سطح مغلق يُرسم داخل الناقل: تدفق معدوم، فشحنة محصورة معدومة. (3) والسطح متساوي الكمون، فيكون $\vect E$ في الخارج مباشرةً ناظميًّا عليه؛ ولعلبة مسطّحة تعتلي السطح تدفقٌ $E\,\dd S$ عبر وجهها الخارجي وحده (إذ $\vect E = \vect 0$ في الداخل) وشحنةٌ $\sigma\,\dd S$ . (4) وجدار التجويف متساوي الكمون؛ وكان خط مجال داخل التجويف ليضطر إلى الذهاب من الجدار إلى الجدار عبر هبوط في الكمون — وهو مستحيل على سطح متساوي الكمون؛ فلا خط ولا مجال (مسلَّم به بهذه الصيغة). ∎

مثال 27.11 (أثر الأطراف ومانعة الصواعق)

كرتان نصفا قطريهما $R_1 > R_2$ ، متباعدتان وموصولتان بسلك، لهما $V = Q_i/4\pi\varepsilon_0R_i$ نفسه، ومنه $\sigma_i = Q_i/4\pi R_i^2 = \varepsilon_0V/R_i$ : فكلما صغر نصف قطر الانحناء كبرت الشحنة السطحية والمجال $\sigma/\varepsilon_0 = V/R$ . وعند طرف مدبَّب يتجاوز المجال قيمة انهيار الهواء ( $3\,\mathrm{MV}/\mathrm{m}$ ) قبل أن يتجاوزها في أيّ موضع آخر بكثير: فيتأيّن الهواء وتتسرب الشحنة بهدوء. وتعمل مانعة الصواعق بما يسمّى أثر الأطراف — فهي لا تجذب الضربة بقدر ما تعرض عليها مسلكًا، وتنزف الشحنة تحت سحابة قبل أن تتراكم.

على اليمين: ناقل مجوَّف في مجال خارجي — فالشحن المستحثة على سطحه تلاشي المجال في الداخل وفي التجويف (وهو قفص فاراداي). وعلى اليسار: أثر الأطراف — فعلى ناقل واحد متساوي الكمون تكون الشحنة السطحية والمجال الخارجي أكبر ما يكونان حيث يكون الانحناء أشدّ حدّة.

27.4 المكثفات

تعريف 27.12 (السعة)

ناقل معزول عند الكمون $V$ يحمل شحنة $Q$ تتناسب مع $V$ : $Q = CV$ ، حيث $C$ هي سعته (بالفاراد، $\mathrm{F}$ )؛ وللكرة $C = 4\pi\varepsilon_0R$ . والمكثف زوج من النواقل (هما صفيحتاه) يحملان شحنتين متعاكستين $\pm Q$ ويتقابلان بحيث يكون المجال محصورًا بينهما؛ وسعته هي $C = Q/U$ حيث $U = V_1 - V_2$ التوتر بين الصفيحتين. وقد استُعمل رمزه وقانون الدارة $i = C\,\dd u/\dd t$ في الفصل 7.

قضية 27.13 (ثلاثة مكثفات)

المستوي: صفيحتان مساحة كلٍّ منهما $S$ وتفترقان بالمسافة $d \ll \sqrt S$ : $C = \dfrac{\varepsilon_0S}{d}$ .
الكروي: كرتان متحدتا المركز نصفا قطريهما $R_1 < R_2$ : $C = \dfrac{4\pi\varepsilon_0R_1R_2}{R_2 - R_1}$ .
الأسطواني (المحوري)، نصفا القطرين $a < b$ والطول $L \gg b$ : $C = \dfrac{2\pi\varepsilon_0L}{\ln(b/a)}$ .

وملء الفجوة بعازل سماحيته النسبية $\varepsilon_r$ يضرب $C$ بالعامل $\varepsilon_r$ (إذ تستقطب جزيئات العازل فتُضعف المجال، و $\varepsilon_r = 2$ إلى $10$ في اللدائن والزجاج الشائعة، و $80$ في الماء).

برهان. في كل حالة يكون المجال بين الصفيحتين مجالَ القضية 26.12: فيكون $E = \sigma/\varepsilon_0 = Q/\varepsilon_0S$ و $U = Ed$ ؛ و $E = Q/4\pi\varepsilon_0r^2$ و $U = \int_{R_1}^{R_2}E\,\dd r = \dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0} \Bigl(\dfrac1{R_1} - \dfrac1{R_2}\Bigr)$ ؛ و $E = Q/2\pi\varepsilon_0Lr$ و $U = \dfrac{Q}{2\pi\varepsilon_0L}\ln\dfrac ba$ . ثم اقسم $Q$ على $U$ . أما عامل العازل فمسلَّم به. ∎

مبرهنة 27.14 (طاقة مكثف)

مكثف مشحون إلى $Q$ تحت التوتر $U$ يخزّن

W = \tfrac12 CU^2 = \tfrac12 QU = \frac{Q^2}{2C} ,

وهو الشغل اللازم لنقل الشحنة من صفيحة إلى الأخرى في مواجهة التوتر المتزايد. وفي مكثف مستوٍ يكون $W = \tfrac12\varepsilon_0E^2 \times Sd$ : فالطاقة في المجال، بكثافة $\tfrac12\varepsilon_0E^2$ لواحدة الحجم — وهي عبارة تصحّ من أجل كل مجال كهرسكوني.

برهان. نقل $\dd q$ من الصفيحة السالبة إلى الموجبة حين تكون الشحنة $q$ يكلّف $\dd W = (q/C)\,\dd q$ ؛ فكامل من $0$ إلى $Q$ . ثم عوّض $C = \varepsilon_0S/d$ و $U = Ed$ ؛ أما الكثافة العامة فمسلَّم بها. ∎

مثال 27.15 (ثلاثة مكثفات وطاقاتها)

زوج من الرقائق مساحته متر مربع ويفترقان $1\,\mathrm{mm}$ : $C = 8.85 \times 10^{-12}/ 10^{-3} = 8.9\,\mathrm{nF}$ — فالفاراد وحدة هائلة. ومكثف مزيل رجفان سعته $150\,\text{µ}\mathrm{F}$ عند $2\,\mathrm{kV}$ : $300\,\mathrm{J}$ ، تُقدَّم في ميلي ثوانٍ. ومكثف فائق سعته $3000\,\mathrm{F}$ عند $2.7\,\mathrm{V}$ : $11\,\mathrm{kJ}$ في علبة بحجم قارورة مشروب — وتأتي سعته من فجوة جزيئية $d$ ومن مساحة $S$ مسامية هائلة. وكثافة طاقة مجال عند انهيار الهواء، $\tfrac12\varepsilon_0(3 \times 10^6)^2 = 40\,\mathrm{J}/\mathrm{m}^{3}$ ، هي سبب أن المكثفات تخزّن قليلًا جدًّا بالقياس إلى البطاريات.

مكثفات مستوية وكروية ومملوءة بعازل. والمجال (بالبرتقالي) محصور بين الصفيحتين إلا عند انتشاره على الحواف، وهو ما يُهمَل حين يكون d صغيرًا؛ وتعيش الطاقة 1/2 _0E2 لواحدة الحجم في ذلك المجال. — مكثفات مستوية وكروية ومملوءة بعازل. والمجال (بالبرتقالي) محصور بين الصفيحتين إلا عند انتشاره على الحواف، وهو ما يُهمَل حين يكون $d$ صغيرًا؛ وتعيش الطاقة $\tfrac12\varepsilon_0E^2$ لواحدة الحجم في ذلك المجال.

ملاحظة 27.16 (ربط المكثفات)

على التفرع (بالتوتر $U$ نفسه) تتجمع الشحن: $C = C_1 + C_2$ ؛ وعلى التسلسل (بالشحنة $Q$ نفسها) تتجمع التوترات: $1/C = 1/C_1 + 1/C_2$ — وهو عكس المقاومات، لأن $C$ تقيس سهولة (شحنة لكل فولط) حيث تقيس $R$ صعوبة. وتتبع هاتان القاعدتان من $Q = CU$ ومن قوانين الدارات في الفصل 6.

27.5 تمارين

تمرين 27.1 ★

الكمون على بعد $1.0\,\mathrm{m}$ من شحنة $1.0\,\text{µ}\mathrm{C}$ ؛ والطاقة اللازمة لجلب شحنة ثانية $1.0\,\text{µ}\mathrm{C}$ من اللانهاية إلى تلك النقطة؛ والسرعة التي كانت لتنطلق بها لو أُطلقت، إن كانت كتلتها $1\,\mathrm{g}$ .

حل

حل التمرين 27.1.

$V = 8.99 \times 10^9 \times 10^{-6}/1 = 9.0\,\mathrm{kV}$ ؛ و $W = qV = 9.0\,\mathrm{mJ}$ ؛ وإذا أُطلقت: $\tfrac12mv^2 = 9\,\mathrm{mJ}$ ، ومنه $v = \sqrt{18} = 4.2\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .

تمرين 27.2 ★

صفيحتان تفترقان $1.0\,\mathrm{mm}$ تحت $100\,\mathrm{V}$ : أوجد المجال؛ والطاقة الحركية والسرعة اللتين يكسبهما إلكترون يعبر الفجوة من السكون؛ وزمن الطيران.

حل

حل التمرين 27.2.

$E = 100/10^{-3} = 1 \times 10^{5}\,\mathrm{V}/\mathrm{m}$ ؛ و $E_k = eU = 100\,\mathrm{eV} = 1.6 \times 10^{-17}\,\mathrm{J}$ ، ومنه $v = \sqrt{2E_k/m_e} = 5.9 \times 10^{6}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ؛ وبتسارع منتظم يكون $t = 2d/v = 3.4 \times 10^{-10}\,\mathrm{s}$ .

تمرين 27.3 ★

على خريطة أسطح متساوية الكمون مرسومة كل $10\,\mathrm{V}$ ، تفترق الخطوط $2\,\mathrm{mm}$ قرب $A$ و $8\,\mathrm{mm}$ قرب $B$ . أوجد المجال عند $A$ وعند $B$ ؛ وإلى أيّ جهة يتجه المجال بالنسبة إلى الكمونات المتزايدة؛ وإلى أيّ جهة يتسارع إلكترون؟

حل

حل التمرين 27.3.

$E_A = 10/0.002 = 5\,\mathrm{kV}/\mathrm{m}$ و $E_B = 10/0.008 = 1.25\,\mathrm{kV}/\mathrm{m}$ . ويتجه المجال نحو الكمون المتناقص؛ ويتسارع إلكترون ( $q < 0$ ) في الجهة الأخرى، نحو $V$ المتزايد.

تمرين 27.4 ★

كرة فان دي غراف نصف قطرها $15\,\mathrm{cm}$ تُشحن إلى $200\,\mathrm{kV}$ . أوجد السعة والشحنة والمجال عند سطحها. وأكبر كمون قبل أن ينهار الهواء من حولها ( $3\,\mathrm{MV}/\mathrm{m}$ ).

حل

حل التمرين 27.4.

$C = 4\pi\varepsilon_0R = 1.11 \times 10^{-10} \times 0.15 = 17\,\mathrm{pF}$ ؛ و $Q = CV = 3.3\,\text{µ}\mathrm{C}$ ؛ و $E = V/R = 2 \times 10^5/0.15 = 1.3\,\mathrm{MV}/\mathrm{m}$ . ويقع الانهيار عند $V = E_{\max}R = 3 \times 10^6 \times 0.15 = 450\,\mathrm{kV}$ — ولذا تستعمل الآلات الكبيرة كرات كبيرة.

تمرين 27.5 ★★

الكمون على محور حلقة نصف قطرها $R$ وشحنتها $Q$ ؛ ثم استعد المجال المحوري بالاشتقاق. والسؤال نفسه من أجل القرص المشحون بانتظام (باستعمال التمرين 26.5): $V(z) = \dfrac{\sigma}{2\varepsilon_0} \bigl(\sqrt{z^2 + R^2} - z\bigr)$ .

حل

حل التمرين 27.5.

كل عنصر من الحلقة على البعد $\sqrt{R^2 + z^2}$ : ومنه $V = Q/4\pi\varepsilon_0\sqrt{R^2 + z^2}$ و $E_z = -\dd V/\dd z = Qz/4\pi\varepsilon_0(R^2 + z^2)^{3/2}$ . وفي القرص: $\dd q = 2\pi\sigma a\,\dd a$ على البعد $\sqrt{a^2 + z^2}$ ، ومنه $V = \dfrac{\sigma}{2\varepsilon_0}\displaystyle\int_0^R\dfrac{a\,\dd a}{\sqrt{a^2 + z^2}} = \dfrac{\sigma}{2\varepsilon_0}\bigl(\sqrt{z^2 + R^2} - z\bigr)$ ، ويكون $-\dd V/\dd z = \dfrac{\sigma}{2\varepsilon_0}\Bigl(1 - \dfrac{z}{\sqrt{z^2 + R^2}}\Bigr)$ .

تمرين 27.6 ★★

اشتقّ الكمون داخل كرة مشحونة بانتظام من مجالها. وأوجد الكمون في مركز نواة ذهب ( $Z = 79$ و $R = 7.0\,\mathrm{fm}$ )؛ والطاقة التي كان بروتون ليحتاج إليها ليبلغ المركز من بعيد، بوحدة $\mathrm{MeV}$ ؛ وعلّق على جسيمات ألفا ذات $5\,\mathrm{MeV}$ عند رذرفورد.

حل

حل التمرين 27.6.

$V(r) = V(R) + \displaystyle\int_r^R\dfrac{Qr'\,\dd r'}{4\pi\varepsilon_0R^3} = \dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0R} + \dfrac{Q(R^2 - r^2)}{8\pi\varepsilon_0R^3} = \dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0} \dfrac{3R^2 - r^2}{2R^3}$ . وفي الذهب: $V(0) = 1.5 \times 8.99 \times 10^9 \times 1.26 \times 10^{-17}/7 \times 10^{-15} = 24\,\mathrm{MV}$ : فيحتاج بروتون إلى $24\,\mathrm{MeV}$ ، وجسيم ألفا ( $2e$ ) إلى $48\,\mathrm{MeV}$ ليبلغ المركز وإلى $32\,\mathrm{MeV}$ ليلمس السطح. وترتدّ جسيمات ألفا ذات $5\,\mathrm{MeV}$ عند رذرفورد عند $r$ حيث $2eV = 5\,\mathrm{MeV}$ : أي $V = 2.5\,\mathrm{MV}$ و $r = 45\,\mathrm{fm}$ — وهو خارج النواة بكثير، ولهذا نجح تحليله بالشحنة النقطية.

تمرين 27.7 ★★

جزيء ماء، $p = 6.2 \times 10^{-30}\,\mathrm{C}\,\mathrm{m}$ . أوجد المجال الذي يُحدثه على $1.0\,\mathrm{nm}$ على امتداد محوره وعموديًّا عليه؛ والعزم المزدوج وفرق الطاقة بين الوضعين المطابق والمعاكس في $E = 1.0\,\mathrm{MV}/\mathrm{m}$ ؛ وقارن بالمقدار $k_BT$ عند $300\,\mathrm{K}$ . ثم مجال أيون صوديوم عند $0.3\,\mathrm{nm}$ وطاقة ثنائي قطب الماء المطابق فيه (وهي الإماهة).

حل

حل التمرين 27.7.

على المحور: $2p/4\pi\varepsilon_0r^3 = 2 \times 8.99 \times 10^9 \times 6.2 \times 10^{-30}/10^{-27} = 1.1 \times 10^{8}\,\mathrm{V}/\mathrm{m}$ ؛ وعموديًّا عليه النصف: $5.6 \times 10^{7}\,\mathrm{V}/\mathrm{m}$ . والعزم المزدوج $pE = 6.2 \times 10^{-24}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}$ ؛ وفرق الطاقة $2pE = 1.2 \times 10^{-23}\,\mathrm{J}$ مقابل $k_BT = 4.1 \times 10^{-21}\,\mathrm{J}$ : أي أصغر $330$ مرة — فلا مطابقة صافية إلا بنسبة $0.1\%$ . وأيون الصوديوم على $0.3\,\mathrm{nm}$ : $E = e/4\pi\varepsilon_0r^2 = 1.6 \times 10^{10}\,\mathrm{V}/\mathrm{m}$ و $-pE = -1.0 \times 10^{-19}\,\mathrm{J} = -0.6\,\mathrm{eV}$ ، أي $24\,k_BT$ : فتتشبث جزيئات الماء بالأيون — وهي الإماهة.

تمرين 27.8 ★★

كرة ناقلة نصف قطرها $1.0\,\mathrm{cm}$ في الهواء: أوجد أكبر شحنة وأكبر كمون قبل الانهيار. وكرتان ناقلتان، $R_1 = 10\,\mathrm{cm}$ و $R_2 = 1.0\,\mathrm{mm}$ ، موصولتان بسلك رفيع ومرفوعتان إلى $20\,\mathrm{kV}$ : أوجد المجال السطحي على كلٍّ منهما؛ وأيّهما يفرّغ في الهواء؟

حل

حل التمرين 27.8.

$Q = 4\pi\varepsilon_0R^2E = 10^{-4} \times 3 \times 10^6/8.99 \times 10^9 = 33\,\mathrm{nC}$ و $V = ER = 30\,\mathrm{kV}$ . وفي الكرتين الموصولتين: $E_1 = V/R_1 = 0.2\,\mathrm{MV}/\mathrm{m}$ و $E_2 = V/R_2 = 20\,\mathrm{MV}/\mathrm{m} > 3\,\mathrm{MV}/\mathrm{m}$ : فتؤيّن الكرة الصغيرة الهواء وتنزف الشحنة — وهو أثر الأطراف.

تمرين 27.9 ★★

السعات: رقيقتان مساحة كلٍّ منهما $1.0\,\mathrm{m}^{2}$ تفترقان $10\,\text{µ}\mathrm{m}$ مع شريحة بوليمرية $\varepsilon_r = 2.2$ (وهو مكثف شريحي)؛ والرقيقتان نفسهما ملفوفتان — فهل يغيّر اللفّ $C$ ؟ ثم الطاقة عند $400\,\mathrm{V}$ . ومكثف $150\,\text{µ}\mathrm{F}$ عند $2.0\,\mathrm{kV}$ (مزيل رجفان): أوجد الشحنة والطاقة ومتوسط الاستطاعة إن قُدِّمت في $5\,\mathrm{ms}$ .

حل

حل التمرين 27.9.

$C = \varepsilon_r\varepsilon_0S/d = 2.2 \times 8.85 \times 10^{-12}/10^{-5} = 2.0\,\text{µ}\mathrm{F}$ ؛ واللفّ يغيّر الشكل لا المساحة المتقابلة: فتبقى $C$ هي هي (ومع شريحة ثانية بحيث تقابل كل رقيقة الأخرى من الوجهين، تتضاعف). و $W = \tfrac12 \times 2 \times 10^{-6} \times 400^2 = 0.16\,\mathrm{J}$ . وفي مزيل الرجفان: $Q = 150 \times 10^{-6} \times 2000 = 0.30\,\mathrm{C}$ و $W = \tfrac12CU^2 = 300\,\mathrm{J}$ و $P = 300/0.005 = 60\,\mathrm{kW}$ .

تمرين 27.10 ★★★

المكثفان الكروي والأسطواني. (أ) اشتقّ $C$ من أجل كرتين متحدتَي المركز وتحقّق من أنه، حين $R_2 - R_1 = d \ll R_1$ ، يؤول إلى صيغة المستوي، وحين $R_2 \to \infty$ إلى الكرة المعزولة. (ب) كبل محوري، $a = 0.5\,\mathrm{mm}$ و $b = 2.5\,\mathrm{mm}$ ، بالبولي إيثيلين $\varepsilon_r = 2.3$ : أوجد السعة للمتر (وقارنها بالقيمة $100\,\mathrm{pF}/\mathrm{m}$ في الكبلات القياسية). (ج) والمجال عند الناقل الداخلي تحت $1\,\mathrm{kV}$ ؛ أهو آمن؟

حل

حل التمرين 27.10.

(أ) $E = Q/4\pi\varepsilon_0r^2$ و $U = \dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0}\Bigl(\dfrac1{R_1} - \dfrac1{R_2}\Bigr)$ و $C = 4\pi\varepsilon_0R_1R_2/(R_2 - R_1)$ ؛ ومع $R_2 - R_1 = d \ll R_1$ يكون $R_1R_2 \approx R^2$ و $C \approx 4\pi R^2\varepsilon_0/d = \varepsilon_0S/d$ ؛ ومع $R_2 \to \infty$ يكون $C \to 4\pi\varepsilon_0R_1$ . (ب) $C/L = 2\pi\varepsilon_r\varepsilon_0/\ln(b/a) = 2\pi \times 2.3 \times 8.85 \times 10^{-12}/\ln5 = 79\,\mathrm{pF}/\mathrm{m}$ ، وهي الرتبة الصحيحة. (ج) $E(a) = U/[a\ln(b/a)] = 1000/(5 \times 10^{-4} \times 1.61) = 1.2\,\mathrm{MV}/\mathrm{m}$ : أي دون $20\,\mathrm{MV}/\mathrm{m}$ للبولي إيثيلين، فهو آمن؛ أما في الهواء فكان على الحدّ.

تمرين 27.11 ★★★

الطاقة في المجال. (أ) أوجد طاقة كرة ناقلة مشحونة ( $Q$ و $R$ ) من $Q^2/2C$ . (ب) واجعلها مساوية طاقة سكون الإلكترون $m_ec^2 = 0.511\,\mathrm{MeV}$ وحُلّ لإيجاد $R$ : وهو “نصف القطر الكلاسيكي للإلكترون” (إلى عامل). (ج) ومكثف مستوٍ معزول مشحون إلى $Q$ تُباعَد صفيحتاه من $d$ إلى $2d$ : أوجد تغيّر الطاقة المخزونة، و القوة بين الصفيحتين المستنتجة منه؛ وتحقّق مقابل التمرين 26.8. (د) والسؤال نفسه مع إبقاء المكثف عند $U$ ثابت ببطارية: أوجد تغيّر الطاقة، وأين يذهب الفرق.

حل

حل التمرين 27.11.

(أ) $W = Q^2/2C = Q^2/8\pi\varepsilon_0R$ . (ب) و $R = e^2/8\pi\varepsilon_0m_ec^2 = 2.31 \times 10^{-28}/(2 \times 8.19 \times 10^{-14}) = 1.4 \times 10^{-15}\,\mathrm{m}$ (وأما “نصف القطر الكلاسيكي” المعتاد $e^2/4\pi\varepsilon_0m_ec^2 = 2.8\,\mathrm{fm}$ فيسقط العامل $\tfrac12$ ). (ج) و $W = Q^2/2C = Q^2d/2\varepsilon_0S$ يتضاعف: ومنه $\Delta W = Q^2d/2\varepsilon_0S = F\,d$ مع $F = Q^2/2\varepsilon_0S = \sigma^2S/2\varepsilon_0$ ، كما وُجد مباشرةً. (د) وعند $U$ ثابت يكون $W = \varepsilon_0SU^2/2d$ فينتصف: $\Delta W = -W/2$ ؛ ويؤدي الساحب مع ذلك الشغل $W/2$ (بمكاملة $F = \varepsilon_0SU^2/2x^2$ من $d$ إلى $2d$ )؛ والنصفان معًا، أي $W$ كله، يعودان إلى البطارية حين تعود إليها الشحنة $CU/2$ عند التوتر $U$ .

تمرين 27.12 ★★★

طاقة كولوم لنواة. (أ) ابنِ كرة مشحونة بانتظام ( $Q$ و $R$ ) قشرةً قشرةً وبيّن أن طاقتها الكهرسكونية هي $W = \dfrac{3Q^2}{20\pi\varepsilon_0R}$ . (ب) واليورانيوم-238: $Z = 92$ و $R = 7.4\,\mathrm{fm}$ : أوجد $W$ بوحدة $\mathrm{MeV}$ . (ج) وشُقّه إلى شظيتين متساويتين ( $Z/2$ و $A/2$ ونصف القطر $R/2^{1/3}$ ) متباعدتين: أوجد طاقة كولوم المحرَّرة. (د) والطاقة المقيسة للانشطار نحو $200\,\mathrm{MeV}$ : فما الذي يعارض مكسب كولوم؟

حل

حل التمرين 27.12.

(أ) الكرة التي نصف قطرها $r$ تحمل $q = Qr^3/R^3$ عند كمون سطحي $q/4\pi\varepsilon_0r$ ؛ وإضافة القشرة $\dd q = 3Qr^2\,\dd r/R^3$ تكلّف $\dd W = q\,\dd q/4\pi\varepsilon_0r = 3Q^2r^4\,\dd r/4\pi\varepsilon_0R^6$ ؛ وبالمكاملة: $W = 3Q^2/20\pi\varepsilon_0R$ . (ب) و $Q = 92e = 1.47 \times 10^{-17}\,\mathrm{C}$ : ومنه $W = 3 \times 2.17 \times 10^{-34}/(20\pi \times 8.85 \times 10^{-12} \times 7.4 \times 10^{-15}) = 1.6 \times 10^{-10}\,\mathrm{J} = 990\,\mathrm{MeV}$ . (ج) ولكل شظية: الشحنة $Q/2$ ونصف القطر $R/2^{1/3}$ ، والطاقة $\tfrac14 2^{1/3}W$ ؛ ولشظيتين: $2^{1/3}W/2 = 0.63W$ : فالمحرَّر $0.37 \times 990 = 370\,\mathrm{MeV}$ . (د) والذي يعارضه هو “التوتر السطحي” النووي: فللشظيتين سطح أكبر من سطح نواة واحدة، وذلك يكلّف نحو $170\,\mathrm{MeV}$ ؛ ويظهر الباقي، وهو قرب $200\,\mathrm{MeV}$ ، في معظمه طاقةً حركية للشظيتين وهما تتطايران تحت تنافرهما المتبادل.

جهاز قطرة الزيت عند ميليكان، نحو 1916 (متحف العلوم والصناعة في شيكاغو): وتحوي الحجرة النحاسية الصفيحتين الأفقيتين اللتين كانت القطرات تُرقَب بينهما.

27.6 مسألة: قطرة زيت ميليكان

مسألة 27.1

مسألة نهاية الأسبوع — وزن شحنة الإلكترون بقطرة زيت: ستوكس، والمكثف المستوي، وجدول من الأعداد تأبى أن تكون إلا مضاعفات لعدد واحد

تُرشّ قطرات زيت بين صفيحتين أفقيتين تفترقان $d = 16\,\mathrm{mm}$ وقطر كلٍّ منهما $20\,\mathrm{cm}$ ، وتُرقَب بمجهر. المعطيات: كثافة الزيت $\rho = 900\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ ، وكثافة الهواء $1.2\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ ، ولزوجة الهواء $\eta = 1.8 \times 10^{-5}\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$ ، و $g = 9.8\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ ، و $\varepsilon_0 = 8.85 \times 10^{-12}\,\mathrm{F}/\mathrm{m}$ . وكرة صغيرة نصف قطرها $r$ تتحرك بالسرعة $v$ في الهواء تحسّ بجرّ ستوكس $6\pi\eta rv$ .

الجزء I — القطرة الساقطة.

القوى المؤثرة في قطرة تسقط بلا توتر مطبَّق؛ وبيّن أنها تبلغ سرعة حدية $v_1 = 2\rho gr^2/9\eta$ (بإهمال دافعة الهواء — وبرّر ذلك).
قطرة تسقط $1.0\,\mathrm{mm}$ في $10\,\mathrm{s}$ : أوجد نصف قطرها وكتلتها.
ثابت الزمن للاقتراب من $v_1$ ؛ والمسافة المقطوعة في أثنائه. وهل تُرى القطرة متسارعة يومًا؟
عدد رينولدز $\rho_{\text{الهواء}}v_1r/\eta$ للحركة: فهل قانون ستوكس مشروع؟
ولماذا يجب أن تكون القطرات بهذا الصغر؟ (قارن الثقل بالقوة الكهربائية على شحنة أولية واحدة في مجال قدره $3 \times 10^{5}\,\mathrm{V}/\mathrm{m}$ .)
تُرى القطرة ترتجف قليلًا حول متوسط سقوطها: فما هذا، ولماذا يحدّ من الدقة؟

الجزء II — المجال. يُطبَّق توتر $U$ ، والصفيحة العليا موجبة.

المجال بين الصفيحتين من أجل $U = 5.0\,\mathrm{kV}$ ؛ ولماذا هو منتظم، وما الأسطح المتساوية الكمون؟
سعة الصفيحتين، والشحنة عليهما عند $5.0\,\mathrm{kV}$ ، و الطاقة المخزونة.
تُبقى قطرة السؤال 2 ساكنة من أجل $U_0 = 1080\,\mathrm{V}$ : أوجد إشارة شحنتها وقيمتها، بالكولوم وبمضاعفات $e$ .
ومع $U = 5.0\,\mathrm{kV}$ تصعد القطرة نفسها بالسرعة $v_2$ : بيّن أن $q = 6\pi\eta r(v_1 + v_2)d/U$ واحسب $v_2$ .
ولماذا يكون توقيت صعود وسقوط خيرًا من تصيّد توتر التوازن؟
طاقة وضع شحنة القطرة بين الصفيحتين عند $5\,\mathrm{kV}$ ، والطاقة التي يبددها الجرّ في صعود قدره $1\,\mathrm{cm}$ .

الجزء III — جدول الشحن. وبتعريض القطرة نفسها لمنبع ضعيف من الأشعة السينية بين القياسات، تتغير شحنتها؛ وتعطي القياسات المتتالية (بوحدة $10^{-19}$ كولوم): $4.80$ و $8.01$ و $6.42$ و $3.19$ و $9.63$ .

بيّن أن الخمسة كلها قريبة من مضاعفات صحيحة لمقدار واحد، وأعطِ الأعداد الصحيحة.
أفضل تقدير للشحنة الأولية من القيم الخمس؛ والارتياب المعياري للمتوسط (الفصل 1).
ولماذا تتغير الشحنة بأعداد صحيحة من $e$ بين القياسات؟
بيّن أنه في هذه الطريقة يكون $q \propto \eta^{3/2}$ : فبكم يزيح خطأ قدره $1\%$ في اللزوجة قيمةَ $e$ ؟ (وكانت قيمة ميليكان الأصلية أدنى بنسبة $0.6\%$ ، لهذا السبب بالذات.)
تحمل الكواركات $\pm e/3$ و $\pm 2e/3$ : فلماذا لم تُظهر قطرة زيت قط ثلث $e$ ؟
ثابت فاراداي، وهو شحنة مول من الإلكترونات، يساوي $F = 96\,485\,\mathrm{C}/\mathrm{mol}$ : استنتج عدد أفوغادرو.
وكان طومسون قد قاس للإلكترون $e/m_e = 1.76 \times 10^{11}\,\mathrm{C}/\mathrm{kg}$ : فاستنتج: استنتج كتلته، وقارنها بذرة هيدروجين ( $1.67 \times 10^{-27}\,\mathrm{kg}$ ).

الجزء IV — الجهاز، بلغة الكمون.

ارسم الأسطح المتساوية الكمون وخطوط المجال بين الصفيحتين، بما في ذلك الانتشار عند الحواف؛ وبرّر إهماله.
قطرة مشحونة موجبةً على ارتفاع $z$ فوق الصفيحة السفلى (وهي عند $0\,\mathrm{V}$ ): أوجد طاقة الوضع بدلالة $z$ ؛ وطاقة الوضع الكلية بما فيها الثقالة؛ والشرط على $U$ من أجل النقطة الساكنة.
قارن طاقة شحنة القطرة (السؤال 12) مع الطاقة المخزونة في المكثف: فهل تضطرب القطرةُ المجالَ؟
ويُعكس التوتر (فتصير الصفيحة السفلى موجبة) مع $U = 5.0\,\mathrm{kV}$ : فماذا تفعل قطرة السؤال 9، وبأيّ سرعة؟
حبة غبار كتلتها $1\,\text{µ}\mathrm{g}$ تحمل $10^4e$ في المجال نفسه: أوجد نسبة القوة الكهربائية إلى الثقل؛ ولماذا لا يمكن رفع مثل هذه الحبات، ولماذا اختار ميليكان رذاذ الزيت.
لخّص: ما الذي قيس (ثلاث مرات)، وما الذي استُنتج، وبأيّ ارتياب، وأيّ ثابتين تبعا ذلك.

حل

حل المسألة 27.1.

1. الثقل $\tfrac43\pi r^3\rho g$ نحو الأسفل، والجرّ $6\pi\eta rv$ نحو الأعلى، والدافعة $\tfrac43\pi r^3\rho_{\text{الهواء}}g$ نحو الأعلى — وهي $1.2/900 = 0.13\%$ من الثقل، فتُهمَل. وعند السرعة الحدية: $\tfrac43\pi r^3\rho g = 6\pi\eta rv_1$ ، ومنه $v_1 = 2\rho gr^2/9\eta$ .

2. $v_1 = 1.0 \times 10^{-4}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ : ومنه $r = \sqrt{9\eta v_1/2\rho g} = \sqrt{9 \times 1.8 \times 10^{-5} \times 10^{-4}/(2 \times 900 \times 9.8)} = 9.6 \times 10^{-7}\,\mathrm{m}$ ، أي ميكرومتر؛ و $m = \tfrac43\pi r^3\rho = 3.3 \times 10^{-15}\,\mathrm{kg}$ .

3. $\tau = m/6\pi\eta r = 3.3 \times 10^{-15}/3.3 \times 10^{-10} = 1 \times 10^{-5}\,\mathrm{s}$ ؛ والمسافة $\sim v_1\tau = 1\,\mathrm{nm}$ . فلا تُرى أبدًا.

4. $\mathrm{Re} = 1.2 \times 10^{-4} \times 9.6 \times 10^{-7}/1.8 \times 10^{-5} = 6 \times 10^{-6} \ll 1$ : فقانون ستوكس يصحّ.

5. $eE = 1.6 \times 10^{-19} \times 3 \times 10^5 = 4.8 \times 10^{-14}\,\mathrm{N}$ مقابل $mg = 3.2 \times 10^{-14}\,\mathrm{N}$ : فهما متقاربان في قطرات ميكرومترية وحدها. وقطرة قطرها $10\,\text{µ}\mathrm{m}$ تزن أكثر بألف مرة؛ وكانت شحنة أولية واحدة لتغيّر سرعتها بنسبة $0.1\%$ ، وهي غير مرئية.

6. إنها الحركة البراونية: فقصف جزيئات الهواء يزعزع القطرة عشوائيًّا؛ فتتشتت التوقيتات، مما يحدّ من الدقة ويضع حدًّا أدنى لحجم القطرة المفيد.

7. $E = U/d = 5000/0.016 = 3.1 \times 10^{5}\,\mathrm{V}/\mathrm{m}$ ؛ والصفيحتان أعرض بكثير من $d$ ، فيعطي تراكب المستويين مجالًا منتظمًا؛ والأسطح المتساوية الكمون مستويات أفقية، $V = Uz/d$ .

8. $C = \varepsilon_0\pi(0.1)^2/0.016 = 17\,\mathrm{pF}$ ؛ و $Q = CU = 87\,\mathrm{nC}$ ؛ و $W = \tfrac12CU^2 = 0.22\,\mathrm{mJ}$ .

9. الصفيحة العليا موجبة: فيتجه $\vect E$ نحو الأسفل؛ وعلى القوة أن تتجه نحو الأعلى، ومنه $q < 0$ . و $|q| = mgd/U_0 = 3.3 \times 10^{-15} \times 9.8 \times 0.016/ 1080 = 4.8 \times 10^{-19}\,\mathrm{C} = 3e$ : ومنه $q = -3e$ .

10. في الصعود بسرعة ثابتة: $|q|E = mg + 6\pi\eta rv_2$ و $mg = 6\pi\eta rv_1$ ، ومنه $|q|E = 6\pi\eta r(v_1 + v_2)$ و $|q| = 6\pi\eta r(v_1 + v_2)d/U$ . و $v_2 = (|q|E - mg)/6\pi\eta r = (1.5 \times 10^{-13} - 3.2 \times 10^{-14})/ 3.3 \times 10^{-10} = 3.6 \times 10^{-4}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ : أي $1\,\mathrm{mm}$ في $2.8\,\mathrm{s}$ .

11. التوازن حكم على انعدام حركة ذرّة سابحة مرتجفة قد تتغير شحنتها في أثناء ذلك؛ أما التوقيتات على مسافة ثابتة فيمكن تكرارها كما نشاء، ويثبت $r$ مرة واحدة إلى الأبد بواسطة $v_1$ ، فتعطي قطرة واحدة عندئذ سلسلة كاملة من الشحن.

12. $|q|U = 3 \times 1.6 \times 10^{-19} \times 5000 = 2.4 \times 10^{-15}\,\mathrm{J}$ (أي $15\,\mathrm{keV}$ ) عبر الفجوة؛ والجرّ على امتداد $1\,\mathrm{cm}$ : $(|q|E - mg) \times 0.01 = 1.2 \times 10^{-15}\,\mathrm{J}$ ، تتحول حرارةً في الهواء.

13. بالقسمة على $1.60$ : $3.00$ ثم $5.01$ ثم $4.01$ ثم $1.99$ ثم $6.02$ — أي الأعداد الصحيحة $3, 5, 4, 2, 6$ .

14. النسب $q/n$ : $1.600, 1.602, 1.605, 1.595, 1.605$ ؛ والمتوسط $1.601$ ، والانحراف المعياري $0.004$ ، وارتياب المتوسط $0.004/\sqrt5 = 0.002$ : ومنه $e = (1.601 \pm 0.002) \times 10^{-19}$ كولوم.

15. تؤيّن الأشعة السينية الهواء؛ فتلتقط القطرة الأيونات واحدًا تلو آخر، ويحمل كلٌّ منها عددًا صحيحًا من $e$ .

16. $r \propto \eta^{1/2}$ انطلاقًا من $v_1$ ، ومنه $m \propto r^3 \propto \eta^{3/2}$ ، و $|q| = mgd/U_0 \propto \eta^{3/2}$ : فخطأ $1\%$ في $\eta$ يعطي $1.5\%$ في $e$ . وكانت $\eta$ عند ميليكان أدنى بنسبة $0.4\%$ ، فكانت $e$ عنده أدنى بنسبة $0.6\%$ .

17. لا تأتي الكواركات وحدها أبدًا: فهي محبوسة داخل الهادرونات، ويحمل كل جسم حرّ شحنة صحيحة.

18. $N_A = F/e = 96485/1.602 \times 10^{-19} = 6.02 \times 10^{23}\,\mathrm{mol}^{-1}$ .

19. $m_e = 1.602 \times 10^{-19}/1.76 \times 10^{11} = 9.1 \times 10^{-31}\,\mathrm{kg}$ : أي أخفّ $1840$ مرة من ذرة الهيدروجين.

20. مستويات أفقية بين الصفيحتين، تنتفخ حول الحافتين؛ وخطوط مجال شاقولية تتفرّع نحو الخارج عند الحواف على عرض من رتبة $d = 1.6\,\mathrm{cm}$ — وهو صغير أمام القطر $20\,\mathrm{cm}$ ، و القطرة تُرقَب في المركز.

21. $E_p = qUz/d + mgz$ ، وهي خطية في $z$ : فلا أصغري؛ وتقتضي قطرة ساكنة انعدام الميل، أي $q = -mgd/U$ ، ويكون التوازن عندئذ لامباليًا — فيدوم أيّ انسياق متبقٍّ، ولهذا يصعب الحكم على التوازن.

22. $2.4 \times 10^{-15}$ مقابل $2.2 \times 10^{-4}$ جول: أي $10^{-11}$ . فالقطرة لا تضطرب المجال.

23. المجال نحو الأعلى، والقوة على القطرة السالبة نحو الأسفل: فتسقط بالسرعة $(mg + |q|E)/6\pi\eta r = (3.2 \times 10^{-14} + 1.5 \times 10^{-13})/3.3 \times 10^{-10} = 5.6 \times 10^{-4}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .

24. $F = 10^4 \times 1.6 \times 10^{-19} \times 3.1 \times 10^5 = 5 \times 10^{-10}\,\mathrm{N}$ مقابل $9.8 \times 10^{-9}\,\mathrm{N}$ : أي $5\%$ من الثقل — فلا يمكن رفعها، ومع $10^4$ شحنة يكون تغيّر شحنة واحدة $e$ غير مرئي. ورذاذ الزيت يعطي قطرات صغيرة وكروية ولا تتبخر.

25. المقيس: $v_1$ و $v_2$ و $U$ (مع معلومية $d$ و $\eta$ و $\rho$ )؛ والمستنتج $r$ ثم $m$ ثم $q$ ، التي وُجدت دائمًا مضاعفًا صحيحًا للمقدار $e = (1.601 \pm 0.002) \times 10^{-19}$ كولوم (بنسبة $0.1\%$ )؛ ومنها $N_A = F/e$ و $m_e = e/(e/m_e)$ .

المصطلحات المعرَّفة في هذا الفصل

عرض كل المصطلحات (393) في المسرد