الفيزياء الجامعية — السنة الأولى · Bachelor Year 1

5انتشار الإشارة: الأمواج المتقدمة والمستقرة

انقر وترَ قيثارة تسمع القاعة كلها نغمة؛ وضع إصبعك برفق على منتصفه تقفز النغمة جوابًا. وقف بين مكبّرَي صوت يعزفان النغمة نفسها، ثم امشِ ببطء، فتعبر مواضع تكاد تسكت كل بضعة ديسيمترات. والضوء الآتي من ثقبين دقيقين يرسم خطوطًا على شاشة. ولا ينتقل في أيّ من ذلك شيء من مكان إلى مكان — لا هواء ولا وتر ولا زجاج يسافر — ومع ذلك ينتشر شيء: وهو الإشارة. ويصف هذا الفصل كيف تتحرك الإشارة، وما الموجة الجيبية، وماذا يحدث حين تلتقي موجتان: أي رياضيات التراكب والتداخل والأمواج المستقرة، وهي ما ستعيد استعماله كل فصول الأمواج اللاحقة — الصوتيات والبصريات والفيزياء الكمومية.

ستة أوتار وستة تواترات أساسية: كل منها موجة مستقرة مثبَّتة عند المشط العلوي والفرس، والأصابع تقصّرها لرفع طبقة الصوت.

5.1 الإشارات

تعريف 5.1 (الإشارة؛ الإشارة الجيبية)

الإشارة مقدار فيزيائي يتغير مع الزمن ويحمل معلومة: كفَرْط الضغط الصوتي عند مِجهار، أو التوتر عند هوائي، أو الانتقال المستعرض لنقطة من وتر. أما الإشارة الجيبية

s(t) = A\cos(\omega t + \varphi)

فلها السعة $A > 0$ والتواتر الزاوي $\omega$ ( $\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ ) والتواتر $f = \omega/2\pi$ والدور $T = 1/f$ والطور الابتدائي $\varphi$ ؛ والمقدار $\omega t + \varphi$ هو طورها في اللحظة $t$ .

ملاحظة 5.2 (الطيف)

كل إشارة دورية دورها $T$ هي مجموع جيوب تواتراتها $f_1 = 1/T$ (وهو الأساسي) ومضاعفاته $nf_1$ (وهي التوافقيات)؛ وقائمة سعاتها هي طيف الإشارة. والناي والكمان يعزفان النغمة نفسها فيشتركان في الأساسي ويختلفان في الطيف — وذلك هو الجرس. أما التفكيك (تفكيك فورييه) فيُذكر ويُستعمل في الفصل 9؛ وهو مهمّ هنا لأن الجيوب تنتشر انتشارًا بسيطًا، وما يصحّ لكل جيب يصحّ، بالجمع، لأيّ إشارة.

قضية 5.3 (الضربات)

مجموع جيبين متساويي السعة ومتقاربي التواتر $f_1 > f_2$ ،

A\cos(2\pi f_1 t) + A\cos(2\pi f_2 t) = 2A\cos\!\big(2\pi\tfrac{f_1 - f_2}{2}\,t\big)\cos\!\big(2\pi\tfrac{f_1 + f_2}{2}\,t\big),

هو جيب عند التواتر المتوسط سعته $\abs{2A\cos(\pi(f_1 - f_2)t)}$ تنتفخ وتخبو عند تواتر الضربات $f_1 - f_2$ .

برهان. $\cos a + \cos b = 2\cos\frac{a - b}{2}\cos\frac{a + b}{2}$ . والعامل البطيء ينعدم مرتين في كل دور $2/(f_1 - f_2)$ خاصّ به، فيكون للغلاف $\abs{\cdot}$ التواتر $f_1 - f_2$ . ∎

ضربات بين 22\, Hz و20\, Hz: أي تذبذب عند 21\, Hz يضرب غلافه (المتقطع) مرتين في الثانية — وهو فرق التواترين. — ضربات بين $22\,\mathrm{Hz}$ و $20\,\mathrm{Hz}$ : أي تذبذب عند $21\,\mathrm{Hz}$ يضرب غلافه (المتقطع) مرتين في الثانية — وهو فرق التواترين.

مثال 5.4 (الضبط بالأذن)

رنّانة عند $440\,\mathrm{Hz}$ ووتر عند $443\,\mathrm{Hz}$ إذا صُوِّتا معًا خفقا ثلاث مرات في الثانية؛ وشدّ الوتر يبطئ الخفق، فإذا توقف كان الوتر مضبوطًا. وتسمع الأذن التواتر المتوسط ( $441.5\,\mathrm{Hz}$ ) طبقةً للصوت، وتسمع الغلاف عند $3\,\mathrm{Hz}$ تأرجحًا في العلوّ: فالضربات تجعل فرق تواتر دون واحد بالمئة مسموعًا.

5.2 الأمواج المتقدمة

تعريف 5.5 (الموجة المتقدمة وسرعة الانتشار)

الإشارة $s(x, t)$ المعرَّفة على امتداد محور هي موجة متقدمة تتحرك في الاتجاه $+x$ عند سرعة الانتشار $c$ إذا كان

s(x, t) = f\!\left(t - \frac{x}{c}\right) = F(x - ct)

من أجل دالة ما $f$ (أو $F$ ): فالشكل يُحمل دون تغيّر، منزاحًا بمقدار $c\,\Delta t$ في الزمن $\Delta t$ . والموجة المتحركة نحو $-x$ هي $g(t + x/c)$ . والوسط الذي ينتشر فيه كل شكل دون تشوّه بالسرعة نفسها $c$ غير مبدِّد.

قضية 5.6 (التأخير)

الإشارة المستقبَلة عند $x_2$ هي الإشارة المرسَلة عند $x_1 < x_2$ ، متأخرةً بمقدار $\tau = (x_2 - x_1)/c$ : أي $s(x_2, t) = s(x_1, t - \tau)$ .

برهان. $s(x_2, t) = f(t - x_2/c) = f\big((t - \tau) - x_1/c\big) = s(x_1, t - \tau)$ . ∎

مثال 5.7 (سرعات الانتشار)

الصوت في الهواء، $340\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ : فالرعد بعد $3\,\mathrm{s}$ من الوميض يضع الصاعقة على بعد $1\,\mathrm{km}$ . والصوت في الماء، $1500\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ؛ وفي الفولاذ، $5000\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . والأمواج المستعرضة على وتر توتره $F$ وكتلته لواحدة الطول $\mu$ : $c = \sqrt{F/\mu}$ ، كما تنبأ التحليل البعدي (التمرين 1.5) — أي $140\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ لوتر قيثارة. والضوء في الخلاء، $c = 3.00 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ؛ وفي الزجاج، $c/n$ . وسرعة الانتشار خاصية للوسط لا للمنبع: فالهمس والصياح يصلان معًا.

قضية 5.8 (الموجة الجيبية المتقدمة)

المنبع الجيبي $s(0, t) = A\cos(\omega t)$ يطلق

s(x, t) = A\cos\!\big(\omega(t - x/c)\big) = A\cos(\omega t - kx), \qquad k = \frac{\omega}{c} = \frac{2\pi}{\lambda}, \qquad \lambda = cT = \frac{c}{f}.

والموجة دورية في الزمن (دورها $T$ ) وفي الفضاء (ودورها طول الموجة $\lambda$ )؛ و $k$ هو عدد الموجة؛ وتتذبذب نقطتان تفصل بينهما مسافة $d$ بفرق طور $\Delta\varphi = 2\pi d/\lambda = kd$ — فتكونان على الطور نفسه إذا كان $d = n\lambda$ ، وعلى طورين متعاكسين إذا كان $d = (n + \tfrac12)\lambda$ . أما السرعة التي تتحرك بها القمة، $v_\varphi = \omega/k$ ، فهي سرعة الطور؛ وهنا $v_\varphi = c$ .

برهان. نعوّض $f(u) = A\cos(\omega u)$ في $f(t - x/c)$ . وعند $x$ ثابتة تتكرر الإشارة بعد $T = 2\pi/\omega$ ؛ وعند $t$ ثابتة تتكرر بعد $\lambda$ حيث $k\lambda = 2\pi$ . ومن أجل نقطتين $x_1$ و $x_2 = x_1 + d$ يختلف الطوران بمقدار $kd$ . والقمة ( $\omega t - kx = \text{ثابت}$ ) تتحرك بسرعة $\dd x/\dd t = \omega/k$ . ∎

الدورية المزدوجة لموجة جيبية متقدمة: فاللقطة عند زمن ثابت تتكرر كل طول موجة وتنزلق بسرعة c؛ والإشارة عند نقطة ثابتة تتكرر كل دور T، مع = cT. — الدورية المزدوجة لموجة جيبية متقدمة: فاللقطة عند زمن ثابت تتكرر كل طول موجة $\lambda$ وتنزلق بسرعة $c$ ؛ والإشارة عند نقطة ثابتة تتكرر كل دور $T$ ، مع $\lambda = cT$ .

تعريف 5.9 (التبدد)

يكون الوسط مبدِّدًا حين تتوقف سرعة الطور على التواتر. وعندئذٍ تتشوّه إشارة غير جيبية، وهي مجموع جيوب، وهي تسير، إذ تتباعد مركّباتها. والصوت في الهواء والضوء في الخلاء غير مبدِّدين؛ أما الضوء في الزجاج (الفصل 2) والأمواج على الماء العميق فمبدِّدة — فالموج الطويل الآتي من عاصفة بعيدة يصل قبل الموج القصير بيوم.

5.3 التراكب والتداخل

مبرهنة 5.10 (التراكب)

في وسط خطي، حين تنتشر عدة أمواج معًا، تكون الإشارة الناتجة في كل نقطة وفي كل لحظة مجموع الإشارات التي كانت كل موجة ستنتجها وحدها.

برهان. نقبله في هذا المستوى. ∎

ملاحظة 5.11 (الخطية)

التراكب عبارة عن معادلات الوسط (وهي خطية في الإشارة)، صحيحة ما دامت السعات صغيرة: كصوت دون عتبة الألم، وضوء دون شدّات القطع بالليزر، ووتر يُنقر برفق. فحزمتان من الضوء تتقاطعان دون أن تزعج إحداهما الأخرى؛ وتمرّ تموّجتان إحداهما عبر الأخرى وتخرجان سليمتين. أما ما يُلاحظ حيث تتراكبان فهو موضوع التداخل.

مبرهنة 5.12 (إشارتان جيبيتان لهما التواتر نفسه)

في نقطة تصلها إشارتان جيبيتان لهما التواتر نفسه، $s_1 = A_1\cos(\omega t + \varphi_1)$ و $s_2 = A_2\cos(\omega t + \varphi_2)$ ، يكون المجموع جيبًا له التواتر نفسه وسعته تحقق

A^2 = A_1^2 + A_2^2 + 2A_1A_2\cos\Delta\varphi, \qquad \Delta\varphi = \varphi_2 - \varphi_1 .

ومن أجل أمواج تتناسب شدّتها (الاستطاعة على واحدة المساحة) مع $A^2$ ، تحقق الشدّات صيغة فرنل

I = I_1 + I_2 + 2\sqrt{I_1 I_2}\,\cos\Delta\varphi .

ويكون التداخل بنّاءً ( $A = A_1 + A_2$ ) حين $\Delta\varphi = 2n\pi$ ، وهدّامًا ( $A = \abs{A_1 - A_2}$ ) حين $\Delta\varphi = (2n + 1)\pi$ ، مع $n \in \Z$ .

برهان. بالنشر: $s_1 + s_2 = (A_1\cos\varphi_1 + A_2\cos\varphi_2)\cos\omega t - (A_1\sin\varphi_1 + A_2\sin\varphi_2)\sin\omega t = X\cos\omega t - Y\sin\omega t = A\cos(\omega t + \varphi)$ حيث $A^2 = X^2 + Y^2 = A_1^2 + A_2^2 + 2A_1A_2(\cos\varphi_1\cos\varphi_2 + \sin\varphi_1\sin\varphi_2)$ . وهندسيًّا: $A$ طول مجموع متجهتين طولاهما $A_1$ و $A_2$ وتصنعان الزاوية $\Delta\varphi$ (بقانون جيب التمام). ∎

قضية 5.13 (منبعان على الطور نفسه؛ فرق المسير)

منبعان يبعثان على الطور نفسه عند طول الموجة $\lambda$ ، على بعدين $d_1$ و $d_2$ من نقطة $M$ ، يصلان إلى $M$ بفرق طور $\Delta\varphi = 2\pi\,\delta/\lambda$ ، حيث $\delta = d_2 - d_1$ هو فرق المسير. ويكون التداخل عند $M$ بنّاءً إذا كان $\delta = n\lambda$ ، وهدّامًا إذا كان $\delta = (n + \tfrac12)\lambda$ .

برهان. تصل كل موجة بتأخّر الطور $kd_i = 2\pi d_i/\lambda$ الذي يفرضه مسارها (القضية 5.8)؛ والفرق هو $2\pi(d_2 - d_1)/\lambda$ . ثم نطبّق المبرهنة 5.12. ∎

مثال 5.14 (مكبّرا صوت)

مكبّرا صوت يفصل بينهما $2.0\,\mathrm{m}$ يعزفان النغمة نفسها عند $850\,\mathrm{Hz}$ على الطور نفسه ( $\lambda = 0.40\,\mathrm{m}$ ). وعلى المحور العمودي المنصِّف يكون $\delta = 0$ : فيعلو الصوت في كل مكان. أما على القطعة الواصلة بينهما فيتغير $\delta$ بمقدار $2\lambda$ لكل طول موجة من الانتقال، فتقع مواضع السكون ( $\delta = \pm\lambda/2, \pm 3\lambda/2, \dots$ ) كل $\lambda/2 = 20\,\mathrm{cm}$ — وهي موجة مستقرة، وهي موضوع القسم التالي. وإذا عُكس سلك أحد المكبّرين فعزف على طور معاكس تبادل العلوّ والسكون موضعيهما.

مثال 5.15 (ثقبا يونغ)

ثقبان دقيقان $S_1$ و $S_2$ يفصل بينهما $a$ ، يضيئهما منبع أحادي اللون واحد (فيبعثان على الطور نفسه)، يرسلان الضوء إلى شاشة على بعد $D \gg a$ . وعند نقطة من الشاشة على ارتفاع $x$ عن المحور يكون فرق المسير

\delta = S_2M - S_1M \approx \frac{a\,x}{D}

(من أجل $x \ll D$ : $S_{1,2}M = \sqrt{D^2 + (x \mp a/2)^2} \approx D + (x \mp a/2)^2/2D$ ، ثم نطرح). وتقع الأهداب المضيئة عند $x = n\lambda D/a$ : فيكون الفصل بين الأهداب

i = \frac{\lambda D}{a} .

ومع $a = 0.50\,\mathrm{mm}$ و $D = 2.0\,\mathrm{m}$ و $\lambda = 633\,\mathrm{nm}$ : $i = 2.5\,\mathrm{mm}$ — فمسطرة تقيس طول موجة الضوء. وفي وسط قرينته $n$ يكون فرق المسير المستعمل هو المسير الضوئي، أي $n \times$ الطول، لأن $\lambda = \lambda_0/n$ .

ثقبا يونغ: منبعان على الطور نفسه يفصل بينهما a، يبلغان النقطة M من شاشة بعيدة على مسارين يختلفان بمقدار ax/D. والشدّة على الشاشة، 4I_0 2(π x/i)، تتناوب أهدابًا مضيئة ومظلمة يفصل بينها i = D/a. — ثقبا يونغ: منبعان على الطور نفسه يفصل بينهما $a$ ، يبلغان النقطة $M$ من شاشة بعيدة على مسارين يختلفان بمقدار $\delta \approx ax/D$ . والشدّة على الشاشة، $4I_0\cos^2(\pi x/i)$ ، تتناوب أهدابًا مضيئة ومظلمة يفصل بينها $i = \lambda D/a$ .

ملاحظة 5.16 (الترابط)

تفترض صيغة فرنل فرق طور ثابتًا. ومصباحان منفصلان لهما طوران يقفزان عشوائيًّا بلايين المرات في الثانية؛ فيكون متوسط $\cos\Delta\varphi$ معدومًا وتُجمع الشدّتان جمعًا بسيطًا: فلا أهداب. والتداخل يحتاج إلى منبعين مترابطين — وعمليًّا، إلى موجتين خرجتا من منبع واحد، عبر ثقبين أو شقّين أو وجهَي غشاء رقيق أو فاصل حزمة. فمكبّرا صوت يقودهما مولّد واحد مترابطان؛ ومغنّيان ليسا كذلك.

5.4 الأمواج المستقرة

مبرهنة 5.17 (الموجة المستقرة)

موجتان جيبيتان لهما السعة والتواتر نفسهما وتسيران في اتجاهين متعاكسين تُجمعان فتعطيان

A\cos(\omega t - kx) + A\cos(\omega t + kx) = 2A\cos(kx)\cos(\omega t),

وهي موجة مستقرة: تتذبذب فيها كل نقطة على الطور نفسه (أو على طور معاكس) بسعة $2A\abs{\cos kx}$ تتوقف على الموضع — فتنعدم عند العقد $x = (n + \tfrac12)\lambda/2$ ، وتعظُم عند البطون $x = n\lambda/2$ ؛ ويفصل بين عقدتين $\lambda/2$ . ولا ينتشر شيء: فالمتغيران $x$ و $t$ منفصلان.

برهان. $\cos a + \cos b = 2\cos\frac{a - b}{2}\cos\frac{a + b}{2}$ مع $a = \omega t - kx$ و $b = \omega t + kx$ . ∎

قضية 5.18 (أنماط وتر مثبَّت من طرفيه)

وتر طوله $L$ وسرعة الانتشار فيه $c$ ، مثبَّت عند $x = 0$ و $x = L$ ، لا يستطيع أن يحمل موجة جيبية مستقرة إلا إذا كان $L$ عددًا صحيحًا من أنصاف أطوال الموجة:

\lambda_n = \frac{2L}{n}, \qquad f_n = n\,\frac{c}{2L} = n f_1, \qquad n = 1, 2, 3, \dots

وهذه هي أنماطه؛ و $f_1 = c/2L$ هو الأساسي، والتواترات $f_n$ توافقياته. وإذا قُيد من أحد طرفيه بتواتر قريب من $f_n$ رنّ الوتر على شكل النمط $n$ (تجربة ميلد)؛ وإذا نُقر تذبذب في تراكب من الأنماط، وسمعت الأذن $f_1$ طبقةً للصوت.

برهان. الطرف المثبَّت عقدة. والموجة المنعكسة عند $x = L$ ترجع وتتراكب مع الواردة في موجة مستقرة؛ وكي تقع عقدتها عند $x = 0$ أيضًا لا بد أن يُبدَّل $\cos kx$ إلى $\sin kx$ (بإزاحة المبدأ) وأن يكون $\sin kL = 0$ : أي $kL = n\pi$ و $\lambda_n = 2L/n$ و $f_n = c/\lambda_n$ . ∎

الأنماط الثلاثة الأولى لوتر مثبَّت من طرفيه: n من أنصاف أطوال الموجة تتّسع في L؛ ويتأرجح الوتر بين الشكلين الأقصيين (الغامق والفاتح)، والعقد ساكنة. والتواترات f_n = nf_1. — الأنماط الثلاثة الأولى لوتر مثبَّت من طرفيه: $n$ من أنصاف أطوال الموجة تتّسع في $L$ ؛ ويتأرجح الوتر بين الشكلين الأقصيين (الغامق والفاتح)، والعقد ساكنة. والتواترات $f_n = nf_1$ .

مثال 5.19 (وتر قيثارة)

$L = 65\,\mathrm{cm}$ ، مضبوط على $f_1 = 110\,\mathrm{Hz}$ : فيكون $c = 2Lf_1 = 143\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ؛ ومع $\mu = 5.0\,\mathrm{g}/\mathrm{m}$ يكون التوتر $F = \mu c^2 = 102\,\mathrm{N}$ — أي عشرة كيلوغرامات معلَّقة بكل وتر. وإصبع تضغط عند العتبة الثانية عشرة تنصّف $L$ وتضاعف $f_1$ : وهو الجواب. أما إصبع تلمس المنتصف لمسًا فتفرض عقدةً هناك وتقتل كل نمط فردي: فيرنّ الوتر عند $2f_1$ ، وهو “التوافقي” عند عازفي القيثارة.

ملاحظة 5.20 (الأنابيب ونظرة مسبقة)

عمود الهواء في ناي مفتوح من طرفيه له عقدتا ضغط عند الطرفين والأنماط نفسها $f_n = nc/2L$ ؛ أما الأنبوب المغلق من طرف فله عقدة عند الطرف المغلق وبطن عند الطرف المفتوح، ومنه $L = (2n + 1)\lambda/4$ ولا تصوّت إلا التوافقيات الفردية $f = (2n + 1)c/4L$ — وهو جرس الكلارينيت الأجوف. وهكذا يؤدي حصر موجة بين جدارين إلى تكميم تواتراتها؛ وحين تكون الموجة موجةَ المادة لإلكترون في ذرة، يكمّم العدّ نفسه لأنصاف أطوال الموجة طاقتَه (الفصل 30).

5.5 تمارين

تمرين 5.1 ★

يصل الرعد بعد $6.0\,\mathrm{s}$ من الوميض: فكم تبعد الصاعقة؟ ونبضة سونار ترجع بعد $0.40\,\mathrm{s}$ في الماء ( $c = 1500\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ): فكم يبلغ عمق القاع؟

حل

حل التمرين 5.1.

$d = 340 \times 6.0 = 2.0\,\mathrm{km}$ . وذهابًا وإيابًا: العمق $= 1500 \times 0.40/2 = 300\,\mathrm{m}$ .

تمرين 5.2 ★

موجة صوتية عند $440\,\mathrm{Hz}$ تنتشر في الهواء ( $340\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ). احسب طول موجتها، وفرق الطور بين مِجهارين يفصل بينهما $20\,\mathrm{cm}$ على امتداد اتجاه الانتشار، والمسافات التي تتذبذب عندها نقطتان على الطور نفسه.

حل

حل التمرين 5.2.

$\lambda = 340/440 = 0.77\,\mathrm{m}$ ؛ و $\Delta\varphi = 2\pi \times 0.20/0.773 = 1.6\,\mathrm{rad}$ (أي $93^\circ$ )؛ وتكونان على الطور نفسه من أجل الفواصل $n\lambda = n \times 0.77\,\mathrm{m}$ .

تمرين 5.3 ★

وتر توتره $80\,\mathrm{N}$ وكتلته لواحدة الطول $4.0\,\mathrm{g}/\mathrm{m}$ : احسب $c$ ، وطول موجة موجة عند $200\,\mathrm{Hz}$ عليه.

حل

حل التمرين 5.3.

$c = \sqrt{80/4.0\times10^{-3}} = 141\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ؛ و $\lambda = c/f = 0.71\,\mathrm{m}$ .

تمرين 5.4 ★

رنّانة عند $440\,\mathrm{Hz}$ ووتر عند $444\,\mathrm{Hz}$ : فكم ضربة في الثانية؟ وما دور الغلاف؟ ثم يُرخى الوتر فتبطئ الضربات إلى $1\,\mathrm{Hz}$ : فما تواتره الآن (جوابان من حيث المبدأ — فأيّهما، وكيف تتحقق)؟

حل

حل التمرين 5.4.

$444 - 440 = 4$ ضربات في الثانية؛ ودور الغلاف $1/4 = 0.25\,\mathrm{s}$ . والإرخاء يخفض الوتر: أي $441\,\mathrm{Hz}$ (إذ إن بلوغ $439\,\mathrm{Hz}$ كان سيعني المرور بالسكون عند $440\,\mathrm{Hz}$ )؛ ويُتحقق من ذلك بإرخائه قليلًا بعد: فيجب أن تنعدم الضربات ثم تعود.

تمرين 5.5 ★★

وتر طوله $0.60\,\mathrm{m}$ وسرعة الانتشار فيه $c = 240\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ، مثبَّت من طرفيه. أعطِ تواترات الأنماط الثلاثة الأولى ومواضع عقد النمط الثالث. وأين يجب لمس الوتر ليصوّت عند $600\,\mathrm{Hz}$ ؟

حل

حل التمرين 5.5.

$f_1 = c/2L = 240/1.2 = 200\,\mathrm{Hz}$ ؛ ثم $400$ و $600\,\mathrm{Hz}$ . والنمط الثالث: عقده عند $0$ و $0.20$ و $0.40$ و $0.60\,\mathrm{m}$ . ويُلمس عند $20\,\mathrm{cm}$ (أو $40\,\mathrm{cm}$ ) من أحد الطرفين: فعقدة هناك لا تُبقي إلا $n = 3, 6, \dots$ ، ويصوّت الوتر عند $600\,\mathrm{Hz}$ .

تمرين 5.6 ★★

مكبّرا صوت يفصل بينهما $2.0\,\mathrm{m}$ يبعثان $850\,\mathrm{Hz}$ على الطور نفسه ( $c = 340\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ). حدّد مواضع السكون على القطعة الواصلة بينهما، وقل ماذا يسمع مستمع يمشي على المحور العمودي المنصِّف. وما الذي يتغير إذا وُصل أحد المكبّرين على طور معاكس؟

حل

حل التمرين 5.6.

$\lambda = 0.40\,\mathrm{m}$ . وعلى القطعة، على بعد $x$ من المكبّر الأول، يكون $\delta = (2.0 - x) - x = 2.0 - 2x$ ؛ والسكون من أجل $\delta = \pm\lambda/2, \pm 3\lambda/2, \dots$ : أي $x = 0.1, 0.3, \dots, 1.9$ متر، أي كل $20\,\mathrm{cm}$ ؛ والمنتصف عالي الصوت. وعلى المنصِّف $\delta = 0$ : فيعلو الصوت على امتداده كله (ولا يبقى إلا التناقص $1/r$ ). وعلى طور معاكس: يتبادل العلوّ والسكون — فيكون السكون عند المنتصف وكل $20\,\mathrm{cm}$ منه.

تمرين 5.7 ★★

ثقبا يونغ: $a = 0.20\,\mathrm{mm}$ و $D = 1.5\,\mathrm{m}$ ، وضوء الصوديوم $\lambda = 589\,\mathrm{nm}$ . احسب الفصل بين الأهداب؛ ثم من أجل ضوء أزرق عند $450\,\mathrm{nm}$ ؛ وكم هدبًا مضيئًا يتّسع في $2.0\,\mathrm{cm}$ حول المركز مع مصباح الصوديوم؟

حل

حل التمرين 5.7.

$i = \lambda D/a = 5.89\times10^{-7} \times 1.5/2.0\times10^{-4} = 4.4\,\mathrm{mm}$ ؛ وللأزرق: $3.4\,\mathrm{mm}$ . وفي $\pm1.0\,\mathrm{cm}$ : أهداب عند $0$ و $\pm 4.4$ و $\pm 8.8$ مليمتر — أي خمسة.

تمرين 5.8 ★★

موجتان مترابطتان شدّتاهما $I_0$ و $I_0$ تتداخلان: أعطِ $I_{\max}$ و $I_{\min}$ . والسؤال نفسه من أجل $I_0$ و $I_0/4$ . عرّف التباين $(I_{\max} - I_{\min})/(I_{\max} + I_{\min})$ واحسبه في الحالتين.

حل

حل التمرين 5.8.

متساويتان: $I_{\max} = 4I_0$ و $I_{\min} = 0$ والتباين $1$ . ومن أجل $I_0$ و $I_0/4$ : $I_{\max} = I_0(1 + \tfrac14 + 2 \times \tfrac12) = 2.25I_0$ و $I_{\min} = I_0(1.25 - 1) = 0.25I_0$ ؛ والتباين $2.0/2.5 = 0.8$ .

تمرين 5.9 ★★

أنبوب طوله $0.50\,\mathrm{m}$ ( $c = 340\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ). أعطِ تواترات الرنين الثلاثة الأولى إذا كان مغلقًا من طرف، ثم إذا كان مفتوحًا من طرفيه. فأيّهما الكلارينيت وأيّهما الناي؟

حل

حل التمرين 5.9.

مغلق–مفتوح: $f = (2n + 1)c/4L = 170$ و $510$ و $850\,\mathrm{Hz}$ (توافقيات فردية فقط: وهو الكلارينيت). ومفتوح–مفتوح: $nc/2L = 340$ و $680$ و $1020\,\mathrm{Hz}$ (وهو الناي).

تمرين 5.10 ★★★

على الماء العميق تكون سرعة الطور لموجة جيبية $v_\varphi = \sqrt{g\lambda/2\pi}$ . احسبها من أجل $\lambda = 10\,\mathrm{m}$ و $100\,\mathrm{m}$ . وعاصفة على بعد $1000\,\mathrm{km}$ تثير الموجين معًا: فأيّ موج يبلغ الساحل أولًا، وبفارق كم؟ ولماذا يجعل هذا البحر “مبدِّدًا”؟

حل

حل التمرين 5.10.

$v_\varphi = \sqrt{9.81 \times 10/2\pi} = 3.9\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ و $12.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ من أجل $100\,\mathrm{m}$ . فالموج الطويل أولًا: $10^6/12.5 = 22\,\mathrm{h}$ في مقابل $10^6/3.95 = 70\,\mathrm{h}$ ، أي قبله بيومين. والسرعة تتوقف على طول الموجة: فبحر مختلط يفرز نفسه حسب طول الموجة وهو يسير — وذلك هو التبدد.

تمرين 5.11 ★★★

بيّن أن لمس وتر لمسًا خفيفًا عند نقطة على بعد $L/3$ من أحد طرفيه لا يُبقي إلا الأنماط ذات التواترات $3f_1, 6f_1, \dots$ ، وأن نقر وتر في منتصفه لا يثير أيّ نمط زوجي. (تلميح: ماذا تقتضي عقدة، أو انتقال أعظمي، عند تلك النقطة من الدالة $\sin(n\pi x/L)$ لكل نمط؟)

حل

حل التمرين 5.11.

النمط $n$ شكله $\sin(n\pi x/L)$ . وفرض عقدة عند $x = L/3$ يقتضي $\sin(n\pi/3) = 0$ ، أي أن يكون $n$ من مضاعفات $3$ : فالتواترات $3f_1, 6f_1, \dots$ أما النقر عند $L/2$ فيعطي الوتر انتقالًا أعظميًّا هناك، ولا يستطيع النمط $n$ أن يسهم فيه إلا إذا كان $\sin(n\pi/2) \neq 0$ : فالأنماط الزوجية، ولها عقدة عند $L/2$ ، لا تتلقى شيئًا.

تمرين 5.12 ★★★

مستقبِل راديو على بعد $d$ أمام جدار معدني يتلقى الموجة المباشرة من مرسِل بعيد والموجة المنعكسة على الجدار، وهي تقطع $2d$ زيادةً وتكسب طورًا إضافيًّا قدره $\pi$ عند الانعكاس. عند $f = 100\,\mathrm{MHz}$ ، أوجد المسافات $d$ التي تنعدم عندها الإشارة وتلك التي تعظُم عندها. وكيف يفسّر هذا “المواضع الميتة” لراديو سيارة في نفق؟

حل

حل التمرين 5.12.

$\lambda = c/f = 3.0\,\mathrm{m}$ . وفرق الطور $2\pi(2d)/\lambda + \pi$ ؛ والتداخل هدّام حين يساوي $(2m + 1)\pi$ : أي $2d/\lambda = m$ و $d = m\lambda/2 = 0, 1.5, 3.0, \dots$ متر؛ وبنّاء حين يكون $2d/\lambda = m + \tfrac12$ : أي $d = 0.75, 2.25, \dots$ متر. وجدران النفق وسقفه تعكس الموجة: فينشأ نمط مستقر بمواضع ميتة كل نصف طول موجة على امتداد مسار السيارة.

5.6 مسألة: وتر ميلد والقيثارة

مسألة 5.1

مسألة نهاية الأسبوع — وتر مهتزّ على طاولة تجارب، وبكرة وبعض الأثقال، ثم قيثارة: كيف يثبّت عدّ أنصاف أطوال الموجة كل نغمة على زند الآلة

وتر كتلته لواحدة الطول $\mu$ مشدود أفقيًّا بتوتر $F$ بين هزّاز كهرمغناطيسي صغير عند $x = L$ (يهزّه مستعرضًا بسعة ضئيلة عند التواتر $f$ ) ونقطةٍ ثابتة عند $x = 0$ ؛ وتنتشر الأمواج المستعرضة عليه بسرعة $c = \sqrt{F/\mu}$ (تُشتقّ في مجلد السنة الثانية).

الجزء I — الأمواج على الوتر.

تحقق بالتحليل البعدي من أن $\sqrt{F/\mu}$ سرعة.
يرسل الهزّاز نحو $x = 0$ الموجة $s_i(x, t) = A\cos(\omega t + kx)$ . فلماذا الإشارة $+kx$ ؟ وأعطِ $k$ بدلالة $f$ و $c$ .
من أجل $\mu = 1.0\,\mathrm{g}/\mathrm{m}$ و $F = 0.90\,\mathrm{N}$ و $f = 50\,\mathrm{Hz}$ ، احسب $c$ و $\lambda$ و $k$ .
تفصل بين نقطتين من الوتر مسافة $15\,\mathrm{cm}$ . فما فرق الطور بين حركتيهما من أجل هذه الموجة المتقدمة؟
من أجل $A = 2.0\,\mathrm{mm}$ ، ما السرعة المستعرضة العظمى لنقطة من الوتر؟ وقارنها بالسرعة $c$ .

الجزء II — الانعكاس والموجة المستقرة. عند الطرف المثبَّت $x = 0$ تنعكس الموجة مع انقلاب إشارتها: $s_r(x, t) = -A\cos(\omega t - kx)$ .

لماذا يجب أن يكون في طور الموجة المنعكسة $-kx$ ، ولماذا تنقلب السعة (فكّر فيما يجب أن تكون عليه الإشارة الكلية عند $x = 0$ )؟
بيّن أن $s = s_i + s_r = -2A\sin(kx)\sin(\omega t)$ .
حدّد العقد والبطون؛ وأعطِ المسافة بين عقدتين متجاورتين.
سعة الهزّاز نفسه صغيرة إلى حدّ يجعل $x = L$ عقدةً عمليًّا. فاستنتج الشرط على $L$ من أجل موجة مستقرة كبيرة (الرنين)، والتواترات المسموحة $f_n$ .
مع $L = 1.20\,\mathrm{m}$ ومعطيات السؤال 3، كم نصف طول موجة (“مغزلًا”) يظهر؟ وهل الوتر في حالة رنين؟
مع إبقاء $f = 50\,\mathrm{Hz}$ و $L$ ، أيّ توترات تعطي رنينًا بعدد $3$ مغازل ثم بعدد $6$ مغازل؟
وعلى العكس تُعدّ المغازل لقياس $\mu$ : فمع $F = 1.6\,\mathrm{N}$ و $3$ مغازل عند $50\,\mathrm{Hz}$ على $1.20\,\mathrm{m}$ ، احسب $\mu$ .
يُضبط التوتر بكتلة معلَّقة $m$ فوق بكرة، $F = mg$ ، و $m$ معلومة إلى $\pm1\,\mathrm{g}$ من $163\,\mathrm{g}$ ، و $L$ إلى $\pm2\,\mathrm{mm}$ . فأيّ قياس يحدّ من $\mu$ ، وما ارتيابها النسبي؟

الجزء III — القيثارة. ستة أوتار طولها المهتزّ $L = 650\,\mathrm{mm}$ مضبوطة على $82.4\,\mathrm{Hz}$ (المي الغليظ) و $110$ و $147$ و $196$ و $247$ و $329.6\,\mathrm{Hz}$ (المي الرفيع).

أيّ نمط تأخذه الأذن طبقةً للصوت؟ عبّر عن $c$ على كل وتر بدلالة $L$ والطبقة، واحسبه لوترَي المي معًا.
لوتر المي الغليظ $\mu = 6.0\,\mathrm{g}/\mathrm{m}$ ، ولوتر المي الرفيع $\mu = 0.40\,\mathrm{g}/\mathrm{m}$ : احسب توتريهما. ولماذا تُلفّ الأوتار الغليظة بمعدن بدلًا من شدّها أكثر ببساطة؟
تقسم الموسيقى الغربية الجواب إلى اثني عشر نصف مقام متساوية: فكل عتبة تضرب التواتر في $2^{1/12}$ . بيّن أن العتبة رقم $n$ يجب أن تقع على مسافة $L(1 - 2^{-n/12})$ من المشط العلوي، واحسب مواضع العتبات $1$ و $5$ و $7$ و $12$ .
يتقلّص تباعد العتبات صعودًا في الزند: فبأيّ عامل من عتبة إلى التالية؟
مِشبك مثبَّت عند العتبة $3$ يقصّر كل وتر: فبأيّ عامل يرفع كل طبقة، وما الطول المهتزّ الجديد؟
لمس وتر المي الغليظ (دون ضغطه) فوق العتبة $12$ ، ثم فوق العتبة $7$ (عند $L/3$ )، يعطي “توافقيين”: فأيّ تواترين، وأيّ الأنماط يبقى؟
النقر قرب الفرس أنصع صوتًا من النقر فوق فتحة الصوت. فسّر ذلك بأشكال الأنماط.
وتران مضبوطان بفاصل خامسة ( $f_2 = 1.5f_1$ ). وبعزفهما معًا يسمع مستمع ضربةً خفيفة عند $2\,\mathrm{Hz}$ بين التوافقي الثالث للوتر الأغلظ والتوافقي الثاني للأرفع: فما النسبة الفعلية $f_2/f_1$ إذا كان $f_1 = 110\,\mathrm{Hz}$ ؟

الجزء IV — الضبط برنّانة.

يُضبط وتر اللا ( $110\,\mathrm{Hz}$ ) في مواجهة الرنّانة $440\,\mathrm{Hz}$ . فأيّ توافقي للوتر يضرب مع الرنّانة؟ وإذا سُمعت $3\,$ ضربات في الثانية، فما التواتران الممكنان للوتر؟
إدارة المفتاح ترفع التوتر قليلًا فتتسارع الضربات: فأيّ التواترين كان، وبأيّ مقدار نسبي يجب أن يتغير التوتر لبلوغ الطبقة الصحيحة؟
بيّن أن تغيّرًا نسبيًّا $\dd F/F$ في التوتر يغيّر التواتر بمقدار $\dd f/f = \tfrac12\,\dd F/F$ .
لخّص سلسلة النتائج: كيف يثبّت طول الوتر وتوتره وكتلته أساسيَّه، وكيف تثبّت العتبات السلّم، وكيف تضبطه الضربات — وسمِّ العلاقة الواحدة وراء ذلك كله.

حل

حل المسألة 5.1.

1. $[F/\mu] = M L T^{-2}/(M L^{-1}) = L^2 T^{-2}$ : أي مربع سرعة.

2. الموجة المتحركة نحو $-x$ تتوقف على $t + x/c$ ، أي على $\omega t + kx$ ؛ و $k = \omega/c = 2\pi f/c$ .

3. $c = \sqrt{0.90/1.0\times10^{-3}} = 30\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ؛ و $\lambda = c/f = 0.60\,\mathrm{m}$ ؛ و $k = 2\pi/\lambda = 10.5\,\mathrm{rad}/\mathrm{m}$ .

4. $\Delta\varphi = kd = 10.5 \times 0.15 = 1.6\,\mathrm{rad} = \pi/2$ .

5. $v_{\max} = A\omega = 2.0\times10^{-3} \times 2\pi \times 50 = 0.63\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ، أي أقلّ خمسين مرة من $c$ : فنقاط الوتر تتحرك ببطء بينما يتسابق الشكل.

6. إنها تسير نحو $+x$ : فطورها $\omega t - kx$ . وعند الطرف المثبَّت ينعدم الانتقال الكلي في كل لحظة: $s_i(0, t) + s_r(0, t) = A\cos\omega t + (-A)\cos\omega t = 0$ .

7. $\cos(\omega t + kx) - \cos(\omega t - kx) = -2\sin(\omega t)\sin(kx)$ ، ومنه $s = -2A\sin(kx)\sin(\omega t)$ .

8. العقد: $\sin kx = 0$ ، أي $x = n\lambda/2$ ؛ والبطون $x = (n + \tfrac12)\lambda/2$ ؛ ويفصل بين عقدتين متجاورتين $\lambda/2$ .

9. $\sin kL = 0$ : أي $L = n\lambda/2$ ، ومنه $f_n = nc/2L$ .

10. $n = 2L/\lambda = 2.4/0.60 = 4$ : أي أربعة مغازل، وهو عدد صحيح — فالوتر في حالة رنين.

11. من أجل $3$ مغازل: $\lambda = 2L/3 = 0.80\,\mathrm{m}$ و $c = \lambda f = 40\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ و $F = \mu c^2 = 1.6\,\mathrm{N}$ . ومن أجل $6$ مغازل: $\lambda = 0.40\,\mathrm{m}$ و $c = 20\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ و $F = 0.40\,\mathrm{N}$ .

12. $c = 2Lf/n = 2 \times 1.20 \times 50/3 = 40\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ و $\mu = F/c^2 = 1.6/1600 = 1.0 \times 10^{-3}\,\mathrm{kg}/\mathrm{m} = 1.0\,\mathrm{g}/\mathrm{m}$ .

13. $\mu = mgn^2/(4L^2f^2)$ : ومنه $u(\mu)/\mu = \sqrt{(u_m/m)^2 + (2u_L/L)^2} = \sqrt{0.61^2 + 0.33^2}\,\% = 0.7\%$ ؛ فالكتلة هي الحادّة.

14. الأساسي. و $c = 2Lf_1$ : فللمي الغليظ $2 \times 0.650 \times 82.4 = 107\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ؛ وللمي الرفيع $428\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .

15. $F = \mu c^2$ : فللمي الغليظ $6.0\times10^{-3} \times 107^2 = 69\,\mathrm{N}$ ؛ وللمي الرفيع $4.0\times10^{-4} \times 428^2 = 73\,\mathrm{N}$ — أي توتران متقاربان. وخفض $f$ بعامل $4$ عند $L$ و $\mu$ ثابتين كان سيتطلب توترًا أقلّ $16$ مرة: أي وترًا مرتخيًا يطنّ. أما اللفّ فيرفع $\mu$ بدلًا من ذلك.

16. $f_n = 2^{n/12}f_1$ و $f \propto 1/L$ : ومنه $L_n = 2^{-n/12}L$ ، والمسافة عن المشط العلوي $L - L_n = L(1 - 2^{-n/12})$ : فالعتبة 1 على $36.5\,\mathrm{mm}$ ، والعتبة 5 على $163\,\mathrm{mm}$ ، والعتبة 7 على $216\,\mathrm{mm}$ ، والعتبة 12 على $325\,\mathrm{mm}$ .

17. كل تباعد يساوي $2^{-1/12} = 0.944$ من سابقه.

18. العامل $2^{3/12} = 1.19$ (أي ثلاثة أنصاف مقام)؛ والطول $650 \times 2^{-3/12} = 547\,\mathrm{mm}$ .

19. اللمس عند $L/2$ : الأنماط الزوجية وحدها، والطبقة $2f_1 = 165\,\mathrm{Hz}$ ؛ وعند $L/3$ : مضاعفات $3$ ، والطبقة $3f_1 = 247\,\mathrm{Hz}$ .

20. قرب الطرف يتزايد $\sin(n\pi x/L) \approx n\pi x/L$ مع $n$ : فتُثار الأنماط العالية أكثر نسبيًّا — ومن ثمّ النصوع. أما فوق فتحة الصوت (قرب المنتصف) فتكون الأنماط الزوجية ضعيفة ويهيمن الأساسي — ومن ثمّ العذوبة.

21. $3f_1 = 330\,\mathrm{Hz}$ يضرب عند $2\,\mathrm{Hz}$ مع $2f_2$ : ومنه $f_2 = 166$ أو $164\,\mathrm{Hz}$ ، والنسبة $1.509$ أو $1.491$ (والخامسة المعدَّلة تساوي $2^{7/12} = 1.498$ ).

22. التوافقي الرابع، أي $4f$ . ومع ثلاث ضربات: $4f = 437$ أو $443\,\mathrm{Hz}$ ، ومنه $f = 109.25$ أو $110.75\,\mathrm{Hz}$ .

23. تتسارع الضربات عند الشدّ، فالوتر كان مرتفعًا: أي $110.75\,\mathrm{Hz}$ . وعليه أن ينخفض بمقدار $0.75/110.75 = 0.68\%$ ، أي أن ينخفض التوتر بمقدار $1.4\%$ .

24. $f = (n/2L)\sqrt{F/\mu}$ ، ومنه $\ln f = \tfrac12\ln F + \text{ثابت}$ و $\dd f/f = \tfrac12\,\dd F/F$ .

25. $f_1 = \dfrac{1}{2L}\sqrt{\dfrac{F}{\mu}}$ : فالطول يثبّت $\lambda_1 = 2L$ ، والتوتر والكتلة يثبّتان $c$ ، والعتبات تضرب $L$ في $2^{-n/12}$ ، والضربات تكشف $f - f_{\text{مرجع}}$ . ووراء ذلك كله علاقة واحدة: $\lambda f = c$ ، مع شرط الموجة المستقرة $L = n\lambda/2$ .

المصطلحات المعرَّفة في هذا الفصل

عرض كل المصطلحات (393) في المسرد