الفيزياء الجامعية — السنة الأولى · Bachelor Year 1

28المغناطيسية الساكنة: المجال والقوى وثنائيات القطب

تنحرف إبرة البوصلة حين يحمل سلك قريب تيارًا: وقد جمعت ملاحظة أورستد تلك، سنة 1820، علمين نشآ متباعدين، هما الكهرباء والمغناطيسية، وفي غضون أشهر كان لدى أمبير قانون القوة بين التيارات ولدى بيو وسافار مجال السلك. وهذا الفصل هو سكون المجال المغناطيسي: ما الذي تُحدثه التيارات (خرائط المجال، وقانون بيو-سافار، ومبرهنة أمبير، وهي التوأم المغناطيسي لقانون غاوس)، وما الذي يفعله المجال بالتيارات (قوة لابلاس، التي تدير كل محرك وكل مقياس)، ثم ثنائي القطب المغناطيسي، وهو الحلقة التيارية التي تفسّر البوصلة والمغناطيس ومجال الأرض نفسه.

أقدم أدوات المغناطيسية: إبرة البوصلة ثنائي قطب مغناطيسي صغير يتطابق مع مجال الأرض.

تجربة أورستد: أغلق الدارة تنحرف الإبرة — فالتيار يُحدث مجالًا مغناطيسيًّا يدور حول السلك.

28.1 المنابع وخرائط المجال

تعريف 28.1 (مجال المغناطيسية الساكنة)

تُحدث التيارات المستقرة (وهي شحن في حركة مستقرة) عند كل نقطة مجالًا مغناطيسيًّا $\vect B$ (بالتسلا، $\mathrm{T}$ )، يُعرَّف بالقوة $q\vect v\wedge\vect B$ التي يؤثر بها في شحنة اختبار متحركة (التعريف 17.1). وخطوط مجاله تماسّ $\vect B$ وتُوجَّه في جهته. وتُحدث المغانط الدائمة مجالات من الطبيعة نفسها، من التيارات المجهرية في ذراتها. ورتب القدر: الأرض $5 \times 10^{-5}\,\mathrm{T}$ ؛ ومغناطيس الثلاجة $0.01\,\mathrm{T}$ ؛ وجهاز الرنين المغناطيسي $1.5\,\mathrm{T}$ إلى $3\,\mathrm{T}$ ؛ وأكبر المجالات المستقرة في المخابر $45\,\mathrm{T}$ .

قضية 28.2 (خرائط المجال)

السلك المستقيم: دوائر مركزها على السلك، في مستويات عمودية عليه، وتُوجَّه بما يسمّى قاعدة اليد اليمنى (الإبهام في جهة التيار والأصابع في جهة $\vect B$ ).
الحلقة الدائرية: خطوط تخترق الحلقة على امتداد محورها وتنغلق من حولها في الخارج؛ ومن بعيد تكون خريطة مغناطيس صغير.
الملف اللولبي الطويل: خطوط متوازية كثيفة منتظمة في الداخل؛ ولا مجال في الخارج تقريبًا؛ وهي خريطة مغناطيس قضيبي، وجهه “الشمالي” هو الذي تغادره الخطوط.
ليس لخطوط المجال المغناطيسي بداية ولا نهاية: فهي تنغلق على نفسها أو تمضي إلى اللانهاية. ويكافئ ذلك أن تدفق $\vect B$ عبر أيّ سطح مغلق معدوم — فلا وجود لشحن مغناطيسية.

برهان. نقبله في هذا المستوى. ∎

ثلاث خرائط مجال. والنقطة تيار نحو القارئ، والصليب تيار مبتعد. وخطوط السلك دوائر؛ وخطوط الحلقة تخترقها وتنغلق في الخارج؛ وخطوط ملف لولبي طويل مستقيمة ومنتظمة في الداخل وتنغلق بعيدًا، حيث المجال ضعيف — وفي كل حالة لا منبع لها ولا مصبّ.

قضية 28.3 (تناظرات $\vect B$ )

يسلك $\vect B$ تحت الانعكاس في مرآة سلوكًا معاكسًا لسلوك $\vect E$ (فهو متجهة زائفة، مبنية من جداء اتجاهي): فعند نقطة من مستوي تناظر للتيارات يكون $\vect B$ عموديًّا على المستوي؛ وعند نقطة من مستوي تناظر عكسي (حيث تعكس صورة المرآة التيارات) يقع $\vect B$ في المستوي. وتنتقل عدم التغيّرات كما في $\vect E$ .

برهان. مجال عنصر تيار $\propto I\,\dd\vect l\wedge\vect e_r$ (أدناه)؛ والمرآة تعكس أحد عاملَي الجداء الاتجاهي بالنسبة إلى صورة متجهة حقيقية، فتكون صورة $\vect B$ معاكسة لصورة السهم في المرآة. وعلى مستوي تناظر يجب أن يساوي $\vect B$ معاكس صورته في المرآة، فيكون ناظميًّا على المستوي؛ وعلى مستوي تناظر عكسي يساوي معاكس المعاكس: فيقع في المستوي. ∎

مثال 28.4 (استعمال التناظرات)

في سلك مستقيم يكون أيّ مستوٍ يحوي السلك مستوي تناظر، فيكون $\vect B$ عند كل نقطة عموديًّا على المستوي المارّ بالسلك وبالنقطة: أي معامدًا، ويكون $\vect B = B(r)\,\vect e_\theta$ بعدم التغيّر على امتداد السلك وحوله. وفي حلقة يكون مستوي الحلقة مستوي تناظر: فعليه يكون $\vect B$ ناظميًّا على الحلقة؛ ويقع المحور في كل مستوي تناظر عكسي يحويه: فعلى المحور يكون $\vect B$ على امتداد المحور.

28.2 قانون بيو-سافار

مبرهنة 28.5 (بيو-سافار)

دارة تحمل التيار $I$ تُحدث عند $M$ المجالَ

\vect B(M) = \frac{\mu_0}{4\pi}\sum_{\text{الدارة}} \frac{I\,\dd\vect l\wedge\vect e_{PM}}{PM^2} ,

مجموعًا على عناصر $\dd\vect l$ من الدارة عند النقاط $P$ ، موجَّهةً في جهة التيار، حيث $\vect e_{PM}$ المتجهة الواحدية من $P$ إلى $M$ ، و $\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7}\,\mathrm{T}\,\mathrm{m}/\mathrm{A}$ هي نفاذية الخلاء. ويسهم كل عنصر بمجال عمودي عليه وعلى المستقيم $PM$ ، ويتناقص بنسبة $1/PM^2$ .

برهان. نقبله في هذا المستوى. ∎

قضية 28.6 (السلك والحلقة والملف اللولبي)

سلك مستقيم لانهائي، على البعد $r$ : $B = \dfrac{\mu_0I}{2\pi r}$ .
حلقة دائرية نصف قطرها $R$ ، على محورها على البعد $z$ من المركز: $B_z = \dfrac{\mu_0IR^2}{2(R^2 + z^2)^{3/2}} = \dfrac{\mu_0I}{2R} \sin^3\alpha$ ، حيث $\alpha$ نصف الزاوية التي تُرى الحلقة تحتها من $M$ ؛ وعند المركز $B = \mu_0I/2R$ .
ملف لولبي فيه $n$ لفة في المتر، على محوره: $B = \tfrac12\mu_0nI (\cos\alpha_1 - \cos\alpha_2)$ ، حيث $\alpha_1, \alpha_2$ الزاويتان اللتان يُرى تحتهما طرفاه؛ وفي ملف لولبي طويل يكون $B = \mu_0nI$ في الداخل، ونصف ذلك عند طرف.

برهان. (1) النقطة $M$ على البعد $r$ من السلك، والنقطة $P$ عند الفاصلة $z$ عليه: طويلة $\dd\vect l\wedge\vect e_{PM}$ هي $\dd z\,\sin\beta = \dd z\cdot r/PM$ مع $PM = \sqrt{r^2 + z^2}$ ، وكل الإسهامات معامدة: $B = \dfrac{\mu_0I}{4\pi}\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\dfrac{r\,\dd z}{(r^2 + z^2)^{3/2}} = \dfrac{\mu_0I}{4\pi}\,\dfrac{2}{r}$ . (2) وكل عنصر من الحلقة على البعد $\sqrt{R^2 + z^2}$ نفسه من $M$ ، وعمودي على $\vect e_{PM}$ ؛ وطويلة مجاله $\mu_0I\,\dd l/4\pi(R^2 + z^2)$ ، ولا ينجو من الجمع على الحلقة إلا المركّبة المحورية، وهي النسبة $R/\sqrt{R^2 + z^2}$ منه: ومنه $B_z = \mu_0I\cdot2\pi R\cdot R/4\pi(R^2 + z^2)^{3/2}$ . (3) وشريحة $\dd z'$ من الملف اللولبي حلقةٌ تيارها $nI\,\dd z'$ ؛ ومع $z' - z = R/\tan\alpha$ و $\dd z' = -R\,\dd\alpha/\sin^2\alpha$ يكون $B = \dfrac{\mu_0nI}{2}\displaystyle\int\sin^3\alpha\,\dfrac{\dd\alpha}{\sin^2\alpha}$ على امتداد الملف $= \tfrac12\mu_0nI(\cos\alpha_1 - \cos\alpha_2)$ ؛ وفي الملف اللانهائي الطول $\alpha_1 \to 0$ و $\alpha_2 \to \pi$ . ∎

حسابات بيو-سافار الثلاثة في هذا الفصل: عنصر l من سلك وإسهامه عند M، وهو عمودي على مستوي الشكل؛ والحلقة منظورًا إليها من M تحت نصف الزاوية ؛ والملف اللولبي، الذي يُرى طرفاه تحت _1 و _2. — حسابات بيو-سافار الثلاثة في هذا الفصل: عنصر $\dd\vect l$ من سلك وإسهامه عند $M$ ، وهو عمودي على مستوي الشكل؛ والحلقة منظورًا إليها من $M$ تحت نصف الزاوية $\alpha$ ؛ والملف اللولبي، الذي يُرى طرفاه تحت $\alpha_1$ و $\alpha_2$ .

مثال 28.7 (رتب القدر)

سلك يحمل $10\,\mathrm{A}$ على $1\,\mathrm{cm}$ : $B = 2 \times 10^{-7} \times 10/0.01 = 2 \times 10^{-4}\,\mathrm{T}$ ، أي أربعة أضعاف مجال الأرض — فالبوصلة تنحرف فعلًا. ووشيعة من $100$ لفة نصف قطرها $5\,\mathrm{cm}$ تحمل $2\,\mathrm{A}$ : $\mu_0NI/2R = 2.5\,\mathrm{mT}$ عند مركزها. وملف لولبي فيه $1000$ لفة في المتر عند $5\,\mathrm{A}$ : $6.3\,\mathrm{mT}$ ؛ ومع قلب من الحديد نفاذيته النسبية $1000$ لتبع ذلك عدة تسلات لولا أن الحديد يتشبع قرب $2\,\mathrm{T}$ — وهو سقف كل مغناطيس كهربائي، ولهذا تأتي أقوى المجالات من وشائع فائقة الناقلية بلا حديد.

28.3 مبرهنة أمبير

مبرهنة 28.8 (أمبير)

التكامل الخطي للمتجهة $\vect B$ على امتداد أيّ منحنٍ مغلق موجَّه $\Gamma$ يساوي $\mu_0$ مضروبًا في التيار الكلي الذي يعبر أيّ سطح يحدّه $\Gamma$ ، محسوبًا موجبًا حين يعبر في الجهة التي تعطيها قاعدة اليد اليمنى انطلاقًا من توجيه $\Gamma$ :

\oint_\Gamma \vect B\cdot\dd\vect l = \mu_0 I_{\text{المحصور}} .

برهان. من أجل دائرة نصف قطرها $r$ مركزها على سلك مستقيم، يكون $\vect B$ مماسيًّا وطويلته $\mu_0I/2\pi r$ في كل موضع، فيكون التكامل الخطي $2\pi r \times \mu_0I/2\pi r = \mu_0I$ ، مستقلًّا عن $r$ ؛ وفي منحنٍ لا يحصر السلك تتلاشى الإسهامات. أما الحالة العامة فمسلَّم بها (مجلد السنة الثانية). ∎

طريقة 28.9 (استعمال مبرهنة أمبير)

كما في غاوس: (1) تعطي التناظرات جهة $\vect B$ و المتغير الذي يتوقف عليه؛ (2) واختر حلقة أمبير تمرّ بالنقطة $M$ ويكون $\vect B$ عليها إما مماسيًّا بطويلة ثابتة وإما عموديًّا؛ (3) وعُدّ التيار الذي يعبرها؛ (4) وحُلّ. وهي تنفع من أجل الأسلاك والأسطوانات اللانهائية، والملفات اللولبية والحلقية اللانهائية، والصفائح التيارية اللانهائية.

قضية 28.10 (الأسطوانة والملف اللولبي والملف الحلقي)

سلك أسطواني نصف قطره $a$ يحمل $I$ بانتظام: $B = \dfrac{\mu_0Ir}{2\pi a^2}$ في الداخل، و $\dfrac{\mu_0I}{2\pi r}$ في الخارج — والأعظمي عند السطح.
ملف لولبي لانهائي فيه $n$ لفة في المتر: $\vect B = \mu_0nI\, \vect e_z$ منتظم في الداخل، و $\vect 0$ في الخارج، مهما يكن شكل مقطعه.
ملف حلقي فيه $N$ لفة: $B = \dfrac{\mu_0NI}{2\pi r}$ داخل الملفات، ومعدوم في الخارج — فهو ملف لولبي مغلق على نفسه، بلا مجال شارد.

برهان. (1) دائرة نصف قطرها $r$ : $2\pi rB = \mu_0I(r/a)^2$ أو $\mu_0I$ . (2) و $\vect B$ محوري بالتناظر، ومنتظم في الخارج بتطبيق أمبير على مستطيل ضلعاه الطويلان في الخارج، ومن ثمّ معدوم (إذ ينعدم عند اللانهاية)؛ و مستطيل ضلعه الطويل الواحد في الداخل، طوله $\ell$ ، يعطي $B\ell = \mu_0n\ell I$ . (3) ودائرة نصف قطرها $r$ داخل الملف الحلقي: $2\pi rB = \mu_0NI$ ؛ وفي الخارج يكون التيار المحصور معدومًا. ∎

على اليمين: مجال سلك سميك، خطي في الداخل وبالمقدار 1/r في الخارج، وأكبر ما يكون عند السطح. وعلى اليسار: مستطيل أمبير الذي يعطي مجال ملف لولبي لانهائي — فلا يسهم في التكامل الخطي إلا الضلع الداخلي. — على اليمين: مجال سلك سميك، خطي في الداخل وبالمقدار $1/r$ في الخارج، وأكبر ما يكون عند السطح. وعلى اليسار: مستطيل أمبير الذي يعطي مجال ملف لولبي لانهائي — فلا يسهم في التكامل الخطي إلا الضلع الداخلي.

28.4 قوة لابلاس

مبرهنة 28.11 (قوة لابلاس)

عنصر ناقل $\dd\vect l$ يحمل $I$ في مجال $\vect B$ يتلقى القوة $\dd\vect F = I\,\dd\vect l\wedge\vect B$ ؛ وقطعة مستقيمة $\vect L$ في مجال منتظم تتلقى $\vect F = I\vect L\wedge\vect B$ ، طويلتها $ILB\sin\theta$ ، عمودية على السلك وعلى المجال معًا.

برهان. حاملات الشحنة في $\dd\vect l$ (وعددها $n\,S\,\dd l$ ، وشحنتها $q$ ، وسرعة انسياقها $\vect v$ ) تحسّ كلٌّ منها بالقوة $q\vect v\wedge\vect B$ ؛ ومجموعها هو $nSq\,\dd l\,\vect v\wedge\vect B = I\,\dd\vect l\wedge\vect B$ لأن $I = nqvS$ ولأن $\vect v$ على امتداد $\dd\vect l$ . وتنقل الحاملات القوة إلى شبكة السلك عبر تصادماتها. ∎

قضية 28.12 (القوة بين سلكين متوازيين)

سلكان طويلان متوازيان يفترقان بالمسافة $d$ ويحملان $I_1$ و $I_2$ يتجاذبان إذا كان التياران متوازيين، ويتنافران إذا كانا متعاكسين، بقوة لواحدة الطول

\frac{F}{\ell} = \frac{\mu_0I_1I_2}{2\pi d} .

وسلكان يفترقان $1\,\mathrm{m}$ ويحملان $1\,\mathrm{A}$ يحسّان بقوة $2 \times 10^{-7}$ نيوتن في المتر — وهو تعريف الأمبير من 1948 إلى 2019، وأصل القيمة $\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7}$ .

برهان. يُحدث السلك 1 عند السلك 2 المقدارَ $\mu_0I_1/2\pi d$ ، عموديًّا عليه؛ وتكون قوة لابلاس على طول $\ell$ من السلك 2 هي $I_2\ell \times \mu_0I_1/2\pi d$ ، موجَّهة نحو السلك 1 حين يكون التياران متوازيين (تحقّق من ذلك بقاعدة اليد اليمنى). ∎

قوة لابلاس: بين سلكين متوازيين (على اليمين وفي الوسط) وعلى قضيب منزلق يحمل تيارًا عبر مجال (على اليسار) — وهما سكتا لابلاس، وموازنة طاقتهما موضوع . — قوة لابلاس: بين سلكين متوازيين (على اليمين وفي الوسط) وعلى قضيب منزلق يحمل تيارًا عبر مجال (على اليسار) — وهما سكتا لابلاس، وموازنة طاقتهما موضوع الفصل 29.

28.5 ثنائي القطب المغناطيسي

تعريف 28.13 (العزم المغناطيسي)

حلقة مستوية مساحتها $S$ تحمل $I$ ، وتُوجَّه بقاعدة اليد اليمنى (فالناظم $\vect n$ في جهة الإبهام حين تتبع الأصابع $I$ )، لها عزم مغناطيسي $\vect m = IS\,\vect n$ (بوحدة $\mathrm{A}\,\mathrm{m}^{2}$ )؛ ومن أجل $N$ لفة يكون $NIS\,\vect n$ . وحين تُرى من مسافات $r \gg \sqrt S$ تكون الحلقة ثنائي قطب مغناطيسيًّا: فمجالها له تمامًا شكل مجال ثنائي القطب الكهربائي مع $\vect p/\varepsilon_0 \to \mu_0\vect m$ :

B_r = \frac{\mu_0}{4\pi}\,\frac{2m\cos\theta}{r^3}, \qquad B_\theta = \frac{\mu_0}{4\pi}\,\frac{m\sin\theta}{r^3} .

والمغناطيس القضيبي والذرة والأرض ثنائيات قطب مغناطيسية: فعزم الأرض $8 \times 10^{22}\,\mathrm{A}\,\mathrm{m}^{2}$ ، وعزم الإلكترون $9.3 \times 10^{-24}\,\mathrm{A}\,\mathrm{m}^{2}$ (وهو مغنطون بور).

برهان. على المحور يساوي مجال الحلقة $\mu_0IR^2/2z^3$ من أجل $z \gg R$ المقدارَ $\mu_0 \cdot 2m/4\pi z^3$ مع $m = I\pi R^2$ ، فيطابق $B_r$ عند $\theta = 0$ ؛ أما الصيغة الزاوية التامّة فمسلَّم بها. ∎

مبرهنة 28.14 (ثنائي قطب في مجال)

عزم مغناطيسي $\vect m$ في مجال منتظم $\vect B$ لا يحسّ بأيّ قوة صافية، بل بعزم مزدوج $\vect\Gamma = \vect m\wedge\vect B$ يطابقه مع المجال، وتكون له طاقة الوضع $E_p = -\vect m\cdot\vect B$ . وفي مجال غير منتظم يُجذب نحو منطقة المجال القوي حين يكون مطابقًا (ويُدفع بعيدًا حين يكون معاكسًا).

برهان. من أجل حلقة مستطيلة $a \times b$ يصنع فيها $\vect n$ الزاوية $\theta$ مع $\vect B$ : تكون قوتا لابلاس على الضلعين اللذين طولهما $b$ الموازيين لمحور الدوران $\pm IbB$ ، متعاكستين، وتفترقان بالمسافة $a\sin\theta$ : فهما مزدوجة عزمها $IabB\sin\theta = mB\sin\theta$ ، تنحو إلى إنقاص $\theta$ ؛ أما القوتان على الضلعين الآخرين فمتعاكستان و على استقامة واحدة. وأما الطاقة: $\Gamma = -\dd E_p/\dd\theta$ مع $\Gamma = -mB\sin\theta$ يعطي $E_p = -mB\cos\theta$ . وكل حلقة مستوية مجموع مستطيلات صغيرة؛ أما الحالة غير المنتظمة فمسلَّم بها. ∎

على اليمين: حلقة تيارية في مجال منتظم، منظورًا إليها على امتداد محور دورانها — فقوتا لابلاس على الضلعين تؤلفان مزدوجة تطابق العزم مع المجال. وعلى اليسار: خطوط مجال مغناطيس قضيبي هي خطوط ثنائي قطب مغناطيسي، مطابقة في الشكل لخطوط ثنائي القطب الكهربائي، تغادر الوجه الشمالي وتعود إلى الجنوبي.

مثال 28.15 (البوصلة والأرض)

إبرة البوصلة مغناطيس صغير عزمه $m \sim 0.1\,\mathrm{A}\,\mathrm{m}^{2}$ ؛ وفي المركّبة الأفقية لمجال الأرض، $B_h \approx 2 \times 10^{-5}\,\mathrm{T}$ ، يديرها العزم المزدوج $mB_h\sin\theta$ نحو الشمال، فتهتزّ حول الشمال بدور $2\pi\sqrt{J/mB_h} \sim 1\,\mathrm{s}$ (التمرين 28.9). وثنائي قطب الأرض نفسه، $8 \times 10^{22}\,\mathrm{A}\,\mathrm{m}^{2}$ ، يكافئ تيارًا من بضعة مليارات من الأمبيرات يدور في لبّها الحديدي السائل؛ والمجال الذي يُحدثه عند السطح أضعف مجالات الفصل وأولُ ما استعمله أحد.

28.6 تمارين

تمرين 28.1 ★

المجال على $1.0\,\mathrm{cm}$ من سلك مستقيم يحمل $10\,\mathrm{A}$ ؛ والتيار اللازم لبلوغ $1\,\mathrm{T}$ على ذلك البعد؛ والبعد الذي يساوي عنده مجال سلك يحمل $100\,\mathrm{A}$ مجالَ الأرض $5 \times 10^{-5}\,\mathrm{T}$ .

حل

حل التمرين 28.1.

$B = \mu_0I/2\pi r = 2 \times 10^{-7} \times 10/0.01 = 2 \times 10^{-4}\,\mathrm{T}$ . ومن أجل $1\,\mathrm{T}$ : $I = 2\pi rB/\mu_0 = 5 \times 10^{4}\,\mathrm{A}$ . ويُبلَغ مجال الأرض عند $r = 2 \times 10^{-7} \times 100/5 \times 10^{-5} = 0.4\,\mathrm{m}$ .

تمرين 28.2 ★

المجال في مركز وشيعة من $100$ لفة نصف قطرها $5.0\,\mathrm{cm}$ تحمل $2.0\,\mathrm{A}$ ؛ ثم على محورها على $5.0\,\mathrm{cm}$ وعلى $50\,\mathrm{cm}$ من المركز.

حل

حل التمرين 28.2.

عند المركز: $\mu_0NI/2R = 4\pi \times 10^{-7} \times 200/0.1 = 2.5\,\mathrm{mT}$ . وعند $z = R$ : $\times(R^2/2R^2)^{3/2} = 2^{-3/2}$ ، أي $0.89\,\mathrm{mT}$ . وعند $z = 10R$ : $\times(1/101)^{3/2} = 10^{-3}$ ، أي $2.5\,\text{µ}\mathrm{T}$ ، وهو قانون ثنائي القطب $1/z^3$ من الآن.

تمرين 28.3 ★

ملف لولبي فيه $1000$ لفة في المتر يحمل $5.0\,\mathrm{A}$ : أوجد المجال في الداخل بعيدًا عن الطرفين؛ ثم عند الطرف تمامًا. وكم لفة من سلك قطره $0.5\,\mathrm{mm}$ يمكن لفّها في المتر في طبقة واحدة، وما المجال عندئذ عند $5\,\mathrm{A}$ ؟

حل

حل التمرين 28.3.

$B = \mu_0nI = 4\pi \times 10^{-7} \times 1000 \times 5 = 6.3\,\mathrm{mT}$ ؛ وعند الطرف النصف: $3.1\,\mathrm{mT}$ . وبسلك قطره $0.5\,\mathrm{mm}$ : $2000$ لفة في المتر، ومنه $12.6\,\mathrm{mT}$ عند $5\,\mathrm{A}$ .

تمرين 28.4 ★

القوة على سلك طوله $1.0\,\mathrm{m}$ يحمل $10\,\mathrm{A}$ عموديًّا على مجال قدره $0.10\,\mathrm{T}$ ؛ ثم على السلك نفسه بزاوية $30{}^{\circ}$ مع المجال. ولمحرك $100$ سلك كهذه على دوّار نصف قطره $5\,\mathrm{cm}$ : أوجد العزم (برتبة القدر).

حل

حل التمرين 28.4.

$F = ILB = 10 \times 1 \times 0.1 = 1.0\,\mathrm{N}$ ؛ وعند $30{}^{\circ}$ ، بالعامل $\sin30^\circ$ : $0.5\,\mathrm{N}$ . وفي المحرك: $100 \times 1\,\mathrm{N} \times 0.05\,\mathrm{m} = 5\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}$ — أي محرك صناعي صغير.

تمرين 28.5 ★★

مجال قطعة مستقيمة منتهية على البعد $d$ من حاملها، ويُرى طرفاها تحت الزاويتين $\alpha_1$ و $\alpha_2$ (مقيستين من العمود): $B = \dfrac{\mu_0I}{4\pi d}(\sin\alpha_2 - \sin\alpha_1)$ . وتحقّق من نهاية السلك اللانهائي. ثم المجال في مركز حلقة مربعة ضلعها $a$ .

حل

حل التمرين 28.5.

مع $z = d\tan\alpha$ : $B = \dfrac{\mu_0I}{4\pi}\displaystyle\int\dfrac{d\,\dd z}{(d^2 + z^2)^{3/2}} = \dfrac{\mu_0I}{4\pi d}\displaystyle\int_{\alpha_1}^{\alpha_2}\cos\alpha\,\dd\alpha = \dfrac{\mu_0I}{4\pi d} (\sin\alpha_2 - \sin\alpha_1)$ ؛ وفي السلك اللانهائي $\alpha_{1,2} = \mp\pi/2$ : ومنه $\mu_0I/2\pi d$ . وفي المربع: كل ضلع عند $d = a/2$ يُرى تحت $\pm45^\circ$ فيعطي $\mu_0I\sqrt2/2\pi a$ ؛ وبأربعة أضلاع: $B = 2\sqrt2\,\mu_0I/\pi a = 0.90\,\mu_0I/a$ (ودائرة “نصف قطرها” $a/2$ كانت لتعطي $\mu_0I/a$ ).

تمرين 28.6 ★★

وشيعتا هلمهولتز. وشيعتان متماثلتان ( $N$ لفة ونصف القطر $R$ ) على محور مشترك، تفترقان بالمسافة $R$ ، وتحملان التيار نفسه في الجهة نفسها. أوجد المجال عند نقطة المنتصف؛ وبيّن أن المشتقتين الأولى والثانية للمقدار $B$ على امتداد المحور تنعدمان هناك. والأعداد: $N = 100$ و $R = 15\,\mathrm{cm}$ و $I = 1.0\,\mathrm{A}$ .

حل

حل التمرين 28.6.

$B(z) = f(z - R/2) + f(z + R/2)$ مع $f(u) = \mu_0NIR^2/2(R^2 + u^2)^{3/2}$ . وعند نقطة المنتصف: $2f(R/2) = \mu_0NIR^2/(5R^2/4)^{3/2} = (4/5)^{3/2}\mu_0NI/R$ . والدالة $f'$ فردية، ومنه $B'(0) = f'(-R/2) + f'(R/2) = 0$ ؛ و $f''(u) \propto (4u^2 - R^2)(R^2 + u^2)^{-7/2}$ ينعدم عند $u = R/2$ ، ومنه $B''(0) = 2f''(R/2) = 0$ : فالمجال منتظم إلى المرتبة الثالثة. والأعداد: $0.716 \times 4\pi \times 10^{-7} \times 100/0.15 = 0.60\,\mathrm{mT}$ .

تمرين 28.7 ★★

سلك نحاسي نصف قطره $2.0\,\mathrm{mm}$ يحمل $100\,\mathrm{A}$ . أوجد المجال عند السطح، وعلى $1.0\,\mathrm{mm}$ من المحور، وعلى $1.0\,\mathrm{cm}$ . وارسم $B(r)$ . ثم يصير السلك الناقل الداخلي لكبل محوري يحمل غلافه تيار العودة: أوجد المجال خارج الغلاف.

حل

حل التمرين 28.7.

عند السطح: $\mu_0I/2\pi a = 2 \times 10^{-7} \times 100/0.002 = 10\,\mathrm{mT}$ ؛ وعند $1\,\mathrm{mm}$ في الداخل، بالعامل $\times r/a$ : $5\,\mathrm{mT}$ ؛ وعند $1\,\mathrm{cm}$ : $2\,\mathrm{mT}$ . ويتزايد $B$ خطيًّا حتى السطح، ثم يتناقص بنسبة $1/r$ . وفي الكبل المحوري: خارج الغلاف يكون التيار المحصور معدومًا، ومنه $B = 0$ .

تمرين 28.8 ★★

القوة في المتر بين سلكين يفترقان $1\,\mathrm{m}$ عند $1\,\mathrm{A}$ ؛ ثم بين قضيبين ناقلين يفترقان $10\,\mathrm{cm}$ ويحملان $10\,\mathrm{kA}$ ؛ ثم تحت دارة قصر شدتها $100\,\mathrm{kA}$ . وما الذي يجب أن يمسك القضيبين؟

حل

حل التمرين 28.8.

$2 \times 10^{-7}$ نيوتن في المتر. وفي القضبان الناقلة: $2 \times 10^{-7} \times 10^8/0.1 = 200\,\mathrm{N}/\mathrm{m}$ ؛ وعند $100\,\mathrm{kA}$ : $2 \times 10^{4}\,\mathrm{N}/\mathrm{m}$ — أي طنان في المتر. ولذا تُقاس دعائم معدات القطع العازلة على تيار العطل لا على تيار التشغيل.

تمرين 28.9 ★★

إبرة بوصلة عزمها $m = 0.10\,\mathrm{A}\,\mathrm{m}^{2}$ ، وعزم عطالتها $J = 1.0 \times 10^{-7}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{2}$ ، في مجال أفقي $B_h = 2.0 \times 10^{-5}\,\mathrm{T}$ . أوجد العزم المزدوج عند $90{}^{\circ}$ ؛ والشغل اللازم لإدارتها من الشمال إلى الجنوب؛ ودور الاهتزازات الصغيرة. وكيف يُقاس $B_h$ بها؟

حل

حل التمرين 28.9.

$\Gamma = mB_h = 2 \times 10^{-6}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}$ ؛ و $W = 2mB_h = 4 \times 10^{-6}\,\mathrm{J}$ ؛ و $J\ddot\theta = -mB_h\theta$ : ومنه $T = 2\pi\sqrt{J/mB_h} = 2\pi\sqrt{10^{-7}/2 \times 10^{-6}} = 1.4\,\mathrm{s}$ . ويُقاس بتوقيت الاهتزازات: $B_h = 4\pi^2J/mT^2$ متى عُرفت $m$ و $J$ (وقد قاس غاوس $m$ على حدة من الانحراف الذي تُحدثه في إبرة ثانية).

تمرين 28.10 ★★★

الأرض ثنائي قطب. (أ) بيّن أن مجال حلقة على محورها، من بعيد، هو $B = \mu_0m/2\pi z^3$ مع $m = I\pi R^2$ ؛ وقارنه بثنائي القطب الكهربائي. (ب) والمجال عند القطب المغناطيسي نحو $6 \times 10^{-5}\,\mathrm{T}$ : استنتج عزم ثنائي قطب الأرض. (ج) والتيار في حلقة نصف قطرها $3000\,\mathrm{km}$ (وهي اللبّ) الذي كان لينتجه. (د) والمجال عند خط الاستواء على نموذج ثنائي القطب؛ وزاوية ميل المجال عند خط العرض $45{}^{\circ}$ (باستعمال $B_r$ و $B_\theta$ ).

حل

حل التمرين 28.10.

(أ) $\mu_0IR^2/2z^3 = \mu_0(I\pi R^2)/2\pi z^3 = \mu_0m/2\pi z^3 = (\mu_0/4\pi)\,2m/z^3$ : أي المقدار الكهربائي $2p/4\pi\varepsilon_0z^3$ مع $1/\varepsilon_0 \to \mu_0$ . (ب) و $m = 2\pi R_E^3B/ \mu_0 = 2\pi \times 2.58 \times 10^{20} \times 6 \times 10^{-5}/1.26 \times 10^{-6} = 7.7 \times 10^{22}\,\mathrm{A}\,\mathrm{m}^{2}$ . (ج) و $I = m/\pi R^2 = 7.7 \times 10^{22}/(\pi \times 9 \times 10^{12}) = 2.7 \times 10^{9}\,\mathrm{A}$ . (د) وعند خط الاستواء ( $\theta = 90^\circ$ ): $B_\theta = \mu_0m/4\pi R_E^3 = 3 \times 10^{-5}\,\mathrm{T}$ ، أي نصف القيمة القطبية. وعند $\theta = 45^\circ$ : $\tan(\text{الميل}) = B_r/B_\theta = 2\cot\theta = 2$ ، فيكون الميل $= 63{}^{\circ}$ — فالمجال يغوص في الأرض بحدّة عند خطوط العرض الوسطى.

تمرين 28.11 ★★★

ملف لولبي منتهٍ. طوله $L = 20\,\mathrm{cm}$ ونصف قطره $R = 2.0\,\mathrm{cm}$ ، و $n = 2000\,\mathrm{m}^{-1}$ و $I = 3.0\,\mathrm{A}$ . أوجد المجال عند المركز وعند طرف بصيغة الدرس؛ ونسبته إلى قيمة الملف اللانهائي؛ وعلى أيّ بعد في الخارج على امتداد المحور يهبط المجال إلى $1\%$ من القيمة المركزية؟ وارسم $B(z)$ على امتداد المحور.

حل

حل التمرين 28.11.

$\mu_0nI = 4\pi \times 10^{-7} \times 2000 \times 3 = 7.5\,\mathrm{mT}$ . وعند المركز: $\tan\alpha_1 = R/(L/2) = 0.2$ و $\cos\alpha_1 = -\cos\alpha_2 = 0.981$ : ومنه $B = 0.981\,\mu_0nI = 7.4\,\mathrm{mT}$ (أي $98\%$ ). وعند الطرف: $\cos\alpha_1 = 0$ و $\tan\alpha_2 = R/L$ و $\cos\alpha_2 = -0.995$ : ومنه $B = 0.497\,\mu_0nI = 3.7\,\mathrm{mT}$ (أي $50\%$ ). وفي الخارج عند $x$ وراء الطرف، والطرفان في الجهة نفسها: $B = \tfrac12\mu_0nI(\cos\alpha_1 - \cos\alpha_2) \approx \tfrac12\mu_0nI\,\tfrac{R^2}{2}[1/x^2 - 1/(x + L)^2]$ ؛ ويبلغ $1\%$ من القيمة المركزية عند $x \approx 10\,\mathrm{cm}$ ، أي على نصف طول في الخارج. وأما $B(z)$ : فقمة مسطّحة على معظم الطول، تهبط إلى النصف عند الطرفين وإلى بضعة بالمئة على بعد طول واحد.

تمرين 28.12 ★★★

الضغط المغناطيسي. في ملف لولبي طويل يكون المجال $B$ في الداخل و $0$ في الخارج؛ وتحمل الملفات تيارًا سطحيًّا $K = nI$ في المتر من الطول. (أ) بيّن أن المجال عند الملفات، وهو متوسط الداخل والخارج، يساوي $B/2$ ، وأن قوة لابلاس عليها ضغط نحو الخارج $p = B^2/2\mu_0$ . (ب) والأعداد من أجل $1\,\mathrm{T}$ و $10\,\mathrm{T}$ و $45\,\mathrm{T}$ ؛ وقارنها بالضغط الجوي و بمقاومة الفولاذ للشدّ ( $1\,\mathrm{GPa}$ ). (ج) وما الذي يحدّ من أقوى المغانط المستقرة؟

حل

حل التمرين 28.12.

(أ) يقفز مجال الملفات الخاص من $0$ إلى $B$ عبرها؛ و المجال المؤثر فيها هو المتوسط، $B/2$ (فالصفيحة لا تدفع نفسها). والقوة على عنصر من الملف طوله $\dd l$ وعرضه $\dd z$ يحمل $K\,\dd z$ : هي $K\,\dd z\,\dd l\,B/2$ ، قطرية نحو الخارج (تحقّق بالمقدار $I\,\dd\vect l \wedge\vect B$ ): فالضغط $p = KB/2 = B^2/2\mu_0$ لأن $K = nI = B/\mu_0$ . (ب) وعند $1\,\mathrm{T}$ : $4 \times 10^{5}\,\mathrm{Pa}$ أي $4\,\mathrm{bar}$ ؛ وعند $10\,\mathrm{T}$ : $400\,\mathrm{bar}$ ؛ وعند $45\,\mathrm{T}$ : $8 \times 10^{8}\,\mathrm{Pa}$ أي $8000\,\mathrm{bar}$ ، وهو قريب من $1\,\mathrm{GPa}$ للفولاذ. (ج) وعلى الملفات أن تحمل ضغطًا ينمو بنسبة $B^2$ : ففوق $40\,\mathrm{T}$ أو نحوها لا تكفي مادة ولا خطة تبريد — فحدّ المغانط المستقرة حدّ ميكانيكي (وهو، في فائقات الناقلية، مجالها الحرج).

خط نقل عالي التوتر: ثلاثة نواقل لكل دارة يكون مجموع تياراتها معدومًا، فتتلاشى مجالاتها على بعد. الصورة: ستيفان أندريه شامبورا، CC BY 2.0.

28.7 مسألة: الكبل والخط والمقياس

مسألة 28.1

مسألة نهاية الأسبوع — مبرهنة أمبير على كبل محوري، وقوى لابلاس على خط نقل، وتصميم غلفانومتر ذي وشيعة متحركة

$\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7}$ بالوحدات الدولية؛ ومقاومية النحاس $\rho = 1.7 \times 10^{-8}\,\Omega\,\mathrm{m}$ .

الجزء I — الكبل المحوري. يحمل كبل التيار $I = 1.0\,\mathrm{A}$ على امتداد قلب نحاسي مصمت نصف قطره $a = 0.50\,\mathrm{mm}$ ويعيده على امتداد غلاف نصف قطره الداخلي $b = 2.5\,\mathrm{mm}$ وقطره الخارجي $c = 3.0\,\mathrm{mm}$ ؛ والتياران منتظمان على مقطع كل ناقل.

التناظرات وعدم التغيّرات: أوجد جهة $\vect B$ و المتغير الذي يتوقف عليه.
$B(r)$ في القلب، وبين الناقلين، وخارج الكبل، بمبرهنة أمبير.
القيمتان عند $r = a$ و $r = b$ .
ويُستبدَل بالقلب أنبوب نحاسي رفيع نصف قطره $a$ نفسه يحمل التيار نفسه: فما الذي يتغير في كل منطقة؟
$B(r)$ داخل الغلاف ( $b < r < c$ )؛ وتحقّق من القيمتين عند $b$ وعند $c$ ؛ وارسم $B(r)$ من $0$ إلى $4\,\mathrm{mm}$ .
قوة لابلاس على الغلاف: أوجد جهتها (أهي تجاذب مع القلب أم تنافر؟) وطويلتها لواحدة المساحة، بأخذ المجال عند الغلاف متوسطَ قيمتيه عند $b$ وعند $c$ . والسؤال نفسه من أجل تيار نبضي شدته $10\,\mathrm{kA}$ .
ولماذا تُستعمل الهندسة المحورية للإشارات؟ وقارنها بزوج من سلكين متوازيين يفترقان $d = 2\,\mathrm{mm}$ : أوجد المجال على البعد $D = 10\,\mathrm{cm}$ من الزوج (بتراكب سلكين).

الجزء II — خط النقل. ناقلان أفقيان يفترقان $d = 1.0\,\mathrm{m}$ ، على ارتفاع $h = 10\,\mathrm{m}$ فوق الأرض، يحملان $I = 500\,\mathrm{A}$ في جهتين متعاكستين.

مجال أحد الناقلين عند النقطة الواقعة على الأرض تحت نقطة المنتصف؛ وبيّن أن المجالين يتركبان في مجال شاقولي وأعطِ قيمته؛ وقارنه بمجال الأرض وبحدّ التعرض الإرشادي $100\,\text{µ}\mathrm{T}$ .
بيّن أن مجال الزوج يتناقص على مسافات $D \gg d$ بنسبة $\mu_0Id/2\pi D^2$ : فلماذا أسرع من سلك واحد؟
المجال على $1.0\,\mathrm{m}$ تحت أحد الناقلين، حيث قد يعمل فنّي.
القوة في المتر بين الناقلين؛ أهي تجاذب أم تنافر؟ والسؤال نفسه تحت تيار دارة قصر شدته $20\,\mathrm{kA}$ .
القوة على امتداد طوله $300\,\mathrm{m}$ ، في الحال العادية وفي دارة القصر؛ وقارنها بثقل ذلك الامتداد ( $1.0\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}$ )؛ وماذا تفعل الخطوط أثناء دارة قصر؟
خط ثلاثي الطور يحمل ثلاثة تيارات بالسعة نفسها متزاحة بزاوية $120{}^{\circ}$ : بيّن أن مجموعها ينعدم في كل لحظة، وما الذي يعنيه ذلك للمجال البعيد.
بوصلة عند نقطة السؤال 8، حيث يكون مجال الأرض الأفقي $2.0 \times 10^{-5}\,\mathrm{T}$ : فهل يحرفها مجال الخط؟ (انظر في جهته.)

الجزء III — الغلفانومتر ذو الوشيعة المتحركة. وشيعة مستطيلة فيها $N = 200$ لفة، وضلعاها $a = 2.0\,\mathrm{cm}$ (موازيان لمحور الدوران) و $b = 3.0\,\mathrm{cm}$ ، تدور حول محورها في الفجوة بين قطعتَي قطبين أسطوانيتين يكون فيها المجال، $B = 0.20\,\mathrm{T}$ ، قطريًّا: أي دائمًا في مستوي الوشيعة، عموديًّا على ضلعيها $a$ . ويؤثر نابض حلزوني بعزم مُعيد $-C\theta$ مع $C = 1.0 \times 10^{-5}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}/\mathrm{rad}$ . وعزم عطالة الوشيعة والإبرة: $J = 6.7 \times 10^{-8}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{2}$ .

قوى لابلاس على الأضلاع الأربعة؛ وأيّها ينتج عزمًا حول المحور؟
العزم من أجل تيار $I$ ؛ ولماذا يجعله المجال القطري مستقلًّا عن $\theta$ ؟
الانحراف $\theta$ عند التوازن؛ والحساسية بالراديان لكل ميلي أمبير؛ والتيار الموافق لانحراف تامّ قدره $1.2\,\mathrm{rad}$ .
وتُلفّ الوشيعة بسلك نحاسي قطره $0.10\,\mathrm{mm}$ : أوجد مقاومة الوشيعة؛ والتوتر بين طرفيها والاستطاعة المبددة عند الانحراف التامّ.
معادلة حركة الوشيعة؛ والدور الذاتي للاهتزازات حول التوازن.
تُحدث حركة الوشيعة في المجال عزمًا مكبحًا $-\alpha\dot\theta$ (الفصل 29)؛ أوجد قيمة $\alpha$ من أجل التخميد الحرج، ولماذا يُرغب فيه.
المقاومة المتسلسلة لصنع فولطمتر مداه $10\,\mathrm{V}$ ؛ ومقاومة التحويل لصنع أمبيرمتر مداه $1.0\,\mathrm{A}$ .
العزم المغناطيسي للوشيعة عند الانحراف التامّ؛ والطاقة $-\vect m\cdot \vect B$ التي كانت لتكون لها، مطابقةً، في مجال منتظم قدره $0.20\,\mathrm{T}$ ؛ وقارنها بالطاقة المخزونة في النابض عند الانحراف التامّ.
ولو كان المجال منتظمًا بدل أن يكون قطريًّا، فبيّن أن التدريج لم يعد خطيًّا: اكتب شرط التوازن مع $\theta$ مقيسةً من الوضع الذي يحوي فيه مستوي الوشيعة المتجهةَ $\vect B$ .
ويُغذّى المقياس بتيار تواتره $50\,\mathrm{Hz}$ وسعته $0.5\,\mathrm{mA}$ : فماذا تُظهر الإبرة، ولماذا؟ (قارن $50\,\mathrm{Hz}$ بالتواتر الذاتي.)
لخّص المشاهد الثلاثة في ثلاثة أعداد، وقل أيّ قانون واحد أنتج كلًّا منها.

حل

حل المسألة 28.1.

1. كل مستوٍ يحوي المحور مستوي تناظر للتيارات: فيكون $\vect B$ عموديًّا عليه، أي معامدًا؛ وبعدم التغيّر على امتداد المحور وحوله: $\vect B = B(r)\,\vect e_\theta$ .

2. دائرة نصف قطرها $r$ : $2\pi rB = \mu_0I_{\text{المحصور}}$ . وفي القلب: $I_{\text{المحصور}} = Ir^2/a^2$ و $B = \mu_0Ir/2\pi a^2$ ؛ وبين الناقلين: $\mu_0I/2\pi r$ ؛ وفي الخارج ( $r > c$ ): $I - I = 0$ و $B = 0$ .

3. $B(a) = 2 \times 10^{-7}/5 \times 10^{-4} = 4.0 \times 10^{-4}\,\mathrm{T}$ ؛ و $B(b) = 2 \times 10^{-7}/2.5 \times 10^{-3} = 8.0 \times 10^{-5}\,\mathrm{T}$ .

4. داخل الأنبوب لا تيار محصور: فيكون $B = 0$ هناك بدل التزايد الخطي؛ ولا يتغير شيء في كل موضع آخر — فالمجال خارج تيار أسطواني لا يتوقف إلا على التيار الكلي.

5. $I_{\text{المحصور}} = I - I(r^2 - b^2)/(c^2 - b^2) = I(c^2 - r^2)/(c^2 - b^2)$ : ومنه $B = \dfrac{\mu_0I}{2\pi r}\,\dfrac{c^2 - r^2}{c^2 - b^2}$ ، ويساوي $\mu_0I/2\pi b$ عند $b$ و $0$ عند $c$ : فهو متصل. والرسم: تزايد خطي إلى $4 \times 10^{-4}\,\mathrm{T}$ عند $0.5\,\mathrm{mm}$ ، ثم هبوط بالمقدار $1/r$ إلى $8 \times 10^{-5}\,\mathrm{T}$ عند $2.5\,\mathrm{mm}$ ، ثم هبوط إلى الصفر عند $3\,\mathrm{mm}$ ، ثم صفر فيما وراء ذلك.

6. تيار الغلاف معاكس لتيار القلب: فالتنافر، أي ضغط نحو الخارج. والتيار السطحي $K = I/2\pi b = 64\,\mathrm{A}/\mathrm{m}$ ؛ ومتوسط المجال $\tfrac12(8 \times 10^{-5} + 0) = 4 \times 10^{-5}\,\mathrm{T}$ : ومنه $p = KB = 2.5 \times 10^{-3}\,\mathrm{Pa}$ . وعند $10\,\mathrm{kA}$ : بالعامل $\times10^8$ ، أي $2.5 \times 10^{5}\,\mathrm{Pa}$ = $2.5\,\mathrm{bar}$ — وكبلات الاستطاعة النبضية مبنية لتحتمله.

7. لا مجال في الخارج: فالكبل لا يشعّ ولا يلتقط تشويشًا مغناطيسيًّا من جيرانه. أما زوج الأسلاك: فيكاد المجالان يتلاشيان، ولا يبقى إلا $\approx \mu_0Id/2\pi D^2 = 2 \times 10^{-7} \times 2 \times 10^{-3}/10^{-2} = 4 \times 10^{-8}\,\mathrm{T}$ عند $10\,\mathrm{cm}$ — وهو صغير، لكن المحوري يعطي صفرًا.

8. $D = \sqrt{h^2 + d^2/4} = 10.0\,\mathrm{m}$ : فيعطي كلٌّ منهما $\mu_0I/2\pi D = 1.0 \times 10^{-5}\,\mathrm{T}$ ، عموديًّا على المستقيم الواصل من الناقل. ولأن التيارين متعاكسان تتلاشى المركّبات الموازية للمستقيم الواصل بين الناقلين وتتجمع الشاقولية: ومنه $B = 2 \times 10^{-5} \times (d/2)/D = 1.0 \times 10^{-6}\,\mathrm{T}$ ، شاقوليًّا. أي دون مجال الأرض خمسين مرة، ودون الحدّ الإرشادي مئة مرة.

9. من أجل $D \gg d$ يكون $B \approx \dfrac{\mu_0I}{2\pi}\Bigl(\dfrac1{D_1} - \dfrac1{D_2}\Bigr) \sim \dfrac{\mu_0I}{2\pi}\dfrac{d}{D^2}$ : فمجالا $1/D$ يتلاشيان إلى المرتبة الأولى ولا ينجو إلا فرقهما، وقياسه النسبي $d/D$ — وهو “ثنائي قطب من سلكين”.

10. الناقل نفسه على $1\,\mathrm{m}$ : $1.0 \times 10^{-4}\,\mathrm{T}$ أفقيًّا؛ والآخر على $1.41\,\mathrm{m}$ : $7.1 \times 10^{-5}\,\mathrm{T}$ بزاوية $45{}^{\circ}$ ، معاكسًا: فالمحصلة $(5 \times 10^{-5}, 5 \times 10^{-5})$ ، أي $7 \times 10^{-5}\,\mathrm{T}$ — أي $70\,\text{µ}\mathrm{T}$ ، وهو دون الحدّ الإرشادي العام ودون الحدّ المهني بكثير.

11. $F/\ell = \mu_0I^2/2\pi d = 2 \times 10^{-7} \times 2.5 \times 10^5 = 0.05\,\mathrm{N}/\mathrm{m}$ ، وهي تنافرية؛ وعند $20\,\mathrm{kA}$ : $80\,\mathrm{N}/\mathrm{m}$ .

12. $15\,\mathrm{N}$ في الحال العادية؛ و $24\,\mathrm{kN}$ في دارة القصر، أي ثمانية أضعاف ثقل الامتداد البالغ $2.9\,\mathrm{kN}$ : فيُقذف الناقلان متباعدين، ويتأرجحان وقد يصطدمان حين يعودان — ومن هنا الفواصل والقواطع التي تفتح في غضون بضعة أدوار.

13. $I\cos\omega t + I\cos(\omega t - 2\pi/3) + I\cos(\omega t + 2\pi/3) = I\cos\omega t\,(1 + 2\cos2\pi/3) = 0$ : فمجموع الأشعة الطورية الثلاثة معدوم. و مجالات $1/D$ تتلاشى كما في المحوري؛ ويتناقص المجال البعيد بنسبة $1/D^2$ أو أسرع.

14. مجال الخط هناك شاقولي؛ والبوصلة لا تستجيب إلا للمركّبة الأفقية: فلا انحراف (ويتغير الميل بمقدار $10^{-6}/(2 \times 10^{-5})$ ، أي ثلاث درجات، وهو ما لا تستطيع البوصلة إظهاره).

15. الضلعان $a$ (الموازيان للمحور): المجال $\vect B$ القطري عمودي عليهما، فالقوة $NIaB$ على كلٍّ منهما، عمودية على مستوي الوشيعة، ومتعاكسة على الضلعين: فهي مزدوجة. أما الضلعان $b$ : فيكون $\dd\vect l$ فيهما قطريًّا، موازيًا للمتجهة $\vect B$ : فلا قوة.

16. $\Gamma = 2 \times NIaB \times b/2 = NIabB = NISB = 0.024\,I$ (بالنيوتن متر، مع $I$ بالأمبير). والمجال القطري يقع دائمًا في مستوي الوشيعة وعموديًّا على الضلعين $a$ : فتكون القوتان دائمًا ناظميتين على المستوي ولا يتغير ذراعهما $b/2$ أبدًا.

17. $C\theta = NISB$ : ومنه $\theta = 2400\,I$ راديان، أي $2.4\,\mathrm{rad}/\mathrm{mA}$ ؛ ويقع الانحراف التامّ $1.2\,\mathrm{rad}$ عند $I = 0.50\,\mathrm{mA}$ .

18. الطول $200 \times 2(0.02 + 0.03) = 20\,\mathrm{m}$ ، والمقطع $\pi(5 \times 10^{-5})^2 = 7.9 \times 10^{-9}\,\mathrm{m}^{2}$ : ومنه $R = 1.7 \times 10^{-8} \times 20/7.9 \times 10^{-9} = 43\,\Omega$ ؛ و $U = 43 \times 5 \times 10^{-4} = 22\,\mathrm{mV}$ ؛ و $P = UI = 11\,\text{µ}\mathrm{W}$ .

19. $J\ddot\theta = -C\theta + NISB\,I$ : ومنه $\omega_0 = \sqrt{C/J} = \sqrt{10^{-5}/6.7 \times 10^{-8}} = 12\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ و $T = 0.51\,\mathrm{s}$ .

20. $J\ddot\theta + \alpha\dot\theta + C\theta = NISB\,I$ : ويكون حرجًا عند $\alpha = 2\sqrt{JC} = 2\sqrt{6.7 \times 10^{-13}} = 1.6 \times 10^{-6}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}$ ؛ وعندئذ تبلغ الإبرة قراءتها بأسرع ما يمكن بلا تجاوز.

21. في الفولطمتر: $R_s = 10/5 \times 10^{-4} - 43 \approx 20\,\mathrm{k}\Omega$ . وفي الأمبيرمتر: تحمل مقاومة التحويل $0.9995\,\mathrm{A}$ تحت $22\,\mathrm{mV}$ : ومنه $R_{\text{التحويل}} = 22\,\mathrm{m}\Omega$ .

22. $m = NIS = 200 \times 5 \times 10^{-4} \times 6 \times 10^{-4} = 6 \times 10^{-5}\,\mathrm{A}\,\mathrm{m}^{2}$ ؛ و $-mB = -1.2 \times 10^{-5}\,\mathrm{J}$ ؛ وفي النابض $\tfrac12C\theta^2 = \tfrac12 \times 10^{-5} \times 1.44 = 7.2 \times 10^{-6}\,\mathrm{J}$ : أي الرتبة نفسها — فالنابض يخزّن ما أدّاه العزم المغناطيسي من شغل بينما كانت الوشيعة تدور.

23. في مجال منتظم يكون العزم المزدوج $mB\cos\theta$ (أعظميًّا حين يحوي المستوي $\vect B$ ، ومعدومًا حين يكون الناظم على امتداده): ومنه $C\theta = NISB\,I\cos\theta$ — وهو خطي من أجل $\theta$ الصغيرة وحدها، ومنضغط في أعلى التدريج.

24. $50\,\mathrm{Hz}$ مقابل $\omega_0/2\pi = 2\,\mathrm{Hz}$ : فلا تستطيع الوشيعة اللحاق؛ فتستقر عند متوسط التيار، وهو صفر، مع ارتعاش سعته $\approx \theta_{\text{الساكن}}(\omega_0/\omega)^2 = 1.2 \times (12/314)^2 \approx 2 \times 10^{-3}\,\mathrm{rad}$ ، وهو غير مرئي. ومقياس الوشيعة المتحركة يقرأ المتوسط — فمن أجل التيار المتناوب يحتاج إلى مقوِّم.

25. $4 \times 10^{-4}\,\mathrm{T}$ عند قلب كبل محوري يحمل $1\,\mathrm{A}$ ولا شيء في الخارج (بمبرهنة أمبير)؛ و $1\,\text{µ}\mathrm{T}$ تحت خط يحمل $500\,\mathrm{A}$ و $0.05\,\mathrm{N}/\mathrm{m}$ بين ناقليه (ببيو-سافار مع لابلاس)؛ و $2.4\,\mathrm{rad}/\mathrm{mA}$ في المقياس (بمزدوجة لابلاس في مواجهة نابض).

المصطلحات المعرَّفة في هذا الفصل

عرض كل المصطلحات (393) في المسرد