2البصريات الهندسية: الأشعة والانعكاس والانكسار

حل التمرين 2.1.

$v = c/n$: الماء $2.26 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$، والزجاج $2.00 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$، والألماس $1.24 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. والليف: $t = nL/c = 1.48 \times 10^3/3.00\times10^8 = 4.9\,\text{µ}\mathrm{s}$.

حل التمرين 2.2.

$\sin i_2 = \sin i_1/1.33$: $30^\circ \to 22.1^\circ$؛ و$60^\circ \to 40.6^\circ$. ومن الماء بزاوية $50^\circ$: $1.33\sin 50^\circ = 1.02 > 1$، فلا شعاع منكسر — بل انعكاس كلي ($i_c = 48.8^\circ$).

حل التمرين 2.3.

$i_c = \arcsin(1/n)$: الزجاج $41.8^\circ$، والألماس $24.4^\circ$، والماء $48.8^\circ$. ويمتدّ قرص السماء على $2 \times 48.8^\circ = 97.5^\circ$.

حل التمرين 2.4.

العينان على $1.60\,\mathrm{m}$. والشعاع الآتي من القدمين يصل إلى العين بعد انعكاس عند نصف ارتفاع العين، أي $0.80\,\mathrm{m}$؛ والشعاع الآتي من قمة الرأس ينعكس في منتصف ما بين القمة والعينين، عند $1.65\,\mathrm{m}$. فالمرآة من $0.80\,\mathrm{m}$ إلى $1.65\,\mathrm{m}$: ارتفاعها $0.85\,\mathrm{m}$، أي نصف ارتفاع الجسم — ولا يتوقف على المسافة (فقاعدة المنتصف تصحّ عند أيّ مسافة).

حل التمرين 2.5.

للزوايا الصغيرة يكون الموضع الظاهري $h' = h/n$ عند النظر من الوسط الأقلّ كثافة، و $h' = nh$ من الوسط الأكثف. القطعة النقدية: $1.2/1.33 = 0.90\,\mathrm{m}$. والصياد: $1.33 \times 1.8 = 2.4\,\mathrm{m}$. والتبرير: من أجل نقطة سطح على بعد أفقي $x$ يكون $\tan i_2 \approx i_2 = x/h$ و $\tan i_1 \approx i_1 = x/h'$ مع $i_1 = n i_2$.

حل التمرين 2.6.

$\sin\frac{A + D_{\min}}{2} = 1.52\sin 30^\circ = 0.760$، ومنه $\frac{A + D_{\min}}{2} = 49.5^\circ$ و $D_{\min} = 38.9^\circ$. والخروج يقتضي $r' \leq i_c$؛ كما أن $\sin r = \sin i/n \leq 1/n$ يعطي $r \leq i_c$؛ ومنه $A = r + r' \leq 2i_c$. وهنا $i_c = \arcsin(1/1.52) = 41.1^\circ$ و $2i_c = 82.3^\circ > 60^\circ$: فالشرط محقق.

حل التمرين 2.7.

$\mathrm{NA} = \sqrt{1.50^2 - 1.48^2} = \sqrt{0.0596} = 0.244$ و $\theta_a = 14.1^\circ$. و$\Delta t/L = (1.50/c)(1.50/1.48 - 1) = 5.0\times10^{-9} \times 0.0135 = 68\,\mathrm{ns}/\mathrm{km}$. وعلى $1\,\mathrm{km}$: $B_{\max} \approx 1/(2 \times 68\,\mathrm{ns}) = 7.4\,\mathrm{Mbit}/\mathrm{s}$.

حل التمرين 2.8.

$D \approx (n - 1)A$: الأحمر $0.510 \times 10^\circ = 5.10^\circ$، والأزرق $5.30^\circ$؛ وعرض الطيف $0.20^\circ$.

حل التمرين 2.9.

الدخول: $\sin r = \sin 45^\circ/1.5 = 0.471$ و $r = 28.1^\circ$. والوجهان متوازيان، فالورود على الوجه الثاني هو $r$ ويكون $\sin i' = n\sin r = \sin i$: أي $i' = i$، فالشعاع الخارج مواز للشعاع الوارد. وعلى امتداد المسار الداخلي الذي طوله $e/\cos r$ يكون الانزياح العمودي $(e/\cos r)\sin(i - r)$: $d = 2.0 \times \sin 16.9^\circ/\cos 28.1^\circ = 0.66\,\mathrm{cm}$.

حل التمرين 2.10.

انكساران ($2(i - r)$) وانعكاسان ($2(\pi - 2r)$): $D = 2\pi + 2i - 6r$. و$\dd D/\dd i = 2 - 6\cos i/(n\cos r) = 0$ يعطي $3\cos i = n\cos r$ ثم $9\cos^2 i = n^2 - 1 + \cos^2 i$ ثم $\cos^2 i = (n^2 - 1)/8$. ومن أجل $n = 1.333$: $\cos^2 i = 0.0971$ و $i = 71.8^\circ$ و $\sin r = 0.950/1.333$ و $r = 45.5^\circ$ و $D = 360^\circ + 143.7^\circ - 272.8^\circ = 230.9^\circ$: فالقوس عند $230.9^\circ - 180^\circ = 51^\circ$ من النقطة المقابلة للشمس، خارج الابتدائي ($42^\circ$). والأحمر ($n = 1.331$) عند $50.4^\circ$، والبنفسجي ($1.343$) عند $53.6^\circ$: فالألوان معكوسة، والبنفسجي خارجًا.

حل التمرين 2.11.

$\sin i_c = 1.00026/1.00029 = 0.99997$ و $i_c = 89.56^\circ$: فالأشعة الواقعة داخل $0.44^\circ = 7.7\,\mathrm{mrad}$ من سطح الطريق تنعكس انعكاسًا كليًّا (وعمومًا الزاوية الماسّة $\approx \sqrt{2\Delta n/n}$). ومن $1.2\,\mathrm{m}$ علوًّا يمسّ خط النظر بهذه الزاوية بعد $1.2/0.0077 \approx 160\,\mathrm{m}$: فالطريق هناك تعكس السماء — وهي “البركة”.

حل التمرين 2.12.

$t(x) = \dfrac{\sqrt{a^2 + x^2}}{v_1} + \dfrac{\sqrt{b^2 + (d - x)^2}}{v_2}$؛ و$t'(x) = \dfrac{x}{v_1\sqrt{a^2 + x^2}} - \dfrac{d - x}{v_2\sqrt{b^2 + (d - x)^2}} = \dfrac{\sin i_1}{v_1} - \dfrac{\sin i_2}{v_2}$، وهو معدوم تمامًا حين $\sin i_1/v_1 = \sin i_2/v_2$، أي $n_1\sin i_1 = n_2\sin i_2$ مع $n = c/v$.