الفيزياء الجامعية — السنة الأولى · Bachelor Year 1

30مدخل إلى الفيزياء الكمومية

سلّط ضوءًا فوق بنفسجي على معدن نظيف تطر الإلكترونات من فورها، بطاقة تتوقف على لون الضوء ولا تتوقف البتّة على شدته؛ وسلّط ضوءًا أحمر فلا يخرج شيء مهما يشتدّ المصباح. وأرسل إلكترونات واحدًا واحدًا عبر شقّين فتصل نقاطًا، كلٌّ منها في موضع واحد — وتتراكم النقاط، بالآلاف، في هُدُب موجة. ولا تنسجم أيّ من الواقعتين مع فيزياء الفصول التسعة والعشرين الأولى. ويقدّم هذا الفصل الأخير الأفكار التي تنسجم معهما: الضوء يأتي كمّات، هي الفوتونات؛ وللمادة طول موجة؛ وما ينتشر سعة مربّعُها احتمال؛ والموضع وكمية الحركة لا يكونان حادّين معًا؛ والجسيم المحصور لا يمكن أن تكون له إلا طاقات معينة — ولهذا يكون للذرات أحجام، وللأطياف خطوط، وتتوهج حبة من نصف ناقل قطرها بضعة نانومترات بلون يعيّنه قطرها.

30.1 الفوتون

مبرهنة 30.1 (علاقتا بلانك-أينشتاين)

ضوء تواتره $\nu$ وطول موجته $\lambda$ لا يتبادل الطاقة مع المادة إلا كمّات، هي الفوتونات، طاقتها وكمية حركتها

E = h\nu = \frac{hc}{\lambda} , \qquad p = \frac{h}{\lambda} = \frac{E}{c} ,

حيث ثابت بلانك $h = 6.626 \times 10^{-34}\,\mathrm{J}\,\mathrm{s}$ (و $\hbar = h/2\pi = 1.055 \times 10^{-34}\,\mathrm{J}\,\mathrm{s}$ ). ومن المفيد: $hc = 1240\,\mathrm{eV}\,\mathrm{nm}$ — فيحمل فوتون $620\,\mathrm{nm}$ المقدارَ $2\,\mathrm{eV}$ .

برهان. نقبله في هذا المستوى. ∎

قضية 30.2 (الأثر الكهرضوئي)

ضوء يسقط على معدن شغل خروجه $W$ (وهي الطاقة التي تربط أقلّ إلكتروناته ارتباطًا، وهي بضعة إلكترون-فولط) ينتزع إلكترونات طاقتها الحركية العظمى

E_{k,\max} = h\nu - W ,

ومن ثمّ لا تخرج إلا فوق العتبة $\nu_0 = W/h$ ، فورًا، بطاقة لا تتوقف على الشدة؛ وتعيّن الشدة عدد الإلكترونات في الثانية. وكمون الإيقاف $V_s$ الذي يلغي التيار بالضبط يقيس $E_{k,\max} = eV_s$ ، ويكون منحني $V_s$ بدلالة $\nu$ مستقيمًا ميله $h/e$ — وهكذا قاس ميليكان $h$ .

برهان. يمتصّ كلَّ فوتون إلكترونٌ واحد، يحتفظ بالمقدار $h\nu - W$ على أحسن تقدير؛ أما موجة فكانت لتقدّم الطاقة باستمرار إلى كل إلكترون، فتتزايد الطاقة مع الشدة، ويحتاج ضوء ضعيف إلى ساعات ليجمع $W$ على ذرة واحدة (المسألة 30.1) — ولا يُرصَد شيء من ذلك. وتفسير أينشتاين (1905) مسلَّم به قانونًا. ∎

على اليمين: الخلية الكهرضوئية — يحرّر الضوء الإلكترونات من المهبط؛ وتوتر عكسي V_s يكفي بالضبط لإيقافها يقيس طاقتها العظمى. وعلى اليسار: كمون الإيقاف بدلالة التواتر مستقيم في كل معدن ميله h/e؛ ويعطي التقاطع شغل الخروج، والعتبة أصغر تواتر. — على اليمين: الخلية الكهرضوئية — يحرّر الضوء الإلكترونات من المهبط؛ وتوتر عكسي $V_s$ يكفي بالضبط لإيقافها يقيس طاقتها العظمى. وعلى اليسار: كمون الإيقاف بدلالة التواتر مستقيم في كل معدن ميله $h/e$ ؛ ويعطي التقاطع شغل الخروج، والعتبة أصغر تواتر.

مثال 30.3 (رتب القدر)

فوتون مرئي: $2\,\mathrm{eV}$ ؛ وفوتون أشعة سينية طوله $0.1\,\mathrm{nm}$ : $12\,\mathrm{keV}$ ؛ وفوتون راديوي عند $100\,\mathrm{MHz}$ : $4 \times 10^{-7}\,\mathrm{eV}$ . وليزر أحمر استطاعته $1\,\mathrm{mW}$ يصدر $10^{-3}/(3.1 \times 10^{-19}) = 3 \times 10^{15}$ فوتون في الثانية؛ وهوائي راديوي يلتقط $1\,\mathrm{pW}$ عند $100\,\mathrm{MHz}$ يتلقى $10^{13}$ في الثانية — وهي من الكثرة والصغر بحيث يكون وصف الموجة دقيقًا لكل غرض؛ في حين تستطيع العين أن تسجّل وميضًا من مئة فوتون. وتظهر طبيعة الضوء الكمومية حين تكون الفوتونات قليلة أو ذات طاقة: في الخلايا الكهرضوئية، وكواشف الأشعة السينية، وحبيبات صورة خافتة.

ملاحظة 30.4 (تبعثر كومبتون)

فوتون يرتدّ عن إلكترون حرّ ينقل كمية حركة كما تفعل كرة بلياردو: فيتزايد طول موجته بمقدار $\Delta\lambda = \frac{h}{m_ec}(1 - \cos\theta)$ ، مع $h/m_ec = 2.43\,\mathrm{pm}$ (وهو مسلَّم به — إذ هو تصادم نسبي، في السنة الثانية). وهو غير مرئي في الضوء ( $\Delta\lambda/\lambda \sim 10^{-5}$ )، لكنه أثر بنسبة $20\%$ في الأشعة السينية، وكان التجربة التي أقنعت المتشككين (1923) بأن الفوتون يحمل كمية الحركة $h/\lambda$ .

30.2 موجات المادة

مبرهنة 30.5 (دي بروي)

جسيم كمية حركته $p$ ينتشر موجةً طول موجتها

\lambda = \frac{h}{p} ,

ويُظهر تبعًا لذلك انعراجًا وتداخلًا: إلكترونات على بلورة (دافيسون وجيرمر، 1927)، وعبر شقّين (يونسون، 1961)، ونترونات وذرات وجزيئات من ستين ذرة كربون. ومن أجل إلكترون مسرَّع بالتوتر $U$ : $\lambda = h/\sqrt{2m_eeU} = 1.23\,\mathrm{nm}/\sqrt{U/\mathrm{V}}$ .

برهان. نقبله في هذا المستوى. ∎

مثال 30.6 (لماذا لم نرَها قط)

إلكترون طاقته $100\,\mathrm{eV}$ : $\lambda = 0.12\,\mathrm{nm}$ ، أي تباعد الذرات في بلورة — ومن هنا الانعراج، والمجهر الإلكتروني. ونترون حراري ( $0.025\,\mathrm{eV}$ ): $0.18\,\mathrm{nm}$ . وكرة كتلتها $1\,\mathrm{g}$ بسرعة $1\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ : $\lambda = 7 \times 10^{-31}\,\mathrm{m}$ ، أي أصغر $10^{20}$ مرة من نواة: فلا شقّ ولا بلورة يستطيع أن يعرّجها أبدًا. و طبيعة المادة الموجية شاملة؛ وطول موجتها هو ما يجعلها مرئية عند الخفيف والبطيء وحدهما.

قضية 30.7 (الجسيمات المفردة تبني الهُدُب)

إلكترونات تُرسَل واحدًا في كل مرة عبر شقّين (تونومورا، 1989) يصنع كلٌّ منها نقطة واحدة على الشاشة، في موضع لا يمكن التنبؤ به؛ وتتراكم النقاط في شكل تداخل الشقّين لموجة طول موجتها $h/p$ . وإغلاق أحد الشقّين يمحو الهُدُب — فليس النمط صنيع إلكترونات يتداخل بعضها مع بعض، بل صنيع موجة كل إلكترون تمرّ عبر الشقّين معًا. وكشف الشقّ الذي مرّ منه الجسيم يمحو الهُدُب أيضًا.

برهان. نقبله في هذا المستوى. ∎

إلكترونات واحدًا في كل مرة عبر شقّين. يصل كلٌّ منها نقطةً في موضع ما (على اليمين، في الأعلى)؛ وتتكدس النقاط حيث تكون موجة الشقّين شديدة (على اليمين، في الأسفل)، تابعةً كثافة الاحتمال | |2 للسعة التي مرّت عبر الشقّين (على اليسار). والنمط هو هو من أجل الفوتونات والنترونات والجزيئات. — إلكترونات واحدًا في كل مرة عبر شقّين. يصل كلٌّ منها نقطةً في موضع ما (على اليمين، في الأعلى)؛ وتتكدس النقاط حيث تكون موجة الشقّين شديدة (على اليمين، في الأسفل)، تابعةً كثافة الاحتمال $|\psi|^2$ للسعة التي مرّت عبر الشقّين (على اليسار). والنمط هو هو من أجل الفوتونات والنترونات والجزيئات.

30.3 السعات والاحتمالات ومبدأ الارتياب

تعريف 30.8 (الدالة الموجية)

تُوصَف حالة جسيم بما يسمّى الدالة الموجية $\psi(x, t)$ (عقدية)، بحيث يكون $|\psi(x, t)|^2\,\dd x$ احتمال إيجاد الجسيم بين $x$ و $x + \dd x$ حين يُنظَر: فيكون $|\psi|^2$ كثافة احتمال، ويكون $\int|\psi|^2\dd x = 1$ . وتتجمع السعات (وهو التراكب): فإذا أدّى مسلكان إلى النقطة نفسها كان $\psi = \psi_1 + \psi_2$ و $|\psi|^2 = |\psi_1|^2 + |\psi_2|^2 + 2\,\mathrm{Re}(\psi_1^\ast\psi_2)$ — والحدّ الأخير هو التداخل. ويعطي القياس نتيجةً من النتائج الممكنة، عشوائيًّا وفق الاحتمالات التي تمليها السعات، ويترك الجسيم في الحالة التي وُجد فيها.

ملاحظة 30.9 (ما الذي يتموّج)

$\psi$ ليست مجالًا فيزيائيًّا مثل $\vect E$ : فهي لا تُقاس، ولا يُقاس إلا مربّعها، وهي تصف أفضل معرفة ممكنة لدينا بموضع إيجاد الجسيم. فالإلكترون الواحد ليس ممتدًّا على الشاشة؛ بل يُكشَف كاملًا عند نقطة واحدة؛ والممتدّ هو الاحتمال. وهذا هو مضمون النظرية، ولم يخفق قط في اختبار.

مبرهنة 30.10 (مبدأ الارتياب لهايزنبرغ)

لا يمكن أن يكون موضع جسيم وكمية حركته على المحور نفسه معرَّفَين تعريفًا حادًّا معًا: بل يحقق انحرافاهما المعياريان في أيّ حالة

\Delta x\,\Delta p_x \geq \frac{\hbar}{2} .

ومن ثمّ يكون لجسيم محصور في منطقة قياسها $\ell$ تشتت في كمية الحركة لا يقلّ عن $\hbar/2\ell$ ، ومنه طاقة حركية من رتبة $\hbar^2/2m\ell^2$ لا يزيلها أيّ تبريد: فالحصر يكلّف طاقة.

برهان. نقبله في هذا المستوى. ∎

مثال 30.11 (حجم ذرة الهيدروجين)

إلكترون على بعد $r$ من البروتون له $p \gtrsim \hbar/r$ وطاقة $E(r) \approx \dfrac{\hbar^2}{2m_er^2} - \dfrac{e^2}{4\pi\varepsilon_0r}$ : فالحدّ الأول ينفجر إذا صغرت $r$ ، والثاني إذا كبرت. ويتحقق $\dd E/\dd r = 0$ عند

a_0 = \frac{4\pi\varepsilon_0\hbar^2}{m_ee^2} = 53\,\mathrm{pm} , \qquad E(a_0) = -\frac{m_ee^4}{2(4\pi\varepsilon_0)^2\hbar^2} = -13.6\,\mathrm{eV} :

وهما نصف قطر بور وطاقة تأيّن الهيدروجين، إلى آخر رقم. ولم تستطع الفيزياء الكلاسيكية أن تفسّر لماذا لا يلولب الإلكترون ساقطًا في النواة (إذ يشعّ) ولا لماذا تتطابق كل ذرات عنصر واحد؛ ويجيب مبدأ الارتياب عن السؤالين في سطر واحد: فالذرة أصغر ما يمكن أن تكون من دون أن تفوق الطاقة الحركية طاقةَ الارتباط.

30.4 تكميم الطاقة

قضية 30.12 (جسيم في علبة)

جسيم كتلته $m$ محصور بين جدارين لا يُخترقان يفترقان بالمسافة $L$ لا يقبل، مثل وتر ملدة (الفصل 5)، إلا الموجات المستقرة $\lambda_n = 2L/n$ ، ومن ثمّ إلا كميات الحركة $p_n = nh/2L$ والطاقات

E_n = \frac{n^2h^2}{8mL^2} , \qquad n = 1, 2, 3, \ldots

بدوال موجية $\psi_n(x) \propto \sin(n\pi x/L)$ . فالطاقة مكمّاة؛ وأدناها، وهي الحالة الأساسية $E_1 > 0$ ، هي طاقة الحصر في مبدأ الارتياب مضبوطةً؛ ويقفز الجسيم بين المستويات بامتصاص فوتون طاقته $h\nu = E_p - E_n$ أو بإصداره.

برهان. يجب أن تنعدم $\psi$ عند الجدارين (إذ لا يمكن للجسيم أن يكون هناك)، فتنطبق على $L$ أنصافُ أطوال موجة بعدد صحيح — وهو شرط الوتر؛ ويعطي دي بروي $p$ ، ويكون $E = p^2/2m$ . أما كون $\psi$ يحقق معادلة موجية بهذه الشروط الحدّية فمسلَّم به (وهي معادلة شرودنغر، في السنة الثانية). ∎

على اليمين: الحالات الثلاث الدنيا لجسيم في علبة — فالدوال الموجية هي الموجات المستقرة لوتر، وتنمو الطاقات بنسبة n2، والحالة الأساسية ليست عند الصفر. وعلى اليسار: مستويات ذرة الهيدروجين وأولى سلسلتَي خطوطها؛ وكل خط فوتون طاقته تساوي الفجوة التي يجسرها. — على اليمين: الحالات الثلاث الدنيا لجسيم في علبة — فالدوال الموجية هي الموجات المستقرة لوتر، وتنمو الطاقات بنسبة $n^2$ ، والحالة الأساسية ليست عند الصفر. وعلى اليسار: مستويات ذرة الهيدروجين وأولى سلسلتَي خطوطها؛ وكل خط فوتون طاقته تساوي الفجوة التي يجسرها.

قضية 30.13 (ذرة الهيدروجين)

لإلكترون ذرة الهيدروجين الطاقات المنفصلة

E_n = -\frac{13.6\,\mathrm{eV}}{n^2} , \qquad n = 1, 2, 3, \ldots ,

حيث $n = 1$ الحالة الأساسية و $E \geq 0$ الذرة المؤيَّنة. ويتألف طيفها من خطوط عند $h\nu = E_p - E_n$ : فسلسلة ليمان نزولًا إلى $n = 1$ (فوق بنفسجية، $122\,\mathrm{nm}$ من أجل $2 \to 1$ )، وسلسلة بالمر نزولًا إلى $n = 2$ (مرئية: $656\,\mathrm{nm}$ و $486\,\mathrm{nm}$ و $434\,\mathrm{nm}$ ، …)، وهكذا. ويحصل نموذج بور (1913) على هذه الطاقات بتكميم العزم الحركي لمدار دائري، $m_evr = n\hbar$ (التمرين 30.9)؛ وتستبدل النظرية التامّة بالمدارات دوالَّ موجية لكنها تُبقي الطاقات.

برهان. نقبله في هذا المستوى. ∎

مثال 30.14 (ألوان من الحجم: النقطة الكمومية)

بلورة نانوية من نصف ناقل قطرها بضعة نانومترات تحصر إلكتروناتها كعلبة: فكلما صغرت البلورة كبرت طاقة الحصر المضافة إلى فجوة نصف الناقل، وازداد ازرقاق الضوء الذي تصدره. ونقاط سيلينيد الكادميوم نصف قطرها $2\,\mathrm{nm}$ تتوهج زرقاء، و $3\,\mathrm{nm}$ صفراء، و $4\,\mathrm{nm}$ حمراء — مادة واحدة، وألوان تُختار بمسطرة (المسألة 30.1). وتستعملها شاشات التلفاز.

ملاحظة 30.15 (ما تضيفه بقية النظرية)

تجعل معادلة شرودنغر العلبةَ والذرةَ والجزيءَ مضبوطةً؛ وتتنبأ بأن جسيمًا يستطيع عبور حاجز لا يملك من الطاقة ما يتسلقه (وهو الأثر النفقي، وراء النشاط الإشعاعي و المجهر النفقي الماسح)؛ وبأن الجسيمات المتطابقة إما اجتماعية (بوزونات — ومن هنا الليزر، حيث تتكدس الفوتونات في نمط واحد) وإما حصرية (فرميونات — ومن هنا الجدول الدوري و صلابة المادة)؛ وبأن سبين الإلكترون عزم مغناطيسي لا نظير كلاسيكيًّا له. وكل ذلك في السنة الثانية وما بعدها؛ وكله قائم على الأفكار القليلة في هذا الفصل.

30.5 تمارين

تمرين 30.1 ★

أوجد طاقة فوتون من: راديو عند $100\,\mathrm{MHz}$ ؛ وضوء عند $500\,\mathrm{nm}$ ؛ وأشعة سينية عند $0.10\,\mathrm{nm}$ ؛ وأشعة غاما طاقتها $1\,\mathrm{MeV}$ (وأعطِ طول موجتها). ثم عدد الفوتونات في الثانية من ليزر استطاعته $1.0\,\mathrm{mW}$ عند $633\,\mathrm{nm}$ .

حل

حل التمرين 30.1.

$h\nu$ : عند $100\,\mathrm{MHz}$ : $6.6 \times 10^{-26}$ جول $= 4.1 \times 10^{-7}\,\mathrm{eV}$ ؛ وعند $500\,\mathrm{nm}$ : $1240/500 = 2.5\,\mathrm{eV}$ ؛ وعند $0.10\,\mathrm{nm}$ : $12.4\,\mathrm{keV}$ ؛ وعند $1\,\mathrm{MeV}$ : $\lambda = 1240/10^6 = 1.2 \times 10^{-3}\,\mathrm{nm} = 1.2\,\mathrm{pm}$ . وفي الليزر: $1240/633 = 1.96\,\mathrm{eV} = 3.1 \times 10^{-19}\,\mathrm{J}$ ، ومنه $10^{-3}/3.1 \times 10^{-19} = 3.2 \times 10^{15}$ فوتون في الثانية.

تمرين 30.2 ★

الصوديوم، $W = 2.3\,\mathrm{eV}$ : أوجد طول موجة العتبة؛ والطاقة الحركية العظمى وكمون الإيقاف من أجل ضوء $400\,\mathrm{nm}$ ؛ وما الذي يتغير إذا تضاعفت الشدة؟ وماذا مع ضوء $600\,\mathrm{nm}$ ؟

حل

حل التمرين 30.2.

$\lambda_0 = 1240/2.3 = 540\,\mathrm{nm}$ . وعند $400\,\mathrm{nm}$ يكون $h\nu = 3.1\,\mathrm{eV}$ : ومنه $E_{k,\max} = 0.8\,\mathrm{eV}$ و $V_s = 0.8\,\mathrm{V}$ . ومضاعفة الشدة تضاعف التيار وتترك $V_s$ على حاله. وعند $600\,\mathrm{nm}$ ( $2.07\,\mathrm{eV}$ $< W$ ): لا شيء، مهما تكن الشدة.

تمرين 30.3 ★

طول موجة دي بروي لإلكترون طاقته $100\,\mathrm{eV}$ ، ثم $1.0\,\mathrm{keV}$ ؛ ولنترون طاقته $0.025\,\mathrm{eV}$ ؛ ولكرة كتلتها $1\,\mathrm{g}$ بسرعة $1\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . وأيّها يمكن أن تعرّجه بلورة تباعدها $0.2\,\mathrm{nm}$ ؟

حل

حل التمرين 30.3.

الإلكترون: $1.23/\sqrt{100} = 0.12\,\mathrm{nm}$ ؛ وعند $1\,\mathrm{keV}$ : $0.039\,\mathrm{nm}$ . والنترون: $E = 4.0 \times 10^{-21}\,\mathrm{J}$ و $p = \sqrt{2m_nE} = 3.7 \times 10^{-24}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ و $\lambda = h/p = 0.18\,\mathrm{nm}$ . والكرة: $6.6 \times 10^{-34}/10^{-3} = 7 \times 10^{-31}\,\mathrm{m}$ . فللثلاثة الأولى $\lambda$ من رتبة التباعد الذري وتنعرج (في بلورية الإلكترونات والنترونات والأشعة السينية)؛ أما الكرة فلا تنعرج أبدًا.

تمرين 30.4 ★

إلكترون في علبة قياسها $1.0\,\mathrm{nm}$ : أوجد $E_1$ و $E_2$ ، وطول موجة الفوتون المنبعث في الانتقال $2 \to 1$ . ثم بروتون في علبة قياسها $5\,\mathrm{fm}$ (أي نواة): أوجد $E_1$ بوحدة $\mathrm{MeV}$ .

حل

حل التمرين 30.4.

$E_1 = h^2/8m_eL^2 = 4.39 \times 10^{-67}/(8 \times 9.11 \times 10^{-31} \times 10^{-18}) = 6.0 \times 10^{-20}\,\mathrm{J} = 0.38\,\mathrm{eV}$ و $E_2 = 4E_1 = 1.5\,\mathrm{eV}$ ؛ والفوتون $1.13\,\mathrm{eV}$ ، ومنه $\lambda = 1240/1.13 = 1.1\,\text{µ}\mathrm{m}$ (وهو تحت أحمر قريب). والبروتون في $5\,\mathrm{fm}$ : $4.39 \times 10^{-67}/(8 \times 1.67 \times 10^{-27} \times 25 \times 10^{-30}) = 1.3 \times 10^{-12}\,\mathrm{J} = 8\,\mathrm{MeV}$ — أي مقياس الطاقات النووية، من الحصر وحده.

تمرين 30.5 ★★

كمونات إيقاف مقيسة من أجل معدن: $0.40\,\mathrm{V}$ عند $6.0 \times 10^{14}\,\mathrm{Hz}$ ، و $1.23\,\mathrm{V}$ عند $8.0 \times 10^{14}\,\mathrm{Hz}$ ، و $2.05\,\mathrm{V}$ عند $1.0 \times 10^{15}\,\mathrm{Hz}$ . استنتج $h$ (مع معلومية $e$ ) وشغل الخروج؛ وطول موجة العتبة؛ وأيّ معدن قد يكون (السيزيوم $2.1\,\mathrm{eV}$ ، والبوتاسيوم $2.3\,\mathrm{eV}$ ، والزنك $4.3\,\mathrm{eV}$ )؟

حل

حل التمرين 30.5.

الميل $(2.05 - 0.40)/(4.0 \times 10^{14}) = 4.1 \times 10^{-15}\,\mathrm{V}\,\mathrm{s}$ ، ومنه $h = e \times 4.1 \times 10^{-15} = 6.6 \times 10^{-34}\,\mathrm{J}\,\mathrm{s}$ . و $W = h\nu - eV_s = 2.48 - 0.40 = 2.1\,\mathrm{eV}$ ، والعتبة $\lambda_0 = 1240/2.1 = 600\,\mathrm{nm}$ : فهو السيزيوم.

تمرين 30.6 ★★

كومبتون: فوتون أشعة سينية طوله $10\,\mathrm{pm}$ يتبعثر بزاوية $90{}^{\circ}$ عن إلكترون. أوجد طول الموجة الجديد؛ وطاقتَي الفوتون قبل وبعد؛ والطاقة المعطاة للإلكترون. ثم الإزاحة النسبية من أجل ضوء $500\,\mathrm{nm}$ — ولماذا احتاج كومبتون إلى الأشعة السينية.

حل

حل التمرين 30.6.

$\Delta\lambda = 2.43\,\mathrm{pm}$ : ومنه $\lambda' = 12.4\,\mathrm{pm}$ . وقبل التبعثر: $1240/0.010 = 124\,\mathrm{keV}$ ؛ وبعده: $1240/0.0124 = 100\,\mathrm{keV}$ ؛ فيأخذ الإلكترون $24\,\mathrm{keV}$ . وفي الضوء يكون $\Delta\lambda/\lambda = 2.4 \times 10^{-12}/5 \times 10^{-7} = 5 \times 10^{-6}$ : وهو غير قابل للقياس سنة 1923 — أما الأشعة السينية فجعلت الإزاحة أثرًا بنسبة $25\%$ .

تمرين 30.7 ★★

تجربة يونسون. إلكترونات طاقتها $50\,\mathrm{keV}$ (استعمل $p = \sqrt{2m_eE}$ )، وشقّان يفترقان $2.0\,\text{µ}\mathrm{m}$ ، والشاشة على $35\,\mathrm{cm}$ . أوجد طول الموجة؛ وتباعد الهُدُب؛ ولماذا لزمت عدسة إلكترونية مكبّرة. وفي صيغة تونومورا يعبر الجهاز إلكترون واحد في كل مرة: فماذا تُظهر الشاشة بعد 10 إلكترونات، وبعد $10^5$ ، وما الذي يعلّمه ذلك؟

حل

حل التمرين 30.7.

$p = \sqrt{2 \times 9.11 \times 10^{-31} \times 5 \times 10^4 \times 1.6 \times 10^{-19}} = 1.2 \times 10^{-22}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ و $\lambda = 5.5\,\mathrm{pm}$ (وتصحّحها النسبية إلى $5.4\,\mathrm{pm}$ )؛ وتباعد الهُدُب $\lambda D/d = 5.5 \times 10^{-12} \times 0.35/2 \times 10^{-6} = 1\,\text{µ}\mathrm{m}$ : وهو غير مرئي بالعين، ومن هنا العدسة المكبّرة. وعشرة إلكترونات: عشر نقاط تبدو عشوائية؛ و $10^5$ : الهُدُب. فكل إلكترون يصل عند نقطة واحدة؛ واحتمال الوصول يتبع موجة الشقّين — فموجة الإلكترون الواحد تمرّ عبر الشقّين معًا.

تمرين 30.8 ★★

أوجد أصغر طاقة حركية، بمبدأ الارتياب، من أجل: إلكترون محصور في $0.1\,\mathrm{nm}$ (أي ذرة)؛ وإلكترون محصور في $5\,\mathrm{fm}$ (أي نواة — واستعمل $E \approx pc$ إن كانت النتيجة نسبية، واستنتج هل تستطيع النوى أن تحوي إلكترونات)؛ وحبة غبار كتلتها $1\,\text{µ}\mathrm{g}$ محدَّدة إلى $1\,\text{µ}\mathrm{m}$ (وأعطِ $\Delta v$ ).

حل

حل التمرين 30.8.

في الذرة: $\Delta p \geq \hbar/2\Delta x = 5.3 \times 10^{-25}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ و $E \sim \Delta p^2/2m_e = 1.5 \times 10^{-19}\,\mathrm{J} \approx 1\,\mathrm{eV}$ : أي المقياس الصحيح. وفي النواة: $\Delta p \geq 1.1 \times 10^{-20}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ؛ وكانت $\Delta p^2/2m_e$ لتكون $400\,\mathrm{MeV}$ ، وهي تفوق $m_ec^2$ بكثير، فنستعمل $E \approx \Delta p\,c = 3 \times 10^{-12}\,\mathrm{J} = 20\,\mathrm{MeV}$ : فلا قوة في النواة تستطيع إمساك إلكترون بهذه الطاقة — فالنوى لا تحوي إلكترونات (وإلكترونات بيتا تُنشَأ عند الإصدار). وفي حبة الغبار: $\Delta v \geq \hbar/2m\Delta x = 1.05 \times 10^{-34}/(2 \times 10^{-9} \times 10^{-6}) = 5 \times 10^{-20}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ : وهو بلا أهمية.

تمرين 30.9 ★★

نموذج بور. إلكترون على مدار دائري نصف قطره $r$ حول بروتون: (أ) أوجد السرعة والطاقة بدلالة $r$ (بديناميك كولوم، الفصل 16)؛ (ب) وافرض $m_evr = n\hbar$ واستنتج $r_n = n^2a_0$ و $E_n = E_1/n^2$ مع $a_0$ و $E_1$ كما في المثال 30.11؛ (ج) وأوجد $v_1$ و $v_1/c$ ؛ (د) و طولَي موجتَي ليمان $\alpha$ (أي $2 \to 1$ ) و H $\alpha$ (أي $3 \to 2$ )؛ (ه) وبيّن أن المدار $n$ يسع بالضبط $n$ من أطوال موجة دي بروي.

حل

حل التمرين 30.9.

(أ) $m_ev^2/r = e^2/4\pi\varepsilon_0r^2$ : ومنه $v = \sqrt{e^2/4\pi\varepsilon_0m_er}$ و $E = \tfrac12m_ev^2 - e^2/4\pi\varepsilon_0r = -e^2/8\pi\varepsilon_0r$ . (ب) ولدينا $m_evr = n\hbar$ و $m_ev^2r = e^2/4\pi\varepsilon_0$ : فاقسم مربع الأولى على الثانية: $m_er = n^2\hbar^2 \cdot 4\pi\varepsilon_0/e^2$ ، ومنه $r_n = n^2a_0$ و $E_n = -e^2/8\pi\varepsilon_0n^2a_0 = E_1/n^2$ مع $a_0 = 52.9\,\mathrm{pm}$ و $E_1 = -13.6\,\mathrm{eV}$ . (ج) و $v_1 = \hbar/m_ea_0 = 2.19 \times 10^{6}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ و $v_1/c = 1/137$ . (د) وفي $2 \to 1$ : $\tfrac34 \times 13.6 = 10.2\,\mathrm{eV}$ ، أي $122\,\mathrm{nm}$ ؛ وفي $3 \to 2$ : $(\tfrac14 - \tfrac19) \times 13.6 = 1.89\,\mathrm{eV}$ ، أي $656\,\mathrm{nm}$ . (ه) و $\lambda_n = h/m_ev_n = nh/m_ev_1 = 2\pi na_0$ (لأن $m_ev_1a_0 = \hbar$ )، ومنه $2\pi r_n = 2\pi n^2a_0 = n\lambda_n$ .

تمرين 30.10 ★★★

الجمل الشبيهة بالهيدروجين. (أ) من أجل نواة شحنتها $Ze$ بيّن أن $E_n = -Z^2 \times 13.6\,\mathrm{eV}/n^2$ و $r_n = n^2a_0/Z$ : وأوجد طاقة تأيّن He $^+$ وطاقة تأيّن آخر إلكترون في اليورانيوم ( $Z = 92$ ؛ وعلّق). (ب) والهيدروجين الميوني: كتلة الميون $207$ ضعف كتلة الإلكترون: أوجد نصف القطر وطاقة الأساس؛ وطول موجة خطّه ليمان $\alpha$ ؛ ولماذا يُستعمل لقياس حجم البروتون (نصف قطره $0.84\,\mathrm{fm}$ ). (ج) والبوزيترونيوم (إلكترون وبوزيترون، بكتلتين متساويتين): بيّن أن الكتلة المختزلة تنصّف الطاقات: وأوجد خطّه ليمان $\alpha$ .

حل

حل التمرين 30.10.

(أ) ليحلّ $e^2$ محلَّه المقدارُ $Ze^2$ : فيصير $a_0 \to a_0/Z$ و $E_1 \to Z^2E_1$ . وفي He $^+$ : $54.4\,\mathrm{eV}$ . وفي U $^{91+}$ : $92^2 \times 13.6 = 115\,\mathrm{keV}$ — لكن $v_1 = Z\alpha c = 0.67c$ : فالنموذج غير النسبي لا يعطي هناك إلا دلالة. (ب) و $a_0/207 = 256\,\mathrm{fm}$ و $E_1 = 207 \times 13.6 = 2.8\,\mathrm{keV}$ ؛ وليمان $\alpha$ : $2.1\,\mathrm{keV}$ و $\lambda = 0.59\,\mathrm{nm}$ (وهي أشعة سينية). ومدار الميون لا يزيد على $300$ نصف قطر بروتوني: فتنزاح مستوياته انزياحًا قابلًا للقياس مع حجم البروتون، وهكذا أُعيد قياس نصف قطر البروتون (2010). (ج) والجسيمان يدوران حول مركزهما المشترك: فالكتلة المختزلة $m_e/2$ تنصّف كل طاقة: ومنه $E_1 = -6.8\,\mathrm{eV}$ ، وليمان $\alpha$ عند $5.1\,\mathrm{eV}$ ، أي $243\,\mathrm{nm}$ .

تمرين 30.11 ★★★

النقاط الكمومية. في بلورة نانوية كروية نصف قطرها $R$ تكون طاقة حصر جسيم كتلته الفعّالة $m^\ast$ هي $h^2/8m^\ast R^2$ (مسلَّم به). وفي سيلينيد الكادميوم: الفجوة $E_g = 1.74\,\mathrm{eV}$ و $m_e^\ast = 0.13\,m_e$ و $m_h^\ast = 0.45\,m_e$ (كما أن “الثقب” الذي يتركه الإلكترون المثار محصور هو أيضًا). (أ) أوجد طاقة الفوتون المنبعث $E_g + E_e + E_h$ وطول موجته من أجل $R = 2.0\,\mathrm{nm}$ و $3.0\,\mathrm{nm}$ و $4.0\,\mathrm{nm}$ ؛ والألوان. (ب) ونصف القطر الموافق لانبعاث عند $520\,\mathrm{nm}$ (أخضر). (ج) ولماذا لا يصدر سيلينيد الكادميوم الكتلي إلا عند $713\,\mathrm{nm}$ ؟ (د) وتشتت قدره $10\,\%$ في نصف القطر في دفعة: أوجد تشتت طول الموجة عند $3\,\mathrm{nm}$ .

حل

حل التمرين 30.11.

(أ) $h^2/8m_e = 6.02 \times 10^{-38}\,\mathrm{J}\,\mathrm{m}^{2}$ . وعند $R = 2\,\mathrm{nm}$ : $E_e = 6.02 \times 10^{-38}/ (0.13 \times 4 \times 10^{-18}) = 0.72\,\mathrm{eV}$ و $E_h = 0.21\,\mathrm{eV}$ ، والمجموع $1.74 + 0.93 = 2.67\,\mathrm{eV}$ ، أي $464\,\mathrm{nm}$ : أزرق. وعند $3\,\mathrm{nm}$ : الحصر بالعامل $\times4/9$ ، أي $2.15\,\mathrm{eV}$ و $577\,\mathrm{nm}$ : أصفر. وعند $4\,\mathrm{nm}$ : $\times1/4$ ، أي $1.97\,\mathrm{eV}$ و $629\,\mathrm{nm}$ : أحمر. (ب) و $520\,\mathrm{nm}$ هي $2.38\,\mathrm{eV}$ : فالحصر $0.65\,\mathrm{eV}$ $= 0.93 \times (2/R)^2$ ، ومنه $R = 2.4\,\mathrm{nm}$ . (ج) وبلا حصر: $E_g$ وحدها، أي $713\,\mathrm{nm}$ . (د) و $\delta E = -2 \times 0.1 \times 0.41 = -0.08\,\mathrm{eV}$ ، أي $4\%$ من $2.15\,\mathrm{eV}$ : فنحو $20\,\mathrm{nm}$ من التشتت — والألوان النقية تحتاج إلى دفعات متساوية التوزّع.

تمرين 30.12 ★★★

طاقة النقطة الصفرية. (أ) من أجل هزّاز توافقي $E = p^2/2m + \tfrac12m\omega^2x^2$ ، خذ $\Delta x\,\Delta p = \hbar/2$ وصغّر $E \approx \Delta p^2/2m + \tfrac12m\omega^2\Delta x^2$ بالنسبة إلى $\Delta x$ : وبيّن أن $E_{\min} = \hbar\omega/2$ (وهي طاقة الأساس المضبوطة). (ب) ويهتزّ جزيء H $_2$ عند $\omega = 8.3 \times 10^{14}\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ : أوجد طاقة النقطة الصفرية بالإلكترون-فولط، وأدنى درجة حرارة يكون عندها اهتزازه “حراريًّا” ( $k_BT \sim \hbar\omega$ ). (ج) والهيليوم السائل لا يتجمد أبدًا عند الضغط الجوي: قدّر طاقة النقطة الصفرية لذرة هيليوم محدَّدة إلى $\Delta x = 0.05\,\mathrm{nm}$ (وهي جزء من المسافة بين الذرات) في بلورة، وقارنها بطاقة ارتباطها في الصلب، وهي نحو $1\,\mathrm{meV}$ . (د) وقارن صيغة العلبة $E_1 = h^2/8mL^2$ بحدّ الارتياب من أجل $\Delta x = L/2$ : أيّهما أكبر، ولماذا يجب أن يكون كذلك؟

حل

حل التمرين 30.12.

(أ) $E(\Delta x) = \hbar^2/8m\Delta x^2 + \tfrac12m\omega^2\Delta x^2$ ؛ وتنعدم المشتقة عند $\Delta x^2 = \hbar/2m\omega$ ، حيث يتساوى الحدّان بالمقدار $\hbar\omega/4$ : ومنه $E_{\min} = \hbar\omega/2$ . (ب) و $\tfrac12 \times 1.055 \times 10^{-34} \times 8.3 \times 10^{14} = 4.4 \times 10^{-20}\,\mathrm{J} = 0.27\,\mathrm{eV}$ ؛ و $T \sim \hbar\omega/k_B = 6300\,\mathrm{K}$ — فعند درجة حرارة الغرفة يكون الاهتزاز مجمَّدًا في حالته الأساسية. (ج) و $\Delta p = \hbar/2\Delta x = 1.05 \times 10^{-24}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ و $E = \Delta p^2/2m_{\mathrm{He}} = 1.1 \times 10^{-48}/1.33 \times 10^{-26} = 8 \times 10^{-23}\,\mathrm{J} = 0.5\,\mathrm{meV}$ : أي نصف طاقة الارتباط — فلا تستطيع الذرات أن تسكن كفايةً لتتبلور؛ ويبقى الهيليوم سائلًا حتى الصفر المطلق ما لم يُضغط ( $25\,\mathrm{bar}$ ). (د) و $E_1 = \pi^2\hbar^2/2mL^2$ مقابل $\hbar^2/2mL^2$ : أي أكبر عشر مرات، كما يجب — فالحدّ حدّ أدنى، وحالة العلبة لها $\Delta x \approx 0.18L$ لا $L/2$ .

طيف انبعاث الهيدروجين المرئي: خطوط بالمر عند 656\, nm و486\, nm و434\, nm و410\, nm، وكلٌّ منها قفزة نزولًا إلى n = 2. — طيف انبعاث الهيدروجين المرئي: خطوط بالمر عند $656\,\mathrm{nm}$ و $486\,\mathrm{nm}$ و $434\,\mathrm{nm}$ و $410\,\mathrm{nm}$ ، وكلٌّ منها قفزة نزولًا إلى $n = 2$ .

نقاط كمومية من مادة واحدة في قوارير: كلما صغرت البلورة النانوية كبرت طاقة الحصر وازداد ازرقاق الضوء — لون يختاره الحجم.

30.6 مسألة: طيف الهيدروجين ونقطة كمومية

مسألة 30.1

مسألة نهاية الأسبوع — قياس $h$ بضوء و فولطمتر، وبناء ذرة الهيدروجين من ثلاثة ثوابت، و اختيار لون بلورة بحجمها

الثوابت: $h = 6.626 \times 10^{-34}\,\mathrm{J}\,\mathrm{s}$ و $\hbar = 1.055 \times 10^{-34}\,\mathrm{J}\,\mathrm{s}$ و $c = 3.00 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ و $e = 1.602 \times 10^{-19}\,\mathrm{C}$ و $m_e = 9.11 \times 10^{-31}\,\mathrm{kg}$ و $1/4\pi\varepsilon_0 = 8.99 \times 10^{9}\,\mathrm{SI}$ و $hc = 1240\,\mathrm{eV}\,\mathrm{nm}$ .

الجزء I — قياس ثابت بلانك. يُضاء مهبط ضوئي من البوتاسيوم بضوء وحيد اللون؛ ويُقاس كمون الإيقاف: $0.30\,\mathrm{V}$ عند $6.0 \times 10^{14}\,\mathrm{Hz}$ ، و $0.69\,\mathrm{V}$ عند $7.0 \times 10^{14}\,\mathrm{Hz}$ ، و $1.13\,\mathrm{V}$ عند $8.0 \times 10^{14}\,\mathrm{Hz}$ ، و $1.50\,\mathrm{V}$ عند $9.0 \times 10^{14}\,\mathrm{Hz}$ ، و $2.36\,\mathrm{V}$ عند $1.1 \times 10^{15}\,\mathrm{Hz}$ .

صِف الخلية وفسّر لماذا يستطيع توتر عكسي أن يوقف التيار، وما الذي يقيسه $eV_s$ .
اكتب علاقة أينشتاين وقل ما الذي يعطيه ميل منحني $V_s(\nu)$ وتقاطعه.
استنتج $h$ من المعطيات (بموافقة خطية، أو بالنقطتين الطرفيتين)؛ وقارنه بالقيمة المعتمدة.
شغل خروج البوتاسيوم بالإلكترون-فولط؛ وتواتر العتبة وطولها الموجي؛ وهل يستطيع مؤشر ليزر أحمر انتزاع إلكترونات؟
وتتضاعف شدة المصباح: فماذا يحدث للكمون $V_s$ وللتيار؟ ولماذا لا ينسجم ذلك مع صورة موجية خالصة؟
التقدير الكلاسيكي: ضوء شدته $1\,\text{µ}\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ يسقط على المعدن؛ وتعرض ذرة مساحة نحو $1 \times 10^{-20}\,\mathrm{m}^{2}$ : فكم من الوقت كان يلزم لتجميع $2.2\,\mathrm{eV}$ على ذرة واحدة؟ وما الذي يُرصَد بدل ذلك؟

الجزء II — ذرة الهيدروجين عند بور.

إلكترون على مدار دائري نصف قطره $r$ حول بروتون ثابت: أوجد السرعة $v(r)$ والطاقة الميكانيكية $E(r)$ .
شرط بور $m_evr = n\hbar$ : بيّن أن $r_n = n^2a_0$ وأعطِ $a_0 = 4\pi\varepsilon_0\hbar^2/m_ee^2$ عدديًّا.
$E_n = E_1/n^2$ مع $E_1 = -m_ee^4/[2(4\pi\varepsilon_0)^2\hbar^2]$ ؛ وأوجد قيمتها العددية بالإلكترون-فولط.
السرعة على المدار الأول والنسبة $v_1/c$ (وهي ثابت البنية الدقيقة $\alpha \approx 1/137$ ).
أطوال موجات الخطوط $2 \to 1$ (ليمان $\alpha$ ) و $3 \to 2$ و $4 \to 2$ (بالمر H $\alpha$ و H $\beta$ ): وأيّها مرئي؟
بيّن أن $1/\lambda = R_H(1/n^2 - 1/p^2)$ واحسب ثابت ريدبرغ $R_H$ ؛ وأقصر طول موجة في بالمر.
طاقة تأيّن الهيدروجين من الحالة الأساسية؛ وطول موجة الفوتون الذي يؤيّنه بالضبط.
دي بروي: بيّن أن محيط المدار $n$ يساوي $n$ من أطوال الموجة — فشرط بور شرط موجة مستقرة.
شيئان يخطئ فيهما النموذج، وشيء يصيبه بالضبط، وما الذي يحلّ محلّ المدار في النظرية التامّة.

الجزء III — النقطة الكمومية. بلورة نانوية من سيلينيد الكادميوم نصف قطرها $R$ تحصر إلكترونًا مثارًا (كتلته الفعّالة $m_e^\ast = 0.13\,m_e$ ) والثقب الذي يتركه ( $m_h^\ast = 0.45\,m_e$ )؛ وطاقة حصر كلٍّ منهما في كرة نصف قطرها $R$ هي $h^2/8m^\ast R^2$ (مسلَّم به)؛ وفجوة سيلينيد الكادميوم الكتلي $E_g = 1.74\,\mathrm{eV}$ .

اشتقّ الطاقات $E_n = n^2h^2/8mL^2$ لجسيم في علبة وحيدة البعد من شرط الموجة المستقرة، ثم علّق على المماثلة مع صيغة الكرة.
طاقتا حصر الإلكترون والثقب من أجل $R = 2.0\,\mathrm{nm}$ .
طاقة الفوتون المنبعث وطول موجته من أجل $R = 2.0\,\mathrm{nm}$ و $3.0\,\mathrm{nm}$ و $4.0\,\mathrm{nm}$ ؛ والألوان.
فسّر في جملة واحدة لماذا تكون النقاط الأصغر أكثر زرقة.
تحقّق من رتبة القدر بمبدأ الارتياب: $\Delta p \sim \hbar/R$ للإلكترون عند $R = 2\,\mathrm{nm}$ ، والطاقة الحركية التي يقتضيها ذلك.
نقطة تصدر $1.0\,\mathrm{nW}$ عند $577\,\mathrm{nm}$ : أوجد عدد الفوتونات في الثانية.

الجزء IV — عدّ الكمّات.

عدد الفوتونات في الثانية من ليزر استطاعته $1.0\,\mathrm{mW}$ عند $633\,\mathrm{nm}$ .
تكشف العين المتكيّفة مع الظلام وميضًا من نحو $100$ فوتون عند $500\,\mathrm{nm}$ تصل في غضون $0.1\,\mathrm{s}$ : أوجد الاستطاعة الموافقة.
هوائي إذاعي يتلقى $1.0\,\mathrm{pW}$ عند $100\,\mathrm{MHz}$ : أوجد عدد الفوتونات في الثانية؛ وهل من أمل في كشفها واحدًا واحدًا؟
لخّص: انطلاقًا من $h$ و $e$ و $m_e$ وحدها، أيّ ثلاثة مقادير من العالم الذري أنتجتها هذه المسألة، وبأيّ رتب؟

حل

حل المسألة 30.1.

1. يحرّر الضوء إلكترونات من المهبط بطاقات مختلفة؛ وإذ يُبقى المصعد عند $-V_s$ فإنه يدفعها ولا يصل إلا ما كانت $E_k > eV_s$ . وينعدم التيار حين $eV_s = E_{k,\max}$ .

2. $eV_s = h\nu - W$ : فالميل $h/e$ والتقاطع $-W/e$ ؛ وتكون $V_s = 0$ عند العتبة $\nu_0 = W/h$ .

3. بالنقطتين الطرفيتين: $(2.36 - 0.30)/(5.0 \times 10^{14}) = 4.12 \times 10^{-15}\,\mathrm{V}\,\mathrm{s}$ ، ومنه $h = 1.602 \times 10^{-19} \times 4.12 \times 10^{-15} = 6.60 \times 10^{-34}\,\mathrm{J}\,\mathrm{s}$ (وتعطي موافقة على الخمس كلها $6.62$ ): أي بفارق $0.5\%$ عن $6.626 \times 10^{-34}$ .

4. $W = h\nu - eV_s = 2.47 - 0.30 = 2.2\,\mathrm{eV}$ ؛ و $\nu_0 = W/h = 5.3 \times 10^{14}\,\mathrm{Hz}$ و $\lambda_0 = 1240/2.2 = 560\,\mathrm{nm}$ . أما مؤشر أحمر ( $650\,\mathrm{nm}$ و $1.9\,\mathrm{eV}$ ) فلا ينتزع شيئًا.

5. تبقى $V_s$ على حالها ويتضاعف التيار: أي ضعف الفوتونات، ولكلٍّ الطاقة نفسها. وكانت موجة لتعطي كل إلكترون طاقة أكبر مع شدة أكبر، ولتعطي عتبة في الشدة لا في التواتر.

6. $10^{-6} \times 10^{-20} = 1 \times 10^{-26}\,\mathrm{W}$ على الذرة؛ و $2.2\,\mathrm{eV}$ $= 3.5 \times 10^{-19}\,\mathrm{J}$ تستغرق $3.5 \times 10^7$ ثانية — أي سنة. ويُرصَد الإصدار في غضون نانوثوانٍ: فالطاقة تصل كمّات كاملة.

7. $m_ev^2/r = e^2/4\pi\varepsilon_0r^2$ : ومنه $v = \sqrt{e^2/4\pi\varepsilon_0m_er}$ ؛ و $E = \tfrac12m_ev^2 - e^2/4\pi\varepsilon_0r = -e^2/8\pi\varepsilon_0r$ .

8. $(m_evr)^2 = n^2\hbar^2$ و $m_ev^2r = e^2/4\pi\varepsilon_0$ : ومنه $r_n = n^2 \cdot 4\pi\varepsilon_0\hbar^2/m_ee^2 = n^2a_0$ و $a_0 = (1.055 \times 10^{-34})^2/(8.99 \times 10^9 \times 9.11 \times 10^{-31} \times 2.57 \times 10^{-38}) = 52.9\,\mathrm{pm}$ .

9. $E_n = -e^2/8\pi\varepsilon_0r_n = -m_ee^4/2(4\pi\varepsilon_0)^2\hbar^2n^2$ ؛ ومنه $E_1 = -2.31 \times 10^{-28}/(2 \times 5.29 \times 10^{-11}) = -2.18 \times 10^{-18}\,\mathrm{J} = -13.6\,\mathrm{eV}$ .

10. $v_1 = \hbar/m_ea_0 = 2.19 \times 10^{6}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ؛ و $v_1/c = 7.3 \times 10^{-3} = 1/137$ .

11. في $2 \to 1$ : $10.2\,\mathrm{eV}$ و $122\,\mathrm{nm}$ (فوق بنفسجي)؛ وفي $3 \to 2$ : $1.89\,\mathrm{eV}$ و $656\,\mathrm{nm}$ (أحمر)؛ وفي $4 \to 2$ : $2.55\,\mathrm{eV}$ و $486\,\mathrm{nm}$ (أزرق مخضرّ): فخطوط بالمر هي المرئية.

12. $hc/\lambda = |E_1|(1/n^2 - 1/p^2)$ : ومنه $R_H = |E_1|/hc = 13.6/1240 = 1.097 \times 10^{-2}\,\mathrm{nm}^{-1} = 1.097 \times 10^{7}\,\mathrm{m}^{-1}$ . وحدّ بالمر ( $p \to \infty$ ): $\lambda = 4/R_H = 365\,\mathrm{nm}$ .

13. $13.6\,\mathrm{eV}$ ؛ و $\lambda = 1240/13.6 = 91\,\mathrm{nm}$ .

14. $v_n = v_1/n$ و $\lambda_n = h/m_ev_n = nh/m_ev_1 = 2\pi na_0$ (لأن $m_ev_1a_0 = \hbar$ )؛ ومنه $2\pi r_n = 2\pi n^2a_0 = n\lambda_n$ : فالمدار يحمل $n$ موجة كاملة — وقاعدة بور قاعدة موجة مستقرة.

15. ما يخطئ فيه: أن للإلكترون مدارًا (وكان ليشعّ؛ و الحالة الأساسية عزمها الحركي معدوم)، وأن النموذج يخفق في أيّ ذرة فيها إلكترونان. وما يصيبه: مستويات الهيدروجين، ومن ثمّ كل خط في طيفه. ويحلّ محلّ المدار دالة موجية، أي سحابة احتمال قياسها $\sim n^2a_0$ .

16. الموجات المستقرة: $L = n\lambda/2$ و $p_n = h/\lambda_n = nh/2L$ و $E_n = p_n^2/2m = n^2h^2/8mL^2$ . وصيغة الكرة هي هي مع $L \to R$ : فالحالة الأساسية تسع نصف طول موجة في نصف القطر.

17. $E_e = 6.02 \times 10^{-38}/(0.13 \times 4 \times 10^{-18}) = 0.72\,\mathrm{eV}$ ؛ و $E_h = 0.13/0.45 \times 0.72 = 0.21\,\mathrm{eV}$ .

18. عند $R = 2\,\mathrm{nm}$ : $1.74 + 0.93 = 2.67\,\mathrm{eV}$ و $464\,\mathrm{nm}$ ، أزرق؛ وعند $3\,\mathrm{nm}$ : $2.15\,\mathrm{eV}$ و $577\,\mathrm{nm}$ ، أصفر؛ وعند $4\,\mathrm{nm}$ : $1.97\,\mathrm{eV}$ و $629\,\mathrm{nm}$ ، أحمر.

19. تنمو طاقة الحصر بنسبة $1/R^2$ : فالعلبة الأصغر ترفع المستويات، فيكون الفوتون أشدّ طاقة والضوء أزرق أكثر.

20. $\Delta p \sim \hbar/R = 5.3 \times 10^{-26}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ و $E \sim \Delta p^2/2m_e^\ast = 1.2 \times 10^{-20}\,\mathrm{J} = 0.07\,\mathrm{eV}$ : أي الرتبة الصحيحة (ويفسّر المعامل المضبوط $\pi^2/2$ و $\Delta p$ الأخشن عاملَ العشرة).

21. $1240/577 = 2.15\,\mathrm{eV} = 3.4 \times 10^{-19}\,\mathrm{J}$ : ومنه $10^{-9}/3.4 \times 10^{-19} = 2.9 \times 10^9$ فوتون في الثانية.

22. $10^{-3}/(1.96 \times 1.6 \times 10^{-19}) = 3.2 \times 10^{15}$ في الثانية.

23. $100 \times 2.48 \times 1.6 \times 10^{-19} = 4 \times 10^{-17}\,\mathrm{J}$ في $0.1\,\mathrm{s}$ : أي $4 \times 10^{-16}\,\mathrm{W}$ .

24. $h\nu = 6.6 \times 10^{-26}\,\mathrm{J}$ : أي $1.5 \times 10^{13}$ فوتون في الثانية — وكلٌّ منها أصغر $10^5$ مرة من الطاقة الحرارية $k_BT$ في الهوائي: فلا أمل، ولا حاجة؛ وصورة الموجة مضبوطة هناك.

25. حجم الذرات، $a_0 = 53\,\mathrm{pm}$ ؛ ومقياس طاقتها، $13.6\,\mathrm{eV}$ (ومن ثمّ فوتونات بالإلكترون-فولط، والكيمياء، والطيف المرئي)؛ و سرعة إلكتروناتها، $\alpha c \approx 2 \times 10^{6}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ — وكلها الثلاثة من $h$ و $e$ و $m_e$ (ومن $\varepsilon_0$ )، بلا ضبط أيّ شيء.

المصطلحات المعرَّفة في هذا الفصل

الدالة الموجية

عرض كل المصطلحات (393) في المسرد