الفيزياء الجامعية — السنة الأولى · Bachelor Year 1

1الوحدات والأبعاد والقياس

في مختبرٍ تحت الأرض يتأرجح نواس، وتنقر ساعة إيقاف، ويكتب طالب $g = 9.77\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ . أهذه هي القيمة “الصحيحة”؟ يقول الكتاب $9.81$ . أما هل يتفق العددان، وهل صُمِّمت التجربة تصميمًا جيدًا، وأيّ خطوة من خطواتها هي التي حدّت من دقتها — فلا شيء من ذلك يُحسم من الأرقام وحدها. الفيزياء تقيس، وقياسٌ بلا ارتيابه إشاعة. ويضع هذا الفصل اللغة المشتركة لكل فصل تال: الوحدات والأبعاد ورتب القدر والحساب الأمين للارتيابات.

ميزان كِبل NIST من الطراز الرابع، وهو أحد الأجهزة التي تحقق اليوم الكيلوغرام انطلاقًا من ثابت بلانك: تُوزن كتلة في مواجهة قوة كهرمغناطيسية تُقاس بوحدات كهربائية. الصورة: ج. ل. لي، NIST (ملكية عامة).

1.1 النظام الدولي للوحدات

تعريف 1.1 (المقدار الفيزيائي والوحدة)

المقدار الفيزيائي خاصيةٌ يمكن قياسها: طول أو مدة أو كتلة أو تيار. وقياسه يعني مقارنته بمقدار مرجعي من الجنس نفسه هو الوحدة: فالنتيجة عدد مضروب في وحدة، $\ell = 1.257\,\mathrm{m}$ . العدد وحده لا يعني شيئًا، والوحدة وحدها لا تقيس شيئًا.

تعريف 1.2 (الوحدات الأساسية في النظام الدولي)

يقوم النظام الدولي للوحدات (SI) على سبع وحدات أساسية: الثانية ( $\mathrm{s}$ ) والمتر ( $\mathrm{m}$ ) والكيلوغرام ( $\mathrm{kg}$ ) والأمبير ( $\mathrm{A}$ ) والكلفن ( $\mathrm{K}$ ) والمول ( $\mathrm{mol}$ ) والشمعة ( $\mathrm{cd}$ ). ومنذ 2019 تُعرَّف كل واحدة منها بتثبيت القيمة العددية لثابت من ثوابت الطبيعة: فالتواتر فوق الدقيق للسيزيوم $\Delta\nu_{\mathrm{Cs}} = 9\,192\,631\,770\,\mathrm{Hz}$ يعرّف الثانية؛ وسرعة الضوء $c = 299\,792\,458\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ تعرّف بعدها المتر؛ وثابت بلانك $h = 6.626\,070\,15 \times 10^{-34}\,\mathrm{J}\,\mathrm{s}$ يعرّف الكيلوغرام؛ والشحنة الأولية $e = 1.602\,176\,634 \times 10^{-19}\,\mathrm{C}$ تعرّف الأمبير؛ وثابت بولتزمان $k_B = 1.380\,649 \times 10^{-23}\,\mathrm{J}/\mathrm{K}$ يعرّف الكلفن؛ وثابت أفوغادرو $N_A = 6.022\,140\,76 \times 10^{23}\,\mathrm{mol}^{-1}$ يعرّف المول؛ ومردود ضوئي مثبَّت $K_{\mathrm{cd}}$ يعرّف الشمعة. وكل وحدة أخرى وحدة مشتقة، أي جداء قوى لوحدات أساسية: $1\,\mathrm{N} = 1\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ ، $1\,\mathrm{J} = 1\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}$ ، $1\,\mathrm{W} = 1\,\mathrm{J}/\mathrm{s}$ ، $1\,\mathrm{V} = 1\,\mathrm{W}/\mathrm{A}$ ، $1\,\mathrm{Pa} = 1\,\mathrm{N}/\mathrm{m}^{2}$ .

الوحدات الأساسية السبع (الحلقة الخارجية) والثوابت المعرِّفة السبعة (الحلقة الداخلية). ولا يعرّف ثابتٌ مثبَّت وحدته إلا مع وحدات سبق تعريفها (بالخط المتقطع): فالثابت c يحوّل الثواني إلى أمتار، والثابت h يحتاج إلى المتر والثانية لتعريف الكيلوغرام، والشحنة e تحتاج إلى الثانية لتعريف الأمبير. — الوحدات الأساسية السبع (الحلقة الخارجية) والثوابت المعرِّفة السبعة (الحلقة الداخلية). ولا يعرّف ثابتٌ مثبَّت وحدته إلا مع وحدات سبق تعريفها (بالخط المتقطع): فالثابت $c$ يحوّل الثواني إلى أمتار، والثابت $h$ يحتاج إلى المتر والثانية لتعريف الكيلوغرام، والشحنة $e$ تحتاج إلى الثانية لتعريف الأمبير.

ملاحظة 1.3 (الأسماء والرموز)

الوحدات المسمّاة بأسماء العلماء تُكتب كاملةً بحروف صغيرة في اللاتينية (نيوتن، جول، باسكال) ويُرمز إليها بحروف كبيرة ( $\mathrm{N}$ ، $\mathrm{J}$ ، $\mathrm{Pa}$ )؛ فإذا كُتب الاسم كاملًا بحرف أول كبير دلّ على الشخص لا على الوحدة. وتتدرج السوابق بقوى العشرة، من p ( $10^{-12}$ ) مرورًا بالسوابق n و $\mu$ و m و k و M و G وصولًا إلى T ( $10^{12}$ )؛ والكيلوغرام هو الوحدة الأساسية الوحيدة التي تحمل سابقة في اسمها.

مثال 1.4 (تفكيك وحدة مشتقة)

الفولط: $\mathrm{V} = \mathrm{W}/\mathrm{A} = \mathrm{J}/(\mathrm{A}\,\mathrm{s}) = \mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{2}/(\mathrm{A}\,\mathrm{s}^{3})$ . والأوم: $\Omega = \mathrm{V}/\mathrm{A} = \mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{2}/(\mathrm{A}^{2}\,\mathrm{s}^{3})$ . والفاراد: $\mathrm{F} = \mathrm{C}/\mathrm{V} = \mathrm{A}\,\mathrm{s}/\mathrm{V} = \mathrm{A}^{2}\,\mathrm{s}^{4}/(\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{2})$ . وهذا التفكيك أضمن اختبار للتحقق من أن صيغةً حُفظت على وجهها — ويجعله القسم التالي منهجيًّا.

1.2 التحليل البُعدي

تعريف 1.5 (البُعد)

بُعد مقدارٍ $X$ ، ويُكتب $[X]$ ، يسجّل كيف يُبنى $X$ من المقادير الأساسية السبعة، بمعزل عن الوحدات المختارة: الطول $L$ والكتلة $M$ والزمن $T$ والتيار الكهربائي $I$ ودرجة الحرارة $\Theta$ وكمية المادة $N$ وشدة الإضاءة $J$ . فللسرعة البعد $[v] = L\,T^{-1}$ ، وللقوة $[F] = M\,L\,T^{-2}$ ، وللطاقة $[E] = M\,L^2\,T^{-2}$ . والمقدار الذي بعده $1$ (زاوية أو نسبة أو قرينة انكسار) عديم البُعد.

مبرهنة 1.6 (مبدأ التجانس البُعدي)

في كل قانون فيزيائي يكون لطرفَي المساواة البعد نفسه، ويكون لكل حدّ من حدود مجموعٍ بعدُ المجموع كله. أما وسيط الأسّي أو اللوغاريتم أو الجيب أو جيب التمام فعديم البعد.

برهان. لا تتوقف قوانين الفيزياء على الوحدات التي يختارها الإنسان. وتغيير وحدة الطول بعامل $\lambda$ يضرب كل مقدار بعده $L^a \cdots$ في $\lambda^{-a}$ : فمساواةٌ بين حدود مختلفة الأبعاد تصحّ في نظام وحدات وتفشل في آخر. أما دالة مثل $\exp$ فمتسلسلتها $1 + x + x^2/2 + \dots$ تجمع قوى $x$ مختلفة الأبعاد ما لم يكن $x$ عديم البعد. ∎

طريقة 1.7 (التحقق من صيغة)

اكتب بُعد كل رمز.
اختزل كل طرف (وكل حدّ) إلى جداء $L^a M^b T^c \cdots$ .
إذا تساوت الأسس في الطرفين جاز أن تكون الصيغة صحيحة. وإذا اختلفت فهي خاطئة قطعًا — عامل $g$ ساقط، أو مقدار مربَّع كان ينبغي أن يبقى بسيطًا، أو أُسّ ذو أبعاد.

وقد تبقى الصيغة المتجانسة خاطئة بعامل عديم البعد ( $2$ أو $\pi$ أو $\tfrac12$ ): فالأبعاد لا ترى هذه العوامل.

مثال 1.8 (دور النواس)

نواس طوله $\ell$ وكتلته $m$ يتأرجح في جاذبية $g$ . ولنفترض أن دوره $\tau = k\,\ell^\alpha m^\beta g^\gamma$ حيث $k$ عديم البعد. عندئذٍ $T = L^\alpha M^\beta (L T^{-2})^\gamma = L^{\alpha+\gamma} M^\beta T^{-2\gamma}$ ، ومنه $\beta = 0$ و $\gamma = -\tfrac12$ و $\alpha = \tfrac12$ :

\tau = k\sqrt{\ell/g} .

دون حلّ أي معادلة حركة: تسقط الكتلة، ومضاعفة الطول تضرب الدور في $\sqrt2$ . وستقدّم الديناميك (الفصل 14) القيمة $k = 2\pi$ للتأرجحات الصغيرة.

قضية 1.9 (التجميعات عديمة البُعد)

إذا توقف مقدار $Y$ على $n$ من المقادير $X_1, \dots, X_n$ تدخل فيها $r$ من الأبعاد الأساسية المستقلة، أمكن إعادة كتابة العلاقة بين $n + 1 - r$ تجميعة عديمة البعد من $X_i$ ومن $Y$ . وإذا كان $n + 1 - r = 1$ وجب أن تكون التجميعة الوحيدة ثابتة، وأعطى التحليل البعدي القانون إلى حدّ عامل عددي.

برهان. نقبله في هذا المستوى. ∎

ملاحظة 1.10 (استعمال القضية)

العبارة العامة (مبرهنة فاشي–باكنغهام) قطعة من الجبر الخطي على متجهات الأسس. والمهم هنا هو الطريقة: أحصِ المقادير ذات الصلة، وعُدّ الأبعاد، وكوّن التجميعات عديمة البعد. ففي المثال 1.8 لدينا $n = 3$ ( $\ell, m, g$ ) و $r = 3$ ( $L, M, T$ )، فتوجد تجميعة واحدة $\tau\sqrt{g/\ell}$ ولا بد أن تكون ثابتة. أما قوة السحب على كرة نصف قطرها $R$ تتحرك بسرعة $v$ في مائع كثافته $\rho$ ولزوجته $\eta$ فتدخل فيها $n = 4$ مقادير و $r = 3$ أبعاد: أي تجميعتان، $F/(\rho v^2 R^2)$ و $\rho v R/\eta$ (عدد رينولدز)، ولا تستطيع الأبعاد وحدها أن تقول كيف تتوقف الأولى على الثانية — بل التجربة.

1.3 رتب القدر

تعريف 1.11 (رتبة القدر)

رتبة القدر لمقدارٍ ما هي أقرب قوة من قوى العشرة إليه: فالمقدار $6.4 \times 10^{6}\,\mathrm{m}$ (نصف قطر الأرض) رتبة قدره $10^7$ ؛ و $3 \times 10^{3}\,\mathrm{m}$ رتبته $10^3$ ؛ و $3.2 \times 10^{3}\,\mathrm{m}$ أقرب إلى $10^3$ منه إلى $10^4$ على سُلّم لوغاريتمي (والحدّ الفاصل هو $\sqrt{10} \approx 3.16$ ). ويقال إن مقدارين “من الرتبة نفسها” إذا كانت نسبتهما دون $3$ تقريبًا.

طريقة 1.12 (التقدير)

لتقدير مقدار لم يقسه أحد من أجلك:

فكّكه إلى عوامل تستطيع تقدير كلٍّ منها إلى حدود عامل $2$ أو $3$ ؛
قدّر كل عامل محتفظًا برقم معنوي واحد؛
اضرب محتفظًا بقوة العشرة وبرقم واحد.

تتعاوض أخطاء العوامل المختلفة جزئيًّا، فتكون النتيجة عادةً صحيحة إلى حدود عامل من $3$ إلى $10$ ، وهو كل ما يلزم غالبًا لقبول فرضية أو ردّها.

مثال 1.13 (كتلة الغلاف الجوي)

الضغط الجوي $P_0 \approx 1 \times 10^{5}\,\mathrm{Pa}$ هو وزن عمود الهواء فوق متر مربع واحد، $P_0 = m_{\text{عمود}}\,g$ ، ومنه $m_{\text{عمود}} \approx 10^5/10 = 1 \times 10^{4}\,\mathrm{kg}$ لكل متر مربع. ومساحة سطح الأرض $4\pi R^2 \approx 4 \times 3 \times (6\times10^6)^2 \approx 5 \times 10^{14}\,\mathrm{m}^{2}$ ؛ فوزن الغلاف الجوي نحو $5 \times 10^{18}\,\mathrm{kg}$ . والقيمة المعتمدة $5.1 \times 10^{18}\,\mathrm{kg}$ — ولم يحتج التقدير إلا إلى $P_0$ و $R$ .

تعريف 1.14 (الأرقام المعنوية)

الأرقام المعنوية لعدد مكتوب هي أرقامه ابتداءً من أول رقم غير معدوم: فللعدد $0.0820$ ثلاثة، وللعدد $8.20 \times 10^{-2}$ الثلاثة نفسها، أما $820$ فملتبس (رقمان أو ثلاثة) ما لم يُكتب $8.2 \times 10^{2}$ أو $8.20 \times 10^{2}$ . وتُكتب النتيجة بعدد الأرقام المعنوية التي يسمح بها ارتيابها (الطريقة 1.20 أدناه): فلا يُكتب “ $g = 9.7723\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ ” والرقم الرابع مجهول.

1.4 ارتياب القياس

تعريف 1.15 (المقدار المقيس والخطأ والارتياب)

المقدار المقيس هو المقدار الذي يُراد قياسه. وتكرار القياس يعطي قيمًا متبعثرة: أي إن القياس متقلّب. وخطأ نتيجةٍ واحدة هو فرقها المجهول عن القيمة الحقيقية؛ أما الارتياب المعياري $u(x)$ لنتيجة $x$ فهو الانحراف المعياري للقيم التي يمكن أن تُنسب على نحو معقول إلى المقدار المقيس — وهو مقدار يمكن تقييمه. ومصادره: المجرِّب (زمن ردّ الفعل، اختلاف المنظر)، والمحيط (درجة الحرارة، الاهتزازات)، والجهاز (الاستبانة، المعايرة)، والطريقة (نموذج ليس صحيحًا إلا تقريبًا).

قضية 1.16 (التقييم من النوع A)

من $n$ قيمة مكررة مستقلة $x_1, \dots, x_n$ متوسطها $\bar x = \frac1n \sum x_i$ وانحرافها المعياري التجريبي

s = \sqrt{\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n (x_i - \bar x)^2},

يكون أفضل تقدير للمقدار المقيس هو $\bar x$ ، ويكون ارتيابه المعياري

u(\bar x) = \frac{s}{\sqrt n} .

برهان جزئي. كون $s$ يقدّر تبعثر قياس واحد هو تعريف الانحراف المعياري التجريبي (بالقسمة على $n - 1$ لا على $n$ لأن المتوسط نفسه قُدّر من المعطيات). أما كون متوسط $n$ قيمة مستقلة يتبعثر أقلّ $\sqrt n$ مرة من قيمة واحدة فهو جمع التباينات: تباين مجموع $n$ متغير مستقل يساوي $n$ أضعاف تباين الواحد، فيكون تباين المتوسط $s^2 n / n^2 = s^2/n$ . ودرس الاحتمالات في هذه السنة يبرهن على العبارتين معًا. ∎

خمسون توقيتًا لدور النواس نفسه، موزَّعة على فئات عرضها 0.01\, s. وتبعثرها s 0.016\, s (لتوقيت واحد)؛ ومتوسط الخمسين معروف إلى s/√50 0.002\, s. والمنحنى الجرسي غاوسيةٌ لها المتوسط والتبعثر نفسهما. — خمسون توقيتًا لدور النواس نفسه، موزَّعة على فئات عرضها $0.01\,\mathrm{s}$ . وتبعثرها $s \approx 0.016\,\mathrm{s}$ (لتوقيت واحد)؛ ومتوسط الخمسين معروف إلى $s/\sqrt{50} \approx 0.002\,\mathrm{s}$ . والمنحنى الجرسي غاوسيةٌ لها المتوسط والتبعثر نفسهما.

قضية 1.17 (التقييم من النوع B)

حين تُقرأ قيمة مرة واحدة يُقيَّم ارتيابها ممّا يُعرف عن الجهاز. فإذا أمكن أن تقع القيمة الحقيقية في أي موضع بين $x - a$ و $x + a$ دون تفضيل (توزيع منتظم نصف عرضه $a$ )، كان

u(x) = \frac{a}{\sqrt 3} .

ولسُلّم مدرَّج بخطوة $\delta$ (نصف العرض $a = \delta/2$ ) يكون $u = \delta/(2\sqrt3) = \delta/\sqrt{12}$ ؛ وينطبق الأمر نفسه على آخر رقم في شاشة رقمية. أما تسامح الصانع المعطى بالصيغة “ $\pm a$ ” فيُعالج المعالجة نفسها ما لم تقل بطاقة المعطيات غير ذلك.

برهان. تباين توزيع منتظم على $[x - a, x + a]$ هو $\frac{1}{2a}\int_{-a}^{a} t^2\,\dd t = \frac{1}{2a}\cdot\frac{2a^3}{3} = \frac{a^2}{3}$ ؛ وانحرافه المعياري $a/\sqrt3$ . ∎

قراءة لا يُعرف عنها إلا أنها تقع داخل ± a: كثافة منتظمة 1/(2a)، وانحراف معياري a/√3 0.58\,a — أصغر من a، لأن الطرفين ليسا أرجح من المركز. — قراءة لا يُعرف عنها إلا أنها تقع داخل $\pm a$ : كثافة منتظمة $1/(2a)$ ، وانحراف معياري $a/\sqrt3 \approx 0.58\,a$ — أصغر من $a$ ، لأن الطرفين ليسا أرجح من المركز.

مبرهنة 1.18 (الارتياب المركّب)

ليكن $y = f(x_1, \dots, x_n)$ محسوبًا من قيم مقيسة مستقلة ارتياباتها المعيارية $u(x_i)$ . عندئذٍ

u(y)^2 = \sum_{i=1}^n \left(\frac{\partial f}{\partial x_i}\right)^2 u(x_i)^2 .

وبخاصة:

المجموع أو الفرق $y = x_1 \pm x_2$ : $u(y)^2 = u(x_1)^2 + u(x_2)^2$ ؛
الجداء أو القسمة $y = x_1 x_2$ أو $x_1/x_2$ : $\left(\dfrac{u(y)}{y}\right)^2 = \left(\dfrac{u(x_1)}{x_1}\right)^2 + \left(\dfrac{u(x_2)}{x_2}\right)^2$ ؛
القوة $y = k\,x^\alpha$ : $\dfrac{u(y)}{\abs y} = \abs\alpha\,\dfrac{u(x)}{\abs x}$ .

برهان. من أجل انحرافات صغيرة $\delta x_i$ يعطي نشر تايلور من الرتبة الأولى $\delta y = \sum_i (\partial f/\partial x_i)\,\delta x_i$ . والانحرافات مستقلة ومتوسطها معدوم، فتباين المجموع هو مجموع التباينات، كلٌّ مضروب في مربع معامله — وهي الصيغة المعروضة. ومنها تتبع الحالات الخاصة: $\partial(x_1 x_2)/\partial x_1 = x_2$ يعطي $u(y)^2 = x_2^2 u(x_1)^2 + x_1^2 u(x_2)^2$ ، ثم نقسم على $y^2 = x_1^2 x_2^2$ ؛ ومن أجل $y = kx^\alpha$ يكون $\partial y/\partial x = \alpha y/x$ . ∎

مثال 1.19 (كثافة أسطوانة)

أسطوانة: $m = 47.32\,\mathrm{g}$ ( $u = 0.01\,\mathrm{g}$ )، $d = 12.00\,\mathrm{mm}$ ( $u = 0.02\,\mathrm{mm}$ )، $h = 50.2\,\mathrm{mm}$ ( $u = 0.1\,\mathrm{mm}$ ). ولدينا $\rho = 4m/(\pi d^2 h)$ ، فيجمع مربعُ الارتياب النسبي المقاديرَ $(0.01/47.32)^2 = 4.5 \times 10^{-8}$ و $(2 \times 0.02/12.00)^2 = 1.1 \times 10^{-5}$ و $(0.1/50.2)^2 = 4.0 \times 10^{-6}$ : فالقطر هو المهيمن، لأنه مربَّع ومقيس إلى $0.17\%$ . ومنه $u(\rho)/\rho = \sqrt{1.5 \times 10^{-5}} = 0.39\%$ ؛ و $\rho = 8334\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ ، فيكون $u(\rho) = 33\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ : أي $\rho = (8.33 \pm 0.03)\times10^3\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ — نحاس أصفر.

طريقة 1.20 (كتابة نتيجة)

قرّب الارتياب إلى رقم معنوي واحد (أو رقمين إذا كان الأول $1$ أو $2$ ).
قرّب القيمة إلى المرتبة العشرية نفسها.
اكتب القيمة والارتياب مع الوحدة: $g = (9.77 \pm 0.03)\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ ، أو $g = 9.77\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ مع $u(g) = 0.03\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ .

واحتفظ بأرقام زائدة أثناء الحساب، ولا تقرّب إلا في النهاية.

تعريف 1.21 (الفارق المنسوب)

تُقارَن نتيجتان $x_1 \pm u_1$ و $x_2 \pm u_2$ للمقدار المقيس نفسه بواسطة الفارق المنسوب

z = \frac{\abs{x_1 - x_2}}{\sqrt{u_1^2 + u_2^2}} .

وتكونان متوافقتين إذا كان $z \leq 2$ ؛ أما $z$ الأكبر فيشير إلى أثر لم يُحسب حسابه — أو إلى ارتياب مقدَّر بأقلّ من قيمته. وإذا كان $x_2$ قيمة مرجعية بلا ارتياب معلن أُخذ $u_2 = 0$ .

ملاحظة 1.22 (لماذا 2)

إذا تبعثرت النتيجتان تبعثرًا غاوسيًّا كان لفرقهما انحراف معياري $\sqrt{u_1^2 + u_2^2}$ ، والغاوسية تتجاوز ضعف انحرافها المعياري في نحو $5\%$ من الحالات. والشرط “ $z \leq 2$ ” اصطلاح لا مبرهنة: فهو يعدّ نحو قياس جيد واحد من كل عشرين اختلافًا زائفًا.

1.5 ملاءمة نموذج للمعطيات

قضية 1.23 (مستقيم المربعات الصغرى)

لتكن $n$ نقطة $(x_i, y_i)$ يُنتظر أن تخضع للعلاقة $y = a x + b$ ؛ فالمستقيم الذي يصغّر مجموع مربعات المسافات الشاقولية $\sum_i (y_i - a x_i - b)^2$ له

a = \frac{\sum_i (x_i - \bar x)(y_i - \bar y)}{\sum_i (x_i - \bar x)^2}, \qquad b = \bar y - a\,\bar x .

برهان. المجموع دالة من الدرجة الثانية في $(a, b)$ ؛ وبمساواة المشتقين الجزئيين بالصفر نحصل على معادلتين خطيتين: $\sum_i (y_i - ax_i - b) = 0$ ، أي $\bar y = a \bar x + b$ ، و $\sum_i x_i (y_i - ax_i - b) = 0$ . وبتعويض $b$ في الثانية وتوسيط المتغيرات نجد $a$ . أما التصغير نفسه فيُجرى في درس الرياضيات حول دوال متغيرين. ∎

طريقة 1.24 (التحقق البياني من نموذج)

اختر متغيرات تجعل القانون المنتظر مستقيمًا: $\tau^2$ بدلالة $\ell$ للنواس، و $\ln y$ بدلالة $\ln x$ لقانون قوة $y = Cx^\alpha$ (الميل $\alpha$ ).
ارسم النقاط مع قضبان ارتيابها.
لائم المستقيم؛ ويكون النموذج مقبولًا إذا تخطّت القضبان المستقيم دون نزعة منتظمة في البواقي، وإذا كان المقطع هو ما يتنبأ به النموذج (وهو الصفر هنا).
اقرأ الفيزياء من الميل، مع ارتيابه.

2 بدلالة لخمسة أطوال للنواس، مع قضبان الارتياب؛ ويمرّ مستقيم المربعات الصغرى بالمبدأ في حدود الارتياب، ويعطي ميله 4π2/g القيمة g. — $\tau^2$ بدلالة $\ell$ لخمسة أطوال للنواس، مع قضبان الارتياب؛ ويمرّ مستقيم المربعات الصغرى بالمبدأ في حدود الارتياب، ويعطي ميله $4\pi^2/g$ القيمة $g$ .

مثال 1.25 (قراءة $g$ من ميل)

لنقاط الشكل الخمس $\bar\ell = 0.800\,\mathrm{m}$ و $\overline{\tau^2} = 3.232\,\mathrm{s}^{2}$ ، ومجموعاتها $\sum (\ell_i - \bar\ell)(\tau_i^2 - \overline{\tau^2}) = 1.614\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{2}$ و $\sum (\ell_i - \bar\ell)^2 = 0.400\,\mathrm{m}^{2}$ : فالميل $a = 4.035\,\mathrm{s}^{2}/\mathrm{m}$ والمقطع $b = 0.004\,\mathrm{s}^{2}$ مهمل. ومع $\tau^2 = (4\pi^2/g)\,\ell$ نجد $g = 4\pi^2/a = 9.78\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ .

1.6 تمارين

تمرين 1.1 ★

عبّر عن الجول والواط والباسكال والكولوم بالوحدات الأساسية. واستنتج أن $\mathrm{Pa}\,\mathrm{m}^{3}$ وحدة طاقة.

حل

حل التمرين 1.1.

$\mathrm{J} = \mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{2}\,\mathrm{s}^{-2}$ ; $\mathrm{W} = \mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{2}\,\mathrm{s}^{-3}$ ; $\mathrm{Pa} = \mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-1}\,\mathrm{s}^{-2}$ ; $\mathrm{C} = \mathrm{A}\,\mathrm{s}$ . $\mathrm{Pa}\,\mathrm{m}^{3} = \mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-1}\,\mathrm{s}^{-2}\,\mathrm{m}^{3} = \mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{2}\,\mathrm{s}^{-2} = \mathrm{J}$ (شغل قوى الضغط، $P\,\dd V$ ).

تمرين 1.2 ★

أعطِ أبعاد ضغطٍ واستطاعةٍ وشحنةٍ كهربائية وتوتر، وأبعاد الثوابت $G$ (في $F = Gm_1m_2/r^2$ ) و $h$ (في $E = h\nu$ ) و $k_B$ (في $E = k_B T$ ).

حل

حل التمرين 1.2.

الضغط $M L^{-1} T^{-2}$ ؛ والاستطاعة $M L^2 T^{-3}$ ؛ والشحنة $I\,T$ ؛ والتوتر هو الاستطاعة على التيار $= M L^2 T^{-3} I^{-1}$ . $[G] = [F r^2/m^2] = M L T^{-2} L^2 M^{-2} = L^3 M^{-1} T^{-2}$ ; $[h] = [E/\nu] = M L^2 T^{-2} \cdot T = M L^2 T^{-1}$ ; $[k_B] = [E/T] = M L^2 T^{-2} \Theta^{-1}$ .

تمرين 1.3 ★

هل هذه الصيغ متجانسة؟ $v = \sqrt{2gh}$ ؛ $E = \tfrac12 m v$ ؛ $P = \rho g h$ من أجل ضغط؛ $x = v_0 t + \tfrac12 g t^2$ ؛ $T = 2\pi\sqrt{g/\ell}$ ؛ $I = I_0 \eu^{-t/RC}$ .

حل

حل التمرين 1.3.

$\sqrt{2gh}$ : $\sqrt{L T^{-2} \cdot L} = L T^{-1}$ ، متجانسة. $\tfrac12 mv$ : $M L T^{-1} \neq M L^2 T^{-2}$ ، ليست طاقة. $\rho g h$ : $M L^{-3} \cdot L T^{-2} \cdot L = M L^{-1} T^{-2}$ ، أي ضغط. $v_0 t + \tfrac12 g t^2$ : كلا الحدّين $L$ ، متجانسة. $2\pi\sqrt{g/\ell}$ : $\sqrt{T^{-2}} = T^{-1}$ — أي تواتر لا دور. $I_0\eu^{-t/RC}$ : $RC$ بوحدة $\Omega\,\mathrm{F} = \mathrm{s}$ ، والوسيط عديم البعد، فهي متجانسة.

تمرين 1.4 ★

مسطرة مدرَّجة بالمليمتر، وميزان رقمي يعرض بخطوة $0.01\,\mathrm{g}$ ، وبطاقة معطيات فولطمتر تَعِد بدقة “ $\pm 0.5\%$ من القراءة”. أعطِ الارتياب المعياري من النوع B لطولٍ قدره $12.7\,\mathrm{cm}$ ولكتلة $5.43\,\mathrm{g}$ ولقراءة $4.80\,\mathrm{V}$ .

حل

حل التمرين 1.4.

المسطرة: $\delta = 1\,\mathrm{mm}$ ، ومنه $u = 1/\sqrt{12} = 0.29\,\mathrm{mm}$ . الميزان: $u = 0.01/\sqrt{12} = 0.003\,\mathrm{g}$ . الفولطمتر: $a = 0.005 \times 4.80 = 0.024\,\mathrm{V}$ ، ومنه $u = 0.024/\sqrt3 = 0.014\,\mathrm{V}$ .

تمرين 1.5 ★★

تتوقف سرعة $v$ الأمواج على وتر مشدود على توتره $F$ (وهو قوة) وعلى كتلته لواحدة الطول $\mu$ . أوجد $v$ إلى حدّ عامل عديم البعد. والسؤال نفسه من أجل سرعة الصوت في غاز ضغطه $P$ وكثافته $\rho$ .

حل

حل التمرين 1.5.

$v = k F^\alpha \mu^\beta$ : $L T^{-1} = (M L T^{-2})^\alpha (M L^{-1})^\beta$ ، ومنه $\alpha + \beta = 0$ و $\alpha - \beta = 1$ و $-2\alpha = -1$ : $\alpha = \tfrac12$ و $\beta = -\tfrac12$ و $v = k\sqrt{F/\mu}$ (والواقع أن $k = 1$ ). الصوت: بُعد $P/\rho$ هو $M L^{-1} T^{-2} / (M L^{-3}) = L^2 T^{-2}$ ، ومنه $v = k\sqrt{P/\rho}$ (حيث $k = \sqrt\gamma \approx 1.2$ للهواء).

تمرين 1.6 ★★

ثمانية توقيتات للسقوط نفسه، بالمليثانية: $452$ و $447$ و $461$ و $455$ و $449$ و $458$ و $444$ و $454$ . احسب المتوسط والانحراف المعياري التجريبي والارتياب المعياري للمتوسط، واكتب النتيجة.

حل

حل التمرين 1.6.

المجموع $= 3620\,\mathrm{ms}$ ، والمتوسط $\bar t = 452.5\,\mathrm{ms}$ . والانحرافات $-0.5, -5.5, 8.5, 2.5, -3.5, 5.5, -8.5, 1.5$ ؛ ومجموع مربعاتها $226$ ؛ ومنه $s = \sqrt{226/7} = 5.7\,\mathrm{ms}$ و $u(\bar t) = 5.7/\sqrt8 = 2.0\,\mathrm{ms}$ . النتيجة: $t = (452.5 \pm 2.0)\,\mathrm{ms}$ .

تمرين 1.7 ★★

تُقاس مقاومة بالعلاقة $R = U/I$ حيث $U = 4.80\,\mathrm{V}$ و $u(U) = 0.03\,\mathrm{V}$ و $I = 12.4\,\mathrm{mA}$ و $u(I) = 0.2\,\mathrm{mA}$ . احسب $R$ و $u(R)$ ؛ وأيّ القياسين ينبغي تحسينه أولًا؟

حل

حل التمرين 1.7.

لدينا $R = 4.80/0.0124 = 387\,\Omega$ . والارتيابان النسبيان $0.03/4.80 = 0.63\%$ و $0.2/12.4 = 1.6\%$ ؛ فالمركّب هو $\sqrt{0.63^2 + 1.6^2} = 1.7\%$ ، و $u(R) = 7\,\Omega$ : أي $R = (387 \pm 7)\,\Omega$ . والتيار هو المهيمن — فيُحسَّن الأمبيرمتر (أو مجاله) أولًا.

تمرين 1.8 ★★

تقيس مجموعتان سرعة الصوت فتجدان $(343 \pm 4)\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ و $(336 \pm 3)\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . أهما متوافقتان؟ ثم تجد مجموعة ثالثة $(352 \pm 2)\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ : أمتوافقة مع الأولى؟ ومع الثانية؟

حل

حل التمرين 1.8.

$z = 7/\sqrt{16 + 9} = 1.4 \leq 2$ : متوافقتان. والثالثة مع الأولى: $z = 9/\sqrt{4 + 16} = 2.0$ : على الحدّ، متوافقتان بالكاد. والثالثة مع الثانية: $z = 16/\sqrt{4 + 9} = 4.4$ : غير متوافقتين — فإحداهما على الأقل تحمل خطأً منهجيًّا أو ارتيابًا مقدَّرًا بأقلّ من قيمته.

تمرين 1.9 ★★

يُحسب حجم كرة من قطرها $d = 25.40\,\mathrm{mm}$ المقيس بقدمة ذات ورنية، حيث $u(d) = 0.02\,\mathrm{mm}$ . احسب $V$ وارتيابه النسبي والمطلق، واكتب النتيجة.

حل

حل التمرين 1.9.

$V = \pi d^3/6 = \pi \times 25.40^3/6 = 8580\,\mathrm{mm}^{3}$ . و $u(V)/V = 3\,u(d)/d = 3 \times 0.02/25.40 = 0.24\%$ ، ومنه $u(V) = 20\,\mathrm{mm}^{3}$ : أي $V = (8.58 \pm 0.02)\,\mathrm{cm}^{3}$ .

تمرين 1.10 ★★★

تسقط كرة صغيرة نصف قطرها $R$ ببطء في سائل لزج؛ وتتوقف قوة السحب على $R$ وعلى السرعة $v$ وعلى اللزوجة $\eta$ التي بعدها $M L^{-1} T^{-1}$ . بيّن أن $F = k\,\eta R v$ . وعند السرعات الكبيرة تتوقف قوة السحب بدلًا من ذلك على $R$ و $v$ وكثافة المائع $\rho$ : أوجد القانون الجديد. ثم قدّر، من أجل قطرة مطر ( $R = 1\,\mathrm{mm}$ ، $v = 5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ، وللهواء $\rho = 1.2\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ و $\eta = 1.8 \times 10^{-5}\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$ )، أيّ النظامين ينطبق، بمقارنة التقديرين.

حل

حل التمرين 1.10.

$F = k\eta^a R^b v^c$ : من $M$ نجد $a = 1$ ؛ ومن $T$ نجد $-a - c = -2$ أي $c = 1$ ؛ ومن $L$ نجد $-a + b + c = 1$ أي $b = 1$ : فيكون $F = k\eta R v$ (ستوكس، $k = 6\pi$ ). وبأخذ $\rho$ بدلًا منها: من $M$ نجد $a = 1$ ؛ ومن $T$ نجد $-c = -2$ أي $c = 2$ ؛ ومن $L$ نجد $-3 + b + 2 = 1$ أي $b = 2$ : فيكون $F = k\rho R^2 v^2$ . قطرة المطر: $\eta R v = 1.8\times10^{-5} \times 10^{-3} \times 5 \approx 1 \times 10^{-7}\,\mathrm{N}$ ؛ و $\rho R^2 v^2 = 1.2 \times 10^{-6} \times 25 = 3 \times 10^{-5}\,\mathrm{N}$ ، أي أكبر بثلاثمئة مرة: فينطبق النظام العُطالي (نظام السرعات الكبيرة) — والنسبة $\rho v R/\eta \approx 330$ هي عدد رينولدز.

تمرين 1.11 ★★★

أربعة قياسات للتوتر بين طرفَي ناقلة أومية عند تيارات متزايدة: $(I, U) = (2.0\,\mathrm{mA}, 0.41\,\mathrm{V})$ و $(4.0\,\mathrm{mA}, 0.78\,\mathrm{V})$ و $(6.0\,\mathrm{mA}, 1.22\,\mathrm{V})$ و $(8.0\,\mathrm{mA}, 1.59\,\mathrm{V})$ . احسب ميل المربعات الصغرى والمقطع، واستنتج $R$ ؛ وهل المقطع متوافق مع الصفر إذا حمل كل $U$ ارتيابًا $u = 0.02\,\mathrm{V}$ ؟

حل

حل التمرين 1.11.

$\bar I = 5.0\,\mathrm{mA}$ و $\bar U = 1.000\,\mathrm{V}$ ؛ والانحرافات في $I$ : $-3, -1, 1, 3$ ؛ وفي $U$ : $-0.59, -0.22, 0.22, 0.59$ . ومنه $\sum (I_i - \bar I)(U_i - \bar U) = 3.98$ و $\sum (I_i - \bar I)^2 = 20$ : فالميل $a = 0.199\,\mathrm{V}/\mathrm{mA} = 199\,\Omega$ والمقطع $b = 1.000 - 0.199 \times 5 = 0.005\,\mathrm{V}$ . ومع $u(U) = 0.02\,\mathrm{V}$ لكل نقطة يقع مقطعٌ مقداره $0.005\,\mathrm{V}$ داخل حدود الارتياب تمامًا: أي متوافق مع الصفر، والناقلة أومية، و $R \approx 199\,\Omega$ .

تمرين 1.12 ★★★

انطلاقًا من $G = 6.67 \times 10^{-11}\,\mathrm{m}^{3}/(\mathrm{kg}\,\mathrm{s}^{2})$ و $h = 6.63 \times 10^{-34}\,\mathrm{J}\,\mathrm{s}$ و $c = 3.00 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ، ابنِ بالتحليل البعدي طولًا وزمنًا وكتلة (وهي وحدات بلانك). احسبها وقارنها بحجم بروتون ( $1 \times 10^{-15}\,\mathrm{m}$ ) وبكتلة إنسان.

حل

حل التمرين 1.12.

$\ell = G^a h^b c^c$ : من $M$ نجد $-a + b = 0$ ؛ ومن $T$ نجد $-2a - b - c = 0$ ؛ ومن $L$ نجد $3a + 2b + c = 1$ . ومنه $b = a$ و $c = -3a$ و $2a = 1$ : $\ell_P = \sqrt{Gh/c^3} = \sqrt{4.42\times10^{-44}/2.7\times10^{25}} = 4.1 \times 10^{-35}\,\mathrm{m}$ ؛ و $t_P = \ell_P/c = 1.4 \times 10^{-43}\,\mathrm{s}$ ؛ و $m_P = \sqrt{hc/G} = \sqrt{1.99\times10^{-25}/6.67\times10^{-11}} = 5.5 \times 10^{-8}\,\mathrm{kg}$ . وطول بلانك أدنى من البروتون بعشرين رتبة من رتب القدر؛ أما كتلة بلانك، وهي $55\,\text{µ}\mathrm{g}$ ، فذرّة غبار — هائلة لجسيم، ضئيلة لإنسان (أخفّ $10^9$ مرة).

المادة الخام لهذا الفصل: قدمة ذات ورنية، وساعة إيقاف، وكرة، ومسطرة، وعمود من القراءات المكررة التي لا تتفق تمامًا أبدًا.

1.7 مسألة: قياس $g$ بنواس

مسألة 1.1

مسألة نهاية الأسبوع — خيط وثقل وساعة إيقاف وشريط قياس: إلى أي حدّ تستطيع طاولة مطبخ أن تقيس مجال الجاذبية الأرضية، وأيّ أعدادها الأربعة هو الحلقة الضعيفة

النواس كرة فولاذية معلَّقة من نقطة ثابتة بخيط خفيف؛ ودور التأرجحات الصغيرة $\tau = 2\pi\sqrt{\ell/g}$ حيث $\ell$ المسافة من نقطة التعليق إلى مركز الكرة. والهدف الوصول إلى قيمة $g$ بارتياب يمكن الدفاع عنه.

الجزء I — النموذج.

تحقق من تجانس $\tau = 2\pi\sqrt{\ell/g}$ .
كتلة الكرة $m$ . برهن بالأبعاد وحدها على أن الدور لا يمكن أن يتوقف على $m$ إذا كان لا يتوقف إلا على $\ell$ و $g$ و $m$ .
يتوقف الدور أيضًا، قليلًا، على سعة التأرجح $\theta_0$ . لماذا يسمح التحليل البعدي بذلك، وماذا يجب فعله تجريبيًّا حتى تصير الصيغة قابلة للتطبيق؟
عبّر عن $g$ بدلالة $\ell$ و $\tau$ .

الجزء II — قياس الطول. شريط القياس مدرَّج بالمليمتر؛ والخيط طوله $99.0\,\mathrm{cm}$ من التعليق إلى أعلى الكرة، وقطر الكرة $2.00\,\mathrm{cm}$ ، وقد قُرئ كلٌّ منهما مرة واحدة.

احسب $\ell$ .
قيّم الارتياب من النوع B لقراءة واحدة على الشريط.
يضيف تحديدُ نقطة التعليق ومركز الكرة خطأً ممكنًا يُقدَّر بمقدار $\pm5\,\mathrm{mm}$ (توزيع منتظم). ركّبه مع البند السابق للحصول على $u(\ell)$ ، وأعطِ الارتياب النسبي $u(\ell)/\ell$ .

الجزء III — قياس الدور. للتقليل من أثر زمن ردّ الفعل تُوقَّت عشرة أدوار. وثمانية توقيتات من هذا النوع، بالثانية: $20.12$ و $20.05$ و $20.18$ و $20.09$ و $20.15$ و $20.02$ و $20.11$ و $20.08$ .

لماذا نوقّت عشرة أدوار لا دورًا واحدًا؟ ولماذا نكرر التوقيت ثماني مرات؟
احسب المتوسط $\overline{t_{10}}$ والانحراف المعياري التجريبي $s$ للتوقيتات الثمانية.
استنتج الارتياب المعياري للمتوسط، ثم الدور $\tau$ وارتيابه $u(\tau)$ .
قارن $u(\tau)/\tau$ بالنسبة $u(\ell)/\ell$ .

الجزء IV — النتيجة ونقطة ضعفها.

احسب $g$ .
اكتب $u(g)/g$ بدلالة $u(\ell)/\ell$ و $u(\tau)/\tau$ ، ثم احسبه.
اكتب النتيجة بالصيغة المعيارية.
قارنها بالقيمة المرجعية $9.81\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ عبر الفارق المنسوب. ما الحكم؟
أيّ المقدارين المقيسين يحدّ من دقة $g$ ؟ اقترح تحسينين ملموسين وقل كم يخفض كلٌّ منهما الارتياب النسبي.
لنفترض أن كل طول قُدّر بزيادة قدرها $5\,\mathrm{mm}$ بسبب محاذاة متسرعة. أهذا محسوب في ميزانية الارتياب؟ وما اسم هذا النوع من الخطأ، وكيف يُكشف؟

الجزء V — خمسة أطوال ومستقيم. تُعاد التجربة من أجل $\ell = 0.400$ و $0.600$ و $0.800$ و $1.000$ و $1.200\,\mathrm{m}$ ، فتعطي $\tau^2 = 1.62$ و $2.41$ و $3.25$ و $4.04$ و $4.84\,\mathrm{s}^{2}$ ، ولكلٍّ منها $u(\tau^2) \approx 1\%$ .

لماذا نرسم $\tau^2$ بدلالة $\ell$ لا $\tau$ بدلالة $\ell$ ؟
احسب $\bar\ell$ و $\overline{\tau^2}$ .
احسب ميل المربعات الصغرى $a$ والمقطع $b$ .
استنتج $g$ من الميل.
فسّر المقطع: ماذا يكشف $b$ لو كان غير معدوم بوضوح؟
تعطي الملاءمة الحاسوبية $u(a) = 0.05\,\mathrm{s}^{2}/\mathrm{m}$ . استنتج $u(g)$ واكتب النتيجة.
قارن نتيجة الطول الواحد في الجزء IV بهذه النتيجة عبر الفارق المنسوب.
يقترح طالب أن يقيس بدلًا من ذلك تأرجحة واحدة لنواس طوله $10\,\mathrm{m}$ في بئر سلّم، بالشريط وساعة الإيقاف نفسيهما. قدّر الارتياب النسبي على $g$ الذي يعطيه ذلك، واستنتج أفضل استراتيجية.

حل

حل المسألة 1.1.

1. $\sqrt{L/(L T^{-2})} = \sqrt{T^2} = T$ .

2. $\tau = k\ell^\alpha m^\beta g^\gamma$ يعطي $T = L^{\alpha+\gamma} M^\beta T^{-2\gamma}$ ، ومنه $\beta = 0$ : فلا تجميعة من $\ell$ و $g$ تستطيع إلغاء كتلة.

3. $\theta_0$ عديم البعد، فأيّ عامل $f(\theta_0)$ غير مرئي للأبعاد. فأبقِ السعة صغيرة (دون $10^\circ$ تقريبًا) حيث $f \approx 1$ بدقة أفضل من $0.2\%$ .

4. $g = 4\pi^2\ell/\tau^2$ .

5. $\ell = 99.0 + 1.00 = 100.0\,\mathrm{cm} = 1.000\,\mathrm{m}$ .

6. $u = 1\,\mathrm{mm}/\sqrt{12} = 0.29\,\mathrm{mm}$ .

7. المحاذاة: $5/\sqrt3 = 2.9\,\mathrm{mm}$ ؛ والمركّب $\sqrt{0.29^2 + 2.9^2} = 2.9\,\mathrm{mm}$ — فقراءة الشريط مهملة. ومنه $u(\ell)/\ell = 0.29\%$ .

8. خطأ زمن ردّ الفعل (نحو $0.1\,\mathrm{s}$ ) هو نفسه سواء وُقّت دور واحد أو عشرة أدوار، فأثره على دور واحد أصغر عشر مرات. والتكرار يكشف التبعثر (ومنه $s$ ) ويقسم ارتياب المتوسط على $\sqrt8$ .

9. مجموع الأزمنة $160.80\,\mathrm{s}$ ، ومنه يكون $\overline{t_{10}} = 20.100\,\mathrm{s}$ . والانحرافات هي، بالثانية، $0.02, -0.05, 0.08, -0.01$ ثم $0.05, -0.08, 0.01, -0.02$ ؛ ومجموع مربعاتها $188 \times 10^{-4}$ ؛ ومنه $s = \sqrt{188\times10^{-4}/7} = 0.052\,\mathrm{s}$ .

10. $u(\overline{t_{10}}) = 0.052/\sqrt8 = 0.018\,\mathrm{s}$ ؛ ومنه $\tau = 2.0100\,\mathrm{s}$ و $u(\tau) = 0.0018\,\mathrm{s}$ .

11. $u(\tau)/\tau = 0.09\%$ ، أي أصغر ثلاث مرات من $u(\ell)/\ell = 0.29\%$ .

12. $g = 4\pi^2 \times 1.000/2.0100^2 = 39.48/4.040 = 9.772\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ .

13. $g \propto \ell\,\tau^{-2}$ : $\dfrac{u(g)}{g} = \sqrt{\left(\dfrac{u(\ell)}{\ell}\right)^2 + \left(2\dfrac{u(\tau)}{\tau}\right)^2} = \sqrt{0.29^2 + 0.18^2}\,\% = 0.34\%$ .

14. $u(g) = 0.0034 \times 9.772 = 0.033\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ : $g = (9.77 \pm 0.03)\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ .

15. $z = \abs{9.772 - 9.81}/0.033 = 1.2 \leq 2$ : متوافقتان.

16. الطول ( $0.29\%$ في مقابل $0.18\%$ لحدّ الدور). وتحديد الطرفين إلى $\pm1\,\mathrm{mm}$ يخفض $u(\ell)/\ell$ إلى $0.06\%$ و $u(g)/g$ إلى $\sqrt{0.06^2 + 0.18^2} = 0.19\%$ ؛ ومضاعفة الطول تنصّف $u(\ell)/\ell$ وتطيل $\tau$ ، فتساعد الحدّين معًا. أما توقيت عشرين دورًا بدل عشرة فينصّف حدّ الدور وحده: $u(g)/g = \sqrt{0.29^2 + 0.09^2} = 0.30\%$ — وهو مكسب ضئيل ما دام الطول هو عنق الزجاجة.

17. لا: فالانزياح المشترك بين كل القراءات خطأ منهجي (أي تحيّز)؛ والميزانية تغطي التبعثر العشوائي والتسامحات المعلنة، لا انزياحًا ثابتًا. ويُكشف بتغيير الطريقة أو الجهاز، أو — كما في الجزء V — بمقطع غير معدوم لمستقيم $\tau^2$ – $\ell$ .

18. العلاقة $\tau^2 = (4\pi^2/g)\,\ell$ مستقيم يمرّ بالمبدأ: فالخطية والمقطع المعدوم كلاهما قابل للاختبار بالعين وبالمربعات الصغرى؛ أما $\tau \propto \sqrt\ell$ فلا.

19. $\bar\ell = 0.800\,\mathrm{m}$ ; $\overline{\tau^2} = 16.16/5 = 3.232\,\mathrm{s}^{2}$ .

20. الانحرافات في $\ell$ : $-0.4, -0.2, 0, 0.2, 0.4$ ؛ وفي $\tau^2$ : $-1.612, -0.822, 0.018, 0.808, 1.608$ . والمجموع المتقاطع $= 1.614$ ، و $\sum(\ell_i - \bar\ell)^2 = 0.400$ : ومنه $a = 4.035\,\mathrm{s}^{2}/\mathrm{m}$ و $b = 3.232 - 4.035 \times 0.800 = 0.004\,\mathrm{s}^{2}$ .

21. $g = 4\pi^2/a = 39.48/4.035 = 9.78\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ .

22. $b \approx 0$ كما يتنبأ النموذج. أما $b$ غير المعدوم بوضوح فيفضح انزياحًا منهجيًّا $\delta$ في كل طول ( $\tau^2 = a(\ell_{\text{مقيس}} - \delta)$ يعطي $b = -a\delta$ )، مثل مركز كرة سيّئ التحديد — أو أثر السعة.

23. $u(g)/g = u(a)/a = 0.05/4.035 = 1.2\%$ و $u(g) = 0.12\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ : أي $g = (9.78 \pm 0.12)\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ .

24. $z = \abs{9.772 - 9.784}/\sqrt{0.033^2 + 0.12^2} = 0.1$ : أي متوافقتان تمامًا. والقياس المفرد المتقن أدقّ؛ أما المستقيم فيصادق على النموذج ويحمي من انزياح في الطول.

25. $\tau = 2\pi\sqrt{10/9.8} = 6.3\,\mathrm{s}$ ؛ وتأرجحة واحدة مؤقَّتة بزمن ردّ فعل نحو $0.2\,\mathrm{s}$ تعطي $u(\tau)/\tau \approx 3\%$ ، ومنه $u(g)/g \approx 6\%$ ، بينما يهبط $u(\ell)/\ell$ إلى $0.03\%$ : أي أسوأ عشرين مرة من الجزء IV. فمكسب الطول يضيّعه توقيت دور واحد. والاستراتيجية المثلى: نواس طويل مع أدوار كثيرة، مع التكرار — عشر تأرجحات لنواس $10\,\mathrm{m}$ ، ثماني مرات، تعطي $u(\tau)/\tau \approx 0.03\%$ و $u(g)/g \approx 0.07\%$ .

المصطلحات المعرَّفة في هذا الفصل

عرض كل المصطلحات (393) في المسرد