الفيزياء الجامعية — السنة الأولى · Bachelor Year 1

7الأنظمة العابرة: الرتبة الأولى والرتبة الثانية

اضغط على زاوية سيارة واقفة ثم اترْكها. فالسيارة السليمة ترتفع مرة واحدة وتتوقف؛ أما السيارة ذات المخمّدات البالية فترتجّ مرتين أو ثلاثًا قبل أن تستقرّ. وفي مختبر إلكترونيات يظهر السلوكان نفسهما على راسم الاهتزاز حين يتفرّغ مكثف عبر وشيعة: عودة سلسة، أو رنين يخبو. وكلاهما عابر بين حالة مستقرة وأخرى، وكلاهما يخضع لعائلة صغيرة واحدة من المعادلات التفاضلية الخطية — الرتبة الأولى لمخزن طاقة واحد، والرتبة الثانية لمخزنين يتبادلان. ويحلّ هذا الفصل هذه المعادلات مرة واحدة وإلى الأبد، ويسمّي وسائطها (ثابت الزمن، والتواتر الزاوي الذاتي، وعامل الجودة)، ويبيّن كيف تصف الأعداد نفسها دارةً كهربائية ونظامَ تعليق.

وشيعة ومكثف وناقلة أومية على لوحة تجارب، وعلى راسم الاهتزاز التذبذب المتناقص الذي يعقب قفزة: وهو النظام شبه الدوري في هذا الفصل.

7.1 أنظمة الرتبة الأولى

تعريف 7.1 (الجملة الخطية من الرتبة الأولى)

يحقق مقدار $x(t)$ معادلة خطية من الرتبة الأولى ذات معاملات ثابتة حين يكون

\tau\,\frac{\dd x}{\dd t} + x = x_\infty ,

حيث $\tau > 0$ هو ثابت الزمن و $x_\infty$ ثابت (وهو القيمة التي يفرضها المنبع). ونظامه الدائم هو $x = x_\infty$ ؛ والنظام العابر هو الاقتراب منه انطلاقًا من القيمة الابتدائية $x(0) = x_0$ .

مبرهنة 7.2 (الحلّ)

الحلّ الوحيد الذي يحقق $x(0) = x_0$ هو

x(t) = x_\infty + (x_0 - x_\infty)\,\eu^{-t/\tau} .

وتتقلّص الفجوة إلى النظام الدائم بالعامل $\eu^{-1} \approx 0.37$ في كل $\tau$ : أي $63\%$ من الطريق عند $\tau$ ، و $95\%$ عند $3\tau$ ، و $99\%$ عند $4.6\tau$ . والمماس عند المبدأ يبلغ $x_\infty$ عند $t = \tau$ .

برهان. المقدار $y = x - x_\infty$ يحقق $\tau y' + y = 0$ ، وحلوله $y = K\eu^{-t/\tau}$ (ويبرهن درس الرياضيات في المعادلات التفاضلية الخطية على أنه لا حلول غيرها)؛ ومنه $K = x_0 - x_\infty$ . والميل عند $0$ هو $-(x_0 - x_\infty)/\tau$ ، وهو ما كان سيغلق الفجوة في الزمن $\tau$ . ∎

استجابة الرتبة الأولى لقفزة انطلاقًا من x_0 = 0: يلاقي المماس الابتدائي المقاربَ عند t =؛ و63\% من الطريق عند ، و95\% عند 3. وكل عابر من الرتبة الأولى هو هذا المنحني، ممطوطًا بمقدار ومنزاحًا بمقدار x_0 و x_∈fty. — استجابة الرتبة الأولى لقفزة انطلاقًا من $x_0 = 0$ : يلاقي المماس الابتدائي المقاربَ عند $t = \tau$ ؛ و $63\%$ من الطريق عند $\tau$ ، و $95\%$ عند $3\tau$ . وكل عابر من الرتبة الأولى هو هذا المنحني، ممطوطًا بمقدار $\tau$ ومنزاحًا بمقدار $x_0$ و $x_\infty$ .

قضية 7.3 (الدارتان RC و RL)

مكثف $C$ يُشحن عبر ناقلة أومية $R$ من منبع مثالي $E$ يحقق $RC\,\dd u_C/\dd t + u_C = E$ : أي $\tau = RC$ و $u_{C,\infty} = E$ . و وشيعة $L$ على التسلسل مع $R$ تحت $E$ تحقق $(L/R)\,\dd i/\dd t + i = E/R$ : أي $\tau = L/R$ و $i_\infty = E/R$ . وبنزع المنبع ( $E \to 0$ ) تصف المعادلتان نفساهما التفريغ نحو الصفر.

برهان. قانون الحلقات $E = Ri + u_C$ مع $i = C\,\dd u_C/\dd t$ ؛ وقانون الحلقات $E = Ri + L\,\dd i/\dd t$ . ∎

قضية 7.4 (شرطا الاتصال)

التوتر بين طرفَي مكثف والتيار في وشيعة دالتان متصلتان بالزمن: فعند لحظة قطع $t_0$ يكون $u_C(t_0^+) = u_C(t_0^-)$ و $i_L(t_0^+) = i_L(t_0^-)$ . أما التيارات في الناقلات الأومية والتوترات بين طرفَي الوشائع فقد تقفز.

برهان. قفزة في $u_C$ كانت ستقتضي $i = C\,\dd u_C/\dd t$ لانهائيًّا، وقفزة في $i_L$ كانت ستقتضي $u = L\,\dd i/\dd t$ لانهائيًّا؛ وكلاهما مستحيل في دارة توتراتها وتياراتها منتهية (أو على نحو مكافئ، لا تستطيع الطاقتان المخزونتان $\tfrac12 Cu_C^2$ و $\tfrac12 Li^2$ أن تتغيرا لحظيًّا دون استطاعة لانهائية). ∎

طريقة 7.5 (حلّ عابر من الرتبة الأولى)

اكتب قانونَي الحلقات والعقد بعد القاطع، مع قوانين العناصر؛ واختزل إلى معادلة واحدة في $u_C$ أو $i_L$ و ضعها على الصورة $\tau x' + x = x_\infty$ ؛ ثم اقرأ $\tau$ و $x_\infty$ (وهذا الأخير هو أيضًا النظام الدائم الذي يُوجد باستبدال دارة مفتوحة بالمكثف $C$ وسلك بالوشيعة $L$ ).
أوجد $x_0$ من اتصال $u_C$ أو $i_L$ عبر لحظة القطع، مستعملًا الدارة قبلها.
اكتب $x = x_\infty + (x_0 - x_\infty)\eu^{-t/\tau}$ ؛ ثم استنتج المقادير الأخرى بالاشتقاق وبقانون الحلقات.

وحين يرى المكثف شبكة من الناقلات والمنابع، تُستبدل بتلك الشبكة مكافئُ تيفنان $(E_{\mathrm{Th}}, R_{\mathrm{Th}})$ أولًا (الفصل 6): فيكون $\tau = R_{\mathrm{Th}}C$ و $u_\infty = E_{\mathrm{Th}}$ .

قضية 7.6 (الحصيلة الطاقية لشحن RC)

عند شحن مكثف من $0$ إلى $E$ عبر أيّ ناقلة أومية $R$ ، يقدّم المنبع $CE^2$ ، ويخزّن المكثف $\tfrac12 CE^2$ ، وتبدد الناقلة النصف الآخر $\tfrac12 CE^2$ — مهما تكن $R$ .

برهان. لدينا $i = (E/R)\eu^{-t/\tau}$ ؛ ويقدّم المنبع $\int_0^\infty Ei\,\dd t = E \cdot (E/R)\tau = CE^2$ ؛ وتأخذ الناقلة $\int_0^\infty Ri^2\,\dd t = (E^2/R)\int_0^\infty \eu^{-2t/\tau}\dd t = (E^2/R)(\tau/2) = \tfrac12 CE^2$ ؛ والفرق هو المخزون $\tfrac12 CE^2$ . وقيمة أصغر للمقاومة $R$ تبدد الطاقة نفسها أسرع. ∎

مثال 7.7 (وشيعة مرحّل)

$L = 20\,\mathrm{mH}$ و $R = 5.0\,\Omega$ و $E = 10\,\mathrm{V}$ : فيكون $\tau = 4.0\,\mathrm{ms}$ و $i_\infty = 2.0\,\mathrm{A}$ ؛ وتنجذب الملامسات حين يبلغ $i$ مقدار $1.5\,\mathrm{A}$ ، أي عند $t = -\tau\ln(1 - 0.75) = 5.5\,\mathrm{ms}$ . وعند فتح الدارة يجب أن يهبط $i$ من $2\,\mathrm{A}$ ؛ و ثنائي “الدوران الحرّ” الموضوع على طرفَي الوشيعة يمنحه مسارًا عبر $R$ وحدها، فيكون $\tau = 4\,\mathrm{ms}$ بدلًا من شرارة.

7.2 أنظمة الرتبة الثانية

تعريف 7.8 (الصورة النظامية للرتبة الثانية)

يكون المقدار $x(t)$ جملةً خطية من الرتبة الثانية حين يكون

\frac{\dd^2 x}{\dd t^2} + \frac{\omega_0}{Q}\,\frac{\dd x}{\dd t} + \omega_0^2\,x = \omega_0^2\,x_\infty ,

حيث $\omega_0 > 0$ هو التواتر الزاوي الذاتي، و $Q > 0$ هو عامل الجودة (وهو عديم البعد)، و $x_\infty$ هو النظام الدائم. ويُكتب أيضًا $\omega_0/Q = 2\xi\omega_0$ حيث $\xi = 1/2Q$ هي نسبة التخميد.

قضية 7.9 (الدارة RLC على التسلسل)

مكثف $C$ ووشيعة $L$ وناقلة أومية $R$ على التسلسل تحت منبع $E$ : يحقق توتر المكثف الصورةَ النظامية مع

\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}}, \qquad Q = \frac{1}{R}\sqrt{\frac{L}{C}}, \qquad u_{C,\infty} = E .

برهان. قانون الحلقات: $E = L\,\dd i/\dd t + Ri + u_C$ مع $i = C\,\dd u_C/\dd t$ : ومنه $LC\,u_C'' + RC\,u_C' + u_C = E$ ؛ ثم نقسم على $LC$ ونطابق $\omega_0^2 = 1/LC$ و $\omega_0/Q = R/L$ . ∎

الوجهان الاثنان للجملة من الرتبة الثانية: الدارة RLC على التسلسل (_0 = 1/√LC و Q = √L/C/R) وجملة الكتلة–النابض–المخمّد (_0 = √k/m و Q = √km/). معادلة واحدة وأنظمة ثلاثة هي نفسها. — الوجهان الاثنان للجملة من الرتبة الثانية: الدارة RLC على التسلسل ( $\omega_0 = 1/\sqrt{LC}$ و $Q = \sqrt{L/C}/R$ ) وجملة الكتلة–النابض–المخمّد ( $\omega_0 = \sqrt{k/m}$ و $Q = \sqrt{km}/\alpha$ ). معادلة واحدة وأنظمة ثلاثة هي نفسها.

قضية 7.10 (المتذبذب الميكانيكي)

كتلة $m$ على نابض صلابته $k$ مع مخمّد لزج معامله $\alpha$ (والقوة $-\alpha\dot x$ )، منزاحة بمقدار $x$ عن التوازن، تحقق $m\ddot x + \alpha\dot x + kx = 0$ : أي الصورة النظامية مع

\omega_0 = \sqrt{\frac{k}{m}}, \qquad Q = \frac{\sqrt{km}}{\alpha} .

والتقابل $x \leftrightarrow q$ و $\dot x \leftrightarrow i$ و $m \leftrightarrow L$ و $\alpha \leftrightarrow R$ و $k \leftrightarrow 1/C$ ينقل كل نتيجة من إحدى الجملتين إلى الأخرى.

برهان. قانون نيوتن الثاني (الفصل 12) مع قوة النابض $-kx$ وقوة التخميد؛ ثم نقسم على $m$ . ∎

مبرهنة 7.11 (الأنظمة الثلاثة)

تُحكَم حلول المعادلة المتجانسة $x'' + (\omega_0/Q)x' + \omega_0^2 x = 0$ بجذور المعادلة $r^2 + (\omega_0/Q)r + \omega_0^2 = 0$ ، ذات المميّز $\Delta = \omega_0^2(1/Q^2 - 4)$ :

من أجل $Q < \tfrac12$ ، النظام اللادوري: جذران حقيقيان سالبان $r_\pm = -\frac{\omega_0}{2Q}\big(1 \mp \sqrt{1 - 4Q^2}\big)$ ، و $x = A\eu^{r_+t} + B\eu^{r_-t}$ ، أي عودة بلا تذبذب؛
من أجل $Q = \tfrac12$ ، النظام الحرج: جذر مضاعف $r = -\omega_0$ ، و $x = (A + Bt)\eu^{-\omega_0 t}$ ، أي أسرع عودة دون تجاوز؛
من أجل $Q > \tfrac12$ ، النظام شبه الدوري: جذران عقديان $r = -1/\tau \pm \iu\omega$ مع

$\tau = \frac{2Q}{\omega_0}, \qquad \omega = \omega_0\sqrt{1 - \frac{1}{4Q^2}}, \qquad x = \eu^{-t/\tau}\big(A\cos\omega t + B\sin\omega t\big),$

أي تذبذب مخمَّد شبه دوره $T = 2\pi/\omega$ داخل الغلاف $\pm\sqrt{A^2 + B^2}\,\eu^{-t/\tau}$ .

والحلّ الكامل مع طرف أيمن ثابت هو $x_\infty$ زائد الحلّ المتجانس؛ ويُوجد $A$ و $B$ من $x(0)$ و $x'(0)$ .

برهان. المعادلة المميِّزة لمعادلة خطية ذات معاملات ثابتة (درس الرياضيات، المعادلات الخطية من الرتبة الثانية): جذراها $r = -\omega_0/2Q \pm \tfrac12\sqrt\Delta$ . ومن أجل $Q > \tfrac12$ يكون $\sqrt\Delta = \iu\omega_0\sqrt{4 - 1/Q^2}$ ، فيعطي الجزء الحقيقي $-\omega_0/2Q = -1/\tau$ والجزء التخيلي $\pm\omega_0\sqrt{1 - 1/4Q^2}$ ؛ والحلول الحقيقية هي تراكيب $\eu^{-t/\tau}\cos\omega t$ و $\eu^{-t/\tau}\sin\omega t$ . ∎

استجابة جملة من الرتبة الثانية لقفزة انطلاقًا من السكون، من أجل ثلاثة عوامل جودة. فمع Q صغير: زحف بطيء؛ ومع Q = 1/2: أسرع عودة دون تجاوز؛ ومع Q كبير: رنين يدوم نحو Q تذبذبة. — استجابة جملة من الرتبة الثانية لقفزة انطلاقًا من السكون، من أجل ثلاثة عوامل جودة. فمع $Q$ صغير: زحف بطيء؛ ومع $Q = \tfrac12$ : أسرع عودة دون تجاوز؛ ومع $Q$ كبير: رنين يدوم نحو $Q$ تذبذبة.

قضية 7.12 (قراءة $Q$ على أثر شبه دوري)

في النظام شبه الدوري تكون نسبة قيمتين عظميين متتاليتين $x_{n+1}/x_n = \eu^{-T/\tau}$ ؛ والتناقص اللوغاريتمي

\delta = \ln\frac{x_n}{x_{n+1}} = \frac{T}{\tau} = \frac{\pi}{Q\sqrt{1 - 1/4Q^2}} \approx \frac{\pi}{Q} \quad (Q \gg 1)

يعطي $Q$ ؛ وعدد التذبذبات المرئية قبل أن تهبط السعة دون $5\%$ هو نحو $Q$ . ومن أجل $Q \gg 1$ يكون $\omega \approx \omega_0$ و $T \approx 2\pi/\omega_0$ .

برهان. الغلاف $\eu^{-t/\tau}$ يُضرب في $\eu^{-T/\tau}$ في كل دور؛ و $T/\tau = (2\pi/\omega)(\omega_0/2Q)$ . والغلاف يبلغ $\eu^{-3} \approx 5\%$ عند $3\tau = 6Q/\omega_0 \approx Q\,T$ ، أي بعد نحو $Q$ دورًا. ∎

تناقص حرّ شبه دوري، x = x_0 -t/ t: تتقلّص القيم العظمى المتتالية بالعامل الثابت -T/، و (x_n/x_n+1) = T/ π/Q يقيس عامل الجودة من الأثر. — تناقص حرّ شبه دوري، $x = x_0\eu^{-t/\tau}\cos\omega t$ : تتقلّص القيم العظمى المتتالية بالعامل الثابت $\eu^{-T/\tau}$ ، و $\ln(x_n/x_{n+1}) = T/\tau \approx \pi/Q$ يقيس عامل الجودة من الأثر.

مثال 7.13 (رنين دارة RLC)

$L = 10\,\mathrm{mH}$ و $C = 100\,\mathrm{nF}$ و $R = 100\,\Omega$ : فيكون $\omega_0 = 1/\sqrt{10^{-9}} = 3.16 \times 10^{4}\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ (أي $f_0 = 5.03\,\mathrm{kHz}$ )، و $Q = \sqrt{L/C}/R = 316/100 = 3.16$ : فالنظام شبه دوري، و $\tau = 2Q/\omega_0 = 0.20\,\mathrm{ms}$ ، و $\omega = 0.987\,\omega_0$ ، و $T = 0.20\,\mathrm{ms}$ ، وثلاث تذبذبات مرئية. والمقاومة الحرجة هي $R_c = 2\sqrt{L/C} = 632\,\Omega$ ؛ وفوقها يكون التفريغ لا دوري.

طريقة 7.14 (حلّ عابر من الرتبة الثانية)

اكتب المعادلة؛ وضعها على الصورة النظامية؛ ثم اقرأ $\omega_0$ و $Q$ و $x_\infty$ .
حدّد النظام من $Q$ واكتب الحلّ العام $x_\infty$ زائد الحلّ المتجانس.
أوجد $x(0)$ و $x'(0)$ من اتصال $u_C$ و $i_L$ (وفي الدارة RLC: $u_C(0^+) = u_C(0^-)$ و $u_C'(0^+) = i(0^-)/C$ )؛ ثم حلّ لإيجاد الثابتين.

مثال 7.15 (الشروط الابتدائية)

المكثف في المثال السابق مشحون إلى $U_0$ ، وعند $t = 0$ يُغلَق على $L$ و $R$ (بلا منبع): فيكون $x_\infty = 0$ و $u_C(0) = U_0$ و $u_C'(0) = i(0)/C = 0$ لأن تيار الوشيعة كان معدومًا. ومنه $A = U_0$ و $-A/\tau + B\omega = 0$ و $B = U_0/(\omega\tau) = U_0/\sqrt{4Q^2 - 1}$ : أي $u_C = U_0\eu^{-t/\tau}[\cos\omega t + \sin(\omega t)/\sqrt{4Q^2 - 1}]$ — ومن أجل $Q \gg 1$ يصير ببساطة $U_0\eu^{-t/\tau}\cos\omega_0 t$ ، ويبلغ التيار $i = -C\,\dd u_C/\dd t$ ذروته قرب $U_0\sqrt{C/L} = U_0/(\omega_0 L)$ .

ملاحظة 7.16 (الطاقة)

الطاقة المخزونة $\tfrac12 Cu_C^2 + \tfrac12 Li^2$ (أو $\tfrac12 kx^2 + \tfrac12 m\dot x^2$ ) تتناقص بالمعدل $Ri^2$ (أو $\alpha\dot x^2$ ): بالاشتقاق واستعمال المعادلة. وفي كل شبه دور تتقلّص الطاقة بالعامل $\eu^{-2T/\tau}$ ؛ ومع $Q = 3$ يضيع نحو $88\%$ منها في كل تذبذبة. و $Q$ العالي يعني تسربًا بطيئًا نسبةً إلى التذبذب — أي ساعة جيدة، ورنينًا حادًّا (الفصل 8) — و $Q$ المنخفض يعني عودة سريعة: وهو الخيار الصحيح لنظام تعليق أو لإبرة مقياس.

7.3 تمارين

تمرين 7.1 ★

دارة RC: $R = 10\,\mathrm{k}\Omega$ و $C = 47\,\mathrm{nF}$ ، تُشحن من $E$ . احسب $\tau$ و $u_C(\tau)/E$ والزمن اللازم لبلوغ $99\%$ من $E$ .

حل

حل التمرين 7.1.

$\tau = RC = 10^4 \times 47\times10^{-9} = 0.47\,\mathrm{ms}$ ؛ و $u_C(\tau)/E = 1 - \eu^{-1} = 0.63$ ؛ ومن أجل $99\%$ : $\eu^{-t/\tau} = 0.01$ و $t = \tau\ln 100 = 4.6\tau = 2.2\,\mathrm{ms}$ .

تمرين 7.2 ★

دارة RL: $L = 20\,\mathrm{mH}$ و $R = 5.0\,\Omega$ و $E = 10\,\mathrm{V}$ . احسب $\tau$ والتيار النهائي والتيار عند $t = \tau$ و التوتر بين طرفَي الوشيعة بُعيد إغلاق القاطع.

حل

حل التمرين 7.2.

$\tau = L/R = 4.0\,\mathrm{ms}$ ؛ و $i_\infty = E/R = 2.0\,\mathrm{A}$ ؛ و $i(\tau) = 0.63 \times 2.0 = 1.26\,\mathrm{A}$ ؛ وعند $0^+$ يكون $i = 0$ (بالاتصال)، ومنه $u_L = E - Ri = 10\,\mathrm{V}$ .

تمرين 7.3 ★

دارة RLC على التسلسل: $L = 10\,\mathrm{mH}$ و $C = 100\,\mathrm{nF}$ و $R = 100\,\Omega$ . احسب $\omega_0$ و $f_0$ و $Q$ ؛ وسمِّ النظام؛ وأعطِ $\tau$ و شبه الدور.

حل

حل التمرين 7.3.

$\omega_0 = 1/\sqrt{LC} = 3.16 \times 10^{4}\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ و $f_0 = 5.03\,\mathrm{kHz}$ ؛ و $Q = \sqrt{L/C}/R = 316/100 = 3.2 > \tfrac12$ : فالنظام شبه دوري؛ و $\tau = 2Q/\omega_0 = 0.20\,\mathrm{ms}$ ؛ و $\omega = \omega_0\sqrt{1 - 1/4Q^2} = 0.987\omega_0$ و $T = 0.20\,\mathrm{ms}$ .

تمرين 7.4 ★

من أجل $L$ و $C$ نفسيهما، أيّ مقاومة تعطي النظام الحرج؟ وما $Q$ عندئذٍ؟ وماذا يحدث من أجل $R = 2\,\mathrm{k}\Omega$ ؟

حل

حل التمرين 7.4.

$R_c = 2\sqrt{L/C} = 632\,\Omega$ و $Q = \tfrac12$ . وعند $2\,\mathrm{k}\Omega$ يكون $Q = 0.16$ : فالنظام لا دوري، أي زحف بطيء يحكمه الجذر الصغير $\abs{r_+} \approx \omega_0 Q = 5 \times 10^{3}\,\mathrm{s}^{-1}$ (بمقياس زمني $0.2\,\mathrm{ms}$ لكن دون تذبذب).

تمرين 7.5 ★★

مكثف مشحون $C = 1.0\,\text{µ}\mathrm{F}$ يتفرّغ عبر ناقلة مجهولة $R$ ؛ ويتنصّف التوتر كل $3.5\,\mathrm{ms}$ . بيّن أن زمن التنصّف هو $\tau\ln 2$ وأوجد $R$ .

حل

حل التمرين 7.5.

التوتر $u = U_0\eu^{-t/\tau}$ يتنصّف حين $\eu^{-t/\tau} = \tfrac12$ : أي $t_{1/2} = \tau\ln 2$ . ومنه $\tau = 3.5/0.693 = 5.05\,\mathrm{ms}$ و $R = \tau/C = 5.1\,\mathrm{k}\Omega$ .

تمرين 7.6 ★★

بيّن بالمكاملة المباشرة أن شحن مكثف من $0$ إلى $E$ عبر $R$ يبدد بالضبط مقدار $\tfrac12 CE^2$ في $R$ ، مستقلًّا عن $R$ . وماذا يصير مردود النقل، وكيف يمكن تحسينه؟

حل

حل التمرين 7.6.

$i = (E/R)\eu^{-t/\tau}$ : ومنه $\int_0^\infty Ri^2\,\dd t = (E^2/R)(\tau/2) = \tfrac12 CE^2$ ، ولا أثر للمقاومة $R$ . ويقدّم المنبع $CE^2$ : فالمردود $50\%$ مهما تكن الناقلة. وأفضل من ذلك: الشحن عبر وشيعة (فلا يكون التيار حينئذٍ متناسبًا مع فجوة التوتر) أو على عدة قفزات توتر — إذ لا تضيّع كل قفزة قدرها $E/n$ إلا $\tfrac12 C(E/n)^2$ .

تمرين 7.7 ★★

على راسم اهتزاز يُظهر تناقص RLC حرّ قيمًا عظمى متتالية قدرها $2.0\,\mathrm{V}$ و $1.5\,\mathrm{V}$ و $1.12\,\mathrm{V}$ بفواصل قدرها $0.40\,\mathrm{ms}$ . استنتج $Q$ و $\omega_0$ ، ثم، مع $C = 1.0\,\text{µ}\mathrm{F}$ ، قيمتَي $L$ و $R$ .

حل

حل التمرين 7.7.

$\delta = \ln(2.0/1.5) = 0.29$ (و $\ln(1.5/1.12) = 0.29$ : فمتوافقان)؛ ومنه $Q \approx \pi/\delta = 11$ . و $T = 0.40\,\mathrm{ms}$ ، ومنه $\omega_0 \approx 2\pi/T = 1.57 \times 10^{4}\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ (والتصحيح $1/8Q^2$ يبلغ $0.1\%$ ). و $L = 1/(\omega_0^2 C) = 4.1\,\mathrm{mH}$ ؛ و $R = \omega_0 L/Q = 5.8\,\Omega$ .

تمرين 7.8 ★★

مكثف مشحون إلى $U_0 = 100\,\mathrm{V}$ (حيث $C = 10\,\text{µ}\mathrm{F}$ ) يُوصل إلى وشيعة $L = 1.0\,\mathrm{mH}$ مقاومتها صغيرة ( $Q \gg 1$ ). اكتب $u_C(t)$ و $i(t)$ ، وقدّر التيار الأعظمي. وأين تقع الطاقة عند الذروة؟

حل

حل التمرين 7.8.

$u_C \approx U_0\eu^{-t/\tau}\cos\omega_0 t$ ؛ و $i = -C\,\dd u_C/\dd t \approx CU_0\omega_0\sin\omega_0 t$ (من أجل $t \ll \tau$ )، وذروته $U_0\sqrt{C/L} = 100 \times 0.1 = 10\,\mathrm{A}$ ، تُبلغ بعد ربع دور من الإغلاق، حين $u_C = 0$ : فتكون الطاقة كلها ( $\tfrac12 CU_0^2 = 50\,\mathrm{mJ}$ ) مغناطيسية، $\tfrac12 Li^2 = 50\,\mathrm{mJ}$ .

تمرين 7.9 ★★

ربع سيارة: $m = 400\,\mathrm{kg}$ على نابض $k = 2.0 \times 10^{4}\,\mathrm{N}/\mathrm{m}$ . احسب $\omega_0$ و $f_0$ ومعامل التخميد الحرج. ومع مخمّد $\alpha = 2000\,\mathrm{N}\,\mathrm{s}/\mathrm{m}$ ، أعطِ $Q$ والنظام و شبه الدور وزمن التناقص $\tau$ .

حل

حل التمرين 7.9.

$\omega_0 = \sqrt{k/m} = 7.1\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ و $f_0 = 1.1\,\mathrm{Hz}$ ؛ و $\alpha_c = 2\sqrt{km} = 2\sqrt{8\times10^6} = 5.7 \times 10^{3}\,\mathrm{N}\,\mathrm{s}/\mathrm{m}$ . ومن أجل $\alpha = 2000$ : $Q = \sqrt{km}/\alpha = 2828/2000 = 1.4$ ، فالنظام شبه دوري؛ و $T = 2\pi/(\omega_0\sqrt{1 - 1/4Q^2}) = 0.89/0.935 = 0.95\,\mathrm{s}$ ؛ و $\tau = 2Q/\omega_0 = 0.40\,\mathrm{s}$ .

تمرين 7.10 ★★★

وشيعة $L = 0.50\,\mathrm{H}$ تحمل $I_0 = 2.0\,\mathrm{A}$ ؛ ثم يُفصل المنبع وتُترك الوشيعة على ناقلة تصريف $R = 100\,\Omega$ . أعطِ $i(t)$ و $\tau$ والتوتر الأعظمي بين طرفَي الوشيعة والطاقة المتبددة. وماذا كان سيحدث بلا الناقلة؟

حل

حل التمرين 7.10.

$i = I_0\eu^{-t/\tau}$ مع $\tau = L/R = 5.0\,\mathrm{ms}$ ؛ والتوتر الأعظمي $RI_0 = 200\,\mathrm{V}$ عند $t = 0^+$ ؛ والطاقة $\tfrac12 LI_0^2 = 1.0\,\mathrm{J}$ تتبدد في $R$ . وبلا الناقلة لا يجد التيار مسارًا: فيصير $\dd i/\dd t$ هائلًا، ويبلغ توتر الوشيعة آلاف الفولطات، فتقفز شرارة على القاطع.

تمرين 7.11 ★★★

مكثف $C = 1.0\,\text{µ}\mathrm{F}$ يُشحن من $E = 12\,\mathrm{V}$ عبر $R_1 = 10\,\mathrm{k}\Omega$ بينما تكون $R_2 = 20\,\mathrm{k}\Omega$ موصولة على طرفيه. باستعمال مكافئ تيفنان، أوجد ثابت الزمن و التوتر النهائي؛ واكتب $u_C(t)$ انطلاقًا من $u_C(0) = 0$ .

حل

حل التمرين 7.11.

منظورًا من $C$ : $E_{\mathrm{Th}} = ER_2/(R_1 + R_2) = 8.0\,\mathrm{V}$ و $R_{\mathrm{Th}} = R_1 \parallel R_2 = 6.67\,\mathrm{k}\Omega$ ؛ ومنه $\tau = R_{\mathrm{Th}}C = 6.7\,\mathrm{ms}$ و $u_C = 8.0(1 - \eu^{-t/\tau})$ فولط.

تمرين 7.12 ★★★

النظام الحرج، قفزة من السكون ( $x(0) = x'(0) = 0$ ): بيّن أن $x = x_\infty[1 - (1 + \omega_0 t)\eu^{-\omega_0 t}]$ ، وأوجد عدديًّا الزمن اللازم لبلوغ $95\%$ من $x_\infty$ (بوحدة $1/\omega_0$ ). وقارنه بزمن استقرار الغلاف من أجل $Q = 5$ ومن أجل الجذر البطيء حين $Q = 0.1$ ؛ واستنتج لماذا يكون “الحرج” هو هدف المهندس.

حل

حل التمرين 7.12.

الجذر المضاعف $-\omega_0$ : $x = x_\infty + (A + Bt)\eu^{-\omega_0 t}$ ؛ و $x(0) = 0$ يعطي $A = -x_\infty$ ، و $x'(0) = 0$ يعطي $B = \omega_0 A$ : ومنه $x = x_\infty[1 - (1 + \omega_0 t)\eu^{-\omega_0 t}]$ . ومن أجل $95\%$ : $(1 + s)\eu^{-s} = 0.05$ و $s \approx 4.7$ : أي $t_{95} = 4.7/\omega_0$ . ومن أجل $Q = 5$ يحتاج الغلاف $\eu^{-t/\tau}$ حيث $\tau = 10/\omega_0$ إلى $3\tau = 30/\omega_0$ ؛ ومن أجل $Q = 0.1$ يكون الجذر البطيء $\abs{r_+} \approx \omega_0 Q$ و $3/\abs{r_+} = 30/\omega_0$ . وكلاهما أبطأ ست مرات: فالتخميد الحرج هو أسرع عودة بلا تجاوز، وهو ما يريده مقياسٌ أو مغلاق باب أو نظام تعليق.

7.4 مسألة: تصميم نظام تعليق

مسألة 7.1

مسألة نهاية الأسبوع — المعادلة التفاضلية نفسها على طاولة تجارب وتحت سيارة: كم ارتجاجة يسمح بها مخمّد بالٍ، وماذا يختار المصمّم بدلًا من ذلك، وكيف يميّز عدد واحد بين الحالتين

يدرس الجزء I دارة RLC على التسلسل، $L = 10\,\mathrm{mH}$ و $C = 100\,\mathrm{nF}$ ؛ وتدرس الأجزاء من II إلى IV نموذج ربع سيارة: كتلة $m = 350\,\mathrm{kg}$ ترتكز على نابض $k = 22\,\mathrm{kN}/\mathrm{m}$ ومخمّد صدمات يؤثر بالقوة $-\alpha\dot x$ . وتجاوز استجابة القفزة في النظام شبه الدوري (معطى): $x_{\max}/x_\infty - 1 = \exp(-\pi\xi/\sqrt{1 - \xi^2})$ ، مع $\xi = 1/2Q$ .

الجزء I — الدارة.

اكتب قانون الحلقات للدارة RLC على التسلسل تحت منبع $E$ ، ثم المعادلة التفاضلية التي يحققها $u_C$ .
ضعها على الصورة النظامية؛ وعبّر عن $\omega_0$ و $Q$ .
احسب $\omega_0$ و $f_0$ والمقاومة الحرجة $R_c$ .
اكتب المعادلة المميِّزة ومميّزها؛ واذكر الأنظمة الثلاثة بدلالة $Q$ .
في الحالة شبه الدورية، أعطِ $\tau$ و $\omega$ و صورة $u_C(t)$ .
من أجل $R = 100\,\Omega$ احسب $Q$ و $\tau$ وشبه الدور، وعدد التذبذبات المرئية.
المكثف، وقد شُحن إلى $U_0$ ، يُوصل إلى $L$ و $R$ عند $t = 0$ . أعطِ $u_C(0^+)$ و $\dd u_C/\dd t(0^+)$ ، مع السبب الفيزيائي لكلٍّ منهما.

الجزء II — ربع السيارة.

بقياس $x$ من وضع التوازن، اكتب قانون نيوتن الثاني للهيكل وبيّن أن الوزن يسقط من المعادلة.
ضع المعادلة على الصورة النظامية؛ وأعطِ $\omega_0$ و $Q$ بدلالة $m$ و $k$ و $\alpha$ ، واذكر التقابلات الكهرميكانيكية.
احسب $\omega_0$ و $f_0$ والمعامل الحرج $\alpha_c$ .
يركّب المصمّم $\alpha = 4000\,\mathrm{N}\,\mathrm{s}/\mathrm{m}$ : احسب $Q$ و $\xi$ ، وسمِّ النظام.
احسب $\tau$ وشبه الدور.
احسب التجاوز بعد قفزة (كرصيف): فهل السيارة مريحة؟
أيّ مقاومة $R$ تعطي دارة الجزء I عاملَ الجودة $Q$ نفسه الذي لنظام التعليق هذا؟

الجزء III — المخمّد البالي. تسرّب الزيت: $\alpha = 1200\,\mathrm{N}\,\mathrm{s}/\mathrm{m}$ .

احسب $Q$ وشبه الدور و $\tau$ .
بأيّ عامل تتقلّص القيم العظمى المتتالية؟ وكم ارتجاجة تُرى قبل أن تهبط السعة دون $5\%$ ؟
اختبار الارتجاج: يُضغط ركن السيارة إلى الأسفل بمقدار $x_0 = 5.0\,\mathrm{cm}$ ثم يُترك. أعطِ الشروط الابتدائية و الطاقة المخزونة في النابض، وقل أين تذهب تلك الطاقة.
قدّر السرعة العظمى للهيكل خلال العودة الأولى ( $\approx x_0\omega_0$ من أجل $Q \gg 1$ ) والقوة العظمى في المخمّد.
لماذا لا يكون التخميد الحرج تمامًا ( $Q = \tfrac12$ ) خيار المصمّم، مع أنه لا يعطي أيّ تجاوز؟ (فكّر في المليمترات الأخيرة من العودة.)
احسب التجاوز من أجل المخمّد البالي وقارنه بما وجدته في الجزء II.

الجزء IV — تشخيص $Q$ من أثر. يسجّل مقياس تسارع على الهيكل التناقص الحرّ.

من أجل السيارة البالية تقرأ القيم العظمى المتتالية $1.00$ و $0.25$ و $0.062$ (بوحدات اعتباطية). احسب التناقص اللوغاريتمي، واستنتج $\xi$ بالضبط من $\delta = 2\pi\xi/\sqrt{1 - \xi^2}$ ، ثم $Q$ ؛ وقارن بالجزء III.
ومن أجل السيارة السليمة لا تُرى قيمة عظمى ثانية؛ ولا يمكن قراءة إلا التجاوز، $3.8\%$ . اقلب صيغة التجاوز لإيجاد $\xi$ و $Q$ .
أيّ كسر من الطاقة الميكانيكية يبدده المخمّد البالي في كل شبه دور؟
فنّيّ لا سيارة لديه يبني الدارة RLC في الجزء I مع $R$ مختارة بحيث $Q = 2.3$ : فما $R$ ، ولماذا يكون أثر راسم الاهتزاز، مرسومًا بدلالة $\omega_0 t$ ، مطابقًا في الشكل لأثر السيارة؟
لخّص: أيّ عدد عديم البعد يقرّر شكل أيّ عابر من الرتبة الثانية، وأيّ قيمة يستهدفها مصمّم نظام التعليق، وماذا ينبغي أن يستنتج السائق من “أكثر من ارتجاجة واحدة”.

حل

حل المسألة 7.1.

1. $E = L\,\dd i/\dd t + Ri + u_C$ مع $i = C\,\dd u_C/\dd t$ : ومنه $LC\,u_C'' + RC\,u_C' + u_C = E$ .

2. $u_C'' + (\omega_0/Q)u_C' + \omega_0^2u_C = \omega_0^2E$ مع $\omega_0 = 1/\sqrt{LC}$ و $Q = \sqrt{L/C}/R$ .

3. $\omega_0 = 3.16 \times 10^{4}\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ , $f_0 = 5.03\,\mathrm{kHz}$ , $R_c = 2\sqrt{L/C} = 632\,\Omega$ .

4. $r^2 + (\omega_0/Q)r + \omega_0^2 = 0$ و $\Delta = \omega_0^2(1/Q^2 - 4)$ : فمن أجل $Q < \tfrac12$ لا دوري، ومن أجل $Q = \tfrac12$ حرج، ومن أجل $Q > \tfrac12$ شبه دوري.

5. $\tau = 2Q/\omega_0$ و $\omega = \omega_0\sqrt{1 - 1/4Q^2}$ و $u_C = E + \eu^{-t/\tau}(A\cos\omega t + B\sin\omega t)$ .

6. $Q = 3.16$ و $\tau = 0.20\,\mathrm{ms}$ و $T = 2\pi/\omega = 0.20\,\mathrm{ms}$ ، ونحو ثلاث تذبذبات.

7. $u_C(0^+) = U_0$ (لأن $u_C$ متصل: فالتيار منتهٍ)؛ و $u_C'(0^+) = i(0^+)/C = 0$ (لأن $i_L$ متصل وكان معدومًا قبلًا).

8. $m\ddot x = -k(x + x_{\text{توازن}}) - \alpha\dot x + mg$ مع $kx_{\text{توازن}} = mg$ : ومنه $m\ddot x + \alpha\dot x + kx = 0$ .

9. $\omega_0 = \sqrt{k/m}$ و $Q = \sqrt{km}/\alpha$ ؛ و $x \leftrightarrow q$ و $\dot x \leftrightarrow i$ و $m \leftrightarrow L$ و $\alpha \leftrightarrow R$ و $k \leftrightarrow 1/C$ .

10. $\omega_0 = \sqrt{22000/350} = 7.93\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ و $f_0 = 1.26\,\mathrm{Hz}$ ؛ و $\alpha_c = 2\sqrt{km} = 5.55 \times 10^{3}\,\mathrm{N}\,\mathrm{s}/\mathrm{m}$ .

11. $Q = 2775/4000 = 0.69$ و $\xi = 0.72$ : فالنظام شبه دوري، دون الحرج بقليل.

12. $\tau = 2Q/\omega_0 = 0.18\,\mathrm{s}$ ؛ و $\omega = \omega_0\sqrt{1 - \xi^2} = 5.5\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ و $T = 1.1\,\mathrm{s}$ .

13. التجاوز $\exp(-\pi \times 0.72/0.69) = \exp(-3.3) = 3.8\%$ : أي ارتفاع صغير واحد بعد التوازن، ثم انتهى — فهي مريحة.

14. $R = \sqrt{L/C}/Q = 316/0.69 = 455\,\Omega$ .

15. $Q = 2775/1200 = 2.3$ و $\xi = 0.22$ ؛ و $\omega = 0.976\omega_0$ و $T = 0.81\,\mathrm{s}$ ؛ و $\tau = 2Q/\omega_0 = 0.58\,\mathrm{s}$ .

16. $\eu^{-T/\tau} = \eu^{-1.39} = 0.25$ : فكل ارتجاجة ربع سابقتها؛ و $0.25^3 = 1.6\%$ : أي ثلاث ارتجاجات مرئية.

17. $x(0) = -x_0$ و $\dot x(0) = 0$ ؛ والطاقة $\tfrac12 kx_0^2 = 0.5 \times 22000 \times 0.0025 = 28\,\mathrm{J}$ ، تتبدد حرارةً في زيت المخمّد.

18. $v \approx x_0\omega_0 = 0.05 \times 7.93 = 0.40\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ؛ وقوة المخمّد $\alpha v \approx 1200 \times 0.40 = 480\,\mathrm{N}$ .

19. عند $Q = \tfrac12$ تكون العودة $(1 + \omega_0 t)\eu^{-\omega_0 t}$ ، وهي تزحف زحفًا مقاربًا: فالمليمترات الأخيرة تطول. أما جملة أقلّ تخميدًا قليلًا ( $\xi \approx 0.7$ ) فتتجاوز ببضعة بالمئة لكنها تدخل نطاق التسامح وتبقى فيه أسرع.

20. $\exp(-\pi \times 0.22/0.976) = \exp(-0.70) = 50\%$ ، في مقابل $3.8\%$ : فالسيارة البالية ترتدّ نصف الطريق فوق التوازن.

21. $\delta = \ln 4 = 1.39$ (مرتين، فمتوافق)؛ و $\xi = \delta/\sqrt{4\pi^2 + \delta^2} = 1.39/6.43 = 0.215$ و $Q = 1/2\xi = 2.3$ : وهي القيمة البالية.

22. $-\ln 0.038 = 3.27 = \pi\xi/\sqrt{1 - \xi^2}$ ، ومنه $\xi = 3.27/\sqrt{\pi^2 + 3.27^2} = 0.72$ و $Q = 0.69$ .

23. الطاقة $\propto$ السعة $^2$ : فالكسر الباقي في كل دور $0.25^2 = 6\%$ ، أي إن $94\%$ تتبدد في كل شبه دور.

24. $R = 316/2.3 = 137\,\Omega$ . وفي المتغير $\omega_0 t$ لا تحتوي المعادلة النظامية إلا على $Q$ : فجملتان لهما $Q$ نفسه ترسمان المنحني نفسه.

25. عامل الجودة $Q$ (أو $\xi$ ) وحده يثبّت الشكل؛ و المصمّم يستهدف $Q \approx 0.7$ (أي $\xi \approx 0.7$ )؛ وأكثر من ارتجاجة مرئية واحدة يعني $Q$ أعلى بكثير من $1$ : أي إن المخمّد بالٍ.

المصطلحات المعرَّفة في هذا الفصل

عرض كل المصطلحات (393) في المسرد