17الجسيمات المشحونة في مجالين كهربائي ومغناطيسي

حل التمرين 17.1.

$1\,\mathrm{eV} = 1.60 \times 10^{-19}\,\mathrm{J}$ و $13.6\,\mathrm{eV} = 2.18 \times 10^{-18}\,\mathrm{J}$ و $1\,\mathrm{MeV} = 1.60 \times 10^{-13}\,\mathrm{J}$. و $v = \sqrt{2eU/m}$: فللإلكترون $1.9 \times 10^{7}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$؛ وللبروتون $4.4 \times 10^{5}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ (أي أبطأ بالعامل $\sqrt{1836}$).

حل التمرين 17.2.

$v = 1.88 \times 10^{7}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$؛ و $R = mv/eB = 9.11\times10^{-31} \times 1.88\times10^7/ (1.6\times10^{-19} \times 10^{-3}) = 0.11\,\mathrm{m}$؛ و $\omega_c = eB/m = 1.8 \times 10^{8}\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$؛ و $T = 2\pi/\omega_c = 36\,\mathrm{ns}$.

حل التمرين 17.3.

$R = mv/qB = 1.67\times10^{-27} \times 10^5/(1.6\times10^{-19} \times 5\times 10^{-5}) = 21\,\mathrm{m}$. وعند $30^\circ$: حلزون نصف قطره $R\sin 30^\circ = 10\,\mathrm{m}$ وخطوته $2\pi(m/qB)v\cos 30^\circ = 114\,\mathrm{m}$، ينساق على امتداد خط المجال.

حل التمرين 17.4.

$v = E/B = 10^4/0.020 = 5.0 \times 10^{5}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. أما الأيونات الأسرع فتغلب فيها القوة المغناطيسية، فتنحني نحو الجهة المغناطيسية؛ وأما الشحنة المعاكسة بالسرعة نفسها فتنقلب القوتان معًا وتبقيان متوازنتين — فالمنتقي أعمى عن الإشارة وعن الكتلة.

حل التمرين 17.5.

$\tan\alpha = EL/2U_0 = 10^4 \times 0.04/4000 = 0.10$؛ والانحراف $0.30 \times 0.10 = 3.0\,\mathrm{cm}$؛ والحساسية $0.30\,\mathrm{mm}/\mathrm{V}$. والإلكترونات الأسرع تقضي زمنًا أقلّ بين اللوحين: أي $\tan\alpha \propto 1/U_0$.

حل التمرين 17.6.

$R = \sqrt{2mU/e}/B$؛ فمع $m_{12} = 1.99 \times 10^{-26}\,\mathrm{kg}$ يكون البسط $\sqrt{2 \times 1.99\times10^{-26} \times 2\times10^4/1.6\times10^{-19}}$، مقسومًا على $B = 0.5$، أي $R_{12} = 14.1\,\mathrm{cm}$؛ و $R_{13} = R_{12}\sqrt{13/12} = 14.7\,\mathrm{cm}$؛ والفصل $2\Delta R = 1.2\,\mathrm{cm}$ بين نقطتَي الحطّ (فنصفا القطر يختلفان بمقدار $5.8\,\mathrm{mm}$، والقطران بضعف ذلك).

حل التمرين 17.7.

$f_c = eB/2\pi m = 23\,\mathrm{MHz}$؛ و $E_k = e^2B^2R^2/2m = 4.3 \times 10^{-12}\,\mathrm{J} = 27\,\mathrm{MeV}$؛ ومع $100\,\mathrm{keV}$ في كل دورة: $270$ دورة؛ والزمن $270/f_c = 12\,\text{µ}\mathrm{s}$؛ و $\gamma - 1 = 27/938 = 2.9\%$.

حل التمرين 17.8.

$v_\perp = 5.0 \times 10^{5}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ و $v_\parallel = 8.7 \times 10^{5}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$: ومنه $R = mv_\perp/eB = 9.11\times10^{-31} \times 5\times10^5/(3.2\times10^{-22}) = 1.4\,\mathrm{mm}$؛ والدور $2\pi m/eB = 18\,\mathrm{ns}$، والخطوة $v_\parallel T = 1.5\,\mathrm{cm}$: أي نحو $64$ دورة في كل متر.

حل التمرين 17.9.

$U_H = IB/nqd = 5.0/(8.5\times10^{28} \times 1.6\times10^{-19} \times 10^{-3}) = 3.7 \times 10^{-7}\,\mathrm{V}$: أي دون الميكروفولط. ومع $n$ أصغر بعشرة ملايين مرة، يعطي نصف الناقل ميلي فولطات — أي مجسًّا صالحًا.

حل التمرين 17.10.

$m\,\dd\vect v/\dd t = q\vect v\wedge\vect B$؛ واضرب سلّميًّا في $\vect v$: $\dd(\tfrac12 mv^2)/ \dd t = 0$ أيًّا كان $\vect B(\vect r, t)$، ما دام لا يوجد $\vect E$. أما اتجاه السرعة ونصف قطر التقوّس والخطوة فيمكن أن تتغير كلها؛ وأما السرعة والطاقة الحركية ($10\,\mathrm{keV}$) فلا.

حل التمرين 17.11.

$m\dot v_x = qv_yB$ و $m\dot v_y = qE - qv_xB$ و $v_z = 0$. ومع $\vect v = (E/B)\vect e_x + \vect w$: $m\dot w_x = qw_yB$ و $m\dot w_y = -qw_xB$ — أي دوران سيكلوتروني صرف للمتجهة $\vect w$ عند $\omega_c$. وانطلاقًا من السكون، $\vect w(0) = -(E/B)\vect e_x$: فتدور $\vect w$ بمعيار ثابت $E/B$، ومن ثمّ تكون السرعة هي الانسياق $E/B$ مضافًا إليه متجهة دائرة لها المعيار نفسه — أي منحن دويري، ذو نتوءات حيث $\vect v = \vect 0$. وللإلكترون: الانسياق $E/B = 1.0 \times 10^{5}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ و $\omega_c = 1.8 \times 10^{10}\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$، وارتفاع القوس $2mE/qB^2 = 11\,\text{µ}\mathrm{m}$.

حل التمرين 17.12.

$R = mv_0/eB = 9.11\times10^{-31} \times 2.65\times10^7/(1.6\times10^{-22}) = 0.15\,\mathrm{m}$؛ و $\alpha \approx L/R = 0.04/0.15 = 0.27$ (أي نحو $15^\circ$): فالانحراف $\approx 0.30 \times 0.27 = 8\,\mathrm{cm}$ من أجل ميلي تسلا متواضع. والزوايا الكبيرة باللوحين كانت ستحتاج إلى كيلوفولطات وألواح طويلة؛ أما الوشيعة فتثني الحزمة عشرات الدرجات بلا أيّ توتر البتة.