الفيزياء الجامعية — السنة الأولى · Bachelor Year 1

21سكون الموائع

تحمل غواصةٌ على عمق ثلاثمئة متر، على كل متر مربع من بدنها، ما تزنه شاحنة محمَّلة. ويحجز السدّ بحيرةً بجدار سميك في أسفله رفيع في أعلاه، لسبب لا صلة له بطول البحيرة. وتطفو سفينة حمولتها مئة ألف طن لأنها تزيح مئة ألف طن من الماء، وتغطس أكثر بعرض كفٍّ حين تنتقل من البحر إلى النهر. وكل واحدة من هذه الوقائع نتيجةٌ لعلاقة واحدة — إذ يتزايد الضغط نزولًا في مائع ساكن بالمعدل $\rho g$ — وهذا الفصل يشتقّها، ويطبّقها على السوائل وعلى الجو، ويستنتج منها القوة المؤثرة في جدار ومبرهنة أرخميدس.

غواصة في تمرين طفوٍ اضطراري: وقد أُفرغت خزانات موازنتها صارت أخفّ من الماء الذي تزيحه فارتفعت — مبرهنة أرخميدس عند 7000\, t. — غواصة في تمرين طفوٍ اضطراري: وقد أُفرغت خزانات موازنتها صارت أخفّ من الماء الذي تزيحه فارتفعت — مبرهنة أرخميدس عند $7000\,\mathrm{t}$ .

21.1 الضغط في مائع ساكن

قضية 21.1 (تماثل مناحي الضغط)

في مائع ساكن، القوة التي يؤثر بها المائع في سطح صغير $\dd S$ عند نقطة $M$ هي $\dd\vect F = P(M)\,\dd S\,\vect n$ ، ناظمية على السطح وموجَّهة نحوه، بضغط $P(M)$ يتوقف على النقطة ولا يتوقف على توجّه السطح.

برهان جزئي. لا ينقل مائع ساكن أيّ قوة مماسية (وإلا لجرى): فالقوة ناظمية. ولننظر إلى موشور مثلثي صغير جدًّا من المائع عند $M$ لوجوهه توجّهات مختلفة: فهو في توازن تحت تأثير قوى الضغط على وجوهه وتحت تأثير ثقله؛ والثقل يتناسب مع الحجم (القوة الثالثة للبعد)، وقوى الضغط مع المساحات (القوة الثانية)، فإذا صغر الموشور كفايةً لم تبق إلا قوى الضغط، ويقتضي توازنها في كل اتجاه الضغط $P$ نفسه على كل وجه. ∎

مبرهنة 21.2 (العلاقة الأساسية لسكون الموائع)

في مائع ساكن في ثقالة منتظمة $\vect g = -g\vect e_z$ (المحور $z$ نحو الأعلى)، لا يتوقف الضغط إلا على $z$ ويكون

\frac{\dd P}{\dd z} = -\rho g ,

حيث $\rho$ كثافة المائع عند ذلك المستوى. فالضغط يتزايد نزولًا؛ والأسطح متساوية الضغط (الأسطح المتساوية الضغط) أفقية، وكذلك السطح الحر لسائل.

برهان. لنأخذ شريحة أفقية من المائع مساحتها $S$ بين $z$ و $z + \dd z$ : تدفعها من الأسفل $P(z)S$ نحو الأعلى، ومن الأعلى $P(z + \dd z)S$ نحو الأسفل، ويجذبها ثقلها $\rho gS\,\dd z$ . وعند السكون: $P(z)S - P(z + \dd z)S - \rho gS\,\dd z = 0$ . وليس على شريحة أفقية من الثقالة أيّ مركّبة أفقية، فالضغط $P$ منتظم أفقيًّا. ∎

على اليمين: توازن شريحة أفقية من المائع — على الضغط في الأسفل أن يفوق الضغط في الأعلى بثقل الشريحة لواحدة المساحة. على اليسار: الأواني المستطرقة — يلقى مستقيم أفقي الضغط نفسه في كل مواضع سائل متصل، فتقف السطوح الحرة عند مستوى واحد مهما تكن الأشكال.

نتيجة 21.3 (مائع غير قابل للانضغاط)

في سائل كثافته $\rho$ منتظمة، يكون الضغط على عمق $h$ تحت نقطة قيمته فيها $P_0$ هو

P = P_0 + \rho gh .

ففي الماء: $1\,\mathrm{bar}$ إضافي كل $10\,\mathrm{m}$ . ونقطتان من سائل متصل عند المستوى نفسه لهما الضغط نفسه؛ وتقف السطوح الحرة في الأواني المستطرقة عند مستوى واحد؛ وينتقل ضغط يُطبَّق عند أيّ موضع من سائل محبوس، دون نقصان، إلى كل نقطة منه (مبدأ باسكال).

برهان. نكامل $\dd P/\dd z = -\rho g$ مع $\rho$ ثابتة؛ وما بقي هو أفقية الأسطح المتساوية الضغط ووحدانية $P$ عند مستوى معطى. ∎

مثال 21.4 (مقاييس الضغط والمكابس)

أنبوب على شكل U فيه زئبق ( $\rho = 13\,600\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ ) يفترق عمودا السائل فيه بمقدار $h = 760\,\mathrm{mm}$ يقيس فرق ضغط $\rho gh = 1.013 \times 10^{5}\,\mathrm{Pa}$ — أي الجو، الذي يحمل عمودًا من الماء ارتفاعه $10.3\,\mathrm{m}$ . وفي مكبس هيدروليكي: قوة $F_1$ على مكبس مساحته $S_1$ ترفع الضغط في المائع كله بمقدار $F_1/S_1$ ؛ فتعطي على المكبس الكبير $S_2$ القوة $F_2 = F_1S_2/S_1$ — أي خمسين ضعفًا مقابل خمسين ضعفًا من المساحة، بثمن مسافة أقصر خمسين مرة (فالطاقة محفوظة: $F_1d_1 = F_2d_2$ ).

21.2 الجو

قضية 21.5 (الجو المتساوي الحرارة)

من أجل غاز مثالي كتلته المولية $M$ عند درجة حرارة $T$ منتظمة في ثقالة منتظمة، يكون

P(z) = P_0\,\eu^{-z/H}, \qquad H = \frac{RT}{Mg} ,

وهو الارتفاع المميّز: نحو $8\,\mathrm{km}$ للهواء؛ وينتصف الضغط كل $H\ln2 \approx 5.5\,\mathrm{km}$ .

برهان. لدينا $\rho = PM/RT$ (معادلة الحالة)، ومنه $\dd P/\dd z = -(Mg/RT)P$ : وهي معادلة خطية من المرتبة الأولى حلّها $P = P_0\eu^{-Mgz/RT}$ . ∎

مثال 21.6 (هواء رقيق)

مع $T = 260\,\mathrm{K}$ (وهو متوسط على الطبقات الدنيا من الجو) يكون $H = 7.6\,\mathrm{km}$ : فيكون $P = 0.52P_0$ عند $5000\,\mathrm{m}$ ، و $0.31P_0$ عند قمة إفرست — وهو قريب من القيمتين المقيستين $0.54$ و $0.33$ ؛ والجو الحقيقي يبرد مع الارتفاع، وهو ما يأخذه مجلد السنة الثانية في الحسبان. ويبيّن النموذج أيضًا لماذا يختلف البحر: فالماء أكثف ثمانمئة مرة ويكاد لا ينضغط، فيتزايد ضغطه خطيًّا، بارًا كل عشرة أمتار، بلا ارتفاع مميّز.

الجو المتساوي الحرارة: يتناقص الضغط (وكذلك الكثافة) أسّيًّا مع الارتفاع، فينتصف كل 5.5\, km. وتسعة أعشار الهواء دون 17\, km. — الجو المتساوي الحرارة: يتناقص الضغط (وكذلك الكثافة) أسّيًّا مع الارتفاع، فينتصف كل $5.5\,\mathrm{km}$ . وتسعة أعشار الهواء دون $17\,\mathrm{km}$ .

21.3 القوى المؤثرة في الجدران

قضية 21.7 (القوة المؤثرة في جدار شاقولي)

سائل عمقه $h$ يستند إلى جدار شاقولي مستطيل عرضه $L$ (والضغط الجوي يؤثر في الوجهين فيتلاشى) يؤثر فيه بالقوة الأفقية

F = \tfrac12\rho gh^2L ,

وهي تكافئ قوة وحيدة مطبَّقة عند مركز الضغط، على العمق $2h/3$ — فالمحصلة تؤثر في الأسفل، حيث الضغط أعظمي.

برهان. على العمق $x$ يكون الضغط المقياسي $\rho gx$ ؛ وعلى الشريط الذي ارتفاعه $\dd x$ تكون القوة $\rho gxL\,\dd x$ ؛ ونكامل من $0$ إلى $h$ . وعزمها بالنسبة إلى مستقيم السطح هو $\int_0^h\rho gx^2L\,\dd x = \tfrac13\rho gh^3L$ ؛ وبقسمته على $F$ نجد ذراع الرافعة $2h/3$ . ∎

يتزايد الضغط على السدّ خطيًّا مع العمق (الأسهم)، فتؤثر المحصلة عند ثلثي العمق: فعلى الجدار أن يكون أسمك ما يكون في الأسفل. وتتوقف القوة على h وعلى L، لا على مقدار الماء المحجوز خلفه. — يتزايد الضغط على السدّ خطيًّا مع العمق (الأسهم)، فتؤثر المحصلة عند ثلثي العمق: فعلى الجدار أن يكون أسمك ما يكون في الأسفل. وتتوقف القوة على $h$ وعلى $L$ ، لا على مقدار الماء المحجوز خلفه.

مثال 21.8 (سدّ)

مع $h = 20\,\mathrm{m}$ و $L = 100\,\mathrm{m}$ : $F = \tfrac12 \times 1000 \times 9.81 \times 400 \times 100 = 2.0 \times 10^{8}\,\mathrm{N}$ — أي عشرون ألف طن، مطبَّقة على عمق $13\,\mathrm{m}$ تحت السطح، وهي هي سواء أكانت البحيرة خلفه بركةً أم خليجًا طويلًا: تلك هي مفارقة سكون الموائع.

21.4 مبرهنة أرخميدس

مبرهنة 21.9 (أرخميدس)

جسم مغمور في مائع ساكن يتلقى من قوى الضغط محصلةً — هي الدافعة — مساوية لثقل المائع الذي يزيحه ومعاكسة له،

\vect\Pi = -\rho_{\text{المائع}}V_{\text{المغمور}}\,\vect g ,

ومطبَّقة عند مركز كتلة المائع المُزاح (وهو مركز الدفع).

برهان. لا تتوقف قوى الضغط على سطح الجسم إلا على شكل ذلك السطح وعلى المائع من حوله. ولنستبدل بالجسم، في الذهن، مائعًا ساكنًا يملأ الحجم نفسه: فهذا المائع في توازن تحت تأثير ثقله وقوى الضغط نفسها، ومن ثمّ توازن قوى الضغط ثقله — أي أن مجموعها $-\rho V\vect g$ ، مطبَّقًا عند مركز كتلته. ثم نرفع التجربة الذهنية؛ وقوى الضغط لم تتغير. ∎

نتيجة 21.10 (الطفو)

جسم كثافته $\rho_b$ يطفو في مائع كثافته $\rho_f > \rho_b$ وقد غُمر منه الجزء $\rho_b/\rho_f$ من حجمه؛ فإذا كان $\rho_b > \rho_f$ غاص، بثقل ظاهري $(\rho_b - \rho_f)Vg$ .

برهان. الثقل $\rho_bVg$ يساوي الدافعة $\rho_fV_{\text{المغمور}}g$ . ∎

جسم طافٍ: ثقله، المطبَّق عند مركز كتلته G، يوازن الدافعة المطبَّقة عند مركز الدفع C (وهو مركز الحجم المغمور). والجليد (= 917\, kg/ m3) في ماء البحر (1025\, kg/ m3): 89\% منه تحت السطح. — جسم طافٍ: ثقله، المطبَّق عند مركز كتلته $G$ ، يوازن الدافعة المطبَّقة عند مركز الدفع $C$ (وهو مركز الحجم المغمور). والجليد ( $\rho = 917\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ ) في ماء البحر ( $1025\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ ): $89\%$ منه تحت السطح.

مثال 21.11 (ثلاث دافعات)

مقياس الكثافة أنبوب مثقَّل يغوص حتى يزيح ثقله هو: فكلما ازدادت كثافة السائل قلّ غوصه — وهو مقياس كثافة يُقرأ على ساقه. ومنطاد حجمه $2800\,\mathrm{m}^{3}$ من الهواء الساخن عند $373\,\mathrm{K}$ يزيح $3.4\,\mathrm{t}$ من الهواء البارد ويزن $2.6\,\mathrm{t}$ من الهواء الساخن: فتكون الحمولة $0.7\,\mathrm{t}$ (المسألة 20.1). وسفينة حمولتها $100\,000\,\mathrm{t}$ تزيح $97\,600\,\mathrm{m}^{3}$ من ماء البحر؛ وفي الماء العذب ( $1000\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ ) عليها أن تزيح $2.5\%$ أكثر فتغطس أعمق — ومن هنا علامات الحمولة على بدنها.

ملاحظة 21.12 (الاستقرار)

جسم طافٍ يميل بزاوية صغيرة يعود إلى وضعه إذا أنتجت الدافعة، وقد صارت مطبَّقة عند المركز المزاح للحجم المغمور الجديد، عزمًا مُعيدًا — وهذا يقع حين يعلو مركز الاستقرار (وهو النقطة التي يلقى فيها حامل الدافعة محور الجسم) النقطةَ $G$ . والصابورة في أسفل البدن تخفض $G$ وتثبّت السفينة؛ وينقلب القارب الذي ثقله عالٍ.

21.5 تمارين

تمرين 21.1 ★

الضغط المطلق على عمق $10\,\mathrm{m}$ ثم $100\,\mathrm{m}$ ثم $1\,\mathrm{km}$ تحت سطح البحر ( $\rho = 1025\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ )؛ والقوة على كوّة مساحتها $1.0\,\mathrm{m}^{2}$ على عمق $300\,\mathrm{m}$ .

حل

حل التمرين 21.1.

$P = P_0 + \rho gh$ : أي $2.0 \times 10^{5}\,\mathrm{Pa}$ وهو $2.0\,\mathrm{bar}$ ؛ ثم $1.1 \times 10^{6}\,\mathrm{Pa}$ وهو $11\,\mathrm{bar}$ ؛ ثم $1.0 \times 10^{7}\,\mathrm{Pa}$ وهو $101\,\mathrm{bar}$ . وعند $300\,\mathrm{m}$ : $P = 3.1 \times 10^{6}\,\mathrm{Pa}$ ، والقوة $3.1\,\mathrm{MN}$ على $1\,\mathrm{m}^{2}$ (صافيةً، مقابل $1\,\mathrm{atm}$ في الداخل: $3.0\,\mathrm{MN}$ ).

تمرين 21.2 ★

ارتفاع عمود زئبق يوازن $1.013 \times 10^{5}\,\mathrm{Pa}$ ؛ ثم عمود ماء. ولماذا لا ترفع مضخة شفط الماء أكثر من $10\,\mathrm{m}$ تقريبًا؟

حل

حل التمرين 21.2.

$h = P/\rho g$ : فالزئبق $0.760\,\mathrm{m}$ ، والماء $10.3\,\mathrm{m}$ . وأقصى ما تستطيعه المضخة أن تُحدث خلاءً فوق الماء: فيرفع الجوّ عندئذ العمود $10.3\,\mathrm{m}$ ، لا أكثر.

تمرين 21.3 ★

رافعة هيدروليكية: قوة $100\,\mathrm{N}$ على مكبس مساحته $2.0\,\mathrm{cm}^{2}$ ، والحمولة على مكبس مساحته $200\,\mathrm{cm}^{2}$ ؛ ثم مسافة كل منهما إذا قطع المكبس الصغير $20\,\mathrm{cm}$ .

حل

حل التمرين 21.3.

$F_2 = F_1S_2/S_1 = 10\,\mathrm{kN}$ أي طن واحد؛ و $d_2 = d_1S_1/S_2 = 2.0\,\mathrm{mm}$ (الحجم المُزاح نفسه، والشغل نفسه).

تمرين 21.4 ★

أنبوب على شكل U فيه ماء؛ يُصبّ زيت ( $\rho = 850\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ ) في أحد ذراعيه فيؤلف عمودًا ارتفاعه $12\,\mathrm{cm}$ . ما فرق الارتفاع بين السطحين الحرّين؟

حل

حل التمرين 21.4.

الضغط نفسه عند مستوى السطح الفاصل بين الزيت والماء في الذراعين: $\rho_og h_o = \rho_wgh_w$ ، ومنه $h_w = 0.85 \times 12 = 10.2\,\mathrm{cm}$ من الماء فوق ذلك المستوى في الذراع الأخرى؛ فيعلو سطح الزيت بمقدار $12 - 10.2 = 1.8\,\mathrm{cm}$ .

تمرين 21.5 ★★

الارتفاع المميّز للجو عند $273\,\mathrm{K}$ ؛ والضغط عند $5000\,\mathrm{m}$ ثم عند $8848\,\mathrm{m}$ ؛ والارتفاع الذي عنده $P = P_0/2$ . وقارن مع القيم المذكورة في الفصل 20.

حل

حل التمرين 21.5.

$H = RT/Mg = 8.314 \times 273/(0.029 \times 9.81) = 8.0\,\mathrm{km}$ ؛ و $P/P_0 = \eu^{-z/H}$ : أي $0.54$ عند $5\,\mathrm{km}$ ، و $0.33$ عند $8848\,\mathrm{m}$ ؛ وينتصف عند $H\ln2 = 5.5\,\mathrm{km}$ — وهي الأعداد المستعملة في الفصل 20.

تمرين 21.6 ★★

سدّ مستطيل عرضه $100\,\mathrm{m}$ يحجز $20\,\mathrm{m}$ من الماء. أوجد القوة الكلية، وعمق مركز الضغط، وعزم الماء بالنسبة إلى قاعدة السدّ. ولماذا يُقوَّس السدّ نحو الماء؟

حل

حل التمرين 21.6.

$F = \tfrac12\rho gh^2L = 1.96 \times 10^{8}\,\mathrm{N}$ ؛ ومركز الضغط على عمق $13.3\,\mathrm{m}$ ، أي $6.7\,\mathrm{m}$ فوق القاعدة؛ وعزمه بالنسبة إلى القاعدة $F \times 6.7 = 1.3 \times 10^{9}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}$ . وتقويس السدّ نحو الماء يحوّل الدفع إلى انضغاط في القوس، يُنقل إلى جانبَي الوادي.

تمرين 21.7 ★★

ما نسبة جبل جليدي تحت السطح (الجليد $917\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ ، وماء البحر $1025\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ )؟ وجذع كثافته $600\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ في الماء العذب؟ وكم شخصًا كتلة الواحد $75\,\mathrm{kg}$ يحمل طوف من $2.0\,\mathrm{m}^{3}$ من ذلك الخشب قبل أن يغمر الماء سطحه؟

حل

حل التمرين 21.7.

$917/1025 = 89\%$ ؛ والجذع $60\%$ . أما الطوف: فالدافعة عند الغمر التام $1000 \times 2.0 \times 9.81 = 19.6\,\mathrm{kN}$ ، وثقله هو $11.8\,\mathrm{kN}$ : فيبقى $7.8\,\mathrm{kN}$ احتياطًا، أي عشرة أشخاص… والعاشر مبلول القدمين: فتسعة يبقون جافّين ( $800\,\mathrm{kg}$ ).

تمرين 21.8 ★★

مقياس كثافة كتلته $20\,\mathrm{g}$ ومقطع ساقه $0.50\,\mathrm{cm}^{2}$ يطفو في الماء وقد برز من ساقه $4.0\,\mathrm{cm}$ . فكم يبرز منها في محلول ملحي كثافته $1100\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ ؟ وما حساسيته، بالسنتيمتر لواحدة الكثافة النسبية؟

حل

حل التمرين 21.8.

الحجم المغمور $m/\rho$ : أي $20\,\mathrm{cm}^{3}$ في الماء؛ وفي المحلول الملحي $20/1.1 = 18.2\,\mathrm{cm}^{3}$ ، أي $1.8\,\mathrm{cm}^{3}$ أقل، ومنه $1.8/0.50 = 3.6\,\mathrm{cm}$ من الساق زيادةً: فيبرز منها $7.6\,\mathrm{cm}$ . والحساسية $\approx m/(\rho^2S) \approx 40\,\mathrm{cm}$ لواحدة الكثافة النسبية (أي $3.6\,\mathrm{cm}$ لكل $0.1$ ).

تمرين 21.9 ★★

غواصة حجمها $3000\,\mathrm{m}^{3}$ كتلتها $2800\,\mathrm{t}$ وخزانات موازنتها فارغة. ما النسبة البارزة منها عند السطح في ماء البحر؟ وما كتلة الماء التي عليها أن تأخذها لتصير في طفو محايد؟ وماذا لو دخلت بعد ذلك مصبًّا من الماء العذب؟

حل

حل التمرين 21.9.

الحجم المُزاح $2800/1.025 = 2732\,\mathrm{m}^{3}$ : فيبرز $268\,\mathrm{m}^{3}$ أي ( $9\%$ ). وللطفو المحايد: الكتلة $1025 \times 3000 = 3075\,\mathrm{t}$ ، فتأخذ $275\,\mathrm{t}$ . وفي الماء العذب تهبط الدافعة إلى $3000\,\mathrm{t}$ : فتزيد الكتلة $75\,\mathrm{t}$ — فتغوص ما لم تُضخّ $75\,\mathrm{t}$ إلى الخارج.

تمرين 21.10 ★★★

منطاد طفل فيه $10\,\mathrm{L}$ من الهيليوم ( $M = 4\,\mathrm{g}/\mathrm{mol}$ ) عند $1\,\mathrm{bar}$ و $293\,\mathrm{K}$ ؛ ويزن المطاط $3.0\,\mathrm{g}$ . أوجد الحمولة الصافية وكتلة الخيط الذي يستطيع حمله.

حل

حل التمرين 21.10.

الهواء المُزاح: $10^{-2} \times 1.20 = 12.0\,\mathrm{g}$ ؛ والهيليوم في الداخل $12.0 \times 4/29 = 1.7\,\mathrm{g}$ ؛ والمطاط $3.0\,\mathrm{g}$ : فالحمولة الصافية $7.3\,\mathrm{g}$ — أي سبعة أمتار من خيط خفيف.

تمرين 21.11 ★★★

برهن على أن مركز الضغط على جدار شاقولي مستطيل يقع عند $2h/3$ بحساب عزم قوى الضغط بالنسبة إلى مستقيم السطح. وأين يقع من أجل جدار غُمر بعضه فقط، من العمق $h_1$ إلى العمق $h_2$ ؟

حل

حل التمرين 21.11.

العزم $\int_0^h\rho gx\cdot xL\,\dd x = \rho gLh^3/3$ ، والقوة $\rho gLh^2/2$ : فالذراع $2h/3$ . ومن $h_1$ إلى $h_2$ : العزم $\rho gL(h_2^3 - h_1^3)/3$ ، والقوة $\rho gL(h_2^2 - h_1^2)/2$ : فالعمق $\frac23(h_2^3 - h_1^3)/(h_2^2 - h_1^2)$ .

تمرين 21.12 ★★★

مقياس كثافة أسطواني (كتلته $m$ ومقطعه $S$ ) يطفو في سائل كثافته $\rho$ فيُدفع نحو الأسفل بمقدار $x$ ثم يُترك. بيّن أنه يهتزّ اهتزازًا توافقيًّا وأعطِ الدور؛ ثم احسبه من أجل $m = 20\,\mathrm{g}$ و $S = 0.50\,\mathrm{cm}^{2}$ في الماء. (وهو المثال 14.3 من جديد.)

حل

حل التمرين 21.12.

الغمر الزائد $x$ يضيف الدافعة $\rho gSx$ نحو الأعلى: ومنه $m\ddot x = -\rho gSx$ ، و $\omega_0^2 = \rho gS/m$ ، و $T = 2\pi\sqrt{m/\rho gS} = 2\pi\sqrt{0.020/(1000 \times 9.81 \times 5\times10^{-5})} = 1.3\,\mathrm{s}$ .

نفخ منطاد بالهواء الساخن: الهواء المسخَّن أقل كثافة من الهواء البارد من حوله، ودافعة أرخميدس على الغلاف تفوق ثقله.

21.6 مسألة: الغواصة

مسألة 21.1

مسألة نهاية الأسبوع — بدن فولاذي على عمق ثلاثمئة متر: الضغط على صفائحه، والماء الذي عليه أن يبتلعه لينزل ويقذفه لينهض، والغوّاص الذي يغادره، والناقلة التي تمرّ فوقه

ماء البحر: $\rho = 1025\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ ؛ والماء العذب $1000\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ ؛ و $P_0 = 1.013 \times 10^{5}\,\mathrm{Pa}$ ؛ و $g = 9.81\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ . ويحصر بدن الغواصة الحجم $V = 3000\,\mathrm{m}^{3}$ ؛ وكتلتها بخزانات موازنة فارغة $m_0 = 2800\,\mathrm{t}$ .

الجزء I — الضغط على البدن.

الضغط المطلق على عمق $300\,\mathrm{m}$ ، بالباسكال وبالبار.
القوة على فتحة دائرية قطرها $0.80\,\mathrm{m}$ على ذلك العمق؛ وقارنها بثقل شاحنة.
القوة على متر مربع واحد من البدن عند العارضة السفلى إذا كان ارتفاع البدن $10\,\mathrm{m}$ وأعلاه على عمق $300\,\mathrm{m}$ : بكم تختلف عن القوة في الأعلى؟
الماء قابل للانضغاط قليلًا ( $\chi_T = 4.6 \times 10^{-10}\,\mathrm{Pa}^{-1}$ ): بأيّ نسبة يكون ماء البحر أكثف على عمق $300\,\mathrm{m}$ منه عند السطح؟ وهل لذلك أثر في الضغط المحسوب أعلاه؟
يتنفس الطاقم في الداخل هواء عند $1\,\mathrm{atm}$ : فلماذا يجب أن يكون البدن أسطوانة سميكة، ولماذا تقاوم الأسطوانة خيرًا من صندوق مسطّح؟
قشرة أسطوانية رقيقة نصف قطرها $R$ وسماكة جدارها $e$ تحت فرط ضغط خارجي $\Delta P$ تحمل في جدارها إجهاد انضغاط مقداره $\Delta P\,R/e$ . احسبه من أجل $R = 5.0\,\mathrm{m}$ و $e = 3.0\,\mathrm{cm}$ على عمق $300\,\mathrm{m}$ ، وقارنه بإجهاد خضوع الفولاذ، وهو نحو $600\,\mathrm{MPa}$ .

الجزء II — الغوص والطفو.

عند السطح وخزاناتها فارغة، ما حجم البدن البارز؟
ما كتلة ماء البحر التي على خزانات الموازنة أن تأخذها كي تحوم الغواصة في طفو محايد؟
وقد صارت في طفو محايد على عمق $300\,\mathrm{m}$ ، ينضغط البدن بنسبة $0.1\%$ تحت أثر الضغط. احسب القوة الصافية الناتجة وقل هل التوازن مستقر بالنسبة إلى العمق.
ينتقل المركب في طفو محايد من البحر إلى مصبّ من الماء العذب. ما القوة الصافية؟ وإلى أين يمضي، وما الذي على الطاقم فعله؟
يُطلَق طوربيد كتلته $20\,\mathrm{t}$ . ما الذي على جملة الموازنة فعله في الحال، وبأيّ مقدار؟
لماذا تستعمل الغواصة هواءً مضغوطًا لتفريغ خزاناتها، ولماذا يكون ضغط ذلك الهواء هو الحدّ الذي يقيّد العمق الذي تستطيع تفريغها عنده؟
قدّر حجم الهواء عند $1\,\mathrm{atm}$ اللازم لتفريغ $275\,\mathrm{m}^{3}$ من الخزانات على عمق $300\,\mathrm{m}$ (قانون بويل، مع $PV$ ثابت).

الجزء III — الغوّاصة. تغادر غوّاصة السطح وفي رئتيها $6.0\,\mathrm{L}$ من الهواء.

الضغط المطلق على عمق $10\,\mathrm{m}$ ثم $30\,\mathrm{m}$ .
إذا نزلت حابسةً نفَسها، فما حجم رئتيها على عمق $30\,\mathrm{m}$ ؟
غوّاصة بأسطوانة تتنفس هواءً عند الضغط المحيط على عمق $30\,\mathrm{m}$ ثم تصعد حابسةً نفَسها: ما الحجم الذي كانت رئتاها ستحتاجان إليه عند السطح، وما العبرة؟
أنبوب تنفس طوله $1.0\,\mathrm{m}$ : ما فرق الضغط بين الماء على صدر الغوّاصة والهواء في رئتيها؟ وما القوة على صدر مساحته $0.05\,\mathrm{m}^{2}$ ؟ وهل تستطيع الشهيق؟
تحوي أسطوانة الهواء $12\,\mathrm{L}$ عند $200\,\mathrm{bar}$ : فكم لترًا من الهواء تعطي على عمق $30\,\mathrm{m}$ ، ولكم من الوقت باستهلاك $20\,\mathrm{L}$ في الدقيقة؟

الجزء IV — الناقلة فوقه.

ناقلة حمولتها $100\,000\,\mathrm{t}$ تطفو في ماء البحر: ما حجم الماء المُزاح؟
مساحة خط الماء عندها $8000\,\mathrm{m}^{2}$ : بكم ترتفع أو تغطس حين تدخل الماء العذب؟
وقد حُمّلت $10\,000\,\mathrm{t}$ من النفط: ما تغيّر الغاطس؟
للناقلة الفارغة مركز كتلة عالٍ؛ ولذلك تحمل ماء البحر صابورةً حين تكون فارغة. لماذا، بدلالة مركز الاستقرار؟
بدن الناقلة عند عارضتها السفلى (بغاطس $20\,\mathrm{m}$ ): ما الضغط والقوة على المتر المربع، مقارنةً بالغواصة على عمق $300\,\mathrm{m}$ ؟
تمرّ الناقلة فوق الغواصة تمامًا. فهل تشعر الغواصة بحمولتها البالغة $100\,000\,\mathrm{t}$ ؟ علّل بمجال الضغط.
لخّص: ما العلاقة الوحيدة التي عيّنت كل عدد في هذه المسألة، وما المبرهنة التي تلتها؟

حل

حل المسألة 21.1.

1. $P = 1.013\times10^5 + 1025 \times 9.81 \times 300 = 3.12 \times 10^{6}\,\mathrm{Pa} = 31\,\mathrm{bar}$ .

2. $S = \pi(0.40)^2 = 0.503\,\mathrm{m}^{2}$ : فالقوة الصافية $(P - P_0)S = 1.52 \times 10^{6}\,\mathrm{N}$ — أي 155 طنًّا، شاحنة محمَّلة على فتحة.

3. العارضة السفلى أعمق بمقدار $10\,\mathrm{m}$ : فيزيد الضغط $+\rho g \times 10 = 1.0 \times 10^{5}\,\mathrm{Pa}$ ، أي $3\%$ : فالبدن محمَّل تحميلًا يكاد يكون منتظمًا.

4. $\Delta\rho/\rho = \chi_T\Delta P = 4.6\times10^{-10} \times 3.0\times10^6 = 0.14\%$ : وهو مهمَل بالنسبة إلى الضغط (بضعة كيلوباسكالات من ثلاثة ملايين).

5. ثلاثون بارًا في الخارج وواحد في الداخل: فالبدن وعاء ضغط محمَّل نحو الداخل؛ والأسطوانة (أو الكرة) تحوّل الضغط إلى انضغاط على طول جدارها، وهو ما يقاومه الفولاذ جيدًا، في حين تنثني صفيحة مسطّحة.

6. $\Delta P\,R/e = 3.0\times10^6 \times 5.0/0.030 = 5.0 \times 10^{8}\,\mathrm{Pa} = 500\,\mathrm{MPa}$ : أي قريب من إجهاد الخضوع — فعمق $300\,\mathrm{m}$ قريب من حدّ هذا البدن، وتحتاج المراكب الأعمق إلى فولاذ أسمك أو أمتن (أو إلى التيتانيوم).

7. الحجم المُزاح $m_0/\rho = 2800/1.025 = 2732\,\mathrm{m}^{3}$ : فيبرز $268\,\mathrm{m}^{3}$ أي ( $9\%$ ).

8. للطفو المحايد: $m = \rho V = 3075\,\mathrm{t}$ : فتأخذ $275\,\mathrm{t}$ .

9. تهبط الدافعة بمقدار $0.1\%$ من $\rho Vg$ : أي $0.001 \times 3075 \times 9.81 \times10^3 = 30\,\mathrm{kN}$ نحو الأسفل (ثلاثة أطنان). فعمق أكبر $\Rightarrow$ انضغاط أكبر $\Rightarrow$ ثقل أكبر: وهو توازن غير مستقر — فعلى الغواصة أن تعدّل موازنتها باستمرار (والبدن الفولاذي ينضغط أقل من الماء، وهو ما يساعد؛ أما بدن شديد الليونة فيغوص بلا عودة).

10. الدافعة $1000 \times 3000 \times 9.81 = 29.4\,\mathrm{MN}$ مقابل الثقل $3075 \times 9.81 \times 10^3 = 30.2\,\mathrm{MN}$ : أي $0.74\,\mathrm{MN}$ نحو الأسفل وهي ( $75\,\mathrm{t}$ )؛ فتُضخّ $75\,\mathrm{t}$ إلى الخارج.

11. تصير أخفّ في الحال بمقدار $20\,\mathrm{t}$ : فتأخذ $20\,\mathrm{t}$ من الماء أي ( $19.5\,\mathrm{m}^{3}$ ) في خزانات التعويض.

12. لا يُطرَد الماء إلا بشيء ضغطه أعلى من ضغط البحر في الخارج؛ والهواء المضغوط في القوارير يدفعه إلى الخارج — ما دام ضغط القارورة يفوق الضغط المحيط عند ذلك العمق.

13. $PV$ ثابت: فإن $275\,\mathrm{m}^{3}$ عند $31\,\mathrm{bar}$ تحتاج إلى $275 \times 31 = 8500\,\mathrm{m}^{3}$ من الهواء عند $1\,\mathrm{atm}$ — مخزونة عند $200\,\mathrm{bar}$ في $43\,\mathrm{m}^{3}$ من القوارير.

14. $2.0\,\mathrm{bar}$ عند $10\,\mathrm{m}$ ؛ و $4.0\,\mathrm{bar}$ عند $30\,\mathrm{m}$ .

15. $PV$ ثابت: $6.0/4.0 = 1.5\,\mathrm{L}$ — فالقفص الصدري ينضغط إلى الداخل؛ ويحسّ به الغوّاصون الحرّون.

16. الهواء المأخوذ عند $4\,\mathrm{bar}$ يتمدد أربعة أضعاف: أي $24\,\mathrm{L}$ في رئتين تسعان $6\,\mathrm{L}$ : فيقع التمزّق. فلا تحبس نفَسك أبدًا عند الصعود؛ بل ازفر باستمرار.

17. $\Delta P = \rho g \times 1.0 = 1.0 \times 10^{4}\,\mathrm{Pa}$ ؛ والقوة $1.0 \times 10^{4}\,\mathrm{Pa} \times 0.05 = 500\,\mathrm{N}$ على الصدر: فعضلات التنفس لا تستطيع رفع خمسين كيلوغرامًا — ولا يعمل أنبوب التنفس إلا في الديسيمترات الأولى.

18. $12 \times 200 = 2400\,\mathrm{L}$ عند $1\,\mathrm{bar}$ ، أي $600\,\mathrm{L}$ عند $4\,\mathrm{bar}$ : فتكفي $30\,\mathrm{min}$ .

19. $V = 10^8/1025 = 97\,600\,\mathrm{m}^{3}$ .

20. في الماء العذب عليها أن تزيح $10^5\ \mathrm{m}^{3}$ : أي $2400\,\mathrm{m}^{3}$ أكثر، ومنه $2400/8000 = 0.30\,\mathrm{m}$ أعمق.

21. $10^4/1.025 = 9756\,\mathrm{m}^{3}$ أكثر: أي $1.2\,\mathrm{m}$ أعمق.

22. حين تفرغ السفينة يعلو مركز كتلتها $G$ ويقلّ الجزء المغمور من بدنها: فقد يهبط مركز الاستقرار دون $G$ فتنقلب في موج. وماء البحر في أسفل البدن يخفض $G$ ويزيد الغاطس.

23. $\rho gh = 2.0 \times 10^{5}\,\mathrm{Pa}$ ، أي $0.2\,\mathrm{MN}/\mathrm{m}^{2}$ : وهو أقل خمس عشرة مرة من $3\,\mathrm{MN}/\mathrm{m}^{2}$ عند الغواصة.

24. لا: فالضغط عند عمق الغواصة هو $P_0 + \rho gh$ ، يعيّنه العمق وحده. أما ثقل الناقلة فيحمله الماء الذي تزيحه، وهو يرفع مستوى البحر في كل مكان بمقدار لا يُقاس؛ ولا يبلغ الغواصةَ أيّ حمل زائد.

25. العلاقة $\dd P/\dd z = -\rho g$ — ومنها $P = P_0 + \rho gh$ لكل عمق وقوة وحجم رئة في هذه المسألة — ثم مبرهنة أرخميدس، وهي تلك العلاقة مكاملةً على سطح مغلق.