8النظام الجيبي الدائم والممانعة

حل التمرين 8.1.

$\underline U = 5\eu^{j\pi/3} = 2.5 + 4.33j$ (بالفولط). ومن أجل $3\cos\omega t + 4\sin\omega t$: $3 + 4\eu^{-j\pi/2} = 3 - 4j$، ومقياسه $5$ وعمدته $-\arctan(4/3) = -0.927\,\mathrm{rad}$: أي $5\cos(\omega t - 0.927)$.

حل التمرين 8.2.

$R$: $100\,\Omega$ عند التواترين. و$L\omega$: $31.4\,\Omega$ (عند $50\,\mathrm{Hz}$) و$628\,\Omega$ (عند $1\,\mathrm{kHz}$). و$1/C\omega$: $318\,\Omega$ و$15.9\,\Omega$. و$RL$ على التسلسل عند $50\,\mathrm{Hz}$: $\abs{\underline Z} = \sqrt{100^2 + 31.4^2} = 105\,\Omega$، والطور $\arctan(0.314) = 17^\circ$.

حل التمرين 8.3.

$U = 230\sqrt2 = 325\,\mathrm{V}$. و$I_{\mathrm{rms}} = 2000/230 = 8.7\,\mathrm{A}$، والأعظمي $12.3\,\mathrm{A}$. و$\langle Ri^2\rangle = R\langle i^2\rangle = RI_{\mathrm{rms}}^2$ بتعريف القيمة الفعّالة.

حل التمرين 8.4.

$f_0 = 1/(2\pi\sqrt{LC}) = 5.03\,\mathrm{kHz}$؛ و$Q = \sqrt{L/C}/R = 3.16$؛ و$\Delta f = f_0/Q = 1.6\,\mathrm{kHz}$؛ و$I_{\max} = E/R = 10\,\mathrm{mA}$.

حل التمرين 8.5.

النسبة $1/\sqrt2$ عند $\omega = 1/RC$: أي $f_c = 1/(2\pi RC) = 1.0\,\mathrm{kHz}$. وعند $1.0\,\mathrm{kHz}$: النسبة $0.71$ والطور $-45^\circ$. وعند $10\,\mathrm{kHz}$: $RC\omega = 10$ والنسبة $1/\sqrt{101} = 0.10$ والطور $-84^\circ$.

حل التمرين 8.6.

$\underline Z = 100 + j(250 - 100) = 100 + 150j$: ومنه $Z = 180\,\Omega$ و $\arg = 56^\circ$. و$I = 1.0/180 = 5.6\,\mathrm{mA}$، متأخرًا عن المنبع بمقدار $56^\circ$. و$U_R = 0.56\,\mathrm{V}$ و $U_L = 1.39\,\mathrm{V}$ و $U_C = 0.56\,\mathrm{V}$؛ والمتجهات: $U_R$ على امتداد $I$، و$U_L$ إلى أعلى، و$U_C$ إلى أسفل، والمحصلة $1.0\,\mathrm{V}$. و$L\omega > 1/C\omega$: أي فوق الرنين (تحريضي).

حل التمرين 8.7.

لدينا $f_0 = 1/(2\pi\sqrt{LC})$: أي من $1.59\,\mathrm{MHz}$ عند $50\,\mathrm{pF}$ إلى $0.50\,\mathrm{MHz}$ عند $500\,\mathrm{pF}$. وعند $1.00\,\mathrm{MHz}$ يكون $C = 1/(4\pi^2f_0^2L) = 127\,\mathrm{pF}$. و$\Delta f = 10\,\mathrm{kHz}$. والمحطة عند $1.009\,\mathrm{MHz}$: $x = 1.009$ و $Q(x - 1/x) = 1.8$ والنسبة $1/\sqrt{1 + 3.2} = 0.49$. وتوتر المكثف $QE = 1.0\,\mathrm{mV}$.

حل التمرين 8.8.

$Q(x - 1/x) = \pm1 \Leftrightarrow x^2 \mp x/Q - 1 = 0$؛ والجذران الموجبان $x_{1,2} = \mp 1/2Q + \sqrt{1 + 1/4Q^2}$. والفرق $1/Q$، ومنه $\Delta\omega = \omega_0/Q$؛ والجداء $(1 + 1/4Q^2) - 1/4Q^2 = 1$، ومنه $\omega_1\omega_2 = \omega_0^2$ (فالنطاق متناظر على سُلّم لوغاريتمي).

حل التمرين 8.9.

$I = P/(U\cos\varphi) = 2000/(230 \times 0.70) = 12.4\,\mathrm{A}$. والاستطاعة التفاعلية $P\tan\varphi = 2000 \times 1.02 = 2.0\,\mathrm{kvar}$. و$C = 2040/(314 \times 230^2) = 123\,\text{µ}\mathrm{F}$. والتيار الجديد $2000/230 = 8.7\,\mathrm{A}$. والضياعات $0.50 \times 12.4^2 = 77\,\mathrm{W}$ قبل ذلك، و$0.50 \times 8.7^2 = 38\,\mathrm{W}$ بعده.

حل التمرين 8.10.

$\underline Y = 1/R + j(C\omega - 1/L\omega)$؛ و$\underline U = \underline I/ \underline Y$ أعظمي حين ينعدم الجزء التخيلي من المسايرة، أي عند $\omega_0$، حيث $U = RI$. وعند نصف الاستطاعة: $\abs{C\omega - 1/L\omega} = 1/R$، أي $RC\omega_0(x - 1/x) = \pm1$: ومنه $\Delta\omega = \omega_0/(RC\omega_0) = 1/RC$ و $Q = RC\omega_0 = R\sqrt{C/L}$. والأعداد: $\omega_0 = 1.0 \times 10^{6}\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ (أي $f_0 = 159\,\mathrm{kHz}$)، و $Q = 10^4\sqrt{10^{-6}} = 10$، و $\Delta f = 16\,\mathrm{kHz}$.

حل التمرين 8.11.

$U_C = I/C\omega = E/[C\omega\sqrt{R^2 + (L\omega - 1/C\omega)^2}]$؛ وبالضرب داخل الجذر في $C\omega$: $\sqrt{(RC\omega)^2 + (LC\omega^2 - 1)^2} = \sqrt{x^2/Q^2 + (1 - x^2)^2}$. ومع $s = x^2$ يكون $(1 - s)^2 + s/Q^2$ أصغريًّا عند $s = 1 - 1/2Q^2$ (إن كان موجبًا)، وأصغره $1/Q^2 - 1/4Q^4$: ومنه $U_{C,\max} = QE/\sqrt{1 - 1/4Q^2}$. ومن أجل $Q = 3.16$: $x_r = 0.975$ و $U_{C,\max} = 3.2E$. أما من أجل $Q < 1/\sqrt2$ فالأصغر عند $s = 0$: فتتناقص $U_C$ تناقصًا رتيبًا من $E$، بلا ذروة.

حل التمرين 8.12.

عند الرنين يكون $i = I\cos\omega_0 t$ و $u_C = (I/C\omega_0)\sin\omega_0 t$، ومنه، باستعمال $1/C\omega_0^2 = L$،

والمتبدد في كل دور: $\tfrac12 RI^2T$. والنسبة $\times 2\pi$: $2\pi L/(RT) = L\omega_0/R = Q$.