الفيزياء الجامعية — السنة الأولى · Bachelor Year 1

9المرشّحات ودوال النقل

داخل صندوق مكبّر صوت تقرّر وشيعة ومكثف، دون أيّ ترانزستور، أن الجهير يذهب إلى المخروط الكبير والحادّ إلى القبّة الصغيرة. وزرّ “AC” في راسم الاهتزاز يزيل إزاحةً تنجرف ببطء ويبقي التموّج فوقها. ومغذٍّ للاستطاعة يحوّل تيارًا منزليًّا مقوَّمًا نابضًا إلى توتر ثابت بمكثف واحد. والثلاثة كلها مرشّحات: أي دارات خطية تعامل كل تواتر معاملة مختلفة. ولأن كل إشارة دورية مجموع جيوب، فمعرفة ما تفعله دارة بكل جيب — أي دالة نقلها — هي معرفة ما تفعله بكل شيء. ويعرّف هذا الفصل دوال النقل، ويرسم مخططات بودي لدارات الرتبتين الأولى والثانية في الفصول السابقة، ويستعملها للتنبؤ بكيفية خروج موجة مربعة من مرشّح.

9.1 دالة النقل ومخطط بودي

تعريف 9.1 (دالة النقل)

الدارة الخطية ذات توتر دخل $\underline U_e$ وتوتر خرج $\underline U_s$ (مأخوذ ولا شيء موصول عند الخرج) لها دالة النقل

\underline H(j\omega) = \frac{\underline U_s}{\underline U_e}, \qquad G(\omega) = \abs{\underline H}, \qquad \varphi(\omega) = \arg\underline H,

حيث الكسب $G$ (نسبة السعتين) وانزياح الطور $\varphi$ للخرج بالنسبة إلى الدخل. والمرشّح دارة كهذه تُستعمل لتوقفها على التواتر: فجيب سعته $E$ عند $\omega$ يخرج $G(\omega)E\cos(\omega t + \varphi(\omega))$ .

تعريف 9.2 (الديسيبل؛ مخطط بودي)

الكسب بالديسيبل هو $G_{\mathrm{dB}} = 20\log_{10}G$ : فالعامل $10$ يساوي $20\,\mathrm{dB}$ ، والعامل $2$ يساوي $6\,\mathrm{dB}$ ، والعامل $1/\sqrt2$ يساوي $-3\,\mathrm{dB}$ . ويرسم مخطط بودي $G_{\mathrm{dB}}$ و $\varphi$ بدلالة $\log_{10}\omega$ (أو $f$ ). وتواتر القطع هو التواتر الذي يهبط عنده $G$ إلى $G_{\max}/\sqrt2$ (أي $-3\,\mathrm{dB}$ عن الأعظم)؛ ونطاق التمرير هو مجال التواترات الواقعة ضمن $3\,\mathrm{dB}$ من الأعظم. والعقد عامل $10$ في التواتر، و الأوكتاف عامل $2$ .

طريقة 9.3 (طبيعة المرشّح بنظرة واحدة)

قبل الحساب، انظر إلى الحدود: فعند التواتر المنخفض جدًّا يكون المكثف دارة مفتوحة والوشيعة سلكًا؛ وعند التواتر العالي جدًّا يكون العكس. استبدل بكلٍّ منهما ما يوافقه واقرأ هل الخرج هو الدخل (فيمرّر) أم صفر (فيُحجب). فما يمرّر المنخفض ويحجب العالي: تمرير منخفض؛ و العكس: تمرير عالٍ؛ وما يحجب الاثنين: تمرير نطاقي؛ وما يمرّرهما: إيقاف نطاقي. ثم احسب $\underline H$ بمجزّئ توتر.

9.2 مرشّحات الرتبة الأولى

قضية 9.4 (تمرير منخفض من الرتبة الأولى)

مجزّئ RC بخرج على طرفَي $C$ (أو مجزّئ RL بخرج على طرفَي $R$ ) له

\underline H = \frac{1}{1 + j\omega/\omega_c}, \qquad \omega_c = \frac{1}{RC} \ \Big(\text{أو } \frac{R}{L}\Big), \qquad G = \frac{1}{\sqrt{1 + (\omega/\omega_c)^2}}, \qquad \varphi = -\arctan\frac{\omega}{\omega_c} .

والمقاربات في مخطط بودي: $G_{\mathrm{dB}} = 0$ من أجل $\omega \ll \omega_c$ ، و مستقيم يهبط $20\,\mathrm{dB}$ لكل عقد من أجل $\omega \gg \omega_c$ ، ويلتقيان عند $\omega_c$ حيث يكون المنحني الحقيقي عند $-3\,\mathrm{dB}$ و $\varphi = -45^\circ$ . ومن أجل $\omega \gg \omega_c$ يكون $\underline H \approx \omega_c/(j\omega)$ : فيتناسب الخرج مع تكامل الدخل — أي إن المرشّح مكامِل هناك.

برهان. مجزّئ التوتر:

\underline H = \frac{1/jC\omega}{R + 1/jC\omega} = \frac{1}{1 + jRC\omega} .

وفوق تواتر القطع بكثير يكون $1 + j\omega/\omega_c \approx j\omega/\omega_c$ ، و قسمة سعة عقدية على $j\omega$ مكاملةٌ (القضية 8.3): أي $u_s \approx \omega_c\int u_e\,\dd t$ . والمقدار $20\log(\omega_c/\omega)$ يفقد $20\,\mathrm{dB}$ كلما تضاعف $\omega$ عشر مرات. ∎

قضية 9.5 (تمرير عالٍ من الرتبة الأولى)

مجزّئ CR بخرج على طرفَي $R$ (أو LR بخرج على طرفَي $L$ ) له

\underline H = \frac{j\omega/\omega_c}{1 + j\omega/\omega_c}, \qquad G = \frac{\omega/\omega_c}{\sqrt{1 + (\omega/\omega_c)^2}}, \qquad \varphi = \frac{\pi}{2} - \arctan\frac{\omega}{\omega_c},

وهو يرتفع $20\,\mathrm{dB}$ لكل عقد دون $\omega_c$ ، ومسطّح فوقه، و $-3\,\mathrm{dB}$ و $+45^\circ$ عند $\omega_c$ . ومن أجل $\omega \ll \omega_c$ يكون $\underline H \approx j\omega/\omega_c$ : فيتناسب الخرج مع مشتقّ الدخل.

برهان. $\underline H = R/(R + 1/jC\omega) = jRC\omega/(1 + jRC\omega)$ ؛ و الضرب في $j\omega$ اشتقاقٌ. ∎

مخططا بودي للتمرير المنخفض (الأزرق) والتمرير العالي (الأحمر) من الرتبة الأولى: الكسب بالديسيبل مع المقاربين (المتقطعين) يلتقيان عند تواتر القطع، حيث يكون الكسب الحقيقي -3\, dB، ثم الطور، وهو يعبر 45 عند تواتر القطع. — مخططا بودي للتمرير المنخفض (الأزرق) والتمرير العالي (الأحمر) من الرتبة الأولى: الكسب بالديسيبل مع المقاربين (المتقطعين) يلتقيان عند تواتر القطع، حيث يكون الكسب الحقيقي $-3\,\mathrm{dB}$ ، ثم الطور، وهو يعبر $\mp45^\circ$ عند تواتر القطع.

مثال 9.6 (الاقتران المتناوب)

دخل “AC” في راسم الاهتزاز مرشّح تمرير عالٍ عند $f_c \approx 10\,\mathrm{Hz}$ : فإشارة عند $1\,\mathrm{kHz}$ راكبة على إزاحة قدرها $5\,\mathrm{V}$ تعبر عند $-0.0002\,\mathrm{dB}$ وقد أُزيلت إزاحتها. أما موجة مربعة عند $50\,\mathrm{Hz}$ فتتشوّه تشوّهًا مرئيًّا — إذ تتهدّل قممها المسطّحة — لأن المرشّح عند $50\,\mathrm{Hz}$ لا يعلو تواترَ قطعه إلا بعقد واحد ولأن توافقيات الإشارة المنخفضة تنزاح في الطور (التمرين 9.12).

9.3 مرشّحات الرتبة الثانية

قضية 9.7 (الدارة RLC على التسلسل ثلاثةَ مرشّحات)

مع $x = \omega/\omega_0$ و $\omega_0 = 1/\sqrt{LC}$ و $Q = \sqrt{L/C}/R$ ، تعطي الدارة RLC على التسلسل المغذّاة بالتوتر $\underline U_e$ ، حسب موضع أخذ الخرج:

\begin{align*} \text{على طرفَي } C:&\quad \underline H = \frac{1}{1 - x^2 + jx/Q}, \\ \text{على طرفَي } R:&\quad \underline H = \frac{jx/Q}{1 - x^2 + jx/Q} = \frac{1}{1 + jQ(x - 1/x)}, \\ \text{على طرفَي } L:&\quad \underline H = \frac{-x^2}{1 - x^2 + jx/Q}: \end{align*}

أي مرشّح تمرير منخفض وآخر تمرير نطاقي وثالث تمرير عالٍ من الرتبة الثانية. وبعيدًا عن $\omega_0$ يهبط التمرير المنخفض والتمرير العالي $40\,\mathrm{dB}$ لكل عقد، و يهبط التمرير النطاقي $20\,\mathrm{dB}$ لكل عقد على كل جانب؛ ويبلغ التمرير النطاقي أعظمه $1$ عند $\omega_0$ وله عرض النطاق $\Delta\omega = \omega_0/Q$ في المبرهنة 8.9.

برهان. مجزّئات توتر بالممانعة الكلية $R + j(L\omega - 1/C\omega)$ ؛ ثم نضرب البسط والمقام في $jC\omega$ ونستعمل $LC\omega_0^2 = 1$ و $RC\omega_0 = 1/Q$ . والتمرير النطاقي هو رنين التيار في الفصل السابق مقروءًا توترًا على طرفَي $R$ . ∎

قضية 9.8 (تمرير منخفض من الرتبة الثانية: دور $Q$ )

من أجل التمرير المنخفض، $G = 1/\sqrt{(1 - x^2)^2 + x^2/Q^2}$ : فمن أجل $Q > 1/\sqrt2$ يرتفع الكسب فوق $1$ قرب $\omega_0$ (أي رنين، وذروته $\approx Q$ من أجل $Q$ كبير)؛ ومن أجل $Q = 1/\sqrt2$ يكون “مسطّحًا إلى أقصى حدّ”، $G = 1/\sqrt{1 + x^4}$ ، وعند $-3\,\mathrm{dB}$ بالضبط عند $\omega_0$ ؛ ومن أجل $Q$ أصغر يتهدّل مبكرًا. ويسير الطور من $0$ إلى $-\pi$ ، مارًّا بالقيمة $-\pi/2$ عند $\omega_0$ .

برهان. $(1 - x^2)^2 + x^2/Q^2 = 1 + x^4 + x^2(1/Q^2 - 2)$ : فالحدّ الأوسط ينعدم من أجل $Q^2 = \tfrac12$ ، ويكون سالبًا (فذروة) فوقه، وموجبًا (فتهدّل) دونه؛ وقد حُلّل السلوك قرب $x = 1$ في القضية 8.10. ∎

مرشّحات من الرتبة الثانية من الدارة RLC على التسلسل. يسارًا: التمرير المنخفض (الخرج على طرفَي C) من أجل ثلاث قيم لعامل الجودة Q: ذروة رنين، أو استجابة مسطّحة إلى أقصى حدّ، أو تهدّل مبكر، وكلها تلتحق بالمقارب -40\, dB/ decade (المتقطع). ويمينًا: التمرير النطاقي (الخرج على طرفَي R): ذروة عرضها _0/Q تهبط 20\, dB/ decade على كل جانب. — مرشّحات من الرتبة الثانية من الدارة RLC على التسلسل. يسارًا: التمرير المنخفض (الخرج على طرفَي $C$ ) من أجل ثلاث قيم لعامل الجودة $Q$ : ذروة رنين، أو استجابة مسطّحة إلى أقصى حدّ، أو تهدّل مبكر، وكلها تلتحق بالمقارب $-40\,\mathrm{dB}/\mathrm{decade}$ (المتقطع). ويمينًا: التمرير النطاقي (الخرج على طرفَي $R$ ): ذروة عرضها $\omega_0/Q$ تهبط $20\,\mathrm{dB}/\mathrm{decade}$ على كل جانب.

مثال 9.9 (شبكة فصل)

مجهار الجهير ومجهار الحدّة في مكبّر صوت، وكلاهما $8\,\Omega$ ، يتقاسمان المضخّم عبر مرشّح تمرير منخفض (وشيعة على التسلسل) ومرشّح تمرير عالٍ (مكثف على التسلسل) بتواتر فصل $2\,\mathrm{kHz}$ : أي $L = R/\omega_c = 0.64\,\mathrm{mH}$ و $C = 1/R\omega_c = 10\,\text{µ}\mathrm{F}$ . وعند $2\,\mathrm{kHz}$ يأخذ كل مجهار $-3\,\mathrm{dB}$ ، أي نصف الاستطاعة، ويكون $G_L^2 + G_H^2 = 1$ عند كل تواتر: فالاستطاعة مقتسَمة لا ضائعة. وتصمّم مسألة نهاية الأسبوع نسخة أشدّ انحدارًا.

9.4 ترشيح إشارة دورية

مبرهنة 9.10 (تفكيك فورييه)

كل إشارة دورية دورها $T = 2\pi/\omega$ (منتظمة بما فيه الكفاية) هي مجموع ثابت وجيوب عند مضاعفات $\omega$ :

s(t) = c_0 + \sum_{n = 1}^{\infty} c_n\cos(n\omega t + \varphi_n),

حيث $c_0 = \langle s\rangle$ قيمتها المتوسطة؛ والحدّ $n = 1$ هو الأساسي، والباقي التوافقيات، وتشكّل السعات $c_n$ الطيف. وللموجة المربعة ذات السعة $\pm E$ يكون $c_n = 4E/(n\pi)$ من أجل $n$ فردي و $0$ من أجل $n$ زوجي؛ وللموجة المثلثية ذات السعة $\pm E$ يكون $c_n = 8E/(n\pi)^2$ من أجل $n$ فردي.

برهان. نقبله في هذا المستوى. ∎

ملاحظة 9.11 (ما يُؤخذ منها)

المبرهنة وحساب المعاملات $c_n$ ينتميان إلى درس رياضيات السنة الثانية. وهي هنا أداة: فالزوايا الحادّة تحتاج إلى توافقيات كثيرة (إذ تتناقص توافقيات الموجة المربعة بالمقدار $1/n$ فقط)، والإشارات السلسة تحتاج إلى قليل منها (وتتناقص توافقيات المثلثية بالمقدار $1/n^2$ ). والمحتوى التوافقي للإشارة هو ما يتكوّن منه جرس الآلة، وما يعمل عليه المرشّح.

قضية 9.12 (الترشيح الخطي لإشارة دورية)

عبر مرشّح دالة نقله $\underline H$ ، تصير إشارة المبرهنة

s_{\text{خرج}}(t) = G(0)\,c_0 + \sum_{n \geq 1} G(n\omega)\,c_n\cos\!\big(n\omega t + \varphi_n + \varphi(n\omega)\big):

أي إن كل توافقي يُضرب في الكسب ويُزاح بالطور عند تواتره هو، ثم تُجمع القطع. ومن ثمّ:

مرشّح تمرير منخفض مع $\omega_c \ll \omega$ يبقي $c_0$ أساسًا: فهو يتوسّط (أي يملّس ويزيل التموّج)، ويحوّل موجة مربعة إلى مثلث صغير (بالمكاملة)؛
مرشّح تمرير عالٍ مع $\omega_c \ll \omega$ يزيل $c_0$ ويمرّر الباقي (وهو الاقتران المتناوب)؛ ومع $\omega_c \gg \omega$ يشتقّ (فينشئ نتوءات عند حواف الموجة المربعة)؛
ومرشّح تمرير نطاقي مضبوط على $n\omega$ مع $Q \gg 1$ يستخرج التوافقي $n$ وحده: أي جيبًا من موجة مربعة.

برهان. التراكب في دارة خطية (المبرهنة 6.18) مطبَّقًا على مجموع مداخل جيبية، وكلٌّ منها معالَج وفق التعريف 9.1. ∎

موجة مربعة عبر مرشّح تمرير منخفض من الرتبة الأولى. يسارًا: طيفها (توافقيات فردية بالمقدار 1/n) والطيف بعد مرشّح مقطوع عند الأساسي. ويمينًا: الإشارة الزمنية من أجل _c = (الأحمر، أقواس أسّية) ومن أجل _c = 10 (البرتقالي، زوايا مستديرة فقط)؛ ومع _c يكون الخرج مثلثًا صغيرًا حول المتوسط. — موجة مربعة عبر مرشّح تمرير منخفض من الرتبة الأولى. يسارًا: طيفها (توافقيات فردية بالمقدار $1/n$ ) والطيف بعد مرشّح مقطوع عند الأساسي. ويمينًا: الإشارة الزمنية من أجل $\omega_c = \omega$ (الأحمر، أقواس أسّية) ومن أجل $\omega_c = 10\omega$ (البرتقالي، زوايا مستديرة فقط)؛ ومع $\omega_c \ll \omega$ يكون الخرج مثلثًا صغيرًا حول المتوسط.

مثال 9.13 (أعداد)

موجة مربعة عند $1\,\mathrm{kHz}$ سعتها $5\,\mathrm{V}$ : توافقياتها $6.37\,\mathrm{V}$ عند $1\,\mathrm{kHz}$ ، و $2.12\,\mathrm{V}$ عند $3\,\mathrm{kHz}$ ، و $1.27\,\mathrm{V}$ عند $5\,\mathrm{kHz}$ . وعبر مرشّح RC تمرير منخفض مقطوع عند $10\,\mathrm{Hz}$ ( $\tau = 16\,\mathrm{ms}$ ) يكون الخرج مثلثًا سعته $ET/4\tau \approx 80\,\mathrm{mV}$ حول الصفر؛ وعبر مرشّح تمرير نطاقي مضبوط على $3\,\mathrm{kHz}$ مع $Q = 20$ ، يكون جيبًا قدره $2.1\,\mathrm{V}$ عند $3\,\mathrm{kHz}$ مع بضعة بالمئة فقط من الجارين (التمرين 9.8).

9.5 تتالي المرشّحات

قضية 9.14 (التتالي والتحميل)

لمرشّحين على التتالي $\underline H = \underline H_1\underline H_2$ — فالكسوب تتضارب، والديسيبلات والأطوار تُجمع — شريطة ألّا يحمّل الثاني الأولَ، أي ألّا يسحب تيارًا يُذكر من خرجه. وإلا وجبت إعادة كتابة علاقات المجزّئ للشبكة المركّبة. أما تابع مضخّم عملياتي (الفصل 10) بين المرحلتين فيجعل قاعدة الجداء تامة.

برهان. عُرِّفت $\underline H_1$ وخرجها مفتوح؛ فإذا كانت ممانعة دخل المرحلة التالية أكبر بكثير من ممانعة خرج المرحلة الأولى (أي مقاومتها التيفنانية)، بقي توتر الخرج على حاله ورأت المرحلة الثانية $\underline U_{s1}$ بالضبط دخلًا لها. ∎

مثال 9.15 (مرحلتا RC)

مرشّحا RC تمرير منخفض متماثلان ظهرًا لظهر لا يعطيان $1/(1 + j\omega/\omega_c)^2$ : فالمقاومة $R$ في المرحلة الثانية تحمّل الأولى. والنتيجة الدقيقة هي $\underline H = 1/[1 - (\omega/\omega_c)^2 + 3j\omega/\omega_c]$ ، أي $-9.5\,\mathrm{dB}$ عند $\omega_c$ بدلًا من $-6\,\mathrm{dB}$ التي تعد بها قاعدة الجداء، وإن كان الاثنان يبلغان الميل نفسه $-40\,\mathrm{dB}/\mathrm{decade}$ في النهاية.

9.6 تمارين

تمرين 9.1 ★

حوّل إلى ديسيبل: الكسوب $0.5$ و $10$ و $1/\sqrt2$ و $100$ . وحوّل إلى نسب: $-40\,\mathrm{dB}$ و $+6\,\mathrm{dB}$ . ومرشّحان على التتالي (بلا تحميل) يعطيان $-6\,\mathrm{dB}$ و $-20\,\mathrm{dB}$ عند تواتر ما: فما الكسب الكلي؟

حل

حل التمرين 9.1.

$0.5 \to -6.0\,\mathrm{dB}$ ؛ و $10 \to 20\,\mathrm{dB}$ ؛ و $1/\sqrt2 \to -3.0\,\mathrm{dB}$ ؛ و $100 \to 40\,\mathrm{dB}$ . و $-40\,\mathrm{dB} \to 0.01$ ؛ و $+6\,\mathrm{dB} \to 2.0$ . وعلى التتالي: $-6 - 20 = -26\,\mathrm{dB}$ ، أي نسبة $0.05$ .

تمرين 9.2 ★

مرشّح RC تمرير منخفض، $R = 10\,\mathrm{k}\Omega$ و $C = 16\,\mathrm{nF}$ : أوجد تواتر القطع، والكسب بالديسيبل عند $100\,\mathrm{Hz}$ و $1\,\mathrm{kHz}$ و $10\,\mathrm{kHz}$ و $100\,\mathrm{kHz}$ .

حل

حل التمرين 9.2.

$f_c = 1/(2\pi RC) = 1/(2\pi \times 10^4 \times 1.6\times10^{-8}) = 1.0\,\mathrm{kHz}$ . والكسوب $-10\log(1 + (f/f_c)^2)$ : فعند $100\,\mathrm{Hz}$ : $-0.04\,\mathrm{dB}$ ؛ وعند $1\,\mathrm{kHz}$ : $-3\,\mathrm{dB}$ ؛ وعند $10\,\mathrm{kHz}$ : $-20\,\mathrm{dB}$ ؛ وعند $100\,\mathrm{kHz}$ : $-40\,\mathrm{dB}$ .

تمرين 9.3 ★

دون حساب، أعطِ طبيعة المرشّح (تمرير منخفض أو عالٍ أو نطاقي) في: (أ) $R$ على التسلسل و $C$ على طرفَي الخرج؛ (ب) $C$ على التسلسل و $R$ على طرفَي الخرج؛ (ج) $L$ على التسلسل و $C$ على طرفَي الخرج؛ (د) $L$ و $C$ على التسلسل و $R$ على طرفَي الخرج.

حل

حل التمرين 9.3.

(أ) تمرير منخفض ( $C$ يقصر الخرج عند $f$ العالي)؛ (ب) تمرير عالٍ ( $C$ ينفتح عند $f$ المنخفض)؛ (ج) تمرير منخفض من الرتبة الثانية ( $L$ ينفتح عند $f$ العالي و $C$ يقصر)؛ (د) تمرير نطاقي ( $C$ يحجب $f$ المنخفض و $L$ يحجب $f$ العالي).

تمرين 9.4 ★

موجة مربعة عند $1.0\,\mathrm{kHz}$ سعتها $5.0\,\mathrm{V}$ : أعطِ تواترات وسعات توافقياتها الثلاثة الأولى غير المعدومة. ولماذا لا توافقيات زوجية لها؟

حل

حل التمرين 9.4.

$4E/n\pi$ : أي $6.37\,\mathrm{V}$ عند $1\,\mathrm{kHz}$ ، و $2.12\,\mathrm{V}$ عند $3\,\mathrm{kHz}$ ، و $1.27\,\mathrm{V}$ عند $5\,\mathrm{kHz}$ . والموجة المربعة متناظرة تناظرًا مضادًّا بإزاحة نصف دور ( $s(t + T/2) = -s(t)$ )، وهو ما لا تحققه التوافقيات الزوجية.

تمرين 9.5 ★★

مرشّح CR تمرير عالٍ مقطوع عند $10\,\mathrm{kHz}$ يتلقى موجة مثلثية سعتها $1.0\,\mathrm{V}$ عند $100\,\mathrm{Hz}$ . فسّر لماذا يتصرف تصرّف دارة مشتقّة وأعطِ شكل الخرج وسعته.

حل

حل التمرين 9.5.

عند $100\,\mathrm{Hz}$ وتوافقياتها المفيدة يكون $\omega \ll \omega_c$ : ومنه $\underline H \approx j\omega/\omega_c$ ، أي مشتقّ مقسوم على $\omega_c$ . وميل المثلث $\pm 4Ef = \pm400\,\mathrm{V}/\mathrm{s}$ ، ومنه يكون الخرج موجة مربعة سعتها $400/(2\pi \times 10^4) = 6.4\,\mathrm{mV}$ .

تمرين 9.6 ★★

مرشّح RC تمرير منخفض مقطوع عند $10\,\mathrm{Hz}$ يتلقى موجة مربعة عند $1.0\,\mathrm{kHz}$ سعتها $\pm1.0\,\mathrm{V}$ . بيّن أن الخرج مثلث واحسب سعته.

حل

حل التمرين 9.6.

$\omega \gg \omega_c$ : ومنه $u_s \approx (1/\tau)\int u_e\,\dd t$ مع $\tau = 1/(2\pi \times 10) = 16\,\mathrm{ms}$ . وتكامل $\pm E$ مثلث يرتفع بمقدار $ET/2$ في كل نصف دور: فالمدى $ET/2\tau$ والسعة $ET/4\tau = 1.0 \times 10^{-3}/(4 \times 0.016) = 16\,\mathrm{mV}$ حول الصفر.

تمرين 9.7 ★★

مرشّح RLC تمرير منخفض على التسلسل مع $L = 10\,\mathrm{mH}$ و $C = 100\,\mathrm{nF}$ : أعطِ $f_0$ ؛ وأوجد $R$ التي تعطي الاستجابة المسطّحة إلى أقصى حدّ؛ وأعطِ الكسب بالديسيبل عند $f_0$ وعند $10f_0$ .

حل

حل التمرين 9.7.

$f_0 = 5.03\,\mathrm{kHz}$ . و $Q = \sqrt{L/C}/R = 1/\sqrt2$ : ومنه $R = \sqrt2 \times 316 = 447\,\Omega$ . وعند $f_0$ : $-3\,\mathrm{dB}$ ؛ وعند $10f_0$ : $1/\sqrt{1 + 10^4} \to -40\,\mathrm{dB}$ .

تمرين 9.8 ★★

مرشّح تمرير نطاقي ( $Q = 20$ ) مضبوط على $3.0\,\mathrm{kHz}$ يتلقى الموجة المربعة عند $1\,\mathrm{kHz}$ في التمرين 9.4. احسب الكسب عند $1$ و $3$ و $5\,\mathrm{kHz}$ ، وسعات خرج هذه التوافقيات؛ وصف الخرج.

حل

حل التمرين 9.8.

$G = 1/\sqrt{1 + Q^2(x - 1/x)^2}$ مع $x = f/3$ : فعند $1\,\mathrm{kHz}$ : $x = 1/3$ و $Q(x - 1/x) = -53$ و $G = 0.019$ ؛ وعند $3\,\mathrm{kHz}$ : $G = 1$ ؛ وعند $5\,\mathrm{kHz}$ : $x = 5/3$ و $21$ و $G = 0.047$ . والخرج: $2.1\,\mathrm{V}$ عند $3\,\mathrm{kHz}$ ، مع $0.12\,\mathrm{V}$ عند $1\,\mathrm{kHz}$ و $0.06\,\mathrm{V}$ عند $5\,\mathrm{kHz}$ — أي جيب شبه خالص عند $3\,\mathrm{kHz}$ .

تمرين 9.9 ★★

مرشّحا RC تمرير منخفض متماثلان ( $R = 1.0\,\mathrm{k}\Omega$ و $C = 159\,\mathrm{nF}$ ) على التتالي. احسب دالة النقل الدقيقة (فالثاني يحمّل الأول) والكسب عند $\omega_c = 1/RC$ ؛ وقارنه بجداء الكسبين المنفصلين.

حل

حل التمرين 9.9.

العقد: مع $a = jRC\omega$ ، يرى المكثف الأول $R$ قبله و $R + 1/jC\omega$ بعده: ومنه $\underline H = 1/(1 + 3a + a^2)$ ، أي $1/[1 - (\omega/\omega_c)^2 + 3j\omega/\omega_c]$ . وعند $\omega_c$ : $1/3j$ و $G = 1/3$ ، أي $-9.5\,\mathrm{dB}$ ؛ بينما جداء الكسبين المنفصلين $1/2$ ، أي $-6\,\mathrm{dB}$ . و $f_c = 1.0\,\mathrm{kHz}$ .

تمرين 9.10 ★★★

ارسم مقاربات بودي للدالة $\underline H = (1 + j\omega/\omega_1)/ (1 + j\omega/\omega_2)$ مع $\omega_1 = 100\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ و $\omega_2 = 1 \times 10^{4}\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ : الميول والزوايا والمستوى الأفقي عند التواترات العالية بالديسيبل، والطور عند $\sqrt{\omega_1\omega_2}$ .

حل

حل التمرين 9.10.

دون $\omega_1$ : $0\,\mathrm{dB}$ ؛ وبين $\omega_1$ و $\omega_2$ : ارتفاع $20\,\mathrm{dB}/\mathrm{decade}$ ؛ وفوق $\omega_2$ : مستوٍ عند $20\log(\omega_2/\omega_1) = 40\,\mathrm{dB}$ . والطور هو $\arctan(\omega/\omega_1) - \arctan(\omega/\omega_2)$ : فعند $\omega = 10^3$ يكون $\arctan 10 - \arctan 0.1 = 84^\circ - 6^\circ$ ، أي $78^\circ$ .

تمرين 9.11 ★★★

جيب مقوَّم تقويمًا كاملًا (تيار منزلي عند $50\,\mathrm{Hz}$ ) متوسطه $2E/\pi$ و توافقيه الأول عند $100\,\mathrm{Hz}$ سعته $4E/3\pi$ . ويجب على مرشّح RC تمرير منخفض أن يخفض تموّج $100\,\mathrm{Hz}$ دون $1\%$ من المتوسط: أوجد تواتر القطع اللازم وثابت الزمن. ولماذا يكون المكثف وحده (مع مقاومة الحمولة) هو الخيار المعتاد؟

حل

حل التمرين 9.11.

فوق تواتر القطع بكثير يكون $G \approx f_c/f$ ؛ ونسبة التموّج بعد الترشيح هي

\frac{(4E/3\pi)(f_c/100)}{2E/\pi} = \frac{2}{3}\,\frac{f_c}{100} < 0.01,

ومنه $f_c < 1.5\,\mathrm{Hz}$ و $\tau = 1/2\pi f_c > 0.1\,\mathrm{s}$ . والحمولة نفسها هي $R$ : فمكثف على طرفيها لا يكلّف شيئًا في هبوط التوتر ولا في الاستطاعة، بينما تهدر ناقلة على التسلسل الاثنين معًا.

تمرين 9.12 ★★★

الاقتران المتناوب في راسم اهتزاز مرشّح تمرير عالٍ مع $C = 0.10\,\text{µ}\mathrm{F}$ و $R = 160\,\mathrm{k}\Omega$ . احسب $f_c$ . ثم تُطبَّق موجة مربعة: بيّن أن كل قمة مسطّحة تصير أسّيًّا متناقصًا واحسب التهدّل (أي الكسر الضائع على نصف دور) عند $50\,\mathrm{Hz}$ وعند $1\,\mathrm{kHz}$ .

حل

حل التمرين 9.12.

$f_c = 1/(2\pi RC) = 1/(2\pi \times 1.6\times10^5 \times 10^{-7}) = 10\,\mathrm{Hz}$ و $\tau = RC = 16\,\mathrm{ms}$ . وخلال قمة مسطّحة يُشحن المكثف عبر $R$ : فيتناقص الخرج بالعامل $\eu^{-t/\tau}$ من كل حافة. والتهدّل على $T/2$ هو $1 - \eu^{-T/2\tau}$ : فعند $50\,\mathrm{Hz}$ (حيث $T/2 = 10\,\mathrm{ms}$ ): $1 - \eu^{-0.63} = 47\%$ ؛ وعند $1\,\mathrm{kHz}$ (حيث $T/2 = 0.5\,\mathrm{ms}$ ): $3\%$ .

داخل مكبّر صوت ثنائي الطريق: وشائع شبكة الفصل ومكثفاتها هي مرشّحا التمرير المنخفض والتمرير العالي اللذان يرسلان الجهير إلى المجهار الجهيري والحدّة إلى المجهار الحادّ.

9.7 مسألة: شبكة الفصل في مكبّر الصوت

مسألة 9.1

مسألة نهاية الأسبوع — مجهار جهيري ومجهار حادّ ووشيعة و مكثف: كيف تقسم شبكة فصل سلبية الموسيقى، ولماذا تسرّب أبسطها الجهير إلى المجهار الحادّ، وماذا تفعل وشيعة صوت حقيقية في التصميم

يُنمذَج المجهار الجهيري والمجهار الحادّ أولًا بمقاومتين خالصتين $R = 8.0\,\Omega$ . والمضخّم منبع توتر مثالي $\underline U_e$ . وتواتر الفصل $f_c = 2.0\,\mathrm{kHz}$ .

الجزء I — شبكة فصل من الرتبة الأولى. يُغذَّى المجهار الجهيري عبر وشيعة $L$ على التسلسل، ويُغذَّى المجهار الحادّ عبر مكثف $C$ على التسلسل.

عرّف دالة النقل لكل فرع (التوتر على طرفَي المجهار على $\underline U_e$ ) والكسب بالديسيبل.
بيّن أن فرع المجهار الجهيري مرشّح تمرير منخفض من الرتبة الأولى وأعطِ تواتر قطعه $\omega_c$ بدلالة $R$ و $L$ .
احسب $L$ من أجل $f_c = 2.0\,\mathrm{kHz}$ .
بيّن أن فرع المجهار الحادّ مرشّح تمرير عالٍ من الرتبة الأولى؛ وأعطِ $\omega_c$ واحسب $C$ .
أعطِ كسب كل مجهار بالديسيبل عند $f_c$ وعند $200\,\mathrm{Hz}$ وعند $20\,\mathrm{kHz}$ .
بيّن أن $G_L^2 + G_H^2 = 1$ عند كل تواتر. وماذا يعني ذلك بالنسبة إلى الاستطاعة المسحوبة من المضخّم؟
أعطِ طور كل فرع عند $f_c$ ؛ وبأيّ مقدار يختلف توترا المجهارين في الطور هناك؟
ما ميلا الاستجابتين، بالديسيبل لكل أوكتاف، بعيدًا عن $f_c$ ؟

الجزء II — شبكة فصل من الرتبة الثانية. يُغذَّى المجهار الجهيري الآن عبر وشيعة $L$ على التسلسل مع مكثف $C$ على التفرع مع المجهار.

بيّن أن $\underline H = 1/(1 - LC\omega^2 + jL\omega/R)$ .
عيّن $\omega_0$ و $Q$ بدلالة $L$ و $C$ و $R$ .
من أجل $Q = 1/\sqrt2$ بيّن أن $G = 1/\sqrt{1 + (\omega/\omega_0)^4}$ وأن الكسب $-3\,\mathrm{dB}$ عند $\omega_0$ .
احسب $L$ و $C$ من أجل $f_0 = 2.0\,\mathrm{kHz}$ و $Q = 1/\sqrt2$ .
احسب الكسب بالديسيبل عند $4\,\mathrm{kHz}$ و $8\,\mathrm{kHz}$ ؛ واستنتج الميل بالديسيبل لكل أوكتاف.
يبادل فرع المجهار الحادّ دورَي $L$ و $C$ ( $C$ على التسلسل و $L$ على التفرع): اكتب دالة نقله دون حساب جديد.
احسب طور كل فرع عند $f_0$ . وما الذي يجب فعله في توصيل المجهار الحادّ، ولماذا؟

الجزء III — الموسيقى عبر شبكة الفصل.

نغمة تشيلو عند $220\,\mathrm{Hz}$ تحمل توافقيات حتى التوافقي العشرين. فأيّ التوافقيات تذهب في معظمها إلى المجهار الحادّ مع شبكة الفصل من الرتبة الأولى؟
وماذا يحدث للتوافقي التاسع؟
تُستعمل موجة مربعة عند $1.0\,\mathrm{kHz}$ إشارةَ اختبار. ومع شبكة الفصل من الرتبة الأولى، أعطِ كسب كل فرع من أجل أساسيها وتوافقيها الثالث والخامس.
يطوّر المضخّم بالخطأ إزاحة مستمرة قدرها $1\,\mathrm{V}$ . فأيّ مجهار محمي، وبأيّ شيء؟
مع شبكة الفصل من الرتبة الأولى، أيّ كسر من توتر نغمة عند $500\,\mathrm{Hz}$ ومن استطاعتها يبلغ المجهار الحادّ؟ والمثل مع الرتبة الثانية. ولماذا يهمّ ذلك في بقاء المجهار الحادّ؟

الجزء IV — وشيعة صوت حقيقية. المجهار الجهيري هو في الواقع $R = 8.0\,\Omega$ على التسلسل مع تحريضية وشيعة صوت $L_{vc} = 0.50\,\mathrm{mH}$ .

احسب ممانعة المجهار الجهيري (المقياس) عند $2\,\mathrm{kHz}$ وعند $8\,\mathrm{kHz}$ .
أعد حساب كسب المجهار الجهيري من الرتبة الأولى عند $2\,\mathrm{kHz}$ و $8\,\mathrm{kHz}$ بهذه الممانعة، وقارنه بالقيمتين المثاليتين $-3\,\mathrm{dB}$ و $-12.3\,\mathrm{dB}$ . وماذا حدث للانحدار؟
تُوصل “شبكة زوبل” — $R_z = R$ على التسلسل مع $C_z = L_{vc}/R^2$ — على التفرع مع المجهار الجهيري. بيّن أن التجميعة تتصرف تصرّف مقاومة خالصة $R$ عند كل التواترات، واحسب $C_z$ .
يقدّم المضخّم $50\,\mathrm{W}$ في $8\,\Omega$ : فأيّ توتر فعّال هذا، وأيّ استطاعة يتلقاها كل مجهار عند $f_c$ (مع شبكة الفصل من الرتبة الأولى)؟ وعند $500\,\mathrm{Hz}$ ، كم يبلغ المجهار الحادّ؟
لخّص المقايضات: الميل والطور وعدد العناصر وحماية المجهار الحادّ والحاجة إلى شبكة زوبل.

حل

حل المسألة 9.1.

1. $\underline H = \underline U_{\text{المجهار}}/\underline U_e$ ؛ و $G_{\mathrm{dB}} = 20\log\abs{\underline H}$ .

2. $\underline H_L = R/(R + jL\omega) = 1/(1 + j\omega/\omega_c)$ مع $\omega_c = R/L$ .

3. $L = R/\omega_c = 8.0/(2\pi \times 2000) = 0.64\,\mathrm{mH}$ .

4. $\underline H_H = R/(R + 1/jC\omega) = jRC\omega/(1 + jRC\omega)$ مع $\omega_c = 1/RC$ ؛ ومنه $C = 1/(R\omega_c) = 9.9\,\text{µ}\mathrm{F} \approx 10\,\text{µ}\mathrm{F}$ .

5. عند $f_c$ : $-3\,\mathrm{dB}$ لكلٍّ منهما. وعند $200\,\mathrm{Hz}$ (حيث $x = 0.1$ ): المجهار الجهيري $-0.04\,\mathrm{dB}$ والمجهار الحادّ $-20\,\mathrm{dB}$ . وعند $20\,\mathrm{kHz}$ (حيث $x = 10$ ): المجهار الجهيري $-20\,\mathrm{dB}$ والمجهار الحادّ $-0.04\,\mathrm{dB}$ .

6. $G_L^2 + G_H^2 = (1 + x^2)/(1 + x^2) = 1$ : فمع حمولتين متساويتين تتجمّع الاستطاعتان لتساويا ما كان سيأخذه مجهار واحد $8\,\Omega$ — أي مقتسَمة لا ضائعة.

7. $-45^\circ$ (المجهار الجهيري) و $+45^\circ$ (المجهار الحادّ): أي $90^\circ$ بينهما؛ فعند $f_c$ لا يتحرك المخروطان معًا.

8. $\pm 6\,\mathrm{dB}$ لكل أوكتاف (أي $20\,\mathrm{dB}$ لكل عقد).

9. مجزّئ بين $jL\omega$ و $R \parallel 1/jC\omega = R/(1 + jRC\omega)$ : ومنه $\underline H = R/[R + jL\omega(1 + jRC\omega)] = 1/(1 - LC\omega^2 + jL\omega/R)$ .

10. $\omega_0 = 1/\sqrt{LC}$ ؛ و $L\omega/R = x/Q$ يعطي $Q = R/L\omega_0 = R\sqrt{C/L}$ .

11. $\abs{\underline H}^{-2} = (1 - x^2)^2 + x^2/Q^2 = 1 + x^4 + x^2(1/Q^2 - 2) = 1 + x^4$ من أجل $Q^2 = \tfrac12$ ؛ وعند $x = 1$ يكون $G = 1/\sqrt2$ .

12. $L = R/(Q\omega_0) = 8\sqrt2/(1.257\times10^4) = 0.90\,\mathrm{mH}$ ؛ و $C = 1/(L\omega_0^2) = 7.0\,\text{µ}\mathrm{F}$ .

13. من أجل $x = 2$ : $1/\sqrt{17}$ ، أي $-12.3\,\mathrm{dB}$ ؛ ومن أجل $x = 4$ : $1/\sqrt{257}$ ، أي $-24.1\,\mathrm{dB}$ : أي $12\,\mathrm{dB}$ لكل أوكتاف.

14. تبادل $L$ و $C$ يبادل $x \leftrightarrow 1/x$ (ويبقى $Q$ ): ومنه $\underline H_H = -x^2/(1 - x^2 + jx/Q)$ .

15. عند $x = 1$ : $\underline H_L = Q/j = -jQ$ (أي $-90^\circ$ )، و $\underline H_H = jQ$ (أي $+90^\circ$ ): فالمجهاران في تعاكس طور عند تواتر الفصل وكانا سيتلاشيان صوتيًّا؛ ولذلك يُوصَّل المجهار الحادّ بقطبية معكوسة.

16. التوافقيات فوق $2\,\mathrm{kHz}$ : أي $n \geq 10$ (من $2.2\,\mathrm{kHz}$ فصاعدًا) تذهب في معظمها إلى المجهار الحادّ.

17. $9 \times 220 = 1980\,\mathrm{Hz} \approx f_c$ : فيُقسم بالتساوي، أي $-3\,\mathrm{dB}$ لكلٍّ منهما.

18. المجهار الجهيري ( $G_L$ ): من أجل $x = 0.5$ : $0.89$ ؛ ومن أجل $x = 1.5$ : $0.55$ ؛ ومن أجل $x = 2.5$ : $0.37$ . والمجهار الحادّ ( $G_H$ ): $0.45$ و $0.83$ و $0.93$ .

19. المجهار الحادّ: فمكثفه المتسلسل يحجب التيار المستمر. أما المجهار الجهيري فيأخذ الإزاحة ( $1\,\mathrm{V}$ على $8\,\Omega$ : أي $125\,\mathrm{mA}$ و $0.125\,\mathrm{W}$ حرارةً ومخروطًا منزاحًا).

20. في الرتبة الأولى، من أجل $x = 0.25$ : $G_H = 0.25/\sqrt{1.0625} = 0.24$ (أي $-12\,\mathrm{dB}$ )، وكسر الاستطاعة $6\%$ . وفي الرتبة الثانية: $0.0625/\sqrt{1 + 0.0039} = 0.06$ (أي $-24\,\mathrm{dB}$ )، و $0.4\%$ . فالمجهار الحادّ المقنَّن ببضعة واطات يتلقى $6\%$ من نغمة جهير عالية في تصميم الرتبة الأولى — وقد يحترق.

21. $\underline Z = 8 + jL_{vc}\omega$ : فعند $2\,\mathrm{kHz}$ : $8 + 6.3j$ و $\abs{\underline Z} = 10.2\,\Omega$ ؛ وعند $8\,\mathrm{kHz}$ : $8 + 25.1j$ و $26.3\,\Omega$ .

22. $\underline H = \underline Z/(\underline Z + jL\omega)$ : فعند $2\,\mathrm{kHz}$ : $10.2/\abs{8 + 14.3j} = 10.2/16.4 = 0.62$ (أي $-4.2\,\mathrm{dB}$ )؛ وعند $8\,\mathrm{kHz}$ : $26.3/\abs{8 + 57.3j} = 0.45$ (أي $-6.9\,\mathrm{dB}$ ) بدلًا من $-12.3\,\mathrm{dB}$ : فممانعة الوشيعة المتزايدة تقاوم الوشيعة المتسلسلة، و يتسطّح الانحدار إلى بضعة ديسيبلات لكل أوكتاف.

23. المسايرات: $1/(R + jL_{vc}\omega) + jC_z\omega/(1 + jRC_z\omega)$ ؛ ومع $C_z = L_{vc}/R^2$ يكون الحدّ الثاني $jL_{vc}\omega/[R(R + jL_{vc}\omega)]$ ، والمجموع $(R + jL_{vc}\omega)/[R(R + jL_{vc}\omega)] = 1/R$ . و $C_z = 0.50\times10^{-3}/64 = 7.8\,\text{µ}\mathrm{F}$ .

24. $U = \sqrt{PR} = \sqrt{400} = 20\,\mathrm{V}$ فعّالة. وعند $f_c$ يأخذ كل مجهار النصف: أي $25\,\mathrm{W}$ . وعند $500\,\mathrm{Hz}$ يأخذ المجهار الحادّ $6\%$ : أي $3\,\mathrm{W}$ .

25. الرتبة الأولى: عنصران، متتامّان في الاستطاعة، وميلان لطيفان $6\,\mathrm{dB}/\mathrm{oct}$ ، و $90^\circ$ بين المجهارين، وتسرّب الجهير إلى المجهار الحادّ. والرتبة الثانية: أربعة عناصر، و $12\,\mathrm{dB}/\mathrm{oct}$ ، و $180^\circ$ عند تواتر الفصل (فيُقلب المجهار الحادّ)، وحماية أفضل بكثير للمجهار الحادّ. وفي الحالتين معًا يجب ترويض تحريضية المجهار الجهيري بشبكة زوبل كي يصحّ التصميم.

المصطلحات المعرَّفة في هذا الفصل

عرض كل المصطلحات (393) في المسرد