الفيزياء الجامعية — السنة الأولى · Bachelor Year 1

19جمل النقاط؛ مدخل إلى الأجسام الصلبة

تغادر غاطسة اللوح، فتتكوّر وتشقلب مرتين ثم تستقيم؛ وخلال ذلك كله ترسم نقطة واحدة من جسمها — مركز كتلتها — القطعَ المكافئ البسيط نفسه الذي يرسمه حجر. ويستغرق يويو يُسقط من اليد ثلاثة أضعاف الزمن ليبلغ طرف خيطه مقارنةً بحجر، ويصل دائرًا بألفَي دورة في الدقيقة. وتسبق كرة مصمتة كرةً مجوّفة على أيّ منحدر، أيًّا كانت أبعادهما أو كتلتاهما. وميكانيك النقطة الواحدة، الذي حُمل عبر الفصول السابقة، يمتدّ إلى جمل من نقاط كثيرة — وإلى الأجسام الصلبة في الحياة اليومية — عبر حفنة من المبرهنات: فمركز الكتلة يتحرك كنقطة، وتنقسم الطاقة والعزم الحركي إلى جزء لمركز الكتلة وجزء “حوله”، والجسم الدائر حول محور ثابت جملة ذات درجة حرية واحدة يحكمها عزم عطالته.

19.1 مركز الكتلة وكمية الحركة

تعريف 19.1 (مركز الكتلة؛ كمية حركة جملة)

من أجل جسيمات كتلها $m_i$ في النقاط $M_i$ ، وكتلتها الكلية $M = \sum m_i$ ، يُعرَّف مركز الكتلة (أو المرجَّح) $G$ بالعلاقة

\sum_i m_i\,\vect{GM_i} = \vect 0, \qquad\text{أي}\qquad \vect{OG} = \frac{1}{M}\sum_i m_i\,\vect{OM_i}

من أجل أيّ مبدأ $O$ . وكمية حركة الجملة هي $\vect P = \sum_i m_i\vect v_i = M\vect v_G$ .

مبرهنة 19.2 (مبرهنة مركز الكتلة)

في مرجع عطالي،

M\,\vect a_G = \frac{\dd\vect P}{\dd t} = \sum\vect F_{\mathrm{ext}} :

أي إن مركز الكتلة يتحرك كجسيم نقطي كتلته $M$ يخضع لمحصلة القوى الخارجية وحدها. وفي جملة مغلقة بلا قوة خارجية، تنحفظ $\vect P$ ويتحرك $G$ حركة منتظمة.

برهان. اجمع قانون نيوتن الثاني على الجسيمات؛ فتتلاشى القوى الداخلية في ثنائيات الفعل ورد الفعل؛ و $\sum m_i\vect a_i = M\vect a_G$ باشتقاق تعريف $G$ مرتين. ∎

مثال 19.3 (الغاطسة، والارتداد، والتصادم)

يتبع $G$ الغاطسة قطعًا مكافئًا تحت وزنها وحده، مهما التوت — فعضلاتها قوى داخلية. وبندقية كتلتها $4.0\,\mathrm{kg}$ تطلق رصاصة كتلتها $10\,\mathrm{g}$ بسرعة $800\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ : تكون $\vect P = \vect 0$ قبل وبعد، فترتدّ البندقية بسرعة $2.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . وسيارتان، إحداهما $1000\,\mathrm{kg}$ عند $20\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ والأخرى $1500\,\mathrm{kg}$ ساكنة، تلتحمان: $v = 20000/2500 = 8.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ — فتنحفظ كمية الحركة، بينما ذهب $60\%$ من الطاقة الحركية إلى معدن متجعّد وحرارة. وكمية الحركة تنحفظ في كل تصادم؛ أما الطاقة الحركية فلا تنحفظ إلا في التصادمات المرنة (التمرين 19.12).

19.2 مبرهنتا كونيغ

تعريف 19.4 (المرجع المرجَّحي)

المرجع المرجَّحي $\mathcal R^*$ مبدؤه $G$ وهو في انسحاب بالنسبة إلى المرجع العطالي $\mathcal R$ (فمحاوره تحافظ على اتجاهات ثابتة). وتُوسم المقادير المقيسة فيه بنجمة: $\vect v_i^* = \vect v_i - \vect v_G$ ، مع $\sum m_i\vect v_i^* = \vect 0$ .

مبرهنة 19.5 (مبرهنتا كونيغ)

ينقسم العزم الحركي حول نقطة $O$ والطاقة الحركية لجملة إلى إسهام مركز كتلتها، حاملًا الكتلة كلها، والإسهامات في المرجع المرجَّحي:

\vect L_O = \vect{OG}\wedge M\vect v_G + \vect L^*, \qquad E_k = \tfrac12 Mv_G^2 + E_k^*,

حيث $\vect L^* = \sum\vect{GM_i}\wedge m_i\vect v_i^*$ و $E_k^* = \sum\tfrac12 m_iv_i^{*2}$ لا يتوقفان على مبدأ المرجع.

برهان. $\vect{OM_i} = \vect{OG} + \vect{GM_i}$ و $\vect v_i = \vect v_G + \vect v_i^*$ ؛ انشر $\sum\vect{OM_i}\wedge m_i\vect v_i$ و $\sum\tfrac12 m_iv_i^2$ : فالحدود المتقاطعة تتضمن $\sum m_i\vect{GM_i} = \vect 0$ أو $\sum m_i\vect v_i^* = \vect 0$ وتتلاشى. ∎

مثال 19.6 (عجلة تتدحرج)

عجلة كتلتها $M$ ونصف قطرها $R$ وعزم عطالتها $J$ حول محورها، تتدحرج دون انزلاق بالسرعة $v$ : تكون نقطة التماسّ ساكنة، ومنه $\omega = v/R$ و $E_k = \tfrac12 Mv^2 + \tfrac12 J\omega^2 = \tfrac12 Mv^2(1 + J/MR^2)$ — أي ثلاثة أرباع $Mv^2$ من أجل قرص منتظم ( $J = \tfrac12 MR^2$ )، و $Mv^2$ من أجل طوق. والحدّ الثاني هو سبب صنع عجلات الدراجة خفيفةً: فدورانها يكلّف طاقة لا تكلّفها كتلة الهيكل.

19.3 مسألة الجسمين

قضية 19.7 (الكتلة المختزلة)

جسيمان لا يتآثران إلا أحدهما مع الآخر (بالقوة $\vect F$ على $m_2$ من $m_1$ ، و $-\vect F$ على $m_1$ ): يتحرك $G$ حركة منتظمة، ويحقق الموضع النسبي $\vect r = \vect{M_1M_2}$ العلاقة

\mu\,\frac{\dd^2\vect r}{\dd t^2} = \vect F, \qquad \mu = \frac{m_1m_2}{m_1 + m_2},

وهي معادلة جسيم وهمي واحد كتلته المختزلة $\mu$ يتحرك تحت $\vect F$ حول مركز ثابت. وفي $\mathcal R^*$ يكون $E_k^* = \tfrac12\mu\dot{\vect r}^2$ و $\vect L^* = \vect r\wedge\mu\dot{\vect r}$ .

برهان. $\ddot{\vect r} = \vect a_2 - \vect a_1 = \vect F/m_2 + \vect F/m_1 = \vect F(m_1 + m_2)/m_1m_2$ . وفي $\mathcal R^*$ ، $\vect{GM_2} = m_1\vect r/(m_1 + m_2)$ و $\vect{GM_1} = -m_2\vect r/(m_1 + m_2)$ ؛ ثم عوّض في $E_k^*$ و $\vect L^*$ . ∎

مثال 19.8 (حين يتحرك المركز هو أيضًا)

في الفصل 16 كانت الشمس ثابتة: وهو دقيق في الحالة الحدية $m \ll M$ فقط؛ وفي العام يُقرأ قانون كبلر الثالث $T^2 = 4\pi^2a^3/G(M + m)$ . ومن أجل جزيء كلوريد الهدروجين المهتزّ في المسألة 13.1، تكون الكتلة التي تهتزّ في البئر $\mu = m_Hm_{Cl}/(m_H + m_{Cl}) = 0.972\,m_H$ ، وهي ترفع التواتر بنسبة $1.4\%$ ؛ ومن أجل ذرة الهدروجين تختلف $\mu$ للإلكترون عن $m_e$ بجزء من $1836$ — وهو قابل للقياس في الطيف.

19.4 جسم صلب يدور حول محور ثابت

تعريف 19.9 (الجسم الصلب؛ الدوران حول محور ثابت)

الجسم الصلب جملة تحافظ نقاطها على أبعاد متبادلة ثابتة. وإذا دار حول محور $\Delta$ ثابت في المرجع، وصف كل نقطة دائرة مركزها على $\Delta$ بالسرعة الزاوية نفسها $\omega = \dot\theta$ ؛ ولنقطة تبعد $r_i$ عن المحور السرعة $r_i\omega$ .

قضية 19.10 (عزم العطالة؛ العزم الحركي؛ الطاقة الحركية)

مع عزم العطالة $J_\Delta = \sum m_ir_i^2$ (وهو تكامل $\int r^2\,\dd m$ من أجل جسم متصل):

L_\Delta = J_\Delta\,\omega, \qquad E_k = \tfrac12 J_\Delta\omega^2 .

والقيم المعيارية (بالكتلة $M$ ): حلقة رفيعة أو أسطوانة مجوّفة حول محورها، $MR^2$ ؛ وقرص منتظم أو أسطوانة مصمتة، $\tfrac12 MR^2$ ؛ وقضيب رفيع طوله $L$ حول مركزه، $\tfrac{1}{12}ML^2$ ، وحول أحد طرفيه، $\tfrac13 ML^2$ ؛ وكرة مصمتة حول قطر، $\tfrac25 MR^2$ . ومبرهنة هويغنس: حول محور $\Delta$ مواز لمحور $\Delta_G$ يمرّ بالنقطة $G$ على بعد $d$ ، يكون $J_\Delta = J_{\Delta_G} + Md^2$ .

برهان. أما $L_\Delta$ و $E_k$ فمن القضية 15.9. وللقضيب حول طرفه نجد أن $\int_0^L x^2(M/L)\,\dd x = ML^2/3$ ؛ وحول مركزه نجد أن $\int_{-L/2}^{L/2} x^2(M/L)\dd x = ML^2/12$ . أما القرص: فحلقة نصف قطرها $r$ وعرضها $\dd r$ وكتلتها $(2Mr/R^2)\dd r$ : $\int_0^R r^2(2Mr/R^2)\dd r = MR^2/2$ ؛ أما الحلقة والكرة فمقبولتان (إذ تحتاج الكرة إلى تكامل مضاعف). ولهويغنس: مع $r_i^2 = \abs{\vect{GM_i}_\perp + \vect d}^2$ ، أي $r_{G,i}^2 + d^2 + 2\vect d\cdot \vect{GM_i}_\perp$ ، يُجمع الحدّ المتقاطع إلى صفر بتعريف $G$ . ∎

يسارًا: عزم عطالة قرص، مجموعًا حلقةً حلقةً. ويمينًا: مبرهنة هويغنس — حول محور يمرّ بحافة قرص، مواز للمحور المارّ بمركزه، يكون J = 1/2 MR2 + MR2. — يسارًا: عزم عطالة قرص، مجموعًا حلقةً حلقةً. ويمينًا: مبرهنة هويغنس — حول محور يمرّ بحافة قرص، مواز للمحور المارّ بمركزه، يكون $J = \tfrac12 MR^2 + MR^2$ .

مبرهنة 19.11 (ديناميك جسم صلب حول محور ثابت)

من أجل جسم صلب يدور حول محور ثابت $\Delta$ في مرجع عطالي،

J_\Delta\,\ddot\theta = \sum\mathcal M_\Delta(\vect F_{\mathrm{ext}}), \qquad \frac{\dd}{\dd t}\Big(\tfrac12 J_\Delta\dot\theta^2\Big) = \sum\mathcal M_\Delta(\vect F_{\mathrm{ext}})\,\dot\theta :

أي إن عزوم القوى الخارجية حول المحور تقود التسارع الزاوي، وعزم $\mathcal M_\Delta$ يقدّم الاستطاعة $\mathcal M_\Delta\omega$ . أما المفصل المثالي (وهو محمل بلا احتكاك) فلا يؤثر بأيّ عزم حول محوره، فلا يسرّع الدوران ولا يكبحه.

برهان. المبرهنة 15.8 مسقطة على $\Delta$ ، مع $L_\Delta = J_\Delta\dot\theta$ و $J_\Delta$ ثابت من أجل جسم صلب؛ ثم اضرب في $\dot\theta$ من أجل الصيغة الطاقية (فالقوى الداخلية لجسم صلب لا تبذل شغلًا: إذ لا تتغير الأبعاد). ∎

مثال 19.12 (البندول المركّب؛ بندول الفتل)

جسم صلب كتلته $M$ يدور حول محور أفقي على بعد $d$ من $G$ : عزم الوزن هو $-Mgd\sin\theta$ ، ومنه $J_\Delta\ddot\theta = -Mgd\sin\theta$ ، وللتأرجحات الصغيرة الدور

T = 2\pi\sqrt{\frac{J_\Delta}{Mgd}} ,

وهو دور بندول بسيط طوله $J_\Delta/Md$ — ومن أجل قضيب منتظم مفصَّل عند أحد طرفيه، $2L/3$ . وقرص معلّق بسلك ثابت فتله $C$ (وعزمه المعيد $-C\theta$ ): $J\ddot\theta = -C\theta$ و $T = 2\pi\sqrt{J/C}$ — وهو ميزان الفتل الذي قاس $G$ وقانون كولون.

ثلاثة أجسام صلبة في حركة: بندول مركّب يتأرجح حول مفصل (بعزم الوزن حول المحور)، وبندول فتل (بعزم السلك)، وجسم صلب يتدحرج دون انزلاق على منحدر — وكلما كبر J/MR2 تدحرج أبطأ. — ثلاثة أجسام صلبة في حركة: بندول مركّب يتأرجح حول مفصل (بعزم الوزن حول المحور)، وبندول فتل (بعزم السلك)، وجسم صلب يتدحرج دون انزلاق على منحدر — وكلما كبر $J/MR^2$ تدحرج أبطأ.

قضية 19.13 (التدحرج دون انزلاق على منحدر)

جسم صلب دوراني ( $J = kMR^2$ حول محوره) يُطلق على منحدر زاويته $\alpha$ يتدحرج دون انزلاق بالتسارع

a = \frac{g\sin\alpha}{1 + k} :

أي $\tfrac57 g\sin\alpha$ من أجل كرة مصمتة، و $\tfrac23 g\sin\alpha$ من أجل قرص، و $\tfrac12 g\sin\alpha$ من أجل طوق — مستقلًّا عن الكتلة ونصف القطر.

برهان. بالطاقة: $Mgh = \tfrac12 Mv^2(1 + k)$ على امتداد المنحدر (فالاحتكاك السكوني عند نقطة التماسّ الساكنة لا يبذل شغلًا)، ومنه $v^2 = 2ah$ مع $a$ كما ذُكر؛ أو بقانون نيوتن من أجل $G$ ومبرهنة العزوم حول $G$ مع الاحتكاك $f$ : $Ma = Mg\sin\alpha - f$ و $kMR^2\dot\omega = fR$ و $a = R\dot\omega$ . ∎

ملاحظة 19.14 (الجمل القابلة للتشوّه)

من أجل جملة غير صلبة، تُقرأ مبرهنة الطاقة الحركية $\Delta E_k = W_{\mathrm{ext}} + W_{\mathrm{int}}$ : فالقوى الداخلية تبذل شغلًا (كالعضلات والنوابض والاحتكاك داخل الجملة). فالمتزلجة التي تضمّ ذراعيها، والغاطسة التي تتكوّر، والدراج الواقف على الدوّاستين، يكسبون كلهم طاقة حركية بلا شغل خارجي — فمبرهنة مركز الكتلة تبقى صحيحة، والطاقة تأتي من الداخل.

19.5 تمارين

تمرين 19.1 ★

كتلتان $2.0\,\mathrm{kg}$ عند $x = 0$ و $3.0\,\mathrm{kg}$ عند $x = 1.0\,\mathrm{m}$ : أوجد موضع $G$ . وفي جملة الأرض–القمر (بالنسبة $81:1$ ، و $384\,000\,\mathrm{km}$ ): أوجد بعد $G$ عن مركز الأرض؛ وقارنه بنصف قطر الأرض.

حل

حل التمرين 19.1.

$x_G = (2.0 \times 0 + 3.0 \times 1.0)/5.0 = 0.60\,\mathrm{m}$ . وللأرض–القمر: $384000/82 = 4700\,\mathrm{km}$ من مركز الأرض، أي داخل الأرض ( $6370\,\mathrm{km}$ ): فتترنّح الأرض حول نقطة تقع $1700\,\mathrm{km}$ تحت سطحها.

تمرين 19.2 ★

تطلق بندقية كتلتها $4.0\,\mathrm{kg}$ رصاصة كتلتها $10\,\mathrm{g}$ بسرعة $800\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . احسب سرعة الارتداد؛ والطاقتين الحركيتين للرصاصة والبندقية؛ ومن أين أتت الطاقة؟

حل

حل التمرين 19.2.

$4.0v = 0.010 \times 800$ : ومنه $v = 2.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . وللرصاصة $\tfrac12 \times 0.010 \times 800^2 = 3.2\,\mathrm{kJ}$ ، وللبندقية $8\,\mathrm{J}$ : من الطاقة الكيميائية للبارود؛ ويأخذ الجسم الخفيف كل ذلك تقريبًا (إذ $E_k = p^2/2m$ مع $p$ متساوية).

تمرين 19.3 ★

تصطدم سيارة كتلتها $1000\,\mathrm{kg}$ بسرعة $20\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ بسيارة كتلتها $1500\,\mathrm{kg}$ ساكنة؛ فتلتحمان. احسب السرعة المشتركة؛ ونسبة الطاقة الحركية الضائعة.

حل

حل التمرين 19.3.

$v = 20000/2500 = 8.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ؛ و $E_k$ : أي $200\,\mathrm{kJ}$ قبل، و $\tfrac12 \times 2500 \times 64 = 80\,\mathrm{kJ}$ بعد: أي $60\%$ ضاعت.

تمرين 19.4 ★

اشتقّ عزم عطالة قضيب منتظم كتلته $M$ وطوله $L$ ، حول محور عمودي يمرّ بأحد طرفيه، ثم حول مركزه؛ وتحقق من مبرهنة هويغنس بينهما.

حل

حل التمرين 19.4.

عند الطرف: $\int_0^L x^2(M/L)\dd x = ML^2/3$ ؛ وعند المركز: $\int_{-L/2}^{L/2}x^2(M/L) \dd x = ML^2/12$ ؛ وبهويغنس مع $d = L/2$ : $ML^2/12 + ML^2/4 = ML^2/3$ .

تمرين 19.5 ★★

احسب الطاقة الحركية لأسطوانة منتظمة تتدحرج ولطوق يتدحرج لهما الكتلة والسرعة نفساهما، كأمثال $\tfrac12 Mv^2$ . وأيّهما يتوقف أولًا على أرضية مستوية خشنة، وأيّهما يصعد أعلى على منحدر؟

حل

حل التمرين 19.5.

$E_k = \tfrac12 Mv^2(1 + k)$ : فالأسطوانة $1.5$ والطوق $2$ مرة $\tfrac12 Mv^2$ . وبالسرعة نفسها، للطوق طاقة أكبر: فيتدحرج أبعد على أرضية مستوية (بالاحتكاك نفسه) ويصعد أعلى (إذ $h = v^2(1 + k)/2g$ ).

تمرين 19.6 ★★

احسب الكتلة المختزلة لكلوريد الهدروجين ( $m_{Cl} = 35m_H$ ) ولذرة الهدروجين ( $m_p = 1836m_e$ )؛ والتصحيح النسبي لتواتر اهتزاز أو تواتر مداري محسوب بالكتلة الخفيفة وحدها.

حل

حل التمرين 19.6.

لكلوريد الهدروجين: $\mu = 35m_H/36 = 0.972m_H$ ؛ وللذرة: $\mu = m_e/(1 + 1/1836) = 0.99946m_e$ . والتواترات $\propto 1/\sqrt\mu$ : أي $+1.4\%$ لكلوريد الهدروجين، و $+0.027\%$ للهدروجين (وعليه يقوم الانزياح النظيري بين طيفَي الهدروجين والديوتريوم).

تمرين 19.7 ★★

قضيب منتظم طوله $1.0\,\mathrm{m}$ يدور بحرّية حول أحد طرفيه. احسب دور الاهتزازات الصغيرة؛ وطول البندول البسيط الذي له الدور نفسه؛ وتقع نقطة القضيب (مركز القرع) التي لا تنتج فيها ضربة حادّة أيّ ردّ فعل عند المفصل على ذلك البعد — فلماذا يبحث الضارب عنها؟

حل

حل التمرين 19.7.

$J = ML^2/3$ و $d = L/2$ : ومنه $T = 2\pi\sqrt{(ML^2/3)/(MgL/2)} = 2\pi\sqrt{2L/3g} = 1.64\,\mathrm{s}$ ؛ والطول المكافئ $2L/3 = 0.67\,\mathrm{m}$ . والضربة عند مركز القرع تجعل القضيب يدور حول المفصل بلا ردّ فعل دفعي هناك: فاضرب الكرة عند “البقعة الحلوة” من المضرب ولن تشعر اليدان بأيّ لسعة.

تمرين 19.8 ★★

قرص ( $M = 0.20\,\mathrm{kg}$ و $R = 10\,\mathrm{cm}$ ) معلّق بسلك يهتزّ فتلًا بدور $2.0\,\mathrm{s}$ . احسب ثابت فتل السلك.

حل

حل التمرين 19.8.

$J = \tfrac12 MR^2 = 1.0 \times 10^{-3}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{2}$ ؛ و $C = 4\pi^2J/T^2 = 9.9 \times 10^{-3}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}/\mathrm{rad}$ .

تمرين 19.9 ★★

حذّافة عزم عطالتها $10\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{2}$ تدور بسرعة $3000\,\mathrm{rpm}$ . احسب الطاقة المخزونة؛ وعزم الكبح الذي يوقفها في $10\,\mathrm{s}$ ؛ وعدد الدورات أثناء الكبح.

حل

حل التمرين 19.9.

$\omega = 314\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ و $E = \tfrac12 J\omega^2 = 4.9 \times 10^{5}\,\mathrm{J}$ ؛ و $\Gamma = J\omega/t = 314\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}$ ؛ وعدد الدورات: $\tfrac12\omega t/2\pi = 250$ .

تمرين 19.10 ★★★

تُطلق كرة مصمتة وأسطوانة مصمتة وطوق معًا عند قمة منحدر. رتّب وصولها، وأعطِ نسبة تسارعاتها. وهل تتوقف النتيجة على أنصاف أقطارها أو كتلها؟

حل

حل التمرين 19.10.

$a = g\sin\alpha/(1 + k)$ : فالكرة ( $k = 2/5$ ) $0.714$ ، والأسطوانة ( $1/2$ ) $0.667$ ، والطوق ( $1$ ) $0.500$ مرة $g\sin\alpha$ : فالكرة أولًا والطوق أخيرًا؛ ولا كتلة ولا نصف قطر في أيّ موضع.

تمرين 19.11 ★★★

البندول المقذوفي: رصاصة كتلتها $10\,\mathrm{g}$ بسرعة $400\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ تنغرس في كتلة $2.0\,\mathrm{kg}$ معلّقة بخيط طوله $1.0\,\mathrm{m}$ . احسب السرعة بعيد الارتطام؛ والارتفاع المبلوغ؛ ونسبة الطاقة الحركية الضائعة من الرصاصة. ولماذا لا يمكن استعمال انحفاظ الطاقة للارتطام نفسه؟

حل

حل التمرين 19.11.

بكمية الحركة: $0.010 \times 400 = 2.01\,v$ : ومنه $v = 2.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ؛ ثم بالطاقة: $h = v^2/2g = 0.20\,\mathrm{m}$ . و $E_k$ : أي $800\,\mathrm{J}$ قبل، و $\tfrac12 \times 2.01 \times 4.0 = 4.0\,\mathrm{J}$ بعد: أي $99.5\%$ ضاعت في التشوّه والحرارة. والارتطام غير مرن — فالطاقة لا تنحفظ خلاله، أما كمية الحركة فتنحفظ (إذ شدّ الخيط شاقولي والارتطام قصير).

تمرين 19.12 ★★★

تصادم مرن مباشر بين $m_1$ بالسرعة $v_1$ و $m_2$ الساكنة: اشتقّ $v_1' = \frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2}v_1$ و $v_2' = \frac{2m_1}{m_1 + m_2}v_1$ . واحسب نسبة الطاقة المنقولة حين يصطدم نيوترون ببروتون؛ ثم بنواة كربون ( $12m_n$ )؛ ثم بنواة رصاص ( $207m_n$ ). ولماذا تُبطّأ المفاعلات بنوى خفيفة؟

حل

حل التمرين 19.12.

$m_1v_1 = m_1v_1' + m_2v_2'$ و $m_1v_1^2 = m_1v_1'^2 + m_2v_2'^2$ تعطيان $v_1 + v_1' = v_2'$ (بقسمة معادلة الطاقة على معادلة كمية الحركة)، ومن هنا الصيغتان. ونسبة الطاقة المنقولة إلى الهدف $4m_1m_2/(m_1 + m_2)^2$ : فللبروتون $100\%$ ؛ وللكربون $4 \times 12/169 = 28\%$ ؛ وللرصاص $4 \times 207/208^2 = 1.9\%$ . فالنوى الخفيفة تأخذ طاقة النيوترون في بضعة تصادمات (كالماء والغرافيت)؛ أما الرصاص فيحتاج إلى مئات.

يويو ينحلّ: يسقط مركز الكتلة، ويدور القرص، وشدّ الخيط هو ما يربط الحركتين معًا — وهي مسألة نهاية الأسبوع.

19.6 مسألة: اليويو

مسألة 19.1

مسألة نهاية الأسبوع — قرص على محور رفيع في طرف خيط: لماذا يسقط ببطء شديد، وبأيّ سرعة يدور في الأسفل، ولماذا “ينام” هناك، وبأيّ اتجاه تتدحرج بكرة حين تسحب خيطها

اليويو قرص منتظم كتلته $M = 50\,\mathrm{g}$ ونصف قطره $R = 3.0\,\mathrm{cm}$ له محور رفيع نصف قطره $r = 0.40\,\mathrm{cm}$ يُلفّ حوله خيط طوله $h = 1.0\,\mathrm{m}$ ؛ ويُمسك طرف الخيط العلوي ثابتًا. ولدينا $g = 9.81\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ و $J = \tfrac12 MR^2$ حول المحور.

الجزء I — التحريك والطاقة.

أين يقع مركز كتلة اليويو $G$ ؟ ولماذا؟
بيّن بمبرهنة كونيغ أن طاقته الحركية هي $\tfrac12 Mv_G^2 + \tfrac12 J\omega^2$ .
اشتقّ $J = \tfrac12 MR^2$ بالمكاملة على الحلقات، واحسب $J$ .
وبينما ينحلّ الخيط دون انزلاق عن المحور، اربط بين $v_G$ و $\omega$ .
استنتج $E_k = \tfrac12 Mv_G^2(1 + R^2/2r^2)$ واحسب العامل بين القوسين. علّق على ذلك.

الجزء II — السقوط.

عدّد القوى المؤثرة في اليويو؛ واكتب مبرهنة مركز الكتلة (على محور شاقولي نحو الأسفل).
اكتب مبرهنة العزم الحركي حول المحور المارّ بالنقطة $G$ (فأيّ القوى لها عزم؟).
اجمع مع السؤال 4 لإيجاد التسارع $a_G = g/(1 + R^2/2r^2)$ ؛ ثم احسبه.
احسب شدّ الخيط وقارنه بالوزن.
احسب زمن انحلال $1.0\,\mathrm{m}$ من الخيط، والسرعة عندئذ؛ وقارنها بحجر يُسقط من الارتفاع نفسه.
احسب السرعة الزاوية في الأسفل، بوحدة $\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ وبالدورات في الدقيقة.
اقسم الطاقة الحركية في الأسفل إلى جزء انسحابي وجزء دوراني.
تحقق من موازنة الطاقة: قارن $Mgh$ بالطاقة الحركية في الأسفل، وقل لماذا لا يبذل شدّ الخيط، على كبره، أيّ شغل.

الجزء III — في الأسفل: النائم. حين ينحلّ الخيط كله يوقف مركز الكتلة في بضعة ميلي ثوانٍ؛ ويظلّ اليويو دائرًا في العروة عند طرف الخيط (فهو “ينام”).

لماذا يبقى الدوران بعد توقف $G$ ؟ (أيّ مبرهنة، وأيّ قوة كانت ستلزم لإيقافه؟)
قدّر الشدّ المتوسط أثناء التوقف إذا أُوقف $G$ على مدى $5\,\mathrm{ms}$ .
تحتكّ العروة بالمحور بعزم احتكاك $\Gamma = 1.0 \times 10^{-4}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}$ : فكم يدوم نوم اليويو؟
نتّة حادّة إلى أعلى على الخيط تجعله يقبض على المحور من جديد؛ فيصعد اليويو الدائر. فباستعمال الطاقة، إلى أيّ ارتفاع كان يمكن أن يرتفع لو لم يضع شيء؟ ولماذا يكون أقلّ عمليًّا؟
أثناء الصعود، هل الشدّ أكبر من الوزن أم أصغر؟ (بحسب إشارة $a_G$ .)
ماذا كان سيحدث ليويو نصف قطر محوره يساوي $R$ (بخيط ملفوف على الحافة)؟ احسب تسارع سقوطه.

الجزء IV — البكرة على الطاولة. يستلقي الجسم نفسه على طاولة خشنة، ومحوره أفقي، ويغادر خيطه أسفل المحور أفقيًّا؛ ويُسحب بقوة $F$ . وهو يتدحرج دون انزلاق.

عند نقطة التماسّ $C$ مع الطاولة، ما سرعة مادة البكرة؟ واستنتج أن الحركة، في كل لحظة، دوران حول $C$ .
احسب عزم $F$ حول $C$ (وذراع الرافعة $R - r$ ) وعزم الوزن وعزم ردّ فعل الطاولة.
باستعمال مبرهنة العزم الحركي حول $C$ مع $J_C = J + MR^2$ (بهويغنس)، أوجد $a_G$ وبيّن أن البكرة تتدحرج نحو اليد.
ثم يُسحب الخيط بزاوية $\beta$ فوق الأفقي. بيّن أن البكرة لا تتدحرج حين يمرّ حامل القوة $F$ بالنقطة $C$ ، أي حين $\cos\beta = r/R$ ، وأنها تتدحرج بعيدًا عن اليد من أجل سحب أشدّ ميلًا. واحسب تلك الزاوية.
احسب $a_G$ من أجل $F = 0.20\,\mathrm{N}$ مسحوبة أفقيًّا، وقوة الاحتكاك اللازمة؛ وما الذي يحدّ $F$ قبل أن تنزلق البكرة؟
لخّص: المبرهنات الثلاث المستعملة (مركز الكتلة، والعزم الحركي حول محور، والطاقة) وما الذي قرّرته كلٌّ منها.

حل

حل المسألة 19.1.

1. على المحور، في مركز القرص، بالتناظر.

2. بكونيغ: $E_k = \tfrac12 Mv_G^2 + E_k^*$ ، وفي المرجع المرجَّحي يدور اليويو حول محوره: $E_k^* = \tfrac12 J\omega^2$ .

3. حلقة نصف قطرها $\rho$ وكتلتها $2M\rho\,\dd\rho/R^2$ : ومنه $J = \int_0^R \rho^2\cdot 2M\rho\,\dd\rho/R^2 = MR^2/2 = 0.5 \times 0.050 \times 9\times10^{-4} = 2.25 \times 10^{-5}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{2}$ .

4. الخيط ثابت وينحلّ عن المحور: فنقطة المحور الملامسة له ساكنة لحظيًّا، ومنه $v_G = r\omega$ .

5. $E_k = \tfrac12 Mv_G^2 + \tfrac12(\tfrac12 MR^2)(v_G/r)^2 = \tfrac12 Mv_G^2(1 + R^2/2r^2)$ ؛ و $R^2/2r^2 = 9/(2 \times 0.16) = 28$ : أي العامل $29$ — فالطاقة كلها تقريبًا في الدوران.

6. الوزن $Mg$ نحو الأسفل، والشدّ $T$ نحو الأعلى: ومنه $Ma_G = Mg - T$ .

7. للشدّ وحده عزم حول المحور (وذراع الرافعة $r$ ): $J\dot\omega = Tr$ .

8. $\dot\omega = a_G/r$ : ومنه $T = Ja_G/r^2 = (R^2/2r^2)Ma_G$ ؛ ثم $Ma_G = Mg - (R^2/2r^2)Ma_G$ ، ومنه $a_G = g/29 = 0.34\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ .

9. $T = M(g - a_G) = 0.050 \times 9.47 = 0.47\,\mathrm{N}$ ، أي $97\%$ من الوزن: فالخيط يكاد يمسكه.

10. $t = \sqrt{2h/a_G} = 2.4\,\mathrm{s}$ ؛ و $v_G = a_Gt = 0.82\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . أما الحجر: ففي $0.45\,\mathrm{s}$ وبسرعة $4.4\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .

11. $\omega = v_G/r = 205\,\mathrm{rad}/\mathrm{s} = 1960\,\mathrm{rpm}$ .

12. $\tfrac12 Mv_G^2 = 0.017\,\mathrm{J}$ مقابل $\tfrac12 J\omega^2 = 0.47\,\mathrm{J}$ : أي طاقة في الدوران أكبر $28$ مرة منها في السقوط.

13. $Mgh = 0.49\,\mathrm{J}$ ؛ و $\tfrac12 Mv_G^2 \times 29 = 0.5 \times 0.050 \times 0.67 \times 29 = 0.49\,\mathrm{J}$ . والشدّ يؤثر عند نقطة الخيط الساكنة (فالخيط لا يتحرك): أي استطاعة معدومة.

14. قوة الإيقاف تؤثر على امتداد الخيط، مارّةً بالمحور: فلا عزم لها حوله؛ ويبقى العزم الحركي $J\omega$ دون مسّ. ولا يستطيع إبطاء الدوران إلا قوة مماسية (كاحتكاك على المحور).

15. $T \approx Mv_G/\Delta t + Mg = 0.050 \times 0.82/0.005 + 0.49 = 8.7\,\mathrm{N}$ ، أي ثمانية عشر ضعف الوزن — ومن هنا النتّة التي يشعر بها الإصبع.

16. $J\dot\omega = -\Gamma$ : ومنه $t = J\omega/\Gamma = 2.25\times10^{-5} \times 205/10^{-4} = 46\,\mathrm{s}$ .

17. تتحول طاقة الدوران كلها $\tfrac12 J\omega^2 = 0.47\,\mathrm{J}$ إلى $Mgh'$ : ومنه $h' = 0.96\,\mathrm{m}$ ، أي الارتفاع كله تقريبًا؛ وهو أقلّ عمليًّا بسبب احتكاك المحور أثناء النوم والضياعات في النتّة.

18. $a_G$ نحو الأسفل (فاليويو يتباطأ في الصعود) بينما $v_G$ نحو الأعلى: ومنه $T = M(g - a_G) < Mg$ — أي أصغر من الوزن.

19. $r = R$ : فالعامل $1 + 1/2 = 1.5$ و $a_G = 2g/3 = 6.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ — أي سقوط سريع ودوران قليل: فالمحور الرفيع هو ما يصنع اليويو.

20. في التدحرج دون انزلاق: تكون سرعة النقطة المادية عند $C$ معدومة؛ وحقل سرعات جسم صلب فيه نقطة ساكنة هو دوران حول تلك النقطة (بمحور يمرّ بالنقطة $C$ ، وبالمقدار $\omega$ نفسه).

21. تؤثر $F$ عند أسفل المحور، على ارتفاع $R - r$ فوق الطاولة، أفقيًّا نحو اليد: فعزمها $F(R - r)$ حول $C$ في الجهة التي تدحرج البكرة نحو اليد؛ أما الوزن وردّ الفعل فيمرّان بالنقطة $C$ (فلا عزم لهما).

22. $(J + MR^2)\dot\omega = F(R - r)$ ، ومنه $a_G = R\dot\omega = FR(R - r)/ (\tfrac32 MR^2) = 2F(R - r)/3MR > 0$ : أي نحو اليد.

23. يمرّ حامل $F$ بالنقطة $C$ حين يلتقي الخيط الخارج من أسفل المحور بالطاولة عند $C$ : أي $\cos\beta = r/R$ ، ومنه $\beta = 82^\circ$ . وإذا زاد الميل انعكس العزم حول $C$ فتتدحرج البكرة بعيدًا (ومن أجل $\beta$ كبيرة بما يكفي ترتفع).

24. $a_G = 2 \times 0.20 \times 0.026/(3 \times 0.050 \times 0.030) = 2.3\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ ؛ والاحتكاك من $Ma_G = F - f$ (إذ يعاكس الاحتكاك $F$ ): $f = 0.20 - 0.050 \times 2.3 = 0.085\,\mathrm{N}$ ؛ ويجب أن يبقى دون $\mu_sMg \approx 0.2\,\mathrm{N}$ (من أجل $\mu_s = 0.4$ )، أي $F \lesssim 0.5\,\mathrm{N}$ .

25. مركز الكتلة: انسحاب $G$ والشدّ؛ والعزم الحركي حول محور: الدوران وجهة التدحرج؛ والطاقة: السرعة في الأسفل وارتفاع الصعود.

المصطلحات المعرَّفة في هذا الفصل

عرض كل المصطلحات (393) في المسرد