6الدارات المستمرة: قانونا كيرشوف والمبرهنات

حل التمرين 6.1.

$q = 1.5 \times 3600 = 5400\,\mathrm{C}$ و $N = 5400/1.6\times10^{-19} = 3.4 \times 10^{22}$ إلكترونًا. و$c/f$: $6000\,\mathrm{km}$ عند $50\,\mathrm{Hz}$ (فالمنزل: نعم)؛ و$300\,\mathrm{m}$ عند $1\,\mathrm{MHz}$ (ودارة $10\,\mathrm{cm}$: نعم)؛ و$30\,\mathrm{cm}$ عند $1\,\mathrm{GHz}$، وهو يقارن بالطول $10\,\mathrm{cm}$: فلا.

حل التمرين 6.2.

$I = 2000/230 = 8.7\,\mathrm{A}$؛ و$R = U^2/P = 26.5\,\Omega$؛ و$E = 6.0\,\mathrm{kWh} = 2.2 \times 10^{7}\,\mathrm{J}$. والسلك: ناقل واحد $R = 1.7\times10^{-8} \times 5.0/1.5\times10^{-6} = 57\,\mathrm{m}\Omega$، وناقلان $0.11\,\Omega$: ومنه $P = 0.11 \times 8.7^2 = 8.6\,\mathrm{W}$.

حل التمرين 6.3.

على التسلسل $60\,\Omega$؛ وعلى التفرع $1/(0.1 + 0.05 + 0.033) = 5.5\,\Omega$؛ و$10 \parallel 20 = 6.7\,\Omega$، زائد $30$: أي $36.7\,\Omega$.

حل التمرين 6.4.

$u_2 = 12 \times 2.2/6.9 = 3.83\,\mathrm{V}$. ومحمَّلًا: $2.2 \parallel 2.2 = 1.1\,\mathrm{k}\Omega$ و $u_2 = 12 \times 1.1/5.8 = 2.28\,\mathrm{V}$: فالحمولة تجرّ المجزّئ إلى الأسفل بمقدار $40\%$ — فالمجزّئ لا “يجزّئ” إلا إذا غذّى شيئًا أعلى مقاومةً بكثير.

حل التمرين 6.5.

$r = (12.6 - 11.4)/120 = 10\,\mathrm{m}\Omega$؛ و$I_N = 12.6/0.010 = 1260\,\mathrm{A}$. وإلى المقلع $11.4 \times 120 = 1.37\,\mathrm{kW}$؛ والضائع $0.010 \times 120^2 = 144\,\mathrm{W}$؛ والمردود $1368/1512 = 90\%$.

حل التمرين 6.6.

$E_{\mathrm{Th}} = 3.83\,\mathrm{V}$ (وهو مجزّئ الدارة المفتوحة)؛ و$R_{\mathrm{Th}} = 4.7 \parallel 2.2 = 1.50\,\mathrm{k}\Omega$ (بقصر المنبع). ومحمَّلًا: $u = 3.83 \times 2.2/(1.50 + 2.2) = 2.28\,\mathrm{V}$.

حل التمرين 6.7.

بالتراكب: يرى $E_1$ وحده $r_2 \parallel R = 1.0\,\Omega$، ومنه $u = 10 \times 1/(1 + 1) = 5.0\,\mathrm{V}$؛ ويرى $E_2$ وحده $r_1 \parallel R = 0.667\,\Omega$، ومنه $u = 5 \times 0.667/2.667 = 1.25\,\mathrm{V}$؛ والمجموع $6.25\,\mathrm{V}$. وبميلمان: $(10/1 + 5/2 + 0/2)/(1 + 0.5 + 0.5) = 6.25\,\mathrm{V}$. والبطارية 1: $(10 - 6.25)/1 = 3.75\,\mathrm{A}$ خارجة؛ والبطارية 2: $(5 - 6.25)/2 = -0.63\,\mathrm{A}$، أي $0.63\,\mathrm{A}$ داخلة إليها — فهي تُشحن من الأقوى؛ والحمولة $6.25/2 = 3.1\,\mathrm{A}$.

حل التمرين 6.8.

$i = 9/(R + 3)$ و $P = Ri^2$ و $\eta = R/(R + 3)$: فمن أجل $1\,\Omega$: $5.1\,\mathrm{W}$ و$25\%$؛ ومن أجل $3\,\Omega$: $6.75\,\mathrm{W}$ و$50\%$؛ ومن أجل $12\,\Omega$: $4.3\,\mathrm{W}$ و$80\%$. والجهاز الذي يعمل ببطارية يريد المردود (أي عمر البطارية)، ومن ثمّ $R \gg r$؛ أما الحمولة المكيَّفة فتهدر نصف الطاقة حرارةً في البطارية.

حل التمرين 6.9.

$R = (5.0 - 2.0)/0.015 = 200\,\Omega$؛ و$P_R = 3.0 \times 0.015 = 45\,\mathrm{mW}$ و $P_{\mathrm{LED}} = 2.0 \times 0.015 = 30\,\mathrm{mW}$. ومستقيم الحمولة من $(0, 25\,\mathrm{mA})$ إلى $(5\,\mathrm{V}, 0)$ يلاقي المميِّزة الشاقولية عند $2.0\,\mathrm{V}$. وعند $3.3\,\mathrm{V}$ تعطي الناقلة نفسها $6.5\,\mathrm{mA}$ فقط؛ ومن أجل $15\,\mathrm{mA}$ يلزم $R = 1.3/0.015 = 87\,\Omega$.

حل التمرين 6.10.

$u = E\left[\dfrac12 - \dfrac{1 + \epsilon}{2 + \epsilon}\right] = -E\dfrac{\epsilon}{2(2 + \epsilon)} \approx -\dfrac{E\epsilon}{4} = -1.25\,\mathrm{mV}$. وفي مجزّئ بسيط يقع التغيّر نفسه فوق إزاحة $2.5\,\mathrm{V}$ (أي $2.501\,25\,\mathrm{V}$)؛ أما الجسر فيعطي $1.25\,\mathrm{mV}$ حول الصفر، ويمكن تضخيمها ألف مرة دون إشباع أيّ شيء.

حل التمرين 6.11.

بالتناظر يشترك جيران زاوية الدخول الثلاثة في كمون واحد، وجيران زاوية الخروج الثلاثة في كمون آخر. فينقسم التيار $I$ إلى $I/3$ في أحرف الدخول الثلاثة، ثم ينقسم كل منها إلى $I/6$ على امتداد الأحرف الوسطى الستة، ثم تتجمّع في $I/3$ في أحرف الخروج الثلاثة. والتوتر: $RI/3 + RI/6 + RI/3 = 5RI/6$، ومنه $R_{\mathrm{eq}} = 5R/6$.

حل التمرين 6.12.

بتيفنان: $E = I_N r = 8.0\,\mathrm{V}$ مع $4.0\,\Omega$ على التسلسل. وبقانون الحلقات: $8.0 - 6.0 = (4.0 + 2.0)i$، ومنه $i = 0.33\,\mathrm{A}$ نحو البطارية. فتتلقى البطارية $6.0 \times 0.33 = 2.0\,\mathrm{W}$ (أي تُشحن)؛ وتبدد الناقلة $2\,\Omega$ مقدار $0.22\,\mathrm{W}$؛ وتوتر طرفَي زوج نورتن هو $8.0 - 4.0 \times 0.33 = 6.67\,\mathrm{V}$، ومنه تحمل $4\,\Omega$ تيارًا قدره $1.67\,\mathrm{A}$ وتبدد $11.1\,\mathrm{W}$، ويقدّم منبع التيار $2.0 \times 6.67 = 13.3\,\mathrm{W}$ — والحصيلة متوازنة.