Physics · الكتاب 3 · Bachelor Year 1

الفيزياء الجامعية — السنة الأولى

الفيزياء الجامعية — السنة الأولى · Bachelor Year 1

3المرايا والعدسات الرقيقة

مرآة الزينة تُظهر الوجه في ضعف حجمه؛ وظهر الملعقة يُظهره صغيرًا منتصبًا، وتجويفها يُظهره صغيرًا مقلوبًا؛ وعدسة مكبِّرة ممسوكة على مدّ الذراع تقلب الغرفة رأسًا على عقب، فإذا قُرِّبت كبّرت طابعًا بريديًّا؛ وعدسة هاتف في حجم العدسة تنقل الشارع كله إلى مستقبِل. علاقة جبرية واحدة بين ثلاث مسافات تحكم كل واحدة من هذه الصور، وهذا الفصل يقيمها — للمرايا المنحنية أولًا، ثم للعدسة الرقيقة التي تُبنى منها كل الأجهزة البصرية تقريبًا.

عدسة مجمّعة تكوّن على شاشة صورةً حقيقية مقلوبة للهب شمعة: وتحقق مسافتا الجسم والصورة علاقة الترافق في هذا الفصل.
عدسة مجمّعة تكوّن على شاشة صورةً حقيقية مقلوبة للهب شمعة: وتحقق مسافتا الجسم والصورة علاقة الترافق في هذا الفصل.

3.1 الصور وشرطا غاوس

تعريف 3.1 (الجسم والصورة والاستجماع)

يتلقى النظام البصري أشعة من نقطة AA (وهي النقطة الجسم). فإذا مرّت الأشعة الخارجة كلها بنقطة واحدة A′A'، أو بدت كلها آتيةً من نقطة واحدة A′A'، كان النظام مستجمعًا من أجل AA وكانت A′A' هي صورة AA. والصورة حقيقية إذا تقاطعت الأشعة الخارجة فعلًا في A′A' (فيمكن التقاطها على شاشة)، وتخيلية إذا لم تتقاطع إلا امتداداتها الخلفية (فتُرى عبر النظام ولا تُسقَط). وكذلك الجسم حقيقي إذا تباعدت الأشعة الواردة عن AA، وتخيلي إذا تقاربت نحو AA خلف مدخل النظام. ويقال عن الزوج (A,A′)(A, A') إنه مترافق.

تعريف 3.2 (النظام المركزي؛ شرطا غاوس)

النظام المركزي نظام له محور تناظر دوراني هو المحور البصري. والأشعة التي تبقى قريبة من المحور وتصنع معه زوايا صغيرة مجاورية؛ ويقال عن نظام لا يُستعمل إلا بأشعة مجاورية إنه يعمل وفق شرطَي غاوس. وفي هذين الشرطين يكون النظام المركزي مستجمعًا تقريبًا من أجل كل نقطة، ويكون لمستوي جسمٍ عمودي على المحور مستوي صورة عمودي على المحور (الاستواء).

برهان. نقبله في هذا المستوى. ∎

ملاحظة 3.3 (لماذا الزوايا الصغيرة)

المرآة المستوية هي النظام البسيط الوحيد المستجمع بدقة من أجل كل نقطة. أما المرآة أو العدسة الكروية فلا تستجمع إلا بقدر ما يكون sin⁡θ≈tan⁡θ≈θ\sin\theta \approx \tan\theta \approx \theta: فهذا التقريب هو الذي يحوّل قانون سنيل إلى علاقات خطية بين المسافات. وخارجه تصير صورة النقطة لطخة (وهي الزيوغ)، ومهمة المصمّم — الحواجز وتركيب العدسات والسطوح غير الكروية — أن يخفض اللطخة دون ما تستطيع العين أو المستقبِل تمييزه.

ترميز 3.4 (القياسات الجبرية والتكبير)

يُوجَّه المحور البصري في اتجاه الضوء الوارد، ويُوجَّه الاتجاه العرضي نحو الأعلى. ومن أجل نقطتين PP و QQ على المحور يرمز PQ‾\overline{PQ} إلى القياس الجبري (PQ‾>0\overline{PQ} > 0 إذا كانت QQ خلف PP في اتجاه الضوء)؛ ومن أجل جسم ABAB عمودي على المحور وصورته A′B′A'B' يكون التكبير العرضي

γ=A′B′‾AB‾,\gamma = \frac{\overline{A'B'}}{\overline{AB}} ,

سالبًا من أجل صورة مقلوبة، وقيمته المطلقة أكبر من 11 من أجل صورة مكبَّرة.

3.2 المرايا الكروية

تعريف 3.5 (المرآة الكروية)

المرآة الكروية قلنسوة كروية عاكسة مركزها CC وقطبها SS (أي تقاطعها مع المحور). وهي مقعرة إذا لاقى الضوء وجهها المجوَّف (CC في جهة الضوء الوارد)، ومحدبة في غير ذلك. وبؤرتها FF هي صورة نقطة في اللانهاية على المحور؛ وبعدها البؤري f=SF‾f = \overline{SF}.

قضية 3.6 (بؤرة مرآة كروية)

وفق شرطَي غاوس تكون البؤرة منتصف SCSC: SF‾=SC‾/2\overline{SF} = \overline{SC}/2. وللمرآة المقعرة f<0f < 0 (بؤرة حقيقية أمامها)، وللمحدبة f>0f > 0 (بؤرة تخيلية خلفها).

برهان. الشعاع الموازي للمحور على ارتفاع hh يلاقي المرآة في II؛ والناظم في II هو نصف القطر CICI، ويصنع الزاوية α\alpha مع المحور حيث sin⁡α=h/R\sin\alpha = h/R. وبعد الانعكاس بالزاوية α\alpha نفسها عن الناظم يقطع الشعاع المحور في FF؛ وفي المثلث CIFCIF تتساوى الزاويتان α\alpha عند CC وعند II، ومنه CF=IFCF = IF، وبالإسقاط CF=R/(2cos⁡α)CF = R/(2\cos\alpha). ومن أجل الأشعة المجاورية cos⁡α→1\cos\alpha \to 1 و CF=R/2CF = R/2: فتقطع هذه الأشعة كلها المحور في النقطة نفسها، أي منتصف SCSC. أما الإشارة: فللمرآة المقعرة تقع CC و FF أمامها (قبلها)، ومنه SC‾<0\overline{SC} < 0. ∎

مبرهنة 3.7 (علاقة الترافق لمرآة كروية)

وفق شرطَي غاوس تحقق صورة A′A' لنقطة AA على المحور

1SA′‾+1SA‾=2SC‾=1SF‾,γ=−SA′‾SA‾.\frac{1}{\overline{SA'}} + \frac{1}{\overline{SA}} = \frac{2}{\overline{SC}} = \frac{1}{\overline{SF}}, \qquad \gamma = -\frac{\overline{SA'}}{\overline{SA}} .

برهان. لنأخذ مرآة مقعرة وجسمًا حقيقيًّا AA خلف CC؛ فتغطي الصيغة الجبرية عندئذٍ كل الحالات. الشعاع الصادر عن AA يلاقي المرآة في II (على ارتفاع hh) ويعود إلى A′A' على المحور. ولنسمّ uu و u′u' و ω\omega زوايا AIAI و A′IA'I و CICI مع المحور؛ فمجاوريًّا يكون u=h/ASu = h/AS و u′=h/A′Su' = h/A'S و ω=h/CS\omega = h/CS (بالمسافات). ويقول قانون الانعكاس إن الناظم CICI ينصّف الزاوية بين AIAI و A′IA'I: أي ω−u=u′−ω\omega - u = u' - \omega، أي u+u′=2ωu + u' = 2\omega، أي 1/AS+1/A′S=2/CS1/AS + 1/A'S = 2/CS؛ ومع كون SA‾\overline{SA} و SA′‾\overline{SA'} و SC‾\overline{SC} كلها سالبة تكون هذه هي العلاقة المعروضة. أما التكبير فالشعاع B→S→B′B \to S \to B' المنعكس عند القطب يصنع زاويتين متساويتين مع المحور: A′B′/SA′=AB/SAA'B'/SA' = AB/SA بالأطوال، والصورة مقلوبة، ومنه γ=−SA′‾/SA‾\gamma = -\overline{SA'}/\overline{SA}. ∎

طريقة 3.8 (بناء صورة في مرآة)

من أجل نقطة جسم BB خارج المحور، ارسم اثنين من الأشعة الأربعة المميّزة؛ فتقاطعهما (أو تقاطع امتداديهما) هو B′B':

  1. الموازي للمحور →\to ينعكس مارًّا بالبؤرة FF؛
  2. المارّ بالبؤرة FF →\to ينعكس موازيًا للمحور؛
  3. المارّ بالمركز CC →\to ينعكس على نفسه؛
  4. المتّجه إلى القطب SS →\to ينعكس متناظرًا بالنسبة إلى المحور.

ثم تكون A′A' مسقط العمود النازل من B′B' على المحور.

مرآة مقعرة (المركز C، والبؤرة F في منتصف نصف القطر). ومن أجل جسم AB خلف C يعود الشعاع الموازي للمحور مارًّا بالبؤرة F، ويعود الشعاع المارّ بالبؤرة F موازيًا: فيتقاطعان في B' — وهي صورة حقيقية مقلوبة مصغَّرة بين F و C.
مرآة مقعرة (المركز CC، والبؤرة FF في منتصف نصف القطر). ومن أجل جسم ABAB خلف CC يعود الشعاع الموازي للمحور مارًّا بالبؤرة FF، ويعود الشعاع المارّ بالبؤرة FF موازيًا: فيتقاطعان في B′B' — وهي صورة حقيقية مقلوبة مصغَّرة بين FF و CC.

مثال 3.9 (مرآة الحلاقة ومرآة الرؤية الخلفية)

مرآة مقعرة نصف قطرها 60 cm60\,\mathrm{cm} (f=−30 cmf = -30\,\mathrm{cm}) ووجهٌ على بعد 20 cm20\,\mathrm{cm}: 1/SA′‾=−1/30+1/20=1/601/\overline{SA'} = -1/30 + 1/20 = 1/60، ومنه SA′‾=+60 cm\overline{SA'} = +60\,\mathrm{cm} — خلف المرآة، أي تخيلية — و γ=−60/(−20)=+3\gamma = -60/(-20) = +3: أي منتصبة أكبر ثلاث مرات، وهي مرآة الحلاقة. ومرآة محدبة نصف قطرها 2.0 m2.0\,\mathrm{m} (f=+1.0 mf = +1.0\,\mathrm{m}) وسيارة على بعد 20 m20\,\mathrm{m} خلفها: 1/SA′‾=1+1/201/\overline{SA'} = 1 + 1/20، ومنه SA′‾=0.95 m\overline{SA'} = 0.95\,\mathrm{m} (تخيلية خلفها) و γ=+0.048\gamma = +0.048: أي منتصبة أصغر عشرين مرة، ومن ثمّ حقل واسع — وهي مرآة الرؤية الخلفية، مع تحذيرها من أن الأجسام أقرب ممّا تبدو.

3.3 العدسات الرقيقة

تعريف 3.10 (العدسة الرقيقة)

العدسة وسط شفاف يحدّه سطحان كرويان (أو مستويان)؛ وهي رقيقة حين تكون سماكتها مهملة أمام أنصاف الأقطار وأمام المسافات الداخلة في المسألة، فيندمج القطبان في نقطة واحدة هي المركز البصري OO. والشعاع المارّ بالمركز OO لا ينحرف. والبؤرة الصورة F′F' هي صورة نقطة في اللانهاية على المحور؛ والبؤرة الجسم FF هي النقطة التي تقع صورتها في اللانهاية؛ وكلتاهما على المسافة نفسها من OO: OF′‾=−OF‾=f′\overline{OF'} = -\overline{OF} = f'، وهو البعد البؤري. والعدسة مجمّعة إذا كان f′>0f' > 0 (فتكون F′F' حقيقية خلفها، وحوافها أرقّ من مركزها)، ومفرّقة إذا كان f′<0f' < 0. وتقاربها V=1/f′V = 1/f' يقاس بوحدة الديوبتر (1 δ=1 m−11\,\delta = 1\,\mathrm{m}^{-1}).

مبرهنة 3.11 (علاقة الترافق لعدسة رقيقة)

وفق شرطَي غاوس تحقق صورة A′A' لنقطة AA على المحور علاقة ديكارت

1OA′‾−1OA‾=1f′,γ=OA′‾OA‾,\frac{1}{\overline{OA'}} - \frac{1}{\overline{OA}} = \frac{1}{f'}, \qquad \gamma = \frac{\overline{OA'}}{\overline{OA}},

وتحقق كذلك، على نحو مكافئ، علاقة نيوتن

FA‾⋅F′A′‾=−f′2,γ=f′FA‾=−F′A′‾f′.\overline{FA}\cdot\overline{F'A'} = -f'^2, \qquad \gamma = \frac{f'}{\overline{FA}} = -\frac{\overline{F'A'}}{f'} .

برهان جزئي. الواقعة الأساسية أن العدسة الرقيقة تحرف الشعاع العابر لها على ارتفاع hh بالزاوية h/f′h/f' نحو المحور، مهما يكن اتجاه الشعاع — فكل منطقة من العدسة تعمل عمل موشور رقيق (الملاحظة 2.21) تنمو زاوية رأسه خطيًّا مع hh في السطوح الكروية؛ وهذه الخطية، الصحيحة تمامًا للأشعة المجاورية، مسلَّمة هنا ومشتقّة من قانون سنيل عند سطحين كرويين في مجلد السنة الثانية. وبقبولها: الشعاع الصادر عن AA (على المسافة p=−OA‾>0p = -\overline{OA} > 0 لجسم حقيقي) والواصل إلى العدسة على ارتفاع hh يرد بميل h/ph/p، ثم ينحرف بمقدار h/f′h/f' ويغادر بميل h/p−h/f′h/p - h/f'؛ فيقطع المحور في A′A' حيث h/OA′‾=h/f′−h/ph/\overline{OA'} = h/f' - h/p، أي 1/OA′‾−1/OA‾=1/f′1/\overline{OA'} - 1/\overline{OA} = 1/f'، مستقلًّا عن hh: فتلتقي كل الأشعة الصادرة عن AA في A′A'. والشعاع B→O→B′B \to O \to B' المارّ بالمركز مستقيم، ومنه A′B′‾/AB‾=OA′‾/OA‾\overline{A'B'}/\overline{AB} = \overline{OA'}/\overline{OA}. أما صيغة نيوتن فتتبع بتعويض OA‾=OF‾+FA‾=−f′+FA‾\overline{OA} = \overline{OF} + \overline{FA} = -f' + \overline{FA} و OA′‾=f′+F′A′‾\overline{OA'} = f' + \overline{F'A'}. ∎

طريقة 3.12 (بناء صورة عبر عدسة رقيقة)

ثلاثة أشعة مميّزة صادرة عن BB:

  1. المارّ بالمركز OO: لا ينحرف؛
  2. الموازي للمحور: يخرج مارًّا بالبؤرة F′F'؛
  3. المارّ بالبؤرة FF: يخرج موازيًا للمحور.

ويكفي اثنان منها؛ ومن أجل عدسة مفرّقة تُستعمل الامتدادات (فالشعاع المصوَّب نحو FF خلف العدسة يخرج موازيًا، والشعاع الموازي يخرج كأنه آتٍ من F′F' أمامها).

عدسة مجمّعة: الجسم AB خلف F. الشعاع المارّ بالمركز O يمضي مستقيمًا، والشعاع الموازي ينحني مارًّا بالبؤرة F'، والشعاع المارّ بالبؤرة F يخرج موازيًا؛ وتلتقي الثلاثة في B': صورة حقيقية مقلوبة. وهنا OA = -1.5f'، ومنه OA' = 3f' و = -2.
عدسة مجمّعة: الجسم ABAB خلف FF. الشعاع المارّ بالمركز OO يمضي مستقيمًا، والشعاع الموازي ينحني مارًّا بالبؤرة F′F'، والشعاع المارّ بالبؤرة FF يخرج موازيًا؛ وتلتقي الثلاثة في B′B': صورة حقيقية مقلوبة. وهنا OA‾=−1.5f′\overline{OA} = -1.5f'، ومنه OA′‾=3f′\overline{OA'} = 3f' و γ=−2\gamma = -2.
عدسة مفرّقة (F' أمامها و F خلفها): الشعاع الموازي يخرج كأنه آتٍ من F'، والشعاع المركزي يمضي مستقيمًا؛ ويلتقي امتداداهما الخلفيان في B' — وهي صورة تخيلية منتصبة مصغَّرة، مهما يكن موضع الجسم.
عدسة مفرّقة (F′F' أمامها و FF خلفها): الشعاع الموازي يخرج كأنه آتٍ من F′F'، والشعاع المركزي يمضي مستقيمًا؛ ويلتقي امتداداهما الخلفيان في B′B' — وهي صورة تخيلية منتصبة مصغَّرة، مهما يكن موضع الجسم.

مثال 3.13 (العدسة نفسها بثلاثة وجوه)

عدسة مجمّعة f′=5.0 cmf' = 5.0\,\mathrm{cm}. طابع بريدي على 3.0 cm3.0\,\mathrm{cm}: 1/OA′‾=1/5−1/3=−2/151/\overline{OA'} = 1/5 - 1/3 = -2/15 و OA′‾=−7.5 cm\overline{OA'} = -7.5\,\mathrm{cm}، تخيلية، γ=+2.5\gamma = +2.5: وهي المكبِّرة. ومصباح على 20 cm20\,\mathrm{cm}: OA′‾=6.7 cm\overline{OA'} = 6.7\,\mathrm{cm}، حقيقية، γ=−1/3\gamma = -1/3: أي صورة مصغَّرة مقلوبة على بطاقة. ونافذة على بعد 4 m4\,\mathrm{m}: OA′‾≈f′\overline{OA'} \approx f'، أي صورة ضئيلة مقلوبة في المستوي البؤري — وهي آلة التصوير. ثلاثة استعمالات وعلاقة واحدة.

قضية 3.14 (التكبير الطولي)

إذا تحرك الجسم على امتداد المحور بمقدار  ⁣dOA‾\dd\overline{OA} تحركت الصورة بمقدار  ⁣dOA′‾=γ2  ⁣dOA‾\dd\overline{OA'} = \gamma^2\,\dd\overline{OA}، في الاتجاه نفسه.

برهان. باشتقاق علاقة ديكارت عند f′f' ثابت: − ⁣dOA′‾/OA′‾2+ ⁣dOA‾/OA‾2=0-\dd\overline{OA'}/\overline{OA'}^2 + \dd\overline{OA}/\overline{OA}^2 = 0، ومنه  ⁣dOA′‾=(OA′‾/OA‾)2  ⁣dOA‾\dd\overline{OA'} = (\overline{OA'}/\overline{OA})^2\,\dd\overline{OA}. ∎

ملاحظة 3.15 (عمق البؤرة)

جهاز عرض تكبيره γ=−50\gamma = -50 له γ2=2500\gamma^2 = 2500: فشريحة تتقوّس بمقدار 0.1 mm0.1\,\mathrm{mm} تحت حرارة المصباح تقذف بصورتها 25 cm25\,\mathrm{cm} خارج مستوي الشاشة. وعلى العكس تحتمل آلة التصوير (∣γ∣≪1\abs\gamma \ll 1) انتقالات كبيرة للجسم في مقابل انزياح ضئيل للصورة — وهو عمق الميدان.

3.4 قياس بعد بؤري

طريقة 3.16 (التقويم الذاتي)

ضع مرآة مستوية خلف العدسة مباشرة، وحرّك جسمًا مضاءً (صليبًا على زجاج مصنفر) على امتداد المحور حتى تتكوّن صورته، المنعكسة راجعةً عبر العدسة، واضحةً على الجسم نفسه، مقلوبةً وفي حجمه. ويكون الجسم عندئذٍ في المستوي البؤري: فالأشعة تغادر العدسة متوازية، وتعود من المرآة متوازية، وتُجمَّع من جديد في المستوي البؤري. والمسافة جسم–عدسة هي f′f'.

قضية 3.17 (طريقة بسل)

جسم وشاشة مثبتان على بعد DD أحدهما من الآخر. وتكوّن عدسة مجمّعة صورة حقيقية واضحة على الشاشة من أجل وضعين اثنين بالضبط إذا كان D>4f′D > 4f'، ومن أجل وضع واحد إذا كان D=4f′D = 4f'، ولا من أجل أيّ وضع إذا كان D<4f′D < 4f'. والوضعان يفصل بينهما dd حيث

f′=D2−d24D.f' = \frac{D^2 - d^2}{4D} .

وعند D=4f′D = 4f' (سيلبرمان) يعطي الوضع الوحيد γ=−1\gamma = -1.

برهان. لتكن p=−OA‾>0p = -\overline{OA} > 0 المسافة جسم–عدسة؛ عندئذٍ OA′‾=D−p\overline{OA'} = D - p وتعطي علاقة ديكارت 1/(D−p)+1/p=1/f′1/(D - p) + 1/p = 1/f'، أي p2−Dp+Df′=0p^2 - Dp + Df' = 0: ومميّزها D2−4Df′D^2 - 4Df' موجب إذا وفقط إذا كان D>4f′D > 4f'. والجذران p1,2=(D∓D2−4Df′)/2p_{1,2} = (D \mp \sqrt{D^2 - 4Df'})/2 مجموعهما DD (فالوضعان متناظران: إذ تتبادل مسافتا الجسم والصورة) والفرق بينهما d=D2−4Df′d = \sqrt{D^2 - 4Df'}؛ ثم نحلّ بالنسبة إلى f′f'. وعند D=4f′D = 4f' يكون p=2f′=OA′‾p = 2f' = \overline{OA'} و γ=−1\gamma = -1. ∎

طريقة بسل: الجسم والشاشة مثبتان عند D > 4f'؛ وتعطي العدسة صورة واضحة في وضعين متناظرين يفصل بينهما d (مكبَّرة ومصغَّرة)، ومنه f' = (D2 - d2)/4D.
طريقة بسل: الجسم والشاشة مثبتان عند D>4f′D > 4f'؛ وتعطي العدسة صورة واضحة في وضعين متناظرين يفصل بينهما dd (مكبَّرة ومصغَّرة)، ومنه f′=(D2−d2)/4Df' = (D^2 - d^2)/4D.

3.5 عدستان رقيقتان

قضية 3.18 (عدستان متلامستان؛ الثنائية اللابؤرية)

تتصرف عدستان رقيقتان متلامستان تصرّف عدسة رقيقة واحدة تقاربها V=V1+V2V = V_1 + V_2. وعدستان موضوعتان بحيث F1′=F2F_1' = F_2 تكوّنان نظامًا لا بؤري: فالحزمة المتوازية تخرج متوازية، والحزمة المائلة بالزاوية α\alpha تخرج مائلة بالزاوية α′=Gα\alpha' = G\alpha حيث التكبير الزاوي G=−f1′/f2′G = -f_1'/f_2'.

برهان. الصورة A1A_1 التي تعطيها L1L_1 هي الجسم بالنسبة إلى L2L_2. وعند التلامس O1=O2=OO_1 = O_2 = O: فيكون 1/OA1‾−1/OA‾=V11/\overline{OA_1} - 1/\overline{OA} = V_1 و 1/OA′‾−1/OA1‾=V21/\overline{OA'} - 1/\overline{OA_1} = V_2؛ ونجمع. أما اللابؤرية: فحزمة متوازية بالزاوية α\alpha تتجمّع في المستوي البؤري المشترك على ارتفاع h=f1′αh = f_1'\alpha عن المحور (بالشعاع المارّ بالمركز O1O_1)؛ وهذه النقطة، منظورًا إليها من L2L_2، تقع في مستويها البؤري الجسم، فتخرج الحزمة متوازية، بزاوية الشعاع الآتي من النقطة عبر O2O_2: أي α′=−h/f2′\alpha' = -h/f_2'. ∎

مثال 3.19 (مقراب في سطر واحد)

f1′=1000 mmf_1' = 1000\,\mathrm{mm} و f2′=25 mmf_2' = 25\,\mathrm{mm}: ومنه G=−40G = -40؛ فالقمر، وعرضه نصف درجة، يصير قرصًا في 20∘20^\circ — وهو المقراب الفلكي في الفصل التالي. ومع عينية مفرّقة، f2′=−25 mmf_2' = -25\,\mathrm{mm} و G=+40G = +40: أي منتصبًا، وهو منظار غاليليو.

3.6 تمارين

تمرين 3.1 ★

مرآة مقعرة لها R=40 cmR = 40\,\mathrm{cm}. أوجد صورة جسم موضوع على 60 cm60\,\mathrm{cm} و30 cm30\,\mathrm{cm} و10 cm10\,\mathrm{cm} من القطب: الموضع، وهل هي حقيقية أم تخيلية، والتكبير.

حل

حل التمرين 3.1.

SF‾=−20 cm\overline{SF} = -20\,\mathrm{cm}؛ و1/SA′‾=1/SF‾−1/SA‾1/\overline{SA'} = 1/\overline{SF} - 1/\overline{SA}. فعند 60 cm60\,\mathrm{cm}: SA′‾=−30 cm\overline{SA'} = -30\,\mathrm{cm}، حقيقية، γ=−0.5\gamma = -0.5. وعند 30 cm30\,\mathrm{cm}: SA′‾=−60 cm\overline{SA'} = -60\,\mathrm{cm}، حقيقية، γ=−2\gamma = -2. وعند 10 cm10\,\mathrm{cm}: 1/SA′‾=−1/20+1/10=1/201/\overline{SA'} = -1/20 + 1/10 = 1/20، ومنه SA′‾=+20 cm\overline{SA'} = +20\,\mathrm{cm} خلف المرآة، تخيلية، γ=+2\gamma = +2 (منتصبة مكبَّرة).

تمرين 3.2 ★

عدسة مجمّعة لها f′=5.0 cmf' = 5.0\,\mathrm{cm}. أوجد صورة جسم على 20 cm20\,\mathrm{cm}، ثم على 3.0 cm3.0\,\mathrm{cm}؛ وارسم البناءين.

حل

حل التمرين 3.2.

OA‾=−20 cm\overline{OA} = -20\,\mathrm{cm}: 1/OA′‾=1/5−1/20=3/201/\overline{OA'} = 1/5 - 1/20 = 3/20، ومنه OA′‾=+6.7 cm\overline{OA'} = +6.7\,\mathrm{cm}، حقيقية مقلوبة، γ=−1/3\gamma = -1/3. وOA‾=−3.0 cm\overline{OA} = -3.0\,\mathrm{cm}: 1/OA′‾=1/5−1/3=−2/151/\overline{OA'} = 1/5 - 1/3 = -2/15، ومنه OA′‾=−7.5 cm\overline{OA'} = -7.5\,\mathrm{cm}، تخيلية منتصبة، γ=+2.5\gamma = +2.5.

تمرين 3.3 ★

أعطِ تقارب عدسة بعدها البؤري 25 cm25\,\mathrm{cm}؛ والبعد البؤري لعدسة −2.0 δ-2.0\,\delta؛ والبعد البؤري لعدستين متلامستين +3.0 δ+3.0\,\delta و−1.0 δ-1.0\,\delta.

حل

حل التمرين 3.3.

V=1/0.25=+4.0 δV = 1/0.25 = +4.0\,\delta؛ وf′=1/(−2.0)=−50 cmf' = 1/(-2.0) = -50\,\mathrm{cm}؛ وV=3.0−1.0=+2.0 δV = 3.0 - 1.0 = +2.0\,\delta، ومنه f′=50 cmf' = 50\,\mathrm{cm}.

تمرين 3.4 ★

مع f′=10 cmf' = 10\,\mathrm{cm} وجسم على 15 cm15\,\mathrm{cm} أمام FF، استعمل علاقة نيوتن لتحديد الصورة وإيجاد γ\gamma؛ وتحقق بعلاقة ديكارت.

حل

حل التمرين 3.4.

FA‾=−15 cm\overline{FA} = -15\,\mathrm{cm}: F′A′‾=−f′2/FA‾=+100/15=6.7 cm\overline{F'A'} = -f'^2/\overline{FA} = +100/15 = 6.7\,\mathrm{cm} خلف F′F'، أي OA′‾=16.7 cm\overline{OA'} = 16.7\,\mathrm{cm}؛ وγ=f′/FA‾=−0.67\gamma = f'/\overline{FA} = -0.67. وبعلاقة ديكارت: OA‾=−25 cm\overline{OA} = -25\,\mathrm{cm} و 1/OA′‾=1/10−1/25=3/501/\overline{OA'} = 1/10 - 1/25 = 3/50، ومنه OA′‾=16.7 cm\overline{OA'} = 16.7\,\mathrm{cm} و γ=16.7/(−25)=−0.67\gamma = 16.7/(-25) = -0.67.

تمرين 3.5 ★★

مرآة رؤية خلفية محدبة لها R=2.0 mR = 2.0\,\mathrm{m}. وسيارة ارتفاعها 1.5 m1.5\,\mathrm{m} تقع على 20 m20\,\mathrm{m} خلفها: أوجد موضع الصورة وارتفاعها، وفسّر التحذير “الأجسام في المرآة أقرب ممّا تبدو”.

حل

حل التمرين 3.5.

SF‾=+1.0 m\overline{SF} = +1.0\,\mathrm{m} و SA‾=−20 m\overline{SA} = -20\,\mathrm{m}: 1/SA′‾=1+1/201/\overline{SA'} = 1 + 1/20، ومنه SA′‾=0.95 m\overline{SA'} = 0.95\,\mathrm{m} خلف المرآة (تخيلية منتصبة)؛ وγ=−0.95/(−20)=+0.048\gamma = -0.95/(-20) = +0.048، فارتفاع الصورة 7.1 cm7.1\,\mathrm{cm}. والدماغ يحكم على المسافة من الحجم الظاهري: فسيارة تظهر أصغر عشرين مرة على 0.95 m0.95\,\mathrm{m} تُقرأ سيارةً بعيدة — أبعد من 20 m20\,\mathrm{m}.

تمرين 3.6 ★★

عدسة آلة تصوير f′=50 mmf' = 50\,\mathrm{mm} تضبط الوضوح على موضوع على بعد 2.0 m2.0\,\mathrm{m}. فكم يجب أن تتحرك العدسة عن ضبط اللانهاية؟ وما التكبير؟ وإلى أيّ مسافة يجب أن يتراجع المصوّر كي يتّسع شخص طوله 1.8 m1.8\,\mathrm{m} في ارتفاع المستقبِل البالغ 24 mm24\,\mathrm{mm}؟

حل

حل التمرين 3.6.

1/OA′‾=1/50−1/2000=0.0195 mm−11/\overline{OA'} = 1/50 - 1/2000 = 0.0195\,\mathrm{mm}^{-1}، ومنه OA′‾=51.3 mm\overline{OA'} = 51.3\,\mathrm{mm}: أي تبتعد العدسة 1.3 mm1.3\,\mathrm{mm} عن المستقبِل. وγ=51.3/(−2000)=−0.026\gamma = 51.3/(-2000) = -0.026. ومن أجل ∣γ∣=24/1800=1/75\abs\gamma = 24/1800 = 1/75: OA‾=f′(1/γ−1)=50×(−76)=−3.8 m\overline{OA} = f'(1/\gamma - 1) = 50 \times (-76) = -3.8\,\mathrm{m}.

تمرين 3.7 ★★

يجب أن يعرض جهاز شريحةً عرضها 36 mm36\,\mathrm{mm} صورةً عرضها 1.8 m1.8\,\mathrm{m} على شاشة على بعد 5.0 m5.0\,\mathrm{m} من العدسة. أوجد البعد البؤري المطلوب والمسافة شريحة–عدسة. ولماذا تُدخل الشريحة مقلوبة؟

حل

حل التمرين 3.7.

γ=−1.8/0.036=−50\gamma = -1.8/0.036 = -50؛ وOA′‾=5.0 m\overline{OA'} = 5.0\,\mathrm{m}، ومنه OA‾=OA′‾/γ=−10 cm\overline{OA} = \overline{OA'}/\gamma = -10\,\mathrm{cm}؛ و1/f′=1/5.0+1/0.10=10.2 m−11/f' = 1/5.0 + 1/0.10 = 10.2\,\mathrm{m}^{-1}، ومنه f′=98 mmf' = 98\,\mathrm{mm}. والصورة مقلوبة (γ<0\gamma < 0)، أعلى–أسفل ويمينًا–يسارًا: فتُدخل الشريحة مُدارة بمقدار 180∘180^\circ.

تمرين 3.8 ★★

فسّر، برسم للأشعة، لماذا يحدّد التقويم الذاتي المستوي البؤري تحديدًا تامًّا، ولماذا تكون الصورة الراجعة مقلوبة وفي حجم الجسم. وماذا يحدث للصورة الراجعة إذا مالت المرآة قليلًا؟

حل

حل التمرين 3.8.

الجسم في المستوي البؤري ⇒\Rightarrow تغادر الأشعة الصادرة عن كل نقطة العدسةَ متوازية؛ وترسلها المرآة المستوية راجعةً متوازية (في اتجاه متناظر)؛ وتجمّع العدسة حزمة متوازية في مستويها البؤري، عند النقطة المناظرة لنقطة المنبع بالنسبة إلى المحور: أي صورة في مستوي الجسم، مقلوبة، γ=−1\gamma = -1. وإمالة المرآة بالزاوية α\alpha تدير الحزمة الراجعة بمقدار 2α2\alpha وتزيح الصورة جانبيًّا بمقدار 2αf′2\alpha f'، وهي تبقى واضحة في المستوي نفسه.

تمرين 3.9 ★★

جسم وشاشة على بعد 1.00 m1.00\,\mathrm{m}؛ وتُحصَّل صور واضحة من أجل وضعين للعدسة يفصل بينهما 40 cm40\,\mathrm{cm}. أوجد f′f'. وما أقصر مسافة جسم–شاشة تستطيع عندها هذه العدسة أن تعرض صورة واضحة، وبأيّ تكبير؟

حل

حل التمرين 3.9.

f′=(1002−402)/(4×100)=21 cmf' = (100^2 - 40^2)/(4 \times 100) = 21\,\mathrm{cm}. وأقصر مسافة 4f′=84 cm4f' = 84\,\mathrm{cm}، مع γ=−1\gamma = -1.

تمرين 3.10 ★★★

عدسة مجمّعة L1L_1 (f1′=20 cmf_1' = 20\,\mathrm{cm}) تتبعها، على بعد 15 cm15\,\mathrm{cm}، عدسة مفرّقة L2L_2 (f2′=−10 cmf_2' = -10\,\mathrm{cm}). حدّد صورة جسم في اللانهاية. وبيّن أن جسمًا بعيدًا قياسه الزاوي α\alpha يعطي صورة ارتفاعها 40 cm×α40\,\mathrm{cm}\times\alpha، وقارن ذلك بطول الترتيب: وهو مبدأ العدسة المقرِّبة.

حل

حل التمرين 3.10.

تعطي L1L_1 صورة اللانهاية في F1′F_1'، على 20 cm20\,\mathrm{cm} خلف L1L_1، أي 5 cm5\,\mathrm{cm} خلف L2L_2: فهي جسم تخيلي، O2A1‾=+5 cm\overline{O_2A_1} = +5\,\mathrm{cm}. و1/O2A′‾=−1/10+1/5=1/101/\overline{O_2A'} = -1/10 + 1/5 = 1/10: فالصورة النهائية على 10 cm10\,\mathrm{cm} خلف L2L_2. وارتفاع الصورة الوسيطة h1=f1′α=20αh_1 = f_1'\alpha = 20\alpha (بالسنتيمتر)؛ وγ2=10/5=2\gamma_2 = 10/5 = 2، ومنه h=40αh = 40\alpha: أي بعد بؤري مكافئ 40 cm40\,\mathrm{cm}، في أسطوانة طولها 15+10=25 cm15 + 10 = 25\,\mathrm{cm} — وهي عدسة مقرِّبة.

تمرين 3.11 ★★★

تكوّن مرآة مقعرة، على شاشة تبعد 80 cm80\,\mathrm{cm} عن شعيرة مصباح، صورةً للشعيرة في ثلاثة أمثال حجمها. أوجد موضع المرآة ونصف قطر تكوّرها.

حل

حل التمرين 3.11.

γ=−3=−SA′‾/SA‾\gamma = -3 = -\overline{SA'}/\overline{SA} يعطي SA′‾=3SA‾\overline{SA'} = 3\overline{SA}؛ وكلتاهما حقيقية أمام المرآة: SA‾=−x\overline{SA} = -x و SA′‾=−3x\overline{SA'} = -3x، والمسافة شاشة–مصباح 2x=80 cm2x = 80\,\mathrm{cm}، ومنه x=40 cmx = 40\,\mathrm{cm}. فالمرآة على 40 cm40\,\mathrm{cm} من المصباح و120 cm120\,\mathrm{cm} من الشاشة؛ و1/SF‾=−1/40−1/120=−1/301/\overline{SF} = -1/40 - 1/120 = -1/30، ومنه R=2×30=60 cmR = 2 \times 30 = 60\,\mathrm{cm}.

تمرين 3.12 ★★★

تُرى الشمس تحت زاوية 0.53∘0.53^\circ. وتكوّن عدسة مجمّعة قطرها 10 cm10\,\mathrm{cm} وبعدها البؤري 50 cm50\,\mathrm{cm} صورتها على ورقة ورق. احسب قطر الصورة والاستطاعة المجموعة (والإشعاع الشمسي 1.0 kW/m21.0\,\mathrm{kW}/\mathrm{m}^{2}) والإشعاع في الصورة؛ وقارنه بالإشعاع الشمسي المباشر واستنتج.

حل

حل التمرين 3.12.

θ=0.53∘=9.3×10−3 rad\theta = 0.53^\circ = 9.3 \times 10^{-3}\,\mathrm{rad}؛ وقطر الصورة f′θ=4.6 mmf'\theta = 4.6\,\mathrm{mm}. والاستطاعة المجموعة 103×π(0.05)2=7.9 W10^3 \times \pi(0.05)^2 = 7.9\,\mathrm{W}؛ ومساحة الصورة π(2.3×10−3)2=1.7×10−5 m2\pi(2.3\times10^{-3})^2 = 1.7 \times 10^{-5}\,\mathrm{m}^{2}؛ فالإشعاع 4.7×105 W/m24.7 \times 10^{5}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}، أي 470470 ضعف ضوء الشمس المباشر: فيتفحّم الورق ثم يشتعل — وهي عدسة الإحراق. والربح عمومًا (D/f′θ)2(D/f'\theta)^2.

3.7 مسألة: جهاز عرض الشرائح

مسألة 3.1

مسألة نهاية الأسبوع — عدسة واحدة، تُقاس على طاولة تجارب، ثم يُطلب إليها أن ترمي شريحة عبر قاعة: كيف يُصمَّم جهاز عرض ويُضبط ويُزوَّد بمحوّل الرمي البعيد

عدسة العرض L1L_1 عدسة رقيقة مجمّعة بعدها البؤري f1′f_1' مجهول. والشريحة ارتفاعها 24 mm24\,\mathrm{mm} وعرضها 36 mm36\,\mathrm{mm}.

الجزء I — العدسة على طاولة التجارب.

  1. اذكر علاقة ديكارت والتكبير من أجل عدسة رقيقة، مع اصطلاحات الإشارة.
  2. الجسم والشاشة مثبتان على بعد DD. بيّن أن وجود صورة حقيقية على الشاشة يقتضي D≥4f1′D \geq 4f_1'.
  3. بيّن أنه حين يكون D>4f1′D > 4f_1' يكون وضعا العدسة اللذان يعطيان صورة واضحة متناظرين بالنسبة إلى منتصف ما بين الجسم والشاشة، وأن f1′=(D2−d2)/4Df_1' = (D^2 - d^2)/4D حيث dd هو الفصل بينهما.
  4. مع D=80.0 cmD = 80.0\,\mathrm{cm} و d=40.0 cmd = 40.0\,\mathrm{cm}، احسب f1′f_1'.
  5. توضع العدسة في أسطوانة سميكة يتعذّر تحديد مركزها البصري بدقة. فلماذا لا يؤثر هذا في الطريقة؟
  6. تحمل المسافتان u(D)=0.2 cmu(D) = 0.2\,\mathrm{cm} و u(d)=0.5 cmu(d) = 0.5\,\mathrm{cm}. احسب u(f1′)u(f_1') واكتب النتيجة.
  7. أعطِ التكبير عند كلٍّ من الوضعين. وأيّهما يوافق جهاز عرض؟
  8. ما أصغر DD توجد عنده صورة واضحة، وما التكبير عندئذٍ (سيلبرمان)؟

الجزء II — رمي الصورة. يجب أن يكون عرض الصورة على الشاشة 1.80 m1.80\,\mathrm{m}. خذ f1′=15.0 cmf_1' = 15.0\,\mathrm{cm}.

  1. ما التكبير المطلوب (بإشارته)؟
  2. احسب المسافة عدسة–شاشة والمسافة شريحة–عدسة.
  3. لماذا تُدخل الشريحة مقلوبة ومعكوسة يمينًا ويسارًا؟
  4. تُنقل الشاشة إلى 10.0 m10.0\,\mathrm{m}. فبأيّ مقدار، وفي أيّ اتجاه، يجب تحريك العدسة بالنسبة إلى الشريحة لإعادة الضبط؟ وما عرض الصورة الآن؟

الجزء III — تسامح الضبط والضوء.

  1. بيّن أن انتقالًا صغيرًا  ⁣dOA‾\dd\overline{OA} للشريحة يزيح الصورة بمقدار  ⁣dOA′‾=γ2  ⁣dOA‾\dd\overline{OA'} = \gamma^2\,\dd\overline{OA}.
  2. يتقوّس الفيلم بمقدار 0.10 mm0.10\,\mathrm{mm} تحت حرارة المصباح. فبأيّ مقدار يتحرك مستوي الصورة (والشاشة على 7.65 m7.65\,\mathrm{m})؟ علّق على ذلك.
  3. فتحة العدسة قطرها 30 mm30\,\mathrm{mm}. فإذا وقعت الشاشة على 20 cm20\,\mathrm{cm} خارج مستوي الصورة، فما قطر لطخة الضبابية لنقطة من الشريحة؟ وهل تلاحظها العين من 5 m5\,\mathrm{m} (وتمييزها الزاوي نحو 3×10−4 rad3 \times 10^{-4}\,\mathrm{rad})؟
  4. تتلقى الشريحة 2.0 W2.0\,\mathrm{W} من الضوء، يصل كله إلى الشاشة. احسب الإشعاع (الاستطاعة على واحدة المساحة) على الشريحة وعلى الشاشة، وبيّن أن نسبتهما هي γ2\gamma^2.

الجزء IV — محوّل الرمي البعيد. في قاعة أكبر تبعد الشاشة 12.0 m12.0\,\mathrm{m}. وتُثبَّت عدسة مفرّقة L2L_2 بعدها البؤري f2′=−30.0 cmf_2' = -30.0\,\mathrm{cm} على 8.0 cm8.0\,\mathrm{cm} خلف L1L_1؛ والشاشة على 12.0 m12.0\,\mathrm{m} من L2L_2.

  1. كي تكون الصورة النهائية حقيقية وعلى الشاشة، أين (بالنسبة إلى L2L_2) يجب أن تقع الصورة الوسيطة التي تعطيها L1L_1؟ وهل هي جسم حقيقي أم تخيلي بالنسبة إلى L2L_2؟
  2. استنتج موضع الشريحة O1A‾\overline{O_1A}.
  3. احسب γ1\gamma_1 و γ2\gamma_2 والتكبير الكلي.
  4. أعطِ عرض الصورة، وقارنه بما تعطيه L1L_1 وحدها على الشاشة نفسها (على 12.08 m12.08\,\mathrm{m} من L1L_1).

  5. من أجل جسم في اللانهاية، بيّن أن النظام يكافئ عدسة واحدة بعدها البؤري feqf_{\mathrm{eq}} حيث

    1feq=1f1′+1f2′−ef1′f2′,\frac{1}{f_{\mathrm{eq}}} = \frac{1}{f_1'} + \frac{1}{f_2'} - \frac{e}{f_1' f_2'},

    مع e=O1O2‾e = \overline{O_1O_2}، بمعنى أن حزمة مائلة بالزاوية α\alpha تتجمّع على ارتفاع feq αf_{\mathrm{eq}}\,\alpha عن المحور. احسب feqf_{\mathrm{eq}}.

  6. تحقق من أن نسبة عرضَي الصورة (مع المحوّل ودونه) قريبة من f1′/feqf_1'/f_{\mathrm{eq}}. ولماذا هي قريبة فقط؟
  7. لماذا يجب أن تقع الصورة الوسيطة على أقلّ من ∣f2′∣\abs{f_2'} خلف L2L_2 كي تكون الصورة النهائية حقيقية؟
  8. مع المصباح نفسه، بأيّ عامل يتغير إشعاع الشاشة عند تركيب المحوّل (وعلى بعد الشاشة نفسه)؟
  9. لخّص: بأيّ عامل يضرب المحوّل البعد البؤري، وماذا يفعل بحجم الصورة وسطوعها عند رميٍ معطى؟
حل

حل المسألة 3.1.

1. 1/OA′‾−1/OA‾=1/f′1/\overline{OA'} - 1/\overline{OA} = 1/f' و γ=OA′‾/OA‾\gamma = \overline{OA'}/\overline{OA}؛ مع محور موجَّه في اتجاه الضوء ومسافات جبرية من OO.

2. p=−OA‾p = -\overline{OA} و OA′‾=D−p\overline{OA'} = D - p: 1/(D−p)+1/p=1/f1′1/(D - p) + 1/p = 1/f_1'، أي p2−Dp+Df1′=0p^2 - Dp + Df_1' = 0؛ وللجذور وجود حقيقي إذا وفقط إذا كان D2−4Df1′≥0D^2 - 4Df_1' \geq 0، أي D≥4f1′D \geq 4f_1'.

3. مجموع الجذرين DD: أي p1+p2=Dp_1 + p_2 = D ومنه p2=D−p1p_2 = D - p_1 — فتتبادل مسافتا الجسم والصورة، والوضعان متناظران بالنسبة إلى المنتصف. وd=p2−p1=D2−4Df1′d = p_2 - p_1 = \sqrt{D^2 - 4Df_1'}، ومنه f1′=(D2−d2)/4Df_1' = (D^2 - d^2)/4D.

4. f1′=(6400−1600)/320=15.0 cmf_1' = (6400 - 1600)/320 = 15.0\,\mathrm{cm}.

5. لا يدخل في الحساب إلا انتقال الأسطوانة dd بين الوضعين الواضحين والمسافة جسم–شاشة DD: ولا يقتضي أيّ منهما معرفة موضع OO داخل الأسطوانة.

6. ∂f1′/∂D=1/4+d2/4D2=0.3125\partial f_1'/\partial D = 1/4 + d^2/4D^2 = 0.3125 و ∂f1′/∂d=−d/2D=−0.25\partial f_1'/\partial d = -d/2D = -0.25؛ ومنه u(f1′)2=(0.3125×0.2)2+(0.25×0.5)2=0.0195 cm2u(f_1')^2 = (0.3125 \times 0.2)^2 + (0.25 \times 0.5)^2 = 0.0195\,\mathrm{cm}^{2} و u(f1′)=0.14 cmu(f_1') = 0.14\,\mathrm{cm}، أي f1′=(15.00±0.14) cmf_1' = (15.00 \pm 0.14)\,\mathrm{cm}.

7. p=(80∓40)/2=20p = (80 \mp 40)/2 = 20 أو 60 cm60\,\mathrm{cm}: فيكون γ=−60/20=−3\gamma = -60/20 = -3 (والشريحة قريبة من العدسة، والصورة مكبَّرة: وهو جهاز العرض) و γ=−1/3\gamma = -1/3.

8. Dmin⁡=4f1′=60.0 cmD_{\min} = 4f_1' = 60.0\,\mathrm{cm}, γ=−1\gamma = -1.

9. γ=−1.80/0.036=−50\gamma = -1.80/0.036 = -50.

10. OA′‾=f1′(1−γ)=15×51=765 cm=7.65 m\overline{OA'} = f_1'(1 - \gamma) = 15 \times 51 = 765\,\mathrm{cm} = 7.65\,\mathrm{m}; OA‾=OA′‾/γ=−15.3 cm\overline{OA} = \overline{OA'}/\gamma = -15.3\,\mathrm{cm}.

11. γ<0\gamma < 0: فالصورة الحقيقية مُدارة بمقدار 180∘180^\circ حول المحور، ومن ثمّ تُدخل الشريحة مُدارة بمقدار 180∘180^\circ (مقلوبة ومعكوسة يمينًا ويسارًا).

12. OA′‾=1000 cm\overline{OA'} = 1000\,\mathrm{cm}: 1/OA‾=1/1000−1/151/\overline{OA} = 1/1000 - 1/15، ومنه OA‾=−15.23 cm\overline{OA} = -15.23\,\mathrm{cm}: أي تتحرك العدسة 0.7 mm0.7\,\mathrm{mm} نحو الشريحة. وγ=1000/(−15.23)=−65.7\gamma = 1000/(-15.23) = -65.7: فعرض الصورة 2.36 m2.36\,\mathrm{m}.

13. باشتقاق علاقة ديكارت: − ⁣dOA′‾/OA′‾2+ ⁣dOA‾/OA‾2=0-\dd\overline{OA'}/\overline{OA'}^2 + \dd\overline{OA}/\overline{OA}^2 = 0، ومنه  ⁣dOA′‾=(OA′‾/OA‾)2  ⁣dOA‾=γ2  ⁣dOA‾\dd\overline{OA'} = (\overline{OA'}/\overline{OA})^2\,\dd\overline{OA} = \gamma^2\,\dd\overline{OA}.

14. 2500×0.10 mm=25 cm2500 \times 0.10\,\mathrm{mm} = 25\,\mathrm{cm}: فتنحرف الصورة عن الوضوح كلما سخن الفيلم — ومن هنا الشرائح المركّبة على زجاج أو ضبط ذاتي يتعقّب الفيلم.

15. بالمثلثات المتشابهة من الفتحة إلى نقطة الصورة: الضبابية =30×0.20/7.65=0.78 mm= 30 \times 0.20/7.65 = 0.78\,\mathrm{mm}؛ وهي تُرى من 5 m5\,\mathrm{m} تحت زاوية 1.6×10−4 rad<3×10−4 rad1.6 \times 10^{-4}\,\mathrm{rad} < 3 \times 10^{-4}\,\mathrm{rad}: فلا تُلاحَظ.

16. مساحة الشريحة 8.64×10−4 m28.64\times10^{-4}\ \mathrm{m}^{2}: فيكون Eالشريحة=2.0/8.64×10−4=2.3×103 W/m2E_{\text{الشريحة}} = 2.0/8.64\times10^{-4} = 2.3 \times 10^{3}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}؛ ومساحة الشاشة أكبر γ2\gamma^2 مرة، أي 2.16 m22.16\,\mathrm{m}^{2}: فيكون Eالشاشة=0.93 W/m2E_{\text{الشاشة}} = 0.93\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}؛ والاستطاعة نفسها، والمساحتان بنسبة γ2=2500\gamma^2 = 2500.

17. O2A′‾=1200 cm\overline{O_2A'} = 1200\,\mathrm{cm}: 1/O2A‾=1/1200+1/30=0.034171/\overline{O_2A} = 1/1200 + 1/30 = 0.03417، ومنه O2A‾=+29.3 cm\overline{O_2A} = +29.3\,\mathrm{cm}: أي إن الصورة الوسيطة تقع على 29.3 cm29.3\,\mathrm{cm} خلف L2L_2 — فهي جسم تخيلي بالنسبة إلى L2L_2 (لأن الأشعة الآتية من L1L_1 تتقارب نحوها).

18. O1A1′‾=8.0+29.3=37.3 cm\overline{O_1A_1'} = 8.0 + 29.3 = 37.3\,\mathrm{cm}؛ و1/O1A‾=1/37.3−1/15=−0.03981/\overline{O_1A} = 1/37.3 - 1/15 = -0.0398، ومنه O1A‾=−25.1 cm\overline{O_1A} = -25.1\,\mathrm{cm}.

19. γ1=37.3/(−25.1)=−1.49\gamma_1 = 37.3/(-25.1) = -1.49؛ وγ2=1200/29.3=41.0\gamma_2 = 1200/29.3 = 41.0؛ ومنه γ=−60.9\gamma = -60.9.

20. العرض 60.9×36=2.19 m60.9 \times 36 = 2.19\,\mathrm{m}. وبالعدسة L1L_1 وحدها: γ=1−OA′‾/f1′=1−1208/15=−79.5\gamma = 1 - \overline{OA'}/f_1' = 1 - 1208/15 = -79.5، فالعرض 2.86 m2.86\,\mathrm{m}.

21. حزمة بالزاوية α\alpha: تجمّعها L1L_1 على ارتفاع h1=f1′αh_1 = f_1'\alpha في مستويها البؤري، وهو على O2A1‾=f1′−e\overline{O_2A_1} = f_1' - e من L2L_2؛ وتصوّر L2L_2 هذه النقطة عند O2A′‾\overline{O_2A'} حيث 1/O2A′‾=1/f2′+1/(f1′−e)1/\overline{O_2A'} = 1/f_2' + 1/(f_1' - e) وتكبّرها بالمقدار γ2=O2A′‾/(f1′−e)\gamma_2 = \overline{O_2A'}/(f_1' - e)، ومنه h=γ2f1′αh = \gamma_2 f_1'\alpha و feq=γ2f1′=f1′f2′f1′+f2′−ef_{\mathrm{eq}} = \gamma_2 f_1' = \dfrac{f_1' f_2'}{f_1' + f_2' - e}، ومقلوبه هو الصيغة المذكورة. ومنه 1/feq=1/15−1/30+8/450=0.0511 cm−11/f_{\mathrm{eq}} = 1/15 - 1/30 + 8/450 = 0.0511\,\mathrm{cm}^{-1} و feq=19.6 cmf_{\mathrm{eq}} = 19.6\,\mathrm{cm}.

22. 2.19/2.86=0.772.19/2.86 = 0.77 و 15/19.6=0.7715/19.6 = 0.77. وهي قريبة فقط لأن الشريحة على مسافة منتهية ولأن الرميين مقيسان من عدستين مختلفتين؛ ومن أجل جسم في اللانهاية تكون النسبة تامة.

23. جسم تخيلي عند p>0p > 0 خلف عدسة مفرّقة: 1/O2A′‾=1/p+1/f2′=1/p−1/∣f2′∣1/\overline{O_2A'} = 1/p + 1/f_2' = 1/p - 1/\abs{f_2'}، وهو موجب (أي صورة حقيقية) إذا وفقط إذا كان p<∣f2′∣p < \abs{f_2'}.

24. الاستطاعة نفسها على صورة مساحتها أصغر بعامل (2.19/2.86)2=0.59(2.19/2.86)^2 = 0.59: فيتضاعف الإشعاع ×1.7\times 1.7.

25. يضرب المحوّل البعد البؤري بالعامل feq/f1′=1.3f_{\mathrm{eq}}/f_1' = 1.3؛ وعند رميٍ معطى تصير الصورة أصغر 1.31.3 مرة في كل اتجاه وأسطع 1.71.7 مرة — أي عدسة رميٍ بعيد.

المصطلحات المعرَّفة في هذا الفصل

عرض كل المصطلحات (393) في المسرد