الفيزياء الجامعية — السنة الأولى · Bachelor Year 1

24المحركات والآلات الحرارية

محرك سيارة، ومحطة توليد، وثلاجة، ومضخة حرارية: كلها الشيء نفسه منظورًا إليه من أربع جهات: مائع يُدار في دور، ويكون بالتناوب في تماسّ مع منبع ساخن وآخر بارد، فيتبادل الحرارة مع كليهما والشغل مع عمود. فالمبدأ الأول يمسك حساب الطاقة؛ والمبدأ الثاني، عبر موازنة الإنتروبيا على امتداد دور واحد، يقيم الحدّ الذي لا تغلبه براعة — وهو مبرهنة كارنو، أبعد متراجحات هندسة الآلات أثرًا. ويشتقّ هذا الفصل ذلك الحدّ، ويحسب الدور المثالي والأدوار الحقيقية التي تقترب منه (أوتو وديزل وستيرلنغ)، ثم يعكس الآلة لصنع البرد وتدفئة البيوت، ويبيّن كيف تُدفَع إنتروبيا آلة حقيقية المُنشأة، جولًا بجول، شغلًا ضائعًا.

24.1 الآلات الدورية والمبدآن

تعريف 24.1 (الآلة الترموديناميكية)

الآلة الترموديناميكية جملة مغلقة (هي المائع العامل) تُدار في دور، فتعود دوريًّا إلى الحالة نفسها، بينما تتبادل الشغل $W$ مع الخارج والحرارة $Q_i$ مع منابع عند درجات الحرارة $T_i$ — وهي منظِّمات حرارية، لا يغيّر التبادل درجة حرارتها. والآلة ثنائية المنبع تستعمل منظِّمين حراريين، هما المنبع الساخن عند $T_h$ والمنبع البارد عند $T_c < T_h$ . وتكون محركًا إن قدّمت شغلًا ( $W < 0$ )، وثلاجة إن أُديرت ( $W > 0$ ) لتأخذ الحرارة من المنبع البارد، ومضخة حرارية إن أُديرت لتعطي الحرارة للمنبع الساخن. وتُحسب المقادير كلها على امتداد دور واحد، جبريًّا، بوصفها متلقاةً من المائع.

مبرهنة 24.2 (المبدآن على امتداد دور؛ متراجحة كلاوزيوس)

على امتداد دور واحد من آلة ثنائية المنبع، يكون

W + Q_h + Q_c = 0 , \qquad \frac{Q_h}{T_h} + \frac{Q_c}{T_c} = -S_{\mathrm{created}} \leq 0 ,

مع المساواة في العلاقة الثانية إذا كان الدور عكوسًا وفقط إذا كان كذلك. وعمومًا، من أجل أيّ عدد من المنظِّمات الحرارية، يكون $\sum_i Q_i/T_i \leq 0$ (وهي متراجحة كلاوزيوس).

برهان. $U$ و $S$ دالتا حالة، فيكون $\Delta U = 0$ و $\Delta S = 0$ على امتداد دور. ويعطي المبدأ الأول $0 = W + Q_h + Q_c$ ؛ وتعطي موازنة الإنتروبيا (المبرهنة 23.1) أن $0 = S_{\mathrm{exch}} + S_{\mathrm{created}}$ مع $S_{\mathrm{exch}} = \sum Q_i/T_i$ لأن كل منظِّم حراري يتبادل عند درجة حرارته الثابتة (القضية 23.5). ∎

نتيجة 24.3 (كلفن من جديد)

الآلة الأحادية المنبع ( $Q_c = 0$ ) لها $Q_h \leq 0$ ، ومنه $W \geq 0$ : فلا يستطيع دور أن يحوّل حرارة منبع واحد إلى شغل. ولا تستطيع سفينة أن تبحر بتبريد البحر — فالمحرك يحتاج إلى منبع بارد يطرح فيه الحرارة، والمبدأ الثاني يقول كم عليه أن يطرح.

الجهتان اللتان يُدار فيهما دور ثنائي المنبع. على اليمين: يأخذ المحرك الحرارة من المنبع الساخن، ويطرح جزءًا منها إلى البارد ويقدّم الفرق شغلًا. وعلى اليسار: الآلة نفسها مُدارة إلى الوراء تضخّ الحرارة من البارد إلى الساخن؛ فهي ثلاجة إن أُريد Q_c، ومضخة حرارية إن أُريد |Q_h|. — الجهتان اللتان يُدار فيهما دور ثنائي المنبع. على اليمين: يأخذ المحرك الحرارة من المنبع الساخن، ويطرح جزءًا منها إلى البارد ويقدّم الفرق شغلًا. وعلى اليسار: الآلة نفسها مُدارة إلى الوراء تضخّ الحرارة من البارد إلى الساخن؛ فهي ثلاجة إن أُريد $Q_c$ ، ومضخة حرارية إن أُريد $|Q_h|$ .

24.2 مبرهنة كارنو

تعريف 24.4 (المردود ومعاملا الأداء)

مردود محرك هو الشغل المقدَّم لواحدة الحرارة المأخوذة من المنبع الساخن، $\eta = -W/Q_h$ ؛ ومعامل الأداء لثلاجة هو البرد المنتَج لواحدة الشغل، $e_f = Q_c/W$ ؛ وهو لمضخة حرارية الحرارة المقدَّمة لواحدة الشغل، $e_p = -Q_h/W$ . وكلٌّ منها نسبة “ما يريده المرء” إلى “ما يدفعه”؛ ولا يتجاوز المردود 1، أما معامل الأداء فقد يتجاوز 1.

مبرهنة 24.5 (كارنو)

بين منظِّمين حراريين $T_h > T_c$ ، يكون

\eta \leq \eta_C = 1 - \frac{T_c}{T_h}, \qquad e_f \leq \frac{T_c}{T_h - T_c}, \qquad e_p \leq \frac{T_h}{T_h - T_c} = 1 + \frac{T_c}{T_h - T_c},

مع المساواة إذا كان الدور عكوسًا وفقط إذا كان كذلك. ولا تتوقف الحدود إلا على درجات الحرارة — لا على المائع ولا على الآلية.

برهان. من أجل محرك ( $Q_h > 0$ ): $\eta = -W/Q_h = (Q_h + Q_c)/Q_h = 1 + Q_c/Q_h$ ، وتعطي متراجحة كلاوزيوس أن $Q_c/Q_h \leq -T_c/T_h$ . ومن أجل ثلاجة ( $Q_c > 0$ و $W > 0$ ): $W = -Q_h - Q_c$ مع $-Q_h \geq Q_c T_h/T_c$ ، ومنه $W \geq Q_c(T_h/T_c - 1)$ و $e_f = Q_c/W \leq T_c/(T_h - T_c)$ . وللمضخة الحرارية: $e_p = -Q_h/W = (W + Q_c)/W = 1 + e_f$ . والمساواة هي الحالة العكوسة $S_{\mathrm{created}} = 0$ في كل موضع. ∎

مثال 24.6 (ثلاثة أعداد)

عنفة بخارية بين $T_h = 800\,\mathrm{K}$ ونهر عند $T_c = 300\,\mathrm{K}$ : $\eta_C = 0.625$ ؛ وتبلغ المحطات الحقيقية نحو $0.40$ . وثلاجة منزلية بين $275\,\mathrm{K}$ في الداخل ومطبخ عند $298\,\mathrm{K}$ : $e_f \leq 275/23 = 12$ ؛ وتعطي الآلات الحقيقية $2$ إلى $4$ . ومضخة حرارية تدفئ بيتًا عند $293\,\mathrm{K}$ من هواء عند $273\,\mathrm{K}$ : $e_p \leq 293/20 = 14.7$ ؛ وتعطي المضخات الحقيقية $3$ إلى $5$ — أي ثلاثة إلى خمسة أضعاف ما كانت الكهرباء نفسها لتعطيه في مقاومة (المسألة 24.1).

ملاحظة 24.7 (لماذا لا يبلغ المردود 1)

يتلقى المحرك الإنتروبيا $Q_h/T_h$ مع الحرارة التي يأخذها؛ ولا يحمل الشغل منها شيئًا؛ فلا مخرج إلا الحرارة المطروحة إلى المنبع البارد، وهي تحمل $|Q_c|/T_c$ . وما دامت الإنتروبيا لا تُفنى، وجب طرح $Q_h T_c/T_h$ على الأقل من الحرارة، ويكون الشغل ما يتبقى. فكلما انخفض المنبع البارد وارتفع الساخن كان أفضل — ومن هنا أبراج التبريد، والسعي وراء ريش عنفات أشدّ حرارة أبدًا.

24.3 دور كارنو

تعريف 24.8 (دور كارنو)

دور كارنو هو الدور العكوس الثنائي المنبع: متساويا حرارة عكوسان، عند $T_h$ (في تماسّ مع المنبع الساخن) وعند $T_c$ (مع البارد)، يصل بينهما ساقان كظومان عكوسان (متساويا الإنتروبيا، بلا تماسّ مع منبع). فإذا أُدير مع عقارب الساعة في المستوي $(V, P)$ كان محركًا؛ وإذا أُدير عكسها كان ثلاجة أو مضخة حرارية. وفي مخطط الإنتروبيا يكون مستطيلًا.

قضية 24.9 (دور كارنو لغاز مثالي)

من أجل $n$ مولًا من غاز مثالي يُدار على $A \to B$ (متساوي حرارة $T_h$ ، تمدد) ثم $B \to C$ (كظوم) ثم $C \to D$ (متساوي حرارة $T_c$ ، انضغاط) ثم $D \to A$ (كظوم):

Q_h = nRT_h\ln\frac{V_B}{V_A}, \qquad Q_c = -nRT_c\ln\frac{V_B}{V_A}, \qquad \eta = 1 - \frac{T_c}{T_h} ,

وهي قيمة كارنو — كما يجب أن تكون من أجل أيّ دور عكوس ثنائي المنبع.

برهان. على متساوي الحرارة يكون $\Delta U = 0$ ، ومنه $Q = -W = nRT\ln(V_{\text{النهائي}}/ V_{\text{الابتدائي}})$ . وعلى الكظومين يكون $TV^{\gamma-1}$ ثابتًا: $T_hV_B^{\gamma-1} = T_cV_C^{\gamma-1}$ و $T_hV_A^{\gamma-1} = T_cV_D^{\gamma-1}$ ، ومنه $V_C/V_D = V_B/V_A$ و $Q_c = nRT_c\ln(V_D/V_C) = -nRT_c\ln(V_B/V_A)$ . ثم $\eta = 1 + Q_c/Q_h = 1 - T_c/T_h$ . ∎

دور كارنو لغاز مثالي. على اليمين: في مخطط كلابيرون متساويا حرارة وكظومان (أشدّ ميلًا)، يُدار مع عقارب الساعة؛ والمساحة المحصورة هي الشغل المقدَّم. وعلى اليسار: الدور نفسه في مخطط الإنتروبيا مستطيل ارتفاعه T_h - T_c وعرضه Q_h/T_h؛ ومساحته هي -W من جديد، ونسبة تلك المساحة إلى المساحة تحت ضلعه العلوي، Q_h، هي 1 - T_c/T_h بمجرد النظر. — دور كارنو لغاز مثالي. على اليمين: في مخطط كلابيرون متساويا حرارة وكظومان (أشدّ ميلًا)، يُدار مع عقارب الساعة؛ والمساحة المحصورة هي الشغل المقدَّم. وعلى اليسار: الدور نفسه في مخطط الإنتروبيا مستطيل ارتفاعه $T_h - T_c$ وعرضه $Q_h/T_h$ ؛ ومساحته هي $-W$ من جديد، ونسبة تلك المساحة إلى المساحة تحت ضلعه العلوي، $Q_h$ ، هي $1 - T_c/T_h$ بمجرد النظر.

ملاحظة 24.10 (دور كارنو مبرهنة لا محرك)

تقتضي متساويات الحرارة العكوسة نقلًا للحرارة بطيئًا إلى ما لا نهاية عبر فرق متلاشٍ في درجة الحرارة: فمحرك كارنو يقدّم شغله الأعظمي عند استطاعة معدومة. وتقايض الآلات الحقيقية المردودَ بالاستطاعة بقبول فروق منتهية في درجات الحرارة داخل مبادلاتها (التمرين 24.10)؛ وتبقى قيمة كارنو السقف الذي يُقاس به كل تصميم.

24.4 أدوار المحركات الحقيقية

قضية 24.11 (دور أوتو)

يدير محرك البنزين المثالي الهواء ( $\gamma$ ) على: $1 \to 2$ انضغاط كظوم من $V_1$ إلى $V_2$ (ونسبة الانضغاط $r = V_1/V_2$ )؛ ثم $2 \to 3$ تسخين متساوي الحجم (هو الاحتراق)؛ ثم $3 \to 4$ تمدد كظوم عائد إلى $V_1$ ؛ ثم $4 \to 1$ تبريد متساوي الحجم (هو العادم). ومردوده هو

\eta_{\text{أوتو}} = 1 - \frac{1}{r^{\gamma-1}} .

برهان. لا تُتبادَل الحرارة إلا على متساويَي الحجم: $Q_h = nC_{V,m}(T_3 - T_2)$ و $Q_c = nC_{V,m}(T_1 - T_4)$ . وعلى الكظومين يكون $TV^{\gamma-1}$ ثابتًا: $T_2 = T_1r^{\gamma-1}$ و $T_3 = T_4r^{\gamma-1}$ ، ومنه $T_3 - T_2 = (T_4 - T_1)r^{\gamma-1}$ و $\eta = 1 + Q_c/Q_h = 1 - (T_4 - T_1)/(T_3 - T_2) = 1 - r^{1-\gamma}$ . ∎

مثال 24.12 (أعداد لمحرك بنزين)

مع $r = 9$ و $\gamma = 1.4$ : $9^{0.4} = 2.41$ و $\eta = 0.58$ . ويعطي محرك حقيقي نحو $0.30$ : فالاحتراق ليس لحظيًّا، والغاز ليس مثاليًّا عند $2500\,\mathrm{K}$ ، والحرارة تتسرب إلى الجدران، والاحتكاك والضخّ يأخذان نصيبهما. ورفع $r$ يفيد — إلى أن يشتعل مزيج الهواء والوقود من تلقائه في نهاية الانضغاط (وهو الطرق)؛ ومحرك الديزل يحوّل تلك الرذيلة إلى مبدأ له.

قضية 24.13 (دور ديزل)

استبدل بالتسخين المتساوي الحجم في دور أوتو تسخينًا متساوي الضغط، من $V_2$ إلى $V_3 = \rho V_2$ (ونسبة القطع $\rho > 1$ ): فالوقود المحقون في هواء صار ساخنًا بنسبة انضغاط $r$ من $15$ إلى $22$ يحترق لحظة وصوله. وعندئذ

\eta_{\text{ديزل}} = 1 - \frac{1}{r^{\gamma-1}}\,\frac{\rho^{\gamma} - 1}{\gamma(\rho - 1)} ,

وهو أصغر من قيمة أوتو عند $r$ نفسها لكنه يُبلَغ بنسبة انضغاط $r$ أكبر بكثير، فيكون أكبر عمليًّا ( $0.40$ إلى $0.45$ في المحركات الكبيرة).

برهان. لدينا $Q_h = nC_{P,m}(T_3 - T_2)$ و $Q_c = nC_{V,m}(T_1 - T_4)$ ، ومنه $\eta = 1 - (T_4 - T_1)/[\gamma(T_3 - T_2)]$ . ومع $T_2 = T_1r^{\gamma-1}$ و $T_3 = \rho T_2$ ، وعلى الكظوم $3 \to 4$ (حيث $V_4 = V_1 = rV_2$ )، يكون $T_4 = T_3(V_3/V_4)^{\gamma-1} = \rho T_1 r^{\gamma-1}(\rho/r)^{\gamma-1} = T_1\rho^{\gamma}$ : ومنه $\eta = 1 - (\rho^\gamma - 1)/[\gamma r^{\gamma-1}(\rho - 1)]$ . ∎

على اليمين: دور أوتو في مخطط كلابيرون (مرسومًا من أجل r = 4): كظومان ومتساويا حجم؛ وتدخل الحرارة عند النقطة الميتة العليا وتخرج مع العادم. وعلى اليسار: المردودات المثالية بدلالة نسبة الانضغاط؛ ويعلّم الخطان المتقطعان محرك بنزين (r = 9) ومحرك ديزل (r = 18 و = 2). — على اليمين: دور أوتو في مخطط كلابيرون (مرسومًا من أجل $r = 4$ ): كظومان ومتساويا حجم؛ وتدخل الحرارة عند النقطة الميتة العليا وتخرج مع العادم. وعلى اليسار: المردودات المثالية بدلالة نسبة الانضغاط؛ ويعلّم الخطان المتقطعان محرك بنزين ( $r = 9$ ) ومحرك ديزل ( $r = 18$ و $\rho = 2$ ).

قضية 24.14 (دور ستيرلنغ والمُجدِّد)

متساويا حرارة ( $T_c$ و $T_h$ ) يصل بينهما متساويا حجم. وحرارة الساقين المتساويي الحجم، $\pm nC_{V,m}(T_h - T_c)$ ، متساوية ومتعاكسة؛ فإذا خُزّنت على ساق التبريد في مُجدِّد (وهو كتلة مسامية يجري الغاز خلالها) ورُدّت على ساق التسخين، لم يتبادل مع المنابع إلا متساويا الحرارة، وكان $\eta = 1 - T_c/T_h$ : فمحرك ستيرلنغ محرك كارنو في كل شيء إلا شكل دوره. وبلا المُجدِّد يجب أن تأتي حرارة متساويي الحجم من المنبع الساخن ويكون $\eta = \dfrac{nR(T_h - T_c)\ln(V_1/V_2)}{nRT_h\ln(V_1/V_2) + nC_{V,m}(T_h - T_c)}$ ، وهو أدنى بكثير (التمرين 24.8).

برهان. على متساويي الحرارة يكون $Q_h = nRT_h\ln(V_1/V_2)$ و $Q_c = -nRT_c\ln(V_1/V_2)$ ، ومنه $-W = Q_h + Q_c + 0$ متى تلاشت حرارتا متساويي الحجم؛ ثم اقسم على الحرارة المأخوذة فعلًا من المنبع الساخن في كل حالة. ∎

ملاحظة 24.15 (العنفات البخارية والغازية)

لا تستعمل محطات التوليد غازًا في أسطوانة، بل ماءً يُغلى، ويتمدد عبر عنفة، ثم يُكثَّف ويُضخّ عائدًا (وهو دور رانكين، بتغيّرَي طور — الفصل 25)، أو هواءً يُضغط ويُسخَّن بالاحتراق ويتمدد في عنفة غازية (وهو دور برايتون، بكظومين ومتساويَي ضغط). ويحتاج تحليلها إلى موازنة الطاقة لمائع جارٍ، وهي في مجلد السنة الثانية؛ أما حدّ كارنو ومنطق هذا الفصل فينطبقان بلا تغيير.

24.5 الثلاجات والمضخات الحرارية

تعريف 24.16 (دور ضغط البخار)

تكاد كل ثلاجة ومجمّد ومكيّف ومضخة حرارية تدير مائعًا مبرِّدًا على أربعة مكوّنات: ضاغط (يتلقى الشغل، ويرفع ضغط البخار)، ومكثِّف (يتسيّل فيه البخار الساخن عند ضغط مرتفع، فيطلق $|Q_h|$ إلى الجهة الساخنة)، وصمام تمدد (يهبط فيه السائل إلى ضغط منخفض بلا شغل ولا حرارة، ويتبخر بعضه فجأةً)، ومبخِّر (يغلي فيه ما بقي عند ضغط منخفض، فيمتصّ $Q_c$ من الجهة الباردة). وتُحمَل الحرارة حرارةً كامنة للتبخر، ويعيّن الضغطان درجتَي الغليان (الفصل 25).

دور ضغط البخار. يغلي المائع المبرِّد في المبخِّر، وهو أبرد من الجهة الباردة، ويتكثف في المكثِّف، وهو أسخن من الجهة الساخنة: فتجري الحرارة في اتجاهها الطبيعي عبر كل مبادل، ويدفع الضاغط ثمن رفعها من T_ ev إلى T_ cd. — دور ضغط البخار. يغلي المائع المبرِّد في المبخِّر، وهو أبرد من الجهة الباردة، ويتكثف في المكثِّف، وهو أسخن من الجهة الساخنة: فتجري الحرارة في اتجاهها الطبيعي عبر كل مبادل، ويدفع الضاغط ثمن رفعها من $T_{\mathrm{ev}}$ إلى $T_{\mathrm{cd}}$ .

قضية 24.17 (ثمن فروق درجات الحرارة)

آلة عكوسة تعمل بين درجتَي حرارتها الداخليتين $T_{\mathrm{ev}} < T_c$ و $T_{\mathrm{cd}} > T_h$ لها $e_p = T_{\mathrm{cd}}/(T_{\mathrm{cd}} - T_{\mathrm{ev}})$ ، وهو أصغر من قيمة كارنو بين المنبعين؛ ولا تبلغ آلة حقيقية إلا جزءًا (من $0.4$ إلى $0.6$ عادةً) حتى من ذلك. ومن ثمّ يهبط أداء مضخة حرارية كلما انخفضت درجة الحرارة الخارجية وارتفعت درجة الحرارة التي تطلبها دارة التدفئة.

برهان. طبّق المبرهنة 24.5 على المائع، الذي تكون منظِّماته الحرارية فعليًّا درجتَي حرارة المبادلين؛ وكون $T_{\mathrm{cd}} - T_{\mathrm{ev}} > T_h - T_c$ يخفض النسبة. ∎

معامل أداء مضخة حرارية بدلالة درجة الحرارة الخارجية: حدّ كارنو بين البيت (20 C) والهواء الخارجي؛ والحدّ بعد حساب فروق درجات حرارة المبادلين (T_ cd = 313\, K و T_ ev = T_ out - 8\, K)؛ وآلة واقعية عند 0.55 من الأخير. وحتى عند -10 C تقدّم المضخة الحقيقية نحو ثلاثة جولات من الحرارة لكل جول من الكهرباء، حيث تعطي المقاومة جولًا واحدًا. — معامل أداء مضخة حرارية بدلالة درجة الحرارة الخارجية: حدّ كارنو بين البيت ( $20{}^{\circ}\mathrm{C}$ ) والهواء الخارجي؛ والحدّ بعد حساب فروق درجات حرارة المبادلين ( $T_{\mathrm{cd}} = 313\,\mathrm{K}$ و $T_{\mathrm{ev}} = T_{\mathrm{out}} - 8\,\mathrm{K}$ )؛ وآلة واقعية عند $0.55$ من الأخير. وحتى عند $-10{}^{\circ}\mathrm{C}$ تقدّم المضخة الحقيقية نحو ثلاثة جولات من الحرارة لكل جول من الكهرباء، حيث تعطي المقاومة جولًا واحدًا.

مثال 24.18 (مضخة حرارية أم مقاومة؟)

بيت يفقد $6\,\mathrm{kW}$ عند $-5{}^{\circ}\mathrm{C}$ في الخارج يحتاج إلى $6\,\mathrm{kW}$ من الكهرباء بالمقاومات؛ وكانت مضخة حرارية مثالية من $268\,\mathrm{K}$ إلى $293\,\mathrm{K}$ لتحتاج إلى $6/11.7 = 0.51\,\mathrm{kW}$ ؛ أما الحقيقية بدرجتَي حرارة مبادلين $260\,\mathrm{K}$ و $313\,\mathrm{K}$ وبعامل جودة $0.55$ ، فمعامل أدائها $e_p = 0.55 \times 313/53 = 3.2$ ، وتحتاج إلى $1.9\,\mathrm{kW}$ . وتجري مسألة نهاية الأسبوع الموسم كله، بالإنتروبيا أيضًا.

24.6 الإنتروبيا والشغل الضائع

مبرهنة 24.19 (الشغل الضائع)

محرك ثنائي المنبع يُنشئ الإنتروبيا $S_{\mathrm{created}}$ في الدور يقدّم

-W = Q_h\Bigl(1 - \frac{T_c}{T_h}\Bigr) - T_c\,S_{\mathrm{created}} ,

وتستهلك مضخة حرارية ثنائية المنبع تقدّم $|Q_h|$ المقدارَ $W = |Q_h|(1 - T_c/T_h) + T_c\,S_{\mathrm{created}}$ : فكل جول لكل كلفن يُنشأ يكلّف $T_c$ جولًا من الشغل، وتكون درجة حرارة المنبع البارد هي سعر الصرف بين الإنتروبيا والشغل.

برهان. من المبرهنة 24.2 لدينا $Q_c = -T_c(Q_h/T_h + S_{\mathrm{created}})$ ؛ فعوّض في $-W = Q_h + Q_c$ . وللمضخة، اكتب العلاقتين نفسيهما مع $Q_h < 0$ . ∎

طريقة 24.20 (تدقيق آلة)

قِس (أو احسب) الحرارات المتبادلة مع كل منبع والشغل؛ وتحقّق من المبدأ الأول؛ واحسب $S_{\mathrm{created}} = -\sum Q_i/T_i$ في الدور أو في الثانية؛ وتكون الاستطاعة الضائعة $T_c\dot S_{\mathrm{created}}$ ؛ ثم عيّن موضع الإنشاء (فروق منتهية في درجات الحرارة في المبادلات، والاحتكاك، والخنق، والانضغاط غير شبه السكوني) بتطبيق موازنة الإنتروبيا على كل مكوّن على حدة. والمكوّن الذي لا يُنشئ إنتروبيا لا يستحق التحسين.

مثال 24.21 (تدقيق محطة توليد)

منبع ساخن عند $800\,\mathrm{K}$ ، ونهر عند $300\,\mathrm{K}$ ، و $1.0\,\mathrm{GW}$ من الكهرباء عند $\eta = 0.40$ : ومنه $\dot Q_h = 2.5\,\mathrm{GW}$ و $\dot Q_c = 1.5\,\mathrm{GW}$ ، فتكون $\dot S_{\mathrm{created}} = 1.5/300 - 2.5/800 = 1.9\,\mathrm{MW}/\mathrm{K}$ وتكون الاستطاعة الضائعة $300 \times 1.9 = 0.56\,\mathrm{GW}$ : أي بالضبط الفرق بين خرج كارنو $0.625 \times 2.5 = 1.56\,\mathrm{GW}$ والخرج الحقيقي $1.0\,\mathrm{GW}$ . ويدفأ النهر بمقدار $1.5\,\mathrm{GW}$ التي عليه أن يحملها؛ وفي الصيف، حين يكون دافئًا ومنخفضًا، تخفّض المحطات إنتاجها.

24.7 تمارين

تمرين 24.1 ★

محطة توليد تأخذ الحرارة عند $800\,\mathrm{K}$ وتطرحها إلى نهر عند $300\,\mathrm{K}$ . أوجد مردود كارنو؛ وإذا كان المردود الحقيقي $0.40$ والخرج الكهربائي $1.0\,\mathrm{GW}$ ، فما الحرارة المأخوذة من الوقود والحرارة المطروحة إلى النهر في الثانية؟

حل

حل التمرين 24.1.

$\eta_C = 1 - 300/800 = 0.625$ . وعند $0.40$ : $\dot Q_h = 1.0/0.40 = 2.5\,\mathrm{GW}$ من الوقود، و $\dot Q_c = 2.5 - 1.0 = 1.5\,\mathrm{GW}$ إلى النهر — أي أن ما يُرمى من الحرارة أكثر مما يُباع.

تمرين 24.2 ★

ثلاجة تُبقي داخلها عند $275\,\mathrm{K}$ في مطبخ عند $298\,\mathrm{K}$ . أوجد معامل الأداء الأعظمي؛ ومع معامل أداء حقيقي قدره $3$ ، ما الاستطاعة الكهربائية اللازمة لنزع $100\,\mathrm{W}$ التي تتسرب عبر الجدران؟

حل

حل التمرين 24.2.

$e_f \leq 275/(298 - 275) = 12$ . ومع $e_f = 3$ : $P = 100/3 = 33\,\mathrm{W}$ (وتذهب $133\,\mathrm{W}$ إلى المطبخ).

تمرين 24.3 ★

المردود المثالي لدور أوتو مع $r = 9$ و $\gamma = 1.4$ ؛ ثم مع $r = 11$ (وهو محرك حديث بحقن مباشر). ولماذا لا يكون $r = 20$ ؟

حل

حل التمرين 24.3.

عند $r = 9$ : $9^{0.4} = 2.41$ و $\eta = 0.585$ ؛ وعند $r = 11$ : $11^{0.4} = 2.61$ و $\eta = 0.62$ . وعند $r = 20$ يشتعل مزيج البنزين والهواء، وقد ضُغط إلى نحو $900\,\mathrm{K}$ ، قبل الشرارة (وهو الطرق)، فيُهلك المحرك؛ ولا يستطيع بلوغ ذلك إلا الديزل، الذي يضغط الهواء وحده.

تمرين 24.4 ★

مضخة حرارية تدفئ بيتًا عند $300\,\mathrm{K}$ من هواء خارجي عند $280\,\mathrm{K}$ . أوجد $e_p$ الأعظمي؛ والاستطاعة الكهربائية لطلب تدفئة قدره $5\,\mathrm{kW}$ بتلك المضخة المثالية وبمضخة حقيقية $e_p = 3.5$ ؛ وقارن بمقاومة.

حل

حل التمرين 24.4.

$e_p \leq 300/20 = 15$ : فالاستطاعة المثالية $5/15 = 0.33\,\mathrm{kW}$ ؛ والحقيقية $5/3.5 = 1.43\,\mathrm{kW}$ ؛ والمقاومة $5\,\mathrm{kW}$ .

تمرين 24.5 ★★

مول واحد من غاز مثالي ( $\gamma = 1.4$ ) يجري دور كارنو بين $T_h = 500\,\mathrm{K}$ و $T_c = 300\,\mathrm{K}$ ؛ وينقله متساوي الحرارة الساخن من $1.0\,\mathrm{L}$ إلى $3.0\,\mathrm{L}$ . احسب $V_C$ و $V_D$ و $Q_h$ و $Q_c$ و $W$ ثم تحقّق من المردود.

حل

حل التمرين 24.5.

على الكظومين: $V_C = V_B(T_h/T_c)^{1/(\gamma-1)} = 3.0 \times (5/3)^{2.5} = 10.8\,\mathrm{L}$ و $V_D = 1.0 \times 3.59 = 3.59\,\mathrm{L}$ (ومنه $V_C/V_D = 3 = V_B/V_A$ ). ثم $Q_h = RT_h\ln3 = 8.314 \times 500 \times 1.099 = 4.57\,\mathrm{kJ}$ و $Q_c = -RT_c\ln3 = -2.74\,\mathrm{kJ}$ و $W = -(4.57 - 2.74) = -1.83\,\mathrm{kJ}$ و $\eta = 1.83/4.57 = 0.40 = 1 - 300/500$ .

تمرين 24.6 ★★

يدّعي مخترع آلة دورية تأخذ $1000\,\mathrm{J}$ في الدور من منبع عند $400\,\mathrm{K}$ ، وتطرح $800\,\mathrm{J}$ إلى منبع عند $300\,\mathrm{K}$ ، وتقدّم $200\,\mathrm{J}$ من الشغل. فهل ذلك ممكن؟ وما الإنتروبيا المُنشأة في الدور؟ ويدّعي مخترع ثانٍ $300\,\mathrm{J}$ من الشغل من $1000\,\mathrm{J}$ نفسها، بطرح $700\,\mathrm{J}$ . فهل ذلك ممكن؟ وما أكبر شغل يمكن لأحد أن ينتزعه من تلك $1000\,\mathrm{J}$ ؟

حل

حل التمرين 24.6.

الادعاء الأول: الطاقة $200 = 1000 - 800$ متوازنة؛ وكلاوزيوس $1000/400 - 800/300 = 2.5 - 2.67 = -0.17\,\mathrm{J}/\mathrm{K}$ ، ومنه $S_{\mathrm{created}} = 0.17\,\mathrm{J}/\mathrm{K} \geq 0$ : فهو ممكن (مع $\eta = 0.20$ ). والثاني: $1000/400 - 700/300 = +0.17\,\mathrm{J}/\mathrm{K} > 0$ : فكان يجب إفناء إنتروبيا — وهو مستحيل. والأعظمي: $\eta_C = 1 - 300/400 = 0.25$ ، أي $250\,\mathrm{J}$ .

تمرين 24.7 ★★

دور ديزل مع $r = 18$ و $\rho = 2$ و $\gamma = 1.4$ : أوجد المردود؛ وقارنه بدور أوتو عند $r$ نفسها وبدور أوتو عند $r = 9$ . ولماذا يستطيع الديزل استعمال $r$ بهذا الكبر؟

حل

حل التمرين 24.7.

$r^{\gamma-1} = 18^{0.4} = 3.18$ ؛ و $\rho^\gamma = 2^{1.4} = 2.64$ : ومنه $\eta = 1 - 1.64/(1.4 \times 3.18 \times 1) = 0.63$ . وأوتو عند $r = 18$ : $1 - 1/3.18 = 0.69$ ؛ وعند $r = 9$ : $0.585$ . فالديزل يضغط هواءً خالصًا: فلا وقود حاضرًا ليشتعل مسبقًا، والوقود المحقون في هواء عند $900\,\mathrm{K}$ يحترق وهو يدخل — فلا وجود لحدّ الطرق.

تمرين 24.8 ★★

دور ستيرلنغ لمول واحد من غاز ثنائي الذرة ( $C_{V,m} = \tfrac52R$ ) بين $600\,\mathrm{K}$ و $300\,\mathrm{K}$ بنسبة حجوم $V_1/V_2 = 2$ . أوجد الشغل في الدور؛ والمردود بمُجدِّد تامّ ومن دونه.

حل

حل التمرين 24.8.

$Q_h = RT_h\ln2 = 8.314 \times 600 \times 0.693 = 3.46\,\mathrm{kJ}$ و $Q_c = -8.314 \times 300 \times 0.693 = -1.73\,\mathrm{kJ}$ : ومنه $W = -1.73\,\mathrm{kJ}$ في الدور. ومع المُجدِّد يكون $\eta = 1.73/3.46 = 0.50 = 1 - 300/600$ . ومن دونه يجب أن يقدّم المنبع الساخن كذلك $C_{V,m}(T_h - T_c) = 2.5 \times 8.314 \times 300 = 6.24\,\mathrm{kJ}$ : فيكون $\eta = 1.73/(3.46 + 6.24) = 0.18$ .

تمرين 24.9 ★★

كتلتان متماثلتان سعة كلٍّ منهما الحرارية $C = 4.0\,\mathrm{kJ}/\mathrm{K}$ عند $T_1 = 400\,\mathrm{K}$ و $T_2 = 300\,\mathrm{K}$ تُستعملان منبعين لمحرك حتى تبلغا درجة حرارة مشتركة $T_f$ . بيّن أن الشغل الأعظمي يُبلَغ من أجل محرك عكوس، وأن $T_f = \sqrt{T_1T_2}$ عندئذ، ثم احسب $W_{\max}$ . وما قيمة $T_f$ لو وُضعت الكتلتان في تماسّ مباشر، وما الإنتروبيا المُنشأة حينئذ؟

حل

حل التمرين 24.9.

إنتروبيا الكتلتين: $\Delta S = C\ln(T_f/T_1) + C\ln(T_f/T_2) = C\ln\bigl(T_f^2/T_1T_2\bigr) = S_{\mathrm{created}} \geq 0$ (فإنتروبيا المحرك نفسه تعود إلى قيمتها في كل دور)، ومنه $T_f \geq \sqrt{T_1T_2}$ ، ويكون $W = C(T_1 + T_2 - 2T_f)$ (بالمبدأ الأول) أكبر ما يكون عند أصغر $T_f$ : أي في الحالة العكوسة، $T_f = \sqrt{400 \times 300} = 346.4\,\mathrm{K}$ ، و $W_{\max} = 4000 \times (700 - 692.8) = 29\,\mathrm{kJ}$ . وفي التماسّ المباشر: $T_f = 350\,\mathrm{K}$ ، بلا شغل، و $S_{\mathrm{created}} = 4000\ln(350^2/120000) = 82\,\mathrm{J}/\mathrm{K}$ .

تمرين 24.10 ★★★

محرك عند الاستطاعة العظمى. محرك عكوس يعمل بين درجتَي حرارة داخليتين $x$ و $y$ ، ويتبادل الحرارة مع المنبعين عبر مبادلين ناقليتهما $K$ : $\dot Q_h = K(T_h - x)$ و $|\dot Q_c| = K(y - T_c)$ . (أ) اكتب الاستطاعة $P$ وشرط الإنتروبيا للنواة العكوسة. (ب) بيّن أن $y = xT_c/(2x - T_h)$ وأن $P = \frac{K}{2}\bigl[(T_h + T_c) - u - T_hT_c/u\bigr]$ مع $u = 2x - T_h$ . (ج) عظّم بالنسبة إلى $u$ وبيّن أن المردود عند الاستطاعة العظمى هو $\eta^\ast = 1 - \sqrt{T_c/T_h}$ . (د) الأعداد من أجل $T_h = 800\,\mathrm{K}$ و $T_c = 300\,\mathrm{K}$ ؛ وقارن مع التمرين 24.1.

حل

حل التمرين 24.10.

(أ) $P = \dot Q_h - |\dot Q_c| = K(T_h - x) - K(y - T_c)$ ؛ ولا تتبادل النواة العكوسة أيّ إنتروبيا صافية: $K(T_h - x)/x = K(y - T_c)/y$ . (ب) بالضرب التبادلي: $y(T_h - x) = x(y - T_c)$ ، ومنه $y(T_h - 2x) = -xT_c$ و $y = xT_c/(2x - T_h)$ . ثم $P = K(T_h - x)(1 - y/x) = K(T_h - x)(2x - T_h - T_c)/(2x - T_h)$ ؛ ومع $u = 2x - T_h$ يكون $T_h - x = (T_h - u)/2$ و $P = K(T_h - u)(u - T_c)/(2u) = \tfrac{K}{2}[(T_h + T_c) - u - T_hT_c/u]$ . (ج) $\dd P/\dd u = \tfrac K2(-1 + T_hT_c/u^2) = 0$ عند $u = \sqrt{T_hT_c}$ ، وهو أعظمي؛ وعندئذ $x = (T_h + \sqrt{T_hT_c})/2$ و $y = xT_c/u = (\sqrt{T_hT_c} + T_c)/2$ ، ويكون $\eta^\ast = 1 - y/x = 1 - \sqrt{T_c}(\sqrt{T_h} + \sqrt{T_c})/[\sqrt{T_h}(\sqrt{T_h} + \sqrt{T_c})] = 1 - \sqrt{T_c/T_h}$ ؛ و $P_{\max} = \tfrac K2(\sqrt{T_h} - \sqrt{T_c})^2$ . (د) $\eta^\ast = 1 - \sqrt{0.375} = 0.39$ ، مقابل $\eta_C = 0.625$ : فالمردود الحقيقي $0.40$ في التمرين 24.1 محرك بُني للاستطاعة لا للمردود.

تمرين 24.11 ★★★

ثلاجة الامتصاص. آلة بلا أجزاء متحركة تأخذ الحرارة $Q_h$ من موقد عند $T_h$ ، والحرارة $Q_c$ من حجرة باردة عند $T_c$ ، وتطرح الحرارة إلى الغرفة عند $T_0$ (حيث $T_c < T_0 < T_h$ )، بلا شغل. بيّن أن $Q_c/Q_h \leq \bigl(1 - T_0/T_h\bigr)\,T_c/(T_0 - T_c)$ ، وفسّر العاملين، واحسب الحدّ من أجل $T_h = 400\,\mathrm{K}$ و $T_0 = 300\,\mathrm{K}$ و $T_c = 275\,\mathrm{K}$ .

حل

حل التمرين 24.11.

في دور: $Q_h + Q_c + Q_0 = 0$ و $Q_h/T_h + Q_c/T_c + Q_0/T_0 \leq 0$ . ونحذف $Q_0 = -(Q_h + Q_c)$ : فيكون $Q_h(1/T_h - 1/T_0) + Q_c(1/T_c - 1/T_0) \leq 0$ ، أي $Q_c(T_0 - T_c)/(T_cT_0) \leq Q_h(T_h - T_0)/(T_hT_0)$ ، ومنه $Q_c/Q_h \leq (1 - T_0/T_h)\,T_c/(T_0 - T_c)$ . والعامل الأول هو مردود محرك كارنو بين الموقد والغرفة، والثاني معامل أداء ثلاجة كارنو بين الحجرة والغرفة: فالحدّ هو ما يُنال بربط الاثنين ربطًا مثاليًّا. والأعداد: $0.25 \times 11 = 2.75$ (أما ثلاجات الامتصاص الحقيقية فنحو $0.6$ ).

تمرين 24.12 ★★★

التدفئة بالكهرباء على ثلاث طرائق. تُنتَج الكهرباء في محطة توليد حرارية مردودها $0.40$ . فكم من الحرارة يبلغ البيت لكل جول من حرارة الوقود (أ) عبر مقاومة، (ب) عبر مضخة حرارية $e_p = 3.5$ ، (ج) لو أُحرق الوقود مباشرةً في مِرجل مردوده $0.90$ ؟ (د) وأما المثال الأعلى: محرك عكوس بين $800\,\mathrm{K}$ و $293\,\mathrm{K}$ يدير مضخة حرارية عكوسة بين $273\,\mathrm{K}$ و $293\,\mathrm{K}$ — فكم من الحرارة لكل جول من الوقود، ولماذا يكون الجواب أكبر من واحد بلا مناقضة شيء؟

حل

حل التمرين 24.12.

(أ) $0.40\,\mathrm{J}$ . (ب) $0.40 \times 3.5 = 1.4\,\mathrm{J}$ . (ج) $0.90\,\mathrm{J}$ . (د) المحرك $\eta = 1 - 293/800 = 0.634$ ، والمضخة $e_p = 293/20 = 14.65$ : ومنه $0.634 \times 14.65 = 9.3\,\mathrm{J}$ (ويمكن أن تدفئ البيتَ أيضًا $0.37\,\mathrm{J}$ التي يطرحها المحرك عند $293\,\mathrm{K}$ : فتصير $9.7\,\mathrm{J}$ ). وهي أكثر من جول واحد لأن ما بقي مرفوع من الهواء الخارجي: فالطاقة محفوظة، والمبدأ الثاني لا يطلب إلا ألّا تُفنى الإنتروبيا، وهو ما تحترمه سلسلة عكوسة احترامًا تامًّا.

مضخة حرارية تأخذ من الهواء في الشتاء: تنتزع الحرارة من الهواء الخارجي البارد وتقدّم للبيت ثلاثة إلى أربعة أضعاف الطاقة الكهربائية التي تستهلكها — وهي مسألة نهاية الأسبوع.

24.8 مسألة: مضخة البيت الحرارية

مسألة 24.1

مسألة نهاية الأسبوع — تدفئة بيت طوال شتاء: الفاتورة بالمقاومات، وبالغاز، وبمضخة حرارية مثالية، وبأخرى حقيقية، وأين تذهب كهرباء الحقيقية

بيت يفقد الحرارة بالمعدل $K(T_{\mathrm{in}} - T_{\mathrm{out}})$ مع $K = 250\,\mathrm{W}/\mathrm{K}$ ؛ ويُبقى عند $T_{\mathrm{in}} = 20{}^{\circ}\mathrm{C}$ . ودرجة حرارة التصميم الخارجية $-5{}^{\circ}\mathrm{C}$ ؛ وموسم التدفئة: $200$ يوم بمتوسط درجة حرارة خارجية $7{}^{\circ}\mathrm{C}$ . والأسعار: الكهرباء 0.25 € لكل $\mathrm{kW}\mathrm{h}$ ، والغاز 0.10 € لكل $\mathrm{kW}\mathrm{h}$ ؛ مع $1\,\mathrm{kW}\mathrm{h} = 3.6\,\mathrm{MJ}$ .

الجزء I — البيت والطرائق القديمة.

استطاعة التدفئة اللازمة عند درجة حرارة التصميم.
الطاقة اللازمة على امتداد الموسم، بالجول وبوحدة $\mathrm{kW}\mathrm{h}$ .
كلفة الموسم بمقاومات كهربائية.
الكلفة بمِرجل غاز مردوده $0.90$ .
تأتي الكهرباء من محطة توليد حرارية مردودها $0.40$ . فما طاقة الوقود المستهلكة، في الموسم، بالمقاومات وبالمِرجل؛ وعلّق على القول إن “التدفئة الكهربائية مبذّرة ترموديناميكيًّا”.

الجزء II — المضخة الحرارية المثالية.

عرّف $e_p$ وبرهن، انطلاقًا من المبدأين على امتداد دور واحد، على أن $e_p \leq T_{\mathrm{in}}/(T_{\mathrm{in}} - T_{\mathrm{out}})$ .
$e_p$ المثالي عند درجة حرارة التصميم، والاستطاعة الكهربائية اللازمة عندئذ.
$e_p$ المثالي عند متوسط درجة حرارة الموسم، ثم (بأخذ تلك القيمة للموسم كله) كهرباء الموسم.
فسّر فيزيائيًّا لماذا يهبط $e_p$ حين تهبط درجة الحرارة الخارجية، ولماذا يكون ذلك أسوأ سلوك ممكن لجهاز تدفئة.
عند نقطة التصميم تسحب المضخة المثالية $0.53\,\mathrm{kW}$ وتقدّم $6.25\,\mathrm{kW}$ : فمن أين تأتي $5.7\,\mathrm{kW}$ الباقية، ولماذا لا يخرق تبريد الهواء الخارجي البارد لتدفئة بيت دافئ المبدأ الثاني؟

الجزء III — الآلة الحقيقية. تجري المضخة دور ضغط البخار. ويتبخر المائع المبرِّد عند $T_{\mathrm{ev}} = T_{\mathrm{out}} - 8\,\mathrm{K}$ ويتكثف عند $T_{\mathrm{cd}} = 313\,\mathrm{K}$ (إذ يجري ماء دارة التدفئة الأرضية عند $35{}^{\circ}\mathrm{C}$ )؛ وتبلغ الآلة $0.55$ من قيمة كارنو المحسوبة بين $T_{\mathrm{ev}}$ و $T_{\mathrm{cd}}$ . والحرارة الكامنة للمائع المبرِّد: $L = 200\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$ .

سمِّ مكوّنات الدور الأربعة، وقل في أيّها يتلقى المائع $Q_c$ ، وفي أيّها يعطي $|Q_h|$ ويتلقى $W$ ، ولماذا يجب أن يكون المبخِّر أبرد من الهواء الخارجي والمكثِّف أسخن من البيت.
عند درجة حرارة التصميم: أوجد $T_{\mathrm{ev}}$ ، ومعامل أداء كارنو $e_p$ بين $T_{\mathrm{ev}}$ و $T_{\mathrm{cd}}$ .
$e_p$ الحقيقي، والاستطاعة الكهربائية المسحوبة، والحرارة المأخوذة من الهواء الخارجي، عند درجة حرارة التصميم.
التدفق الكتلي للمائع المبرِّد عبر المبخِّر.
الأسئلة نفسها ( $e_p$ الحقيقي والاستطاعة الكهربائية) عند متوسط درجة الحرارة $7{}^{\circ}\mathrm{C}$ ، حيث يفقد البيت $3.25\,\mathrm{kW}$ .
أعطِ $e_p$ بدلالة $T_{\mathrm{out}}$ ؛ ثم كهرباء الموسم وكلفته، بأخذ $e_p$ عند متوسط درجة الحرارة للموسم كله. وقارن بالجزء I.
طاقة الوقود المستهلكة في محطة التوليد لموسم المضخة الحرارية؛ وقارنها بالمقاومات وبالمِرجل.
موجة برد عند $-15{}^{\circ}\mathrm{C}$ : أوجد طلب الحرارة، و $e_p$ الحقيقي، والاستطاعة الكهربائية لو استطاعت المضخة تقديمه. وسعة الضاغط تهبط فعليًّا مع $T_{\mathrm{ev}}$ فلا تستطيع المضخة أن تقدّم هناك إلا $3.8\,\mathrm{kW}$ : فما استطاعة المقاومة الاحتياطية اللازمة، وما معنى “تحديد قياس مضخة حرارية”؟
ولو كانت في البيت مشعّات قديمة تحتاج إلى ماء عند $60{}^{\circ}\mathrm{C}$ ( $T_{\mathrm{cd}} = 338\,\mathrm{K}$ ): فما $e_p$ الحقيقي والاستطاعة الكهربائية عند درجة حرارة التصميم؛ واستنتج ما يخصّ اختيار أجهزة البثّ الحراري.

الجزء IV — أين تذهب الكهرباء.

بيّن أنه من أجل مضخة حرارية تقدّم $|Q_h|$ للبيت عند $T_{\mathrm{in}}$ من هواء خارجي عند $T_{\mathrm{out}}$ ، يكون $W = |Q_h|(1 - T_{\mathrm{out}}/T_{\mathrm{in}}) + T_{\mathrm{out}}S_{\mathrm{created}}$ .
عند نقطة التصميم، ما الإنتروبيا المُنشأة في الثانية بنقل الحرارة عبر المكثِّف (من $313\,\mathrm{K}$ إلى البيت) وعبر المبخِّر (من الهواء الخارجي إلى $260\,\mathrm{K}$ )؟
ما الاستطاعة الكهربائية التي يكلّفها هذان الفرقان؛ وما نسبتها من $1.92\,\mathrm{kW}$ المسحوبة؟
الإنتروبيا الكلية المُنشأة في الثانية بالآلة الحقيقية (قارن $1.92\,\mathrm{kW}$ التي تسحبها بالمقدار $0.53\,\mathrm{kW}$ المثالي)؛ ونصيب المبادلين؛ وسمِّ المنابع الأخرى.
نصّف الفرقين ( $4\,\mathrm{K}$ و $10\,\mathrm{K}$ ): فما الإنتروبيا المُنشأة في المبادلين والاستطاعة الكهربائية الموفَّرة؛ وما الذي يكلّفه تنصيف فرق للمصمِّم؟
لخّص في ثلاثة أعداد: كيلوواط ساعي من الحرارة لكل كيلوواط ساعي من الكهرباء على امتداد الموسم؛ وكلفة الموسم مقابل الغاز؛ ثم، مع كهرباء تُطلق $60\,\mathrm{g}$ من CO $_2$ لكل $\mathrm{kW}\mathrm{h}$ وغاز يطلق $200\,\mathrm{g}$ ، ما الكربون الذي يطلقه كل مسلك.

حل

حل المسألة 24.1.

1. $P = 250 \times 25 = 6.25\,\mathrm{kW}$ .

2. متوسط الفقد $250 \times 13 = 3.25\,\mathrm{kW}$ على امتداد $200 \times 86400 = 1.73 \times 10^{7}\,\mathrm{s}$ : ومنه $E = 5.6 \times 10^{10}\,\mathrm{J} = 15\,600\,\mathrm{kW}\mathrm{h}$ .

3. $15600 \times 0.25 = 3900$ €.

4. الغاز $15600/0.90 = 17\,300\,\mathrm{kW}\mathrm{h}$ : أي $1730$ €.

5. بالمقاومات: $15600/0.40 = 39\,000\,\mathrm{kW}\mathrm{h}$ من الوقود؛ وبالمِرجل $17\,300\,\mathrm{kW}\mathrm{h}$ : أي أقل بعامل قدره $2.25$ . فالكهرباء شغل، وهو الصورة التي تستطيع كل شيء؛ وتحويلها إلى حرارة عند $20{}^{\circ}\mathrm{C}$ في مقاومة يرمي $60\%$ من الوقود الضائع أصلًا في المحطة، ويرمي معه إمكان ضخّ الحرارة.

6. على امتداد دور: $W + Q_h + Q_c = 0$ و $Q_h/T_{\mathrm{in}} + Q_c/T_{\mathrm{out}} \leq 0$ مع $Q_h < 0$ و $Q_c > 0$ : ومنه $Q_c \leq |Q_h|T_{\mathrm{out}}/T_{\mathrm{in}}$ ، فيكون $W = |Q_h| - Q_c \geq |Q_h|(1 - T_{\mathrm{out}}/T_{\mathrm{in}})$ و $e_p = |Q_h|/W \leq T_{\mathrm{in}}/(T_{\mathrm{in}} - T_{\mathrm{out}})$ .

7. $293/25 = 11.7$ ؛ ومنه $6.25/11.7 = 0.53\,\mathrm{kW}$ .

8. $293/13 = 22.5$ ؛ ومنه $15600/22.5 = 690\,\mathrm{kW}\mathrm{h}$ (أي نحو $170$ €).

9. الشغل لكل جول مرفوع هو $(T_{\mathrm{in}} - T_{\mathrm{out}})/ T_{\mathrm{in}}$ ، وهو “ارتفاع” الرفع؛ فكلما ازداد الخارج بردًا ازداد الارتفاع الذي يجب رفع كل جول إليه — وازداد عدد الجولات اللازمة، إذ يتناسب الفقد أيضًا مع $T_{\mathrm{in}} - T_{\mathrm{out}}$ : فتنمو الاستطاعة الكهربائية كمربع فرق درجتَي الحرارة، وتسوء عند اللحظة التي تكون فيها التدفئة أشدّ ما تكون أهمية.

10. من الهواء الخارجي، الذي يبرد: $Q_c = 6.25 - 0.53 = 5.7\,\mathrm{kW}$ . والمبدأ الثاني يمنع جريان الحرارة تلقائيًّا من البارد إلى الساخن؛ وهنا يدفع الشغل ثمن الرفع. وللتحقق: الإنتروبيا المأخوذة من الهواء $5.72/268 = 21.3\,\mathrm{W}/\mathrm{K}$ ، والمعطاة للبيت $6.25/293 = 21.3\,\mathrm{W}/\mathrm{K}$ — فلا شيء أُفني ولا شيء أُنشئ: تلك هي المضخة المثالية.

11. الضاغط (يتلقى $W$ )، والمكثِّف (يعطي $|Q_h|$ )، وصمام التمدد (لا هذا ولا ذاك)، والمبخِّر (يتلقى $Q_c$ ). ولا تجري الحرارة إلا نازلةً في ميل حراري: فعلى المائع المبرِّد أن يكون أبرد من الهواء كي يأخذ منه الحرارة، وأسخن من ماء البيت كي يعطيه الحرارة.

12. $T_{\mathrm{ev}} = 268 - 8 = 260\,\mathrm{K}$ ؛ و $e_{p,C} = 313/(313 - 260) = 5.9$ .

13. $e_p = 0.55 \times 5.9 = 3.25$ ؛ و $W = 6.25/3.25 = 1.92\,\mathrm{kW}$ ؛ و $Q_c = 6.25 - 1.92 = 4.33\,\mathrm{kW}$ من الهواء.

14. $\dot m = 4330/200000 = 22\,\mathrm{g}/\mathrm{s}$ ، أي $1.3\,\mathrm{kg}$ في الدقيقة.

15. $T_{\mathrm{ev}} = 272\,\mathrm{K}$ و $313/41 = 7.6$ و $e_p = 4.2$ ؛ ومنه $W = 3.25/4.2 = 0.77\,\mathrm{kW}$ .

16. $e_p = 0.55 \times 313/(321 - T_{\mathrm{out}}) = 172/(321 - T_{\mathrm{out}})$ (مع $T_{\mathrm{out}}$ بالكلفن). وفي الموسم: $15600/4.2 = 3700\,\mathrm{kW}\mathrm{h}$ ، أي $930$ € — مقابل $3900$ بالمقاومات و $1730$ بالغاز.

17. $3700/0.40 = 9300\,\mathrm{kW}\mathrm{h}$ من الوقود: أي أقل بنسبة $46\%$ من المِرجل وأقل أربع مرات من المقاومات، وذلك عبر محطة توليد مردودها $40\%$ .

18. الطلب $250 \times 35 = 8.75\,\mathrm{kW}$ ؛ و $T_{\mathrm{ev}} = 250\,\mathrm{K}$ و $313/63 = 5.0$ و $e_p = 2.7$ و $W = 3.2\,\mathrm{kW}$ لو استطاعت. أما السعة فهي $3.8\,\mathrm{kW}$ : فالاحتياطي $8.75 - 3.8 \approx 5\,\mathrm{kW}$ من المقاومات. ومضخة مقيسة على أبرد ساعة تكون مفرطة الحجم — فتشتغل بتقطّع وبلا مردود — طوال الشتاء؛ فيُقاس الجهاز على درجة حرارة التصميم وتُترك مقاومة رخيصة تغطي النادر الأقصى.

19. $338/(338 - 260) = 4.33$ و $e_p = 2.4$ و $W = 6.25/2.4 = 2.6\,\mathrm{kW}$ : أي كهرباء أكثر بنسبة $36\%$ مما مع الأرضية عند $35{}^{\circ}\mathrm{C}$ . فأجهزة البثّ المنخفضة الحرارة نصف التركيب.

20. الإنتروبيا على امتداد دور: $Q_h/T_{\mathrm{in}} + Q_c/T_{\mathrm{out}} + S_{\mathrm{created}} = 0$ يعطي $Q_c = T_{\mathrm{out}}|Q_h|/T_{\mathrm{in}} - T_{\mathrm{out}}S_{\mathrm{created}}$ ؛ فعوّض في $W = |Q_h| - Q_c$ .

21. المكثِّف: $6250\,(1/293 - 1/313) = 1.36\,\mathrm{W}/\mathrm{K}$ ؛ والمبخِّر: $4330\,(1/260 - 1/268) = 0.50\,\mathrm{W}/\mathrm{K}$ .

22. $268 \times 1.86 = 0.50\,\mathrm{kW}$ : أي ربع $1.92\,\mathrm{kW}$ .

23. $(1.92 - 0.53)/268 = 5.2\,\mathrm{W}/\mathrm{K}$ ؛ ويصنع المبادلان منها $36\%$ ؛ ويأتي الباقي من الضاغط (الاحتكاك، والانضغاط غير المتساوي الإنتروبيا، وضياعات المحرك)، ومن الخنق في الصمام (وهو تمدد حرّ)، ومن هبوط الضغط، ومن المراوح.

24. $T_{\mathrm{cd}} = 303\,\mathrm{K}$ و $T_{\mathrm{ev}} = 264\,\mathrm{K}$ : فالمكثِّف $6250\,(1/293 - 1/303) = 0.70\,\mathrm{W}/\mathrm{K}$ ، والمبخِّر $4330\,(1/264 - 1/268) = 0.25\,\mathrm{W}/\mathrm{K}$ : أي $0.95\,\mathrm{W}/\mathrm{K}$ بدل $1.86$ ، ومنه $268 \times 0.91 \approx 0.25\,\mathrm{kW}$ موفَّرة (أي $13\%$ ؛ أما الآلة كلها، وهي عند $0.55$ من قيمة كارنو أفضل، فتكسب أكثر). وتنصيف فرق يعني مضاعفة سطح التبادل: أي مبادلات أكبر وأغلى واستطاعة مراوح أكبر.

25. $15600/3700 = 4.2$ كيلوواط ساعي من الحرارة لكل كيلوواط ساعي من الكهرباء؛ و $930$ € مقابل $1730$ للغاز؛ والكربون: $3700 \times 0.060 = 220\,\mathrm{kg}$ مقابل $17300 \times 0.20 = 3500\,\mathrm{kg}$ — أي أقل خمس عشرة مرة.

المصطلحات المعرَّفة في هذا الفصل

عرض كل المصطلحات (393) في المسرد