الفيزياء الجامعية — السنة الأولى · Bachelor Year 1

20نظرية الحركة والغاز المثالي

هواء قاعة الدرس يزن ما يزنه رجل بالغ، ويحوي من الجزيئات أكثر مما على الأرض من حبات الرمل، يطير كلٌّ منها بسرعة رصاصة بندقية ويصطدم عشرة مليارات مرة في الثانية بجيرانه. ولا أحد يستطيع تتبع واحد منها؛ ولا أحد يحتاج إلى ذلك. فحفنة من المتوسطات — الضغط ودرجة الحرارة والحجم والكمية — تصف الهواء وصفًا تامًّا من أجل كل غرض هندسي، وصورة بسيطة لجزيئات ترتدّ عن الجدران تفسّر من أين تأتي تلك المتوسطات وكيف تترابط. ويفتتح هذا الفصل جزء الترموديناميك من هذا المجلد بالنظر إلى المادة من طرفيها: الفوضى المجهرية والهدوء العياني، ونظرية الحركة التي تربط بينهما في حالة الغاز المثالي.

20.1 مستويان للوصف

تعريف 20.1 (المستويان المجهري والعياني)

في المستوى المجهري تتكوّن المادة من جزيئات: ففي $1\,\mathrm{mol}$ منها $N_A = 6.02 \times 10^{23}\,$ جزيئًا، قطر كلٍّ منها نحو $0.3\,\mathrm{nm}$ ؛ وفي غاز عند الشروط العادية تتباعد $3\,\mathrm{nm}$ وتتحرك بمئات الأمتار في الثانية وتتصادم كل $70\,\mathrm{nm}$ تقريبًا. وفي المستوى العياني تُوصف جملة ببضعة متغيرات حالة — الضغط $P$ والحجم $V$ ودرجة الحرارة $T$ وكمية المادة $n$ — وهي متوسطات على أعداد هائلة من الجزيئات. ويكون متغير ما امتداديًّا إذا تضاعف حين تتضاعف الجملة ( $V$ و $n$ والكتلة والطاقة)، وشدّيًّا إذا لم يتضاعف ( $P$ و $T$ والكثافة).

تعريف 20.2 (التوازن الترمودينامي)

تكون جملة في توازن ترمودينامي حين تكون متغيرات حالتها منتظمة وثابتة في الزمن ولا يعبرها أيّ تدفق عياني للمادة أو للطاقة. وعندئذ فقط يكون $P$ و $T$ معرَّفين للجملة كلها؛ ومعادلة الحالة تربطهما بالمقدارين $V$ و $n$ .

تعريف 20.3 (الضغط)

يدفع مائع ساكن كل عنصر سطحي $\dd S$ من جدار بقوة $\dd\vect F = P\,\dd S\,\vect n$ ناظمية عليه، نحو الجدار؛ و $P$ هو الضغط، بالباسكال ( $1\,\mathrm{Pa} = 1\,\mathrm{N}/\mathrm{m}^{2}$ )؛ و $1\,\mathrm{bar} = 1 \times 10^{5}\,\mathrm{Pa}$ و $1\,\mathrm{atm} = 1.013 \times 10^{5}\,\mathrm{Pa}$ . وعند نقطة معطاة لا يتوقف على توجّه السطح (الفصل 21).

تعريف 20.4 (درجة الحرارة)

جملتان متلامستان عبر جدار يسمح بمرور الطاقة تبلغان، بعد حين، حالة مشتركة: فتكونان عندئذ عند درجة الحرارة نفسها؛ وجسمان كلٌّ منهما في توازن مع ثالث يكونان في توازن أحدهما مع الآخر (وهو المبدأ الصفري). ويُثبَّت سلّم كلفن بالقيمة $k_B = 1.380\,649 \times 10^{-23}\,\mathrm{J}/\mathrm{K}$ بالضبط؛ وبالسيلزيوس: $\theta = T - 273.15$ . ونظرية الحركة أدناه تعطي $T$ معناه المجهري.

20.2 النموذج الحركي للغاز المثالي

تعريف 20.5 (الغاز المثالي، النموذج المجهري)

الغاز المثالي (أو الغاز التام) مجموعة من $N$ جزيئًا، تُعامَل كنقاط كتلتها $m$ ، تتحرك بحرّية وعشوائيًّا — بلا تآثر إلا في تصادمات قصيرة — في وعاء حجمه $V$ . وعند التوازن يكون توزيع السرعات متماثل المناحي ومستقرًّا؛ و $n^* = N/V$ هي الكثافة العددية و $\langle v^2\rangle$ متوسط مربع السرعة.

مبرهنة 20.6 (الضغط الحركي)

الضغط الذي يؤثر به الغاز على الجدران هو

P = \tfrac13\,n^*m\langle v^2\rangle = \tfrac23\,n^*\langle\epsilon_k\rangle ,

حيث $\langle\epsilon_k\rangle = \tfrac12 m\langle v^2\rangle$ هو متوسط الطاقة الحركية لجزيء.

برهان جزئي. خذ النموذج المبسَّط الذي تكون فيه سرعة الجزيئات كلها $u$ وتتحرك على امتداد المحاور الثلاثة، سدسها في كل اتجاه. فالجزيء الذي يصطدم بالجدار $x = 0$ مباشرةً يرتدّ ارتدادًا مرنًا ويسلّمه كمية الحركة $2mu$ . وفي الزمن $\dd t$ ، تكون الجزيئات المتجهة نحو الجدار التي تبلغ مساحة $S$ هي الواقعة في شريحة سماكتها $u\,\dd t$ ، أي سدس الجزيئات $n^*Su\,\dd t$ التي فيها. والقوة $=$ كمية الحركة في وحدة الزمن $= (n^*Su\,\dd t/6)(2mu)/\dd t = \tfrac13 n^*mu^2S$ ، ومنه $P = \tfrac13 n^*mu^2$ . والتوسيط على التوزيع الحقيقي للسرعات والاتجاهات يحوّل $u^2$ إلى $\langle v^2\rangle$ (إذ يعطي تماثل المناحي $\langle v_x^2\rangle = \tfrac13\langle v^2\rangle$ )؛ ويفعل ذلك مجلد السنة الثانية بالكامل. ∎

يسارًا: الأصل الحركي للضغط — فالجزيئات التي تضرب جدارًا وترتدّ تسلّمه كمية حركة؛ وعددها في الثانية مضروبًا في 2mu هو القوة. ويمينًا: السرعات الحقيقية موزَّعة (بتوزيع ماكسويل، وهنا من أجل الآزوت عند درجتَي حرارة)؛ وتحلّ السرعة التربيعية المتوسطة محلّ u الوحيدة في النموذج. — يسارًا: الأصل الحركي للضغط — فالجزيئات التي تضرب جدارًا وترتدّ تسلّمه كمية حركة؛ وعددها في الثانية مضروبًا في $2mu$ هو القوة. ويمينًا: السرعات الحقيقية موزَّعة (بتوزيع ماكسويل، وهنا من أجل الآزوت عند درجتَي حرارة)؛ وتحلّ السرعة التربيعية المتوسطة محلّ $u$ الوحيدة في النموذج.

تعريف 20.7 (درجة الحرارة الحركية؛ معادلة الحالة)

تُعرَّف درجة حرارة غاز مثالي تعريفًا بمتوسط الطاقة الحركية لجزيئاته،

\langle\epsilon_k\rangle = \tfrac12 m\langle v^2\rangle = \tfrac32 k_BT ,

بحيث، بالجمع مع المبرهنة 20.6،

PV = Nk_BT = nRT, \qquad R = N_Ak_B = 8.314\,\mathrm{J}/(\mathrm{mol}\,\mathrm{K}) ,

وهي معادلة حالة الغاز المثالي. والسرعة التربيعية المتوسطة هي $u = \sqrt{\langle v^2\rangle} = \sqrt{3k_BT/m} = \sqrt{3RT/M}$ ، حيث $M$ الكتلة المولية.

مثال 20.8 (أعداد من أجل الهواء)

الآزوت عند $300\,\mathrm{K}$ : $u = \sqrt{3 \times 8.314 \times 300/0.028} = 517\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ؛ والهدروجين، $1930\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ؛ وكلما ثقُل الغاز بطُؤ، وفق $1/\sqrt M$ . وعند $1\,\mathrm{bar}$ و $300\,\mathrm{K}$ يكون $n^* = P/k_BT = 2.4 \times 10^{25}\,\mathrm{m}^{-3}$ : أي $24\,\mathrm{L}$ لكل مول، و $2.7 \times 10^{22}\,$ جزيئًا في اللتر. وقاعة درس حجمها $200\,\mathrm{m}^{3}$ : أي $8300\,\mathrm{mol}$ و $240\,\mathrm{kg}$ من الهواء.

ملاحظة 20.9 (لماذا يعمل النموذج، ومتى يفشل)

بين تصادمين يطير جزيء هواء متوسط مسار حرّ $\lambda \approx 1/(\sqrt2\pi d^2n^*) \approx 70\,\mathrm{nm}$ — أي مئتَي ضعف حجمه: فالغاز خال في معظمه، والتآثرات نادرة، ويصحّ $PV = nRT$ بأفضل من واحد في المئة عند الضغوط العادية. وعند الضغط العالي أو درجة الحرارة المنخفضة يصير حجم الجزيئات نفسه وتجاذبها مهمَّين: فمعادلة فان دير فالس $(P + an^2/V^2)(V - nb) = nRT$ تصحّح للأمرين، ودون درجة حرارة حرجة يتسيّل الغاز (الفصل 25).

مخطط كلابيرون لغاز مثالي: عند كل درجة حرارة يكون خط تساوي الحرارة قطعًا زائدًا P = nRT/V، أعلى كلما ارتفع T. والتحول مسار في هذا المستوي؛ والدورة عروة مغلقة (). — مخطط كلابيرون لغاز مثالي: عند كل درجة حرارة يكون خط تساوي الحرارة قطعًا زائدًا $P = nRT/V$ ، أعلى كلما ارتفع $T$ . والتحول مسار في هذا المستوي؛ والدورة عروة مغلقة (الفصل 24).

20.3 الطاقة الداخلية للغاز المثالي

تعريف 20.10 (الطاقة الداخلية)

الطاقة الداخلية $U$ لجملة هي مجموع الطاقات الحركية لجزيئاتها في المرجع الذي تسكن فيه الجملة، ومجموع طاقاتها الكامنة المتبادلة؛ وهي دالة حالة امتدادية.

قضية 20.11 (الطاقة الداخلية للغازات المثالية)

من أجل غاز مثالي تتوقف $U$ على $T$ وحدها (وهو قانون جول الأول):

\begin{gather*} U = \tfrac32 nRT \quad (\text{أحادي الذرة: He, Ne, Ar}), \\ U = \tfrac52 nRT \quad (\text{ثنائي الذرة عند درجات الحرارة العادية: N}_2, \text{O}_2, \text{H}_2), \end{gather*}

ومن ثمّ تكون السعة الحرارية المولية بحجم ثابت $C_{V,m} = \dd U_m/\dd T$ هي $\tfrac32 R = 12.5\,\mathrm{J}/(\mathrm{mol}\,\mathrm{K})$ و $\tfrac52 R = 20.8\,\mathrm{J}/(\mathrm{mol}\,\mathrm{K})$ على الترتيب.

برهان جزئي. لا طاقة كامنة متبادلة بالفرض، ومنه $U = N\langle\epsilon_k\rangle = \tfrac32 Nk_BT$ من أجل جزيئات نقطية. والجزيء الثنائي الذرة يدور أيضًا: فتحمل كلٌّ من درجتَي حريته الدورانيتين، عند التوازن، المقدار $\tfrac12 k_BT$ نفسه الذي تحمله كل درجة انسحابية (وهي مبرهنة التوزّع المتساوي، مقبولةً؛ ويشتقّها مجلد السنة الثالثة ويفسّر لماذا لا ينضمّ الاهتزاز إلا فوق ألف كلفن). ∎

مثال 20.12 (ما يعادله هواء غرفة)

من أجل $8300\,\mathrm{mol}$ من الهواء في قاعة الدرس عند $300\,\mathrm{K}$ : $U = \tfrac52 \times 8300 \times 8.314 \times 300 = 5.2 \times 10^{7}\,\mathrm{J}$ — أي طاقة لتر ونصف من البنزين، محفوظة في حركة جزيئية. وتسخين القاعة بمقدار $1$ كلفن يكلّف $\tfrac52 nR = 170\,\mathrm{kJ}$ (بحجم ثابت).

20.4 الأطوار المتكاثفة

قضية 20.13 (نموذج الطور غير القابل للانضغاط ولا للتمدد)

تُنمذَج السوائل والأجسام الصلبة، في هذا المستوى، أطوارًا ثابتة الحجم — لا تنضغط ولا تتمدد — تتوقف طاقتها الداخلية على $T$ وحدها: $\dd U = C\,\dd T$ مع $C = mc$ ، حيث $c$ السعة الحرارية الكتلية ( $4180\,\mathrm{J}/(\mathrm{kg}\,\mathrm{K})$ للماء و $450\,\mathrm{J}/(\mathrm{kg}\,\mathrm{K})$ للفولاذ). أما الانحرافات الحقيقية الصغيرة فتُقاس بمعامل التمدد الحراري $\alpha = (1/V)(\partial V/\partial T)_P$ ( $\sim1 \times 10^{-5}\,\mathrm{K}^{-1}$ للمعادن، و $2 \times 10^{-4}\,\mathrm{K}^{-1}$ للسوائل) وبالانضغاطية المتساوية الحرارة $\chi_T = -(1/V)(\partial V/\partial P)_T$ ( $\sim5 \times 10^{-10}\,\mathrm{Pa}^{-1}$ للماء، مقابل $1/P \approx 1 \times 10^{-5}\,\mathrm{Pa}^{-1}$ لغاز).

برهان. نقبله في هذا المستوى. ∎

مثال 20.14 (كم هو عصيّ على الانضغاط)

الماء في قاع خندق ماريانا ( $1100\,\mathrm{bar}$ ) ينضغط بالمقدار $\chi_T\Delta P \approx 5\times10^{-10} \times 1.1\times10^8 = 5\%$ ؛ وسكة فولاذية طولها $30\,\mathrm{m}$ تُسخَّن بمقدار $50$ كلفن تطول بالمقدار $\alpha L\Delta T = 18\,\mathrm{mm}$ — ومن هنا فواصل التمدد. وأمام غاز ينتصف حجمه تحت ضغط مضاعف، يكون نموذج الحجم الثابت جيدًا إلى بضعة في المئة في معظم أوضاع هذا المجلد.

20.5 تمارين

تمرين 20.1 ★

احسب عدد الجزيئات في $1.0\,\mathrm{L}$ من غاز عند $0{}^{\circ}\mathrm{C}$ و $1\,\mathrm{atm}$ ؛ والمسافة المتوسطة بين الجيران؛ وقارنها بحجم الجزيء $0.3\,\mathrm{nm}$ .

حل

حل التمرين 20.1.

$N = PV/k_BT = 1.013\times10^5 \times 10^{-3}/(1.38\times10^{-23} \times 273) = 2.7 \times 10^{22}$ ؛ و $n^{*-1/3} = (3.7\times10^{-26})^{1/3} = 3.3\,\mathrm{nm}$ ، أي عشرة أضعاف حجم الجزيء.

تمرين 20.2 ★

احسب السرعات التربيعية المتوسطة للغازات H $_2$ و N $_2$ و O $_2$ و CO $_2$ عند $300\,\mathrm{K}$ ، ثم من أجل N $_2$ عند $77\,\mathrm{K}$ (الآزوت المغلي).

حل

حل التمرين 20.2.

$u = \sqrt{3RT/M}$ : فللغاز H $_2$ $1930\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ، وللغاز N $_2$ $517\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ، وللغاز O $_2$ $484\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ، وللغاز CO $_2$ $412\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ؛ وللغاز N $_2$ عند $77\,\mathrm{K}$ : $262\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .

تمرين 20.3 ★

يُنفخ إطار سيارة حجمه $30\,\mathrm{L}$ إلى ضغط مقياسي مقداره $2.5\,\mathrm{bar}$ عند $20{}^{\circ}\mathrm{C}$ . احسب كمية الهواء وكتلته في الداخل؛ والضغط المطلق بعد قيادة تسخّنه إلى $50{}^{\circ}\mathrm{C}$ .

حل

حل التمرين 20.3.

$P = 3.5\,\mathrm{bar}$ مطلقًا: ومنه $n = PV/RT = 3.5\times10^5 \times 0.030/(8.314 \times 293) = 4.3\,\mathrm{mol}$ ، أي $125\,\mathrm{g}$ . وعند $323\,\mathrm{K}$ ، مع $P \propto T$ : يكون $3.86\,\mathrm{bar}$ (أي $2.85\,\mathrm{bar}$ مقياسيًّا).

تمرين 20.4 ★

قدّر متوسط المسار الحرّ لجزيئات الهواء عند $1\,\mathrm{bar}$ و $300\,\mathrm{K}$ (مع $d = 0.37\,\mathrm{nm}$ )، وتواتر تصادم جزيء واحد. وعند أيّ ضغط يبلغ متوسط المسار الحرّ $1\,\mathrm{m}$ (أي “خلاء”)؟

حل

حل التمرين 20.4.

$n^* = P/k_BT = 2.4 \times 10^{25}\,\mathrm{m}^{-3}$ ؛ و $\lambda = 1/(\sqrt2\pi \times 1.37\times 10^{-19} \times 2.4\times10^{25}) = 6.8 \times 10^{-8}\,\mathrm{m}$ ؛ والتواتر $u/\lambda \approx 500/7\times10^{-8} = 7 \times 10^{9}\,\mathrm{s}^{-1}$ . ومع $\lambda \propto 1/P$ : يبلغ $1\,\mathrm{m}$ عند $P \approx 10^5 \times 7\times10^{-8} = 7 \times 10^{-3}\,\mathrm{Pa}$ .

تمرين 20.5 ★★

احسب كثافة الهواء عند $1.013\,\mathrm{bar}$ و $20{}^{\circ}\mathrm{C}$ (مع $M = 29\,\mathrm{g}/\mathrm{mol}$ )، ثم عند $100{}^{\circ}\mathrm{C}$ . واحسب حمولة منطاد هواء ساخن حجمه $2800\,\mathrm{m}^{3}$ (أي فرق وزنَي الهواء).

حل

حل التمرين 20.5.

$\rho = PM/RT$ : أي $1.20\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ عند $293\,\mathrm{K}$ ، و $0.946\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ عند $373\,\mathrm{K}$ . والحمولة $(1.20 - 0.95) \times 2800 \times 9.81 = 7.0\,\mathrm{kN}$ : أي نحو $720\,\mathrm{kg}$ .

تمرين 20.6 ★★

الهواء $21\%$ منه O $_2$ بالجزيئات. احسب الضغط الجزئي للأكسجين عند سطح البحر؛ وعند $5000\,\mathrm{m}$ حيث $P = 0.54\,\mathrm{atm}$ ؛ وعند قمة إفرست ( $0.33\,\mathrm{atm}$ ). ولماذا يعاني الجسم هناك؟

حل

حل التمرين 20.6.

$P_{\mathrm{O}_2} = 0.21P$ : أي $0.21\,\mathrm{atm}$ ؛ و $0.11\,\mathrm{atm}$ عند $5000\,\mathrm{m}$ ؛ و $0.07\,\mathrm{atm}$ على إفرست — أي ثلث ما عند سطح البحر. ويدخل الأكسجين إلى الدم بنسبة ضغطه الجزئي؛ وعند الثلث لا تستطيع الرئتان إشباع الهيموغلوبين.

تمرين 20.7 ★★

مول واحد من CO $_2$ عند $300\,\mathrm{K}$ في $1.0\,\mathrm{L}$ : احسب الضغط بقانون الغاز المثالي، ثم بفان دير فالس ( $a = 0.364\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{m}^{6}/\mathrm{mol}^{2}$ و $b = 4.27 \times 10^{-5}\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{mol}$ ). فأيّ التصحيحين يغلب هنا؟

حل

حل التمرين 20.7.

بالغاز المثالي: $P = RT/V = 2494/10^{-3} = 24.9\,\mathrm{bar}$ . وبفان دير فالس: $RT/(V - b) - a/V^2 = 2494/9.57\times10^{-4} - 0.364/10^{-6} = 26.1 - 3.6 = 22.4\,\mathrm{bar}$ : فالتجاذب ( $-3.6$ بار) يغلب الحجم المستبعَد ( $+1.2$ بار)؛ و CO $_2$ الحقيقي أدنى بنسبة $10\%$ من القيمة المثالية.

تمرين 20.8 ★★

احسب الطاقة الداخلية لهواء غرفة حجمها $50\,\mathrm{m}^{3}$ عند $1\,\mathrm{bar}$ و $300\,\mathrm{K}$ ؛ والطاقة اللازمة لتسخينه بمقدار $5\,\mathrm{K}$ بحجم ثابت؛ والزمن بمدفأة $2\,\mathrm{kW}$ (بلا ضياعات).

حل

حل التمرين 20.8.

$n = PV/RT = 10^5 \times 50/(8.314 \times 300) = 2000\,\mathrm{mol}$ ؛ و $U = \tfrac52 nRT = 1.25 \times 10^{7}\,\mathrm{J}$ ؛ و $\Delta U = \tfrac52 nR \times 5 = 208\,\mathrm{kJ}$ ؛ أي $104\,\mathrm{s}$ عند $2\,\mathrm{kW}$ .

تمرين 20.9 ★★

سكة فولاذية طولها $30\,\mathrm{m}$ ( $\alpha = 1.2 \times 10^{-5}\,\mathrm{K}^{-1}$ ) بين $-10{}^{\circ}\mathrm{C}$ و $40{}^{\circ}\mathrm{C}$ : احسب تغيّر الطول. وحلقة نحاسية ( $\alpha = 1.9 \times 10^{-5}\,\mathrm{K}^{-1}$ ) قطرها الداخلي $49.95\,\mathrm{mm}$ يجب أن تنزلق فوق محور قطره $50.00\,\mathrm{mm}$ : فبكم يجب تسخينها؟

حل

حل التمرين 20.9.

$\Delta L = \alpha L\Delta T = 1.2\times10^{-5} \times 30 \times 50 = 18\,\mathrm{mm}$ . وللحلقة: $\Delta d/d = \alpha\Delta T = 0.05/49.95 = 10^{-3}$ : ومنه $\Delta T = 10^{-3}/ 1.9\times10^{-5} = 53\,\mathrm{K}$ (فالثقب يتمدد كما يتمدد المعدن حوله).

تمرين 20.10 ★★★

احسب الطاقة لكل جزيء عند $300\,\mathrm{K}$ (أي $\tfrac32 k_BT$ ) بالجول وبوحدة $\mathrm{eV}$ ؛ والسعتين الحراريتين الموليتين $C_{V,m}$ للأرغون وللآزوت؛ ولماذا تكون سعة الآزوت أكبر مع أن جزيئاته أخفّ؟

حل

حل التمرين 20.10.

$\tfrac32 k_BT = 6.2 \times 10^{-21}\,\mathrm{J} = 0.039\,\mathrm{eV}$ . وللأرغون $\tfrac32 R = 12.5\,\mathrm{J}/(\mathrm{mol}\,\mathrm{K})$ ؛ وللآزوت $\tfrac52 R = 20.8\,\mathrm{J}/(\mathrm{mol}\,\mathrm{K})$ : فالجزيء الثنائي الذرة يخزن طاقة في الدوران أيضًا (بدرجتَي حرية إضافيتين)، أيًّا كانت كتلته.

تمرين 20.11 ★★★

أعِد اشتقاق الضغط الحركي في نموذج الاتجاهات الستة، ثم بيّن أنه من أجل توزيع متماثل المناحي للسرعات يكون $\langle v_x^2\rangle = \tfrac13\langle v^2\rangle$ وأن صيغة الضغط لا تتغير.

حل

حل التمرين 20.11.

في نموذج الاتجاهات الستة: كما في المتن، $P = \tfrac13 n^*mu^2$ . وبتماثل المناحي: $\langle v_x^2\rangle = \langle v_y^2\rangle = \langle v_z^2\rangle$ ومجموعها هو $\langle v^2\rangle$ ، فيكون كلٌّ منها $\tfrac13\langle v^2\rangle$ . وحجّة التدفق مع توزيع تعطي $P = n^*m\langle v_x^2\rangle$ (فالجزيئات ذات $v_x > 0$ تضرب الجدار، وكمية الحركة $2mv_x$ لكلٍّ منها، والتدفق $n^*v_x/2$ لكل صنف سرعة، بعد التوسيط)، أي $\tfrac13 n^*m\langle v^2\rangle$ — وهو نفسه.

تمرين 20.12 ★★★

قارن السرعتين التربيعيتين المتوسطتين للغازين H $_2$ و O $_2$ عند $300\,\mathrm{K}$ بسرعة الإفلات من الأرض، وبسرعة الإفلات من القمر ( $2.4\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ ). ومع العلم بأن نسبة الجزيئات الأسرع من $3u$ صغيرة لكنها ليست معدومة، فسّر لماذا فقدت الأرض هدروجينها وفقد القمر غلافه الجوي كله.

حل

حل التمرين 20.12.

للغاز H $_2$ : $1.9\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ ، وللغاز O $_2$ : $0.48\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ ؛ وللأرض $11.2\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ ، وللقمر $2.4\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ . فمن أجل O $_2$ على الأرض، $v_e/u = 23$ : وذيل التوزيع وراء ذلك مهمل تمامًا؛ ومن أجل H $_2$ ، $v_e/u \approx 6$ : فتفلت نسبة ضئيلة لكن مطّردة في كل سنة، وعلى مدى مليارات السنين ذهب الهدروجين. وعلى القمر، $v_e/u$ يساوي $5$ من أجل O $_2$ و $1.2$ من أجل H $_2$ : فتسرّب كل شيء.

20.6 مسألة: هواء القاعة

مسألة 20.1

مسألة نهاية الأسبوع — قاعة درس مملوءة هواءً: عدّ جزيئاته، ووزنه، وتوقيت طيرانها، واستعادة حمولة منطاد ورقّة هواء الجبال وسرعة الصوت من النموذج نفسه

قاعة درس أبعادها $10 \times 8 \times 2.5\,\mathrm{m}$ ؛ وهواؤها عند $P = 1.013 \times 10^{5}\,\mathrm{Pa}$ و $T = 293\,\mathrm{K}$ ، وكتلته المولية $M = 29.0\,\mathrm{g}/\mathrm{mol}$ ، و $79\%$ منه N $_2$ و $21\%$ منه O $_2$ بالجزيئات. ولدينا $R = 8.314\,\mathrm{J}/(\mathrm{mol}\,\mathrm{K})$ و $k_B = 1.38 \times 10^{-23}\,\mathrm{J}/\mathrm{K}$ و $N_A = 6.02 \times 10^{23}$ و $g = 9.81\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ .

الجزء I — العدّ والوزن.

احسب كمية الهواء (بالمولات) وعدد الجزيئات في القاعة.
احسب كتلة الهواء؛ وقارنها بشخص.
احسب الكثافة العددية $n^*$ والمسافة المتوسطة بين الجزيئات ( $n^{*-1/3}$ )؛ وقارنها بقطر الجزيء $0.37\,\mathrm{nm}$ .
احسب السرعة التربيعية المتوسطة للغاز N $_2$ وللغاز O $_2$ ؛ ولماذا يتحرك الغاز الأثقل أبطأ عند درجة الحرارة نفسها؟
احسب متوسط الطاقة الحركية لجزيء واحد؛ والطاقة الحركية الانسحابية الكلية لهواء القاعة؛ وقارنها بالطاقة الحركية لسيارة عند $100\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ .
احسب متوسط المسار الحرّ $\lambda \approx 1/(\sqrt2\pi d^2n^*)$ ومتوسط الزمن بين تصادمَي جزيء.

الجزء II — الضغط من الارتطامات.

باستعمال نموذج الاتجاهات الستة مع $u = 500\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ، احسب عدد الارتطامات في الثانية على $1\,\mathrm{cm}^{2}$ من الجدار.
احسب كمية الحركة المسلَّمة في الثانية، وتحقق من أنها تعيد إنتاج الضغط الجوي.
احسب القوة الكلية للهواء على جدار أبعاده $8\,\mathrm{m}$ في $2.5\,\mathrm{m}$ ؛ ولماذا لا يتحرك الجدار؟
تُسخَّن القاعة إلى $303\,\mathrm{K}$ ونوافذها مغلقة ومحكمة: فما الضغط الجديد، وما القوة المحصّلة على الجدار الآن؟
التسخين نفسه مع نافذة مفتوحة: فماذا يخرج، وكم مقداره؟

الجزء III — الدافعة.

احسب كثافة هواء القاعة، وكثافة هواء عند $373\,\mathrm{K}$ بالضغط نفسه.
يُملأ منطاد هواء ساخن حجمه $2800\,\mathrm{m}^{3}$ بهواء عند $373\,\mathrm{K}$ : احسب وزن الهواء الساخن، ووزن الهواء البارد المزاح، والحمولة المتاحة (بأرخميدس، الفصل 21).
يزن الغلاف والسلة والموقد والغاز $300\,\mathrm{kg}$ : فكم راكبًا كتلة كلٍّ منهم $75\,\mathrm{kg}$ يستطيع رفعهم؟
إلى أيّ درجة حرارة ينبغي تسخين الهواء لمضاعفة الحمولة، ولماذا لا يُفعل ذلك (فالغلاف من النايلون)؟
منطاد هليوم بالحجم نفسه عند $293\,\mathrm{K}$ (مع $M = 4\,\mathrm{g}/\mathrm{mol}$ ): فما الحمولة؟ ولماذا تستعمل مناطيد السياحة الهواء الساخن مع ذلك؟

الجزء IV — الهواء الرقيق وسرعة الصوت.

احسب الضغط الجزئي للأكسجين في القاعة.
عند قمة إفرست $P = 0.33\,\mathrm{atm}$ و $T \approx 250\,\mathrm{K}$ : احسب الكثافة العددية لجزيئات الأكسجين وقارنها بكثافة القاعة.
يهبط ضغط الغلاف الجوي مع الارتفاع تقريبًا وفق $P(z) = P_0\eu^{-z/H}$ مع $H = RT/Mg$ (الفصل 21): احسب $H$ من أجل $260\,\mathrm{K}$ والارتفاع الذي يكون عنده $P = P_0/2$ .
سرعة الصوت في غاز مثالي هي $c_s = \sqrt{\gamma RT/M}$ مع $\gamma = 1.4$ للهواء (الفصل 22): احسبها عند $293\,\mathrm{K}$ وقارنها بالسرعة التربيعية المتوسطة؛ وفسّر قربهما.
كيف تتغير $c_s$ مع $T$ ؟ احسب سرعة الصوت في القاعة عند $303\,\mathrm{K}$ ، وفي الهليوم عند $293\,\mathrm{K}$ (مع $\gamma = 5/3$ ): ولماذا يبدو الصوت في الهليوم حادًّا؟
عند قمة إفرست، هل الصوت أسرع أم أبطأ منه في القاعة؟ وبكم؟
يُستبدل بهواء القاعة أرغون عند $P$ و $T$ نفسيهما: فما الذي يتغير في العدد والكتلة والسرعات والطاقة الداخلية؟
احسب الطاقة الداخلية لهواء القاعة ( $U = \tfrac52 nRT$ ) والطاقة اللازمة لتسخينه بمقدار $10\,\mathrm{K}$ بحجم ثابت.
لخّص في ثلاثة أسطر ما قدّمه النموذج الحركي: أيّ المقادير العيانية فسّرها، وانطلاقًا من أيّ متوسط مجهري واحد.

حل

حل المسألة 20.1.

1. $V = 200\,\mathrm{m}^{3}$ : ومنه $n = PV/RT = 1.013\times10^5 \times 200/(8.314 \times 293) = 8320\,\mathrm{mol}$ ؛ و $N = nN_A = 5.0 \times 10^{27}$ .

2. $m = nM = 241\,\mathrm{kg}$ : أي ثلاثة أشخاص.

3. $n^* = N/V = 2.5 \times 10^{25}\,\mathrm{m}^{-3}$ ؛ والمسافة $n^{*-1/3} = 3.4\,\mathrm{nm}$ ، أي تسعة أقطار جزيئية.

4. للغاز N $_2$ : $\sqrt{3 \times 8.314 \times 293/0.028} = 511\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ؛ وللغاز O $_2$ : $478\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . والمقدار $\tfrac32 k_BT$ نفسه لكل جزيء: فيكون $\tfrac12 mu^2$ ثابتًا، ومنه $u \propto 1/\sqrt m$ .

5. $\tfrac32 k_BT = 6.1 \times 10^{-21}\,\mathrm{J}$ ؛ والمجموع $N \times 6.1\times10^{-21} = 3.0 \times 10^{7}\,\mathrm{J}$ ؛ وسيارة كتلتها $1000\,\mathrm{kg}$ عند $100\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ : $3.9 \times 10^{5}\,\mathrm{J}$ — فحركة جزيئات القاعة تعادل ثمانين سيارة.

6. $\lambda = 1/(\sqrt2\pi \times 1.37\times10^{-19} \times 2.5\times10^{25}) = 66\,\mathrm{nm}$ ؛ والزمن $\lambda/u = 66\times10^{-9}/500 = 1.3 \times 10^{-10}\,\mathrm{s}$ .

7. الارتطامات في الثانية على $S$ : $\tfrac16 n^*Su = \tfrac16 \times 2.5\times 10^{25} \times 10^{-4} \times 500 = 2.1 \times 10^{23}\,\mathrm{s}^{-1}$ .

8. يسلّم كلٌّ منها $2mu = 2 \times 4.8\times10^{-26} \times 500 = 4.8 \times 10^{-23}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ (مع $m = M/N_A = 4.8 \times 10^{-26}\,\mathrm{kg}$ ): فالقوة $2.1\times10^{23} \times 4.8\times10^{-23} = 10\,\mathrm{N}$ على $1\,\mathrm{cm}^{2}$ : أي $1.0 \times 10^{5}\,\mathrm{Pa}$ . فالنموذج يعيد إنتاج الضغط الجوي.

9. $F = PS = 1.013\times10^5 \times 20 = 2.0 \times 10^{6}\,\mathrm{N}$ — أي مئتا طن؛ ويؤثر الضغط نفسه على الجانب الآخر.

10. $P' = P \times 303/293 = 1.048 \times 10^{5}\,\mathrm{Pa}$ ؛ والمحصلة $\Delta P\,S = 3.5 \times10^3 \times 20 = 70\,\mathrm{kN}$ إلى الخارج: أي سبعة أطنان على الجدار.

11. يخرج الهواء حتى يتساوى الضغط: مع $n \propto 1/T$ عند $P$ و $V$ ثابتين: $8320 \times (1 - 293/303) = 275\,\mathrm{mol}$ ، أي $8\,\mathrm{kg}$ تغادر.

12. $\rho = PM/RT$ : أي $1.205\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ عند $293\,\mathrm{K}$ ؛ و $0.946\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ عند $373\,\mathrm{K}$ .

13. الهواء الساخن $0.946 \times 2800 \times 9.81 = 26.0\,\mathrm{kN}$ ؛ والهواء البارد المزاح $1.205 \times 2800 \times 9.81 = 33.1\,\mathrm{kN}$ ؛ والحمولة $7.1\,\mathrm{kN}$ (أي $725\,\mathrm{kg}$ ).

14. $725 - 300 = 425\,\mathrm{kg}$ : أي خمسة ركاب.

15. الحمولة $\propto \rho_c - \rho_h = \rho_c(1 - 293/T)$ : ومضاعفة $1 - 293/373 = 0.215$ تقتضي $T = 293/0.57 = 514\,\mathrm{K}$ (أي $240{}^{\circ}\mathrm{C}$ )، وهو أعلى بكثير مما يتحمله النايلون (نحو $120{}^{\circ}\mathrm{C}$ ).

16. للهليوم $\rho = 1.205 \times 4/29 = 0.166\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ : فالحمولة $(1.205 - 0.166) \times 2800 \times 9.81 = 28.5\,\mathrm{kN}$ (أي $2.9\,\mathrm{t}$ )، أي أكثر بأربع مرات — لكن الهليوم غال ويضيع عند كل هبوط، بينما الهواء الساخن مجاني ويمكن ضبط حمولته بالموقد.

17. $0.21 \times 1.013\times10^5 = 2.1 \times 10^{4}\,\mathrm{Pa}$ .

18. $n^*_{\mathrm{O}_2} = P_{\mathrm{O}_2}/k_BT$ : ففي القاعة $2.1\times10^4/ (1.38\times10^{-23} \times 293) = 5.3 \times 10^{24}\,\mathrm{m}^{-3}$ ؛ وعلى إفرست $0.21 \times 0.33 \times 1.013\times10^5/(1.38\times10^{-23} \times 250) = 2.0 \times 10^{24}\,\mathrm{m}^{-3}$ : أي $38\%$ من كثافة القاعة.

19. $H = RT/Mg = 8.314 \times 260/(0.029 \times 9.81) = 7.6\,\mathrm{km}$ ؛ و $P_0/2$ عند $H\ln 2 = 5.3\,\mathrm{km}$ .

20. $c_s = \sqrt{1.4 \times 8.314 \times 293/0.029} = 343\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ، مقابل $u = 503\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ للمزيج: أي $c_s/u = \sqrt{\gamma/3} = 0.68$ . فالصوت اضطراب تحمله الجزيئات نفسها، ولذلك ينتقل بسرعة من رتبة سرعتها — أقلّ منها قليلًا، إذ لا تهمّ إلا المركّبة على امتداد الانتشار.

21. $c_s \propto \sqrt T$ : ومنه $343\sqrt{303/293} = 349\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . وللهليوم: $\sqrt{(5/3) \times 8.314 \times 293/0.004} = 1010\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ : فرنينات الجهاز الصوتي تتناسب مع $c_s$ ، ومن ثمّ يرتفع كل رنين ثلاث مرات.

22. أبرد: $343\sqrt{250/293} = 317\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ، أي أبطأ بنسبة $8\%$ ؛ ولا يدخل الضغط في ذلك.

23. العدد $N$ نفسه (بالمقادير $P$ و $V$ و $T$ نفسها)؛ والكتلة $\times 40/29 = 333\,\mathrm{kg}$ ؛ والسرعات $\times\sqrt{29/40}$ : أي $u = 428\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ؛ و $U = \tfrac32 nRT$ بدل $\tfrac52$ : أي $60\%$ .

24. $U = \tfrac52 \times 8320 \times 8.314 \times 293 = 5.1 \times 10^{7}\,\mathrm{J}$ ؛ و $\Delta U = \tfrac52 nR \times 10 = 1.7 \times 10^{6}\,\mathrm{J}$ .

25. متوسط واحد، $\langle v^2\rangle$ ، يحدّد الضغط ( $\tfrac13 n^*m\langle v^2\rangle$ )، ويعرّف درجة الحرارة ( $\tfrac12 m\langle v^2\rangle = \tfrac32 k_BT$ )، ويعطي معادلة الحالة والطاقة الداخلية، ويضبط رتبة سرعة الصوت.

المصطلحات المعرَّفة في هذا الفصل

عرض كل المصطلحات (431) في المسرد