Matemáticas de secundaria · Grades 10–12

25Integración

La integración responde a dos preguntas a la vez: ¿cuál es el área bajo una curva? ¿Y cómo se puede recuperar un función de su tasa de cambio? lo fundamental El teorema del cálculo establece que se trata de la misma pregunta: la pregunta más profunda. y el descubrimiento más útil de las matemáticas del siglo XVII.

25.1 La integral de una función continua.

Definición 25.1 (Integral de una función positiva)

Sea $f$ continuo y positivo en $\intcc{a}{b}$ . el integral

\int_a^b f(x)\,\dd x

es el área, en unidades de área, de la región delimitada por la curva de $f$ , el eje $x$ y las líneas verticales $x = a$ y $x = b$ .

Para un función de signo arbitrario, se cuentan las áreas debajo del eje $x$ negativamente; y uno se pone $\int_b^a f(x)\,\dd x = -\int_a^b f(x)\,\dd x$ .

Áreas firmadas: ∈t_02π x\, x = 0, la región debajo del eje (rojo) cancelando la región de arriba (azul). — Áreas firmadas: $\int_0^{2\pi} \sin x\,\dd x = 0$ , la región debajo del eje (rojo) cancelando la región de arriba (azul).

Proposición 25.2 (Propiedades de la integral)

Sea $f, g$ continuo en un intervalo que contiene $a, b, c$ , y $\lambda \in \R$ .

Linealidad: $\displaystyle\int_a^b (f + \lambda g) = \int_a^b f + \lambda \int_a^b g$ .
Relación de Chasles: $\displaystyle\int_a^c f = \int_a^b f + \int_b^c f$ .
Positividad: si $a \leq b$ y $f \geq 0$ en $\intcc{a}{b}$ , luego $\displaystyle\int_a^b f \geq 0$ ; si $f \leq g$ , entonces $\displaystyle\int_a^b f \leq \int_a^b g$ .

Demostración. Los chasles y la positividad son inmediatos desde la interpretación del área (las áreas suman cuando se yuxtaponen regiones; una región de altura positiva tiene positivo zona). La comparación sigue aplicando positividad a $g - f$ . La linealidad es intuitivamente claro para la suma de funciones positivo (apilar las áreas) y es probado rigurosamente en la universidad; aquí se admite. ∎

25.2 El teorema fundamental del cálculo.

Definición 25.3 (primitivo)

Un primitivo (o primitiva) de $f$ en un intervalo $I$ es un diferenciable función $F$ en $I$ tal que $F' = f$ .

Proposición 25.4

Si $F$ es un primitivo de $f$ en un intervalo $I$ , el primitivos de $f$ en $I$ son exactamente funciones $F + c$ , $c \in \R$ . Dado $x_0 \in I$ y $y_0 \in \R$ , hay un primitivo único con $F(x_0) = y_0$ .

Demostración. Si $G' = F' = f$ , entonces $(G - F)' = 0$ en intervalo $I$ , entonces $G - F$ es constante.¹ Por el contrario, cada $F + c$ es un primitivo. la condición $F(x_0) = y_0$ precisa la constante. ∎

Teorema 25.5 (Teorema fundamental del calculo)

Sea $f$ continuo en un intervalo $I$ y $a \in I$ . El función

F \colon x \longmapsto \int_a^x f(t)\,\dd t

es el primitivo de $f$ en $I$ que desaparece en $a$ . En consecuencia, para cualquier primitivo $G$ de $f$ y $a, b \in I$ :

\int_a^b f(t)\,\dd t = \bigl[G(t)\bigr]_a^b = G(b) - G(a).

La idea de la prueba: el incremento F(x+h) - F(x) es el área de la franja estrecha (naranja), exprimida entre los rectángulos de alturas f(x) y f(x+h) sobre una base de longitud h. — La idea de la prueba: el incremento $F(x+h) - F(x)$ es el área de la franja estrecha (naranja), exprimida entre los rectángulos de alturas $f(x)$ y $f(x+h)$ sobre una base de longitud $h$ .

Prueba cuando $f$ está aumentando. Repare $x \in I$ y $h > 0$ con $x + h \in I$ . Por Chasles,

F(x+h) - F(x) = \int_x^{x+h} f(t)\,\dd t .

Dado que $f$ es creciente, $f(x) \leq f(t) \leq f(x+h)$ para $t \in \intcc{x}{x+h}$ , y en comparación con integrales (el integral de un constante $c$ sobre un intervalo de longitud $h$ es $ch$ ):

h\,f(x) \leq F(x+h) - F(x) \leq h\,f(x+h),

entonces

f(x) \leq \frac{F(x+h) - F(x)}{h} \leq f(x+h).

Como $h \to 0^+$ , $f(x+h) \to f(x)$ por continuidad y el teorema de compresión da que el cociente de diferencias tiende a $f(x)$ ; el caso $h < 0$ es simétrico. Por lo tanto, $F' = f$ y $F(a) = 0$ . El general (no monótono) Caso continuo se prueba en la universidad.

Finalmente, si $G$ es cualquier primitivo, $G = F + c$ (Proposición 25.4), entonces $G(b) - G(a) = F(b) - F(a) = \int_a^b f$ . ∎

Ejemplo 25.6

$\displaystyle\int_0^1 x^2\,\dd x = \left[\frac{x^3}{3}\right]_0^1 = \frac13$ : el área bajo parábola es un tercio de la unidad cuadrada, como Arquímedes lo sabía.

La tabla de primitivos se lee de la tabla de derivados ( $u$ denota diferenciable función, $c$ una constante arbitraria):

$f(x)$	primitivo	$f$	primitivo
$x^n \ (n \neq -1)$	$\dfrac{x^{n+1}}{n+1} + c$	$u'u^n \ (n \neq -1)$	$\dfrac{u^{n+1}}{n+1} + c$
$\dfrac1x \ (x > 0)$	$\ln x + c$	$\dfrac{u'}{u} \ (u > 0)$	$\ln u + c$
$\eu^x$	$\eu^x + c$	$u'\eu^u$	$\eu^u + c$
$\cos x$	$\sin x + c$	$\dfrac{u'}{\sqrt u} \ (u>0)$	$2\sqrt u + c$
$\sin x$	$-\cos x + c$

Método 25.7 (Reconociendo el formulario $u' \times (\text{something in } u)$ )

Para integrar un producto busque un factor que sea el derivado de un interno función $u$ , hasta una constante multiplicativa. Por ejemplo en $\int_0^1 x\,\eu^{x^2}\dd x$ , el factor $x$ es $\frac12 (x^2)'$ :

\int_0^1 x\,\eu^{x^2}\dd x = \frac12\left[\eu^{x^2}\right]_0^1 = \frac{\eu - 1}{2}.

Teorema 25.8 (Integración por partes)

Sea $u, v$ diferenciable en $\intcc{a}{b}$ con continuo derivados. entonces

\int_a^b u'(t)\,v(t)\,\dd t = \bigl[u(t)\,v(t)\bigr]_a^b - \int_a^b u(t)\,v'(t)\,\dd t .

Demostración. La regla del producto da $(uv)' = u'v + uv'$ ; integrando ambos lados sobre $\intcc{a}{b}$ y usando el teorema fundamental para el lado izquierdo produce $\bigl[uv\bigr]_a^b = \int_a^b u'v + \int_a^b uv'$ . ∎

Ejemplo 25.9

$\displaystyle\int_0^1 t\,\eu^{t}\,\dd t$ : toma $u' = \eu^t$ , $v = t$ , entonces $u = \eu^t$ , $v' = 1$ :

\int_0^1 t\,\eu^t\,\dd t = \bigl[t\,\eu^t\bigr]_0^1 - \int_0^1 \eu^t\,\dd t = \eu - (\eu - 1) = 1 .

25.3 Aplicaciones

Definición 25.10 (valor medio)

El valor medio de un continuo función $f$ en $\intcc{a}{b}$ ( $a<b$ ) es

\mu = \frac{1}{b-a}\int_a^b f(t)\,\dd t .

Proposición 25.11

Si $m \leq f \leq M$ en $\intcc{a}{b}$ , entonces $m \leq \mu \leq M$ .

Demostración. Integrar las desigualdades $m \leq f(t) \leq M$ sobre $\intcc{a}{b}$ y dividir por $b - a > 0$ . ∎

Método 25.12 (Área entre dos curvas)

Si $f \geq g$ en $\intcc{a}{b}$ , el área entre las dos curvas es $\int_a^b \bigl(f(x) - g(x)\bigr)\dd x$ . Si las curvas se cruzan, divida las intervalo en los puntos de cruce e integrar $\abs{f - g}$ pieza por pieza.

El área entre la línea y = x + 1 (roja) y parábola y = x2 - 1 (azul) es ∈t_-12 ((x+1) - (x2-1) ) x = 9/2. — El área entre la línea $y = x + 1$ (roja) y parábola $y = x^2 - 1$ (azul) es $\int_{-1}^{2} \bigl((x+1) - (x^2-1)\bigr)\dd x = \frac92$ .

25.4 Ceremonias

Ejercicio 25.1 ★

calcular

\int_1^2 \left(3x^2 - \frac{1}{x^2}\right)\dd x, \qquad \int_0^{\pi/2} \cos t \,\dd t, \qquad \int_0^{1} \frac{\dd t}{2t+1} .

Solución

Solución de Ejercicio 25.1.

\int_1^2 \left(3x^2 - \frac{1}{x^2}\right)\dd x = \left[x^3 + \frac1x\right]_1^2 = \left(8 + \tfrac12\right) - 2 = \frac{13}{2}.

\int_0^{\pi/2} \cos t\,\dd t = \bigl[\sin t\bigr]_0^{\pi/2} = 1 .

Con $u = 2t+1$ , $\frac{1}{2t+1} = \frac12\,\frac{u'}{u}$ :

\int_0^1 \frac{\dd t}{2t+1} = \frac12\bigl[\ln(2t+1)\bigr]_0^1 = \frac{\ln 3}{2}.

Ejercicio 25.2 ★

Encuentre el primitivo $F$ de $f(x) = x\eu^{x^2}$ en $\R$ tal que $F(0) = 1$ .

Solución

Solución de Ejercicio 25.2.

$x\,\eu^{x^2} = \frac12\,(x^2)'\,\eu^{x^2}$ tiene primitivos $\frac12\eu^{x^2} + c$ . La condición $F(0) = 1$ da $\frac12 + c = 1$ , entonces

F(x) = \frac{\eu^{x^2} + 1}{2}.

Ejercicio 25.3 ★

Calcule valor medio de $f(t) = \sin t$ en $\intcc{0}{\pi}$ e interprete el resultado en un gráfico.

Solución

Solución de Ejercicio 25.3.

\mu = \frac{1}{\pi}\int_0^\pi \sin t\,\dd t = \frac{1}{\pi}\bigl[-\cos t\bigr]_0^\pi = \frac{2}{\pi} \approx 0.64 .

Gráficamente, el rectángulo de base $\intcc{0}{\pi}$ y altura $\frac{2}{\pi}$ tiene la misma área que el arco de la curva seno.

Ejercicio 25.4 ★★

Utilizando integración por partes, calcule

\int_1^{\eu} \ln t\,\dd t \qquad\text{and}\qquad \int_0^{\pi} t \sin t\,\dd t .

Solución

Solución de Ejercicio 25.4.

Tome $u' = 1$ , $v = \ln t$ , entonces $u = t$ , $v' = \frac1t$ :

\int_1^{\eu} \ln t\,\dd t = \bigl[t\ln t\bigr]_1^{\eu} - \int_1^{\eu} 1\,\dd t = \eu - (\eu - 1) = 1 .

Tome $u' = \sin t$ , $v = t$ , entonces $u = -\cos t$ , $v' = 1$ :

\int_0^\pi t\sin t\,\dd t = \bigl[-t\cos t\bigr]_0^\pi + \int_0^\pi \cos t\,\dd t = \pi + 0 = \pi .

Ejercicio 25.5 ★★

Calcule el área de la región entre parábola $y = x^2$ y la línea $y = x + 2$ .

Solución

Solución de Ejercicio 25.5.

Las curvas se cruzan donde $x^2 = x + 2$ , i.e. $x \in \{-1, 2\}$ y en $\intcc{-1}{2}$ la línea está por encima de parábola. El área es

\int_{-1}^{2} \bigl(x + 2 - x^2\bigr)\dd x = \left[\frac{x^2}{2} + 2x - \frac{x^3}{3}\right]_{-1}^{2} = \frac{10}{3} - \left(-\frac{7}{6}\right) = \frac{9}{2}.

Ejercicio 25.6 ★★

Deje $I = \displaystyle\int_0^1 \frac{\dd t}{1 + t}$ .

Calcular $I$ .
Para $n \in \N$ , sea $I_n = \displaystyle\int_0^1 \frac{t^n}{1+t}\dd t$ . Muestre que $I_n + I_{n+1} = \dfrac{1}{n+1}$ y que $0 \leq I_n \leq \dfrac{1}{n+1}$ .
Deduce que $1 - \frac12 + \frac13 - \dots + \frac{(-1)^{n-1}}{n} \xrightarrow[n \to +\infty]{} \ln 2$ .

Solución

Solución de Ejercicio 25.6.

1. $I = \bigl[\ln(1+t)\bigr]_0^1 = \ln 2$ .

I_n + I_{n+1} = \int_0^1 \frac{t^n(1 + t)}{1+t}\,\dd t = \int_0^1 t^n \,\dd t = \frac{1}{n+1}.

En $\intcc{0}{1}$ , $0 \leq \dfrac{t^n}{1+t} \leq t^n$ , en comparación $0 \leq I_n \leq \frac{1}{n+1}$ .

3. A partir de la recurrencia, por una inducción telescópica,

I_n = (-1)^n\left(I_0 - \left(1 - \frac12 + \dots + \frac{(-1)^{n-1}}{n}\right)\right),

i.e. $\displaystyle\sum_{k=1}^{n} \frac{(-1)^{k-1}}{k} = \ln 2 - (-1)^n I_n$ (recuerde $I_0 = \ln 2$ ). Desde $\abs{I_n} \leq \frac{1}{n+1} \to 0$ , el La suma armónica alterna tiende a $\ln 2$ .

Ejercicio 25.7 ★★

La velocidad de un tren (en m/s) durante los primeros $100$ segundos después de la salida. está modelado por $v(t) = 30\bigl(1 - \eu^{-t/50}\bigr)$ . Calcular la distancia viajó durante estos $100$ segundos, y la velocidad promedio del tren durante el intervalo.

Solución

Solución de Ejercicio 25.7.

Distancia:

d = \int_0^{100} 30\left(1 - \eu^{-t/50}\right)\dd t = 30\left[t + 50\,\eu^{-t/50}\right]_0^{100} = 30\left(100 + 50\eu^{-2} - 50\right) = 1500 + 1500\,\eu^{-2}.

Numéricamente $d \approx 1500 + 203 = 1703$ m. Velocidad media: $\frac{d}{100} = 15\bigl(1 + \eu^{-2}\bigr) \approx 17.0$ m/s.

Ejercicio 25.8 ★★★

Para $n \geq 1$ , sea $S_n = \dfrac1n \displaystyle\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{1 + k/n}$ .

Interpretar $S_n$ como un área de rectángulos que se aproxima a una región bajo la curva de $t \mapsto \frac{1}{1+t}$ en $\intcc{0}{1}$ .
Utilizando la monotonicidad de $t \mapsto \frac{1}{1+t}$ , demuestre que

$S_n \leq \int_0^1 \frac{\dd t}{1+t} \leq S_n + \frac1n\left(1 - \frac12\right),$

y deducir $\lim\limits_{n\to+\infty} S_n = \ln 2$ .

Solución

Solución de Ejercicio 25.8.

1. $S_n$ es el área total de $n$ rectángulos de ancho $\frac1n$ y alturas $f\left(\frac kn\right)$ , $k = 1, \dots, n$ , donde $f(t) = \frac{1}{1+t}$ : es el rectángulo “extremo derecho” aproximación del área bajo $f$ en $\intcc{0}{1}$ .

2. $f$ es decreciente, por lo que en cada intervalo $\intcc{\frac{k-1}{n}}{\frac kn}$ , $f\left(\frac kn\right) \leq f(t) \leq f\left(\frac{k-1}{n}\right)$ ; integrando y sumando $k$ :

S_n \leq \int_0^1 f(t)\,\dd t \leq S_n + \frac1n\bigl(f(0) - f(1)\bigr) = S_n + \frac{1}{2n}.

(El término medio de la visualización del ejercicio, con $f(0) - f(1) = 1 - \frac12$ , es exactamente este límite.) Por lo tanto $0 \leq \ln 2 - S_n \leq \frac{1}{2n} \to 0$ , entonces $S_n \to \ln 2$ .

Ejercicio 25.9 ★★★

(Wallis integrales.) Para $n \in \N$ , deje $W_n = \displaystyle\int_0^{\pi/2} \sin^n t\,\dd t$ .

Calcula $W_0$ y $W_1$ .
Escribiendo $\sin^{n+2}t = \sin t \cdot \sin^{n+1} t$ e integrando por piezas, muestre que $W_{n+2} = \dfrac{n+1}{n+2}\,W_n$ .
Deduzca $W_2$ , $W_3$ , $W_4$ y demuestre que $(W_n)$ es decreciente y positivo.

Solución

Solución de Ejercicio 25.9.

1. $W_0 = \int_0^{\pi/2} \dd t = \frac{\pi}{2}$ y $W_1 = \bigl[-\cos t\bigr]_0^{\pi/2} = 1$ .

2. Integrar por partes con $u' = \sin t$ , $v = \sin^{n+1} t$ , por lo que $u = -\cos t$ , $v' = (n+1)\sin^n t \cos t$ :

W_{n+2} = \bigl[-\cos t \sin^{n+1} t\bigr]_0^{\pi/2} + (n+1)\int_0^{\pi/2} \cos^2 t\,\sin^n t\,\dd t = (n+1)\int_0^{\pi/2} (1 - \sin^2 t)\sin^n t\,\dd t,

el soporte desaparece en ambos extremos. Por lo tanto $W_{n+2} = (n+1)(W_n - W_{n+2})$ , i.e. $W_{n+2} = \frac{n+1}{n+2} W_n$ .

3. $W_2 = \frac12 W_0 = \frac{\pi}{4}$ , $W_3 = \frac23 W_1 = \frac23$ , $W_4 = \frac34 W_2 = \frac{3\pi}{16}$ . En $\intoo{0}{\frac\pi2}$ , $0 < \sin t < 1$ , entonces $\sin^{n+1} t \leq \sin^n t$ con estricta desigualdad en el interior; integrando, $0 < W_{n+1} \leq W_n$ (de hecho $<$ ): $(W_n)$ es decreciente y positivo.

25.5 Problema: Arquímedes contra la máquina

Problema 25.1

Problema del fin de semana — el área bajo la parábola, calculó de tres maneras a lo largo de veintidós siglos, y el identidad secreta del logaritmo como área

Alrededor del año 240 a.C., Arquímedes calculó el área exacta de una parabólica. segmento — sin coordenadas, sin límites, sin álgebra. Diecinueve siglos más tarde, los rectángulos de Riemann lo rehicieron mediante técnicas brutas. apretar; y el teorema fundamental del cálculo (Teorema 25.5) ahora lo hace en una línea. este problema juega los tres partidos y luego usa la misma máquina para revelar lo que realmente es el logaritmo: un área con simetría de escala.

Parte I — Fluency.

Calcular $\displaystyle\int_0^1 (3x^2 - 2x + 1)\,\dd x$ , $\displaystyle\int_1^{\eu} \frac{\dd x}{x}$ , y $\displaystyle\int_0^{\pi/2} \cos x\,\dd x$ .
Encuentra los formularios $u'u$ (Método 25.7): $\displaystyle\int_0^1 x\,\eu^{x^2}\dd x$ y $\displaystyle\int_0^1 \frac{2x}{x^2 + 1}\,\dd x$ .
Por partes (Teorema 25.8): $\displaystyle\int_0^1 x\,\eu^x \dd x$ y $\displaystyle\int_1^{\eu} \ln x\,\dd x$ .
Calcular el valor medio (Definición 25.10) de $\sin$ más $\intcc{0}{\pi}$ — y tenga en cuenta que es no $\frac12$ .
Calcula el área entre la línea $y = x$ y el parábola $y = x^2$ sobre $\intcc{0}{1}$ (Método 25.12).

Parte II — The parábola, three ways.

Configuración de Riemann para el área bajo $y = x^2$ en $\intcc{0}{1}$ : escribe la suma inferior $L_n$ y la superior suma $U_n$ sobre $n$ rectángulos iguales (como en Ejercicio 25.8).
Demostrar por inducción (máquina de Problema 20.1) la fórmula de suma de cuadrados

$1^2 + 2^2 + \dots + n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} .$
Deducir formas cerradas para $U_n$ y $L_n$ , calcular sus límite común, y concluir: el área es $\frac13$ .
Ahora la máquina: calcular $\int_0^1 x^2\,\dd x$ por el teorema fundamental, en una línea. Compara los esfuerzos.
Arquímedes afirmó lo contrario: a parabolic segment is $\frac43$ of its inscribed triangle. Para el segmento cortado de $y = x^2$ por la unión de cuerdas $(-1, 1)$ a $(1, 1)$ : calcula el área del segmento con un integral, el área del triángulo inscrito (ápice en el vértice $(0, 0)$ ) y verifique la relación maestra.
Método propio de Arquímedes: rellenar el segmento con el grande triángulo $T$ , luego dos triángulos que suman $\frac T4$ , luego cuatro para un total de $\frac{T}{16}$ , y así encendido. Sumar la serie geométrica y recuperar. $\frac43 T$ — la barra de chocolate infinitamente mordida de el volumen de la escuela secundaria, devorado por un geómetra griego.
Una frase cada uno: agotamiento (Arquímedes), apretar (Riemann), antidiferenciación (Newton–Leibniz) — ¿Qué necesita cada uno y qué da cada uno?

Parte III — The logaritmo is an area. Para $x > 0$ , establezca $A(x) = \displaystyle\int_1^x \frac{\dd t}{t}$ .

Dar $A(1)$ y $A'(x)$ (Teorema 25.5) y concluir que $A$ es exactamente el logaritmo natural de Definición 23.5.
El milagro del escalamiento: arreglar $a > 0$ y estudiar $g(x) = A(ax) - A(x)$ . Calcular $g'$ (regla de la cadena), deduzca que $g$ es constante, evalúe la constante — y concluir el funcional ecuación

$\ln(ab) = \ln a + \ln b ,$

demostrado por cálculo puro: el área de $1$ a $ab$ se divide en copias escaladas.
Deducir de la pregunta 14: $\ln(a^n) = n\ln a$ y $\ln\frac1a = -\ln a$ .
Ejercicio 25.8 lee $\frac{1}{n+1} + \frac{1}{n+2} + \dots + \frac{1}{2n}$ como rectángulos bajo $\frac{1}{1 + t}$ : calcular esta suma para $n = 10$ (tres decimales) y comparar con $\ln 2$ . Qué sumas con sabor armónico, término divergente por término, aquí convergen a un área?

Parte IV — Accumulation.

Un automóvil acelera con velocidad $v(t) = 3t^2$ m/s durante $t \in \intcc{0}{10}$ . Calcula la distancia recorrida, la velocidad significar, y el instante en el que La velocidad instantánea es igual a la velocidad significar.
Una varilla de $4$ metros tiene densidad lineal $\rho(x) = 2 + x$ kg/m. Calcule su masa total y su centro de masa $\dfrac{\int_0^4 x\,\rho(x)\,\dd x}{\int_0^4 \rho(x)\,\dd x}$ — el punto de equilibrio del Medio Triángulo de cartón del volumen escolar, finalmente calculado con pesos que varían.
integrales (Ejercicio 25.9) de Wallis: cálculo $W_0$ , $W_1$ y $W_2 = \int_0^{\pi/2} \sin^2 t\,\dd t$ usando el linealización de Problema 24.1. (Su infinito escalera sube, en los volúmenes universitarios, a un producto fórmula para $\pi$ y a la normalización de la campana curva.)
Finale — las tres caras de la integración: un área por definición, un acumulación en el mundo (distancia, masa), un antiderivada por el teorema fundamental; y su historia en tres nombres. Cierra con la perla del capítulo: cuál botón de cada día en la calculadora está secretamente el área debajo $\frac1t$ — ¿y qué identidad demostró esa zona?

Solución

Solución de Problema 25.1.

1. $\left[x^3 - x^2 + x\right]_0^1 = 1$ ; $\left[\ln x\right]_1^{\eu} = 1$ ; $\left[\sin x\right]_0^{\pi/2} = 1$ .

2. $\left[\frac12 \eu^{x^2}\right]_0^1 = \frac{\eu - 1}{2}$ ; $\left[\ln(x^2 + 1)\right]_0^1 = \ln 2$ .

3. $\int_0^1 x\eu^x = \left[x\eu^x\right]_0^1 - \int_0^1 \eu^x = \eu - (\eu - 1) = 1$ . y $\int_1^{\eu} \ln x = \left[x\ln x\right]_1^{\eu} - \int_1^{\eu} 1 = \eu - (\eu - 1) = 1$ .

4. $\frac{1}{\pi}\int_0^\pi \sin x\,\dd x = \frac{2}{\pi} \approx 0.64$ : la altura promedio del seno El arco es $\frac2\pi$ , notablemente más de la mitad — el El arco es grueso cerca de su parte superior.

5. $\int_0^1 (x - x^2)\,\dd x = \frac12 - \frac13 = \frac16$ .

6. $L_n = \frac1n \sum_{k=0}^{n-1} \left(\frac kn\right)^2$ y $U_n = \frac1n \sum_{k=1}^{n} \left(\frac kn\right)^2$ : rectángulos de ancho $\frac1n$ con alturas leídas a la izquierda (debajo de la curva) o puntos finales derechos (arriba).

7. Verdadero para $n = 1$ ( $1 = \frac{1 \cdot 2 \cdot 3}{6}$ ). Si es válido para $n$ , entonces agregue $(n+1)^2$ :

\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + (n+1)^2 = \frac{(n+1)\left(2n^2 + n + 6n + 6\right)}{6} = \frac{(n+1)(n+2)(2n+3)}{6},

la fórmula en $n + 1$ : herencia, hecho.

8. $U_n = \frac{1}{n^3} \cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} = \frac{(1 + \frac1n)(2 + \frac1n)}{6} \to \frac26 = \frac13$ y $L_n = U_n - \frac1n \to \frac13$ : apretada entre sus escaleras, el área es exactamente $\frac13$ .

9. $\int_0^1 x^2\,\dd x = \left[\frac{x^3}{3}\right]_0^1 = \frac13$ : una línea. el El teorema fundamental convierte una compresión infinita en una única. Evaluación antiderivada — por eso se llama fundamentales.

10. Segmento: $\int_{-1}^{1}(1 - x^2)\,\dd x = 2 - \frac23 = \frac43$ . Triángulo con base la cuerda (longitud $2$ , en altura $1$ ) y ápice $(0,0)$ : área $\frac12 \times 2 \times 1 = 1$ . Relación: $\frac43$ — exactamente El teorema de Arquímedes, verificado por la máquina que le faltaba.

11. $T\left(1 + \frac14 + \frac{1}{16} + \dots\right) = T \cdot \frac{1}{1 - \frac14} = \frac43 T$ (serie geométrica de relación $\frac14$ ): con $T = 1$ , el área del segmento $\frac43$ nuevamente. Arquímedes resumió la serie de forma puramente argumento geométrico — los cuartos de la barra de chocolate amable, dos milenios antes de que los límites fueran palabras.

12. El agotamiento necesita una geometría inteligente. autosimilitud y da áreas exactas caso por caso; Riemann sólo necesita monotonicidad y da una definición universal en el precio de calcular sumas; el teorema fundamental necesita el todo el edificio de derivados y lo paga haciendo áreas cálculos de una sola línea.

13. $A(1) = 0$ y $A'(x) = \frac1x$ (fundamentos teorema): $A$ es el primitivo de $\frac1x$ en $\intoo{0}{+\infty}$ desaparece en $1$ — que es precisamente el logaritmo natural.

14. $g'(x) = \frac{a}{ax} - \frac1x = 0$ : $g$ es constante; en $x = 1$ : $g(1) = A(a) - A(1) = A(a)$ . Por lo tanto $A(ax) = A(a) + A(x)$ para todos los $x$ y con $x = b$ : $\ln(ab) = \ln a + \ln b$ . Al área del hipérbola no le importa Acerca de la escala horizontal: estiramiento de calabazas $t$ por $a$ $\frac1t$ por $a$ , y el área sobrevive — adición de logaritmos es una simetría de escala.

15. Iterando: $\ln(a^n) = n\ln a$ (inducción en $n$ ). Y $0 = \ln 1 = \ln\left(a \cdot \frac1a\right) = \ln a + \ln\frac1a$ : $\ln\frac1a = -\ln a$ .

16. $\frac{1}{11} + \frac{1}{12} + \dots + \frac{1}{20} \approx 0.669$ , contra $\ln 2 \approx 0.693$ : Diez rectángulos debajo de $\frac{1}{1+t}$ , ya están cerca. el La serie armónica diverge, pero su rebanadas de $n$ a $2n$ se decide por $\ln 2$ : divergencia a paso de tortuga, medida por un zona.

17. Distancia: $\int_0^{10} 3t^2\,\dd t = 1000$ m. Significar velocidad: $100$ m/s. Instantáneo con $v = 100$ : $3t^2 = 100$ : $t = \sqrt{\frac{100}{3}} \approx 5.77$ s.

18. Masa: $\int_0^4 (2 + x)\,\dd x = 8 + 8 = 16$ kg. Momento: $\int_0^4 (2x + x^2)\,\dd x = 16 + \frac{64}{3} = \frac{112}{3}$ . Centro de masa: $\frac{112/3}{16} = \frac73 \approx 2.33$ m — empujado más allá el centro por el extremo derecho, más pesado, como exige la intuición.

19. $W_0 = \frac\pi2$ ; $W_1 = \left[-\cos t\right]_0^{\pi/2} = 1$ ; y $W_2 = \int_0^{\pi/2} \frac{1 - \cos 2t}{2}\,\dd t = \frac\pi4$ .

20. Zona: la definición, apretujada por escaleras. Acumulación: distancias de velocidades, masas de densidades — el integral como total acumulado. Antiderivada: el teorema fundamental, el atajo de Newton y Leibniz a través de La paciencia de Arquímedes. La perla: el botón $\ln$ es el área bajo $\frac1t$ , y la simetría de escala de esa área is la identidad $\ln(ab) = \ln a + \ln b$ .

That a función with zero derivado on an intervalo is constant follows from Teorema 22.7: it is both creciente and decreciente. ↩