Matemáticas de secundaria · कक्षा 10–12

25Integración

La integración responde a dos preguntas a la vez: cuál es el área bajo una curva y cómo se puede recuperar una función a partir de su tasa de variación. El teorema fundamental del cálculo afirma que son la misma pregunta: el descubrimiento más profundo y más útil de las matemáticas del siglo XVII.

25.1 La integral de una función continua

Definición 25.1 (Integral de una función positiva)

Sea $f$ continua y positiva en $\intcc{a}{b}$ . La integral

\int_a^b f(x)\,\dd x

es el área, en unidades de área, de la región limitada por la curva de $f$ , el eje $x$ y las rectas verticales $x = a$ y $x = b$ .

Para una función de signo cualquiera, las áreas situadas por debajo del eje $x$ se cuentan en negativo; y se conviene que $\int_b^a f(x)\,\dd x = -\int_a^b f(x)\,\dd x$ .

Áreas con signo: ∈t_02π x\, x = 0, porque la región que queda por debajo del eje (en rojo) cancela la que queda por encima (en azul). — Áreas con signo: $\int_0^{2\pi} \sin x\,\dd x = 0$ , porque la región que queda por debajo del eje (en rojo) cancela la que queda por encima (en azul).

Proposición 25.2 (Propiedades de la integral)

Sean $f, g$ continuas en un intervalo que contiene a $a, b, c$ y sea $\lambda \in \R$ .

Linealidad: $\displaystyle\int_a^b (f + \lambda g) = \int_a^b f + \lambda \int_a^b g$ .
Relación de Chasles: $\displaystyle\int_a^c f = \int_a^b f + \int_b^c f$ .
Positividad: si $a \leq b$ y $f \geq 0$ en $\intcc{a}{b}$ , entonces $\displaystyle\int_a^b f \geq 0$ ; y si $f \leq g$ , entonces $\displaystyle\int_a^b f \leq \int_a^b g$ .

Demostración. La relación de Chasles y la positividad son inmediatas a partir de la interpretación como área (las áreas se suman al yuxtaponer regiones; una región de altura positiva tiene área positiva). La comparación se sigue aplicando la positividad a $g - f$ . La linealidad es intuitivamente clara para la suma de funciones positivas (basta apilar las áreas) y se demuestra con rigor en la universidad; aquí se admite. ∎

25.2 El teorema fundamental del cálculo

Definición 25.3 (Primitiva)

Una primitiva de $f$ en un intervalo $I$ es una función derivable $F$ en $I$ tal que $F' = f$ .

Proposición 25.4

Si $F$ es una primitiva de $f$ en un intervalo $I$ , las primitivas de $f$ en $I$ son exactamente las funciones $F + c$ , con $c \in \R$ . Dados $x_0 \in I$ e $y_0 \in \R$ , hay una única primitiva con $F(x_0) = y_0$ .

Demostración. Si $G' = F' = f$ , entonces $(G - F)' = 0$ en el intervalo $I$ , así que $G - F$ es constante.¹ Recíprocamente, toda $F + c$ es una primitiva. La condición $F(x_0) = y_0$ fija la constante. ∎

Teorema 25.5 (Teorema fundamental del cálculo)

Sea $f$ continua en un intervalo $I$ y sea $a \in I$ . La función

F \colon x \longmapsto \int_a^x f(t)\,\dd t

es la primitiva de $f$ en $I$ que se anula en $a$ . En consecuencia, para cualquier primitiva $G$ de $f$ y para $a, b \in I$ :

\int_a^b f(t)\,\dd t = \bigl[G(t)\bigr]_a^b = G(b) - G(a).

La idea de la demostración: el incremento F(x+h) - F(x) es el área de la banda estrecha (en naranja), encajada entre los rectángulos de alturas f(x) y f(x+h) sobre una base de longitud h. — La idea de la demostración: el incremento $F(x+h) - F(x)$ es el área de la banda estrecha (en naranja), encajada entre los rectángulos de alturas $f(x)$ y $f(x+h)$ sobre una base de longitud $h$ .

Demostración cuando $f$ es creciente. Fijemos $x \in I$ y $h > 0$ con $x + h \in I$ . Por Chasles,

F(x+h) - F(x) = \int_x^{x+h} f(t)\,\dd t .

Como $f$ es creciente, $f(x) \leq f(t) \leq f(x+h)$ para $t \in \intcc{x}{x+h}$ , y por comparación de integrales (la integral de una constante $c$ sobre un intervalo de longitud $h$ vale $ch$ ):

h\,f(x) \leq F(x+h) - F(x) \leq h\,f(x+h),

luego

f(x) \leq \frac{F(x+h) - F(x)}{h} \leq f(x+h).

Cuando $h \to 0^+$ , $f(x+h) \to f(x)$ por continuidad, y el teorema del sándwich da que el cociente incremental tiende a $f(x)$ ; el caso $h < 0$ es simétrico. Por tanto, $F' = f$ , y $F(a) = 0$ . El caso continuo general (no monótono) se demuestra en la universidad.

Por último, si $G$ es una primitiva cualquiera, $G = F + c$ (Proposición 25.4), luego $G(b) - G(a) = F(b) - F(a) = \int_a^b f$ . ∎

Ejemplo 25.6

$\displaystyle\int_0^1 x^2\,\dd x = \left[\frac{x^3}{3}\right]_0^1 = \frac13$ : el área bajo la parábola es un tercio del cuadrado unidad, como ya sabía Arquímedes.

La tabla de primitivas se lee en la tabla de derivadas ( $u$ designa una función derivable y $c$ , una constante arbitraria):

$f(x)$	primitiva	$f$	primitiva
$x^n \ (n \neq -1)$	$\dfrac{x^{n+1}}{n+1} + c$	$u'u^n \ (n \neq -1)$	$\dfrac{u^{n+1}}{n+1} + c$
$\dfrac1x \ (x > 0)$	$\ln x + c$	$\dfrac{u'}{u} \ (u > 0)$	$\ln u + c$
$\eu^x$	$\eu^x + c$	$u'\eu^u$	$\eu^u + c$
$\cos x$	$\sin x + c$	$\dfrac{u'}{\sqrt u} \ (u>0)$	$2\sqrt u + c$
$\sin x$	$-\cos x + c$

Método 25.7 (Reconocer la forma $u' \times (\text{algo en } u)$ )

Para integrar un producto, busca un factor que sea la derivada de una función interior $u$ , salvo una constante multiplicativa. Por ejemplo, en $\int_0^1 x\,\eu^{x^2}\dd x$ , el factor $x$ es $\frac12 (x^2)'$ :

\int_0^1 x\,\eu^{x^2}\dd x = \frac12\left[\eu^{x^2}\right]_0^1 = \frac{\eu - 1}{2}.

Teorema 25.8 (Integración por partes)

Sean $u, v$ derivables en $\intcc{a}{b}$ con derivadas continuas. Entonces

\int_a^b u'(t)\,v(t)\,\dd t = \bigl[u(t)\,v(t)\bigr]_a^b - \int_a^b u(t)\,v'(t)\,\dd t .

Demostración. La regla del producto da $(uv)' = u'v + uv'$ ; integrando los dos miembros en $\intcc{a}{b}$ y usando el teorema fundamental en el primero se obtiene $\bigl[uv\bigr]_a^b = \int_a^b u'v + \int_a^b uv'$ . ∎

Ejemplo 25.9

$\displaystyle\int_0^1 t\,\eu^{t}\,\dd t$ : tomamos $u' = \eu^t$ y $v = t$ , así que $u = \eu^t$ y $v' = 1$ :

\int_0^1 t\,\eu^t\,\dd t = \bigl[t\,\eu^t\bigr]_0^1 - \int_0^1 \eu^t\,\dd t = \eu - (\eu - 1) = 1 .

25.3 Aplicaciones

Definición 25.10 (Valor medio)

El valor medio de una función continua $f$ en $\intcc{a}{b}$ ( $a<b$ ) es

\mu = \frac{1}{b-a}\int_a^b f(t)\,\dd t .

Proposición 25.11

Si $m \leq f \leq M$ en $\intcc{a}{b}$ , entonces $m \leq \mu \leq M$ .

Demostración. Integramos las desigualdades $m \leq f(t) \leq M$ en $\intcc{a}{b}$ y dividimos entre $b - a > 0$ . ∎

Método 25.12 (Área entre dos curvas)

Si $f \geq g$ en $\intcc{a}{b}$ , el área entre las dos curvas es $\int_a^b \bigl(f(x) - g(x)\bigr)\dd x$ . Si las curvas se cortan, parte el intervalo por los puntos de corte e integra $\abs{f - g}$ trozo a trozo.

El área entre la recta y = x + 1 (en rojo) y la parábola y = x2 - 1 (en azul) es ∈t_-12 ((x+1) - (x2-1) ) x = 9/2. — El área entre la recta $y = x + 1$ (en rojo) y la parábola $y = x^2 - 1$ (en azul) es $\int_{-1}^{2}\bigl((x+1) - (x^2-1)\bigr)\dd x = \frac92$ .

25.4 Ejercicios

Ejercicio 25.1 ★

Calcula

\int_1^2 \left(3x^2 - \frac{1}{x^2}\right)\dd x, \qquad \int_0^{\pi/2} \cos t \,\dd t, \qquad \int_0^{1} \frac{\dd t}{2t+1} .

Solución

Solución de Ejercicio 25.1.

\int_1^2 \left(3x^2 - \frac{1}{x^2}\right)\dd x = \left[x^3 + \frac1x\right]_1^2 = \left(8 + \tfrac12\right) - 2 = \frac{13}{2}.

\int_0^{\pi/2} \cos t\,\dd t = \bigl[\sin t\bigr]_0^{\pi/2} = 1 .

Con $u = 2t+1$ , $\frac{1}{2t+1} = \frac12\,\frac{u'}{u}$ :

\int_0^1 \frac{\dd t}{2t+1} = \frac12\bigl[\ln(2t+1)\bigr]_0^1 = \frac{\ln 3}{2}.

Ejercicio 25.2 ★

Halla la primitiva $F$ de $f(x) = x\eu^{x^2}$ en $\R$ tal que $F(0) = 1$ .

Solución

Solución de Ejercicio 25.2.

$x\,\eu^{x^2} = \frac12\,(x^2)'\,\eu^{x^2}$ tiene por primitivas $\frac12\eu^{x^2} + c$ . La condición $F(0) = 1$ da $\frac12 + c = 1$ , luego

F(x) = \frac{\eu^{x^2} + 1}{2}.

Ejercicio 25.3 ★

Calcula el valor medio de $f(t) = \sin t$ en $\intcc{0}{\pi}$ e interpreta el resultado sobre una gráfica.

Solución

Solución de Ejercicio 25.3.

\mu = \frac{1}{\pi}\int_0^\pi \sin t\,\dd t = \frac{1}{\pi}\bigl[-\cos t\bigr]_0^\pi = \frac{2}{\pi} \approx 0.64 .

Gráficamente, el rectángulo de base $\intcc{0}{\pi}$ y altura $\frac{2}{\pi}$ tiene la misma área que el arco de la curva del seno.

Ejercicio 25.4 ★★

Usando la integración por partes, calcula

\int_1^{\eu} \ln t\,\dd t \qquad\text{y}\qquad \int_0^{\pi} t \sin t\,\dd t .

Solución

Solución de Ejercicio 25.4.

Tomamos $u' = 1$ y $v = \ln t$ , así que $u = t$ y $v' = \frac1t$ :

\int_1^{\eu} \ln t\,\dd t = \bigl[t\ln t\bigr]_1^{\eu} - \int_1^{\eu} 1\,\dd t = \eu - (\eu - 1) = 1 .

Tomamos $u' = \sin t$ y $v = t$ , así que $u = -\cos t$ y $v' = 1$ :

\int_0^\pi t\sin t\,\dd t = \bigl[-t\cos t\bigr]_0^\pi + \int_0^\pi \cos t\,\dd t = \pi + 0 = \pi .

Ejercicio 25.5 ★★

Calcula el área de la región comprendida entre la parábola $y = x^2$ y la recta $y = x + 2$ .

Solución

Solución de Ejercicio 25.5.

Las curvas se cortan donde $x^2 = x + 2$ , es decir, en $x \in \{-1, 2\}$ , y en $\intcc{-1}{2}$ la recta queda por encima de la parábola. El área es

\int_{-1}^{2} \bigl(x + 2 - x^2\bigr)\dd x = \left[\frac{x^2}{2} + 2x - \frac{x^3}{3}\right]_{-1}^{2} = \frac{10}{3} - \left(-\frac{7}{6}\right) = \frac{9}{2}.

Ejercicio 25.6 ★★

Sea $I = \displaystyle\int_0^1 \frac{\dd t}{1 + t}$ .

Calcula $I$ .
Para $n \in \N$ , sea $I_n = \displaystyle\int_0^1 \frac{t^n}{1+t}\dd t$ . Demuestra que $I_n + I_{n+1} = \dfrac{1}{n+1}$ y que $0 \leq I_n \leq \dfrac{1}{n+1}$ .
Deduce que $1 - \frac12 + \frac13 - \dots + \frac{(-1)^{n-1}}{n} \xrightarrow[n \to +\infty]{} \ln 2$ .

Solución

Solución de Ejercicio 25.6.

1. $I = \bigl[\ln(1+t)\bigr]_0^1 = \ln 2$ .

I_n + I_{n+1} = \int_0^1 \frac{t^n(1 + t)}{1+t}\,\dd t = \int_0^1 t^n \,\dd t = \frac{1}{n+1}.

En $\intcc{0}{1}$ , $0 \leq \dfrac{t^n}{1+t} \leq t^n$ , así que por comparación $0 \leq I_n \leq \frac{1}{n+1}$ .

3. De la recurrencia, mediante una inducción telescópica,

I_n = (-1)^n\left(I_0 - \left(1 - \frac12 + \dots + \frac{(-1)^{n-1}}{n}\right)\right),

es decir, $\displaystyle\sum_{k=1}^{n} \frac{(-1)^{k-1}}{k} = \ln 2 - (-1)^n I_n$ (recordemos que $I_0 = \ln 2$ ). Como $\abs{I_n} \leq \frac{1}{n+1} \to 0$ , la suma armónica alternada tiende a $\ln 2$ .

Ejercicio 25.7 ★★

La velocidad de un tren (en m/s) durante los primeros $100$ segundos tras la salida se modeliza mediante $v(t) = 30\bigl(1 - \eu^{-t/50}\bigr)$ . Calcula la distancia recorrida durante esos $100$ segundos y la velocidad media del tren en ese intervalo.

Solución

Solución de Ejercicio 25.7.

Distancia:

d = \int_0^{100} 30\left(1 - \eu^{-t/50}\right)\dd t = 30\left[t + 50\,\eu^{-t/50}\right]_0^{100} = 30\left(100 + 50\eu^{-2} - 50\right) = 1500 + 1500\,\eu^{-2}.

Numéricamente, $d \approx 1500 + 203 = 1703$ m. Velocidad media: $\frac{d}{100} = 15\bigl(1 + \eu^{-2}\bigr) \approx 17.0$ m/s.

Ejercicio 25.8 ★★★

Para $n \geq 1$ , sea $S_n = \dfrac1n \displaystyle\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{1 + k/n}$ .

Interpreta $S_n$ como un área de rectángulos que aproxima una región bajo la curva de $t \mapsto \frac{1}{1+t}$ en $\intcc{0}{1}$ .
Usando la monotonía de $t \mapsto \frac{1}{1+t}$ , demuestra que

$S_n \leq \int_0^1 \frac{\dd t}{1+t} \leq S_n + \frac1n\left(1 - \frac12\right),$

y deduce que $\lim\limits_{n\to+\infty} S_n = \ln 2$ .

Solución

Solución de Ejercicio 25.8.

1. $S_n$ es el área total de $n$ rectángulos de anchura $\frac1n$ y alturas $f\left(\frac kn\right)$ , $k = 1, \dots, n$ , donde $f(t) = \frac{1}{1+t}$ : es la aproximación por rectángulos “por el extremo derecho” del área bajo $f$ en $\intcc{0}{1}$ .

2. $f$ es decreciente, así que en cada intervalo $\intcc{\frac{k-1}{n}}{\frac kn}$ se cumple $f\left(\frac kn\right) \leq f(t) \leq f\left(\frac{k-1}{n}\right)$ ; integrando y sumando sobre $k$ :

S_n \leq \int_0^1 f(t)\,\dd t \leq S_n + \frac1n\bigl(f(0) - f(1)\bigr) = S_n + \frac{1}{2n}.

(El término central del enunciado, con $f(0) - f(1) = 1 - \frac12$ , es exactamente esa cota.) Por tanto, $0 \leq \ln 2 - S_n \leq \frac{1}{2n} \to 0$ , luego $S_n \to \ln 2$ .

Ejercicio 25.9 ★★★

(Integrales de Wallis.) Para $n \in \N$ , sea $W_n = \displaystyle\int_0^{\pi/2} \sin^n t\,\dd t$ .

Calcula $W_0$ y $W_1$ .
Escribiendo $\sin^{n+2}t = \sin t \cdot \sin^{n+1} t$ e integrando por partes, demuestra que $W_{n+2} = \dfrac{n+1}{n+2}\,W_n$ .
Deduce $W_2$ , $W_3$ y $W_4$ , y demuestra que $(W_n)$ es decreciente y positiva.

Solución

Solución de Ejercicio 25.9.

1. $W_0 = \int_0^{\pi/2} \dd t = \frac{\pi}{2}$ y $W_1 = \bigl[-\cos t\bigr]_0^{\pi/2} = 1$ .

2. Integramos por partes con $u' = \sin t$ y $v = \sin^{n+1} t$ , así que $u = -\cos t$ y $v' = (n+1)\sin^n t \cos t$ :

W_{n+2} = \bigl[-\cos t \sin^{n+1} t\bigr]_0^{\pi/2} + (n+1)\int_0^{\pi/2} \cos^2 t\,\sin^n t\,\dd t = (n+1)\int_0^{\pi/2} (1 - \sin^2 t)\sin^n t\,\dd t,

porque el corchete se anula en los dos extremos. Por tanto, $W_{n+2} = (n+1)(W_n - W_{n+2})$ , es decir, $W_{n+2} = \frac{n+1}{n+2} W_n$ .

3. $W_2 = \frac12 W_0 = \frac{\pi}{4}$ , $W_3 = \frac23 W_1 = \frac23$ y $W_4 = \frac34 W_2 = \frac{3\pi}{16}$ . En $\intoo{0}{\frac\pi2}$ , $0 < \sin t < 1$ , así que $\sin^{n+1} t \leq \sin^n t$ con desigualdad estricta en el interior; integrando, $0 < W_{n+1} \leq W_n$ (de hecho, $<$ ): $(W_n)$ es decreciente y positiva.

25.5 Problema: Arquímedes contra la máquina

Problema 25.1

Problema de fin de semana — el área bajo la parábola, calculada de tres maneras a lo largo de veintidós siglos, y la identidad secreta del logaritmo como área

Hacia el año 240 a. C., Arquímedes calculó el área exacta de un segmento parabólico sin coordenadas, sin límites y sin álgebra. Diecinueve siglos después, los rectángulos de Riemann lo rehicieron a base de encajonarlo; y el teorema fundamental del cálculo (Teorema 25.5) lo hace hoy en una línea. Este problema juega los tres partidos y usa después la misma máquina para revelar lo que es realmente el logaritmo: un área con una simetría de escala.

Parte I — Soltura.

Calcula $\displaystyle\int_0^1 (3x^2 - 2x + 1)\,\dd x$ , $\displaystyle\int_1^{\eu} \frac{\dd x}{x}$ y $\displaystyle\int_0^{\pi/2} \cos x\,\dd x$ .
Localiza las formas $u'u$ (Método 25.7): $\displaystyle\int_0^1 x\,\eu^{x^2}\dd x$ y $\displaystyle\int_0^1 \frac{2x}{x^2 + 1}\,\dd x$ .
Por partes (Teorema 25.8): $\displaystyle\int_0^1 x\,\eu^x \dd x$ y $\displaystyle\int_1^{\eu} \ln x\,\dd x$ .
Calcula el valor medio (Definición 25.10) de $\sin$ en $\intcc{0}{\pi}$ y observa que no es $\frac12$ .
Calcula el área entre la recta $y = x$ y la parábola $y = x^2$ en $\intcc{0}{1}$ (Método 25.12).

Parte II — La parábola, de tres maneras.

El montaje de Riemann para el área bajo $y = x^2$ en $\intcc{0}{1}$ : escribe la suma inferior $L_n$ y la suma superior $U_n$ sobre $n$ rectángulos iguales (como en el Ejercicio 25.8).
Demuestra por inducción (con la máquina del Problema 20.1) la fórmula de la suma de cuadrados

$1^2 + 2^2 + \dots + n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} .$
Deduce formas cerradas para $U_n$ y $L_n$ , calcula su límite común y concluye: el área es $\frac13$ .
Ahora la máquina: calcula $\int_0^1 x^2\,\dd x$ con el teorema fundamental, en una línea. Compara los esfuerzos.
Arquímedes lo enunciaba de otra manera: un segmento parabólico es $\frac43$ del triángulo inscrito. Para el segmento que recorta en $y = x^2$ la cuerda que une $(-1, 1)$ con $(1, 1)$ : calcula el área del segmento con una integral, el área del triángulo inscrito (con vértice en $(0, 0)$ ) y comprueba la razón del maestro.
El método del propio Arquímedes: rellena el segmento con el triángulo grande $T$ , después con dos triángulos que suman $\frac T4$ , después con cuatro que suman $\frac{T}{16}$ , y así sucesivamente. Suma la serie geométrica y recupera $\frac43 T$ : la tableta de chocolate mordida sin fin del volumen anterior, devorada por un geómetra griego.
Una frase para cada uno: la exhausción (Arquímedes), el encajonamiento (Riemann) y la búsqueda de primitivas (Newton–Leibniz). ¿Qué necesita cada método y qué entrega?

Parte III — El logaritmo es un área. Para $x > 0$ , tomemos $A(x) = \displaystyle\int_1^x \frac{\dd t}{t}$ .

Da $A(1)$ y $A'(x)$ (Teorema 25.5) y concluye que $A$ es exactamente el logaritmo neperiano de la Definición 23.5.
El milagro de la escala: fija $a > 0$ y estudia $g(x) = A(ax) - A(x)$ . Calcula $g'$ (regla de la cadena), deduce que $g$ es constante, evalúa la constante y concluye la ecuación funcional

$\ln(ab) = \ln a + \ln b ,$

demostrada por puro cálculo: el área de $1$ a $ab$ se parte en copias reescaladas.
Deduce de la pregunta 14: $\ln(a^n) = n\ln a$ y $\ln\frac1a = -\ln a$ .
El Ejercicio 25.8 lee $\frac{1}{n+1} + \frac{1}{n+2} + \dots + \frac{1}{2n}$ como rectángulos bajo $\frac{1}{1 + t}$ : calcula esa suma para $n = 10$ (con tres decimales) y compárala con $\ln 2$ . ¿Qué sumas de sabor armónico, divergentes término a término, convergen aquí hacia un área?

Parte IV — Acumulación.

Un coche acelera con velocidad $v(t) = 3t^2$ m/s para $t \in \intcc{0}{10}$ . Calcula la distancia recorrida, la velocidad media y el instante en que la velocidad instantánea es igual a la media.
Una varilla de $4$ metros tiene densidad lineal $\rho(x) = 2 + x$ kg/m. Calcula su masa total y su centro de masas $\dfrac{\int_0^4 x\,\rho(x)\,\dd x}{\int_0^4 \rho(x)\,\dd x}$ : el punto de equilibrio del triángulo de cartón del volumen anterior, calculado por fin con pesos que varían.
Integrales de Wallis (Ejercicio 25.9): calcula $W_0$ , $W_1$ y $W_2 = \int_0^{\pi/2} \sin^2 t\,\dd t$ usando la linealización del Problema 24.1. (Su escalera infinita sube, en los volúmenes universitarios, hasta una fórmula en producto para $\pi$ y hasta la normalización de la campana de Gauss.)
Final: las tres caras de la integración: un área por definición, una acumulación en el mundo (distancia, masa) y una primitiva por el teorema fundamental; y su historia en tres nombres. Cierra con la perla del capítulo: ¿qué tecla cotidiana de la calculadora es en secreto el área bajo $\frac1t$ y qué identidad demostró esa área?

Solución

Solución de Problema 25.1.

1. $\left[x^3 - x^2 + x\right]_0^1 = 1$ ; $\left[\ln x\right]_1^{\eu} = 1$ ; $\left[\sin x\right]_0^{\pi/2} = 1$ .

2. $\left[\frac12 \eu^{x^2}\right]_0^1 = \frac{\eu - 1}{2}$ ; $\left[\ln(x^2 + 1)\right]_0^1 = \ln 2$ .

3. $\int_0^1 x\eu^x = \left[x\eu^x\right]_0^1 - \int_0^1 \eu^x = \eu - (\eu - 1) = 1$ . Y $\int_1^{\eu} \ln x = \left[x\ln x\right]_1^{\eu} - \int_1^{\eu} 1 = \eu - (\eu - 1) = 1$ .

4. $\frac{1}{\pi}\int_0^\pi \sin x\,\dd x = \frac{2}{\pi} \approx 0.64$ : la altura media del arco del seno es $\frac2\pi$ , bastante más de la mitad; el arco es ancho cerca de su cima.

5. $\int_0^1 (x - x^2)\,\dd x = \frac12 - \frac13 = \frac16$ .

6. $L_n = \frac1n \sum_{k=0}^{n-1} \left(\frac kn\right)^2$ y $U_n = \frac1n \sum_{k=1}^{n} \left(\frac kn\right)^2$ : rectángulos de anchura $\frac1n$ con alturas leídas en el extremo izquierdo (por debajo de la curva) o en el derecho (por encima).

7. Cierto para $n = 1$ ( $1 = \frac{1 \cdot 2 \cdot 3}{6}$ ). Si vale para $n$ , al añadir $(n+1)^2$ :

\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + (n+1)^2 = \frac{(n+1)\left(2n^2 + n + 6n + 6\right)}{6} = \frac{(n+1)(n+2)(2n+3)}{6},

que es la fórmula en $n + 1$ : paso de inducción hecho.

8. $U_n = \frac{1}{n^3} \cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} = \frac{(1 + \frac1n)(2 + \frac1n)}{6} \to \frac26 = \frac13$ , y $L_n = U_n - \frac1n \to \frac13$ : encajada entre sus escaleras, el área es exactamente $\frac13$ .

9. $\int_0^1 x^2\,\dd x = \left[\frac{x^3}{3}\right]_0^1 = \frac13$ : una línea. El teorema fundamental convierte un encajonamiento infinito en una única evaluación de primitiva; por eso se llama fundamental.

10. Segmento: $\int_{-1}^{1}(1 - x^2)\,\dd x = 2 - \frac23 = \frac43$ . Triángulo de base la cuerda (de longitud $2$ , a altura $1$ ) y vértice $(0,0)$ : área $\frac12 \times 2 \times 1 = 1$ . Razón: $\frac43$ , exactamente el teorema de Arquímedes, comprobado con la máquina de la que él carecía.

11. $T\left(1 + \frac14 + \frac{1}{16} + \dots\right) = T \cdot \frac{1}{1 - \frac14} = \frac43 T$ (serie geométrica de razón $\frac14$ ): con $T = 1$ , otra vez el área $\frac43$ del segmento. Arquímedes sumó la serie con un argumento puramente geométrico: los mordiscos de cuarto en cuarto del estilo de la tableta de chocolate, dos milenios antes de que existiera la palabra “límite”.

12. La exhausción necesita una autosemejanza geométrica ingeniosa y da áreas exactas caso por caso; Riemann solo necesita monotonía y da una definición universal, al precio de calcular sumas; y el teorema fundamental necesita todo el edificio de las derivadas y lo devuelve convirtiendo las áreas en cálculos de una línea.

13. $A(1) = 0$ y $A'(x) = \frac1x$ (teorema fundamental): $A$ es la primitiva de $\frac1x$ en $\intoo{0}{+\infty}$ que se anula en $1$ , que es precisamente el logaritmo neperiano.

14. $g'(x) = \frac{a}{ax} - \frac1x = 0$ : $g$ es constante; en $x = 1$ : $g(1) = A(a) - A(1) = A(a)$ . Por tanto, $A(ax) = A(a) + A(x)$ para todo $x$ y, con $x = b$ : $\ln(ab) = \ln a + \ln b$ . Al área bajo la hipérbola le da igual la escala horizontal: estirar $t$ por $a$ aplasta $\frac1t$ por $a$ y el área sobrevive; sumar logaritmos es una simetría de escala.

15. Iterando: $\ln(a^n) = n\ln a$ (por inducción sobre $n$ ). Y $0 = \ln 1 = \ln\left(a \cdot \frac1a\right) = \ln a + \ln\frac1a$ : $\ln\frac1a = -\ln a$ .

16. $\frac{1}{11} + \frac{1}{12} + \dots + \frac{1}{20} \approx 0.669$ , frente a $\ln 2 \approx 0.693$ : diez rectángulos bajo $\frac{1}{1+t}$ y ya están cerca. La serie armónica diverge, pero sus tramos de $n$ a $2n$ se asientan en $\ln 2$ : divergencia a paso de tortuga, medida por un área.

17. Distancia: $\int_0^{10} 3t^2\,\dd t = 1000$ m. Velocidad media: $100$ m/s. Instante con $v = 100$ : $3t^2 = 100$ : $t = \sqrt{\frac{100}{3}} \approx 5.77$ s.

18. Masa: $\int_0^4 (2 + x)\,\dd x = 8 + 8 = 16$ kg. Momento: $\int_0^4 (2x + x^2)\,\dd x = 16 + \frac{64}{3} = \frac{112}{3}$ . Centro de masas: $\frac{112/3}{16} = \frac73 \approx 2.33$ m, empujado más allá del punto medio por el extremo derecho, que es el más pesado, como exige la intuición.

19. $W_0 = \frac\pi2$ ; $W_1 = \left[-\cos t\right]_0^{\pi/2} = 1$ ; y $W_2 = \int_0^{\pi/2} \frac{1 - \cos 2t}{2}\,\dd t = \frac\pi4$ .

20. Área: la definición, encajonada entre escaleras. Acumulación: distancias a partir de velocidades y masas a partir de densidades; la integral como total acumulado. Primitiva: el teorema fundamental, el atajo de Newton y Leibniz frente a la paciencia de Arquímedes. La perla: la tecla $\ln$ es el área bajo $\frac1t$ , y la simetría de escala de esa área es la identidad $\ln(ab) = \ln a + \ln b$ .

Que una función de derivada nula en un intervalo es constante se sigue del Teorema 22.7: es a la vez creciente y decreciente. ↩

Términos definidos en este capítulo

Ver los 395 términos del glosario