Matemáticas de secundaria · Grades 10–12

2Álgebra: ecuaciones e inecuaciones

El álgebra es el arte de calcular con letras. Este capítulo repasa y afina los dos movimientos básicos, desarrollar y factorizar, y los usa para resolver ecuaciones e inecuaciones de forma sistemática, con la tabla de signos como herramienta central.

2.1 Desarrollar y factorizar

Definición 2.1 (Desarrollar, factorizar)

Desarrollar una expresión es transformar productos en sumas; factorizar es lo contrario, transformar una suma en un producto. La regla básica es la propiedad distributiva:

k(a + b) = ka + kb, \qquad (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd .

Ejemplo 2.2

Desarrollemos $(2x + 3)(x - 5)$ paso a paso:

\begin{align*} (2x + 3)(x - 5) &= 2x \times x + 2x \times (-5) + 3 \times x + 3 \times (-5) \\ &= 2x^2 - 10x + 3x - 15 \\ &= 2x^2 - 7x - 15 . \end{align*}

Teorema 2.3 (Identidades notables)

Para todos los números reales $a$ y $b$ :

(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2, \qquad (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2, \qquad (a+b)(a-b) = a^2 - b^2 .

Demostración. Cada una es un desarrollo directo. Para la primera:

(a+b)^2 = (a+b)(a+b) = a^2 + ab + ba + b^2 = a^2 + 2ab + b^2 .

La segunda se obtiene sustituyendo $b$ por $-b$ : $(a-b)^2 = a^2 + 2a(-b) + (-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ . Y para la tercera: $(a+b)(a-b) = a^2 - ab + ba - b^2 = a^2 - b^2$ . ∎

Por qué (a+b)2 = a2 + 2ab + b2: un cuadrado de lado a + b se descompone en un cuadrado de lado a, otro de lado b y dos rectángulos de a × b. — Por qué $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ : un cuadrado de lado $a + b$ se descompone en un cuadrado de lado $a$ , otro de lado $b$ y dos rectángulos de $a \times b$ .

Ejemplo 2.4

Usadas hacia delante (desarrollando) y hacia atrás (factorizando):

\begin{align*} (3x + 2)^2 &= 9x^2 + 12x + 4, & x^2 - 25 &= (x+5)(x-5), \\ (x - 4)^2 &= x^2 - 8x + 16, & 4x^2 + 4x + 1 &= (2x + 1)^2 . \end{align*}

El cálculo mental también sale ganando: $101 \times 99 = (100+1)(100-1) = 10000 - 1 = 9999$ .

Método 2.5 (Factorizar una expresión)

Prueba, en este orden:

Factor común: localiza un factor presente en todos los términos y sácalo fuera, por ejemplo $6x^2 + 4x = 2x(3x + 2)$ . El factor común puede ser un paréntesis entero: $(x+1)(2x-3) + (x+1)(x+7) = (x+1)(3x+4)$ .
Identidad notable: reconoce $a^2 - b^2$ o $a^2 \pm 2ab + b^2$ , por ejemplo $9x^2 - 16 = (3x)^2 - 4^2 = (3x+4)(3x-4)$ .
Combina las dos vías y comprueba el resultado desarrollándolo de nuevo.

Ejemplo 2.6

Factoricemos $E = (2x + 1)^2 - (x - 3)^2$ . Es una diferencia de cuadrados $a^2 - b^2$ con $a = 2x+1$ y $b = x-3$ :

\begin{align*} E &= \bigl[(2x+1) + (x-3)\bigr] \times \bigl[(2x+1) - (x-3)\bigr] \\ &= (3x - 2)(2x + 1 - x + 3) \\ &= (3x - 2)(x + 4). \end{align*}

Atención al segundo corchete: restar $x - 3$ es restar $x$ y sumar $3$ .

2.2 Ecuaciones

Definición 2.7 (Ecuación, solución)

Una ecuación es una igualdad en la que aparece un número desconocido $x$ ; una solución es un valor de $x$ que hace cierta la igualdad. Resolver la ecuación es hallar todas sus soluciones.

Dos ecuaciones son equivalentes cuando tienen exactamente las mismas soluciones. Sumar el mismo número a los dos miembros, o multiplicarlos por un mismo número no nulo, da una ecuación equivalente.

Ejemplo 2.8 (Ecuación de primer grado)

Resolvamos $5x - 7 = 2x + 8$ , paso a paso:

\begin{align*} 5x - 7 &= 2x + 8 \\ 5x - 2x &= 8 + 7 && \text{(sumamos $7 - 2x$ a los dos miembros)} \\ 3x &= 15 \\ x &= 5 && \text{(dividimos los dos miembros entre $3$).} \end{align*}

La única solución es $5$ . Comprobación: $5 \times 5 - 7 = 18$ y $2 \times 5 + 8 = 18$ .

Teorema 2.9 (Regla del producto nulo)

Un producto de números reales es cero si y solo si al menos uno de sus factores es cero:

A \times B = 0 \quad\Longleftrightarrow\quad A = 0 \ \text{ o } \ B = 0 .

Demostración. Si $A = 0$ o $B = 0$ , el producto es evidentemente $0$ . Recíprocamente, supongamos que $AB = 0$ y $A \neq 0$ . Dividiendo los dos miembros entre $A$ se obtiene $B = 0$ . ∎

Método 2.10 (Resolver factorizando)

Para resolver una ecuación cuyo segundo miembro es $0$ y cuyo primer miembro se puede factorizar:

pasa todo al primer miembro, de modo que la ecuación quede $E = 0$ ;
factoriza $E$ como producto de factores de primer grado;
aplica la regla del producto nulo y resuelve cada ecuación pequeña;
reúne todas las soluciones encontradas.

Ejemplo 2.11

Resolvamos $(x - 2)(3x + 6) = 0$ : o bien $x - 2 = 0$ , que da $x = 2$ , o bien $3x + 6 = 0$ , que da $x = -2$ . Soluciones: $-2$ y $2$ .

Resolvamos $x^2 = 9x$ . No dividas entre $x$ (¡podría ser cero!): pasa todo a un miembro y factoriza:

x^2 - 9x = 0 \quad\Longleftrightarrow\quad x(x - 9) = 0 \quad\Longleftrightarrow\quad x = 0 \ \text{ o } \ x = 9 .

Ejemplo 2.12 (Ecuación con cociente)

Resolvamos $\dfrac{x - 1}{x + 2} = 0$ . Un cociente es cero exactamente cuando su numerador es cero y su denominador no lo es. Aquí $x - 1 = 0$ da $x = 1$ , y $1 + 2 = 3 \neq 0$ : la única solución es $1$ . El valor $x = -2$ está prohibido (división entre cero) y hay que excluirlo siempre desde el principio.

2.3 Inecuaciones y tablas de signos

Proposición 2.13 (Reglas de las desigualdades)

Sea $a \leq b$ .

Para cualquier $c$ : $a + c \leq b + c$ (sumar conserva el orden).
Si $c > 0$ : $ac \leq bc$ (multiplicar por un número positivo conserva el orden).
Si $c < 0$ : $ac \geq bc$ (multiplicar por un número negativo invierte el orden).

Demostración. 1. $(b + c) - (a + c) = b - a \geq 0$ . 2. $bc - ac = (b-a)c$ es el producto de dos números no negativos, luego $bc \geq ac$ . 3. Ahora $(b-a)c \leq 0$ , por ser producto de un número no negativo por uno negativo, luego $bc \leq ac$ . ∎

Ejemplo 2.14

Resolvamos $-2x + 3 > 9$ :

\begin{align*} -2x + 3 &> 9 \\ -2x &> 6 && \text{(restamos 3)} \\ x &< -3 && \text{(dividimos entre $-2 < 0$: se invierte la desigualdad).} \end{align*}

El conjunto de soluciones es $\intoo{-\infty}{-3}$ .

Definición 2.15 (Tabla de signos)

Una tabla de signos recoge, en una fila por factor, el signo ( $+$ o $-$ ) de cada factor de una expresión cuando $x$ recorre $\R$ , con un $0$ en cada valor donde el factor se anula; una última fila da el signo del producto, aplicando la regla de los signos columna a columna.

Ejemplo 2.16

Signo de $P(x) = (x - 2)(3 - x)$ . El factor $x - 2$ se anula en $2$ y es positivo después; el factor $3 - x$ se anula en $3$ y es positivo antes:

$x$	$-\infty$	$2$		$3$	$+\infty$
$x - 2$	$-$	$0$	$+$		$+$
$3 - x$	$+$		$+$	$0$	$-$
$P(x)$	$-$	$0$	$+$	$0$	$-$

Así pues, $P(x) > 0$ exactamente en $\intoo{2}{3}$ , y $P(x) \leq 0$ en $\intoc{-\infty}{2} \cup \intco{3}{+\infty}$ .

La gráfica de P(x) = (x-2)(3-x) confirma la tabla de signos: positiva entre las raíces 2 y 3, negativa fuera. — La gráfica de $P(x) = (x-2)(3-x)$ confirma la tabla de signos: positiva entre las raíces $2$ y $3$ , negativa fuera.

Método 2.17 (Resolver una inecuación con una tabla de signos)

Para resolver una inecuación del tipo $E(x) \geq 0$ o $E(x) < 0$ :

pasa todo al primer miembro, de modo que el segundo sea $0$ (nunca multipliques los dos miembros por una expresión de signo desconocido);
factoriza el primer miembro o, si es un cociente, redúcelo a común denominador;
construye la tabla de signos con una fila por factor (si hay cociente, marca los valores prohibidos con una doble barra en la última fila);
lee los intervalos donde se cumple el signo pedido, comprobando si cada extremo está incluido.

Ejemplo 2.18

Resolvamos $\dfrac{x + 1}{x - 3} \leq 0$ . El numerador se anula en $-1$ y el denominador en $3$ (valor prohibido). El cociente es negativo cuando los dos tienen signos opuestos, lo que ocurre para $x$ entre $-1$ y $3$ . Incluyendo el extremo donde se anula el numerador y excluyendo el valor prohibido, el conjunto de soluciones es $\intco{-1}{3}$ .

2.4 Ejercicios

Ejercicio 2.1 ★

Desarrolla y simplifica:

3(2x - 5) - 2(x - 7), \qquad (x + 4)(2x - 1), \qquad (3x - 2)^2, \qquad (5 - x)(5 + x).

Solución

Solución de Ejercicio 2.1.

$3(2x-5) - 2(x-7) = 6x - 15 - 2x + 14 = 4x - 1$ .

$(x+4)(2x-1) = 2x^2 - x + 8x - 4 = 2x^2 + 7x - 4$ .

$(3x-2)^2 = 9x^2 - 12x + 4$ .

$(5-x)(5+x) = 25 - x^2$ .

Ejercicio 2.2 ★

Factoriza:

x^2 - 49, \qquad x^2 + 10x + 25, \qquad 7x^2 - 14x, \qquad 16x^2 - 8x + 1 .

Solución

Solución de Ejercicio 2.2.

$x^2 - 49 = (x+7)(x-7)$ (diferencia de cuadrados).

$x^2 + 10x + 25 = (x+5)^2$ .

$7x^2 - 14x = 7x(x - 2)$ (factor común).

$16x^2 - 8x + 1 = (4x - 1)^2$ .

Ejercicio 2.3 ★

Resuelve:

4x + 9 = x - 3, \qquad \frac{2x - 1}{3} = 5, \qquad 2(x - 3) = 2x + 1 .

(Una de ellas no tiene solución: explica por qué.)

Solución

Solución de Ejercicio 2.3.

$4x + 9 = x - 3$ : $3x = -12$ , luego $x = -4$ .

$\frac{2x-1}{3} = 5$ : $2x - 1 = 15$ , luego $x = 8$ .

$2(x-3) = 2x + 1$ se desarrolla como $2x - 6 = 2x + 1$ , es decir, $-6 = 1$ : falso para todo $x$ . No hay solución; los dos miembros definen rectas paralelas que nunca se cortan.

Ejercicio 2.4 ★

Resuelve usando la regla del producto nulo:

(x + 5)(2x - 8) = 0, \qquad x^2 - 16 = 0, \qquad x^2 + 6x + 9 = 0 .

Solución

Solución de Ejercicio 2.4.

$(x+5)(2x-8) = 0$ : $x = -5$ o $x = 4$ .

$x^2 - 16 = (x-4)(x+4) = 0$ : $x = 4$ o $x = -4$ .

$x^2 + 6x + 9 = (x+3)^2 = 0$ : la única solución $x = -3$ .

Ejercicio 2.5 ★

Resuelve las inecuaciones y escribe los conjuntos de soluciones como intervalos:

3x - 5 \leq 7, \qquad -4x + 1 > 9, \qquad 2(x - 1) \geq 5x + 4 .

Solución

Solución de Ejercicio 2.5.

$3x - 5 \leq 7$ : $3x \leq 12$ , luego $x \leq 4$ : conjunto de soluciones $\intoc{-\infty}{4}$ .

$-4x + 1 > 9$ : $-4x > 8$ ; al dividir entre $-4$ se invierte la desigualdad: $x < -2$ : conjunto de soluciones $\intoo{-\infty}{-2}$ .

$2(x-1) \geq 5x + 4$ : $2x - 2 \geq 5x + 4$ , luego $-3x \geq 6$ , luego $x \leq -2$ : conjunto de soluciones $\intoc{-\infty}{-2}$ .

Ejercicio 2.6 ★★

Factoriza $E = (x - 1)(x + 3) - (x - 1)(2x - 5)$ y resuelve después $E = 0$ .

Solución

Solución de Ejercicio 2.6.

El factor común es $(x-1)$ :

E = (x-1)\bigl[(x+3) - (2x - 5)\bigr] = (x-1)(x + 3 - 2x + 5) = (x-1)(8 - x).

Entonces $E = 0$ cuando $x = 1$ o $x = 8$ (regla del producto nulo).

Ejercicio 2.7 ★★

Resuelve $x^2 = 5x$ y después $(2x + 1)^2 = (x - 4)^2$ . (Para la segunda, pasa todo al primer miembro y factoriza la diferencia de cuadrados.)

Solución

Solución de Ejercicio 2.7.

$x^2 = 5x$ : $x^2 - 5x = x(x - 5) = 0$ , luego $x = 0$ o $x = 5$ (no dividas nunca entre $x$ : se perdería la solución $0$ ).

$(2x+1)^2 = (x-4)^2$ : pasamos al primer miembro y factorizamos la diferencia de cuadrados:

(2x+1)^2 - (x-4)^2 = \bigl[(2x+1) + (x-4)\bigr]\bigl[(2x+1) - (x-4)\bigr] = (3x - 3)(x + 5).

Regla del producto nulo: $x = 1$ o $x = -5$ .

Ejercicio 2.8 ★★

Con una tabla de signos, resuelve

(x + 2)(4 - x) > 0, \qquad \frac{2x - 6}{x + 1} \geq 0 .

Solución

Solución de Ejercicio 2.8.

$(x+2)(4-x) > 0$ : el factor $x + 2$ se anula en $-2$ (positivo después) y $4 - x$ se anula en $4$ (positivo antes). El producto es positivo exactamente cuando los dos factores lo son, es decir, en $\intoo{-2}{4}$ .

$\frac{2x-6}{x+1} \geq 0$ : el numerador se anula en $3$ y el denominador en $-1$ (prohibido). Tabla de signos: el cociente es positivo cuando las dos partes tienen el mismo signo, es decir, para $x < -1$ o $x > 3$ , y se anula en $x = 3$ . Conjunto de soluciones: $\intoo{-\infty}{-1} \cup \intco{3}{+\infty}$ .

Ejercicio 2.9 ★★

Un servicio de vídeo bajo demanda cuesta $9$ al mes, más una cuota única de alta de $15$ ; un rival cuesta $12$ al mes sin cuota de alta. ¿A partir de cuántos meses sale más barato el primero en total? Plantea y resuelve una inecuación.

Solución

Solución de Ejercicio 2.9.

Al cabo de $x$ meses, el primer servicio cuesta $9x + 15$ y el segundo $12x$ . El primero es más barato cuando

9x + 15 < 12x \ \Longleftrightarrow\ 15 < 3x \ \Longleftrightarrow\ x > 5 .

A partir del sexto mes, el primer servicio sale más barato en total.

Ejercicio 2.10 ★★

Resuelve $\dfrac{x+3}{x-1} = 2$ . (Multiplica los dos miembros por $x - 1$ después de excluir el valor prohibido, o pasa todo al primer miembro con denominador común.)

Solución

Solución de Ejercicio 2.10.

Valor prohibido: $x = 1$ . Para $x \neq 1$ , multiplicamos los dos miembros por $x - 1$ :

x + 3 = 2(x - 1) = 2x - 2 \ \Longleftrightarrow\ x = 5 .

Como $5 \neq 1$ , la solución es $x = 5$ . Comprobación: $\frac{5+3}{5-1} = \frac84 = 2$ .

Ejercicio 2.11 ★★★

Sea $n$ un entero. Demuestra que $(n + 1)^2 - n^2$ es siempre impar y que la diferencia entre los cuadrados de dos números impares consecutivos es siempre múltiplo de $8$ .

Solución

Solución de Ejercicio 2.11.

$(n+1)^2 - n^2 = n^2 + 2n + 1 - n^2 = 2n + 1$ , que es impar para todo entero $n$ .

Dos números impares consecutivos se pueden escribir $2n - 1$ y $2n + 1$ . Entonces

(2n+1)^2 - (2n-1)^2 = \bigl[(2n+1)+(2n-1)\bigr]\bigl[(2n+1)-(2n-1)\bigr] = 4n \times 2 = 8n,

múltiplo de $8$ .

2.5 Problema: De Babilonia al número áureo

Problema 2.1

Problema de fin de semana — problemas de suma y producto, completar el cuadrado tal como lo dibujaba al-Juarismi y la ecuación $x^2 = x + 1$

Hace cuatro mil años, los escribas babilonios resolvían esto sobre arcilla: hallar dos números conociendo su suma y su producto. Su truco, buscar los números simétricamente alrededor de la semisuma, sigue hoy resolviendo cualquier ecuación de segundo grado bajo su nombre moderno: completar el cuadrado. Este problema aprende el truco, ve a al-Juarismi completar literalmente un cuadrado y pone el método a trabajar sobre la proporción más célebre de todas.

Parte I — El problema babilonio.

Calentamiento (Teorema 2.3): factoriza $x^2 - 10x + 25$ , después $9x^2 - 49$ y después, combinando una identidad con una diferencia de cuadrados, $x^2 + 6x + 9 - 4$ .
Resuelve $(x + 1)(x + 5) = 0$ y $(3x - 7)(3x + 7) = 0$ (Teorema 2.9).
El problema del escriba: dos números tienen suma $10$ y producto $21$ . Siguiendo a Babilonia, escríbelos como $5 - t$ y $5 + t$ (simétricos alrededor de la semisuma) y halla $t$ y después los dos números.
El mismo método: suma $14$ , producto $33$ .
La receta general: para suma $s$ y producto $p$ , demuestra que los dos números son

$\frac s2 - t \quad\text{y}\quad \frac s2 + t, \qquad\text{donde}\quad t^2 = \left(\frac s2\right)^2 - p ,$

y enuncia la condición sobre $s$ y $p$ para que el problema tenga solución.

Parte II — Completar el cuadrado.

Desarrolla $(x - a)(x - b)$ y concluye: las soluciones de $x^2 - sx + p = 0$ son exactamente las parejas de números de suma $s$ y producto $p$ . (Los escribas resolvían ecuaciones de segundo grado sin saberlo.)
Comprueba que $x^2 - 10x + 21 = (x - 5)^2 - 4$ y resuelve $x^2 - 10x + 21 = 0$ factorizando el segundo miembro como diferencia de cuadrados. Compara con la pregunta 3.
Resuelve $x^2 + 6x - 7 = 0$ completando el cuadrado.
Completa el cuadrado en $x^2 + 4x + 5$ y explica por qué la ecuación $x^2 + 4x + 5 = 0$ no tiene solución real. Enuncia el criterio general: escrita en la forma $(x + h)^2 + k$ , ¿cuándo se anula una expresión de segundo grado?
El nombre es literal. En el Bagdad del siglo IX, al-Juarismi dibujaba $x^2 + 6x = 7$ como un cuadrado de lado $x$ con dos rectángulos de $3 \times x$ pegados a dos de sus lados, y completaba el cuadrado con la esquina de $3 \times 3$ que faltaba. Haz el dibujo y explica cómo convierte la ecuación en $(x + 3)^2 = 16$ ; resuélvela después.

Parte III — Signos, tablas y dos promesas antiguas.

Construye la tabla de signos de $(x - 3)(x + 2)$ (Definición 2.15) y resuelve $(x - 3)(x + 2) < 0$ .
Resuelve $x^2 \leq 10x - 21$ (pasa todo a un miembro y reutiliza la pregunta 7).
Resuelve $\dfrac{x - 1}{x + 2} \geq 0$ con una tabla de signos, atento al valor prohibido.
Una promesa antigua cumplida: para el granjero del problema del cercado de la reina Dido, en el volumen anterior, con $20$ m de valla, el área de un corral de $x \times (10 - x)$ cumple

$A(x) = x(10 - x) = 25 - (x - 5)^2 .$

Comprueba la identidad y lee en ella una demostración de lo que entonces solo se podía conjeturar: el área máxima y el único $x$ que la alcanza.
Otra: demuestra que $x + \dfrac1x \geq 2$ para todo $x > 0$ , con igualdad solo en $x = 1$ . (Multiplica por $x$ , agrupa, reconoce un cuadrado; es la desigualdad entre las medias aritmética y geométrica del problema de fin de semana del volumen anterior sobre las relaciones de Euclides, con otro disfraz.)

Parte IV — La sección áurea. Divide un segmento de longitud $1$ en una parte grande $x$ y una parte pequeña $1 - x$ de manera que el todo sea a la parte grande como la grande es a la pequeña: $\frac{1}{x} = \frac{x}{1 - x}$ .

Demuestra que la condición se escribe $x^2 + x - 1 = 0$ .
Resuelve completando el cuadrado y quédate con la raíz que es una longitud: $x = \frac{\sqrt5 - 1}{2} \approx 0.618$ .
El número áureo es $\varphi = \frac1x = \frac{2}{\sqrt5 - 1}$ . Racionaliza el denominador (multiplica arriba y abajo por $\sqrt5 + 1$ : una identidad en acción) y demuestra que $\varphi = \frac{\sqrt5 + 1}{2} \approx 1.618$ .
Comprueba exactamente las dos identidades mágicas de $\varphi$ :

$\varphi^2 = \varphi + 1, \qquad \frac{1}{\varphi} = \varphi - 1 .$
Final: explica por qué $\varphi$ es irracional (el problema de fin de semana del volumen anterior sobre la irracionalidad aporta el hecho clave sobre $\sqrt5$ ) y calcula después con tres decimales los cocientes $\frac53$ , $\frac85$ , $\frac{13}{8}$ , $\frac{21}{13}$ de números de Hemachandra–Fibonacci consecutivos (problema de fin de semana del volumen anterior sobre el recuento de ritmos). ¿A qué parecen perseguir? (La demostración de que lo alcanzan pertenece a los capítulos sobre sucesiones.)

Solución

Solución de Problema 2.1.

1. $x^2 - 10x + 25 = (x - 5)^2$ ; $9x^2 - 49 = (3x - 7)(3x + 7)$ ; $x^2 + 6x + 9 - 4 = (x + 3)^2 - 2^2 = (x + 1)(x + 5)$ .

2. $x = -1$ o $x = -5$ ; $x = \frac73$ o $x = -\frac73$ .

3. $(5 - t)(5 + t) = 25 - t^2 = 21$ da $t^2 = 4$ , $t = 2$ : los números son $3$ y $7$ (suma $10$ , producto $21$ : comprobado).

4. $(7 - t)(7 + t) = 49 - t^2 = 33$ : $t = 4$ , y los números son $3$ y $11$ .

5. $\left(\frac s2 - t\right)\left(\frac s2 + t\right) = \left(\frac s2\right)^2 - t^2 = p$ obliga a que $t^2 = \left(\frac s2\right)^2 - p$ . Hay solución exactamente cuando esto es $\geq 0$ , es decir, cuando $p \leq \left(\frac s2\right)^2$ : el producto de dos números de suma dada nunca puede superar el cuadrado de la semisuma (como ya sabía el problema del cercado de la reina Dido, en el volumen anterior).

6. $(x - a)(x - b) = x^2 - (a + b)x + ab$ : la ecuación $x^2 - sx + p = 0$ dice exactamente “ $x$ es uno de dos números de suma $s$ y producto $p$ ”.

7. $(x-5)^2 - 4 = x^2 - 10x + 25 - 4 = x^2 - 10x + 21$ . Diferencia de cuadrados: $(x - 5 - 2)(x - 5 + 2) = (x - 7)(x - 3) = 0$ : soluciones $3$ y $7$ , los números del escriba de la pregunta 3.

8. $x^2 + 6x - 7 = (x + 3)^2 - 16 = 0$ da $(x + 3)^2 = 16$ , $x + 3 = \pm 4$ : $x = 1$ o $x = -7$ .

9. $x^2 + 4x + 5 = (x + 2)^2 + 1 \geq 1 > 0$ para todo $x$ : no hay solución real. En la forma $(x + h)^2 + k$ hay soluciones exactamente cuando $k \leq 0$ (entonces $(x+h)^2 = -k$ tiene las dos raíces $-h \pm \sqrt{-k}$ ); si $k > 0$ , la expresión se mantiene positiva.

10. El cuadrado de lado $x$ (área $x^2$ ) con dos rectángulos de $3 \times x$ ( $6x$ en total) forma una L de área $x^2 + 6x = 7$ ; la esquina de $3 \times 3$ que falta (área $9$ ) completa un cuadrado grande de lado $x + 3$ . Sumando $9$ a los dos miembros: $(x + 3)^2 = 16$ , luego $x + 3 = 4$ (las longitudes son positivas) y $x = 1$ . El álgebra y el dibujo son el mismo gesto.

11. $(x-3)(x+2)$ : negativo entre las raíces. Solución de $< 0$ : $x \in \intoo{-2}{3}$ .

12. $x^2 - 10x + 21 \leq 0$ , es decir, $(x - 3)(x - 7) \leq 0$ : entre las raíces, extremos incluidos: $x \in \intcc{3}{7}$ .

13. Se anula en $x = 1$ y está prohibido $x = -2$ ; el cociente es positivo fuera de esos valores: $x \in \intoo{-\infty}{-2} \cup \intco{1}{+\infty}$ .

14. $25 - (x - 5)^2 = 25 - x^2 + 10x - 25 = x(10 - x)$ : identidad comprobada. Como $(x-5)^2 \geq 0$ siempre, $A(x) \leq 25$ , con igualdad exactamente cuando $x = 5$ : el corral cuadrado de $5 \times 5$ , con un máximo de $25$ m $^2$ ; la tabla del volumen anterior, ahora una demostración de dos líneas.

15. Para $x > 0$ , multiplicamos la afirmación por $x$ : $x^2 + 1 \geq 2x$ , es decir, $x^2 - 2x + 1 = (x - 1)^2 \geq 0$ , que es cierto, con igualdad solo en $x = 1$ . Al dividir de nuevo entre $x > 0$ todo se conserva (Proposición 2.13).

16. Multiplicando en cruz en $\frac1x = \frac{x}{1 - x}$ (todas las longitudes son positivas): $x^2 = 1 - x$ , es decir, $x^2 + x - 1 = 0$ .

17. $x^2 + x - 1 = \left(x + \frac12\right)^2 - \frac54 = 0$ da $x + \frac12 = \pm\frac{\sqrt5}{2}$ . La raíz positiva: $x = \frac{\sqrt5 - 1}{2} \approx 0.618$ .

18. $\varphi = \frac{2}{\sqrt5 - 1} = \frac{2(\sqrt5 + 1)}{(\sqrt5 - 1)(\sqrt5 + 1)} = \frac{2(\sqrt5 + 1)}{5 - 1} = \frac{\sqrt5 + 1}{2} \approx 1.618$ .

19. $\varphi^2 = \frac{(\sqrt5 + 1)^2}{4} = \frac{6 + 2\sqrt5}{4} = \frac{3 + \sqrt5}{2}$ , y $\varphi + 1 = \frac{\sqrt5 + 3}{2}$ : coinciden. Y $\varphi - 1 = \frac{\sqrt5 - 1}{2} = x = \frac1\varphi$ (así se definió $\varphi$ ). El número áureo es el número cuyo cuadrado suma uno y cuyo inverso resta uno.

20. $\sqrt5$ es irracional (problema de fin de semana del volumen anterior sobre la irracionalidad: $5$ no es un cuadrado perfecto), y sumar $1$ y dividir después entre $2$ conserva la irracionalidad (operaciones racionales, Problema 1.1). Cocientes: $\frac53 \approx 1.667$ , $\frac85 = 1.600$ , $\frac{13}{8} = 1.625$ , $\frac{21}{13} \approx 1.615$ : alternativamente por encima y por debajo, cerrándose sobre $\varphi = 1.618\ldots$ Los números del recuento de ritmos (problema de fin de semana del volumen anterior sobre el recuento de ritmos) persiguen en secreto la sección áurea; los capítulos sobre sucesiones los pillarán en el acto.