Matemáticas de secundaria · Grades 10–12

26Ecuaciones diferenciales

Una ecuación diferencial relaciona una función con sus derivadas. La física, la química, la biología y la economía expresan sus leyes en esa forma: el ritmo de enfriamiento de un cuerpo, la desintegración de un núcleo radiactivo y el crecimiento de una población son afirmaciones sobre $y'$ . Este capítulo resuelve por completo las ecuaciones lineales de primer orden con coeficientes constantes.

26.1 La ecuación $y' = ay$

Definición 26.1 (Ecuación diferencial)

Una ecuación diferencial es una ecuación cuya incógnita es una función $y$ y en la que aparecen $y$ y sus derivadas. Una solución en un intervalo $I$ es una función derivable que cumple la ecuación en todos los puntos de $I$ .

Teorema 26.2 (Soluciones de $y' = ay$ )

Sea $a \in \R$ . Las soluciones en $\R$ de la ecuación $y' = ay$ son exactamente las funciones

y(x) = C\,\eu^{ax}, \qquad C \in \R .

Para cada pareja $(x_0, y_0)$ hay una única solución con $y(x_0) = y_0$ .

Demostración. Cada $y = C\eu^{ax}$ cumple $y' = Ca\,\eu^{ax} = ay$ . Recíprocamente, sea $y$ una solución cualquiera y tomemos $z(x) = y(x)\,\eu^{-ax}$ . Entonces

z'(x) = y'(x)\,\eu^{-ax} - a\,y(x)\,\eu^{-ax} = \bigl(y'(x) - a y(x)\bigr)\eu^{-ax} = 0,

así que $z$ es constante, digamos $C$ , y $y(x) = C\eu^{ax}$ . La condición inicial $y(x_0) = y_0$ obliga a $C = y_0 \eu^{-a x_0}$ , de manera única. ∎

Observación 26.3

La exponencial queda así caracterizada por la más sencilla de todas las ecuaciones diferenciales: crecimiento proporcional al tamaño. Por eso aparece por todas partes en la naturaleza.

La ecuación y' = y prescribe una pendiente en cada punto del plano (segmentos grises). Las soluciones C x (aquí C = 1 en azul, C = 0.3 en rojo y C = -0.5 en naranja) son exactamente las curvas que siguen ese campo de pendientes. — La ecuación $y' = y$ prescribe una pendiente en cada punto del plano (segmentos grises). Las soluciones $C\eu^{x}$ (aquí $C = 1$ en azul, $C = 0.3$ en rojo y $C = -0.5$ en naranja) son exactamente las curvas que siguen ese campo de pendientes.

Ejemplo 26.4 (Desintegración radiactiva)

Una cantidad radiactiva cumple $N' = -\lambda N$ con $\lambda > 0$ , luego $N(t) = N_0\,\eu^{-\lambda t}$ ; véase el Ejemplo 23.9 para el periodo de semidesintegración.

26.2 La ecuación $y' = ay + b$

Teorema 26.5 (Soluciones de $y' = ay + b$ )

Sean $a \neq 0$ y $b \in \R$ . Las soluciones en $\R$ de $y' = ay + b$ son exactamente las funciones

y(x) = C\,\eu^{ax} - \frac{b}{a}, \qquad C \in \R .

La función constante $y_p = -\frac ba$ es la solución de equilibrio. Para cada $(x_0, y_0)$ hay una única solución con $y(x_0) = y_0$ ; y si $a < 0$ , todas las soluciones tienden al equilibrio $-\frac ba$ cuando $x \to +\infty$ .

Demostración. La constante $y_p = -\frac{b}{a}$ cumple $y_p' = 0 = a y_p + b$ . Ahora bien, $y$ es solución si y solo si

(y - y_p)' = y' = ay + b = a(y - y_p) + \underbrace{a y_p + b}_{=\,0} = a (y - y_p),

es decir, si y solo si $z = y - y_p$ resuelve $z' = az$ . Por el Teorema 26.2, $z = C\eu^{ax}$ , de donde la fórmula, la existencia y la unicidad. Si $a < 0$ , $\eu^{ax} \to 0$ cuando $x \to +\infty$ , luego $y(x) \to -\frac ba$ . ∎

Método 26.6 (Resolver $y' = ay + b$ con una condición inicial)

Halla la solución de equilibrio $y_p = -\frac{b}{a}$ (resolviendo $y' = 0$ ).
Escribe la solución general $y = C\eu^{ax} + y_p$ .
Determina $C$ con la condición inicial.
Contrasta el comportamiento a largo plazo con la intuición física (¿converge la solución al equilibrio?).

La misma estrategia (una solución particular más la solución general de la ecuación homogénea) se extiende a $y' = ay + f(x)$ : véase la Proposición 26.8.

Ejemplo 26.7 (Ley de enfriamiento de Newton)

Una taza de café a $80\,^\circ$ C está en una habitación a $20\,^\circ$ C. La ley de Newton afirma que la temperatura $T$ cumple $T' = -k(T - 20)$ para cierto $k > 0$ , es decir, $T' = -kT + 20k$ . El equilibrio es $20$ y $T(t) = 20 + 60\,\eu^{-kt}$ : el café se enfría exponencialmente deprisa hasta la temperatura ambiente.

Sea cual sea su temperatura inicial, todas las soluciones de T' = -k(T - 20) convergen exponencialmente al equilibrio T = 20. — Sea cual sea su temperatura inicial, todas las soluciones de $T' = -k(T - 20)$ convergen exponencialmente al equilibrio $T = 20$ .

26.3 La ecuación $y' = ay + f(x)$

Proposición 26.8 (Estructura del conjunto de soluciones)

Sea $f$ continua en un intervalo $I$ y sea $y_p$ una solución particular de

y' = ay + f(x)

en $I$ . Entonces las soluciones en $I$ son exactamente las funciones $y = C\eu^{ax} + y_p$ , con $C \in \R$ .

Demostración. Como en el Teorema 26.5: $y$ es solución si y solo si $z = y - y_p$ cumple $z' = (ay + f) - (ay_p + f) = az$ , si y solo si $z = C\eu^{ax}$ . ∎

Método 26.9 (Adivinar una solución particular)

Busca una solución particular de la misma forma que $f$ :

$f$ polinómica de grado $n$ : prueba con un polinomio de grado $n$ ;
$f(x) = \alpha\,\eu^{kx}$ con $k \neq a$ : prueba con $y_p = \beta\,\eu^{kx}$ ;
$f(x) = \alpha\,\eu^{ax}$ (caso resonante): prueba con $y_p = \beta x\,\eu^{ax}$ .

Sustituye en la ecuación e identifica los coeficientes.

Ejemplo 26.10

Resolvamos $y' = 2y + 4x$ . Probamos con $y_p = \alpha x + \beta$ : que $\alpha = 2(\alpha x + \beta) + 4x$ para todo $x$ obliga a $2\alpha + 4 = 0$ y $\alpha = 2\beta$ , luego $\alpha = -2$ y $\beta = -1$ . Solución general: $y = C\eu^{2x} - 2x - 1$ .

26.4 Ejercicios

Ejercicio 26.1 ★

Resuelve en $\R$ : (a) $y' = 3y$ con $y(0) = 2$ ; (b) $2y' + y = 0$ con $y(0) = -1$ ; (c) $y' = -y + 5$ con $y(0) = 0$ .

Solución

Solución de Ejercicio 26.1.

(a) $y = C\eu^{3x}$ ; $y(0) = 2$ da $y = 2\eu^{3x}$ .

(b) $y' = -\frac12 y$ , luego $y = C\eu^{-x/2}$ ; $y(0) = -1$ da $y = -\eu^{-x/2}$ .

(c) Equilibrio $y_p = 5$ ; $y = C\eu^{-x} + 5$ ; $y(0) = 0$ da $C = -5$ : $y = 5\left(1 - \eu^{-x}\right)$ .

Ejercicio 26.2 ★

Una población de bacterias crece a un ritmo proporcional a su tamaño y se duplica cada $3$ horas. Escribe la ecuación diferencial que cumple la población $N(t)$ y determina la constante de proporcionalidad.

Solución

Solución de Ejercicio 26.2.

$N' = kN$ , luego $N(t) = N_0 \eu^{kt}$ . Duplicarse en $3$ horas significa $\eu^{3k} = 2$ , es decir,

k = \frac{\ln 2}{3} \approx 0.231\ \text{h}^{-1}.

Ejercicio 26.3 ★

Comprueba que $y_p(x) = x\,\eu^{x}$ es solución de $y' = y + \eu^x$ y da todas las soluciones en $\R$ .

Solución

Solución de Ejercicio 26.3.

$y_p'(x) = \eu^x + x\eu^x = y_p(x) + \eu^x$ : $y_p$ es una solución particular (es el caso resonante del Método 26.9). Por la Proposición 26.8, las soluciones son $y = C\eu^{x} + x\eu^{x} = (C + x)\,\eu^x$ , con $C \in \R$ .

Ejercicio 26.4 ★★

Resuelve $y' = -2y + \eu^{x}$ con $y(0) = 1$ . (Indicación: busca una solución particular de la forma $\beta\,\eu^{x}$ .)

Solución

Solución de Ejercicio 26.4.

Probamos con $y_p = \beta\eu^x$ : $\beta\eu^x = -2\beta\eu^x + \eu^x$ da $3\beta = 1$ , luego $y_p = \frac13\eu^x$ . Solución general $y = C\eu^{-2x} + \frac13\eu^{x}$ ; la condición $y(0) = 1$ da $C = \frac23$ :

y(x) = \frac{2}{3}\,\eu^{-2x} + \frac{1}{3}\,\eu^{x}.

Ejercicio 26.5 ★★

El carbono-14 se desintegra con un periodo de semidesintegración de $5730$ años. Una muestra arqueológica contiene el $60\,\%$ del carbono-14 de un organismo vivo. Estima su edad.

Solución

Solución de Ejercicio 26.5.

$N(t) = N_0\,\eu^{-\lambda t}$ con $\lambda = \frac{\ln 2}{5730}$ (Ejemplo 23.9). Resolvemos $\eu^{-\lambda t} = 0.6$ :

t = \frac{\ln(1/0.6)}{\lambda} = 5730\,\frac{\ln(5/3)}{\ln 2} \approx 5730 \times \frac{0.5108}{0.6931} \approx 4220 \text{ años}.

Ejercicio 26.6 ★★

Un depósito contiene $100$ L de agua pura. Entra salmuera con $0.2$ kg de sal por litro a $5$ L/min, y la mezcla (que se mantiene uniforme) sale al mismo ritmo. Sea $m(t)$ la masa de sal del depósito en el instante $t$ (en minutos).

Justifica que $m' = 1 - \dfrac{m}{20}$ .
Resuelve la ecuación y determina el límite de $m(t)$ cuando $t \to +\infty$ . Interprétalo.

Solución

Solución de Ejercicio 26.6.

1. Entra sal a razón de $0.2 \times 5 = 1$ kg/min. La salida lleva una concentración de $\frac{m}{100}$ kg/L a $5$ L/min, es decir, $\frac{m}{20}$ kg/min. Por tanto, $m' = 1 - \frac{m}{20}$ .

2. Equilibrio $m_p = 20$ ; $m(t) = 20 + C\eu^{-t/20}$ , y $m(0) = 0$ da $C = -20$ :

m(t) = 20\left(1 - \eu^{-t/20}\right) \xrightarrow[t\to+\infty]{} 20 \text{ kg}.

A la larga, la concentración del depósito iguala a la de la salmuera entrante: $0.2$ kg/L $\times$ $100$ L $= 20$ kg.

Ejercicio 26.7 ★★

Una paracaidista de $80$ kg cae sometida a la gravedad ( $g = 9.8\ \text{m/s}^2$ ) y a una resistencia del aire proporcional a la velocidad, de modo que su velocidad cumple $v' = g - \frac{k}{m}v$ con $k = 16$ kg/s.

Resuelve la ecuación con $v(0) = 0$ .
Calcula la velocidad límite $\lim_{t\to+\infty} v(t)$ y el tiempo necesario para alcanzar el $95\,\%$ de esa velocidad.

Solución

Solución de Ejercicio 26.7.

1. $v' = g - \frac{k}{m} v$ con $\frac km = \frac{16}{80} = 0.2$ . Equilibrio $v_\infty = \frac{mg}{k} = \frac{9.8}{0.2} = 49$ m/s; $v(t) = 49 + C\eu^{-0.2t}$ , y $v(0) = 0$ da

v(t) = 49\left(1 - \eu^{-0.2 t}\right).

2. Velocidad límite $49$ m/s ( $\approx 176$ km/h). Queremos $1 - \eu^{-0.2t} = 0.95$ , es decir, $\eu^{-0.2t} = 0.05$ :

t = \frac{\ln 20}{0.2} \approx \frac{3.00}{0.2} \approx 15 \text{ s}.

Ejercicio 26.8 ★★★

(Ecuación logística.) Una población $y(t) \in \intoo{0}{1}$ (expresada como fracción de la población máxima) cumple

y' = y(1 - y).

Sea $z = \dfrac{1}{y}$ . Demuestra que $z$ cumple la ecuación lineal $z' = -z + 1$ .
Resuelve para $z$ y después para $y$ , con $y(0) = \frac{1}{10}$ .
Demuestra que $y(t) \to 1$ cuando $t \to +\infty$ y esboza la forma de la curva solución.

Solución

Solución de Ejercicio 26.8.

1. $z = \frac1y$ da $z' = -\frac{y'}{y^2} = -\frac{y(1-y)}{y^2} = -\frac{1-y}{y} = -\frac1y + 1 = -z + 1$ .

2. Equilibrio $z_p = 1$ , luego $z(t) = 1 + C\eu^{-t}$ . De $y(0) = \frac{1}{10}$ se sigue $z(0) = 10$ , luego $C = 9$ y

y(t) = \frac{1}{1 + 9\,\eu^{-t}} .

3. Cuando $t \to +\infty$ , $9\eu^{-t} \to 0$ e $y(t) \to 1$ . La curva es la clásica logística en forma de S (una sigmoide): crecimiento lento al principio ( $y$ pequeño, $y' \approx y$ ), crecimiento máximo cuando $y = \frac12$ (donde $y' = y(1-y)$ es máximo) y saturación después hacia la capacidad de carga $1$ .

Ejercicio 26.9 ★★★

Sea $y$ una solución de $y' = ay + b$ y sea $u_n = y(n)$ para $n \in \N$ . Demuestra que $(u_n)$ cumple una recurrencia aritmético-geométrica $u_{n+1} = q u_n + r$ y expresa $q$ y $r$ en función de $a$ y $b$ . ¿A qué corresponde la condición $\abs{q} < 1$ para la ecuación diferencial?

Solución

Solución de Ejercicio 26.9.

Por el Teorema 26.5, $y(x) = C\eu^{ax} - \frac ba$ . Por tanto,

u_{n+1} = C\eu^{a(n+1)} - \frac ba = \eu^{a}\left(C\eu^{an} - \frac ba\right) + \frac ba\left(\eu^a - 1\right) = q\,u_n + r

con $q = \eu^{a}$ y $r = \frac{b}{a}\left(\eu^{a} - 1\right)$ . La condición $\abs q < 1$ significa $\eu^a < 1$ , es decir, $a < 0$ : exactamente la condición bajo la cual las soluciones de la ecuación diferencial convergen al equilibrio $-\frac ba$ ; y, en efecto, el punto fijo de la recurrencia es $\frac{r}{1 - q} = -\frac{b}{a}$ .

26.5 Problema: El reloj que llevan dentro las cosas

Problema 26.1

Problema de fin de semana — el carbono-14 data las cuevas, la ley de enfriamiento de Newton cronometra un crimen y una ecuación diminuta se pone cuatro disfraces

Una ecuación diferencial es una ley de cambio; resolverla convierte la ley en un reloj. La misma ecuación diminuta $y' = ay + b$ (Teorema 26.5) hace tictac dentro del carbón prehistórico, del café que se enfría, de las gotas de lluvia que caen y de los goteros de hospital; y leer esos relojes es el oficio de este problema: data las pinturas de Lascaux, fija una hora de la muerte y audita sus propias hipótesis, como haría un buen científico.

Parte I — Soltura.

Resuelve $y' = 3y$ con $y(0) = 2$ ; y después $y' = -2y + 6$ con $y(0) = 0$ (Método 26.6).
Vuelve a deducir el truco de unicidad que hay detrás del Teorema 26.2: si $y' = ay$ , calcula la derivada de $y(t)\,\eu^{-at}$ y concluye que toda solución es $C\eu^{at}$ .
Para $y' = -2y + 6$ : halla la solución de equilibrio y describe el destino de todas las demás soluciones cuando $t \to +\infty$ . (Los puntos fijos de las recurrencias del Problema 13.1, vueltos continuos.)
Para la ley de desintegración $y' = -\frac{y}{\tau}$ : demuestra que el periodo de semidesintegración es $t_{1/2} = \tau \ln 2$ .
Esboza (o describe) la familia de soluciones de $y' = -2y + 6$ : ¿qué hacen las soluciones que empiezan por encima de $3$ ? ¿Y las que empiezan por debajo? ¿Y la que empieza en $3$ ?

Parte II — El carbono-14. Los tejidos vivos mantienen constante la proporción de carbono-14 radiactivo; al morir cesa la incorporación y las reservas se desintegran: $N' = -\lambda N$ , con periodo de semidesintegración de $5\,730$ años.

Calcula $\lambda$ (por año).
Un hueso conserva el $20\,\%$ de la proporción de un ser vivo: ¿cuántos años tiene?
El carbón de las cuevas pintadas de Lascaux conserva alrededor del $15\,\%$ : data las pinturas.
El hombre de hielo Ötzi, encontrado en un glaciar alpino, medía alrededor del $53\,\%$ : dátalo (los arqueólogos hablan de unos $5\,300$ años; ¿qué tal lo has hecho?).
¿Por qué no puede el carbono-14 datar dinosaurios? Calcula la fracción que queda tras diez periodos, expresa la fracción tras $65$ millones de años como potencia de $2$ y concluye.
Barras de error: si el $53\,\%$ de Ötzi solo se conoce con un margen de $\pm 1\,\%$ , calcula el intervalo de edades. ¿Qué precisión en el laboratorio compra qué precisión en la datación?

Parte III — El enfriamiento de Newton, y un crimen. Un cuerpo a temperatura $T$ en un entorno a temperatura constante $T_a$ se enfría según $T' = -k\,(T - T_a)$ .

Resuelve la ecuación (sustituyendo $z = T - T_a$ ):

$T(t) = T_a + (T_0 - T_a)\,\eu^{-kt} .$
Un café servido a $90\,^\circ$ C en una habitación a $20\,^\circ$ C marca $70\,^\circ$ C al cabo de $5$ minutos. Determina $k$ y después el tiempo de espera hasta los $55\,^\circ$ C, que ya se pueden beber.
La cuestión de la leche: para beber el café más caliente posible dentro de diez minutos, ¿hay que echar la leche fría ahora o en el último momento? Responde con la ecuación (¿qué le hace a la diferencia $T - T_a$ echar la leche, y cómo gobierna esa diferencia la pérdida?).
Investigación forense: se encuentra un cuerpo a medianoche a $30\,^\circ$ C en una habitación a $20\,^\circ$ C; una hora después marca $28\,^\circ$ C. Suponiendo $37\,^\circ$ C en el momento de la muerte, recupera $k$ a partir de las dos medidas y calcula la hora de la muerte.
Audita el reloj del forense: nombra tres incumplimientos reales de las hipótesis del modelo y en qué dirección sesgaría cada uno la hora estimada de la muerte.

Parte IV — Cuatro disfraces y una curva en S.

La ecuación logística del Ejercicio 26.8, $y' = y(1 - y)$ con $y(0) = 0.1$ : usando la sustitución del ejercicio, deduce $y(t) = \dfrac{1}{1 + 9\eu^{-t}}$ y halla el instante del punto de inflexión $y = \frac12$ : la fecha del epidemiólogo del Problema 22.1, ahora calculable.
Una gota de lluvia cumple $v' = 10 - \frac v2$ (la gravedad menos el rozamiento), con $v(0) = 0$ . Halla la velocidad límite, resuelve para $v(t)$ y calcula cuándo alcanza la gota el $95\,\%$ de esa velocidad.
Un gotero de hospital administra un fármaco a ritmo constante mientras el cuerpo lo elimina de forma proporcional: $c' = 4 - 0.5c$ , con $c(0) = 0$ . Halla la concentración de régimen estacionario y el tiempo necesario para llegar a la mitad. Enuncia en una frase el paralelismo con las recurrencias de préstamos del Ejercicio 26.9.
Final: una ecuación y cuatro disfraces: desintegración, enfriamiento, caída y dosificación, todos $y' = ay + b$ con signos y nombres distintos. Recita el ciclo de modelización que este problema ha recorrido cuatro veces (ley $\to$ ecuación $\to$ solución $\to$ calibración $\to$ predicción $\to$ auditoría) y nombra el fenómeno que necesita $y''$ y el problema que ya se encontró con él.

Solución

Solución de Problema 26.1.

1. $y = 2\eu^{3t}$ . Para la segunda: equilibrio $3$ , luego $y = 3 + C\eu^{-2t}$ con $y(0) = 0$ : $C = -3$ : $y = 3\left(1 - \eu^{-2t}\right)$ .

2. $\left(y\eu^{-at}\right)' = y'\eu^{-at} - ay\eu^{-at} = (y' - ay)\eu^{-at} = 0$ : el producto es una constante $C$ , luego $y = C\eu^{at}$ ; ninguna solución se escapa.

3. Equilibrio: $y \equiv 3$ . Todas las demás soluciones son $3 + C\eu^{-2t}$ con $C \neq 0$ : la exponencial muere y la solución se desliza hasta $3$ ; un punto fijo estable, el gemelo continuo de los puntos fijos de las recurrencias del Problema 13.1.

4. $y = y_0\eu^{-t/\tau}$ se reduce a la mitad cuando $\eu^{-t/\tau} = \frac12$ : $t = \tau\ln 2$ .

5. Todas las soluciones son traslaciones verticales de la caída hacia $3$ : las que empiezan por encima bajan hasta $3$ , las que empiezan por debajo suben hasta $3$ y la solución constante $3$ se queda quieta; un embudo alrededor del equilibrio.

6. $\lambda = \frac{\ln 2}{5730} \approx 1.21 \times 10^{-4}$ por año.

7. $\eu^{-\lambda t} = 0.2$ : $t = \frac{\ln 5}{\lambda} \approx 13\,300$ años.

8. $t = \frac{\ln(1/0.15)}{\lambda} \approx 15\,700$ años: los toros de Lascaux son del final de la última glaciación.

9. $t = \frac{\ln(1/0.53)}{\lambda} \approx 5\,250$ años: a menos de una vida humana del valor de los arqueólogos; el reloj funciona.

10. Diez periodos dejan $2^{-10} \approx 0.1\,\%$ : al borde de lo medible. Tras $65$ millones de años, la fracción es $2^{-65\,000\,000/5\,730} \approx 2^{-11\,344}$ : no queda ni un átomo de las reservas originales en ningún fósil; los dinosaurios se datan con relojes más lentos (el de potasio-argón y sus parientes).

11. Un $52\,\%$ da unos $5\,405$ años y un $54\,\%$ , unos $5\,095$ : el $\pm 1\,\%$ de la química se convierte en unos $\pm 155$ años de historia; la precisión del laboratorio es la precisión del cartel del museo.

12. $z = T - T_a$ cumple $z' = -kz$ : $z = (T_0 - T_a)\eu^{-kt}$ , y $T = T_a + z$ .

13. La diferencia inicial es $T_0 - T_a = 70$ ; a los cinco minutos, la diferencia es $70 - 20 = 50$ , luego $50 = 70\eu^{-5k}$ : $k = \frac{\ln(70/50)}{5} \approx 0.067$ por minuto. Bebible: $55 - 20 = 35 = 70\eu^{-kt}$ : $t = \frac{\ln 2}{k} \approx 10.3$ minutos.

14. El ritmo de pérdida es proporcional a la diferencia $T - T_a$ : el café ardiendo pierde calor más deprisa. Echar la leche ahora recorta la diferencia de inmediato, así que se pierde menos calor en los diez minutos; echarla al final deja que el café se enfríe antes a toda velocidad. Para la taza más caliente: la leche, primero. (Los anfitriones impacientes tienen la termodinámica del revés.)

15. Diferencias respecto del ambiente: a medianoche, $10$ ; una hora después, $8$ : $\eu^{-k} = 0.8$ : $k = \ln\frac{10}{8} \approx 0.223$ por hora. En el momento de la muerte la diferencia era $17$ y decayó hasta $10$ a medianoche: $s = \frac{\ln(17/10)}{k} \approx 2.4$ horas. Hora de la muerte: sobre las $21{:}40$ .

16. Una habitación caldeada o con corriente ( $T_a$ no constante) tuerce el reloj en un sentido u otro; la ropa o la masa corporal cambian $k$ (las tablas forenses lo corrigen), y una $k$ equivocada reescala todo el intervalo; y un cuerpo trasladado desde otro lugar reinicia $T_a$ a media desintegración y finge una muerte más temprana o más tardía. La ecuación es honrada; el riesgo lo llevan las hipótesis.

17. $z = \frac1y$ cumple $z' = 1 - z$ : $z = 1 + 9\eu^{-t}$ (de $z(0) = 10$ ), luego $y = \frac{1}{1 + 9\eu^{-t}}$ . Inflexión en $y = \frac12$ : $9\eu^{-t} = 1$ : $t = \ln 9 \approx 2.2$ ; la fecha del giro de la epidemia, directamente de la fórmula.

18. Velocidad límite: $v' = 0$ en $v = 20$ m/s. Solución: $v(t) = 20\left(1 - \eu^{-t/2}\right)$ . Y el $0.95$ : $\eu^{-t/2} = 0.05$ : $t = 2\ln 20 \approx 6$ s; las gotas de lluvia alcanzan su velocidad de crucero en segundos, y por eso la lluvia no mata.

19. Régimen estacionario: $c = 8$ . La mitad: $4 = 8\left(1 - \eu^{-t/2}\right)$ : $\eu^{-t/2} = \frac12$ : $t = 2\ln 2 \approx 1.4$ horas. El gotero es el gemelo continuo del préstamo: entrada constante y salida proporcional; el Ejercicio 26.9 hace exacto el diccionario.

20. Desintegración ( $a < 0$ , $b = 0$ ), enfriamiento ( $y = T - T_a$ ), caída ( $a < 0$ , $b > 0$ : acercamiento al equilibrio desde abajo) y dosificación (lo mismo, en una vena): una ecuación, cuatro mundos. El ciclo: enunciar la ley de cambio; escribir la ecuación; resolver (Método 26.6); calibrar las constantes con las medidas; predecir; y auditar después las hipótesis (pregunta 16). La oscilación necesita $y'' = -\omega^2 y$ , con la que ya nos encontramos, que ya resolvimos y que ya pusimos a oscilar en el Problema 24.1.

Términos definidos en este capítulo

Ecuación diferencial

Ver los 395 términos del glosario

26.1 La ecuación y′=ayy' = ayy′=ay

26.2 La ecuación y′=ay+by' = ay + by′=ay+b

26.3 La ecuación y′=ay+f(x)y' = ay + f(x)y′=ay+f(x)

26.4 Ejercicios

26.5 Problema: El reloj que llevan dentro las cosas

Términos definidos en este capítulo

26.1 La ecuación $y' = ay$

26.2 La ecuación $y' = ay + b$

26.3 La ecuación $y' = ay + f(x)$