Mathematics · Book 2 · Grades 10–12

Matemáticas de secundaria

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26Ecuaciones diferenciales

Un ecuación diferencial relaciona un función con su derivados. física, La química, la biología y la economía expresan sus leyes de esta forma: la tasa de enfriamiento de un cuerpo, la desintegración de un núcleo radiactivo, el crecimiento de un La población son todas declaraciones sobre y′y'. Este capítulo resuelve completamente el ecuaciones lineal de primer orden con coeficientes constantes.

26.1 La ecuación y′=ayy' = ay

Definición 26.1 (Ecuación diferencial)

Un ecuación diferencial es un ecuación cuya incógnita es un función yy, involucrando a yy y su derivados. un solución en un intervalo II es un diferenciable función satisfactorio el ecuación en cada punto de II.

Teorema 26.2 (Soluciones de y′=ayy' = ay)

Deje a∈Ra \in \R. Las soluciones en R\R de ecuación y′=ayy' = ay son exactamente el funciones

y(x)=C eax,C∈R.y(x) = C\,\eu^{ax}, \qquad C \in \R .

Para cada par (x0,y0)(x_0, y_0) existe una solución única con y(x0)=y0y(x_0) = y_0.

Demostración. Cada y=Ceaxy = C\eu^{ax} satisface y′=Ca eax=ayy' = Ca\,\eu^{ax} = ay. Por el contrario, dejemos que yy Sea cualquier solución y establezca z(x)=y(x) e−axz(x) = y(x)\,\eu^{-ax}. entonces

z′(x)=y′(x) e−ax−a y(x) e−ax=(y′(x)−ay(x))e−ax=0,z'(x) = y'(x)\,\eu^{-ax} - a\,y(x)\,\eu^{-ax} = \bigl(y'(x) - a y(x)\bigr)\eu^{-ax} = 0,

entonces zz es constante, digamos CC y y(x)=Ceaxy(x) = C\eu^{ax}. La condición inicial y(x0)=y0y(x_0) = y_0 fuerza a C=y0e−ax0C = y_0 \eu^{-a x_0}, de forma única. ∎

Observación 26.3

El exponencial es entonces caracterizado por el más simple de todos. ecuaciones diferenciales: crecimiento proporcional al tamaño. Por eso aparece en todas partes de la naturaleza.

El ecuación y' = y prescribe un pendiente en cada punto del plano (segmentos grises). Las soluciones C x — aquí C = 1 (azul), C = 0.3 (rojo), C = -0.5 (naranja) — son exactamente las curvas que siga este campo de pendientes.
El ecuación y′=yy' = y prescribe un pendiente en cada punto del plano (segmentos grises). Las soluciones CexC\eu^{x} — aquí C=1C = 1 (azul), C=0.3C = 0.3 (rojo), C=−0.5C = -0.5 (naranja) — son exactamente las curvas que siga este campo de pendientes.

Ejemplo 26.4 (Desintegración radiactiva)

Una cantidad radiactiva satisface N′=−λNN' = -\lambda N con λ>0\lambda > 0, por lo que N(t)=N0 e−λtN(t) = N_0\,\eu^{-\lambda t}; ver Ejemplo 23.9 para el vida media.

26.2 La ecuación y′=ay+by' = ay + b

Teorema 26.5 (Soluciones de y′=ay+by' = ay + b)

Sean a≠0a \neq 0 y b∈Rb \in \R. Las soluciones en R\R de y′=ay+by' = ay + b son exactamente el funciones

y(x)=C eax−ba,C∈R.y(x) = C\,\eu^{ax} - \frac{b}{a}, \qquad C \in \R .

La constante función yp=−bay_p = -\frac ba es la solución de equilibrio. Para cada (x0,y0)(x_0, y_0) existe una solución única con y(x0)=y0y(x_0) = y_0; si a<0a < 0, toda solución tiende al equilibrio −ba-\frac ba como x→+∞x \to +\infty.

Demostración. La constante yp=−bay_p = -\frac{b}{a} satisface yp′=0=ayp+by_p' = 0 = a y_p + b. Ahora yy es una solución si y sólo si

(y−yp)′=y′=ay+b=a(y−yp)+ayp+b⏟= 0=a(y−yp),(y - y_p)' = y' = ay + b = a(y - y_p) + \underbrace{a y_p + b}_{=\,0} = a (y - y_p),

es decir, si y sólo si z=y−ypz = y - y_p resuelve z′=azz' = az. Por Teorema 26.2, z=Ceaxz = C\eu^{ax}, de donde la fórmula, la existencia y la unicidad. Si a<0a < 0, eax→0\eu^{ax} \to 0 como x→+∞x \to +\infty, entonces y(x)→−bay(x) \to -\frac ba. ∎

Método 26.6 (Resolviendo y′=ay+by' = ay + b con una condición inicial)

  1. Encuentre la solución de equilibrio yp=−bay_p = -\frac{b}{a} (resuelva y′=0y' = 0).
  2. Escriba la solución general y=Ceax+ypy = C\eu^{ax} + y_p.
  3. Determine CC a partir de la condición inicial.
  4. Verifique el comportamiento a largo plazo contra la intuición física (¿el solución converge al equilibrio?).

La misma estrategia — particular solution + general solution of the homogeneous ecuación — se extiende a y′=ay+f(x)y' = ay + f(x): ver Proposición 26.8.

Ejemplo 26.7 (Ley de enfriamiento de Newton)

Una taza de café en 80 ∘80\,^\circC se encuentra en una habitación en 20 ∘20\,^\circC. La ley de Newton establece que la temperatura TT satisface T′=−k(T−20)T' = -k(T - 20) para algunos k>0k > 0, i.e. T′=−kT+20kT' = -kT + 20k. El equilibrio es 2020, y T(t)=20+60 e−ktT(t) = 20 + 60\,\eu^{-kt}: el café se enfría exponencialmente rápido a la habitación temperatura.

Cualquiera que sea su temperatura inicial, todas las soluciones de T' = -k(T - 20) converge exponencialmente al equilibrio T = 20.
Cualquiera que sea su temperatura inicial, todas las soluciones de T′=−k(T−20)T' = -k(T - 20) converge exponencialmente al equilibrio T=20T = 20.

26.3 La ecuación y′=ay+f(x)y' = ay + f(x)

Proposición 26.8 (Estructura del conjunto de soluciones)

Sea ff continuo en un intervalo II y sea ypy_p un solución de

y′=ay+f(x)y' = ay + f(x)

en II. Entonces las soluciones en II son exactamente las funciones. y=Ceax+ypy = C\eu^{ax} + y_p, C∈RC \in \R.

Demostración. Como en Teorema 26.5: yy es una solución si y sólo si z=y−ypz = y - y_p satisface z′=(ay+f)−(ayp+f)=azz' = (ay + f) - (ay_p + f) = az, si y sólo si z=Ceaxz = C\eu^{ax}. ∎

Método 26.9 (Adivinando una solución particular)

Busque una solución particular de la misma forma como ff:

  • ff polinomio de grado nn: pruebe con un polinomio de grado nn;
  • f(x)=α ekxf(x) = \alpha\,\eu^{kx} con k≠ak \neq a: prueba yp=β ekxy_p = \beta\,\eu^{kx};
  • f(x)=α eaxf(x) = \alpha\,\eu^{ax} (caso resonante): intente yp=βx eaxy_p = \beta x\,\eu^{ax}.

Sustituya en ecuación e identifique los coeficientes.

Ejemplo 26.10

Resuelve y′=2y+4xy' = 2y + 4x. Pruebe yp=αx+βy_p = \alpha x + \beta: α=2(αx+β)+4x\alpha = 2(\alpha x + \beta) + 4x para todas las fuerzas xx 2α+4=02\alpha + 4 = 0 y α=2β\alpha = 2\beta, entonces α=−2\alpha = -2, β=−1\beta = -1. Solución general: y=Ce2x−2x−1y = C\eu^{2x} - 2x - 1.

26.4 Ceremonias

Ejercicio 26.1 ★

Resuelva en R\R: (a) y′=3yy' = 3y con y(0)=2y(0) = 2; (b) 2y′+y=02y' + y = 0 con y(0)=−1y(0) = -1; (c) y′=−y+5y' = -y + 5 con y(0)=0y(0) = 0.

Solución

Solución de Ejercicio 26.1.

(a)y=Ce3xy = C\eu^{3x}; y(0)=2y(0) = 2 da y=2e3xy = 2\eu^{3x}.

(b) y′=−12yy' = -\frac12 y, entonces y=Ce−x/2y = C\eu^{-x/2}; y(0)=−1y(0) = -1 da y=−e−x/2y = -\eu^{-x/2}.

(c) Equilibrio yp=5y_p = 5; y=Ce−x+5y = C\eu^{-x} + 5; y(0)=0y(0) = 0 da C=−5C = -5: y=5(1−e−x)y = 5\left(1 - \eu^{-x}\right).

Ejercicio 26.2 ★

Una población bacteriana crece a un ritmo proporcional a su tamaño, duplicándose cada 33 horas. Escribe el ecuación diferencial satisfecho por la población. N(t)N(t) y determine la constante de proporcionalidad.

Solución

Solución de Ejercicio 26.2.

N′=kNN' = kN, entonces N(t)=N0ektN(t) = N_0 \eu^{kt}. Duplicar en 33 horas significa e3k=2\eu^{3k} = 2, i.e.

k=ln⁡23≈0.231 h−1.k = \frac{\ln 2}{3} \approx 0.231\ \text{h}^{-1}.

Ejercicio 26.3 ★

Verifique que yp(x)=x exy_p(x) = x\,\eu^{x} sea una solución de y′=y+exy' = y + \eu^x y proporcione todas las soluciones en R\R.

Solución

Solución de Ejercicio 26.3.

yp′(x)=ex+xex=yp(x)+exy_p'(x) = \eu^x + x\eu^x = y_p(x) + \eu^x: ypy_p es una solución particular (este es el caso resonante de Método 26.9). Por Proposición 26.8, las soluciones son y=Cex+xex=(C+x) exy = C\eu^{x} + x\eu^{x} = (C + x)\,\eu^x, C∈RC \in \R.

Ejercicio 26.4 ★★

Resuelva y′=−2y+exy' = -2y + \eu^{x} con y(0)=1y(0) = 1. (Pista: busque una solución particular del formulario β ex\beta\,\eu^{x}).

Solución

Solución de Ejercicio 26.4.

Prueba yp=βexy_p = \beta\eu^x: βex=−2βex+ex\beta\eu^x = -2\beta\eu^x + \eu^x te da 3β=13\beta = 1, entonces yp=13exy_p = \frac13\eu^x. solución general y=Ce−2x+13exy = C\eu^{-2x} + \frac13\eu^{x}; la condición y(0)=1y(0) = 1 da C=23C = \frac23:

y(x)=23 e−2x+13 ex.y(x) = \frac{2}{3}\,\eu^{-2x} + \frac{1}{3}\,\eu^{x}.

Ejercicio 26.5 ★★

El carbono 14 se desintegra con una vida media de 57305730 años. Un arqueológico muestra contiene 60%60\% del carbono-14 de un organismo vivo. Estima su edad.

Solución

Solución de Ejercicio 26.5.

N(t)=N0 e−λtN(t) = N_0\,\eu^{-\lambda t} con λ=ln⁡25730\lambda = \frac{\ln 2}{5730} (Ejemplo 23.9). Resolvemos e−λt=0.6\eu^{-\lambda t} = 0.6:

t=ln⁡(1/0.6)λ=5730 ln⁡(5/3)ln⁡2≈5730×0.51080.6931≈4220 years.t = \frac{\ln(1/0.6)}{\lambda} = 5730\,\frac{\ln(5/3)}{\ln 2} \approx 5730 \times \frac{0.5108}{0.6931} \approx 4220 \text{ years}.

Ejercicio 26.6 ★★

Un tanque contiene 100100 L de agua pura. Salmuera que contiene 0.20.2 kg de sal por litro entra a 55 L/min, la mezcla (mantenida uniforme) sale al mismo tasa. Sea m(t)m(t) la masa de sal en el tanque en el momento tt (en minutos).

  1. Justifique que m′=1−m20m' = 1 - \dfrac{m}{20}.
  2. Resuelva y determine el límite de m(t)m(t) como t→+∞t \to +\infty. Interpretar.
Solución

Solución de Ejercicio 26.6.

1. La sal fluye a 0.2×5=10.2 \times 5 = 1 kg/min. La salida lleva concentración m100\frac{m}{100} kg/L a 55 L/min, i.e. m20\frac{m}{20} kg/min. Por lo tanto m′=1−m20m' = 1 - \frac{m}{20}.

2. Equilibrio mp=20m_p = 20; m(t)=20+Ce−t/20m(t) = 20 + C\eu^{-t/20}, y m(0)=0m(0) = 0 da C=−20C = -20:

m(t)=20(1−e−t/20)→t→+∞20 kg.m(t) = 20\left(1 - \eu^{-t/20}\right) \xrightarrow[t\to+\infty]{} 20 \text{ kg}.

A la larga, la concentración del tanque es igual a la de la salmuera entrante: 0.20.2 kg/L ×\times 100100 L =20= 20 kg.

Ejercicio 26.7 ★★

Un paracaidista de masa 8080 kg cae sujeto a la gravedad (g=9.8 m/s2g = 9.8\ \text{m/s}^2) y resistencia del aire proporcional a la velocidad, de modo que su velocidad satisface v′=g−kmvv' = g - \frac{k}{m}v con k=16k = 16 kg/s.

  1. Resuelve el ecuación con v(0)=0v(0) = 0.
  2. Calcular el velocidad terminal lim⁡t→+∞v(t)\lim_{t\to+\infty} v(t), y el tiempo necesario para llegar a 95%95\% del mismo.
Solución

Solución de Ejercicio 26.7.

1. v′=g−kmvv' = g - \frac{k}{m} v con km=1680=0.2\frac km = \frac{16}{80} = 0.2. Equilibrio v∞=mgk=9.80.2=49v_\infty = \frac{mg}{k} = \frac{9.8}{0.2} = 49 m/s; v(t)=49+Ce−0.2tv(t) = 49 + C\eu^{-0.2t} y v(0)=0v(0) = 0 dan

v(t)=49(1−e−0.2t).v(t) = 49\left(1 - \eu^{-0.2 t}\right).

2. Velocidad terminal 4949 m/s (≈176\approx 176 km/h). queremos 1−e−0.2t=0.951 - \eu^{-0.2t} = 0.95, i.e. e−0.2t=0.05\eu^{-0.2t} = 0.05:

t=ln⁡200.2≈3.000.2≈15 s.t = \frac{\ln 20}{0.2} \approx \frac{3.00}{0.2} \approx 15 \text{ s}.

Ejercicio 26.8 ★★★

(Logistic ecuación.) Una población y(t)∈(0, 1)y(t) \in \intoo{0}{1} (como fracción de la población máxima) satisface

y′=y(1−y).y' = y(1 - y).
  1. Vamos z=1yz = \dfrac{1}{y}. Demuestre que zz satisface el lineal ecuación z′=−z+1z' = -z + 1.
  2. Resuelva para zz, luego para yy, con y(0)=110y(0) = \frac{1}{10}.
  3. Muestre que y(t)→1y(t) \to 1 es t→+∞t \to +\infty y dibuje la forma de la curva de solución.
Solución

Solución de Ejercicio 26.8.

1. z=1yz = \frac1y da z′=−y′y2=−y(1−y)y2=−1−yy=−1y+1=−z+1z' = -\frac{y'}{y^2} = -\frac{y(1-y)}{y^2} = -\frac{1-y}{y} = -\frac1y + 1 = -z + 1.

2. Equilibrio zp=1z_p = 1, entonces z(t)=1+Ce−tz(t) = 1 + C\eu^{-t}. De y(0)=110y(0) = \frac{1}{10}, z(0)=10z(0) = 10, entonces C=9C = 9 y

y(t)=11+9 e−t.y(t) = \frac{1}{1 + 9\,\eu^{-t}} .

3. Como t→+∞t \to +\infty, 9e−t→09\eu^{-t} \to 0 y y(t)→1y(t) \to 1. la curva es la clásica curva logística en forma de S (sigmoideo): crecimiento lento en primero (yy pequeño, y′≈yy' \approx y), crecimiento más rápido cuando y=12y = \frac12 (donde y′=y(1−y)y' = y(1-y) es máximo), luego la saturación hacia el transporte capacidad 11.

Ejercicio 26.9 ★★★

Sea yy una solución de y′=ay+by' = ay + b y un=y(n)u_n = y(n) sea n∈Nn \in \N. Demuestre que (un)(u_n) satisface una recurrencia aritmético-geométrica un+1=qun+ru_{n+1} = q u_n + r, y expresar qq y rr en términos de aa y bb. que ¿Corresponde la condición ∣q∣<1\abs{q} < 1 para el diferencial ecuación?

Solución

Solución de Ejercicio 26.9.

Por Teorema 26.5, y(x)=Ceax−bay(x) = C\eu^{ax} - \frac ba. Por lo tanto

un+1=Cea(n+1)−ba=ea(Cean−ba)+ba(ea−1)=q un+ru_{n+1} = C\eu^{a(n+1)} - \frac ba = \eu^{a}\left(C\eu^{an} - \frac ba\right) + \frac ba\left(\eu^a - 1\right) = q\,u_n + r

con q=eaq = \eu^{a} y r=ba(ea−1)r = \frac{b}{a}\left(\eu^{a} - 1\right). La condición ∣q∣<1\abs q < 1 significa ea<1\eu^a < 1, i.e. a<0a < 0: exactamente la condición bajo la cual las soluciones del ecuación diferencial convergen al equilibrio −ba-\frac ba — y de hecho al punto fijo de la recurrencia es r1−q=−ba\frac{r}{1 - q} = -\frac{b}{a}.

26.5 Problema: el reloj dentro de las cosas

Problema 26.1

Problema de fin de semana — el carbono-14 data las cuevas, La ley de enfriamiento de Newton multiplica un delito, y una pequeña ecuación desgasta cuatro disfraces

A ecuación diferencial es una ley de cambio; resolverlo convierte el ley en un reloj. La misma pequeñita ecuación y′=ay+by' = ay + b (Teorema 26.5) garrapatas en el interior carbón prehistórico, café refrescante, gotas de lluvia que caen y goteos hospitalarios — y leer esos relojes es el problema de este problema. negocio: fecha las pinturas de Lascaux, fija la hora de la muerte, y audita sus propios supuestos como un buen científico.

Parte I — Fluency.

  1. Resuelve y′=3yy' = 3y, y(0)=2y(0) = 2; entonces y′=−2y+6y' = -2y + 6, y(0)=0y(0) = 0 (Método 26.6).
  2. Vuelva a derivar el truco de unicidad detrás Teorema 26.2: si y′=ayy' = ay, calcular el derivado de y(t) e−aty(t)\,\eu^{-at} y concluir que La solución cada es CeatC\eu^{at}.
  3. Para y′=−2y+6y' = -2y + 6: encuentre la solución de equilibrio y describir el destino de cualquier otra solución como t→+∞t \to +\infty. (El puntos fijos de Las recurrencias de Problema 13.1, desaparecieron continuo.)
  4. Para la ley de decaimiento y′=−yτy' = -\frac{y}{\tau}: demuestre que el la vida media es t1/2=τln⁡2t_{1/2} = \tau \ln 2.
  5. Dibuje (o describa) la familia de soluciones de y′=−2y+6y' = -2y + 6: ¿Qué significan las soluciones que comienzan arriba de 33? hacer? ¿Debajo de 33? ¿En 33?

Parte II — Carbon-14. El tejido vivo mantiene una proporción constante de radiactivos. carbono-14; al morir, la ingesta se detiene y el stock decae: N′=−λNN' = -\lambda N, con vida media 5 7305\,730 años.

  1. Calcula λ\lambda (por año).
  2. Un hueso retiene 20 %20\,\% de la proporción viva: ¿cuántos años tiene? eso?
  3. Conserva el carbón de las cuevas pintadas de Lascaux sobre 15 %15\,\%: fechar las pinturas.
  4. El Hombre de Hielo Ötzi, encontrado en un glaciar alpino, medido sobre 53 %53\,\%: sal con él (dicen los arqueólogos sobre 5 3005\,300 años — ¿cómo te fue?).
  5. ¿Por qué el carbono-14 no puede datar a los dinosaurios? Calcular el fracción restante después de diez vidas medias, indique la fracción después de 6565 millones de años como potencia de 22, y concluir.
  6. Barras de error: si Ötzi’s 53 %53\,\% sólo se conoce por ±1 %\pm 1\,\%, calcula el rango de edad. ¿Qué precisión de laboratorio compra qué precisión de citas?

Parte III — Newton’s cooling, and a crime. Un cuerpo a temperatura TT en un entorno a TaT_a constante se enfría por T′=−k (T−Ta)T' = -k\,(T - T_a).

  1. Resuelva el ecuación (sustituya z=T−Taz = T - T_a):

    T(t)=Ta+(T0−Ta) e−kt.T(t) = T_a + (T_0 - T_a)\,\eu^{-kt} .
  2. Café servido en 90 ∘90\,^\circC en una habitación 20 ∘20\,^\circC lee 70 ∘70\,^\circC después de 55 minutos. Determinar kk, luego el tiempo de espera hasta el bebible 55 ∘55\,^\circC.
  3. La cuestión de la leche: tomar el café lo más calentito posible en diez minutos, ¿debe entrar la leche fría ahora o en el ultimo momento? Responde con el ecuación (¿qué significa? agregando leche al espacio T−TaT - T_a, y ¿cómo funciona el ¿La brecha impulsa la pérdida?).
  4. Forense: hallan cadáver a medianoche a las 30 ∘30\,^\circC en una habitación 20 ∘20\,^\circC; una hora después se lee 28 ∘28\,^\circC. Suponiendo 37 ∘37\,^\circC en el hora de la muerte, recuperar kk de las dos mediciones, luego calcule la hora de la muerte.
  5. Auditar el reloj del forense: nombre tres del mundo real violaciones de los supuestos del modelo y la dirección en el que cada uno sesgaría el tiempo estimado de muerte.

Parte IV — Four costumes and an S-curve.

  1. El ecuación logístico de Ejercicio 26.8, y′=y(1−y)y' = y(1 - y) con y(0)=0.1y(0) = 0.1: usando el ejercicio sustitución, derivar y(t)=11+9e−ty(t) = \dfrac{1}{1 + 9\eu^{-t}}, y encuentre la hora de el punto de inflexión y=12y = \frac12 — el fecha del epidemiólogo de Problema 22.1, ahora computable.
  2. Una gota de lluvia obedece a v′=10−v2v' = 10 - \frac v2 (gravedad menos arrastrar), v(0)=0v(0) = 0. Encuentra la velocidad terminal, resuelve para v(t)v(t) y calcular cuando la caída alcanza 95 %95\,\% de velocidad terminal.
  3. Un goteo hospitalario administra un medicamento a un ritmo constante mientras el cuerpo lo elimina proporcionalmente: c′=4−0.5cc' = 4 - 0.5c, c(0)=0c(0) = 0. Encuentra el estado estacionario concentración y el tiempo para llegar a la mitad de ella. Estado en una frase el paralelo con las recurrencias de préstamos de Ejercicio 26.9.
  4. Finale — un ecuación, cuatro disfraces: decadencia, enfriamiento, cayendo, dosificando, todos y′=ay+by' = ay + b con signos diferentes y nombres. Recite el ciclo de modelado que ejecutó este problema. cuatro veces (ley →\to ecuación →\to solución →\to calibración →\to predicción →\to auditoría) y nombre el fenómeno que necesita y′′y'' — y qué problema ya lo conocí.
Solución

Solución de Problema 26.1.

1.y=2e3ty = 2\eu^{3t}. Para el segundo: equilibrio 33, entonces y=3+Ce−2ty = 3 + C\eu^{-2t} con y(0)=0y(0) = 0: C=−3C = -3: y=3(1−e−2t)y = 3\left(1 - \eu^{-2t}\right).

2. (ye−at)′=y′e−at−aye−at=(y′−ay)e−at=0\left(y\eu^{-at}\right)' = y'\eu^{-at} - ay\eu^{-at} = (y' - ay)\eu^{-at} = 0: el producto es un constante CC, por lo que y=Ceaty = C\eu^{at} — no se escapa ninguna solución.

3. Equilibrio: y≡3y \equiv 3. Cualquier otra solución es 3+Ce−2t3 + C\eu^{-2t} con C≠0C \neq 0: los dados exponenciales y el La solución se desliza hasta 33 — un punto fijo estable, el continuo gemelo de la recurrencia puntos fijos de Problema 13.1.

4. y=y0e−t/τy = y_0\eu^{-t/\tau} mitades cuando e−t/τ=12\eu^{-t/\tau} = \frac12: t=τln⁡2t = \tau\ln 2.

5. Todas las soluciones son traducciones verticales de la decadencia. hacia 33: los que empiezan arriba caen a 33, los de abajo asciende a 33, y la solución constante 33 se queda quieta — embudo alrededor del equilibrio.

6. λ=ln⁡25730≈1.21×10−4\lambda = \frac{\ln 2}{5730} \approx 1.21 \times 10^{-4} por año.

7.e−λt=0.2\eu^{-\lambda t} = 0.2: t=ln⁡5λ≈13 300t = \frac{\ln 5}{\lambda} \approx 13\,300 años.

8.t=ln⁡(1/0.15)λ≈15 700t = \frac{\ln(1/0.15)}{\lambda} \approx 15\,700 Años: los toros de Lascaux son de finales de la Edad del Hielo.

9.t=ln⁡(1/0.53)λ≈5 250t = \frac{\ln(1/0.53)}{\lambda} \approx 5\,250 años: dentro de una vida del valor de los arqueólogos — el reloj funciona.

10. Diez vidas medias salen de 2−10≈0.1 %2^{-10} \approx 0.1\,\%: en el borde de la medición. Después de 6565 millones de años, la fracción es 2−65 000 000/5 730≈2−11 3442^{-65\,000\,000/5\,730} \approx 2^{-11\,344}: No queda ningún átomo del stock original en ningún fósil. los dinosaurios se datan mediante relojes más lentos (potasio-argón y parientes).

11. 52 %52\,\% da ≈5 405\approx 5\,405 años, 54 %54\,\% regala ≈5 095\approx 5\,095: el ±1 %\pm 1\,\% de la química se convierte aproximadamente en ±155\pm 155 años de historia — precisión en el laboratorio es precisión en la etiqueta del museo.

12. z=T−Taz = T - T_a satisface z′=−kzz' = -kz: z=(T0−Ta)e−ktz = (T_0 - T_a)\eu^{-kt} y T=Ta+zT = T_a + z.

13. La brecha inicial es T0−Ta=70T_0 - T_a = 70; después de las cinco minutos la brecha es 70−20=5070 - 20 = 50, entonces 50=70e−5k50 = 70\eu^{-5k}: k=ln⁡(70/50)5≈0.067k = \frac{\ln(70/50)}{5} \approx 0.067 por minuto. Bebible: 55−20=35=70e−kt55 - 20 = 35 = 70\eu^{-kt}: t=ln⁡2k≈10.3t = \frac{\ln 2}{k} \approx 10.3 minutos.

14. La tasa de pérdida es proporcional a la brecha. T−TaT - T_a: el café muy caliente se calienta más rápido. Añadiendo el La leche ahora reduce la brecha inmediatamente, por lo que se produce menos calor. perdido durante los diez minutos; agregarlo al final permite que Primero enfríe el café a máxima velocidad. Para la taza más calentita: leche primero. (Los anfitriones impacientes tienen la termodinámica al revés).

15. Brechas desde el ambiente: a medianoche 1010, una hora después 88: e−k=0.8\eu^{-k} = 0.8: k=ln⁡108≈0.223k = \ln\frac{10}{8} \approx 0.223 por hora. Al morir la brecha era 1717; decayó a 1010 a medianoche: s=ln⁡(17/10)k≈2.4s = \frac{\ln(17/10)}{k} \approx 2.4 horas. Hora de la muerte: sobre 21:4021{:}40.

16. Una habitación con calefacción o corrientes de aire (TaT_a no constante) dobla el reloj en cualquier sentido; cambios de ropa o masa corporal kk (las tablas del forense se ajustan a ello) — una báscula kk incorrecta todo el intervalo; y un cuerpo movido de otro lado se reinicia TaT_a en plena decadencia, fingiendo una muerte anterior o posterior. el ecuación es honesto; los supuestos conllevan el riesgo.

17. z=1yz = \frac1y obedece a z′=1−zz' = 1 - z: z=1+9e−tz = 1 + 9\eu^{-t} (de z(0)=10z(0) = 10), entonces y=11+9e−ty = \frac{1}{1 + 9\eu^{-t}}. Inflexión en y=12y = \frac12: 9e−t=19\eu^{-t} = 1: t=ln⁡9≈2.2t = \ln 9 \approx 2.2 — la epidemia fecha de giro, directamente de la fórmula.

18. Velocidad terminal: v′=0v' = 0 a v=20v = 20 m/s. Solución: v(t)=20(1−e−t/2)v(t) = 20\left(1 - \eu^{-t/2}\right). entonces 0.950.95: e−t/2=0.05\eu^{-t/2} = 0.05: t=2ln⁡20≈6t = 2\ln 20 \approx 6 s — Las gotas de lluvia alcanzan su velocidad de crucero en segundos, lo cual es por qué la lluvia no mata.

19. Estado estacionario: c=8c = 8. La mitad: 4=8(1−e−t/2)4 = 8\left(1 - \eu^{-t/2}\right): e−t/2=12\eu^{-t/2} = \frac12: t=2ln⁡2≈1.4t = 2\ln 2 \approx 1.4 horas. El goteo es el continuo gemelo del préstamo: entrada constante, salida proporcional — Ejercicio 26.9 hace que el diccionario sea exacto.

20. Decaimiento (a<0a < 0, b=0b = 0), enfriamiento (y=T−Tay = T - T_a), cayendo (a<0a < 0, b>0b > 0: aproximación al equilibrio desde abajo), dosificación (igual, en vena): un ecuación, cuatro mundos. El bucle: enunciar la ley del cambio; escribe el ecuación; resolver (Método 26.6); calibrar constantes en medidas; predecir; luego audite los supuestos (pregunta 16). Necesidades de oscilación y′′=−ω2yy'' = -\omega^2 y — cumplidas, resueltas y establecido balanceándose en Problema 24.1.