Matemáticas de secundaria · Grades 10–12

15Vectores y rectas en el plano

Vectores codifica desplazamientos; las líneas son sus trayectorias. La novedad clave herramienta de este capítulo es el determinante, un número único que decide si dos vectores son colineal — y, a partir de ahí, produce ecuaciones de líneas y resuelve cuestiones de alineación y paralelismo por puro cálculo. Las mismas ideas se extienden al espacio en Capítulo 31.

15.1 Vectores: un resumen

Definición 15.1 (Coordenadas vectoriales)

A vector $\vec u$ representa un desplazamiento: todos Las flechas con la misma dirección, orientación y longitud representan lo mismo. vector. En un sistema de coordenadas, $\vec u\,(x, y)$ registra el desplazamiento ( $x$ horizontalmente, $y$ verticalmente); para los puntos $A(x_A, y_A)$ y $B(x_B, y_B)$ ,

\vect{AB}\,\bigl(x_B - x_A,\ y_B - y_A\bigr).

Los vectores se suman en coordenadas, y $\lambda\vec u$ tiene coordenadas $(\lambda x, \lambda y)$ .

Proposición 15.2 (punto medio)

El punto medio $M$ del segmento $[AB]$ tiene coordenadas $\left(\frac{x_A + x_B}{2},\ \frac{y_A + y_B}{2}\right)$ .

Demostración. $M$ se caracteriza por $\vect{AM} = \frac12\vect{AB}$ : en cuanto a coordenadas, $x_M - x_A = \frac12(x_B - x_A)$ , entonces $x_M = \frac{x_A + x_B}{2}$ , y de manera similar para $y_M$ . ∎

15.2 Colinealidad y el determinante.

Definición 15.3 (Vectores colineales)

Dos vectores son colineal si uno es un múltiplo escalar del otro: $\vec v = \lambda \vec u$ para algunos $\lambda \in \R$ (o $\vec u = \vec 0$ ). Geométricamente: tienen lo mismo dirección, o uno de ellos es cero.

Definición 15.4 (Determinante)

El determinante de $\vec u\,(x, y)$ y $\vec v\,(x', y')$ es

\det(\vec u, \vec v) = \begin{vmatrix} x & x' \\ y & y' \end{vmatrix} = x y' - x' y .

Teorema 15.5 (Criterio de colinealidad)

Dos vectores $\vec u$ y $\vec v$ son colineal si y solo si $\det(\vec u, \vec v) = 0$ .

Demostración. ( $\Rightarrow$ ) Si $\vec v = \lambda\vec u$ , entonces $x' = \lambda x$ y $y' = \lambda y$ , entonces $\det(\vec u, \vec v) = x(\lambda y) - (\lambda x)y = 0$ ; si $\vec u = \vec 0$ , el determinante es trivialmente $0$ .

( $\Leftarrow$ ) Supongamos que $xy' - x'y = 0$ y $\vec u \neq \vec 0$ , digamos $x \neq 0$ (el caso $y \neq 0$ es simétrico). conjunto $\lambda = \frac{x'}{x}$ . Luego $x' = \lambda x$ por construcción, y el la relación $xy' = x'y = \lambda x y$ da, después de dividir por $x \neq 0$ , $y' = \lambda y$ . Por lo tanto $\vec v = \lambda \vec u$ . ∎

Ejemplo 15.6

$\vec u\,(3, -2)$ y $\vec v\,(-6, 4)$ : $\det = 3 \times 4 - (-6) \times (-2) = 12 - 12 = 0$ , colineal (de hecho $\vec v = -2\vec u$ ). $\vec u\,(3, -2)$ y $\vec w\,(2, 1)$ : $\det = 3 + 4 = 7 \neq 0$ , no colineal.

Método 15.7 (Alineación de tres puntos)

$A$ , $B$ , $C$ están alineados si y sólo si $\vect{AB}$ y $\vect{AC}$ están colineal: calcula vectores y verifica $\det\bigl(\vect{AB}, \vect{AC}\bigr) = 0$ .

15.3 Ecuaciones cartesianas de rectas.

Definición 15.8 (Vector de dirección)

Un vector de direccion de una línea $d$ es cualquier distinto de cero vector $\vec u$ tal que $\vect{AB}$ es colineal con $\vec u$ para todos los puntos $A, B$ de $d$ .

Teorema 15.9 (Ecuación cartesiana)

Una línea con vector de direccion $\vec u\,(-b, a)$ admite un ecuación del forma

ax + by + c = 0 \qquad (a, b) \neq (0, 0).

Por el contrario, cada uno de estos ecuación describe una línea con vector de direccion $\vec u\,(-b, a)$ .

Demostración. Deje que $d$ pase por $A(x_A, y_A)$ con dirección $\vec u\,(-b, a)$ . un El punto $M(x, y)$ se encuentra en $d$ exactamente cuando $\vect{AM}$ es colineal con $\vec u$ , es decir (Teorema 15.5)

0 = \det\bigl(\vect{AM}, \vec u\bigr) = (x - x_A)\,a - (-b)(y - y_A) = ax + by - (a x_A + b y_A),

un ecuación de la forma anunciada con $c = -(a x_A + b y_A)$ . Por el contrario, las soluciones de $ax + by + c = 0$ con, digamos, $b \neq 0$ son los puntos $\left(x, -\frac{a x + c}{b}\right)$ : restando dos de ellos muestra que cada acorde es colineal con $(-b, a)$ , y siempre hay una solución existe — es la línea que lo atraviesa dirigida por $(-b, a)$ . ∎

Método 15.10 (Línea que pasa por dos puntos)

Para encontrar un ecuación de la línea $(AB)$ : calcule el vector de direccion $\vect{AB}\,(x_B - x_A, y_B - y_A)$ ; combinarlo con $(-b, a)$ , es decir, tomar $a = y_B - y_A$ y $b = -(x_B - x_A)$ ; determine $c$ conectando el coordenadas de $A$ .

Ejemplo 15.11

Línea a través de $A(1, 2)$ y $B(4, 3)$ : $\vect{AB}\,(3, 1)$ , por lo que $a = 1$ , $b = -3$ y ecuación es $x - 3y + c = 0$ . Conectando $A$ : $1 - 6 + c = 0$ , entonces $c = 5$ . Ecuación: $x - 3y + 5 = 0$ . Consulte con $B$ : $4 - 9 + 5 = 0$ .

Observación 15.12

Cuando $b \neq 0$ , el ecuación se puede resolver para $y$ : $y = mx + p$ con pendiente $m = -\frac ab$ . La forma cartesiana $ax + by + c = 0$ es más general: también cubre líneas verticales ( $b = 0$ ), que no tienen pendiente.

La línea x - 3y + 5 = 0 de , su vector de direccion u = AB (rojo, aquí escalado por 1/2), y los dos puntos utilizados para construir el ecuación. — La línea $x - 3y + 5 = 0$ de Ejemplo 15.11, su vector de direccion $\vec u = \vect{AB}$ (rojo, aquí escalado por $\frac12$ ), y los dos puntos utilizados para construir el ecuación.

15.4 Representación paramétrica

Definición 15.13 (Representación paramétrica)

La línea que pasa por $A(x_A, y_A)$ con dirección $\vec u\,(\alpha, \beta)$ es el conjunto de puntos

M\bigl(x_A + t\alpha,\ y_A + t\beta\bigr), \qquad t \in \R .

El número $t$ es el parámetro: cada valor de $t$ produce un punto de la línea, como si viajara a lo largo de ella con velocidad constante $\vec u$ .

Ejemplo 15.14

La línea de Ejemplo 15.11 también es $\{(1 + 3t,\ 2 + t) : t \in \R\}$ : $t = 0$ da $A$ , $t = 1$ da $B$ . Al eliminar $t$ ( $t = y - 2$ , por lo que $x = 1 + 3(y-2)$ ) se recupera $x - 3y + 5 = 0$ .

15.5 Posiciones relativas de dos líneas.

Proposición 15.15 (Paralelo o intersectante)

Dos líneas con vectores de direccion $\vec u$ y $\vec v$ son paralelas si y sólo si $\det(\vec u, \vec v) = 0$ . En forma ecuación: $d : ax + by + c = 0$ y $d' : a'x + b'y + c' = 0$ son paralelos si y sólo si $ab' - a'b = 0$ . Las rectas no paralelas se encuentran exactamente en un punto.

Demostración. Paralelismo significa direcciones colineal, que es Teorema 15.5; con $\vec u\,(-b, a)$ y $\vec v\,(-b', a')$ , el determinante es $(-b)a' - (-b')a = ab' - a'b$ . Si las rectas no son paralelas, resolviendo las dos ecuaciones simultáneamente (por sustitución o combinación) conduce a una solución única: el sistema se comporta como un sistema determinante distinto de cero $2 \times 2$ . ∎

Método 15.16 (Intersección de dos líneas)

Resuelve el sistema de los dos ecuaciones: aísla una incógnita en un ecuación y sustituir por el otro, o combinar el ecuaciones para eliminar uno desconocido. Verifique siempre el punto resultante en ambos ecuaciones.

Ejemplo 15.17

Intersección $d: x - 3y + 5 = 0$ y $d': 2x + y - 4 = 0$ . De $d'$ : $y = 4 - 2x$ . Sustituyendo en $d$ :

x - 3(4 - 2x) + 5 = 0 \iff x - 12 + 6x + 5 = 0 \iff 7x = 7 \iff x = 1,

luego $y = 2$ . Las líneas se encuentran en $(1, 2)$ . Registro en $d$ : $1 - 6 + 5 = 0$ .

15.6 Ceremonias

Ejercicio 15.1 ★

Dados $A(2, -1)$ , $B(5, 3)$ y $C(-1, 1)$ , calcule el coordenadas de $\vect{AB}$ , $\vect{AC}$ , $\vect{AB} + \vect{AC}$ y $2\vect{AB} - 3\vect{AC}$ , y el punto medio de $[BC]$ .

Solución

Solución de Ejercicio 15.1.

$\vect{AB}\,(3, 4)$ , $\vect{AC}\,(-3, 2)$ , $\vect{AB} + \vect{AC}\,(0, 6)$ , $2\vect{AB} - 3\vect{AC}\,(6 + 9,\ 8 - 6) = (15, 2)$ . El punto medio de $[BC]$ es $\left(\frac{5 + (-1)}{2}, \frac{3+1}{2}\right) = (2, 2)$ .

Ejercicio 15.2 ★

¿Son los vectores colineal?

\vec u\,(4, -6) \text{ and } \vec v\,(-2, 3); \qquad \vec u\,(2, 5) \text{ and } \vec v\,(3, 7); \qquad \vec u\,(0, 3) \text{ and } \vec v\,(0, -8).

Solución

Solución de Ejercicio 15.2.

$\det = 4 \times 3 - (-2) \times (-6) = 12 - 12 = 0$ : colineal (de hecho $\vec v = -\frac12 \vec u$ ).

$\det = 2 \times 7 - 3 \times 5 = -1 \neq 0$ : no colineal.

$\det = 0 \times (-8) - 0 \times 3 = 0$ : colineal (ambos verticales).

Ejercicio 15.3 ★

Encuentre un cartesiano ecuación de la línea que pasa por $A(2, 1)$ con dirección vector $\vec u\,(3, -1)$ , luego de la línea que pasa por $B(0, 4)$ y $C(2, 0)$ .

Solución

Solución de Ejercicio 15.3.

A través de $A(2,1)$ , dirección $(3, -1)$ : coincidencia $(-b, a) = (3, -1)$ da $a = -1$ , $b = -3$ , entonces $-x - 3y + c = 0$ ; conectando $A$ : $-2 - 3 + c = 0$ , $c = 5$ . Multiplicando por $-1$ : $x + 3y - 5 = 0$ .

A través de $B(0,4)$ y $C(2,0)$ : $\vect{BC}\,(2, -4)$ , entonces $a = -4$ , $b = -2$ : $-4x - 2y + c = 0$ ; conectando $B$ : $-8 + c = 0$ , $c = 8$ . Simplificando por $-2$ : $2x + y - 4 = 0$ . Consulte con $C$ : $4 + 0 - 4 = 0$ .

Ejercicio 15.4 ★

Para la línea $d: 3x - 2y + 6 = 0$ , proporcione vector de direccion, el intersecciones con los dos ejes de coordenadas, y decidir si los puntos $P(2, 6)$ y $Q(1, 4)$ pertenecen a $d$ .

Solución

Solución de Ejercicio 15.4.

Un vector de direccion es $(-b, a) = (2, 3)$ . Intersecciones: $x = 0$ da $y = 3$ , punto $(0, 3)$ ; $y = 0$ da $x = -2$ , punto $(-2, 0)$ . Para $P(2,6)$ : $3 \times 2 - 2 \times 6 + 6 = 0$ , entonces $P \in d$ . Para $Q(1,4)$ : $3 - 8 + 6 = 1 \neq 0$ , entonces $Q \notin d$ .

Ejercicio 15.5 ★★

¿Están alineados los puntos $A(1, 2)$ , $B(4, 8)$ , $C(-2, -4)$ ? Misma pregunta para $D(0, 1)$ , $E(2, 4)$ , $F(5, 9)$ .

Solución

Solución de Ejercicio 15.5.

$\vect{AB}\,(3, 6)$ y $\vect{AC}\,(-3, -6)$ : $\det = 3 \times (-6) - (-3) \times 6 = 0$ , por lo que $A$ , $B$ , $C$ están alineados.

$\vect{DE}\,(2, 3)$ y $\vect{DF}\,(5, 8)$ : $\det = 2 \times 8 - 5 \times 3 = 1 \neq 0$ : $D$ , $E$ , $F$ no son alineado.

Ejercicio 15.6 ★★

Determine el punto intersección, si lo hubiera:

d: 2x + y - 7 = 0 \ \text{ and }\ d': x - y + 1 = 0; \qquad e: x - 2y + 3 = 0 \ \text{ and }\ e': -2x + 4y + 1 = 0 .

Solución

Solución de Ejercicio 15.6.

Primer par: sumando los dos ecuaciones, $(2x + y - 7) + (x - y + 1) = 3x - 6 = 0$ , entonces $x = 2$ , luego $y = x + 1 = 3$ : se encuentran en $(2, 3)$ (verificar: $4 + 3 - 7 = 0$ ).

Segundo par: $ab' - a'b = 1 \times 4 - (-2) \times (-2) = 0$ , por lo que el las líneas son paralelas; multiplicar $e$ por $-2$ da $-2x + 4y - 6 = 0$ , que difiere de $e'$ ( $-6 \neq 1$ ): estrictamente paralelo, no intersección.

Ejercicio 15.7 ★★

Dé una representación paramétrica de la línea $d: 2x - y + 3 = 0$ y una cartesiano ecuación de la línea $\bigl\{(1 + 2t,\ -3 + t) : t \in \R\bigr\}$ .

Solución

Solución de Ejercicio 15.7.

Para $d: 2x - y + 3 = 0$ : dirección $(-b, a) = (1, 2)$ y el punto $(0, 3)$ se encuentra en $d$ , por lo que $d = \{(t,\ 3 + 2t) : t \in \R\}$ .

Para la línea paramétrica que pasa por $(1, -3)$ con dirección $(2, 1)$ : $a = 1$ , $b = -2$ , entonces $x - 2y + c = 0$ ; conectando $(1, -3)$ : $1 + 6 + c = 0$ , $c = -7$ . Ecuación: $x - 2y - 7 = 0$ (verifique $t = 1$ , punto $(3, -2)$ : $3 + 4 - 7 = 0$ ).

Ejercicio 15.8 ★★

Encuentre el ecuación de la línea que pasa por $P(1, -2)$ paralela a $d: 4x - 3y + 2 = 0$ y el valor de $m$ para el cual la línea $mx + 2y - 5 = 0$ es paralelo a $d$ .

Solución

Solución de Ejercicio 15.8.

Una línea paralela tiene el mismo $(a, b)$ : $4x - 3y + c = 0$ ; a través de $P(1, -2)$ : $4 + 6 + c = 0$ , entonces $c = -10$ y la línea es $4x - 3y - 10 = 0$ .

El paralelismo de $mx + 2y - 5 = 0$ con $d$ requiere $ab' - a'b = 4 \times 2 - m \times (-3) = 8 + 3m = 0$ , entonces $m = -\frac83$ .

Ejercicio 15.9 ★★

Sean $A(-1, 0)$ , $B(3, 2)$ y $C(1, -4)$ . Encuentre un cartesiano ecuación del mediana del triángulo $ABC$ emitido desde $C$ (la línea que une $C$ al punto medio de $[AB]$ ).

Solución

Solución de Ejercicio 15.9.

El punto medio de $[AB]$ es $M\!\left(\frac{-1+3}{2}, \frac{0+2}{2}\right) = (1, 1)$ . El mediana es la línea $(CM)$ con $C(1, -4)$ : ambos puntos tiene abscisa $1$ , por lo que mediana es la línea vertical

x - 1 = 0 .

Ejercicio 15.10 ★★

¿Para qué valor(es) del parámetro $m$ son los vectores? $\vec u\,(m, 2)$ y $\vec v\,(3, m - 1)$ colineal?

Solución

Solución de Ejercicio 15.10.

$\det(\vec u, \vec v) = m(m - 1) - 3 \times 2 = m^2 - m - 6$ . se desvanece cuando $m^2 - m - 6 = 0$ : $\Delta = 1 + 24 = 25$ , raíces $m = \frac{1 \pm 5}{2}$ , es decir, $m = 3$ o $m = -2$ .

Ejercicio 15.11 ★★★

Sea $ABCD$ un paralelogramo, $I$ el punto medio de $[AB]$ y $J$ el punto definido por $\vect{DJ} = \frac23 \vect{DI}$ . trabajando en el sistema de coordenadas donde $A(0,0)$ , $B(1,0)$ , $D(0,1)$ (por lo tanto, $C(1,1)$ ):

Calcule el coordenadas de $I$ y $J$ .
Muestra que $A$ , $J$ y $C$ están alineados. (Un dato interesante: la línea $(DI)$ corta la diagonal $(AC)$ un tercio de su altura).

Solución

Solución de Ejercicio 15.11.

1. $I = \left(\frac12, 0\right)$ . entonces $\vect{DI} = \left(\frac12 - 0,\ 0 - 1\right) = \left(\frac12, -1\right)$ y $\vect{DJ} = \frac23\vect{DI} = \left(\frac13, -\frac23\right)$ , entonces

J = D + \vect{DJ} = \left(\frac13,\ \frac13\right).

2. $\vect{AJ}\left(\frac13, \frac13\right)$ y $\vect{AC}\,(1, 1)$ : $\det = \frac13 \times 1 - 1 \times \frac13 = 0$ , por lo que $A$ , $J$ , $C$ son alineado — de hecho $\vect{AJ} = \frac13\vect{AC}$ : la línea $(DI)$ corta la diagonal $(AC)$ exactamente a un tercio de su longitud de $A$ .

15.7 Problema: rumbos de colisión y coordenadas inteligentes

Problema 15.1

Problema de fin de semana — cruzar caminos no es colisión: aproximación más cercana en el mar y teoremas demostrados por elegir el marco correcto

Los rumbos rectos de dos barcos se cruzan. ¿Deben chocar los barcos? no a menos que lleguen al cruce al mismo tiempo: los caminos están conjuntos de puntos, los movimientos son paramétricos y confundirlos ha barcos reales hundidos. Este problema gestiona un servicio de tráfico de embarcaciones pequeñas. en líneas paramétricas (Definición 15.13), luego gira a pura geometría con el otro superpoder de coordenadas: eligiendo ellos hábilmente, como en Ejercicio 15.11, para hacer que los teoremas clásicos se calculen solos.

Parte I — Lines, three ways.

Dar una representación paramétrica de la línea que pasa $A(1, 2)$ con vector de direccion $\vec u(3, -1)$ , luego elimine el parámetro para obtener un cartesiano ecuación.
Para la línea $2x - 5y + 3 = 0$ : lea dirección vector (Teorema 15.9), encuentre un punto, y escribe una representación paramétrica.
Calcular el punto intersección de las dos líneas de preguntas 1 y 2 (Método 15.16).
Confirmar con el determinante (Teorema 15.5) que esas dos líneas tuvo que cruzarse; luego muestre que $2x - 5y + 3 = 0$ y $-4x + 10y + 1 = 0$ son estrictamente paralelos.
¿Están alineados $A(2, 1)$ , $B(5, 3)$ y $C(11, 7)$ ? (Método 15.7)?

Parte II — The vessel-traffic service. A la hora $t$ (horas), el barco $P$ está en $(2t,\ 3 + t)$ y el barco $Q$ en $(10 - t,\ 2t - 1)$ (distancias en millas náuticas).

Encuentra el ecuaciones cartesiano de los dos caminos, y calcular dónde se cruzan los caminos.
¿A qué hora pasa cada barco por el punto de cruce? hacer ¿Los barcos chocan? Exponga la advertencia general en una frase: cruzarse en contra de mociones de reunión.
Calcula la distancia al cuadrado $D^2(t)$ entre los barcos. en el momento $t$ y redúzcalo a una cuadrática en $t$ . en ¿A qué hora están los barcos más cerca y qué tan cerca están? ¿Viene (tecnología de vértice Problema 10.1)?
Las regulaciones exigen una separación de al menos $1$ milla. ¿Se viola? Si es así, resuelve $D^2(t) < 1$ y da la duración de la infracción.
Explique por qué, para cualquier dos barcos en línea recta cursos a velocidades constantes, $D^2(t)$ es siempre un función cuadrática de $t$ — entonces “punto más cercano de "Enfoque” es siempre un cálculo de vértice.
Interceptación: una patrullera parte del origen en $t = 0$ con velocidad constante $(a, b)$ y debe cumplir envíe $P$ exactamente en $t = 3$ . Calcular el requerido $(a, b)$ y la velocidad de la patrullera.

Parte III — Clever coordenadas. Trabajo en el marco de Ejercicio 15.11: el paralelogramo $ABCD$ se convierte en $A(0,0)$ , $B(1,0)$ , $C(1,1)$ , $D(0,1)$ ; deja $I$ será el punto medio de $[AB]$ y $K$ el punto medio de $[CD]$ .

Calcula un cartesiano ecuación de la línea $(DI)$ .
Intersección $(DI)$ con la diagonal $(AC)$ : recuperar Hecho de Ejercicio 15.11 — el corte queda exactamente un tercio de la diagonal.
Ahora la línea $(BK)$ : encuentra su ecuación, intersecta con $(AC)$ , y concluir el teorema clásico completo: las cevianas $(DI)$ y $(BK)$ trisecan la diagonal $(AC)$ .
¿Por qué era legítimo demostrar el teorema en este? marco especial? (¿Qué significa la elección de coordenadas? preservar, y ¿qué implica la afirmación?) Respuesta en dos o tres frases.
Una trisección más para practicar: deja que $E$ sea la punto medio de $[BC]$ . ¿Dónde corta la línea $(AE)$ ? otro diagonal $(DB)$ ?

Parte IV — Position puzzles.

Son las tres líneas $x + y = 4$ , $2x - y = 2$ , $x - 2y = -2$ ¿concurrente? (Cruce dos, pruebe el tercero.)
Para cada $m$ real, sea $d_m$ la línea $mx - y + 2 - 3m = 0$ . Mostrar que cada $d_m$ pasa por un punto fijo. (Agrupa los términos en $m$ .)
En la familia $(d_m)$ : qué miembro es paralelo a $y = 2x + 7$ ? ¿Cuál pasa por el origen?
Finale — los tres trajes de una línea: cartesiana (pruebas de membresía en una sustitución), reducido (pendiente y gráfico a la vista), paramétricos (movimiento, sincronización, interceptación); el determinante como oráculo del paralelismo; y el marco bien elegido como fábrica de teoremas. uno frase cada uno.

Solución

Solución de Problema 15.1.

1. $x = 1 + 3t$ , $y = 2 - t$ . A partir del segundo, $t = 2 - y$ ; sustituyendo: $x = 1 + 3(2 - y) = 7 - 3y$ : Cartesiano ecuación $x + 3y - 7 = 0$ .

2. Para $ax + by + c = 0$ , un vector de direccion es $(-b, a)$ : aquí $(5, 2)$ . Un punto: $y = 1$ le da a $x = 1$ : $(1, 1)$ . Paramétrico: $x = 1 + 5t$ , $y = 1 + 2t$ .

3. De $x = 7 - 3y$ en $2x - 5y + 3 = 0$ : $14 - 6y - 5y + 3 = 0$ , entonces $y = \frac{17}{11}$ y $x = 7 - \frac{51}{11} = \frac{26}{11}$ : el punto $\left(\frac{26}{11}, \frac{17}{11}\right)$ .

4. Direcciones $(5, 2)$ y $(3, -1)$ : $\det = 5 \times (-1) - 2 \times 3 = -11 \neq 0$ : intersección, como se encontró. Para el segundo par: direcciones $(5, 2)$ y $(10, 4)$ tiene $\det = 0$ (paralelo) y duplica $2x - 5y + 3 = 0$ da $-4x + 10y - 6 = 0 \neq -4x + 10y + 1 = 0$ : estrictamente paralelo.

5. $\vect{AB}(3, 2)$ , $\vect{AC}(9, 6)$ : $\det = 18 - 18 = 0$ : alineado.

6. $P$ : de $x = 2t$ , $y = 3 + t$ : $y = 3 + \frac x2$ . $Q$ : de $x = 10 - t$ : $t = 10 - x$ , entonces $y = 2(10 - x) - 1 = 19 - 2x$ . Cruzando: $3 + \frac x2 = 19 - 2x$ da $x = 6.4$ , $y = 6.2$ : los caminos cruce en $(6.4,\ 6.2)$ .

7. $P$ pasa por allí cuando $2t = 6.4$ : $t = 3.2$ h. $Q$ cuando $10 - t = 6.4$ : $t = 3.6$ h. Con veinticuatro minutos de diferencia: no colisión. Advertencia: un gráfico muestra caminos; solo el Los relojes paramétricos dicen si dos movimientos ocupan el mismo punto. en el mismo instante.

8. $D^2(t) = (3t - 10)^2 + (4 - t)^2 = 10t^2 - 68t + 116$ : vértice en $t = \frac{68}{20} = 3.4$ h, donde $D^2 = 0.4$ : aproximación más cercana $D = \sqrt{0.4} \approx 0.63$ milla en $t = 3.4$ .

9. Violado: $0.63 < 1$ . $D^2(t) < 1$ lee $10t^2 - 68t + 115 < 0$ : $\Delta = 4624 - 4600 = 24$ , raíces $\frac{68 \pm \sqrt{24}}{20} = 3.4 \pm 0.245$ : los barcos están demasiado cerca de $t \approx 3.16$ a $t \approx 3.64$ — aproximadamente $29$ actas de infracción. Uno de ellos debe cambiar de rumbo.

10. Cada coordenada de cada barco es una afín función de $t$ , por lo que cada diferencia de coordenadas es afín, y $D^2$ — una suma de dos funciones afines al cuadrado — es una cuadrático (con coeficiente principal no negativo). Más cercano Por lo tanto, la aproximación siempre se lee en un vértice.

11. Reunión $P$ en $t = 3$ , es decir en $(6, 6)$ : $(3a, 3b) = (6, 6)$ da $(a, b) = (2, 2)$ , velocidad $\sqrt{8} \approx 2.8$ nudos.

12. $D(0, 1)$ , $I\left(\frac12, 0\right)$ : dirección $\left(\frac12, -1\right)$ , es decir $(1, -2)$ : ecuación $2x + y = 1$ .

13. $(AC)$ : $y = x$ . Entonces $2x + x = 1$ : $x = \frac13$ : el punto $\left(\frac13, \frac13\right)$ , uno tercio del camino desde $A$ hasta $C$ .

14. $B(1, 0)$ , $K\left(\frac12, 1\right)$ : dirección $\left(-\frac12, 1\right)$ , ecuación $2x + y = 2$ . con $y = x$ : $x = \frac23$ : el punto $\left(\frac23, \frac23\right)$ . Los dos cevians cortaron $(AC)$ en sus dos puntos de trisección: teorema demostrado, dos veces tres rectas de aritmética.

15. Cualquier paralelogramo se traslada al cuadrado unitario. eligiendo $A$ como origen y $\vect{AB}$ , $\vect{AD}$ como unidades de dos ejes. Esa elección preserva todo el teorema. habla de — puntos medios, alineación y proporciones a lo largo de un determinado línea (toda expresable con vectores y escalares) — demostrando así el enunciado en el cuadrado lo demuestra para cada paralelogramo. (no transportaría longitudes o ángulos: aquellos que el marco se distorsiona.)

16. $E\left(1, \frac12\right)$ : línea $(AE)$ : $y = \frac x2$ . Diagonal $(DB)$ : de $(0,1)$ a $(1,0)$ : $y = 1 - x$ . Intersección: $\frac x2 = 1 - x$ : $x = \frac23$ : el punto $\left(\frac23, \frac13\right)$ — otra vez un punto de trisección, ahora de la otra diagonal. Punto medio cevianas amor a los tercios.

17. Los dos primeros: $x + y = 4$ y $2x - y = 2$ dan $3x = 6$ : $(2, 2)$ . Tercero: $2 - 4 = -2$ : satisfecho. concurrente en $(2, 2)$ .

18. $mx - y + 2 - 3m = m(x - 3) + (2 - y) = 0$ : para el ecuación para esperar cada $m$ , tomar $x = 3$ , $y = 2$ — y de hecho cada $d_m$ contiene $(3, 2)$ . un lapiz de líneas que pasan por un punto, una línea por pendiente $m$ .

19. Paralelo a $y = 2x + 7$ : pendiente $m = 2$ , la línea $2x - y - 4 = 0$ . A través del origen: $2 - 3m = 0$ : $m = \frac23$ .

20. Cartesiano: enchufar un punto, contesta membresía. Reducida: pendiente e intercepción visible, gráfico inmediata. Paramétrico: el reloj integrado — colisiones, más cercanas aproximación, interceptación. El determinante: una multiplicación se cruzan y se decide el paralelismo. El marco elegido: un el paralelogramo se convierte en un cuadrado unitario y una trisección clásica el teorema se convierte en tres intersecciones de líneas.