Matemáticas de secundaria · Grades 10–12

15Vectores y rectas en el plano

Los vectores codifican desplazamientos; las rectas son sus trayectorias. La herramienta nueva y clave de este capítulo es el determinante, un único número que decide si dos vectores son colineales y que, a partir de ahí, produce ecuaciones de rectas y resuelve por puro cálculo las cuestiones de alineación y paralelismo. Las mismas ideas se extienden al espacio en el Capítulo 31.

15.1 Vectores: repaso

Definición 15.1 (Vector, coordenadas)

Un vector $\vec u$ representa un desplazamiento: todas las flechas de la misma dirección, sentido y longitud representan el mismo vector. En un sistema de coordenadas, $\vec u\,(x, y)$ recoge el desplazamiento ( $x$ en horizontal, $y$ en vertical); para dos puntos $A(x_A, y_A)$ y $B(x_B, y_B)$ ,

\vect{AB}\,\bigl(x_B - x_A,\ y_B - y_A\bigr).

Los vectores se suman coordenada a coordenada, y $\lambda\vec u$ tiene coordenadas $(\lambda x, \lambda y)$ .

Proposición 15.2 (Punto medio)

El punto medio $M$ del segmento $[AB]$ tiene coordenadas $\left(\frac{x_A + x_B}{2},\ \frac{y_A + y_B}{2}\right)$ .

Demostración. $M$ está caracterizado por $\vect{AM} = \frac12\vect{AB}$ : coordenada a coordenada, $x_M - x_A = \frac12(x_B - x_A)$ , luego $x_M = \frac{x_A + x_B}{2}$ , y análogamente para $y_M$ . ∎

15.2 Colinealidad y determinante

Definición 15.3 (Vectores colineales)

Dos vectores son colineales si uno es múltiplo del otro: $\vec v = \lambda \vec u$ para algún $\lambda \in \R$ (o bien $\vec u = \vec 0$ ). Geométricamente: tienen la misma dirección, o uno de ellos es nulo.

Definición 15.4 (Determinante)

El determinante de $\vec u\,(x, y)$ y $\vec v\,(x', y')$ es

\det(\vec u, \vec v) = \begin{vmatrix} x & x' \\ y & y' \end{vmatrix} = x y' - x' y .

Teorema 15.5 (Criterio de colinealidad)

Dos vectores $\vec u$ y $\vec v$ son colineales si y solo si $\det(\vec u, \vec v) = 0$ .

Demostración. ( $\Rightarrow$ ) Si $\vec v = \lambda\vec u$ , entonces $x' = \lambda x$ e $y' = \lambda y$ , luego $\det(\vec u, \vec v) = x(\lambda y) - (\lambda x)y = 0$ ; si $\vec u = \vec 0$ , el determinante es trivialmente $0$ .

( $\Leftarrow$ ) Supongamos $xy' - x'y = 0$ con $\vec u \neq \vec 0$ , digamos $x \neq 0$ (el caso $y \neq 0$ es simétrico). Tomamos $\lambda = \frac{x'}{x}$ . Entonces $x' = \lambda x$ por construcción, y la relación $xy' = x'y = \lambda x y$ da, dividiendo entre $x \neq 0$ , $y' = \lambda y$ . Por tanto, $\vec v = \lambda \vec u$ . ∎

Ejemplo 15.6

$\vec u\,(3, -2)$ y $\vec v\,(-6, 4)$ : $\det = 3 \times 4 - (-6) \times (-2) = 12 - 12 = 0$ , colineales (en efecto, $\vec v = -2\vec u$ ). $\vec u\,(3, -2)$ y $\vec w\,(2, 1)$ : $\det = 3 + 4 = 7 \neq 0$ , no colineales.

Método 15.7 (Alineación de tres puntos)

$A$ , $B$ , $C$ están alineados si y solo si $\vect{AB}$ y $\vect{AC}$ son colineales: calcula los dos vectores y comprueba que $\det\bigl(\vect{AB}, \vect{AC}\bigr) = 0$ .

15.3 Ecuaciones generales de rectas

Definición 15.8 (Vector director)

Un vector director de una recta $d$ es cualquier vector no nulo $\vec u$ tal que $\vect{AB}$ es colineal con $\vec u$ para todos los puntos $A, B$ de $d$ .

Teorema 15.9 (Ecuación general)

Una recta con vector director $\vec u\,(-b, a)$ admite una ecuación de la forma

ax + by + c = 0 \qquad (a, b) \neq (0, 0).

Recíprocamente, toda ecuación de ese tipo describe una recta con vector director $\vec u\,(-b, a)$ .

Demostración. Sea $d$ la recta que pasa por $A(x_A, y_A)$ con dirección $\vec u\,(-b, a)$ . Un punto $M(x, y)$ está en $d$ exactamente cuando $\vect{AM}$ es colineal con $\vec u$ , es decir (Teorema 15.5), cuando

0 = \det\bigl(\vect{AM}, \vec u\bigr) = (x - x_A)\,a - (-b)(y - y_A) = ax + by - (a x_A + b y_A),

una ecuación de la forma anunciada con $c = -(a x_A + b y_A)$ . Recíprocamente, las soluciones de $ax + by + c = 0$ con, digamos, $b \neq 0$ son los puntos $\left(x, -\frac{a x + c}{b}\right)$ : restar dos de ellos muestra que toda cuerda es colineal con $(-b, a)$ , y siempre existe alguna solución; se trata de la recta que pasa por ella con dirección $(-b, a)$ . ∎

Método 15.10 (Recta que pasa por dos puntos)

Para hallar una ecuación de la recta $(AB)$ : calcula el vector director $\vect{AB}\,(x_B - x_A, y_B - y_A)$ ; identifícalo con $(-b, a)$ , es decir, toma $a = y_B - y_A$ y $b = -(x_B - x_A)$ ; y determina $c$ sustituyendo las coordenadas de $A$ .

Ejemplo 15.11

Recta que pasa por $A(1, 2)$ y $B(4, 3)$ : $\vect{AB}\,(3, 1)$ , luego $a = 1$ , $b = -3$ , y la ecuación es $x - 3y + c = 0$ . Sustituyendo $A$ : $1 - 6 + c = 0$ , luego $c = 5$ . Ecuación: $x - 3y + 5 = 0$ . Comprobación con $B$ : $4 - 9 + 5 = 0$ .

Observación 15.12

Cuando $b \neq 0$ , la ecuación se puede despejar en $y$ : $y = mx + p$ con pendiente $m = -\frac ab$ . La forma general $ax + by + c = 0$ es más amplia: también cubre las rectas verticales ( $b = 0$ ), que no tienen pendiente.

La recta x - 3y + 5 = 0 del , su vector director u = AB (en rojo, aquí a escala 1/2) y los dos puntos usados para construir la ecuación. — La recta $x - 3y + 5 = 0$ del Ejemplo 15.11, su vector director $\vec u = \vect{AB}$ (en rojo, aquí a escala $\frac12$ ) y los dos puntos usados para construir la ecuación.

15.4 Representación paramétrica

Definición 15.13 (Representación paramétrica)

La recta que pasa por $A(x_A, y_A)$ con dirección $\vec u\,(\alpha, \beta)$ es el conjunto de los puntos

M\bigl(x_A + t\alpha,\ y_A + t\beta\bigr), \qquad t \in \R .

El número $t$ es el parámetro: cada valor de $t$ produce un punto de la recta, como si se recorriera a velocidad constante $\vec u$ .

Ejemplo 15.14

La recta del Ejemplo 15.11 es también $\{(1 + 3t,\ 2 + t) : t \in \R\}$ : $t = 0$ da $A$ y $t = 1$ da $B$ . Eliminando $t$ ( $t = y - 2$ , luego $x = 1 + 3(y-2)$ ) se recupera $x - 3y + 5 = 0$ .

15.5 Posiciones relativas de dos rectas

Proposición 15.15 (Paralelas o secantes)

Dos rectas con vectores directores $\vec u$ y $\vec v$ son paralelas si y solo si $\det(\vec u, \vec v) = 0$ . En forma de ecuaciones: $d : ax + by + c = 0$ y $d' : a'x + b'y + c' = 0$ son paralelas si y solo si $ab' - a'b = 0$ . Dos rectas no paralelas se cortan en exactamente un punto.

Demostración. El paralelismo significa direcciones colineales, que es el Teorema 15.5; con $\vec u\,(-b, a)$ y $\vec v\,(-b', a')$ , el determinante es $(-b)a' - (-b')a = ab' - a'b$ . Si las rectas no son paralelas, resolver las dos ecuaciones simultáneamente (por sustitución o por combinación) lleva a una solución única: el sistema se comporta como un sistema $2 \times 2$ de determinante no nulo. ∎

Método 15.16 (Corte de dos rectas)

Resuelve el sistema de las dos ecuaciones: despeja una incógnita en una ecuación y sustitúyela en la otra, o combina las ecuaciones para eliminar una incógnita. Comprueba siempre el punto obtenido en las dos ecuaciones.

Ejemplo 15.17

Cortemos $d: x - 3y + 5 = 0$ con $d': 2x + y - 4 = 0$ . De $d'$ : $y = 4 - 2x$ . Sustituyendo en $d$ :

x - 3(4 - 2x) + 5 = 0 \iff x - 12 + 6x + 5 = 0 \iff 7x = 7 \iff x = 1,

y entonces $y = 2$ . Las rectas se cortan en $(1, 2)$ . Comprobación en $d$ : $1 - 6 + 5 = 0$ .

15.6 Ejercicios

Ejercicio 15.1 ★

Dados $A(2, -1)$ , $B(5, 3)$ y $C(-1, 1)$ , calcula las coordenadas de $\vect{AB}$ , $\vect{AC}$ , $\vect{AB} + \vect{AC}$ y $2\vect{AB} - 3\vect{AC}$ , y el punto medio de $[BC]$ .

Solución

Solución de Ejercicio 15.1.

$\vect{AB}\,(3, 4)$ , $\vect{AC}\,(-3, 2)$ , $\vect{AB} + \vect{AC}\,(0, 6)$ , $2\vect{AB} - 3\vect{AC}\,(6 + 9,\ 8 - 6) = (15, 2)$ . El punto medio de $[BC]$ es $\left(\frac{5 + (-1)}{2}, \frac{3+1}{2}\right) = (2, 2)$ .

Ejercicio 15.2 ★

¿Son colineales los vectores?

\vec u\,(4, -6) \text{ y } \vec v\,(-2, 3); \qquad \vec u\,(2, 5) \text{ y } \vec v\,(3, 7); \qquad \vec u\,(0, 3) \text{ y } \vec v\,(0, -8).

Solución

Solución de Ejercicio 15.2.

$\det = 4 \times 3 - (-2) \times (-6) = 12 - 12 = 0$ : colineales (en efecto, $\vec v = -\frac12 \vec u$ ).

$\det = 2 \times 7 - 3 \times 5 = -1 \neq 0$ : no colineales.

$\det = 0 \times (-8) - 0 \times 3 = 0$ : colineales (los dos son verticales).

Ejercicio 15.3 ★

Halla una ecuación general de la recta que pasa por $A(2, 1)$ con vector director $\vec u\,(3, -1)$ , y después la de la recta que pasa por $B(0, 4)$ y $C(2, 0)$ .

Solución

Solución de Ejercicio 15.3.

Por $A(2,1)$ con dirección $(3, -1)$ : identificando $(-b, a) = (3, -1)$ se obtiene $a = -1$ , $b = -3$ , luego $-x - 3y + c = 0$ ; sustituyendo $A$ : $-2 - 3 + c = 0$ , $c = 5$ . Multiplicando por $-1$ : $x + 3y - 5 = 0$ .

Por $B(0,4)$ y $C(2,0)$ : $\vect{BC}\,(2, -4)$ , luego $a = -4$ y $b = -2$ : $-4x - 2y + c = 0$ ; sustituyendo $B$ : $-8 + c = 0$ , $c = 8$ . Simplificando entre $-2$ : $2x + y - 4 = 0$ . Comprobación con $C$ : $4 + 0 - 4 = 0$ .

Ejercicio 15.4 ★

Para la recta $d: 3x - 2y + 6 = 0$ , da un vector director y los cortes con los dos ejes de coordenadas, y decide si los puntos $P(2, 6)$ y $Q(1, 4)$ pertenecen a $d$ .

Solución

Solución de Ejercicio 15.4.

Un vector director es $(-b, a) = (2, 3)$ . Cortes: $x = 0$ da $y = 3$ , punto $(0, 3)$ ; $y = 0$ da $x = -2$ , punto $(-2, 0)$ . Para $P(2,6)$ : $3 \times 2 - 2 \times 6 + 6 = 0$ , luego $P \in d$ . Para $Q(1,4)$ : $3 - 8 + 6 = 1 \neq 0$ , luego $Q \notin d$ .

Ejercicio 15.5 ★★

¿Están alineados los puntos $A(1, 2)$ , $B(4, 8)$ , $C(-2, -4)$ ? La misma pregunta para $D(0, 1)$ , $E(2, 4)$ , $F(5, 9)$ .

Solución

Solución de Ejercicio 15.5.

$\vect{AB}\,(3, 6)$ y $\vect{AC}\,(-3, -6)$ : $\det = 3 \times (-6) - (-3) \times 6 = 0$ , luego $A$ , $B$ , $C$ están alineados.

$\vect{DE}\,(2, 3)$ y $\vect{DF}\,(5, 8)$ : $\det = 2 \times 8 - 5 \times 3 = 1 \neq 0$ : $D$ , $E$ , $F$ no están alineados.

Ejercicio 15.6 ★★

Determina el punto de corte, si existe:

d: 2x + y - 7 = 0 \ \text{ y }\ d': x - y + 1 = 0; \qquad e: x - 2y + 3 = 0 \ \text{ y }\ e': -2x + 4y + 1 = 0 .

Solución

Solución de Ejercicio 15.6.

Primera pareja: sumando las dos ecuaciones, $(2x + y - 7) + (x - y + 1) = 3x - 6 = 0$ , luego $x = 2$ y después $y = x + 1 = 3$ : se cortan en $(2, 3)$ (comprobación: $4 + 3 - 7 = 0$ ).

Segunda pareja: $ab' - a'b = 1 \times 4 - (-2) \times (-2) = 0$ , así que las rectas son paralelas; multiplicando $e$ por $-2$ queda $-2x + 4y - 6 = 0$ , distinta de $e'$ ( $-6 \neq 1$ ): estrictamente paralelas, sin punto de corte.

Ejercicio 15.7 ★★

Da una representación paramétrica de la recta $d: 2x - y + 3 = 0$ y una ecuación general de la recta $\bigl\{(1 + 2t,\ -3 + t) : t \in \R\bigr\}$ .

Solución

Solución de Ejercicio 15.7.

Para $d: 2x - y + 3 = 0$ : dirección $(-b, a) = (1, 2)$ , y el punto $(0, 3)$ está en $d$ , así que $d = \{(t,\ 3 + 2t) : t \in \R\}$ .

Para la recta paramétrica que pasa por $(1, -3)$ con dirección $(2, 1)$ : $a = 1$ , $b = -2$ , luego $x - 2y + c = 0$ ; sustituyendo $(1, -3)$ : $1 + 6 + c = 0$ , $c = -7$ . Ecuación: $x - 2y - 7 = 0$ (comprobación con $t = 1$ , punto $(3, -2)$ : $3 + 4 - 7 = 0$ ).

Ejercicio 15.8 ★★

Halla la ecuación de la recta que pasa por $P(1, -2)$ y es paralela a $d: 4x - 3y + 2 = 0$ , y el valor de $m$ para el que la recta $mx + 2y - 5 = 0$ es paralela a $d$ .

Solución

Solución de Ejercicio 15.8.

Una recta paralela tiene los mismos $(a, b)$ : $4x - 3y + c = 0$ ; pasando por $P(1, -2)$ : $4 + 6 + c = 0$ , luego $c = -10$ y la recta es $4x - 3y - 10 = 0$ .

Que $mx + 2y - 5 = 0$ sea paralela a $d$ exige $ab' - a'b = 4 \times 2 - m \times (-3) = 8 + 3m = 0$ , luego $m = -\frac83$ .

Ejercicio 15.9 ★★

Sean $A(-1, 0)$ , $B(3, 2)$ y $C(1, -4)$ . Halla una ecuación general de la mediana del triángulo $ABC$ que parte de $C$ (la recta que une $C$ con el punto medio de $[AB]$ ).

Solución

Solución de Ejercicio 15.9.

El punto medio de $[AB]$ es $M\!\left(\frac{-1+3}{2}, \frac{0+2}{2}\right) = (1, 1)$ . La mediana es la recta $(CM)$ con $C(1, -4)$ : los dos puntos tienen abscisa $1$ , así que la mediana es la recta vertical

x - 1 = 0 .

Ejercicio 15.10 ★★

¿Para qué valor o valores del parámetro $m$ son colineales los vectores $\vec u\,(m, 2)$ y $\vec v\,(3, m - 1)$ ?

Solución

Solución de Ejercicio 15.10.

$\det(\vec u, \vec v) = m(m - 1) - 3 \times 2 = m^2 - m - 6$ . Se anula cuando $m^2 - m - 6 = 0$ : $\Delta = 1 + 24 = 25$ , raíces $m = \frac{1 \pm 5}{2}$ , es decir, $m = 3$ o $m = -2$ .

Ejercicio 15.11 ★★★

Sea $ABCD$ un paralelogramo, sea $I$ el punto medio de $[AB]$ y sea $J$ el punto definido por $\vect{DJ} = \frac23 \vect{DI}$ . Trabajando en el sistema de coordenadas en el que $A(0,0)$ , $B(1,0)$ , $D(0,1)$ (de modo que $C(1,1)$ ):

Calcula las coordenadas de $I$ y de $J$ .
Demuestra que $A$ , $J$ y $C$ están alineados. (Un hecho bonito: la recta $(DI)$ corta la diagonal $(AC)$ a un tercio de su longitud.)

Solución

Solución de Ejercicio 15.11.

1. $I = \left(\frac12, 0\right)$ . Entonces $\vect{DI} = \left(\frac12 - 0,\ 0 - 1\right) = \left(\frac12, -1\right)$ y $\vect{DJ} = \frac23\vect{DI} = \left(\frac13, -\frac23\right)$ , luego

J = D + \vect{DJ} = \left(\frac13,\ \frac13\right).

2. $\vect{AJ}\left(\frac13, \frac13\right)$ y $\vect{AC}\,(1, 1)$ : $\det = \frac13 \times 1 - 1 \times \frac13 = 0$ , así que $A$ , $J$ , $C$ están alineados; de hecho, $\vect{AJ} = \frac13\vect{AC}$ : la recta $(DI)$ corta la diagonal $(AC)$ exactamente a un tercio de su longitud desde $A$ .

15.7 Problema: Rumbos de colisión y coordenadas astutas

Problema 15.1

Problema de fin de semana — que dos rumbos se crucen no es chocar: la máxima aproximación en el mar y teoremas demostrados eligiendo bien el sistema de referencia

Los rumbos rectos de dos barcos se cruzan: ¿tienen que chocar? Solo si llegan al cruce al mismo tiempo: las trayectorias son conjuntos de puntos, los movimientos son paramétricos, y confundir ambas cosas ha hundido barcos de verdad. Este problema pone en marcha un pequeño servicio de tráfico marítimo sobre rectas paramétricas (Definición 15.13) y pasa después a la geometría pura con el otro superpoder de las coordenadas: elegirlas con astucia, como en el Ejercicio 15.11, para que los teoremas clásicos se demuestren solos.

Parte I — Rectas, de tres maneras.

Da una representación paramétrica de la recta que pasa por $A(1, 2)$ con vector director $\vec u(3, -1)$ y elimina después el parámetro para obtener una ecuación general.
Para la recta $2x - 5y + 3 = 0$ : lee un vector director (Teorema 15.9), halla un punto y escribe una representación paramétrica.
Calcula el punto de corte de las dos rectas de las preguntas 1 y 2 (Método 15.16).
Confirma con el determinante (Teorema 15.5) que esas dos rectas tenían que cortarse; y demuestra después que $2x - 5y + 3 = 0$ y $-4x + 10y + 1 = 0$ son estrictamente paralelas.
¿Están alineados $A(2, 1)$ , $B(5, 3)$ , $C(11, 7)$ (Método 15.7)?

Parte II — El servicio de tráfico marítimo. En el instante $t$ (en horas), el barco $P$ está en $(2t,\ 3 + t)$ y el barco $Q$ , en $(10 - t,\ 2t - 1)$ (distancias en millas náuticas).

Halla las ecuaciones generales de las dos trayectorias y calcula dónde se cruzan.
¿En qué instante pasa cada barco por el punto de cruce? ¿Chocan los barcos? Enuncia en una frase la advertencia general: trayectorias que se cruzan frente a movimientos que se encuentran.
Calcula la distancia al cuadrado $D^2(t)$ entre los barcos en el instante $t$ y redúcela a un polinomio de segundo grado en $t$ . ¿En qué instante están más cerca y a qué distancia llegan a estar (la tecnología del vértice del Problema 10.1)?
El reglamento exige una separación mínima de $1$ milla. ¿Se incumple? Si es así, resuelve $D^2(t) < 1$ y da la duración del incumplimiento.
Explica por qué, para dos barcos cualesquiera con rumbo recto y velocidad constante, $D^2(t)$ es siempre una función de segundo grado de $t$ , de manera que el “punto de máxima aproximación” es siempre un cálculo de vértice.
Intercepción: una patrullera parte del origen en $t = 0$ con velocidad constante $(a, b)$ y debe encontrarse con el barco $P$ exactamente en $t = 3$ . Calcula el $(a, b)$ necesario y la velocidad de la patrullera.

Parte III — Coordenadas astutas. Trabajamos en el sistema del Ejercicio 15.11: el paralelogramo $ABCD$ pasa a ser $A(0,0)$ , $B(1,0)$ , $C(1,1)$ , $D(0,1)$ ; sea $I$ el punto medio de $[AB]$ y $K$ el punto medio de $[CD]$ .

Calcula una ecuación general de la recta $(DI)$ .
Corta $(DI)$ con la diagonal $(AC)$ : recupera el hecho del Ejercicio 15.11, o sea, que el corte está exactamente a un tercio del recorrido de la diagonal.
Ahora la recta $(BK)$ : halla su ecuación, córtala con $(AC)$ y concluye el teorema clásico completo: las cevianas $(DI)$ y $(BK)$ dividen la diagonal $(AC)$ en tres partes iguales.
¿Por qué era legítimo demostrar el teorema en ese único sistema particular? (¿Qué conserva la elección de coordenadas y de qué habla el enunciado?) Responde en dos o tres frases.
Otra trisección para practicar: sea $E$ el punto medio de $[BC]$ . ¿Dónde corta la recta $(AE)$ a la otra diagonal $(DB)$ ?

Parte IV — Acertijos de posición.

¿Son concurrentes las tres rectas $x + y = 4$ , $2x - y = 2$ , $x - 2y = -2$ ? (Corta dos y prueba con la tercera.)
Para cada real $m$ , sea $d_m$ la recta $mx - y + 2 - 3m = 0$ . Demuestra que todas las $d_m$ pasan por un mismo punto fijo. (Agrupa los términos en $m$ .)
En la familia $(d_m)$ : ¿qué miembro es paralelo a $y = 2x + 7$ ? ¿Cuál pasa por el origen?
Final: los tres disfraces de una recta, el general (pertenencia resuelta con una sustitución), el explícito (pendiente y gráfica a la vista) y el paramétrico (movimiento, horarios, intercepción); el determinante como oráculo del paralelismo; y el sistema de referencia bien elegido como fábrica de teoremas. Una frase para cada uno.

Solución

Solución de Problema 15.1.

1. $x = 1 + 3t$ , $y = 2 - t$ . De la segunda, $t = 2 - y$ ; sustituyendo: $x = 1 + 3(2 - y) = 7 - 3y$ : ecuación general $x + 3y - 7 = 0$ .

2. Para $ax + by + c = 0$ , un vector director es $(-b, a)$ : aquí $(5, 2)$ . Un punto: $y = 1$ da $x = 1$ , o sea, $(1, 1)$ . Paramétrica: $x = 1 + 5t$ , $y = 1 + 2t$ .

3. Sustituyendo $x = 7 - 3y$ en $2x - 5y + 3 = 0$ : $14 - 6y - 5y + 3 = 0$ , luego $y = \frac{17}{11}$ y $x = 7 - \frac{51}{11} = \frac{26}{11}$ : el punto $\left(\frac{26}{11}, \frac{17}{11}\right)$ .

4. Direcciones $(5, 2)$ y $(3, -1)$ : $\det = 5 \times (-1) - 2 \times 3 = -11 \neq 0$ : se cortan, como se ha visto. Para la segunda pareja: las direcciones $(5, 2)$ y $(10, 4)$ tienen $\det = 0$ (paralelas) y, doblando $2x - 5y + 3 = 0$ , queda $-4x + 10y - 6 = 0 \neq -4x + 10y + 1 = 0$ : estrictamente paralelas.

5. $\vect{AB}(3, 2)$ , $\vect{AC}(9, 6)$ : $\det = 18 - 18 = 0$ : alineados.

6. $P$ : de $x = 2t$ , $y = 3 + t$ se obtiene $y = 3 + \frac x2$ . $Q$ : de $x = 10 - t$ , $t = 10 - x$ , luego $y = 2(10 - x) - 1 = 19 - 2x$ . Cruce: $3 + \frac x2 = 19 - 2x$ da $x = 6.4$ , $y = 6.2$ : las trayectorias se cruzan en $(6.4,\ 6.2)$ .

7. $P$ pasa por allí cuando $2t = 6.4$ : $t = 3.2$ h. $Q$ , cuando $10 - t = 6.4$ : $t = 3.6$ h. Veinticuatro minutos de diferencia: no hay colisión. Advertencia: una carta náutica muestra trayectorias; solo los relojes paramétricos dicen si dos movimientos ocupan el mismo punto en el mismo instante.

8. $D^2(t) = (3t - 10)^2 + (4 - t)^2 = 10t^2 - 68t + 116$ : vértice en $t = \frac{68}{20} = 3.4$ h, donde $D^2 = 0.4$ : la máxima aproximación es $D = \sqrt{0.4} \approx 0.63$ millas en $t = 3.4$ .

9. Se incumple: $0.63 < 1$ . $D^2(t) < 1$ se lee $10t^2 - 68t + 115 < 0$ : $\Delta = 4624 - 4600 = 24$ , raíces $\frac{68 \pm \sqrt{24}}{20} = 3.4 \pm 0.245$ : los barcos están demasiado cerca desde $t \approx 3.16$ hasta $t \approx 3.64$ , unos $29$ minutos de infracción. Uno de los dos tiene que cambiar de rumbo.

10. Cada coordenada de cada barco es una función afín de $t$ , así que cada diferencia de coordenadas es afín y $D^2$ , suma de dos cuadrados de funciones afines, es de segundo grado (con coeficiente principal no negativo). Por eso la máxima aproximación se lee siempre en un vértice.

11. Encontrarse con $P$ en $t = 3$ , es decir, en $(6, 6)$ : $(3a, 3b) = (6, 6)$ da $(a, b) = (2, 2)$ , con velocidad $\sqrt{8} \approx 2.8$ nudos.

12. $D(0, 1)$ , $I\left(\frac12, 0\right)$ : dirección $\left(\frac12, -1\right)$ , es decir, $(1, -2)$ : ecuación $2x + y = 1$ .

13. $(AC)$ : $y = x$ . Entonces $2x + x = 1$ : $x = \frac13$ : el punto $\left(\frac13, \frac13\right)$ , a un tercio del camino de $A$ a $C$ .

14. $B(1, 0)$ , $K\left(\frac12, 1\right)$ : dirección $\left(-\frac12, 1\right)$ , ecuación $2x + y = 2$ . Con $y = x$ : $x = \frac23$ : el punto $\left(\frac23, \frac23\right)$ . Las dos cevianas cortan $(AC)$ en sus dos puntos de trisección: teorema demostrado, dos veces tres líneas de aritmética.

15. Cualquier paralelogramo se lleva sobre el cuadrado unidad tomando $A$ como origen y $\vect{AB}$ y $\vect{AD}$ como unidades de los dos ejes. Esa elección conserva todo aquello de lo que habla el teorema (puntos medios, alineación y razones sobre una misma recta, todo expresable con vectores y escalares), así que demostrar el enunciado en el cuadrado lo demuestra para todo paralelogramo. (En cambio, no transportaría longitudes ni ángulos: eso sí lo deforma el sistema.)

16. $E\left(1, \frac12\right)$ : la recta $(AE)$ es $y = \frac x2$ . La diagonal $(DB)$ , de $(0,1)$ a $(1,0)$ , es $y = 1 - x$ . Corte: $\frac x2 = 1 - x$ : $x = \frac23$ : el punto $\left(\frac23, \frac13\right)$ , otra vez un punto de trisección, ahora de la otra diagonal. A las cevianas que salen de puntos medios les encantan los tercios.

17. Las dos primeras: $x + y = 4$ y $2x - y = 2$ dan $3x = 6$ : $(2, 2)$ . La tercera: $2 - 4 = -2$ : se cumple. Son concurrentes en $(2, 2)$ .

18. $mx - y + 2 - 3m = m(x - 3) + (2 - y) = 0$ : para que la igualdad valga para todo $m$ , hay que tomar $x = 3$ e $y = 2$ ; y, en efecto, todas las $d_m$ contienen a $(3, 2)$ . Es un haz de rectas por un punto, una recta por cada pendiente $m$ .

19. Paralela a $y = 2x + 7$ : pendiente $m = 2$ , la recta $2x - y - 4 = 0$ . Por el origen: $2 - 3m = 0$ : $m = \frac23$ .

20. General: sustituyes un punto y la pertenencia queda resuelta. Explícita: pendiente y ordenada en el origen a la vista, gráfica inmediata. Paramétrica: el reloj va incorporado, con colisiones, máxima aproximación e intercepción. El determinante: un producto cruzado y el paralelismo queda decidido. El sistema de referencia bien elegido: un paralelogramo se vuelve cuadrado unidad y un teorema clásico de trisección se vuelve tres cortes de rectas.

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