Matemáticas de secundaria · Grades 10–12

24Funciones trigonométricas

Las funciones $\cos$ y $\sin$ convierten la geometría de la circunferencia en análisis. Definidas enrollando la recta real sobre la circunferencia unidad, son el arquetipo de las funciones periódicas, y sus derivadas las convierten en soluciones de la ecuación de las oscilaciones $y'' = -y$ .

24.1 La circunferencia unidad

Definición 24.1 (Coseno y seno)

Sea $\mathcal{C}$ la circunferencia de radio 1 centrada en el origen de un sistema de coordenadas ortonormal. A cada real $t$ le asociamos el punto $M(t)$ que se obtiene enrollando una longitud $\abs{t}$ sobre $\mathcal{C}$ desde el punto $I(1,0)$ , en sentido antihorario si $t \geq 0$ y en sentido horario en caso contrario. Entonces $\cos t$ y $\sin t$ son las coordenadas de $M(t)$ :

M(t) = (\cos t, \sin t).

Como la circunferencia mide $2\pi$ , el punto $M(t)$ no cambia cuando $t$ aumenta en $2\pi$ ; y, como $M(t)$ está sobre la circunferencia unidad:

Proposición 24.2 (Identidades fundamentales)

Para todos $t \in \R$ y $k \in \Z$ :

\cos^2 t + \sin^2 t = 1, \qquad \cos(t + 2k\pi) = \cos t, \qquad \sin(t + 2k\pi) = \sin t,

\cos(-t) = \cos t, \qquad \sin(-t) = -\sin t,

\cos(\pi - t) = -\cos t, \quad \sin(\pi - t) = \sin t, \quad \cos\left(\tfrac{\pi}{2} - t\right) = \sin t, \quad \sin\left(\tfrac{\pi}{2} - t\right) = \cos t .

Demostración. La primera identidad es la ecuación de la circunferencia unidad; las demás expresan las simetrías de la circunferencia: $M(-t)$ es el simétrico de $M(t)$ respecto del eje $x$ , $M(\pi - t)$ lo es respecto del eje $y$ y $M(\frac\pi2 - t)$ , respecto de la recta $y = x$ . ∎

Los valores que hay que saberse de memoria:

$t$	$0$	$\dfrac{\pi}{6}$	$\dfrac{\pi}{4}$	$\dfrac{\pi}{3}$	$\dfrac{\pi}{2}$
[6pt] $\cos t$	$1$	$\dfrac{\sqrt3}{2}$	$\dfrac{\sqrt2}{2}$	$\dfrac12$	$0$
[6pt] $\sin t$	$0$	$\dfrac12$	$\dfrac{\sqrt2}{2}$	$\dfrac{\sqrt3}{2}$	$1$

Proposición 24.3 (Fórmulas de adición)

Para todos $a, b \in \R$ :

\begin{align*} \cos(a+b) &= \cos a \cos b - \sin a \sin b, & \sin(a+b) &= \sin a \cos b + \cos a \sin b,\\ \cos(a-b) &= \cos a \cos b + \sin a \sin b, & \sin(a-b) &= \sin a \cos b - \cos a \sin b. \end{align*}

En particular, $\cos 2a = 2\cos^2 a - 1 = 1 - 2\sin^2 a$ y $\sin 2a = 2 \sin a \cos a$ .

Demostración. Los vectores $\vect{u} = (\cos a, \sin a)$ y $\vect{v} = (\cos b, \sin b)$ son unitarios y forman un ángulo $a - b$ ; su producto escalar vale a la vez $\cos a\cos b + \sin a \sin b$ (por coordenadas) y $\norm{\vect u}\,\norm{\vect v}\cos(a-b) = \cos(a - b)$ (por geometría), que es la tercera fórmula. Sustituyendo $b$ por $-b$ se obtiene la primera; las fórmulas del seno se siguen usando $\sin x = \cos(\frac\pi2 - x)$ . Las fórmulas del ángulo doble son el caso $b = a$ combinado con $\cos^2 + \sin^2 = 1$ . ∎

24.2 Estudio analítico

Lema 24.4 (Límite fundamental)

\lim_{t \to 0} \frac{\sin t}{t} = 1 \qquad\text{y}\qquad \lim_{t \to 0} \frac{\cos t - 1}{t} = 0 .

Demostración. Para $0 < t < \frac{\pi}{2}$ , comparamos tres áreas en la circunferencia unidad: el triángulo $OIM(t)$ , el sector circular $OIM(t)$ y el triángulo rectángulo de base $OI$ y altura $\tan t$ :

\frac{\sin t}{2} \leq \frac{t}{2} \leq \frac{\tan t}{2}.

Las tres áreas encajadas: el triángulo OIM (en azul, de área t/2), el sector circular (limitado por el arco rojo, de área t/2) y el triángulo rectángulo de altura t (en naranja, de área t/2). — Las tres áreas encajadas: el triángulo $OIM$ (en azul, de área $\frac{\sin t}{2}$ ), el sector circular (limitado por el arco rojo, de área $\frac{t}{2}$ ) y el triángulo rectángulo de altura $\tan t$ (en naranja, de área $\frac{\tan t}{2}$ ).

La primera desigualdad da $\frac{\sin t}{t} \leq 1$ ; la segunda da $\cos t \leq \frac{\sin t}{t}$ . Cuando $t \to 0^+$ , $\cos t \to 1$ (por continuidad), y el teorema del sándwich da $\frac{\sin t}{t} \to 1$ ; la paridad lo extiende a $t \to 0$ . Para el segundo límite,

\frac{\cos t - 1}{t} = \frac{\cos^2 t - 1}{t(\cos t + 1)} = -\frac{\sin t}{t}\cdot\frac{\sin t}{\cos t + 1} \xrightarrow[t\to0]{} -1 \cdot \frac{0}{2} = 0. \qedhere

∎

Teorema 24.5 (Derivadas del seno y del coseno)

Las funciones $\sin$ y $\cos$ son derivables en $\R$ , con

(\sin)' = \cos, \qquad (\cos)' = -\sin .

Más en general, $(\sin(ax+b))' = a\cos(ax+b)$ y $(\cos(ax+b))' = -a\sin(ax+b)$ .

Demostración. Por las fórmulas de adición,

\frac{\sin(x+h) - \sin x}{h} = \sin x\,\frac{\cos h - 1}{h} + \cos x\,\frac{\sin h}{h} \xrightarrow[h\to0]{} \sin x \cdot 0 + \cos x \cdot 1 = \cos x,

usando el Lema 24.4. El cálculo para $\cos$ es idéntico, y la forma general se sigue de la regla de la cadena. ∎

Proposición 24.6 (Variación)

En $\intcc{0}{\pi}$ , $\cos$ decrece de $1$ a $-1$ . En $\intcc{-\frac\pi2}{\frac\pi2}$ , $\sin$ crece de $-1$ a $1$ . Las dos funciones son $2\pi$ -periódicas y tienen recorrido $\intcc{-1}{1}$ ; $\cos$ es par y $\sin$ es impar.

Demostración. En $\intoo{0}{\pi}$ , $(\cos)' = -\sin < 0$ , porque allí el punto $M(t)$ tiene ordenada positiva; y análogamente $(\sin)' = \cos > 0$ en $\intoo{-\frac\pi2}{\frac\pi2}$ . La periodicidad y la paridad vienen de la Proposición 24.2. ∎

Las curvas de (en azul) y de (en rojo). — Las curvas de $\cos$ (en azul) y de $\sin$ (en rojo).

Método 24.7 (Resolver $\cos x = a$ y $\sin x = a$ )

Para $a \in \intcc{-1}{1}$ , halla una solución particular $\alpha$ (de la tabla de valores o con la calculadora). Entonces todas las soluciones son:

\cos x = \cos\alpha \iff x = \alpha + 2k\pi \text{ o } x = -\alpha + 2k\pi, \quad k \in \Z;

\sin x = \sin\alpha \iff x = \alpha + 2k\pi \text{ o } x = \pi - \alpha + 2k\pi, \quad k \in \Z.

Para las inecuaciones, localiza los arcos solución sobre la circunferencia unidad y lee los intervalos dentro de un periodo.

Ejemplo 24.8

Resolvamos $\cos x = \frac12$ en $\intoc{-\pi}{\pi}$ : una solución particular es $\frac\pi3$ , así que las soluciones son $x = \frac\pi3$ y $x = -\frac\pi3$ . En todo $\R$ : $x = \pm\frac\pi3 + 2k\pi$ , $k \in \Z$ .

24.3 Ejercicios

Ejercicio 24.1 ★

Calcula $\cos\frac{2\pi}{3}$ , $\sin\frac{5\pi}{6}$ , $\cos\frac{7\pi}{4}$ y $\sin\left(-\frac{\pi}{3}\right)$ usando las identidades de la Proposición 24.2.

Solución

Solución de Ejercicio 24.1.

$\cos\frac{2\pi}{3} = \cos\left(\pi - \frac\pi3\right) = -\cos\frac\pi3 = -\frac12$ .

$\sin\frac{5\pi}{6} = \sin\left(\pi - \frac\pi6\right) = \sin\frac\pi6 = \frac12$ .

$\cos\frac{7\pi}{4} = \cos\left(2\pi - \frac{\pi}{4}\right) = \cos\left(-\frac\pi4\right) = \frac{\sqrt2}{2}$ .

$\sin\left(-\frac\pi3\right) = -\sin\frac\pi3 = -\frac{\sqrt3}{2}$ .

Ejercicio 24.2 ★

Deriva $f(x) = \sin^2 x$ , $g(x) = \cos(3x) + x\sin x$ y $h(x) = \dfrac{\sin x}{2 + \cos x}$ .

Solución

Solución de Ejercicio 24.2.

$f'(x) = 2\sin x\cos x = \sin 2x$ (regla de la cadena).

$g'(x) = -3\sin(3x) + \sin x + x\cos x$ (reglas de la cadena y del producto).

Regla del cociente:

h'(x) = \frac{\cos x\,(2 + \cos x) - \sin x\,(-\sin x)}{(2+\cos x)^2} = \frac{2\cos x + \cos^2 x + \sin^2 x}{(2+\cos x)^2} = \frac{2\cos x + 1}{(2+\cos x)^2}.

Ejercicio 24.3 ★

Resuelve en $\intoc{-\pi}{\pi}$ y después en $\R$ :

\text{(a) } \sin x = \frac{\sqrt3}{2}; \qquad \text{(b) } \cos\left(2x\right) = \frac{\sqrt2}{2} .

Solución

Solución de Ejercicio 24.3.

(a) Una solución particular de $\sin x = \frac{\sqrt3}{2}$ es $\frac\pi3$ . Soluciones generales: $x = \frac\pi3 + 2k\pi$ o $x = \pi - \frac\pi3 + 2k\pi = \frac{2\pi}{3} + 2k\pi$ . En $\intoc{-\pi}{\pi}$ : $x \in \left\{\frac\pi3, \frac{2\pi}{3}\right\}$ .

(b) $\cos 2x = \frac{\sqrt2}{2} = \cos\frac\pi4$ da $2x = \pm\frac\pi4 + 2k\pi$ , luego $x = \pm\frac\pi8 + k\pi$ . En $\intoc{-\pi}{\pi}$ : $x \in \left\{-\frac{7\pi}{8}, -\frac\pi8, \frac\pi8, \frac{7\pi}{8}\right\}$ .

Ejercicio 24.4 ★★

Usando las fórmulas de adición, calcula el valor exacto de $\cos\frac{\pi}{12}$ y de $\sin\frac{\pi}{12}$ . (Indicación: $\frac{\pi}{12} = \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{4}$ .)

Solución

Solución de Ejercicio 24.4.

Con $a = \frac\pi3$ y $b = \frac\pi4$ :

\cos\frac{\pi}{12} = \cos a\cos b + \sin a \sin b = \frac12\cdot\frac{\sqrt2}{2} + \frac{\sqrt3}{2}\cdot\frac{\sqrt2}{2} = \frac{\sqrt2 + \sqrt6}{4},

\sin\frac{\pi}{12} = \sin a\cos b - \cos a \sin b = \frac{\sqrt3}{2}\cdot\frac{\sqrt2}{2} - \frac12\cdot\frac{\sqrt2}{2} = \frac{\sqrt6 - \sqrt2}{4}.

Ejercicio 24.5 ★★

Resuelve en $\intcc{0}{2\pi}$ la inecuación $2\sin^2 x - \sin x - 1 \geq 0$ . (Indicación: factoriza el polinomio de segundo grado en $\sin x$ .)

Solución

Solución de Ejercicio 24.5.

Tomamos $s = \sin x$ : $2s^2 - s - 1 = (2s + 1)(s - 1) \geq 0$ si y solo si $s \leq -\frac12$ o $s = 1$ .

$\sin x = 1$ da $x = \frac\pi2$ . $\sin x \leq -\frac12$ : sobre la circunferencia unidad, el arco por debajo de la recta horizontal $y = -\frac12$ , que en $\intcc{0}{2\pi}$ es $x \in \intcc{\frac{7\pi}{6}}{\frac{11\pi}{6}}$ . Por tanto,

S = \left\{\frac{\pi}{2}\right\} \cup \intcc{\frac{7\pi}{6}}{\frac{11\pi}{6}} .

Ejercicio 24.6 ★★

Calcula los límites

\lim_{x\to0} \frac{\sin 3x}{x}, \qquad \lim_{x\to0} \frac{1 - \cos x}{x^2}, \qquad \lim_{x\to+\infty} x \sin\frac{1}{x}.

Solución

Solución de Ejercicio 24.6.

$\dfrac{\sin 3x}{x} = 3\,\dfrac{\sin 3x}{3x} \to 3 \cdot 1 = 3$ (por composición con $u = 3x \to 0$ ).

Usando $1 - \cos x = \dfrac{\sin^2 x}{1 + \cos x}$ :

\frac{1 - \cos x}{x^2} = \left(\frac{\sin x}{x}\right)^{\!2} \frac{1}{1 + \cos x} \xrightarrow[x\to0]{} 1 \cdot \frac12 = \frac12 .

Sustituyendo $u = \frac1x \to 0^+$ : $x \sin\frac1x = \frac{\sin u}{u} \to 1$ .

Ejercicio 24.7 ★★

Estudia la función $f(x) = x + \cos x$ en $\intcc{0}{2\pi}$ : variación y extremos. Demuestra que $f$ es creciente en $\R$ aunque $f'$ se anule en infinitos puntos.

Solución

Solución de Ejercicio 24.7.

$f'(x) = 1 - \sin x \geq 0$ para todo $x$ , con igualdad exactamente cuando $\sin x = 1$ , es decir, $x = \frac\pi2 + 2k\pi$ . En $\intcc{0}{2\pi}$ , $f$ crece de $f(0) = 1$ a $f(2\pi) = 2\pi + 1$ (el cero de $f'$ en $\frac{\pi}{2}$ está aislado, así que el crecimiento es incluso estricto); mínimo $1$ en $0$ y máximo $2\pi + 1$ en $2\pi$ . En $\R$ , $f' \geq 0$ en todas partes con ceros solo aislados, así que $f$ es (estrictamente) creciente por el Teorema 22.7, aunque $f'$ se anule en todos los $\frac\pi2 + 2k\pi$ .

Ejercicio 24.8 ★★★

Sea $f(x) = A\cos x + B \sin x$ con $(A,B) \neq (0,0)$ .

Demuestra que $f$ se puede escribir $f(x) = R\cos(x - \varphi)$ con $R = \sqrt{A^2 + B^2}$ y un $\varphi$ adecuado.
Deduce el máximo y el mínimo de $f$ y resuelve $\cos x + \sin x = 1$ en $\intoc{-\pi}{\pi}$ .

Solución

Solución de Ejercicio 24.8.

1. Sea $R = \sqrt{A^2 + B^2} > 0$ . El punto $\left(\frac AR, \frac BR\right)$ está en la circunferencia unidad, así que existe $\varphi$ con $\cos\varphi = \frac AR$ y $\sin\varphi = \frac BR$ . Entonces

R\cos(x - \varphi) = R\bigl(\cos x\cos\varphi + \sin x \sin\varphi\bigr) = A\cos x + B\sin x = f(x).

2. Como el recorrido de $\cos$ es $\intcc{-1}{1}$ , $f$ tiene máximo $R$ y mínimo $-R$ . Para $\cos x + \sin x$ : $A = B = 1$ , $R = \sqrt2$ y $\varphi = \frac\pi4$ , así que la ecuación queda $\sqrt2\cos\left(x - \frac\pi4\right) = 1$ , es decir, $\cos\left(x - \frac\pi4\right) = \frac{\sqrt2}{2}$ , lo que da $x - \frac\pi4 = \pm\frac\pi4 + 2k\pi$ : en $\intoc{-\pi}{\pi}$ , $x \in \left\{0, \frac\pi2\right\}$ .

Ejercicio 24.9 ★★★

Demuestra que $\sin$ y $\cos$ cumplen las dos la ecuación diferencial $y'' = -y$ . Recíprocamente, sea $y$ una solución de $y'' = -y$ con $y(0) = a$ e $y'(0) = b$ ; demuestra que $y = a\cos + b\sin$ . (Indicación: considera $g = (y - a\cos - b\sin)$ y la “energía” $E = g^2 + (g')^2$ .)

Solución

Solución de Ejercicio 24.9.

$(\sin)'' = (\cos)' = -\sin$ y $(\cos)'' = (-\sin)' = -\cos$ : las dos resuelven $y'' = -y$ .

Sea $g = y - a\cos - b\sin$ . Entonces $g'' = -g$ (por la linealidad de la derivación), $g(0) = y(0) - a = 0$ y $g'(0) = y'(0) - b = 0$ . Tomemos $E = g^2 + (g')^2$ . Entonces

E' = 2g g' + 2g' g'' = 2g g' - 2g' g = 0,

así que $E$ es constante e igual a $E(0) = 0$ . Una suma de dos cuadrados que se anula idénticamente obliga a $g = 0$ , luego $y = a\cos + b\sin$ .

24.4 Problema: El secreto del péndulo

Problema 24.1

Problema de fin de semana — un límite geométrico mueve las derivadas del seno y del coseno, y de ellas sale toda la oscilación: muelles, péndulos, pulsaciones y el metro que estuvo a punto de ser

Todos los relojes que han hecho tictac y todas las cuerdas que han sonado obedecen a las mismas matemáticas: una fuerza recuperadora proporcional al desplazamiento y, por tanto, la ecuación $y'' = -\omega^2 y$ y, por tanto, cosenos. En la base de todo ello se sienta un límite de aspecto inocente, $\frac{\sin x}{x} \to 1$ , prometido cursos atrás, usado por el Teorema 24.5 y demostrado aquí con un dibujo. Este problema sube desde ese límite hasta el vaivén de un péndulo de un metro y explica por qué el metro no está definido por él, por muy poco.

Parte I — El límite fundamental.

Calentamiento numérico: calcula $\frac{\sin x}{x}$ para $x = 0.1$ y $x = 0.01$ (¡en radianes!).
El sándwich, en la circunferencia unidad con $0 < x < \frac\pi2$ : expresa por geometría elemental las áreas de (i) el triángulo de vértices $O$ , $A(1,0)$ y el punto de la circunferencia $M(\cos x, \sin x)$ ; (ii) el sector circular $OAM$ ; (iii) el triángulo rectángulo $OAT$ con $T(1, \tan x)$ .
Del sándwich de áreas deduce $\sin x < x < \tan x$ y después $\cos x < \frac{\sin x}{x} < 1$ , y concluye con el teorema del sándwich que $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ (la paridad se ocupa de $x < 0$ ).
Deduce $\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2} = \frac12$ (multiplica por el conjugado).
Explica por qué este límite es el motor del Teorema 24.5 (¿cuánto vale $\sin'(0)$ ?) y por qué salda además una vieja deuda: ¿en qué sentido son los radianes la única unidad de ángulo con la que $\sin' = \cos$ se cumple sin constantes?

Parte II — Movimiento armónico.

Comprueba con la regla de la cadena que $y(t) = R\cos(\omega t - \varphi)$ cumple $y'' = -\omega^2 y$ .
Una masa sujeta a un muelle cumple $y'' = -4y$ , con $y(0) = 3$ e $y'(0) = 8$ . Admitiendo (por el Ejercicio 24.9) que todas las soluciones son $A\cos 2t + B\sin 2t$ , determina $A$ y $B$ .
Reescribe la solución como $R\cos(2t - \varphi)$ (Ejercicio 24.8): da la amplitud $R$ , el periodo y la fase $\varphi$ (con tres decimales).
¿En qué instante pasa la masa por primera vez por la posición de equilibrio $y = 0$ ?
El péndulo: una lenteja colgada de un hilo de longitud $L$ cumple exactamente $\theta'' = -\frac gL \sin\theta$ , que no se resuelve con funciones elementales. Para oscilaciones pequeñas, sustituye $\sin\theta$ por $\theta$ (¡la Parte I lo justifica!) y deduce el periodo $T = 2\pi\sqrt{\frac Lg}$ . Calcula $T$ para $L = 1$ m ( $g = 9.81$ ): el famoso descubrimiento de Galileo. ¿De qué no depende la fórmula?
El péndulo de segundos: ¿qué longitud da exactamente $T = 2$ s? La Academia de Ciencias francesa de 1791 dudó entre esa longitud y la diezmillonésima parte del cuadrante del meridiano para definir el metro: ¿en cuántos milímetros se diferencian los dos candidatos?

Parte III — Las fórmulas de adición en acción.

Demuestra con las fórmulas de adición (Proposición 24.3) que $\cos\left(x + \frac\pi2\right) = -\sin x$ y $\sin\left(x + \frac\pi2\right) = \cos x$ : derivar es girar un cuarto de vuelta sobre la circunferencia; comprueba la coherencia con el Teorema 24.5.
Deduce la identidad de producto a suma $\cos a \cos b = \frac12\left(\cos(a - b) + \cos(a + b)\right)$ y la linealización $\cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}$ (el capítulo de integración te lo agradecerá).
Pulsaciones: deduce $\sin p + \sin q = 2 \sin\frac{p + q}{2}\cos\frac{p - q}{2}$ y aplícalo a dos diapasones de $440$ y $444$ Hz: ¿qué tono oye el oído y cuántas pulsaciones por segundo? (Así es como afinan las orquestas.)
Deduce la identidad del ángulo triple $\cos 3x = 4\cos^3 x - 3\cos x$ (escribe $3x = 2x + x$ ). Tomando $x = 20^\circ$ , ¿qué ecuación de tercer grado debe cumplir $\cos 20^\circ$ ? (Que esa ecuación no se pueda resolver solo con raíces cuadradas es precisamente la razón de que la trisección del ángulo derrotara a la regla y el compás durante dos milenios; la historia completa se cuenta en los volúmenes universitarios.)
Una corriente alterna vale $I(t) = 3\cos(100\pi t) + 3\sqrt3 \sin(100\pi t)$ . Reescríbela como $R\cos(100\pi t - \varphi)$ : ¿corriente de pico y fase?

Parte IV — El mundo que oscila.

Periodos: ¿cuál es el periodo (mínimo) de $\sin^2 t$ (usa la pregunta 13)? ¿Y el de $\sin(2t) + \sin(3t)$ ?
Un péndulo real se amortigua: $y(t) = \eu^{-t/10}\cos(2\pi t)$ . Describe el movimiento, calcula el valor de la envolvente en $t = 10$ (aparece un viejo conocido, Problema 23.1) y nombra el capítulo donde se resuelven las ecuaciones con soluciones de ese tipo.
¿Por qué gobiernan los senos y los cosenos todas las vibraciones? Da en dos frases el diccionario de la física a las matemáticas (fuerza recuperadora proporcional al desplazamiento $\rightarrow$ qué ecuación $\rightarrow$ qué soluciones) y di qué aporta a la afirmación el Ejercicio 24.9.
Final: el arco del capítulo en cuatro pasos: un límite geométrico, dos derivadas, una ecuación diferencial y toda la oscilación. Y el asterisco honrado: para oscilaciones grandes, el periodo verdadero del péndulo involucra una integral elíptica que se calcula a la velocidad del rayo con … la media aritmético-geométrica de Gauss, el postre del Problema 20.1. Los hilos de la serie se anudan solos.

Solución

Solución de Problema 24.1.

1. $0.99833\ldots$ y $0.99998\ldots$ : acercándose a $1$ .

2. Triángulo $OAM$ : base $1$ y altura $\sin x$ : área $\frac{\sin x}{2}$ . Sector $OAM$ : la fracción $\frac{x}{2\pi}$ del círculo unidad: área $\frac x2$ . Triángulo $OAT$ : base $1$ y altura $\tan x$ : área $\frac{\tan x}{2}$ .

3. El triángulo está dentro del sector y este, dentro del triángulo grande: $\frac{\sin x}{2} < \frac x2 < \frac{\tan x}{2}$ , es decir, $\sin x < x < \tan x$ . De $\sin x < x$ se sigue $\frac{\sin x}{x} < 1$ ; y de $x < \tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$ , multiplicando por $\frac{\cos x}{x} > 0$ , se sigue $\cos x < \frac{\sin x}{x}$ . Cuando $x \to 0^+$ , $\cos x \to 1$ : por el sándwich, $\frac{\sin x}{x} \to 1$ ; y $\frac{\sin x}{x}$ es par, así que el límite bilateral también es $1$ .

4. $\frac{1 - \cos x}{x^2} = \frac{1 - \cos^2 x}{x^2 (1 + \cos x)} = \left(\frac{\sin x}{x}\right)^2 \frac{1}{1 + \cos x} \to 1 \times \frac12$ .

5. $\sin'(0) = \lim_{h \to 0} \frac{\sin h - 0}{h} = 1$ : toda la derivación del seno y del coseno mana de ese único límite. Medido en grados, el límite sería $\frac{\pi}{180}$ y todas las derivadas arrastrarían esa constante: los radianes son exactamente la unidad que deja limpio el cálculo de las oscilaciones.

6. $y' = -R\omega\sin(\omega t - \varphi)$ e $y'' = -R\omega^2\cos(\omega t - \varphi) = -\omega^2 y$ .

7. $\omega = 2$ . $y(0) = A = 3$ ; $y'(0) = 2B = 8$ : $B = 4$ : $y = 3\cos 2t + 4\sin 2t$ .

8. $R = \sqrt{9 + 16} = 5$ ; periodo $\frac{2\pi}{2} = \pi$ ; fase $\varphi = \arctan\frac43 \approx 0.927$ : $y = 5\cos(2t - 0.927)$ .

9. $5\cos(2t - \varphi) = 0$ por primera vez cuando $2t - \varphi = \frac\pi2$ : $t = \frac{\pi/2 + 0.927}{2} \approx 1.25$ s.

10. Con $\sin\theta \approx \theta$ : $\theta'' = -\frac gL \theta$ : armónico con $\omega = \sqrt{\frac gL}$ y periodo $T = \frac{2\pi}{\omega} = 2\pi\sqrt{\frac Lg}$ . Para $L = 1$ : $T \approx 2.006$ s. El periodo no depende de la amplitud (con oscilaciones pequeñas): el isocronismo de Galileo, el hecho que hace posibles los relojes de péndulo.

11. $L = g\left(\frac{T}{2\pi}\right)^2 = \frac{9.81}{\pi^2} \approx 0.994$ m: el péndulo de segundos se queda unos $6$ mm por debajo del metro del meridiano. La Academia eligió el meridiano (la gravedad varía de un lugar a otro y delata al péndulo); si $g$ hubiera sido un pelo mayor, nuestro metro haría tictac.

12. $\cos\left(x + \frac\pi2\right) = \cos x \cos\frac\pi2 - \sin x \sin\frac\pi2 = -\sin x$ ; $\sin\left(x + \frac\pi2\right) = \cos x$ . Así que derivar el seno lo desplaza un cuarto de vuelta ( $\cos$ ), y otra vez ( $-\sin$ ), y otra, y vuelve a casa en cuatro pasos: derivar hace girar la circunferencia.

13. Sumando los dos desarrollos de $\cos(a \mp b)$ : $\cos(a-b) + \cos(a+b) = 2\cos a\cos b$ . Con $a = b = x$ : $1 + \cos 2x = 2\cos^2 x$ , es decir, $\cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}$ .

14. Con $p = \frac{p+q}{2} + \frac{p-q}{2}$ y $q$ su reflejo, desarrollando y sumando: $\sin p + \sin q = 2\sin\frac{p+q}{2}\cos\frac{p-q}{2}$ . Para $440$ y $444$ Hz: un tono de $442$ Hz cuya intensidad queda modulada por $\cos(2\pi \cdot 2t)$ ; la intensidad alcanza su máximo $4$ veces por segundo (por el valor absoluto de la envolvente): cuatro pulsaciones por segundo, que se apagan cuando los diapasones coinciden.

15. $\cos 3x = \cos 2x\cos x - \sin 2x \sin x = (2\cos^2 x - 1)\cos x - 2\sin^2 x\cos x = 4\cos^3 x - 3\cos x$ . En $x = 20^\circ$ : $\cos 60^\circ = \frac12$ , luego $c = \cos 20^\circ$ cumple $8c^3 - 6c - 1 = 0$ : una ecuación de tercer grado sin solución por raíces cuadradas; construir $20^\circ$ , es decir, trisecar $60^\circ$ , queda fuera del alcance de la regla y el compás.

16. $R = \sqrt{9 + 27} = 6$ ; $\tan\varphi = \frac{3\sqrt3}{3} = \sqrt3$ : $\varphi = \frac\pi3$ : $I(t) = 6\cos\left(100\pi t - \frac\pi3\right)$ : pico de $6$ amperios y desfase de $60^\circ$ .

17. $\sin^2 t = \frac{1 - \cos 2t}{2}$ : periodo $\pi$ . $\sin 2t$ tiene periodo $\pi$ y $\sin 3t$ , $\frac{2\pi}{3}$ : la suma se repite tras el mínimo común múltiplo, $2\pi$ .

18. Una oscilación de periodo $1$ dentro de la envolvente menguante $\pm\eu^{-t/10}$ : cada vaivén, un $10\,\%$ más bajo. En $t = 10$ la envolvente vale $\eu^{-1} \approx 0.368$ : otra vez la constante del Problema 23.1. Las ecuaciones con soluciones amortiguadas así ( $y'' + a y' + b y = 0$ ) se resuelven en el capítulo de ecuaciones diferenciales.

19. Una fuerza que tira hacia atrás proporcionalmente al desplazamiento da $y'' = -\omega^2 y$ ; y el Ejercicio 24.9 muestra que las soluciones de esa ecuación son exactamente las combinaciones de $\cos$ y $\sin$ : existencia por exhibición y unicidad por el ejercicio; a la vibración no le queda más remedio que ser sinusoidal.

20. Un límite ( $\frac{\sin x}{x} \to 1$ , por áreas encajadas), dos derivadas ( $\sin' = \cos$ , $\cos' = -\sin$ ), una ecuación ( $y'' = -\omega^2 y$ ) y un mundo de relojes, cuerdas, corrientes y mareas. Asterisco: para oscilaciones amplias, $T = 4\sqrt{\frac Lg} \cdot \frac{\pi/2}{M(1, \cos(\theta_0/2))}$ : la media aritmético-geométrica del Problema 20.1 calcula la integral elíptica en un puñado de iteraciones; la entrada del diario de Gauss y el péndulo de Galileo, a una fórmula de distancia.

Términos definidos en este capítulo

Coseno y seno

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