Matemáticas de secundaria · Grades 10–12

24Funciones trigonométricas

El funciones $\cos$ y $\sin$ convierten la geometría del círculo en análisis. Definidos enrollando la línea real alrededor del círculo unitario, son el arquetipo del periódico funciones, y su derivados los hacen Soluciones del ecuación de oscilaciones $y'' = -y$ .

24.1 El círculo unitario

Definición 24.1 (Coseño y seno)

Sea $\mathcal{C}$ el círculo de radio 1 con centro en el origen de un ortonormal sistema de coordenadas. A cada $t$ real asociar el punto $M(t)$ obtenido enrollando una longitud $\abs{t}$ a lo largo de $\mathcal{C}$ desde el punto $I(1,0)$ , en sentido antihorario si es $t \geq 0$ y en sentido horario en caso contrario. entonces $\cos t$ and $\sin t$ are the coordinates of $M(t)$ :

M(t) = (\cos t, \sin t).

Dado que el círculo tiene circunferencia $2\pi$ , el punto $M(t)$ no cambia cuando $t$ aumenta en $2\pi$ ; y dado que $M(t)$ se encuentra en el círculo unitario:

Proposición 24.2 (Identidades fundamentales)

Para todos los $t \in \R$ y $k \in \Z$ :

\cos^2 t + \sin^2 t = 1, \qquad \cos(t + 2k\pi) = \cos t, \qquad \sin(t + 2k\pi) = \sin t,

\cos(-t) = \cos t, \qquad \sin(-t) = -\sin t,

\cos(\pi - t) = -\cos t, \quad \sin(\pi - t) = \sin t, \quad \cos\left(\tfrac{\pi}{2} - t\right) = \sin t, \quad \sin\left(\tfrac{\pi}{2} - t\right) = \cos t .

Demostración. La primera identidad es ecuación del círculo unitario; los demás expresan el simetrías del círculo: $M(-t)$ es el reflejo de $M(t)$ en el $x$ -eje, $M(\pi - t)$ en el eje $y$ y $M(\frac\pi2 - t)$ en la línea $y = x$ . ∎

Los valores a saber de memoria:

$t$	$0$	$\dfrac{\pi}{6}$	$\dfrac{\pi}{4}$	$\dfrac{\pi}{3}$	$\dfrac{\pi}{2}$
[6pt] $\cos t$	$1$	$\dfrac{\sqrt3}{2}$	$\dfrac{\sqrt2}{2}$	$\dfrac12$	$0$
[6pt] $\sin t$	$0$	$\dfrac12$	$\dfrac{\sqrt2}{2}$	$\dfrac{\sqrt3}{2}$	$1$

Proposición 24.3 (Fórmulas de suma)

Para todos los $a, b \in \R$ :

\begin{align*} \cos(a+b) &= \cos a \cos b - \sin a \sin b, & \sin(a+b) &= \sin a \cos b + \cos a \sin b,\\ \cos(a-b) &= \cos a \cos b + \sin a \sin b, & \sin(a-b) &= \sin a \cos b - \cos a \sin b. \end{align*}

En particular $\cos 2a = 2\cos^2 a - 1 = 1 - 2\sin^2 a$ y $\sin 2a = 2 \sin a \cos a$ .

Demostración. El vectores $\vect{u} = (\cos a, \sin a)$ y $\vect{v} = (\cos b, \sin b)$ son la unidad vectores formando un ángulo $a - b$ ; su producto escalar es igual a ambos $\cos a\cos b + \sin a \sin b$ (coordenadas) y $\norm{\vect u}\,\norm{\vect v}\cos(a-b) = \cos(a - b)$ (geometría), que es la tercera fórmula. Reemplazar $b$ por $-b$ da el primero; las fórmulas seno siga usando $\sin x = \cos(\frac\pi2 - x)$ . Las fórmulas de duplicación son las caso $b = a$ combinado con $\cos^2 + \sin^2 = 1$ . ∎

24.2 estudio analítico

Lema 24.4 (límite fundamental)

\lim_{t \to 0} \frac{\sin t}{t} = 1 \qquad\text{and}\qquad \lim_{t \to 0} \frac{\cos t - 1}{t} = 0 .

Demostración. Para $0 < t < \frac{\pi}{2}$ , compare tres áreas en el círculo unitario: la el triángulo $OIM(t)$ , el sector circular $OIM(t)$ y el triángulo rectángulo con base $OI$ y altura $\tan t$ :

\frac{\sin t}{2} \leq \frac{t}{2} \leq \frac{\tan t}{2}.

Las tres áreas anidadas: el triángulo OIM (azul, área t/2), el sector circular (delimitado por el arco rojo, área t/2), y el triángulo rectángulo de altura t (naranja, área t/2). — Las tres áreas anidadas: el triángulo $OIM$ (azul, área $\frac{\sin t}{2}$ ), el sector circular (delimitado por el arco rojo, área $\frac{t}{2}$ ), y el triángulo rectángulo de altura $\tan t$ (naranja, área $\frac{\tan t}{2}$ ).

La primera desigualdad da $\frac{\sin t}{t} \leq 1$ ; el segundo da $\cos t \leq \frac{\sin t}{t}$ . Como $t \to 0^+$ , $\cos t \to 1$ (continuidad), y el teorema de compresión produce $\frac{\sin t}{t} \to 1$ ; la paridad extiende esto a $t \to 0$ . Para el segundo límite,

\frac{\cos t - 1}{t} = \frac{\cos^2 t - 1}{t(\cos t + 1)} = -\frac{\sin t}{t}\cdot\frac{\sin t}{\cos t + 1} \xrightarrow[t\to0]{} -1 \cdot \frac{0}{2} = 0. \qedhere

∎

Teorema 24.5 (Derivadas de seno y coseno)

Los funciones $\sin$ y $\cos$ son diferenciable en $\R$ , con

(\sin)' = \cos, \qquad (\cos)' = -\sin .

De manera más general, $(\sin(ax+b))' = a\cos(ax+b)$ y $(\cos(ax+b))' = -a\sin(ax+b)$ .

Demostración. Por las fórmulas de suma,

\frac{\sin(x+h) - \sin x}{h} = \sin x\,\frac{\cos h - 1}{h} + \cos x\,\frac{\sin h}{h} \xrightarrow[h\to0]{} \sin x \cdot 0 + \cos x \cdot 1 = \cos x,

utilizando Lema 24.4. El cálculo para $\cos$ es idéntico, y la forma general se deriva de la regla de la cadena. ∎

Proposición 24.6 (variaciones)

En $\intcc{0}{\pi}$ , $\cos$ disminuye de $1$ a $-1$ . encendido $\intcc{-\frac\pi2}{\frac\pi2}$ , $\sin$ aumenta de $-1$ a $1$ . ambos funciones son periódicos $2\pi$ y tienen rangos $\intcc{-1}{1}$ ; $\cos$ es par, $\sin$ es impar.

Demostración. En $\intoo{0}{\pi}$ , $(\cos)' = -\sin < 0$ desde el punto $M(t)$ tiene positivo ordenada allí; de manera similar $(\sin)' = \cos > 0$ en $\intoo{-\frac\pi2}{\frac\pi2}$ . La periodicidad y la paridad provienen de Proposición 24.2. ∎

Las curvas de (azul) y (rojo). — Las curvas de $\cos$ (azul) y $\sin$ (rojo).

Método 24.7 (Resolviendo $\cos x = a$ y $\sin x = a$ )

Para $a \in \intcc{-1}{1}$ , busque una solución particular $\alpha$ (de la tabla de valores o una calculadora). Entonces todas las soluciones son:

\cos x = \cos\alpha \iff x = \alpha + 2k\pi \text{ or } x = -\alpha + 2k\pi, \quad k \in \Z;

\sin x = \sin\alpha \iff x = \alpha + 2k\pi \text{ or } x = \pi - \alpha + 2k\pi, \quad k \in \Z.

Para desigualdades, ubique los arcos solución en el círculo unitario y lea el intervalos dentro de un período.

Ejemplo 24.8

Resolver $\cos x = \frac12$ en $\intoc{-\pi}{\pi}$ : una solución particular es $\frac\pi3$ , por lo que las soluciones son $x = \frac\pi3$ y $x = -\frac\pi3$ . En todo $\R$ : $x = \pm\frac\pi3 + 2k\pi$ , $k \in \Z$ .

24.3 Ceremonias

Ejercicio 24.1 ★

Calcule $\cos\frac{2\pi}{3}$ , $\sin\frac{5\pi}{6}$ , $\cos\frac{7\pi}{4}$ y $\sin\left(-\frac{\pi}{3}\right)$ usando las identidades de Proposición 24.2.

Solución

Solución de Ejercicio 24.1.

$\cos\frac{2\pi}{3} = \cos\left(\pi - \frac\pi3\right) = -\cos\frac\pi3 = -\frac12$ .

$\sin\frac{5\pi}{6} = \sin\left(\pi - \frac\pi6\right) = \sin\frac\pi6 = \frac12$ .

$\cos\frac{7\pi}{4} = \cos\left(2\pi - \frac{\pi}{4}\right) = \cos\left(-\frac\pi4\right) = \frac{\sqrt2}{2}$ .

$\sin\left(-\frac\pi3\right) = -\sin\frac\pi3 = -\frac{\sqrt3}{2}$ .

Ejercicio 24.2 ★

Diferenciar $f(x) = \sin^2 x$ , $g(x) = \cos(3x) + x\sin x$ y $h(x) = \dfrac{\sin x}{2 + \cos x}$ .

Solución

Solución de Ejercicio 24.2.

$f'(x) = 2\sin x\cos x = \sin 2x$ (regla de la cadena).

$g'(x) = -3\sin(3x) + \sin x + x\cos x$ (reglas de cadena y producto).

Regla del cociente:

h'(x) = \frac{\cos x\,(2 + \cos x) - \sin x\,(-\sin x)}{(2+\cos x)^2} = \frac{2\cos x + \cos^2 x + \sin^2 x}{(2+\cos x)^2} = \frac{2\cos x + 1}{(2+\cos x)^2}.

Ejercicio 24.3 ★

Resuelva en $\intoc{-\pi}{\pi}$ , luego en $\R$ :

\text{(a) } \sin x = \frac{\sqrt3}{2}; \qquad \text{(b) } \cos\left(2x\right) = \frac{\sqrt2}{2} .

Solución

Solución de Ejercicio 24.3.

(a) Una solución particular de $\sin x = \frac{\sqrt3}{2}$ es $\frac\pi3$ . Soluciones generales: $x = \frac\pi3 + 2k\pi$ o $x = \pi - \frac\pi3 + 2k\pi = \frac{2\pi}{3} + 2k\pi$ . en $\intoc{-\pi}{\pi}$ : $x \in \left\{\frac\pi3, \frac{2\pi}{3}\right\}$ .

(b) $\cos 2x = \frac{\sqrt2}{2} = \cos\frac\pi4$ da $2x = \pm\frac\pi4 + 2k\pi$ , entonces $x = \pm\frac\pi8 + k\pi$ . en $\intoc{-\pi}{\pi}$ : $x \in \left\{-\frac{7\pi}{8}, -\frac\pi8, \frac\pi8, \frac{7\pi}{8}\right\}$ .

Ejercicio 24.4 ★★

Usando las fórmulas de suma, calcule el valor exacto de $\cos\frac{\pi}{12}$ y $\sin\frac{\pi}{12}$ . (Pista: $\frac{\pi}{12} = \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{4}$ .)

Solución

Solución de Ejercicio 24.4.

Con $a = \frac\pi3$ , $b = \frac\pi4$ :

\cos\frac{\pi}{12} = \cos a\cos b + \sin a \sin b = \frac12\cdot\frac{\sqrt2}{2} + \frac{\sqrt3}{2}\cdot\frac{\sqrt2}{2} = \frac{\sqrt2 + \sqrt6}{4},

\sin\frac{\pi}{12} = \sin a\cos b - \cos a \sin b = \frac{\sqrt3}{2}\cdot\frac{\sqrt2}{2} - \frac12\cdot\frac{\sqrt2}{2} = \frac{\sqrt6 - \sqrt2}{4}.

Ejercicio 24.5 ★★

Resuelva en $\intcc{0}{2\pi}$ la desigualdad $2\sin^2 x - \sin x - 1 \geq 0$ . (Pista: factoriza la cuadrática en $\sin x$ ).

Solución

Solución de Ejercicio 24.5.

Establecer $s = \sin x$ : $2s^2 - s - 1 = (2s + 1)(s - 1) \geq 0$ si y así $s \leq -\frac12$ o $s = 1$ .

$\sin x = 1$ da $x = \frac\pi2$ . $\sin x \leq -\frac12$ : en la unidad círculo, el arco debajo de la línea horizontal $y = -\frac12$ , que en $\intcc{0}{2\pi}$ es $x \in \intcc{\frac{7\pi}{6}}{\frac{11\pi}{6}}$ . Por lo tanto

S = \left\{\frac{\pi}{2}\right\} \cup \intcc{\frac{7\pi}{6}}{\frac{11\pi}{6}} .

Ejercicio 24.6 ★★

Calcular los límites

\lim_{x\to0} \frac{\sin 3x}{x}, \qquad \lim_{x\to0} \frac{1 - \cos x}{x^2}, \qquad \lim_{x\to+\infty} x \sin\frac{1}{x}.

Solución

Solución de Ejercicio 24.6.

$\dfrac{\sin 3x}{x} = 3\,\dfrac{\sin 3x}{3x} \to 3 \cdot 1 = 3$ (composición con $u = 3x \to 0$ ).

Usando $1 - \cos x = \dfrac{\sin^2 x}{1 + \cos x}$ :

\frac{1 - \cos x}{x^2} = \left(\frac{\sin x}{x}\right)^{\!2} \frac{1}{1 + \cos x} \xrightarrow[x\to0]{} 1 \cdot \frac12 = \frac12 .

Sustituyendo $u = \frac1x \to 0^+$ : $x \sin\frac1x = \frac{\sin u}{u} \to 1$ .

Ejercicio 24.7 ★★

Estudie el función $f(x) = x + \cos x$ sobre $\intcc{0}{2\pi}$ : variaciones y extremos. Muestre que $f$ es creciente en $\R$ aunque $f'$ desaparece en infinitos puntos.

Solución

Solución de Ejercicio 24.7.

$f'(x) = 1 - \sin x \geq 0$ para todos los $x$ , con igualdad exactamente cuando $\sin x = 1$ , i.e. $x = \frac\pi2 + 2k\pi$ . En $\intcc{0}{2\pi}$ , $f$ es creciente de $f(0) = 1$ a $f(2\pi) = 2\pi + 1$ (el cero de $f'$ en $\frac{\pi}{2}$ está aislado, por lo que el aumento es incluso estricto); mínimo $1$ en $0$ , máximo $2\pi + 1$ y $2\pi$ . En $\R$ , $f' \geq 0$ en todas partes con solo ceros aislados, por lo que $f$ es (estrictamente) creciente por Teorema 22.7, aunque $f'$ desaparece en cada $\frac\pi2 + 2k\pi$ .

Ejercicio 24.8 ★★★

Deje $f(x) = A\cos x + B \sin x$ con $(A,B) \neq (0,0)$ .

Demuestre que $f$ se puede escribir $f(x) = R\cos(x - \varphi)$ con $R = \sqrt{A^2 + B^2}$ y un $\varphi$ adecuado.
Deduce el máximo y el mínimo de $f$ y resuelve $\cos x + \sin x = 1$ en $\intoc{-\pi}{\pi}$ .

Solución

Solución de Ejercicio 24.8.

1. Vamos $R = \sqrt{A^2 + B^2} > 0$ . el punto $\left(\frac AR, \frac BR\right)$ se encuentra en el círculo unitario, por lo que existe $\varphi$ con $\cos\varphi = \frac AR$ y $\sin\varphi = \frac BR$ . entonces

R\cos(x - \varphi) = R\bigl(\cos x\cos\varphi + \sin x \sin\varphi\bigr) = A\cos x + B\sin x = f(x).

2. Dado que $\cos$ tiene el rango $\intcc{-1}{1}$ , $f$ tiene máximo $R$ y mínimo $-R$ . Para $\cos x + \sin x$ : $A = B = 1$ , $R = \sqrt2$ , $\varphi = \frac\pi4$ , por lo que ecuación se convierte en $\sqrt2\cos\left(x - \frac\pi4\right) = 1$ , i.e. $\cos\left(x - \frac\pi4\right) = \frac{\sqrt2}{2}$ , dando $x - \frac\pi4 = \pm\frac\pi4 + 2k\pi$ : en $\intoc{-\pi}{\pi}$ , $x \in \left\{0, \frac\pi2\right\}$ .

Ejercicio 24.9 ★★★

Demuestre que $\sin$ y $\cos$ satisfacen el diferencial ecuación. $y'' = -y$ . Por el contrario, sea $y$ una solución de $y'' = -y$ con $y(0) = a$ y $y'(0) = b$ ; muestra que $y = a\cos + b\sin$ . (Pista: considere $g = (y - a\cos - b\sin)$ y la “energía” $E = g^2 + (g')^2$ .)

Solución

Solución de Ejercicio 24.9.

$(\sin)'' = (\cos)' = -\sin$ y $(\cos)'' = (-\sin)' = -\cos$ : ambos resuelven $y'' = -y$ .

Deje $g = y - a\cos - b\sin$ . Entonces $g'' = -g$ (linealidad de diferenciación), $g(0) = y(0) - a = 0$ y $g'(0) = y'(0) - b = 0$ . conjunto $E = g^2 + (g')^2$ . entonces

E' = 2g g' + 2g' g'' = 2g g' - 2g' g = 0,

entonces $E$ es una constante igual a $E(0) = 0$ . Una suma de dos cuadrados que desaparece. fuerza de manera idéntica a $g = 0$ , por lo tanto $y = a\cos + b\sin$ .

24.4 Problema: el secreto del péndulo

Problema 24.1

Problema de fin de semana — un límite geométrico de potencias las derivadas del seno y el coseno, y de ellas todas oscilación: resorts, péndulos, latidos y el metro que casi época

Cada reloj que alguna vez hizo tictac, cada cuerda que alguna vez sonó, obedece a las mismas matemáticas: una fuerza restauradora proporcional a desplazamiento, de ahí el ecuación $y'' = -\omega^2 y$ , de ahí el cosenos. En la base de todo esto se encuentra un límite que parece inocente, $\frac{\sin x}{x} \to 1$ — prometido en grado 9, usado por Teorema 24.5, y demostrado aquí con una foto. Este problema sube desde ese límite hasta el balanceo de un metro péndulo, y explica por qué el metro es, por un pelo, no definido por él.

Parte I — The fundamental limit.

Calentar numéricamente: calcular $\frac{\sin x}{x}$ para $x = 0.1$ y $x = 0.01$ (¡radianes!).
El sándwich, en el círculo unitario con $0 < x < \frac\pi2$ : expresar por geometría elemental el áreas de (i) el triángulo con vértices $O$ , $A(1,0)$ y el punto del círculo $M(\cos x, \sin x)$ ; (ii) el sector circular $OAM$ ; (iii) el triángulo rectángulo $OAT$ donde $T(1, \tan x)$ .
De la zona sándwich deducir $\sin x < x < \tan x$ , entonces $\cos x < \frac{\sin x}{x} < 1$ , y concluir con el teorema de compresión que $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ (controles de paridad $x < 0$ ).
Deducir $\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2} = \frac12$ (multiplicar por el conjugado).
Explique por qué este límite es el motor de Teorema 24.5 (¿qué es? $\sin'(0)$ ?), y por qué también salda una deuda antigua: en ¿Qué sentido tiene radianes la única unidad de ángulo para ¿Qué $\sin' = \cos$ se cumple sin una constante?

Parte II — Harmonic motion.

Verifique mediante la regla de la cadena que $y(t) = R\cos(\omega t - \varphi)$ satisface $y'' = -\omega^2 y$ .
Una masa sobre un resorte obedece a $y'' = -4y$ , con $y(0) = 3$ y $y'(0) = 8$ . Admitir (de Ejercicio 24.9) que todas las soluciones son $A\cos 2t + B\sin 2t$ , determine $A$ y $B$ .
Reescribe la solución como $R\cos(2t - \varphi)$ (Ejercicio 24.8): dé la amplitud $R$ , la periodo, y la fase $\varphi$ (tres decimales).
¿En qué momento la masa pasa por primera vez por el posición de equilibrio $y = 0$ ?
El péndulo: una pesa sobre un hilo de longitud $L$ obedece exactamente $\theta'' = -\frac gL \sin\theta$ — irresoluble por elemental funciones. Para columpios pequeños, reemplace $\sin\theta$ por $\theta$ (¡La Parte I lo justifica!) y deducir el periodo $T = 2\pi\sqrt{\frac Lg}$ . Calcular $T$ para $L = 1$ m ( $g = 9.81$ ): El famoso descubrimiento de Galileo — ¿De qué depende la fórmula no?
El péndulo de segundos: qué longitud da $T = 2$ es exactamente? La Academia Francesa de 1791 vaciló entre esta longitud y la diezmillonésima parte del cuarto de meridiano para definir el metro — por ¿En cuántos milímetros se diferencian los dos candidatos?

Parte III — Addition formulas at work.

Mostrar con las fórmulas de suma. (Proposición 24.3) que $\cos\left(x + \frac\pi2\right) = -\sin x$ y $\sin\left(x + \frac\pi2\right) = \cos x$ : circular la diferenciación es un cuarto de vuelta — comprobar la coherencia con Teorema 24.5.
Derivar la identidad del producto a la suma $\cos a \cos b = \frac12\left(\cos(a - b) + \cos(a + b)\right)$ y la linealización $\cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}$ (la integración El capítulo te lo agradecerá).
Latidos: derivar $\sin p + \sin q = 2 \sin\frac{p + q}{2} \cos\frac{p - q}{2}$ y aplíquelo a dos diapasones. en $440$ y $444$ Hz: qué tono escucha el oído, y cuantas pulsaciones por segundo? (Así es como las orquestas melodía.)
Deducir la identidad del triple ángulo $\cos 3x = 4\cos^3 x - 3\cos x$ (escribir $3x = 2x + x$ ). Configurando $x = 20^\circ$ , ¿qué ecuación cúbico debe satisfacer $\cos 20^\circ$ ? (Que esto cúbico no se puede resolver sólo con raíces cuadradas es precisamente por qué la trisección del ángulo derrotó regla y compás durante dos milenios — la historia completa se cuenta en los volúmenes de la universidad.)
Una corriente alterna lee $I(t) = 3\cos(100\pi t) + 3\sqrt3 \sin(100\pi t)$ . Reescríbalo como $R\cos(100\pi t - \varphi)$ : pico corriente y fase?

Parte IV — The oscillating world.

Períodos: ¿cuál es el período (más pequeño) de $\sin^2 t$ (use la pregunta 13)? de $\sin(2t) + \sin(3t)$ ?
Un auténtico péndulo amortigua: $y(t) = \eu^{-t/10}\cos(2\pi t)$ . Describe el movimiento, calcular el valor del sobre en $t = 10$ (un viejo amigo aparece, Problema 23.1), y nombre el capítulo donde se resuelven ecuaciones con tales soluciones.
¿Por qué senos y cosenos gobiernan cada vibración? Dale el Diccionario de física a matemáticas en dos oraciones. (fuerza restauradora proporcional al desplazamiento $\rightarrow$ cual ecuación $\rightarrow$ cual soluciones), y decir lo que Ejercicio 24.9 contribuye al reclamo.
Final: el arco del capítulo en cuatro pasos — uno límite geométrico, dos derivados, uno diferencial ecuación, todo de oscilación. Y el asterisco honesto: Para grandes oscilaciones, el verdadero período del péndulo implica una Integral elíptica, calculada a la velocidad del rayo por …La aritmética de Gauss: geométrica significar, el postre de Problema 20.1. Los hilos de la serie se atan solos.

Solución

Solución de Problema 24.1.

1. $0.99833\ldots$ y $0.99998\ldots$ : arrastrándose hacia $1$ .

2. Triángulo $OAM$ : base $1$ , altura $\sin x$ : área $\frac{\sin x}{2}$ . Sector $OAM$ : fracción $\frac{x}{2\pi}$ del disco unitario: área $\frac x2$ . Triangulo $OAT$ : base $1$ , altura $\tan x$ : área $\frac{\tan x}{2}$ .

3. El triángulo se encuentra dentro del sector dentro del gran triángulo: $\frac{\sin x}{2} < \frac x2 < \frac{\tan x}{2}$ , es decir, $\sin x < x < \tan x$ . De $\sin x < x$ : $\frac{\sin x}{x} < 1$ ; y de $x < \tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$ , multiplicando por $\frac{\cos x}{x} > 0$ : $\cos x < \frac{\sin x}{x}$ . como $x \to 0^+$ , $\cos x \to 1$ : exprimido, $\frac{\sin x}{x} \to 1$ ; y $\frac{\sin x}{x}$ es par, entonces el límite bilateral es $1$ .

4. $\frac{1 - \cos x}{x^2} = \frac{1 - \cos^2 x}{x^2 (1 + \cos x)} = \left(\frac{\sin x}{x}\right)^2 \frac{1}{1 + \cos x} \to 1 \times \frac12$ .

5. $\sin'(0) = \lim_{h \to 0} \frac{\sin h - 0}{h} = 1$ : toda la diferenciación de seno y coseno fluye de éste límite. Medido en grados, el límite sería $\frac{\pi}{180}$ , y cada derivado arrastraría eso constante: radianes son exactamente la unidad que hace el cálculo de oscilación limpia.

6. $y' = -R\omega\sin(\omega t - \varphi)$ , $y'' = -R\omega^2\cos(\omega t - \varphi) = -\omega^2 y$ .

7. $\omega = 2$ . $y(0) = A = 3$ ; $y'(0) = 2B = 8$ : $B = 4$ : $y = 3\cos 2t + 4\sin 2t$ .

8. $R = \sqrt{9 + 16} = 5$ ; período $\frac{2\pi}{2} = \pi$ ; fase $\varphi = \arctan\frac43 \approx 0.927$ : $y = 5\cos(2t - 0.927)$ .

9. $5\cos(2t - \varphi) = 0$ primero cuando $2t - \varphi = \frac\pi2$ : $t = \frac{\pi/2 + 0.927}{2} \approx 1.25$ s.

10. Con $\sin\theta \approx \theta$ : $\theta'' = -\frac gL \theta$ : armónico con $\omega = \sqrt{\frac gL}$ , punto $T = \frac{2\pi}{\omega} = 2\pi\sqrt{\frac Lg}$ . Para $L = 1$ : $T \approx 2.006$ s. El período no depende de la amplitud (para pequeñas oscilaciones) — isocronismo de Galileo, el hecho que hace posibles los relojes de péndulo.

11. $L = g\left(\frac{T}{2\pi}\right)^2 = \frac{9.81}{\pi^2} \approx 0.994$ m: el péndulo de segundos está aproximadamente $6$ mm por debajo del metro meridiano. La Academia eligió el meridiano (la gravedad varía de un lugar a otro, lo que delata el péndulo); Si $g$ hubiera sido un poco más grande, nuestro medidor sería garrapata.

12. $\cos\left(x + \frac\pi2\right) = \cos x \cos\frac\pi2 - \sin x \sin\frac\pi2 = -\sin x$ ; $\sin\left(x + \frac\pi2\right) = \cos x$ . tan diferenciador seno le da a seno un cuarto de vuelta ( $\cos$ ), y nuevamente ( $-\sin$ ), y otra vez, y a casa en cuatro pasos: diferenciación gira el círculo.

13. Agregando las dos expansiones de $\cos(a \mp b)$ : $\cos(a-b) + \cos(a+b) = 2\cos a\cos b$ . Con $a = b = x$ : $1 + \cos 2x = 2\cos^2 x$ , es decir $\cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}$ .

14. Con $p = \frac{p+q}{2} + \frac{p-q}{2}$ y $q$ su espejo, en expansión y agregando: $\sin p + \sin q = 2\sin\frac{p+q}{2}\cos\frac{p-q}{2}$ . Para $440$ y $444$ Hz: un tono en $442$ Hz cuyo volumen es modulado por $\cos(2\pi \cdot 2t)$ — el volumen alcanza su punto máximo $4$ veces por segundo (el valor absoluto del sobre): cuatro tiempos un segundo, que desaparece cuando las bifurcaciones coinciden.

15. $\cos 3x = \cos 2x\cos x - \sin 2x \sin x = (2\cos^2 x - 1)\cos x - 2\sin^2 x\cos x = 4\cos^3 x - 3\cos x$ . En $x = 20^\circ$ : $\cos 60^\circ = \frac12$ , entonces $c = \cos 20^\circ$ satisface $8c^3 - 6c - 1 = 0$ — un cúbico sin solución raíz cuadrada: construyendo $20^\circ$ , es decir trisecar $60^\circ$ , está más allá de la regla y el compás.

16. $R = \sqrt{9 + 27} = 6$ ; $\tan\varphi = \frac{3\sqrt3}{3} = \sqrt3$ : $\varphi = \frac\pi3$ : $I(t) = 6\cos\left(100\pi t - \frac\pi3\right)$ : pico $6$ amperios, desfase $60^\circ$ .

17. $\sin^2 t = \frac{1 - \cos 2t}{2}$ : punto $\pi$ . $\sin 2t$ tiene el período $\pi$ , $\sin 3t$ tiene $\frac{2\pi}{3}$ : la suma se repite después del mínimo común múltiples, $2\pi$ .

18. Una oscilación del período $1$ dentro de la contracción sobre $\pm\eu^{-t/10}$ : cada movimiento aproximadamente $10\,\%$ más bajo. en $t = 10$ el sobre es $\eu^{-1} \approx 0.368$ — el constante de Problema 23.1 una vez más. Ecuaciones con tal Las soluciones amortiguadas ( $y'' + a y' + b y = 0$ ) se resuelven en el diferencial capítulo ecuaciones.

19. Una fuerza que retrocede proporcionalmente a la el desplazamiento da $y'' = -\omega^2 y$ ; y Ejercicio 24.9 muestra las soluciones de ese ecuación son exactamente las combinaciones de $\cos$ y $\sin$ — existencia por exhibición, unicidad por el ejercicio: vibración no tiene más remedio que ser sinusoidal.

20. Un límite ( $\frac{\sin x}{x} \to 1$ , por áreas intercaladas), dos derivados ( $\sin' = \cos$ , $\cos' = -\sin$ ), un ecuación ( $y'' = -\omega^2 y$ ), un mundo de relojes, cuerdas, corrientes y mareas. Asterisco: para ancho columpios, $T = 4\sqrt{\frac Lg} \cdot \frac{\pi/2}{M(1, \cos(\theta_0/2))}$ — el aritmética–geométrica significar de Problema 20.1 calcula la Integral elíptica en un puñado de iteraciones: el diario de Gauss. entrada y el péndulo de Galileo, una fórmula aparte.