Matemáticas de secundaria · Grades 10–12

4Funciones de referencia

Un puñado de funciones simples — afines, cuadrados, inversos, raíz cuadrada, cubo — aparecen en todas partes, solos o combinados. Conociendo su graficos y Las variaciones de memoria convierten muchos problemas en un boceto rápido. este capitulo estudia cada uno de ellos por turno y demuestra sus variaciones con el Técnica de comparación de Capítulo 3.

4.1 Funciones afines

Definición 4.1 (Función afín)

Un función afín es un función de la forma

f(x) = mx + p,

donde $m$ y $p$ son números reales fijos. Su gráfico es una línea recta: $m$ es el pendiente y $p$ el $y$ -intercepción (la línea cruza el eje vertical en $(0, p)$ ). Cuando $p = 0$ el función es lineal: $f(x) = mx$ expresa proporcionalidad.

Proposición 4.2 (pendiente y variaciones)

Deje $f(x) = mx + p$ .

Para dos entradas distintas $u \neq v$ : $m = \dfrac{f(v) - f(u)}{v - u}$ (el pendiente es el cambio del salida por unidad de cambio de la entrada).
Si $m > 0$ , $f$ es estrictamente creciente en $\R$ ; si $m < 0$ , estrictamente decreciente; si $m = 0$ , constante.

Demostración. 1. Calcule $f(v) - f(u) = (mv + p) - (mu + p) = m(v - u)$ y luego divida entre $v - u \neq 0$ .

2. Si $u < v$ , entonces $f(v) - f(u) = m(v-u)$ tiene el signo de $m$ , ya que $v - u > 0$ : positivo $m$ da $f(u) < f(v)$ (creciente), negativo $m$ da $f(u) > f(v)$ (decreciente). ∎

Dos funciones afines: creciente para m = 1/2 > 0, decreciente para m = -1 < 0. Mover una unidad hacia la derecha cambia y por m. — Dos funciones afines: creciente para $m = \frac12 > 0$ , decreciente para $m = -1 < 0$ . Mover una unidad hacia la derecha cambia $y$ por $m$ .

Ejemplo 4.3

Encuentre el función afín cuyo gráfico pasa por $A(1, 3)$ y $B(4, 9)$ . El pendiente es

m = \frac{9 - 3}{4 - 1} = \frac{6}{3} = 2 .

Luego $f(x) = 2x + p$ y $f(1) = 3$ dan $2 + p = 3$ , por lo que $p = 1$ : $f(x) = 2x + 1$ . Consulte con $B$ : $f(4) = 9$ .

4.2 La función cuadrada

Proposición 4.4 (Función cuadrada)

El función $f(x) = x^2$ , definido en $\R$ :

es estrictamente decreciente en $\intoc{-\infty}{0}$ y estrictamente creciente en $\intco{0}{+\infty}$ , con mínimo $0$ en $x = 0$ ;
satisface $f(-x) = f(x)$ para todo $x$ : es gráfico, un parábola, es simétrico con respecto a la vertical eje.

Demostración. 1. Deje $0 \leq u < v$ . entonces

f(v) - f(u) = v^2 - u^2 = (v - u)(v + u) > 0,

desde $v - u > 0$ y $v + u > 0$ : $f$ es estrictamente creciente en $\intco{0}{+\infty}$ . Si $u < v \leq 0$ , entonces $v - u > 0$ pero $v + u < 0$ , entonces $f(v) - f(u) < 0$ : estrictamente decreciente. Finalmente $x^2 \geq 0 = f(0)$ para todos los $x$ .

2. $(-x)^2 = x^2$ ; entonces los puntos $(x, x^2)$ y $(-x, x^2)$ , reflejan imágenes a lo largo del eje vertical, están ambos en el gráfico. ∎

Observación 4.5 (Cuadrados y orden)

Debido a que el cuadrado función disminuye en el lado negativo, tomando cuadrados invierte el orden de los números negativos: $-3 < -2$ pero $9 > 4$ . Nunca eleve ambos lados de una desigualdad sin verificar los signos.

4.3 La función inversa

Proposición 4.6 (Función inversa)

El función $f(x) = \dfrac1x$ , definido para $x \neq 0$ :

es estrictamente decreciente en $\intoo{-\infty}{0}$ y estrictamente decreciente en $\intoo{0}{+\infty}$ ;
satisface $f(-x) = -f(x)$ : es gráfico, un hipérbola, es simétrico con respecto al origen.

Demostración. 1. Deje $0 < u < v$ . entonces

f(v) - f(u) = \frac1v - \frac1u = \frac{u - v}{uv} < 0,

desde $u - v < 0$ y $uv > 0$ : estrictamente decreciente en $\intoo{0}{+\infty}$ . En $\intoo{-\infty}{0}$ se tiene el mismo cociente $u - v < 0$ y $uv > 0$ nuevamente (producto de dos negativos), entonces $f$ allí también disminuye.

2. $\frac{1}{-x} = -\frac1x$ . ∎

Observación 4.7

Cuidado: $\frac1x$ es no decreciente en su totalidad dominio. De $u = -1$ a $v = 1$ el valor salta de $-1$ hasta $1$ . las dos ramas debe estudiarse por separado.

La parábola y = x2 (simétrica respecto al eje vertical) y la hipérbola y = 1x (dos ramas, simétricas con respecto al origen). — La parábola $y = x^2$ (simétrica respecto al eje vertical) y la hipérbola $y = \frac1x$ (dos ramas, simétricas con respecto al origen).

4.4 Raíz cuadrada y cubo

Proposición 4.8 (Función de raíz cuadrada)

El función $f(x) = \sqrt{x}$ , definido en $\intco{0}{+\infty}$ , es estrictamente creciente.

Demostración. Deje $0 \leq u < v$ . Multiplica y divide por conjugado:

\sqrt v - \sqrt u = \frac{(\sqrt v - \sqrt u)(\sqrt v + \sqrt u)}{\sqrt v + \sqrt u} = \frac{v - u}{\sqrt v + \sqrt u} > 0,

desde $v - u > 0$ y $\sqrt v + \sqrt u > 0$ (nota $v > 0$ , por lo que $\sqrt v > 0$ ). ∎

Proposición 4.9 (Función cubo)

El función $f(x) = x^3$ , definido en $\R$ , es estrictamente creciente, y su gráfico es simétrico con respecto al origen.

Demostración. Admitido a este nivel. ∎

La raíz cuadrada (definida solo para x ≥ 0) y el cubo, ambos creciente. — La raíz cuadrada (definida solo para $x \geq 0$ ) y el cubo, ambos creciente.

Proposición 4.10 (Comparando $x$ , $x^2$ y $\sqrt x$ )

Para $0 < x < 1$ : $x^2 < x < \sqrt x$ . Para $x > 1$ : $\sqrt x < x < x^2$ . En $x = 0$ y $x = 1$ los tres valores son iguales.

Demostración. Supongamos $0 < x < 1$ . Multiplicar $x < 1$ por $x > 0$ da $x^2 < x$ . A continuación, $x < \sqrt x$ : como ambos lados son positivos y elevar al cuadrado es creciente en números positivos, esta desigualdad es equivalente a $x^2 < x$ , que acabamos de demostrar. Para $x > 1$ , multiplicar $x > 1$ por $x$ da $x^2 > x$ , y $\sqrt x < x$ sigue el mismo argumento de elevación al cuadrado. ∎

Las tres curvas se cruzan en (0,0) y (1,1) y orden de intercambio allí: entre 0 y 1, x2 es el más pequeño y √ x el más grande; más allá de 1 el orden se invierte. — Las tres curvas se cruzan en $(0,0)$ y $(1,1)$ y orden de intercambio allí: entre $0$ y $1$ , $x^2$ es el más pequeño y $\sqrt x$ el más grande; más allá de $1$ el orden se invierte.

Método 4.11 (Comparando imágenes)

Para comparar $f(a)$ y $f(b)$ para obtener una referencia función $f$ :

coloque $a$ y $b$ en un intervalo donde se encuentran las variaciones de $f$ . conocido;
si $f$ aumenta allí, imágenes están en el mismo orden que el entradas; si $f$ disminuye, se invierte el orden;
si $a$ y $b$ no están en el mismo intervalo de monotonicidad, trato con signos primero (por ejemplo, para el cuadrado: un negativo y un positivo entrada).

Ejemplo 4.12

Compare $\dfrac{1}{2.3}$ y $\dfrac{1}{2.4}$ : ambas entradas están en $\intoo{0}{+\infty}$ , donde la inversa función disminuye, y $2.3 < 2.4$ , entonces $\dfrac{1}{2.3} > \dfrac{1}{2.4}$ . Comparar $(-1.2)^2$ y $(-1.5)^2$ : en $\intoc{-\infty}{0}$ el cuadrado disminuye, y $-1.5 < -1.2$ , entonces $(-1.5)^2 > (-1.2)^2$ — de hecho $2.25 > 1.44$ .

4.5 Ceremonias

Ejercicio 4.1 ★

Para cada función afín, proporcione su pendiente, su intersección $y$ y diga ya sea creciente o decreciente:

f(x) = 3x - 2, \qquad g(x) = -\tfrac12 x + 4, \qquad h(x) = 7, \qquad k(x) = -x .

Solución

Solución de Ejercicio 4.1.

$f$ : pendiente $3$ , ordenada en el origen $-2$ , creciente. $g$ : pendiente $-\frac12$ , ordenada en el origen $4$ , decreciente. $h$ : pendiente $0$ , ordenada en el origen $7$ , constante. $k$ : pendiente $-1$ , intercepta $0$ , decreciente (y lineal).

Ejercicio 4.2 ★

Encuentre el función afín cuyo gráfico pasa por $(2, 1)$ y $(5, 10)$ ; luego el que pasa por $(-1, 4)$ y $(3, -4)$ .

Solución

Solución de Ejercicio 4.2.

A través de $(2,1)$ y $(5,10)$ : pendiente $m = \frac{10 - 1}{5 - 2} = 3$ ; entonces $1 = 3 \times 2 + p$ da $p = -5$ : $f(x) = 3x - 5$ .

A través de $(-1,4)$ y $(3,-4)$ : pendiente $m = \frac{-4 - 4}{3 - (-1)} = \frac{-8}{4} = -2$ ; entonces $4 = -2 \times (-1) + p$ da $p = 2$ : $f(x) = -2x + 2$ .

Ejercicio 4.3 ★

Sin calculadora, compare:

(3.1)^2 \text{ and } (3.2)^2; \qquad (-2.7)^2 \text{ and } (-2.8)^2; \qquad \frac{1}{5.1} \text{ and } \frac{1}{5.2}; \qquad \sqrt{17} \text{ and } \sqrt{15}.

Solución

Solución de Ejercicio 4.3.

$(3.1)^2 < (3.2)^2$ : el cuadrado aumenta en positivos.

$(-2.7)^2 < (-2.8)^2$ : el cuadrado disminuye en negativos y $-2.8 < -2.7$ .

$\frac{1}{5.1} > \frac{1}{5.2}$ : lo inverso disminuye en positivos.

$\sqrt{17} > \sqrt{15}$ : la raíz cuadrada aumenta.

Ejercicio 4.4 ★

Usando el gráfico del cuadrado función, resuelve $x^2 = 16$ , luego $x^2 \leq 16$ , luego $x^2 > 9$ .

Solución

Solución de Ejercicio 4.4.

$x^2 = 16$ : dos soluciones, $x = 4$ y $x = -4$ (la línea horizontal $y = 16$ corta la parábola dos veces).

$x^2 \leq 16$ : la parábola está debajo de la línea entre los dos intersección puntos: $x \in \intcc{-4}{4}$ .

$x^2 > 9$ : la parábola está estrictamente por encima de $y = 9$ afuera $\intcc{-3}{3}$ : $x \in \intoo{-\infty}{-3} \cup \intoo{3}{+\infty}$ .

Ejercicio 4.5 ★

Deje $x \in \intoo{0}{1}$ . Pida los números $x$ , $x^2$ , $x^3$ y $\sqrt x$ de menor a mayor y verifique su respuesta con $x = 0.25$ .

Solución

Solución de Ejercicio 4.5.

Para $0 < x < 1$ : multiplicar $x < 1$ repetidamente por $x$ da $x^3 < x^2 < x$ y Proposición 4.10 dan $x < \sqrt x$ , entonces

x^3 < x^2 < x < \sqrt x .

Consulte con $x = 0.25$ : $x^3 = 0.015625$ , $x^2 = 0.0625$ , $x = 0.25$ , $\sqrt x = 0.5$ .

Ejercicio 4.6 ★★

Resuelva gráficamente, luego algebraicamente: $\dfrac1x = 2$ , y $\dfrac1x < 2$ para $x > 0$ . ¿Qué cambia si también permitimos $x < 0$ ?

Solución

Solución de Ejercicio 4.6.

$\frac1x = 2$ tiene la solución única $x = \frac12$ (la hipérbola cumple la línea horizontal $y = 2$ una vez, en la rama positiva).

Para $x > 0$ : $\frac1x < 2$ . Multiplicando por $x > 0$ : $1 < 2x$ , entonces $x > \frac12$ : conjunto de soluciones $\intoo{\frac12}{+\infty}$ .

Si se permite $x < 0$ : cada $x$ negativo satisface $\frac1x < 0 < 2$ , entonces el conjunto completo de soluciones es $\intoo{-\infty}{0} \cup \intoo{\frac12}{+\infty}$ .

Ejercicio 4.7 ★★

Sabiendo que el cuadrado función disminuye en $\intoc{-\infty}{0}$ y aumenta en $\intco{0}{+\infty}$ , cuadro $x^2$ cuando:

\text{(a) } x \in \intcc{2}{5}; \qquad \text{(b) } x \in \intcc{-3}{-1}; \qquad \text{(c) } x \in \intcc{-2}{3}.

(En el caso (c), tenga cuidado: el mínimo de $x^2$ no está en un punto final).

Solución

Solución de Ejercicio 4.7.

(a) En $\intcc{2}{5}$ , todas las entradas son positivas y al elevar al cuadrado aumenta: $4 \leq x^2 \leq 25$ .

(b) En $\intcc{-3}{-1}$ , la elevación al cuadrado disminuye: el cuadrado más grande proviene de $-3$ : $1 \leq x^2 \leq 9$ .

(c) En $\intcc{-2}{3}$ , el intervalo contiene $0$ , donde el cuadrado alcanza su mínimo $0$ ; el máximo es el mayor de $(-2)^2 = 4$ y $3^2 = 9$ . Entonces $0 \leq x^2 \leq 9$ .

Ejercicio 4.8 ★★

Una empresa de taxi cobra una tarifa fija de $4$ más $1.5$ por kilómetro; otro no cobra tarifa y $2$ por kilómetro. Modele cada precio mediante un función afín de la distancia $x$ , traza ambas líneas y encuentra a partir de cuál distancia la primera empresa es más barata.

Solución

Solución de Ejercicio 4.8.

Primera empresa: $f(x) = 1.5x + 4$ ; segundo: $g(x) = 2x$ . El primero es más barato cuando

1.5x + 4 < 2x \ \Longleftrightarrow\ 4 < 0.5x \ \Longleftrightarrow\ x > 8 .

Más allá de $8$ km, la primera compañía es más barata; exactamente a $8$ km ambos cargan $16$ .

Ejercicio 4.9 ★★

Muestre eso para todos $a, b \geq 0$ : $\sqrt{a + b} \leq \sqrt a + \sqrt b$ . (Pista: ambos lados no son negativos, así que compara sus cuadrados.) ¿Cuándo es hay igualdad?

Solución

Solución de Ejercicio 4.9.

Ambos lados son no negativos, por lo que la desigualdad es equivalente a la entre sus cuadrados:

\left(\sqrt{a+b}\right)^2 = a + b \qquad\text{and}\qquad \left(\sqrt a + \sqrt b\right)^2 = a + 2\sqrt a \sqrt b + b .

Desde $2\sqrt a\sqrt b \geq 0$ , el segundo cuadrado es al menos el primero, lo que prueba $\sqrt{a+b} \leq \sqrt a + \sqrt b$ . La igualdad se cumple exactamente cuando $\sqrt a \sqrt b = 0$ , es decir, cuando $a = 0$ o $b = 0$ .

Ejercicio 4.10 ★★★

Sea $f(x) = \dfrac{2x + 1}{x - 1}$ , definido para $x \neq 1$ .

Muestre que $f(x) = 2 + \dfrac{3}{x - 1}$ para todos los $x \neq 1$ .
Deduzca las variaciones de $f$ en $\intoo{1}{+\infty}$ a partir de aquellas del inverso función.

Solución

Solución de Ejercicio 4.10.

1. Pon el lado derecho sobre un denominador común:

2 + \frac{3}{x-1} = \frac{2(x-1) + 3}{x - 1} = \frac{2x + 1}{x - 1} = f(x).

2. En $\intoo{1}{+\infty}$ , a medida que aumenta $x$ , aumenta $x - 1$ y permanece positivo, por lo que $\frac{3}{x-1}$ disminuye (inversa función, veces la constante positiva $3$ ), por lo que $f(x) = 2 + \frac{3}{x-1}$ disminuye: $f$ es estrictamente decreciente en $\intoo{1}{+\infty}$ .

4.6 Problema: las leyes de la naturaleza hablan en funciones de referencia.

Problema 4.1

Problema de fin de semana — las distancias de frenado aumentan a medida que $v^2$ , las palancas obedecen a $1/d$ , los planetas siguen a $a^{3/2}$ : lectura fisica con la referencia funciones

Abra un libro de física y los mismos graficos aparecen en cada página: la parábola, la hipérbola, la raíz de la curva. La naturaleza escribe su leyes con la referencia de este capítulo funciones — y sabiendo sus formas (Proposición 4.4, Proposición 4.6, Proposición 4.8, Proposición 4.9) es suficiente para frenar un coche, equilibrar un palanca y cronometrar los planetas. El gran final es el tercero de Kepler. ley, lea directamente los datos del sistema solar.

Parte I — The square law of braking. Una regla general para la distancia de frenado de un automóvil en carretera seca: $d = \left(\frac{v}{10}\right)^{2}$ metros, a velocidad $v$ km/h.

Calcule las distancias de frenado en $30$ , $50$ , $90$ y $130$ kilómetros por hora.
Al duplicar la velocidad se multiplica la distancia de frenado por cuanto? Explique a partir de la escala del cuadrado función, y comprobar $50 \to 100$ km/h.
Análisis forense: marcas de derrape miden $50$ m. ¿Qué velocidad tiene? ¿La fórmula condena al conductor de (al km/h)? cual referencia función contestada — y sobre la cual se encuentra dominio la lectura sin ambigüedades (Proposición 4.8)?
Compare la distancia adicional causada por uno km/h más, a baja y a alta velocidad: calcular $d(31) - d(30)$ y $d(91) - d(90)$ . ¿Qué propiedad de la parábola (Proposición 4.4) haz las dos ¿Las respuestas ilustran?
La parada real añade tiempo de reacción — aproximadamente un segundo, durante el cual el coche recorre $0.28v$ metros: $D(v) = 0.28v + \left(\frac{v}{10}\right)^2$ . calcular $D(50)$ y $D(130)$ . ¿Cuál de los dos términos — afín? o cuadrado — domina a velocidad de ciudad, y cuál en el ¿autopista?

Parte II — The hyperbolas of daily life.

Una palanca se equilibra cuando la fuerza $\times$ distancia es la igual en ambos lados. Un niño de $60$ kg se sienta a $2$ m del pivote; la fuerza de equilibrio a la distancia $d$ por el otro El lado es $F(d) = \frac{120}{d}$ (en equivalentes en kg). Calcule $F(0.5)$ , $F(1)$ , $F(3)$ .
¿Qué significan las variaciones de la inversa función? (Proposición 4.6) dice sobre las palancas — ¿Y por qué se jacta Arquímedes (“dame un lugar donde Levántate y moveré la Tierra”) escóndete en el ¿La cola de la hipérbola? ¿Qué prohíbe $d = 0$ ?
El sonido y la luz se desvanecen con el cuadrado del distancia: a $1$ m de una lámpara la intensidad es $100$ unidades; dale en $2$ , $3$ y $10$ m. Explicar el exponente $2$ con una esfera: ¿sobre qué área pasa la luz? extendido a distancia $d$ (problema de la lápida de Arquímedes, en el volumen de la escuela secundaria)?
Un autobús para el viaje escolar cuesta $600$ euros, dividido por igual entre los participantes de $n$ . Tabule el costo por dirígete a $n = 10, 20, 30$ , encuentra cuántos participantes traerlo a $25$ euros o menos, e indicar cuál es el La forma de la hipérbola promete — y rechaza — como $n$ crece.
Producir carteles $x$ cuesta $2x + 3$ euros ( $3$ euros de configuración). Demuestre que el costo por cartel promedio es $a(x) = 2 + \frac3x$ , describir sus variaciones, y interpretar económicamente su asíntota horizontal. (Compare el álgebra de Ejercicio 4.10.)

Parte III — Kepler’s harmony. Para cada planeta, sea $a$ su distancia media al Sol (en unidades astronómicas, Tierra $= 1$ ) y $T$ su período (en años). Datos: Marte $a = 1.52$ , $T = 1.88$ ; Júpiter $a = 5.20$ , $T = 11.86$ ; Saturno $a = 9.54$ , $T = 29.4$ .

Calcule $a^3$ y $T^2$ para la Tierra, Marte y Júpiter. ¿Qué notó Kepler en 1618?
Indique la ley como función: $T = \sqrt{a^3} = a\sqrt a$ . Pruébelo en Saturno.
Dos predicciones: un asteroide orbita en $a = 4$ AU — encontrar su período (los números salen enteros); un cometa regresa cada $27$ años — encuentre su distancia media (busca un cubo perfecto).
¿Qué tres referencias funciones trenza la ley? juntos? Y su regla de escala: cuando se multiplica $a$ por $4$ , ¿qué pasa con $T$ ? (Consulta con el asteroide contra la Tierra.)
Kepler leyó esta ley en los datos de Tycho Brahe setenta años antes de que la gravitación de Newton lo explicara. en uno frase: ¿qué dice este episodio sobre el poder de ¿Reconocer una referencia función en una tabla de números?

Parte IV — The tortoise and the hare.

Ordene $\sqrt x$ , $x$ y $x^2$ en $\intoo{0}{1}$ y en $\intoo{1}{+\infty}$ (Proposición 4.10) y verifique los dos pedidos en $x = 0.25$ y $x = 4$ .
Resuelva $\sqrt x > x$ completamente (para $x \geq 0$ , cuadrado profundamente y terminar con un mesa de signos).
Traiga el cubo: pida $x$ , $x^2$ , $x^3$ en $x = 0.5$ y en $x = 2$ , y encuentre todos los puntos donde cuadrado y el cubo funciones cruz.
Dos planes de ahorro pagan, después de $t$ años, $100\sqrt t$ euros (esquema A) o $10 t^2$ euros (esquema B). mostrar eso B adelanta a A cuando $t^3 = 100$ y da el cruce. tiempo al mes. Moraleja sobre arraigo contra poderes en el largo plazo?
Final: para cada ley de este problema — frenado ( $v^2$ ), la palanca ( $1/d$ ), la lámpara ( $1/d^2$ ), Kepler ( $a^{3/2}$ ), esquema A ( $\sqrt t$ ) — digamos en una cláusula cuya característica de su referencia gráfico lleva el significado físico (ascenso cada vez más pronunciado, asíntota vertical, esfera en expansión, exponente a escala, crecimiento aplanado). Conclusión: la referencia funciones es el alfabeto; la naturaleza escribe con ellos.

Solución

Solución de Problema 4.1.

1. $d(30) = 3^2 = 9$ m; $d(50) = 25$ m; $d(90) = 81$ m; $d(130) = 169$ m.

2. Duplicar $v$ duplica $\frac v{10}$ y multiplica su cuadrado por $4$ : $d(100) = 100$ m $= 4 \times d(50)$ . dos veces la velocidad, cuatro veces la distancia — el cuadrado función escalado.

3. $\left(\frac{v}{10}\right)^2 = 50$ da $\frac{v}{10} = \sqrt{50}$ , entonces $v = 10\sqrt{50} \approx 71$ kilómetros por hora. La raíz cuadrada respondió; la lectura es inequívoca porque las velocidades son positivas, y en $\intco{0}{+\infty}$ la plaza función sube estrictamente (Proposición 4.8: un positivo preimagen).

4. $d(31) - d(30) = 9.61 - 9 = 0.61$ m, mientras $d(91) - d(90) = 82.81 - 81 = 1.81$ m: lo mismo $+1$ cuesta km/h tres veces más distancia a alta velocidad. La parábola no sólo sube, se intensifica — su ritmo de ascenso crece con $x$ .

5. $D(50) = 14 + 25 = 39$ m; $D(130) = 36.4 + 169 = 205.4$ m. En la ciudad el término afín (reacción) es el más grande compartir; en la carretera el término cuadrado la aplasta — afín crece constantemente, los cuadrados se escapan.

6. $F(0.5) = 240$ , $F(1) = 120$ , $F(3) = 40$ .

7. La inversa función disminuye: cuanto más lejos el pivote, menor será la fuerza necesaria — con un tiempo suficientemente largo brazo de palanca ( $d$ enorme), cualquier fuerza, por pequeña que sea, equilibra cualquier carga: el alarde de Arquímedes vive en la cola de la hipérbola, que se acerca a $0$ sin llegar a él. Y $d = 0$ es el Valor prohibido: sin brazo, sin palanca — la asíntota vertical.

8. $\frac{100}{4} = 25$ en $2$ m, $\frac{100}{9} \approx 11$ en $3$ m, $1$ en $10$ m. a distancia $d$ la luz se ha extendido sobre una esfera de área $4\pi d^2$ (Problema de la lápida de Arquímedes, en el volumen de Escuela Secundaria): la misma energía dividida por un área creciendo como $d^2$ — de ahí el inverso cuadrado.

9. $60$ , $30$ , $20$ euros por cabeza para $n = 10, 20, 30$ . Para $\frac{600}{n} \leq 25$ : participantes de $n \geq 24$ . el La hipérbola promete acciones cada vez más baratas a medida que crece $n$ — y se niega jamás a llegar a $0$ : el autobús nunca está libre.

10. $a(x) = \frac{2x + 3}{x} = 2 + \frac3x$ : decreciente en $\intoo{0}{+\infty}$ (función inverso desplazado), acercándose a la asíntota $y = 2$ . Económicamente: difundir la $3$ euros fijos sobre más carteles reduce el costo unitario hacia los incompresibles $2$ euros de materiales — economías de escala, con piso duro.

11. Tierra: $a^3 = 1$ , $T^2 = 1$ . Marte: $1.52^3 \approx 3.51$ y $1.88^2 \approx 3.53$ . Júpiter: $5.20^3 \approx 140.6$ y $11.86^2 \approx 140.7$ . Kepler aviso: $T^2 = a^3$ para cada planeta — una ley para el todo cielo.

12. $T = \sqrt{a^3}$ : para Saturno $\sqrt{9.54^3} = \sqrt{868} \approx 29.5$ años, contra el observado $29.4$ : la ley se cumple en una décima parte.

13. Asteroide: $T = \sqrt{4^3} = \sqrt{64} = 8$ años. Cometa: $a^3 = 27^2 = 729 = 9^3$ , entonces $a = 9$ AU.

14. Cuadrado ( $T^2$ ), cubo ( $a^3$ ) y raíz cuadrada (a extracto $T$ ). Escalado: multiplicar $a$ por $4$ multiplica $T$ por $4\sqrt4 = 8$ — como lo confirma el asteroide ( $a$ cuatro veces de la Tierra, $T$ ocho veces).

15. Una tabla de números, comparada con las formas de algunas referencias funciones, arrojaron una ley del universo setenta años antes de que alguien supiera por qué que contenía — Reconocer el función es la mitad de la ciencia.

16. En $\intoo{0}{1}$ : $x^2 < x < \sqrt x$ ; en $\intoo{1}{+\infty}$ : $\sqrt x < x < x^2$ . Cheques: en $x = 0.25$ : $0.0625 < 0.25 < 0.5$ ; en $x = 4$ : $2 < 4 < 16$ .

17. Para $x \geq 0$ , ambos lados son $\geq 0$ , por lo que $\sqrt x > x \iff x > x^2 \iff x(1 - x) > 0 \iff x \in \intoo{0}{1}$ .

18. En $x = 0.5$ : $x^3 = 0.125 < x^2 = 0.25 < x = 0.5$ . En $x = 2$ : $2 < 4 < 8$ : el orden se invierte. cruces de $x^2$ y $x^3$ : $x^3 - x^2 = x^2(x - 1) = 0$ : en $x = 0$ y $x = 1$ .

19. $10t^2 = 100\sqrt t$ da $t^2 = 10\sqrt t$ ; elevando al cuadrado, $t^4 = 100t$ , entonces $t^3 = 100$ y $t = \sqrt[3]{100} \approx 4.64$ años — alrededor de $4$ años y $8$ meses. (Ambos planes pagan alrededor de $215$ euros). Moraleja: Las raíces corren temprano, los poderes ganan cada maratón.

20. Frenado: el empinamiento de la parábola es el Peligro de velocidad. Palanca: asíntota vertical en $0$ y la cola larga son la ventaja del mecánico. Lámpara: la $d^2$ del esfera en expansión establece el desvanecimiento. Kepler: el exponente $\frac32$ es el tempo del sistema solar. Ahorro A: el aplastamiento del root es el del ahorrador lento destino. Cinco graficos, cinco leyes: el alfabeto de la naturaleza, en efecto.