Matemáticas de secundaria · Grades 10–12

4Funciones de referencia

Un puñado de funciones sencillas (afín, cuadrado, inversa, raíz cuadrada, cubo) aparecen por todas partes, solas o combinadas. Saberse de memoria sus gráficas y su variación convierte muchos problemas en un esbozo rápido. Este capítulo estudia cada una de ellas y demuestra su variación con la técnica de comparación del Capítulo 3.

4.1 Funciones afines

Definición 4.1 (Función afín)

Una función afín es una función de la forma

f(x) = mx + p,

donde $m$ y $p$ son números reales fijos. Su gráfica es una recta: $m$ es la pendiente y $p$ , la ordenada en el origen (la recta corta al eje vertical en $(0, p)$ ). Cuando $p = 0$ , la función es lineal: $f(x) = mx$ expresa una proporcionalidad.

Proposición 4.2 (Pendiente y variación)

Sea $f(x) = mx + p$ .

Para dos entradas distintas cualesquiera $u \neq v$ : $m = \dfrac{f(v) - f(u)}{v - u}$ (la pendiente es la variación del resultado por unidad de variación de la entrada).
Si $m > 0$ , $f$ es estrictamente creciente en $\R$ ; si $m < 0$ , estrictamente decreciente; si $m = 0$ , constante.

Demostración. 1. Calculamos $f(v) - f(u) = (mv + p) - (mu + p) = m(v - u)$ y dividimos entre $v - u \neq 0$ .

2. Si $u < v$ , entonces $f(v) - f(u) = m(v-u)$ tiene el signo de $m$ , puesto que $v - u > 0$ : con $m$ positivo, $f(u) < f(v)$ (creciente); con $m$ negativo, $f(u) > f(v)$ (decreciente). ∎

Dos funciones afines: creciente para m = 1/2 > 0 y decreciente para m = -1 < 0. Al avanzar una unidad hacia la derecha, y varía en m. — Dos funciones afines: creciente para $m = \frac12 > 0$ y decreciente para $m = -1 < 0$ . Al avanzar una unidad hacia la derecha, $y$ varía en $m$ .

Ejemplo 4.3

Hallemos la función afín cuya gráfica pasa por $A(1, 3)$ y $B(4, 9)$ . La pendiente es

m = \frac{9 - 3}{4 - 1} = \frac{6}{3} = 2 .

Entonces $f(x) = 2x + p$ , y $f(1) = 3$ da $2 + p = 3$ , luego $p = 1$ : $f(x) = 2x + 1$ . Comprobación con $B$ : $f(4) = 9$ .

4.2 La función cuadrado

Proposición 4.4 (Función cuadrado)

La función $f(x) = x^2$ , definida en $\R$ :

es estrictamente decreciente en $\intoc{-\infty}{0}$ y estrictamente creciente en $\intco{0}{+\infty}$ , con mínimo $0$ en $x = 0$ ;
cumple $f(-x) = f(x)$ para todo $x$ : su gráfica, una parábola, es simétrica respecto del eje vertical.

Demostración. 1. Sea $0 \leq u < v$ . Entonces

f(v) - f(u) = v^2 - u^2 = (v - u)(v + u) > 0,

puesto que $v - u > 0$ y $v + u > 0$ : $f$ es estrictamente creciente en $\intco{0}{+\infty}$ . Si $u < v \leq 0$ , entonces $v - u > 0$ pero $v + u < 0$ , luego $f(v) - f(u) < 0$ : estrictamente decreciente. Por último, $x^2 \geq 0 = f(0)$ para todo $x$ .

2. $(-x)^2 = x^2$ ; así que los puntos $(x, x^2)$ y $(-x, x^2)$ , simétricos respecto del eje vertical, están los dos en la gráfica. ∎

Observación 4.5 (Cuadrados y orden)

Como la función cuadrado decrece en el lado negativo, elevar al cuadrado invierte el orden de los números negativos: $-3 < -2$ , pero $9 > 4$ . No eleves nunca al cuadrado los dos miembros de una desigualdad sin comprobar antes los signos.

4.3 La función inversa

Proposición 4.6 (Función inversa)

La función $f(x) = \dfrac1x$ , definida para $x \neq 0$ :

es estrictamente decreciente en $\intoo{-\infty}{0}$ y estrictamente decreciente en $\intoo{0}{+\infty}$ ;
cumple $f(-x) = -f(x)$ : su gráfica, una hipérbola, es simétrica respecto del origen.

Demostración. 1. Sea $0 < u < v$ . Entonces

f(v) - f(u) = \frac1v - \frac1u = \frac{u - v}{uv} < 0,

puesto que $u - v < 0$ y $uv > 0$ : estrictamente decreciente en $\intoo{0}{+\infty}$ . En $\intoo{-\infty}{0}$ , el mismo cociente tiene de nuevo $u - v < 0$ y $uv > 0$ (producto de dos negativos), así que $f$ también decrece allí.

2. $\frac{1}{-x} = -\frac1x$ . ∎

Observación 4.7

Cuidado: $\frac1x$ no es decreciente en todo su dominio. De $u = -1$ a $v = 1$ el valor salta de $-1$ a $1$ . Hay que estudiar las dos ramas por separado.

La parábola y = x2 (simétrica respecto del eje vertical) y la hipérbola y = 1x (dos ramas, simétricas respecto del origen). — La parábola $y = x^2$ (simétrica respecto del eje vertical) y la hipérbola $y = \frac1x$ (dos ramas, simétricas respecto del origen).

4.4 Raíz cuadrada y cubo

Proposición 4.8 (Función raíz cuadrada)

La función $f(x) = \sqrt{x}$ , definida en $\intco{0}{+\infty}$ , es estrictamente creciente.

Demostración. Sea $0 \leq u < v$ . Multiplicamos y dividimos por el conjugado:

\sqrt v - \sqrt u = \frac{(\sqrt v - \sqrt u)(\sqrt v + \sqrt u)}{\sqrt v + \sqrt u} = \frac{v - u}{\sqrt v + \sqrt u} > 0,

puesto que $v - u > 0$ y $\sqrt v + \sqrt u > 0$ (obsérvese que $v > 0$ , luego $\sqrt v > 0$ ). ∎

Proposición 4.9 (Función cubo)

La función $f(x) = x^3$ , definida en $\R$ , es estrictamente creciente y su gráfica es simétrica respecto del origen.

Demostración. Admitido a este nivel. ∎

La raíz cuadrada (definida solo para x ≥ 0) y el cubo, las dos crecientes. — La raíz cuadrada (definida solo para $x \geq 0$ ) y el cubo, las dos crecientes.

Proposición 4.10 (Comparación de $x$ , $x^2$ y $\sqrt x$ )

Para $0 < x < 1$ : $x^2 < x < \sqrt x$ . Para $x > 1$ : $\sqrt x < x < x^2$ . En $x = 0$ y $x = 1$ los tres valores coinciden.

Demostración. Supongamos $0 < x < 1$ . Multiplicando $x < 1$ por $x > 0$ se obtiene $x^2 < x$ . Después, $x < \sqrt x$ : como los dos miembros son positivos y elevar al cuadrado es creciente sobre los positivos, esta desigualdad equivale a $x^2 < x$ , que acabamos de demostrar. Para $x > 1$ , multiplicando $x > 1$ por $x$ se obtiene $x^2 > x$ , y $\sqrt x < x$ se sigue con el mismo argumento del cuadrado. ∎

Las tres curvas se cortan en (0,0) y (1,1) e intercambian allí su orden: entre 0 y 1, x2 es la menor y √ x la mayor; a partir de 1 el orden se invierte. — Las tres curvas se cortan en $(0,0)$ y $(1,1)$ e intercambian allí su orden: entre $0$ y $1$ , $x^2$ es la menor y $\sqrt x$ la mayor; a partir de $1$ el orden se invierte.

Método 4.11 (Comparar imágenes)

Para comparar $f(a)$ y $f(b)$ con una función de referencia $f$ :

sitúa $a$ y $b$ en un intervalo donde se conozca la variación de $f$ ;
si $f$ crece allí, las imágenes quedan en el mismo orden que las entradas; si $f$ decrece, el orden se invierte;
si $a$ y $b$ no están en el mismo intervalo de monotonía, ocúpate primero de los signos (por ejemplo, para el cuadrado: una entrada negativa y otra positiva).

Ejemplo 4.12

Comparemos $\dfrac{1}{2.3}$ y $\dfrac{1}{2.4}$ : las dos entradas están en $\intoo{0}{+\infty}$ , donde la función inversa decrece, y $2.3 < 2.4$ , luego $\dfrac{1}{2.3} > \dfrac{1}{2.4}$ . Comparemos $(-1.2)^2$ y $(-1.5)^2$ : en $\intoc{-\infty}{0}$ el cuadrado decrece y $-1.5 < -1.2$ , luego $(-1.5)^2 > (-1.2)^2$ ; en efecto, $2.25 > 1.44$ .

4.5 Ejercicios

Ejercicio 4.1 ★

Para cada función afín, da su pendiente y su ordenada en el origen y di si es creciente o decreciente:

f(x) = 3x - 2, \qquad g(x) = -\tfrac12 x + 4, \qquad h(x) = 7, \qquad k(x) = -x .

Solución

Solución de Ejercicio 4.1.

$f$ : pendiente $3$ , ordenada en el origen $-2$ , creciente. $g$ : pendiente $-\frac12$ , ordenada en el origen $4$ , decreciente. $h$ : pendiente $0$ , ordenada en el origen $7$ , constante. $k$ : pendiente $-1$ , ordenada en el origen $0$ , decreciente (y lineal).

Ejercicio 4.2 ★

Halla la función afín cuya gráfica pasa por $(2, 1)$ y $(5, 10)$ , y después la que pasa por $(-1, 4)$ y $(3, -4)$ .

Solución

Solución de Ejercicio 4.2.

Por $(2,1)$ y $(5,10)$ : pendiente $m = \frac{10 - 1}{5 - 2} = 3$ ; después $1 = 3 \times 2 + p$ da $p = -5$ : $f(x) = 3x - 5$ .

Por $(-1,4)$ y $(3,-4)$ : pendiente $m = \frac{-4 - 4}{3 - (-1)} = \frac{-8}{4} = -2$ ; después $4 = -2 \times (-1) + p$ da $p = 2$ : $f(x) = -2x + 2$ .

Ejercicio 4.3 ★

Sin calculadora, compara:

(3.1)^2 \text{ y } (3.2)^2; \qquad (-2.7)^2 \text{ y } (-2.8)^2; \qquad \frac{1}{5.1} \text{ y } \frac{1}{5.2}; \qquad \sqrt{17} \text{ y } \sqrt{15}.

Solución

Solución de Ejercicio 4.3.

$(3.1)^2 < (3.2)^2$ : el cuadrado crece sobre los positivos.

$(-2.7)^2 < (-2.8)^2$ : el cuadrado decrece sobre los negativos y $-2.8 < -2.7$ .

$\frac{1}{5.1} > \frac{1}{5.2}$ : la función inversa decrece sobre los positivos.

$\sqrt{17} > \sqrt{15}$ : la raíz cuadrada crece.

Ejercicio 4.4 ★

Usando la gráfica de la función cuadrado, resuelve $x^2 = 16$ , después $x^2 \leq 16$ y después $x^2 > 9$ .

Solución

Solución de Ejercicio 4.4.

$x^2 = 16$ : dos soluciones, $x = 4$ y $x = -4$ (la recta horizontal $y = 16$ corta la parábola dos veces).

$x^2 \leq 16$ : la parábola está por debajo de la recta entre los dos puntos de corte: $x \in \intcc{-4}{4}$ .

$x^2 > 9$ : la parábola está estrictamente por encima de $y = 9$ fuera de $\intcc{-3}{3}$ : $x \in \intoo{-\infty}{-3} \cup \intoo{3}{+\infty}$ .

Ejercicio 4.5 ★

Sea $x \in \intoo{0}{1}$ . Ordena los números $x$ , $x^2$ , $x^3$ y $\sqrt x$ de menor a mayor y comprueba tu respuesta con $x = 0.25$ .

Solución

Solución de Ejercicio 4.5.

Para $0 < x < 1$ , multiplicando $x < 1$ por $x$ repetidamente se obtiene $x^3 < x^2 < x$ , y la Proposición 4.10 da $x < \sqrt x$ , luego

x^3 < x^2 < x < \sqrt x .

Comprobación con $x = 0.25$ : $x^3 = 0.015625$ , $x^2 = 0.0625$ , $x = 0.25$ , $\sqrt x = 0.5$ .

Ejercicio 4.6 ★★

Resuelve gráficamente y después algebraicamente: $\dfrac1x = 2$ y $\dfrac1x < 2$ para $x > 0$ . ¿Qué cambia si se admite también $x < 0$ ?

Solución

Solución de Ejercicio 4.6.

$\frac1x = 2$ tiene la única solución $x = \frac12$ (la hipérbola corta la recta horizontal $y = 2$ una sola vez, en la rama positiva).

Para $x > 0$ : $\frac1x < 2$ . Multiplicando por $x > 0$ : $1 < 2x$ , luego $x > \frac12$ : conjunto de soluciones $\intoo{\frac12}{+\infty}$ .

Si se admite $x < 0$ : todo $x$ negativo cumple $\frac1x < 0 < 2$ , así que el conjunto de soluciones completo es $\intoo{-\infty}{0} \cup \intoo{\frac12}{+\infty}$ .

Ejercicio 4.7 ★★

Sabiendo que la función cuadrado decrece en $\intoc{-\infty}{0}$ y crece en $\intco{0}{+\infty}$ , acota $x^2$ cuando:

\text{(a) } x \in \intcc{2}{5}; \qquad \text{(b) } x \in \intcc{-3}{-1}; \qquad \text{(c) } x \in \intcc{-2}{3}.

(En el caso (c), atención: el mínimo de $x^2$ no está en un extremo.)

Solución

Solución de Ejercicio 4.7.

(a) En $\intcc{2}{5}$ todas las entradas son positivas y elevar al cuadrado es creciente: $4 \leq x^2 \leq 25$ .

(b) En $\intcc{-3}{-1}$ , elevar al cuadrado es decreciente: el cuadrado mayor viene de $-3$ : $1 \leq x^2 \leq 9$ .

(c) En $\intcc{-2}{3}$ , el intervalo contiene el $0$ , donde el cuadrado alcanza su mínimo $0$ ; el máximo es el mayor de $(-2)^2 = 4$ y $3^2 = 9$ . Así pues, $0 \leq x^2 \leq 9$ .

Ejercicio 4.8 ★★

Una compañía de taxis cobra una cuota fija de $4$ más $1.5$ por kilómetro; otra no cobra cuota y pide $2$ por kilómetro. Modeliza cada precio con una función afín de la distancia $x$ , representa las dos rectas y halla a partir de qué distancia sale más barata la primera compañía.

Solución

Solución de Ejercicio 4.8.

Primera compañía: $f(x) = 1.5x + 4$ ; segunda: $g(x) = 2x$ . La primera es más barata cuando

1.5x + 4 < 2x \ \Longleftrightarrow\ 4 < 0.5x \ \Longleftrightarrow\ x > 8 .

A partir de $8$ km, la primera compañía sale más barata; justo en $8$ km las dos cobran $16$ .

Ejercicio 4.9 ★★

Demuestra que para todos $a, b \geq 0$ se cumple $\sqrt{a + b} \leq \sqrt a + \sqrt b$ . (Indicación: los dos miembros son no negativos, así que compara sus cuadrados.) ¿Cuándo hay igualdad?

Solución

Solución de Ejercicio 4.9.

Los dos miembros son no negativos, así que la desigualdad equivale a la que hay entre sus cuadrados:

\left(\sqrt{a+b}\right)^2 = a + b \qquad\text{y}\qquad \left(\sqrt a + \sqrt b\right)^2 = a + 2\sqrt a \sqrt b + b .

Como $2\sqrt a\sqrt b \geq 0$ , el segundo cuadrado es al menos el primero, lo que demuestra $\sqrt{a+b} \leq \sqrt a + \sqrt b$ . Hay igualdad exactamente cuando $\sqrt a \sqrt b = 0$ , es decir, cuando $a = 0$ o $b = 0$ .

Ejercicio 4.10 ★★★

Sea $f(x) = \dfrac{2x + 1}{x - 1}$ , definida para $x \neq 1$ .

Demuestra que $f(x) = 2 + \dfrac{3}{x - 1}$ para todo $x \neq 1$ .
Deduce la variación de $f$ en $\intoo{1}{+\infty}$ a partir de la de la función inversa.

Solución

Solución de Ejercicio 4.10.

1. Reducimos el segundo miembro a común denominador:

2 + \frac{3}{x-1} = \frac{2(x-1) + 3}{x - 1} = \frac{2x + 1}{x - 1} = f(x).

2. En $\intoo{1}{+\infty}$ , cuando $x$ crece, $x - 1$ crece y se mantiene positivo, luego $\frac{3}{x-1}$ decrece (función inversa, multiplicada por la constante positiva $3$ ), luego $f(x) = 2 + \frac{3}{x-1}$ decrece: $f$ es estrictamente decreciente en $\intoo{1}{+\infty}$ .

4.6 Problema: Las leyes de la naturaleza hablan en funciones de referencia

Problema 4.1

Problema de fin de semana — las distancias de frenado crecen como $v^2$ , las palancas obedecen a $1/d$ , los planetas siguen $a^{3/2}$ : leer la física con las funciones de referencia

Abre un libro de física y verás las mismas gráficas en todas las páginas: la parábola, la hipérbola, la curva de la raíz. La naturaleza escribe sus leyes con las funciones de referencia de este capítulo, y conocer sus formas (Proposición 4.4, Proposición 4.6, Proposición 4.8, Proposición 4.9) basta para frenar un coche, equilibrar una palanca y cronometrar los planetas. El gran final es la tercera ley de Kepler, leída directamente en los datos del sistema solar.

Parte I — La ley cuadrática del frenado. Una regla práctica para la distancia de frenado de un coche sobre asfalto seco: $d = \left(\frac{v}{10}\right)^{2}$ metros, a una velocidad de $v$ km/h.

Calcula las distancias de frenado a $30$ , $50$ , $90$ y $130$ km/h.
Al doblar la velocidad, ¿por cuánto queda multiplicada la distancia de frenado? Explícalo con el comportamiento de escala de la función cuadrado y compruébalo con $50 \to 100$ km/h.
Investigación de un accidente: las marcas de frenada miden $50$ m. ¿De qué velocidad acusa la fórmula al conductor (redondeando al km/h)? ¿Qué función de referencia ha respondido, y en qué dominio es inequívoca la lectura (Proposición 4.8)?
Compara la distancia adicional que causa un km/h más a velocidad baja y a velocidad alta: calcula $d(31) - d(30)$ y $d(91) - d(90)$ . ¿Qué propiedad de la parábola (Proposición 4.4) ilustran las dos respuestas?
En una frenada real hay que añadir el tiempo de reacción, un segundo aproximadamente, durante el cual el coche recorre $0.28v$ metros: $D(v) = 0.28v + \left(\frac{v}{10}\right)^2$ . Calcula $D(50)$ y $D(130)$ . ¿Cuál de los dos términos, el afín o el cuadrático, domina a velocidad urbana? ¿Y en autopista?

Parte II — Las hipérbolas de la vida diaria.

Una palanca está en equilibrio cuando fuerza $\times$ distancia es igual a los dos lados. Un niño de $60$ kg se sienta a $2$ m del punto de apoyo; la fuerza que equilibra a distancia $d$ del otro lado es $F(d) = \frac{120}{d}$ (en equivalentes de kilogramo). Calcula $F(0.5)$ , $F(1)$ , $F(3)$ .
¿Qué dice la variación de la función inversa (Proposición 4.6) sobre las palancas? ¿Y por qué se esconde en la cola de la hipérbola la bravata de Arquímedes (“dadme un punto de apoyo y moveré la Tierra”)? ¿Qué prohíbe $d = 0$ ?
El sonido y la luz se atenúan con el cuadrado de la distancia: a $1$ m de una lámpara la intensidad es de $100$ unidades; dala a $2$ , $3$ y $10$ m. Explica el exponente $2$ con una esfera: ¿sobre qué superficie se ha repartido la luz a distancia $d$ (problema de la lápida de Arquímedes, en el volumen anterior)?
Un autobús para la excursión escolar cuesta $600$ euros, a repartir a partes iguales entre $n$ participantes. Haz una tabla del coste por cabeza para $n = 10, 20, 30$ , halla cuántos participantes lo bajan a $25$ euros o menos y di qué promete, y qué se niega a dar, la forma de la hipérbola cuando $n$ crece.
Producir $x$ carteles cuesta $2x + 3$ euros ( $3$ euros de preparación). Demuestra que el coste medio por cartel es $a(x) = 2 + \frac3x$ , describe su variación e interpreta económicamente su asíntota horizontal. (Compara con el álgebra del Ejercicio 4.10.)

Parte III — La armonía de Kepler. Para cada planeta, sea $a$ su distancia media al Sol (en unidades astronómicas, Tierra $= 1$ ) y $T$ su periodo (en años). Datos: Marte $a = 1.52$ , $T = 1.88$ ; Júpiter $a = 5.20$ , $T = 11.86$ ; Saturno $a = 9.54$ , $T = 29.4$ .

Calcula $a^3$ y $T^2$ para la Tierra, Marte y Júpiter. ¿Qué observó Kepler en 1618?
Enuncia la ley como una función: $T = \sqrt{a^3} = a\sqrt a$ . Pruébala con Saturno.
Dos predicciones: un asteroide orbita a $a = 4$ UA; halla su periodo (los números salen enteros). Un cometa vuelve cada $27$ años; halla su distancia media (busca un cubo perfecto).
¿Qué tres funciones de referencia trenza esta ley? ¿Y cuál es su regla de escala: si $a$ se multiplica por $4$ , qué le ocurre a $T$ ? (Compruébalo con el asteroide frente a la Tierra.)
Kepler leyó esta ley en los datos de Tycho Brahe setenta años antes de que la gravitación de Newton la explicara. En una frase: ¿qué dice este episodio sobre el poder de reconocer una función de referencia en una tabla de números?

Parte IV — La liebre y la tortuga.

Ordena $\sqrt x$ , $x$ y $x^2$ en $\intoo{0}{1}$ y en $\intoo{1}{+\infty}$ (Proposición 4.10) y comprueba las dos ordenaciones en $x = 0.25$ y en $x = 4$ .
Resuelve $\sqrt x > x$ por completo (para $x \geq 0$ , eleva al cuadrado con cuidado y termina con una tabla de signos).
Entra el cubo: ordena $x$ , $x^2$ , $x^3$ en $x = 0.5$ y en $x = 2$ y halla todos los puntos donde se cortan las funciones cuadrado y cubo.
Dos planes de ahorro pagan, al cabo de $t$ años, $100\sqrt t$ euros (plan A) o $10 t^2$ euros (plan B). Demuestra que B adelanta a A cuando $t^3 = 100$ y da el momento del cruce con precisión de un mes. ¿Moraleja sobre raíces frente a potencias a largo plazo?
Final: para cada ley de este problema (el frenado con $v^2$ , la palanca con $1/d$ , la lámpara con $1/d^2$ , Kepler con $a^{3/2}$ , el plan A con $\sqrt t$ ), di en una frase qué rasgo de su gráfica de referencia lleva el significado físico (subida cada vez más pronunciada, asíntota vertical, esfera que se expande, exponente de escala, crecimiento que se aplana). Conclusión: las funciones de referencia son el alfabeto; la naturaleza escribe con ellas.

Solución

Solución de Problema 4.1.

1. $d(30) = 3^2 = 9$ m; $d(50) = 25$ m; $d(90) = 81$ m; $d(130) = 169$ m.

2. Doblar $v$ dobla $\frac v{10}$ y multiplica su cuadrado por $4$ : $d(100) = 100$ m $= 4 \times d(50)$ . El doble de velocidad, cuatro veces la distancia: el comportamiento de escala de la función cuadrado.

3. $\left(\frac{v}{10}\right)^2 = 50$ da $\frac{v}{10} = \sqrt{50}$ , luego $v = 10\sqrt{50} \approx 71$ km/h. Ha respondido la raíz cuadrada; la lectura es inequívoca porque las velocidades son positivas y en $\intco{0}{+\infty}$ la función cuadrado sube estrictamente (Proposición 4.8: una única antiimagen positiva).

4. $d(31) - d(30) = 9.61 - 9 = 0.61$ m, mientras que $d(91) - d(90) = 82.81 - 81 = 1.81$ m: el mismo $+1$ km/h cuesta tres veces más distancia a velocidad alta. La parábola no solo sube: se vuelve cada vez más empinada; su ritmo de subida crece con $x$ .

5. $D(50) = 14 + 25 = 39$ m; $D(130) = 36.4 + 169 = 205.4$ m. En ciudad, el término afín (la reacción) es la parte mayor; en autopista, el término cuadrático lo aplasta: lo afín crece de manera constante, los cuadrados se disparan.

6. $F(0.5) = 240$ , $F(1) = 120$ , $F(3) = 40$ .

7. La función inversa decrece: cuanto más lejos del punto de apoyo, menor es la fuerza necesaria; con un brazo de palanca suficientemente largo ( $d$ enorme), cualquier fuerza, por pequeña que sea, equilibra cualquier carga. La bravata de Arquímedes vive en la cola de la hipérbola, que se acerca a $0$ sin llegar nunca. Y $d = 0$ es el valor prohibido: sin brazo no hay palanca; es la asíntota vertical.

8. $\frac{100}{4} = 25$ a $2$ m, $\frac{100}{9} \approx 11$ a $3$ m y $1$ a $10$ m. A distancia $d$ , la luz se ha repartido sobre una esfera de área $4\pi d^2$ (problema de la lápida de Arquímedes, en el volumen anterior): la misma energía dividida entre un área que crece como $d^2$ ; de ahí el inverso del cuadrado.

9. $60$ , $30$ y $20$ euros por cabeza para $n = 10, 20, 30$ . Para $\frac{600}{n} \leq 25$ hacen falta $n \geq 24$ participantes. La hipérbola promete partes cada vez más baratas a medida que $n$ crece, y se niega a llegar nunca a $0$ : el autobús nunca es gratis.

10. $a(x) = \frac{2x + 3}{x} = 2 + \frac3x$ : decreciente en $\intoo{0}{+\infty}$ (la función inversa desplazada), acercándose a la asíntota $y = 2$ . En términos económicos: repartir los $3$ euros fijos entre más carteles empuja el coste unitario hacia los $2$ euros incompresibles de material; economías de escala, con un suelo infranqueable.

11. Tierra: $a^3 = 1$ , $T^2 = 1$ . Marte: $1.52^3 \approx 3.51$ y $1.88^2 \approx 3.53$ . Júpiter: $5.20^3 \approx 140.6$ y $11.86^2 \approx 140.7$ . Lo que observó Kepler: $T^2 = a^3$ para todos los planetas; una sola ley para todo el cielo.

12. $T = \sqrt{a^3}$ : para Saturno, $\sqrt{9.54^3} = \sqrt{868} \approx 29.5$ años, frente a los $29.4$ observados: la ley se cumple con un error de una décima.

13. Asteroide: $T = \sqrt{4^3} = \sqrt{64} = 8$ años. Cometa: $a^3 = 27^2 = 729 = 9^3$ , luego $a = 9$ UA.

14. El cuadrado ( $T^2$ ), el cubo ( $a^3$ ) y la raíz cuadrada (para despejar $T$ ). Escala: multiplicar $a$ por $4$ multiplica $T$ por $4\sqrt4 = 8$ , como confirma el asteroide (a cuatro veces la distancia de la Tierra, ocho veces su periodo).

15. Una tabla de números, contrastada con las formas de unas pocas funciones de referencia, dio una ley del universo setenta años antes de que nadie supiera por qué se cumplía: reconocer la función es la mitad de la ciencia.

16. En $\intoo{0}{1}$ : $x^2 < x < \sqrt x$ ; en $\intoo{1}{+\infty}$ : $\sqrt x < x < x^2$ . Comprobaciones: en $x = 0.25$ , $0.0625 < 0.25 < 0.5$ ; en $x = 4$ , $2 < 4 < 16$ .

17. Para $x \geq 0$ los dos miembros son $\geq 0$ , así que $\sqrt x > x \iff x > x^2 \iff x(1 - x) > 0 \iff x \in \intoo{0}{1}$ .

18. En $x = 0.5$ : $x^3 = 0.125 < x^2 = 0.25 < x = 0.5$ . En $x = 2$ : $2 < 4 < 8$ : el orden se invierte. Cortes de $x^2$ y $x^3$ : $x^3 - x^2 = x^2(x - 1) = 0$ , en $x = 0$ y $x = 1$ .

19. $10t^2 = 100\sqrt t$ da $t^2 = 10\sqrt t$ ; elevando al cuadrado, $t^4 = 100t$ , luego $t^3 = 100$ y $t = \sqrt[3]{100} \approx 4.64$ años, unos $4$ años y $8$ meses. (Los dos planes pagan entonces unos $215$ euros.) Moraleja: las raíces esprintan al principio, las potencias ganan todos los maratones.

20. Frenado: lo empinada que se vuelve la parábola es el peligro de la velocidad. Palanca: la asíntota vertical en $0$ y la cola larga son la ventaja del mecánico. Lámpara: el $d^2$ de la esfera que se expande fija la atenuación. Kepler: el exponente $\frac32$ es el tempo del sistema solar. Plan A: el aplanamiento de la raíz es el destino del ahorrador lento. Cinco gráficas, cinco leyes: el alfabeto de la naturaleza, en efecto.

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