Matemáticas de secundaria · Grades 10–12

30Matrices y grafos

Una matriz es una tabla rectangular de números que se suman y se multiplican según reglas diseñadas para que el álgebra de matrices represente la composición de transformaciones lineales. Las matrices resuelven sistemas lineales, gobiernan sucesiones recurrentes acopladas y cuentan caminos en redes: son las matemáticas que hay detrás de los buscadores de internet y de los algoritmos de camino más corto.

30.1 Álgebra de matrices

Definición 30.1 (Matriz)

Una matriz $m \times n$ es una tabla de números reales con $m$ filas y $n$ columnas: $A = (a_{ij})$ , donde $a_{ij}$ es el coeficiente de la fila $i$ y la columna $j$ . Dos matrices del mismo tamaño se suman coeficiente a coeficiente, y $\lambda A = (\lambda a_{ij})$ .

Definición 30.2 (Producto de matrices)

Sea $A$ de tamaño $m \times n$ y sea $B$ de tamaño $n \times p$ . El producto $AB$ es la matriz $m \times p$ cuyo coeficiente $(i,j)$ es

(AB)_{ij} = \sum_{k=1}^{n} a_{ik} b_{kj}

(la regla “fila $i$ de $A$ por columna $j$ de $B$ ”).

Ejemplo 30.3

$\begin{pmatrix} 1 & 2\\ 3 & 4\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 3\\ 4 & 7\end{pmatrix}$ , mientras que $\begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2\\ 3 & 4\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 4\\ 4 & 6\end{pmatrix}$ : el producto de matrices no es conmutativo.

Proposición 30.4 (Reglas del álgebra de matrices)

Siempre que los tamaños den sentido a los productos:

(AB)C = A(BC), \qquad A(B + C) = AB + AC, \qquad (A+B)C = AC + BC,

y la matriz identidad $I_n$ (unos en la diagonal y ceros fuera de ella) cumple $I_m A = A I_n = A$ para $A$ de tamaño $m \times n$ .

Demostración. Todas son comprobaciones coeficiente a coeficiente a partir de la Definición 30.2; la asociatividad, la única no trivial, se reduce a intercambiar dos sumas finitas: $\bigl((AB)C\bigr)_{ij} = \sum_l \left(\sum_k a_{ik}b_{kl}\right) c_{lj} = \sum_k a_{ik} \left(\sum_l b_{kl} c_{lj}\right) = \bigl(A(BC)\bigr)_{ij}$ . ∎

Definición 30.5 (Inversa)

Una matriz cuadrada $A$ de tamaño $n$ es invertible si existe una matriz $B$ con $AB = BA = I_n$ ; esa $B$ es entonces única y se escribe $A^{-1}$ .

Proposición 30.6 (Inversa de una matriz $2\times2$ )

Sea $A = \begin{pmatrix} a & b\\ c & d\end{pmatrix}$ y sea $\det A = ad - bc$ (el determinante). Entonces $A$ es invertible si y solo si $\det A \neq 0$ , y en ese caso

A^{-1} = \frac{1}{ad - bc}\begin{pmatrix} d & -b\\ -c & a\end{pmatrix}.

Demostración. Un cálculo da $A \begin{pmatrix} d & -b\\ -c & a\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} d & -b\\ -c & a\end{pmatrix} A = (ad - bc) I_2$ ; si $ad - bc \neq 0$ , dividimos. Recíprocamente, si $ad - bc = 0$ , las columnas de $A$ son proporcionales, y también lo son las de $AB$ sea cual sea $B$ ; pero las columnas de $I_2$ no son proporcionales, así que ninguna $B$ puede cumplir $AB = I_2$ . ∎

Método 30.7 (Sistemas lineales)

El sistema $\begin{cases} ax + by = e\\ cx + dy = f \end{cases}$ es la ecuación matricial $AX = Y$ con $X = \begin{pmatrix} x \\ y\end{pmatrix}$ e $Y = \begin{pmatrix} e \\ f\end{pmatrix}$ . Si $\det A \neq 0$ , su única solución es $X = A^{-1}Y$ . El mismo formalismo sirve para $n$ ecuaciones con $n$ incógnitas.

30.2 Potencias de matrices y sucesiones recurrentes

Definición 30.8

Para una matriz cuadrada $A$ y $k \in \N$ , $A^k = A \times \dots \times A$ ( $k$ factores), con $A^0 = I$ .

Método 30.9 (Casos diagonal más nilpotente y diagonalizable)

Dos maneras estándar de calcular $A^k$ :

Si $A = \lambda I + N$ con $N^2 = 0$ , el teorema del binomio (válido aquí porque $I$ y $N$ conmutan) se reduce a dos términos: $A^k = \lambda^k I + k \lambda^{k-1} N$ .
Si se encuentra una matriz invertible $P$ con $A = PDP^{-1}$ y $D$ diagonal, entonces $A^k = P D^k P^{-1}$ , y $D^k$ se calcula coeficiente a coeficiente. (Hallar tal $P$ de manera sistemática es la teoría de la diagonalización, que se desarrolla en la universidad; a este nivel, $P$ viene dada.)

Ejemplo 30.10 (Sucesiones acopladas)

Sean $u_{n+1} = 3u_n + v_n$ y $v_{n+1} = u_n + 3v_n$ . Tomando $X_n = \begin{pmatrix} u_n\\ v_n \end{pmatrix}$ y $A = \begin{pmatrix} 3 & 1\\ 1 & 3\end{pmatrix}$ , obtenemos $X_{n+1} = AX_n$ , luego $X_n = A^n X_0$ . Las sucesiones auxiliares $s_n = u_n + v_n$ y $d_n = u_n - v_n$ cumplen $s_{n+1} = 4s_n$ y $d_{n+1} = 2d_n$ , así que $s_n = 4^n s_0$ , $d_n = 2^n d_0$ y

u_n = \frac{4^n(u_0+v_0) + 2^n(u_0-v_0)}{2}, \qquad v_n = \frac{4^n(u_0+v_0) - 2^n(u_0-v_0)}{2}.

(Entre bastidores: $(1,1)$ y $(1,-1)$ son direcciones propias de $A$ .)

30.3 Grafos y caminos

Definición 30.11 (Grafo, matriz de adyacencia)

Un grafo consta de vértices $1, 2, \dots, n$ y de aristas que unen ciertos pares de vértices (pares ordenados si el grafo es dirigido). Su matriz de adyacencia es la matriz $n \times n$ $M$ con $m_{ij} = 1$ si hay una arista de $i$ a $j$ , y $0$ en caso contrario. Un camino de longitud $k$ de $i$ a $j$ es una sucesión de $k$ aristas consecutivas que lleva de $i$ a $j$ .

M = pmatrix 0 & 1 & 1\\ 0 & 0 & 1\\ 1 & 0 & 0 pmatrix Un grafo dirigido y su matriz de adyacencia (): m_ij = 1 exactamente cuando hay una arista de i a j. — $M = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1\\ 0 & 0 & 1\\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}$ Un grafo dirigido y su matriz de adyacencia (Ejercicio 30.6): $m_{ij} = 1$ exactamente cuando hay una arista de $i$ a $j$ .

Teorema 30.12 (Recuento de caminos)

El número de caminos de longitud $k$ del vértice $i$ al vértice $j$ es el coeficiente $(i,j)$ de $M^k$ .

Demostración. Inducción sobre $k$ . Para $k = 1$ es la definición de $M$ . Supongamos el resultado para $k$ . Un camino de longitud $k+1$ de $i$ a $j$ es un camino de longitud $k$ de $i$ a cierto vértice $l$ , seguido de una arista de $l$ a $j$ ; por los principios de la suma y del producto, su número es

\sum_{l=1}^{n} \bigl(M^k\bigr)_{il}\, m_{lj} = \bigl(M^{k+1}\bigr)_{ij}. \qedhere

∎

Ejemplo 30.13

Para el grafo triángulo ( $3$ vértices, todos los pares unidos), $M = \begin{pmatrix} 0&1&1\\ 1&0&1\\ 1&1&0\end{pmatrix}$ y $M^2 = \begin{pmatrix} 2&1&1\\ 1&2&1\\ 1&1&2\end{pmatrix}$ : desde cada vértice hay $2$ caminos de longitud $2$ que vuelven a él (por uno u otro vecino) y $1$ hacia cada uno de los otros vértices.

30.4 Ejercicios

Ejercicio 30.1 ★

Sean $A = \begin{pmatrix} 1 & 2\\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ y $B = \begin{pmatrix} 2 & 0\\ 1 & 1 \end{pmatrix}$ . Calcula $A + B$ , $AB$ , $BA$ y $A^2$ .

Solución

Solución de Ejercicio 30.1.

A + B = \begin{pmatrix} 3 & 2\\ 1 & 2\end{pmatrix}, \quad AB = \begin{pmatrix} 4 & 2\\ 1 & 1\end{pmatrix}, \quad BA = \begin{pmatrix} 2 & 4\\ 1 & 3\end{pmatrix}, \quad A^2 = \begin{pmatrix} 1 & 4\\ 0 & 1\end{pmatrix}.

Observa que $AB \neq BA$ .

Ejercicio 30.2 ★

Determina si las matrices siguientes son invertibles y calcula las inversas cuando existan:

A = \begin{pmatrix} 2 & 5\\ 1 & 3\end{pmatrix}, \qquad B = \begin{pmatrix} 3 & 6\\ 2 & 4\end{pmatrix}.

Solución

Solución de Ejercicio 30.2.

$\det A = 6 - 5 = 1 \neq 0$ : $A^{-1} = \begin{pmatrix} 3 & -5\\ -1 & 2 \end{pmatrix}$ . $\det B = 12 - 12 = 0$ : $B$ no es invertible.

Ejercicio 30.3 ★

Resuelve por inversión matricial el sistema $\begin{cases} 2x + 5y = 1\\ x + 3y = 2 . \end{cases}$

Solución

Solución de Ejercicio 30.3.

El sistema es $AX = Y$ con la $A$ del Ejercicio 30.2 e $Y = \begin{pmatrix} 1\\ 2\end{pmatrix}$ :

X = A^{-1}Y = \begin{pmatrix} 3 & -5\\ -1 & 2\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1\\ 2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -7\\ 3\end{pmatrix}: \qquad x = -7,\ y = 3 .

Ejercicio 30.4 ★★

Sea $A = \begin{pmatrix} 2 & 1\\ 0 & 2\end{pmatrix} = 2I + N$ con $N = \begin{pmatrix} 0 & 1\\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ .

Comprueba que $N^2 = 0$ y que $I$ y $N$ conmutan.
Deduce $A^k$ para todo $k \in \N$ y verifica la fórmula para $k=2$ mediante un cálculo directo.

Solución

Solución de Ejercicio 30.4.

1. $N^2 = \begin{pmatrix} 0&1\\0&0\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0&1\\0&0\end{pmatrix} = 0$ , e $I$ conmuta con cualquier matriz.

2. Como los dos términos conmutan, se aplica el teorema del binomio y todos los términos que contienen $N^2$ se anulan:

A^k = (2I + N)^k = 2^k I + k\,2^{k-1} N = \begin{pmatrix} 2^k & k\,2^{k-1}\\ 0 & 2^k \end{pmatrix}.

Comprobación para $k = 2$ : $A^2 = \begin{pmatrix} 2&1\\0&2\end{pmatrix}^2 = \begin{pmatrix} 4&4\\0&4\end{pmatrix}$ , y la fórmula da $2^2 = 4$ y $2 \times 2 = 4$ . ✓

Ejercicio 30.5 ★★

Sea $A = \begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 1\end{pmatrix}$ y sea $F_n$ la sucesión de Fibonacci ( $F_0 = 0$ , $F_1 = 1$ , $F_{n+2} = F_{n+1} + F_n$ ). Demuestra por inducción que, para $n \geq 1$ ,

A^n = \begin{pmatrix} F_{n-1} & F_n\\ F_n & F_{n+1}\end{pmatrix},

y deduce la identidad $F_{n+1}F_{n-1} - F_n^2 = (-1)^n$ . (Indicación: los determinantes se multiplican: $\det(MN) = \det M \det N$ , cosa que puedes comprobar para matrices $2\times2$ .)

Solución

Solución de Ejercicio 30.5.

Inducción. Para $n = 1$ : $A^1 = \begin{pmatrix} 0&1\\1&1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} F_0 & F_1\\ F_1 & F_2\end{pmatrix}$ . Supongamos la fórmula para $n$ ; entonces

A^{n+1} = A^n A = \begin{pmatrix} F_{n-1} & F_n\\ F_n & F_{n+1}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} F_n & F_{n-1} + F_n\\ F_{n+1} & F_n + F_{n+1}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} F_n & F_{n+1}\\ F_{n+1} & F_{n+2}\end{pmatrix}.

Identidad. Para matrices $2\times2$ , desarrollando se ve que $\det(MN) = \det M \det N$ ; por tanto, $\det(A^n) = (\det A)^n = (-1)^n$ , y $\det A^n = F_{n-1}F_{n+1} - F_n^2$ . (Es la identidad de Cassini.)

Ejercicio 30.6 ★★

Un grafo dirigido sobre los vértices $\{1, 2, 3\}$ tiene las aristas $1\to2$ , $2\to3$ , $3\to1$ y $1\to3$ .

Escribe la matriz de adyacencia $M$ y calcula $M^2$ y $M^3$ .
¿Cuántos caminos de longitud $3$ van de $1$ a $1$ ? Enuméralos.

Solución

Solución de Ejercicio 30.6.

1. Ordenando los vértices $1, 2, 3$ :

M = \begin{pmatrix} 0&1&1\\ 0&0&1\\ 1&0&0\end{pmatrix}, \quad M^2 = \begin{pmatrix} 1&0&1\\ 1&0&0\\ 0&1&1\end{pmatrix}, \quad M^3 = \begin{pmatrix} 1&1&1\\ 1&0&1\\ 1&0&1 \end{pmatrix}.

2. $\bigl(M^3\bigr)_{11} = 1$ : hay exactamente un camino cerrado de longitud $3$ en el vértice $1$ , a saber, $1 \to 2 \to 3 \to 1$ . (El camino $1 \to 3 \to 1$ solo tiene longitud $2$ , y $1 \to 3$ , luego $3\to1$ , luego $1\to3$ termina en $3$ .)

Ejercicio 30.7 ★★

Una empresa de coches compartidos mueve vehículos entre dos ciudades $A$ y $B$ . Cada semana, el $80\,\%$ de los coches que están en $A$ se quedan en $A$ y el $20\,\%$ pasa a $B$ ; el $30\,\%$ de los coches que están en $B$ pasa a $A$ y el $70\,\%$ se queda. Sean $a_n$ y $b_n$ las proporciones de la flota en cada ciudad.

Escribe $X_{n+1} = MX_n$ con $X_n = \begin{pmatrix} a_n\\ b_n\end{pmatrix}$ e identifica $M$ .
Halla las proporciones de equilibrio (resuelve $MX = X$ con $a + b = 1$ ).
Demuestra que $c_n = a_n - 0.6$ cumple $c_{n+1} = 0.5\,c_n$ y concluye que el reparto de la flota converge hacia el equilibrio.

Solución

Solución de Ejercicio 30.7.

1. $a_{n+1} = 0.8a_n + 0.3b_n$ y $b_{n+1} = 0.2a_n + 0.7b_n$ : $M = \begin{pmatrix} 0.8 & 0.3\\ 0.2 & 0.7\end{pmatrix}$ .

2. $MX = X$ da $0.8a + 0.3b = a$ , es decir, $0.3b = 0.2a$ , luego $b = \frac23 a$ ; y con $a + b = 1$ : $a = 0.6$ y $b = 0.4$ .

3. Usando $b_n = 1 - a_n$ : $a_{n+1} = 0.8a_n + 0.3(1 - a_n) = 0.5a_n + 0.3$ , luego

c_{n+1} = a_{n+1} - 0.6 = 0.5a_n + 0.3 - 0.6 = 0.5(a_n - 0.6) = 0.5\,c_n .

Por tanto, $c_n = 0.5^n c_0 \to 0$ : $a_n \to 0.6$ y $b_n \to 0.4$ , sea cual sea el reparto inicial.

Ejercicio 30.8 ★★★

Sean $A = \begin{pmatrix} 3 & 1\\ 1 & 3 \end{pmatrix}$ y $P = \begin{pmatrix} 1 & 1\\ 1 & -1 \end{pmatrix}$ .

Calcula $P^{-1}$ y después $D = P^{-1}AP$ , y comprueba que $D$ es diagonal.
Deduce una fórmula cerrada para $A^n$ y compárala con el Ejemplo 30.10.

Solución

Solución de Ejercicio 30.8.

1. $\det P = -2$ , luego $P^{-1} = -\frac12\begin{pmatrix} -1 & -1\\ -1 & 1\end{pmatrix} = \frac12\begin{pmatrix} 1 & 1\\ 1 & -1\end{pmatrix}$ . Entonces

AP = \begin{pmatrix} 4 & 2\\ 4 & -2 \end{pmatrix}, \qquad D = P^{-1}AP = \frac12\begin{pmatrix} 1&1\\1&-1\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 4&2\\4&-2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & 0\\ 0 & 2\end{pmatrix}.

2. De $A = PDP^{-1}$ , una inducción inmediata da $A^n = PD^nP^{-1}$ con $D^n = \begin{pmatrix} 4^n & 0\\ 0 & 2^n\end{pmatrix}$ , así que

A^n = P D^n P^{-1} = \begin{pmatrix} 4^n & 2^n\\ 4^n & -2^n\end{pmatrix}\cdot \frac12\begin{pmatrix} 1&1\\1&-1\end{pmatrix} = \frac12\begin{pmatrix} 4^n + 2^n & 4^n - 2^n\\ 4^n - 2^n & 4^n + 2^n\end{pmatrix}.

Aplicar $A^n$ a $X_0 = \begin{pmatrix} u_0\\v_0\end{pmatrix}$ reproduce exactamente las fórmulas del Ejemplo 30.10.

30.5 Problema: La matriz que se sabe Fibonacci (y el tiempo que va a hacer)

Problema 30.1

Problema de fin de semana — una sola matriz $2 \times 2$ lleva dentro todo Fibonacci, una matriz de Markov predice el tiempo a largo plazo y un vector propio vale mil millones de dólares

Una matriz es una máquina que se come un estado y devuelve el siguiente; y sus potencias guardan, por tanto, futuros enteros. Este problema abre con la asombrosa matriz cuyas potencias enumeran los números de Fibonacci (y demuestran sus identidades a línea por identidad), lleva después el tiempo atmosférico, visto como cadena de Markov, hasta su estado estacionario, y cierra con el vector propio sobre el que se construyó un buscador (Teorema 30.12, Método 30.9).

Parte I — Soltura.

Con $A = \begin{pmatrix} 1 & 2\\ 3 & 4\end{pmatrix}$ y $B = \begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0\end{pmatrix}$ : calcula $AB$ y $BA$ . ¿Veredicto sobre la conmutatividad?
Invierte $\begin{pmatrix} 2 & 1\\ 5 & 3\end{pmatrix}$ (Proposición 30.6) y usa la inversa para resolver $2x + y = 4$ , $5x + 3y = 7$ .
Sea $N = \begin{pmatrix} 0 & 1\\ 0 & 0\end{pmatrix}$ : calcula $N^2$ y deduce que $(I + N)^n = I + nN$ para todo $n$ .
El grafo triángulo (tres vértices, todos los pares unidos): escribe su matriz de adyacencia $A$ , calcula $A^3$ e interpreta los coeficientes diagonales (Teorema 30.12).
Para $D = \begin{pmatrix} 2 & 0\\ 0 & \frac12 \end{pmatrix}$ : da $D^n$ y su comportamiento cuando $n \to \infty$ .

Parte II — La matriz de Fibonacci. Sea $F = \begin{pmatrix} 1 & 1\\ 1 & 0\end{pmatrix}$ y sean $F_1 = F_2 = 1, F_3 = 2, \dots$ los números de Fibonacci del Problema 13.1.

Calcula $F^2$ , $F^3$ y $F^4$ , y conjetura la forma general de $F^n$ en términos de números de Fibonacci.
Demuestra por inducción la conjetura $F^n = \begin{pmatrix} F_{n+1} & F_n\\ F_n & F_{n-1} \end{pmatrix}$ .
Toma determinantes en los dos miembros (el determinante de un producto es el producto de los determinantes; compruébalo con matrices $2 \times 2$ si nunca lo has visto): deduce la identidad de Cassini $F_{n+1}F_{n-1} - F_n^2 = (-1)^n$ , el motor del cuadrado que se desvanece, demostrada en una línea.
A partir de $F^{m+n} = F^m F^n$ , lee los coeficientes superiores derechos y deduce la fórmula de adición

$F_{m+n} = F_{m+1} F_n + F_m F_{n-1} .$

Compruébala para $m = n = 3$ .
Deduce de la fórmula de adición (por inducción sobre $k$ ) que $F_n$ divide a $F_{kn}$ , y verifícalo en $F_3 \mid F_6$ y $F_3 \mid F_9$ .
Para calcular $F_{100}$ no hace falta multiplicar $100$ matrices: basta elevar al cuadrado repetidamente ( $F^2, F^4, F^8, \dots$ ) y combinar. ¿Cuántos productos de matrices bastan y de qué antiguo truco de multiplicación del volumen anterior se trata, ascendido a las matrices?

Parte III — La máquina del tiempo atmosférico. En cierta ciudad, tras un día soleado el siguiente es soleado con probabilidad $0.8$ ; y tras un día de lluvia, es soleado con probabilidad $0.4$ . Codificamos la distribución del día como una columna $\binom{p_{\text{sol}}}{p_{\text{lluvia}}}$ y la evolución mediante

M = \begin{pmatrix} 0.8 & 0.4\\ 0.2 & 0.6 \end{pmatrix}.

Comprueba que cada columna de $M$ suma $1$ y explica por qué toda máquina del tiempo tiene que cumplir esa propiedad.
Hoy hace sol. Calcula la previsión para mañana y para pasado mañana.
Halla el estado estacionario: la distribución $v$ con $Mv = v$ (y con coeficientes que sumen $1$ ). ¿Qué proporción de días es soleada a largo plazo?
Parte de un día de lluvia, $\binom01$ , y aplica $M$ cuatro veces, siguiendo en cada paso la distancia al estado estacionario. ¿Por qué factor se encoge la diferencia en cada paso y de qué tipo de convergencia se trata?
PageRank en miniatura: tres páginas, con enlaces $A \to B$ , $A \to C$ , $B \to C$ y $C \to A$ . Un navegante aleatorio sigue un enlace saliente elegido al azar de manera uniforme. Escribe la matriz de transición, halla el estado estacionario y ordena las páginas.
Interpreta la clasificación: ¿por qué puntúa $C$ tan alto como $A$ pese a recibir enlaces de menos páginas? ¿Qué mide realmente el estado estacionario? (El PageRank de verdad añade un factor de amortiguación para los callejones sin salida y los saltos; la idea del vector propio es exactamente esta.)

Parte IV — Los dividendos de la diagonal.

Dos cantidades acopladas obedecen a $u_{n+1} = 3u_n + v_n$ y $v_{n+1} = u_n + 3v_n$ , es decir, a la matriz $A$ del Ejercicio 30.8. Usando la diagonalización de ese ejercicio ( $D = \operatorname{diag}(4, 2)$ ), da la fórmula cerrada de $u_n$ cuando $u_0 = 1$ y $v_0 = 0$ , y contrástala con el cálculo directo para $n = 1, 2, 3$ .
En una o dos frases: ¿qué le hace la diagonalización a un sistema acoplado? ¿Y en qué sentido el estado estacionario de Markov de la pregunta 14 es también una historia de vectores propios?
Final: las tres caras de la matriz este fin de semana: la contabilidad (sistemas e inversas), la combinatoria (caminos y enlaces contados por las potencias) y la evolución (Fibonacci, el tiempo, la web: futuros que se leen en las direcciones propias). Una frase para cada una, más la mirada hacia delante: el álgebra lineal de los volúmenes universitarios convierte cada una de esas caras en una teoría.

Solución

Solución de Problema 30.1.

1. $AB = \begin{pmatrix} 2 & 1\\ 4 & 3\end{pmatrix}$ y $BA = \begin{pmatrix} 3 & 4\\ 1 & 2\end{pmatrix}$ : el producto de matrices no es conmutativo; $B$ intercambia columnas por la derecha y filas por la izquierda.

2. Determinante $6 - 5 = 1$ : la inversa es $\begin{pmatrix} 3 & -1\\ -5 & 2\end{pmatrix}$ . Aplicándola a $\binom{4}{7}$ : $x = 12 - 7 = 5$ e $y = -20 + 14 = -6$ .

3. $N^2 = 0$ . Entonces $(I + N)^n = I + nN$ por inducción: $(I + nN)(I + N) = I + (n+1)N + nN^2 = I + (n+1)N$ .

4. $A = \begin{pmatrix} 0&1&1\\ 1&0&1\\ 1&1&0 \end{pmatrix}$ , y $A^3$ tiene coeficientes diagonales iguales a $2$ : desde cada vértice hay exactamente dos caminos cerrados de longitud $3$ (el triángulo recorrido en un sentido o en el otro); el teorema del recuento en acción.

5. $D^n = \begin{pmatrix} 2^n & 0\\ 0 & 2^{-n} \end{pmatrix}$ : una dirección estalla y la otra se apaga; los destinos diagonales son sucesiones geométricas independientes.

6. $F^2 = \begin{pmatrix} 2 & 1\\ 1 & 1\end{pmatrix}$ , $F^3 = \begin{pmatrix} 3 & 2\\ 2 & 1\end{pmatrix}$ , $F^4 = \begin{pmatrix} 5 & 3\\ 3 & 2\end{pmatrix}$ : Fibonacci por todas partes; la conjetura es la del enunciado.

7. Si $F^n = \begin{pmatrix} F_{n+1} & F_n\\ F_n & F_{n-1}\end{pmatrix}$ , entonces

F^{n+1} = F^n F = \begin{pmatrix} F_{n+1} + F_n & F_{n+1}\\ F_n + F_{n-1} & F_n \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} F_{n+2} & F_{n+1}\\ F_{n+1} & F_n \end{pmatrix} :

la herencia; y el caso base $n = 1$ es la propia $F$ , con el convenio $F_0 = 0$ (que prolonga la recurrencia hacia atrás).

8. $\det F = -1$ , luego $\det(F^n) = (\det F)^n = (-1)^n$ ; y directamente $\det(F^n) = F_{n+1}F_{n-1} - F_n^2$ : Cassini, en una línea. (La regla del producto para determinantes $2 \times 2$ es un desarrollo agradable de cinco minutos.)

9. Coeficiente superior derecho de $F^m F^n$ : $F_{m+1}F_n + F_m F_{n-1}$ ; coeficiente superior derecho de $F^{m+n}$ : $F_{m+n}$ . Para $m = n = 3$ : $F_4 F_3 + F_3 F_2 = 3 \times 2 + 2 \times 1 = 8 = F_6$ .

10. Para $k = 1$ es trivial. Si $F_n \mid F_{kn}$ , la fórmula de adición con $m = kn$ da $F_{(k+1)n} = F_{kn+1}F_n + F_{kn}F_{n-1}$ : los dos términos son múltiplos de $F_n$ . Así que $F_n \mid F_{kn}$ para todo $k$ : comprueba que $F_3 = 2$ divide a $F_6 = 8$ y a $F_9 = 34$ .

11. $F^{100} = F^{64} F^{32} F^4$ : siete elevaciones al cuadrado ( $F^2, F^4, \dots, F^{64}$ ) más dos combinaciones; nueve productos en lugar de noventa y nueve. Es el truco de la tabla de duplicaciones de los escribas egipcios, elevado de los números a las matrices: escribe $100$ en binario y multiplica las duplicaciones que necesites.

12. $0.8 + 0.2 = 1$ y $0.4 + 0.6 = 1$ : mañana tendrá que hacer algún tiempo; cada columna es una distribución de probabilidad completa, así que las probabilidades se conservan.

13. Mañana: $\binom{0.8}{0.2}$ . Pasado mañana: $M\binom{0.8}{0.2} = \binom{0.72}{0.28}$ .

14. $Mv = v$ con $v = \binom{s}{r}$ y $s + r = 1$ : $0.8s + 0.4r = s$ da $0.4r = 0.2s$ , luego $s = 2r$ y $v = \binom{2/3}{1/3}$ . A largo plazo, dos de cada tres días son soleados, haga hoy el tiempo que haga.

15. Partiendo de $\binom01$ : las componentes de sol son $0.4$ , $0.56$ , $0.624$ y $0.6496$ ; las diferencias con $\frac23$ son $0.267$ , $0.107$ , $0.043$ y $0.017$ : cada paso multiplica la diferencia por exactamente $0.4$ (el segundo valor propio de la máquina): convergencia geométrica hacia el estado estacionario.

16. Columnas (desde $A$ , $B$ y $C$ ): $P = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1\\ \frac12 & 0 & 0\\ \frac12 & 1 & 0\end{pmatrix}$ . Estado estacionario: $v_A = v_C$ , $v_B = \frac{v_A}{2}$ y $v_C = \frac{v_A}{2} + v_B$ ; imponiendo que sumen $1$ : $v = \left(\frac25, \frac15, \frac25\right)$ . Clasificación: $A$ y $C$ empatan en el primer puesto y $B$ queda última.

17. $C$ recibe todo el tráfico de $B$ y la mitad del de $A$ , y lo devuelve entero a $A$ : el estado estacionario mide dónde pasa el tiempo el navegante, no cuántos enlaces apuntan hacia una página; un enlace desde una página popular pesa más que varios desde páginas desiertas. Esa ponderación recursiva es exactamente la idea fundacional de Google; la amortiguación se encarga de las trampas y de los callejones sin salida.

18. $A^n = P D^n P^{-1}$ da $u_n = \frac{4^n + 2^n}{2}$ (y $v_n = \frac{4^n - 2^n}{2}$ ). Comprobación: $u_1 = 3$ , $u_2 = 10$ y $u_3 = 36$ ; y directamente: $(1,0) \to (3,1) \to (10,6) \to (36, 28)$ : coincide.

19. La diagonalización cambia a unas coordenadas en las que el sistema acoplado se deshace en sucesiones geométricas independientes: cada valor propio corre su propia carrera. El estado estacionario de Markov es el vector propio de valor propio $1$ , y la velocidad de convergencia de la pregunta 15 es el valor propio siguiente: la máquina del tiempo era, desde el principio, una historia de valores propios.

20. Contabilidad: un sistema es una sola ecuación matricial, que se resuelve con una sola inversa. Combinatoria: las potencias de la matriz de adyacencia cuentan caminos, enlaces y conexiones. Evolución: las potencias de la máquina llevan los estados hasta sus destinos, y las direcciones propias (la dirección áurea de Fibonacci, el estado estacionario del tiempo, el vector de clasificación de la web) son esos destinos. El álgebra lineal, en los volúmenes universitarios, es la ciencia de exactamente esto.