Matemáticas de secundaria · Grades 10–12

35Variables aleatorias continuas

Tiempos de espera, medidas físicas, proporciones: muchas cantidades aleatorias tome un continuo de valores y ningún valor individual tiene probabilidad positivo. Luego, las probabilidades se calculan integrando densidad. esto El capítulo estudia el uniforme, exponencial y distribuciones normales, y utiliza la ley normal para cuantificar las fluctuaciones de las encuestas y muestras.

35.1 Densidades de probabilidad

Definición 35.1 (Densidad, variable aleatoria continua)

Un densidad de probabilidad en un intervalo $I$ es un continuo, función $f$ no negativo en $I$ con $\int_I f(t)\,\dd t = 1$ (entendiéndose el integral sobre un $I$ ilimitado como un límite de integrales sobre el límite creciente intervalos). Un variable aleatoria $X$ tiene densidad $f$ si para todos los $a \leq b$ en $I$ :

\P(a \leq X \leq b) = \int_a^b f(t)\,\dd t .

Las probabilidades son areas under the densidad curve. en particular $\P(X = a) = \int_a^a f = 0$ para cada valor $a$ : solo intervalos llevar probabilidad y $\P(a \leq X \leq b) = \P(a < X < b)$ .

Definición 35.2 (Expectativa y variación)

Para $X$ con densidad $f$ en $I$ :

\E(X) = \int_I t\,f(t)\,\dd t, \qquad \V(X) = \int_I \bigl(t - \E(X)\bigr)^2 f(t)\,\dd t = \E(X^2) - \E(X)^2 .

Las reglas de los Capítulos 14–15 (linealidad de expectativa, aditividad de diferencia para variables independiente, Bienaymé–Chebyshev) siguen siendo válidas; sus pruebas, con integrales en lugar de sumas, se admiten en este nivel.

35.2 Distribución uniforme

Definición 35.3 (distribución uniforme)

$X$ sigue el distribución uniforme $\mathcal U\intcc ab$ si su densidad es constante, $f(t) = \frac{1}{b-a}$ en $\intcc{a}{b}$ . entonces por $\intcc{c}{d} \subseteq \intcc ab$ , $\P(c \leq X \leq d) = \frac{d - c}{b - a}$ : probabilidad proporcional a longitud.

Proposición 35.4

Si $X \sim \mathcal U\intcc ab$ , entonces $\E(X) = \dfrac{a+b}{2}$ y $\V(X) = \dfrac{(b-a)^2}{12}$ .

Demostración. $\E(X) = \int_a^b \frac{t}{b-a}\dd t = \frac{b^2 - a^2}{2(b-a)} = \frac{a+b}{2}$ . Para diferencia, $\E(X^2) = \frac{b^3 - a^3}{3(b-a)} = \frac{a^2 + ab + b^2}{3}$ , y

\V(X) = \frac{a^2 + ab + b^2}{3} - \frac{(a+b)^2}{4} = \frac{4a^2 + 4ab + 4b^2 - 3a^2 - 6ab - 3b^2}{12} = \frac{(b - a)^2}{12}. \qedhere

∎

35.3 Distribución exponencial

Definición 35.5 (Distribución exponencial)

Para $\lambda > 0$ , $X$ sigue el exponencial distribución $\mathcal E(\lambda)$ si es densidad en $\intco{0}{+\infty}$ es

f(t) = \lambda\,\eu^{-\lambda t}.

Luego $\P(X \leq x) = 1 - \eu^{-\lambda x}$ y $\P(X > x) = \eu^{-\lambda x}$ para $x \geq 0$ .

Proposición 35.6

Si $X \sim \mathcal E(\lambda)$ : $\E(X) = \dfrac{1}{\lambda}$ y $\V(X) = \dfrac{1}{\lambda^2}$ .

Demostración. Integrando por partes en $\intcc{0}{A}$ :

\int_0^A t\,\lambda\eu^{-\lambda t}\dd t = \bigl[-t\,\eu^{-\lambda t}\bigr]_0^A + \int_0^A \eu^{-\lambda t}\dd t = -A\eu^{-\lambda A} + \frac{1 - \eu^{-\lambda A}}{\lambda} \xrightarrow[A\to+\infty]{} \frac1\lambda,

utilizando $A\eu^{-\lambda A} \to 0$ (Teorema 23.4). un segundo integración por partes da $\E(X^2) = \frac{2}{\lambda^2}$ , de donde $\V(X) = \frac{2}{\lambda^2} - \frac{1}{\lambda^2}$ . ∎

Teorema 35.7 (sin memoria)

Si $X \sim \mathcal E(\lambda)$ , entonces para todos $s, t \geq 0$ :

\pcond{X > s}{X > s + t} = \P(X > t) .

La distribución exponencial es la ley de las vidas sin envejecer (núcleos radiactivos, no bombillas).

Demostración.

\pcond{X > s}{X > s+t} = \frac{\P(X > s + t)}{\P(X > s)} = \frac{\eu^{-\lambda(s+t)}}{\eu^{-\lambda s}} = \eu^{-\lambda t} = \P(X > t). \qedhere

∎

El exponencial densidad - x (aquí = 1): el área de la cola más allá de t (rojo) es - t, y la falta de memoria dice que cada cola se parece al todo distribución reescalado. — El exponencial densidad $\lambda\eu^{-\lambda x}$ (aquí $\lambda = 1$ ): el área de la cola más allá de $t$ (rojo) es $\eu^{-\lambda t}$ , y la falta de memoria dice que cada cola se parece al todo distribución reescalado.

35.4 Distribución normal

Definición 35.8 (distribución normal)

$X$ sigue el distribución normal estándar $\mathcal N(0, 1)$ si su densidad en $\R$ es

\varphi(t) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\,\eu^{-t^2/2}

(la curva de campana). De manera más general, $X \sim \mathcal N(\mu, \sigma^2)$ si $\dfrac{X - \mu}{\sigma} \sim \mathcal N(0,1)$ ; luego $\E(X) = \mu$ y $\V(X) = \sigma^2$ .

El densidad normal: aproximadamente 68.3\% de la masa se encuentra dentro del significar, 95.4\% dentro del 2, 99.7\% dentro 3. — El densidad normal: aproximadamente $68.3\%$ de la masa se encuentra dentro $\sigma$ del significar, $95.4\%$ dentro del $2\sigma$ , $99.7\%$ dentro $3\sigma$ .

Observación 35.9

El factor $\frac{1}{\sqrt{2\pi}}$ hace que el área total sea $1$ — un famoso cálculo (el Gaussian integral) realizado en la universidad. no hay Fórmula elemental para $\int \varphi$ : las probabilidades normales se leen de tablas o calculadoras.

Teorema 35.10 (De Moivre–Laplace, admitido)

Deje $X_n \sim \mathcal B(n, p)$ y $Z_n = \dfrac{X_n - np}{\sqrt{np(1-p)}}$ (el binomio estandarizado). entonces para todos los $a \leq b$ ,

\P(a \leq Z_n \leq b) \xrightarrow[n\to+\infty]{} \int_a^b \varphi(t)\,\dd t .

Este resultado se admite en este nivel. Explica lo universal. apariencia de la curva de campana: un binomio con $n$ grande es aproximadamente normal — y (teorema del límite central, universidad) también lo es cualquier suma de muchos pequeños independiente efectos.

Método 35.11 (Intervalo de fluctuación en $95\%$ )

Dado que una variable normal se encuentra dentro de $1.96$ desviaciones estándar de su significar con probabilidad $0.95$ , para $n$ grande a frecuencia $F_n = \frac{X_n}{n}$ de un $\mathcal B(n,p)$ muestra satisface

\P\left(p - 1.96\sqrt{\tfrac{p(1-p)}{n}} \leq F_n \leq p + 1.96\sqrt{\tfrac{p(1-p)}{n}}\right) \approx 0.95 .

Fluctuation intervalo (prueba): si un $p$ reclamado pone el observado frecuencia fuera de este intervalo, rechazar el reclamo en el XXXP0085Nivel XXX.
Intervalo de confianza (estimación): el intervalo simplificado $\left[F_n - \frac{1}{\sqrt n},\ F_n + \frac{1}{\sqrt n}\right]$ contiene $p$ con probabilidad al menos $0.95$ (usando $1.96\sqrt{p(1-p)} \leq 1$ , consulte Ejercicio 34.8).

Ejemplo 35.12

Una encuesta de votantes $n = 1000$ arroja un candidato $52\%$ . El confianza intervalo $52\% \pm \frac{1}{\sqrt{1000}} \approx 52\% \pm 3.2\%$ todavía contiene $50\%$ : la encuesta por sí sola no establece que el candidato sea adelante.

35.5 Ceremonias

Ejercicio 35.1 ★

Un autobús pasa cada $15$ minutos; un viajero llega a un lugar uniformemente aleatorio tiempo. Sea $X \sim \mathcal U\intcc{0}{15}$ el tiempo de espera. calcular $\P(X \leq 5)$ , $\P(4 \leq X \leq 10)$ , $\E(X)$ y $\sigma(X)$ .

Solución

Solución de Ejercicio 35.1.

$\P(X \leq 5) = \frac{5}{15} = \frac13$ ; $\P(4 \leq X \leq 10) = \frac{6}{15} = \frac25$ ; $\E(X) = \frac{15}{2} = 7.5$ mín; $\sigma(X) = \frac{15}{\sqrt{12}} = \frac{5\sqrt3}{2} \approx 4.3$ mín.

Ejercicio 35.2 ★

Verifique que $f(t) = \frac{3}{8}t^2$ sea un densidad en $\intcc{0}{2}$ y calcule $\E(X)$ y $\P(X \geq 1)$ para una variable $X$ con este densidad.

Solución

Solución de Ejercicio 35.2.

$f \geq 0$ y $\int_0^2 \frac38 t^2\,\dd t = \frac38\left[\frac{t^3}{3}\right]_0^2 = \frac38 \times \frac83 = 1$ : a densidad.

\E(X) = \int_0^2 \frac38 t^3\,\dd t = \frac38 \times \frac{16}{4} = \frac32, \qquad \P(X \geq 1) = \int_1^2 \frac38 t^2\,\dd t = \frac{8 - 1}{8} = \frac78 .

Ejercicio 35.3 ★

La vida útil (en años) de un componente electrónico sigue $\mathcal E(0.2)$ .

Calcule la vida útil esperada y $\P(X > 5)$ .
El componente ya ha trabajado $3$ años. cual es el probabilidad ¿funciona al menos $5$ más?

Solución

Solución de Ejercicio 35.3.

1. $\E(X) = \frac{1}{0.2} = 5$ años; $\P(X > 5) = \eu^{-0.2\times5} = \eu^{-1} \approx 0.37$ .

2. Por falta de memoria (Teorema 35.7), $\pcond{X > 3}{X > 8} = \P(X > 5) = \eu^{-1} \approx 0.37$ : los tres años del servicio no cambia nada.

Ejercicio 35.4 ★★

La vida media de un átomo radiactivo cuya vida sigue $\mathcal E(\lambda)$ es el mediana $m$ : $\P(X > m) = \frac12$ . expreso $m$ como función de $\lambda$ y compárelo con expectativa. cual es más grande, y ¿por qué tiene sentido para un distribución sesgado?

Solución

Solución de Ejercicio 35.4.

$\P(X > m) = \eu^{-\lambda m} = \frac12$ da $m = \frac{\ln 2}{\lambda} \approx \frac{0.69}{\lambda}$ , más pequeño que $\E(X) = \frac1\lambda$ . El exponencial densidad tiene una larga cola derecha: a pocas vidas atípicamente largas llevan al significar por encima del mediana, el valor que supera la mitad de la población. (Este es el Vida media de Ejemplo 23.9: la mitad de los átomos sobreviven, incluso aunque la vida media es más larga.)

Ejercicio 35.5 ★★

Las alturas en una población siguen $\mathcal N(175,\ 7^2)$ (en cm). Usando el $68$ – $95$ – $99.7$ , estima la proporción de la población con altura entre $168$ y $182$ cm, por encima de $189$ cm y por debajo de $154$ cm.

Solución

Solución de Ejercicio 35.5.

$168 = \mu - \sigma$ y $182 = \mu + \sigma$ : sobre $68\%$ . $189 = \mu + 2\sigma$ : encima se encuentra la mitad del resto $100 - 95.4 = 4.6\%$ , entonces aproximadamente $2.3\%$ . $154 = \mu - 3\sigma$ : sobre $\frac{100 - 99.7}{2} = 0.15\%$ .

Ejercicio 35.6 ★★

Una máquina llena bolsas etiquetadas como $500$ g; la masa llena sigue $\mathcal N(\mu,\ 4^2)$ . La normativa exige que como máximo $2.5\%$ de bolsas pesar menos de $500$ g. Usando la regla $95\%$ , ¿qué configuración mínima de $\mu$ cumple?

Solución

Solución de Ejercicio 35.6.

$\P(X < 500) \leq 2.5\%$ significa que $500$ debe sentarse al menos dos estándar desviaciones debajo del significar (lo normal deja a $2.3\% \approx 2.5\%$ debajo $\mu - 2\sigma$ ; con el $1.96$ convencional, el razonamiento es idéntico):

\mu - 2\sigma \geq 500 \iff \mu \geq 500 + 8 = 508 \text{ g}.

La máquina debe configurarse en $508$ g en promedio — el precio de la La garantía es de $8$ g de producto "gratuito" por bolsa.

Ejercicio 35.7 ★★

Un dado que se dice que es justo se lanza $1200$ veces y muestra un seis $260$ veces (como en Ejercicio 34.7).

Calcule la fluctuación $95\%$ intervalo para el frecuencia de seises de un dado justo en tiradas $1200$ .
¿Está dentro el frecuencia observado? Compara la fuerza de este conclusión con el análisis de Bienaymé-Chebyshev.

Solución

Solución de Ejercicio 35.7.

1. Con $p = \frac16$ , $n = 1200$ : $\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}} = \sqrt{\frac{5/36}{1200}} \approx 0.0108$ , entonces el $95\%$ fluctuación intervalo es

\frac16 \pm 1.96 \times 0.0108 \approx \intcc{0.146}{0.188}.

2. El frecuencia $\frac{260}{1200} \approx 0.217$ observado se encuentra lejos exterior: la hipótesis de equidad se rechaza en el nivel $5\%$ . el La desviación es aproximadamente $4.6$ desviaciones estándar — para una normal aproximación, un probabilidad de orden $10^{-6}$ , mucho más concluyente que el $\leq 4.6\%$ con destino Bienaymé–Chebyshev (Ejercicio 34.7).

Ejercicio 35.8 ★★★

Antes de una elección, una encuesta de $n$ personas estimará el puntaje $p$ de un candidato por el observado frecuencia $F_n$ .

Con el intervalo de confianza de Método 35.11, qué tamaño muestra garantiza una margen de $\pm 2$ puntos?
Los candidatos están separados por el punto $1$ en la realidad. Explica por qué ninguna encuesta realista puede decir con seguridad quién es el ganador, por muy bien realizado.

Solución

Solución de Ejercicio 35.8.

1. Margen $\frac{1}{\sqrt n} \leq 0.02$ requiere $n \geq 2500$ personas.

2. Para distinguir las puntuaciones $1$ por puntos, el margen debe estar bien bajo el punto $0.5$ , que exige $n \geq \left(\frac{1}{0.005}\right)^2 = 40\,000$ mediante la fórmula simplificada, que ya no es práctico para la mayoría de las encuestas. Peor aún, el margen estadístico sólo representa el error muestreo; sesgos sistemáticos (no representativo muestras, falta de respuesta, oscilaciones) no se reducen a medida que $n$ crece y normalmente superan un punto. un XXXP0047La carrera de puntos XXX está realmente demasiado reñida para decidirse.

Ejercicio 35.9 ★★★

Deje que $X$ tenga densidad $f$ en $\intcc ab$ y deje $Y = \alpha X + \beta$ con $\alpha > 0$ .

Muestre que $\P(c \leq Y \leq d) = \P\left(\frac{c - \beta}{\alpha} \leq X \leq \frac{d-\beta}{\alpha}\right)$ y deduzca que $Y$ tiene densidad $g(y) = \frac{1}{\alpha} f\left(\frac{y - \beta}{\alpha}\right)$ .
Deduzca que si $Z \sim \mathcal N(0,1)$ , entonces $\mu + \sigma Z$ tiene densidad $\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\, \eu^{-(y - \mu)^2/(2\sigma^2)}$ — el densidad normal general.

Solución

Solución de Ejercicio 35.9.

1. Desde $\alpha > 0$ , $c \leq \alpha X + \beta \leq d \iff \frac{c - \beta}{\alpha} \leq X \leq \frac{d - \beta}{\alpha}$ , entonces

\P(c \leq Y \leq d) = \int_{(c-\beta)/\alpha}^{(d-\beta)/\alpha} f(t)\,\dd t .

La sustitución $y = \alpha t + \beta$ (es decir, leer el área en $y$ variable, $t = \frac{y - \beta}{\alpha}$ , $\dd t = \frac{\dd y}{\alpha}$ ) convierte esto en $\int_c^d \frac{1}{\alpha} f\left(\frac{y-\beta}{\alpha}\right)\dd y$ : el función $g(y) = \frac1\alpha f\left(\frac{y-\beta}{\alpha}\right)$ es un densidad de $Y$ .

2. Con $f = \varphi$ , $\alpha = \sigma$ , $\beta = \mu$ :

g(y) = \frac{1}{\sigma}\,\varphi\!\left(\frac{y - \mu}{\sigma}\right) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\, \exp\left(-\frac{(y-\mu)^2}{2\sigma^2}\right),

que es por tanto el densidad de $\mathcal N(\mu, \sigma^2) = \mu + \sigma\,\mathcal N(0,1)$ .

35.6 Problema: esperando el autobús, midiendo la multitud

Problema 35.1

Problema de fin de semana — tres densidades ejecutan el mundo: ignorancia total, espera sin recuerdos y el timbre de muchas pequeñas causas; más la paradoja que hace que tu autobús siempre llega tarde

¿Por qué tu autobús siempre parece tardar más de lo previsto? promesas? ¿Por qué la clase en la que se sienta un estudiante promedio es más grande? que la clase promedio? ¿Por qué tus amigos tienen más amigos? que tu? Una pieza astuta de matemáticas — sesgada en longitud muestreo — responde a las tres, y se encuentra en este capítulo, entre el uniforme, exponencial y distribuciones normales (Definición 35.3, Definición 35.5, Definición 35.8). Este último problema de la volumen pone a trabajar las tres densidades y termina donde todo puntos de la serie: la curva de campana.

Parte I — Three characters.

Un autobús llega a una hora uniformemente aleatoria en el siguiente $30$ minutos. Calcula $\P(\text{wait} \leq 10)$ , el espera esperada, y $\sigma$ (Proposición 35.4).
Compruebe que $f(x) = 2x$ en $\intcc{0}{1}$ sea un densidad, y calcular $\E(X)$ y $\P\left(X > \frac12\right)$ .
Las llamadas telefónicas llegan a una línea de ayuda como un flujo sin memoria: la espera para la próxima llamada es exponencial con significar $10$ minutos. Calcular $\P(T > 15)$ y la espera mediana — ¿Por qué el mediana es menos que el significar?
Ya has esperado $20$ minutos. que es $\P(T > 35 \mid T > 20)$ (Teorema 35.7)? Interpretar en uno frase.
Haga coincidir cada espera con su modelo correcto — uniforme, exponencial, o ninguno de los dos: (a) el clic de un Geiger mostrador; (b) un metro que circula cada $8$ minutos, su llegada no sincronizada; (c) la próxima convocatoria a la línea de ayuda; (d) la falla de una bombilla que se desgasta. Justificar (d) con la falta de memoria teorema.

Parte II — The bell at work. (Utilice los puntos de referencia normales: $68\,\%$ dentro de $\sigma$ , $95\,\%$ dentro de $2\sigma$ , $99.7\,\%$ dentro de $3\sigma$ .)

Las alturas adultas siguen aproximadamente $\mathcal N(172,\ 8)$ (cm). ¿En qué fracciones se encuentran? $\intcc{164}{180}$ , $\intcc{156}{188}$ , $\intcc{148}{196}$ ?
Estima la proporción más alta que $190$ cm (puntuación z primero; tabla o calculadora).
Las puntuaciones de CI están calibradas según $\mathcal N(100, 15)$ . ¿Qué fracción obtiene una puntuación superior a $130$ — y aproximadamente uno? persona en cuantas?
Una máquina corta pernos con longitudes $\mathcal N(50,\ 0.1)$ mm y la especificación es $\intcc{49.8}{50.2}$ . ¿Qué acción se rechaza? Industria celebra los procesos “seis sigma”, cuyo Las especificaciones se encuentran en $\pm 6\sigma$ : ¿qué significa eso? comprar, y ¿por qué las fábricas lo persiguen?
De Moivre–Laplace (Teorema 35.10): para $100$ lanzamientos de moneda justos, aproximados $\P(45 \leq \text{heads} \leq 55)$ (continuidad: $\pm 0.5$ ; $\sigma = 5$ ). ¿Qué máquina de madera de Problema 19.1 ¿Este teorema se suaviza en un curva?
De Ejercicio 35.8: un margen de puntos $\pm 2$ necesita aproximadamente $n = 2\,400$ . Calcule el muestra necesario para $\pm 0.5$ señala — y concluye, en una frase, por qué una carrera separada por un punto no puede ser considerada honestamente por cualquier encuesta.

Parte III — The bus paradox.

Los autobuses llegan como una secuencia sin memoria con un espacio significar $10$ minutos. Llegas a la parada en un momento arbitrario. La intuición dice que la espera esperada es $5$ minutos. (medio hueco). ¿Qué dice el teorema de la falta de memoria? en cambio?
Diagnosticar la intuición con un horario de juguete: lagunas minutos alternos $5$ y $15$ (intervalo significar $10$ ). Calcule el probabilidad que una llegada uniformemente aleatoria aterriza en una brecha larga, entonces la verdadera espera esperada — y nombrar al culpable: llegadas muestra brechas con probabilidad proporcional a su longitud.
En la corriente sin memoria, la brecha en la que aterrizas tiene duración esperada $20$ minutos — el doble del intervalo típico (el tiempo de regreso al autobús anterior y avance al los siguientes son ambos exponencial con significar $10$ ). Concilie esto con la pregunta 12 y establezca la paradoja de la inspección en una frase.
El mismo problema en tierra: una universidad imparte nueve clases de Estudiantes de $10$ y uno de $110$ . Calcular el promedio tamaño de la clase, luego el tamaño de la clase experimentado por el estudiante promedio. ¿Qué número tendrá el folleto? cita, y ¿cuál es la verdad vivida por los estudiantes?
La paradoja de la amistad — “tus amigos tienen, en promedio, más amigos que tú ” — es lo mismo matemáticas. Di en una frase qué desempeña el papel de la larga brecha.

Parte IV — Closing the volume.

Simulación, el puente de los practicantes: si $U$ es uniforme en $\intoo{0}{1}$ , muestra que $T = -10\ln U$ es exponencial con significar $10$ (calcular $\P(T > t)$ ). Cada simulación de espera aleatoria en La industria se basa en este truco de una sola línea.
Una vieja receta de programadores de juegos construye una campana: agregar doce uniformes independiente en $\intcc{0}{1}$ y restar $6$ . Da el significar y diferencia de la suma, y explique — tablero Galton en mano — por qué el El resultado es casi normal.
Los mercados caen más fuerte de lo que permite la campana: el 1987 El accidente se describió como “ $25\sigma$ evento”, que en condiciones normales tiene probabilidad alrededor de $10^{-137}$ . ¿Cuál es la conclusión correcta — sobre el mundo, o sobre el modelo? (Una frase, la del estadístico catecismo.)
Final y despedida del volumen: los tres caracteres en una línea cada uno — uniforme (ignorancia dentro de límites), exponencial (peligro sin memoria), normal (la suma de muchas causas pequeñas); la inspección la paradoja como aguijón del capítulo; y el arco del Serie completa — desde contar cajas de cartón en grado 6 hasta la curva de campana que mide a cada multitud — con la Volúmenes universitarios esperando donde los límites, los integrales y el teorema del límite central toman el relevo.

Solución

Solución de Problema 35.1.

1. $\P(\text{wait} \leq 10) = \frac{10}{30} = \frac13$ ; $\E = 15$ mín; $\sigma = \frac{30}{\sqrt{12}} \approx 8.7$ mín.

2. $\int_0^1 2x\,\dd x = 1$ : a densidad. $\E(X) = \int_0^1 2x^2\,\dd x = \frac23$ ; $\P\left(X > \frac12\right) = \int_{1/2}^1 2x\,\dd x = 1 - \frac14 = \frac34$ .

3. $\P(T > 15) = \eu^{-15/10} \approx 0.22$ . Mediana: $\eu^{-m/10} = \frac12$ : $m = 10\ln 2 \approx 6.9$ min — menor que el significar $10$ porque la derecha larga del exponencial La cola (raras esperas enormes) arrastra el significar hacia arriba mientras deja el mediana en la espera "típica".

4. Por falta de memoria, $\P(T > 35 \mid T > 20) = \P(T > 15) \approx 0.22$ : el veinte minutos ya servidos no compres nada — el stream sí no la edad.

5. (a) exponencial (la desintegración radiactiva es el modelo para ello se inventó la falta de memoria); (b) uniforme en $\intcc{0}{8}$ (un horario con un desplazamiento aleatorio); (c) exponencial; (d) ninguno de los dos: es probable que una bombilla desgastada más fallará en la próxima hora que uno nuevo, por lo que $\P(T > s + t \mid T > s) < \P(T > t)$ : el envejecimiento contradice la Teorema de la falta de memoria.

6. $68\,\%$ , $95\,\%$ , $99.7\,\%$ : los tres punto de referencia intervalos.

7. $z = \frac{190 - 172}{8} = 2.25$ : cola superior $\approx 1.2\,\%$ .

8. $z = 2$ : aproximadamente $2.3\,\%$ — aproximadamente una persona en $44$ .

9. La especificación se encuentra en $\pm 2\sigma$ : aproximadamente $95.4\,\%$ aprobado, $4.6\,\%$ rechazado — ruinoso a escala. en $\pm 6\sigma$ la tasa de fallas cae a aproximadamente dos partes por mil millones: six-sigma compra el derecho a producir en masa sin realizar inspecciones masivas.

10. $\sigma = 5$ ; con corrección continuidad, $\P \approx \P\left(\abs Z \leq \frac{5.5}{5}\right) = \P(\abs Z \leq 1.1) \approx 0.73$ . El teorema suaviza la Tablero Galton Problema 19.1: la escalera de las ranuras se convierte en la campana continuo.

11. $n \approx \frac{1.96^2 \times 0.25}{0.005^2} \approx 38\,400$ personas — y en ese tamaño el no: los errores de muestreo (marcos, rechazos, mentiras) eclipsan el margen: una carrera de un punto va más allá de una encuesta honesta, lo cual es ¿Por qué los institutos serios dicen entonces "demasiado cerca para llamar"?

12. Sin memoria: desde que llegas, el la espera restante es exponencial con significar $10$ — el total $10$ minutos, no $5$ . La “significar brecha $10$ ” del horario Engaña: tu espera tiene el mismo distribución que todo un hueco.

13. Las llegadas aleatorias aterrizan proporcionalmente a la brecha Longitud: $\P(\text{long gap}) = \frac{15}{20} = \frac34$ . Espera esperada: $\frac34 \times \frac{15}{2} + \frac14 \times \frac52 = 5.625 + 0.625 = 6.25$ min — más que los ingenuos $5$ , aunque la brecha significar es $10$ . Culpable: sesgado por la longitud muestreo — los espacios largos atrapan a más pasajeros.

14. Las esperas hacia atrás y hacia adelante son exponenciales con significar $10$ (la falta de memoria corre en ambas direcciones desde tu llegada): el espacio que te contiene tiene un promedio de $20$ minutos — el doble de la brecha típica. Paradoja de la inspección en una frase: the intervalo you happen to inspect is not a typical intervalo, because you were more likely to fall into a big one.

15. Clase promedio: $\frac{9 \times 10 + 110}{10} = 20$ estudiantes. Promedio de estudiantes con experiencia: $\frac{90 \times 10 + 110 \times 110}{200} = \frac{13\,000} {200} = 65$ estudiantes. El folleto imprime $20$ ; tres de cada cinco los estudiantes se sientan en la clase de $110$ y viven el $65$ .

16. Las personas populares aparecen en muchas listas de amigos, por lo que El muestreo de "un amigo" tiene un sesgo de longitud hacia lo sociable. — tus amigos provienen de las largas brechas de las redes sociales calendario.

17. Para $t \geq 0$ : $\P(T > t) = \P(-10\ln U > t) = \P\left(U < \eu^{-t/10}\right) = \eu^{-t/10}$ : exactamente las exponenciales supervivencia función — un logaritmo convierte la computadora ruido uniforme en cualquier tiempo de espera.

18. Cada uniforme tiene significar $\frac12$ y diferencia $\frac{1}{12}$ : la suma de doce tiene significar $6$ y diferencia $1$ — entonces la receta genera significar $0$ , diferencia $1$ . doce independiente pequeños empujones resumidos: el mecanismo Galton, y por De Moivre: la bendición de Laplace, el histograma ya está en forma de campana a la vista.

19. Sobre el modelo: los mercados no son sumas de muchos independiente causas pequeñas — los pánicos se correlacionan todo (la lección de 2008 del problema anterior) y producen colas gordas que ningún densidad normal posee. cuando los datos susurra $10^{-137}$ , el catecismo del estadístico responde: el modelo es rechazado, no el día.

20. Uniforme: todas las posiciones iguales, el honesto “yo sólo conoce los límites”. Exponencial: el peligro que nunca edades — decaimientos, llegadas, clics. Normal: lo democrático campana de muchas causas pequeñas independiente — alturas, errores, promedios. Sting: lo que muestra está sesgado por cómo te topaste en él — autobuses, clases, amigos. Y el arco: el niño. quien contó cartones de jugo en el grado 6 tiene, diez volúmenes de problemas después, midió a la multitud con una curva; el épsilon, el integral y el teorema del límite central están esperando en el volúmenes universitarios para explicar por qué los doblajes de las campanas todo.