Matemáticas de secundaria · Grades 10–12

35Variables aleatorias continuas

Tiempos de espera, medidas físicas, proporciones: muchas cantidades aleatorias toman un continuo de valores, y ningún valor aislado tiene probabilidad positiva. Las probabilidades se calculan entonces integrando una densidad. Este capítulo estudia la distribución uniforme, la exponencial y la distribución normal, y usa esta última para cuantificar las fluctuaciones de las encuestas y de las muestras.

35.1 Densidades de probabilidad

Definición 35.1 (Densidad, variable aleatoria continua)

Una densidad de probabilidad sobre un intervalo $I$ es una función $f$ continua y no negativa sobre $I$ con $\int_I f(t)\,\dd t = 1$ (la integral sobre un $I$ no acotado se entiende como límite de integrales sobre intervalos acotados cada vez mayores). Una variable aleatoria $X$ tiene densidad $f$ si para todos $a \leq b$ de $I$ :

\P(a \leq X \leq b) = \int_a^b f(t)\,\dd t .

Las probabilidades son áreas bajo la curva de densidad. En particular, $\P(X = a) = \int_a^a f = 0$ para cada valor aislado $a$ : solo los intervalos llevan probabilidad, y $\P(a \leq X \leq b) = \P(a < X < b)$ .

Definición 35.2 (Esperanza y varianza)

Para $X$ con densidad $f$ sobre $I$ :

\E(X) = \int_I t\,f(t)\,\dd t, \qquad \V(X) = \int_I \bigl(t - \E(X)\bigr)^2 f(t)\,\dd t = \E(X^2) - \E(X)^2 .

Las reglas de los capítulos 14 y 15 (linealidad de la esperanza, aditividad de la varianza para variables independientes, Bienaymé–Chebyshev) siguen siendo válidas; sus demostraciones, con integrales en lugar de sumas, se admiten a este nivel.

35.2 Distribución uniforme

Definición 35.3 (Distribución uniforme)

$X$ sigue la distribución uniforme $\mathcal U\intcc ab$ si su densidad es constante, $f(t) = \frac{1}{b-a}$ sobre $\intcc{a}{b}$ . Entonces, para $\intcc{c}{d} \subseteq \intcc ab$ , $\P(c \leq X \leq d) = \frac{d - c}{b - a}$ : probabilidad proporcional a la longitud.

Proposición 35.4

Si $X \sim \mathcal U\intcc ab$ , entonces $\E(X) = \dfrac{a+b}{2}$ y $\V(X) = \dfrac{(b-a)^2}{12}$ .

Demostración. $\E(X) = \int_a^b \frac{t}{b-a}\dd t = \frac{b^2 - a^2}{2(b-a)} = \frac{a+b}{2}$ . Para la varianza, $\E(X^2) = \frac{b^3 - a^3}{3(b-a)} = \frac{a^2 + ab + b^2}{3}$ , y

\V(X) = \frac{a^2 + ab + b^2}{3} - \frac{(a+b)^2}{4} = \frac{4a^2 + 4ab + 4b^2 - 3a^2 - 6ab - 3b^2}{12} = \frac{(b - a)^2}{12}. \qedhere

∎

35.3 Distribución exponencial

Definición 35.5 (Distribución exponencial)

Para $\lambda > 0$ , $X$ sigue la distribución exponencial $\mathcal E(\lambda)$ si su densidad sobre $\intco{0}{+\infty}$ es

f(t) = \lambda\,\eu^{-\lambda t}.

Entonces $\P(X \leq x) = 1 - \eu^{-\lambda x}$ y $\P(X > x) = \eu^{-\lambda x}$ para $x \geq 0$ .

Proposición 35.6

Si $X \sim \mathcal E(\lambda)$ : $\E(X) = \dfrac{1}{\lambda}$ y $\V(X) = \dfrac{1}{\lambda^2}$ .

Demostración. Integrando por partes sobre $\intcc{0}{A}$ :

\int_0^A t\,\lambda\eu^{-\lambda t}\dd t = \bigl[-t\,\eu^{-\lambda t}\bigr]_0^A + \int_0^A \eu^{-\lambda t}\dd t = -A\eu^{-\lambda A} + \frac{1 - \eu^{-\lambda A}}{\lambda} \xrightarrow[A\to+\infty]{} \frac1\lambda,

usando $A\eu^{-\lambda A} \to 0$ (Teorema 23.4). Una segunda integración por partes da $\E(X^2) = \frac{2}{\lambda^2}$ , de donde $\V(X) = \frac{2}{\lambda^2} - \frac{1}{\lambda^2}$ . ∎

Teorema 35.7 (Falta de memoria)

Si $X \sim \mathcal E(\lambda)$ , entonces, para todos $s, t \geq 0$ :

\pcond{X > s}{X > s + t} = \P(X > t) .

La distribución exponencial es la ley de las duraciones de vida sin envejecimiento (núcleos radiactivos, no bombillas).

Demostración.

\pcond{X > s}{X > s+t} = \frac{\P(X > s + t)}{\P(X > s)} = \frac{\eu^{-\lambda(s+t)}}{\eu^{-\lambda s}} = \eu^{-\lambda t} = \P(X > t). \qedhere

∎

La densidad exponencial - x (aquí = 1): el área de la cola más allá de t (en rojo) vale - t, y la falta de memoria dice que toda cola se parece a la distribución entera reescalada. — La densidad exponencial $\lambda\eu^{-\lambda x}$ (aquí $\lambda = 1$ ): el área de la cola más allá de $t$ (en rojo) vale $\eu^{-\lambda t}$ , y la falta de memoria dice que toda cola se parece a la distribución entera reescalada.

35.4 Distribución normal

Definición 35.8 (Distribución normal)

$X$ sigue la distribución normal estándar $\mathcal N(0, 1)$ si su densidad sobre $\R$ es

\varphi(t) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\,\eu^{-t^2/2}

(la campana). Más en general, $X \sim \mathcal N(\mu, \sigma^2)$ si $\dfrac{X - \mu}{\sigma} \sim \mathcal N(0,1)$ ; entonces $\E(X) = \mu$ y $\V(X) = \sigma^2$ .

La densidad normal: en torno al 68.3\,\% de la masa está a menos de de la media, el 95.4\,\% a menos de 2 y el 99.7\,\% a menos de 3. — La densidad normal: en torno al $68.3\,\%$ de la masa está a menos de $\sigma$ de la media, el $95.4\,\%$ a menos de $2\sigma$ y el $99.7\,\%$ a menos de $3\sigma$ .

Observación 35.9

El factor $\frac{1}{\sqrt{2\pi}}$ hace que el área total valga $1$ : un cálculo famoso (la integral de Gauss) que se hace en la universidad. No hay fórmula elemental para $\int \varphi$ : las probabilidades normales se leen en tablas o en la calculadora.

Teorema 35.10 (De Moivre–Laplace, admitido)

Sean $X_n \sim \mathcal B(n, p)$ y $Z_n = \dfrac{X_n - np}{\sqrt{np(1-p)}}$ (la binomial tipificada). Entonces, para todos $a \leq b$ ,

\P(a \leq Z_n \leq b) \xrightarrow[n\to+\infty]{} \int_a^b \varphi(t)\,\dd t .

Este resultado se admite a este nivel. Explica la aparición universal de la campana: una binomial con $n$ grande es aproximadamente normal, y (teorema central del límite, en la universidad) también lo es cualquier suma de muchos efectos pequeños e independientes.

Método 35.11 (Intervalo de fluctuación al $95\,\%$ )

Como una variable normal cae a menos de $1.96$ desviaciones típicas de su media con probabilidad $0.95$ , para $n$ grande una frecuencia $F_n = \frac{X_n}{n}$ de una muestra $\mathcal B(n,p)$ cumple

\P\left(p - 1.96\sqrt{\tfrac{p(1-p)}{n}} \leq F_n \leq p + 1.96\sqrt{\tfrac{p(1-p)}{n}}\right) \approx 0.95 .

Intervalo de fluctuación (para contrastar): si un $p$ afirmado deja la frecuencia observada fuera de este intervalo, se rechaza la afirmación al nivel del $5\,\%$ .
Intervalo de confianza (para estimar): el intervalo simplificado $\left[F_n - \frac{1}{\sqrt n},\ F_n + \frac{1}{\sqrt n}\right]$ contiene $p$ con probabilidad al menos $0.95$ (usando $1.96\sqrt{p(1-p)} \leq 1$ ; véase el Ejercicio 34.8).

Ejemplo 35.12

Una encuesta a $n = 1000$ votantes da a un candidato un $52\,\%$ . El intervalo de confianza $52\,\% \pm \frac{1}{\sqrt{1000}} \approx 52\,\% \pm 3.2\,\%$ contiene todavía el $50\,\%$ : la encuesta, por sí sola, no demuestra que el candidato vaya por delante.

35.5 Ejercicios

Ejercicio 35.1 ★

Un autobús pasa cada $15$ minutos; una viajera llega en un instante elegido al azar de manera uniforme. Sea $X \sim \mathcal U\intcc{0}{15}$ el tiempo de espera. Calcula $\P(X \leq 5)$ , $\P(4 \leq X \leq 10)$ , $\E(X)$ y $\sigma(X)$ .

Solución

Solución de Ejercicio 35.1.

$\P(X \leq 5) = \frac{5}{15} = \frac13$ ; $\P(4 \leq X \leq 10) = \frac{6}{15} = \frac25$ ; $\E(X) = \frac{15}{2} = 7.5$ min; $\sigma(X) = \frac{15}{\sqrt{12}} = \frac{5\sqrt3}{2} \approx 4.3$ min.

Ejercicio 35.2 ★

Comprueba que $f(t) = \frac{3}{8}t^2$ es una densidad sobre $\intcc{0}{2}$ y calcula $\E(X)$ y $\P(X \geq 1)$ para una variable $X$ con esa densidad.

Solución

Solución de Ejercicio 35.2.

$f \geq 0$ y $\int_0^2 \frac38 t^2\,\dd t = \frac38\left[\frac{t^3}{3}\right]_0^2 = \frac38 \times \frac83 = 1$ : es una densidad.

\E(X) = \int_0^2 \frac38 t^3\,\dd t = \frac38 \times \frac{16}{4} = \frac32, \qquad \P(X \geq 1) = \int_1^2 \frac38 t^2\,\dd t = \frac{8 - 1}{8} = \frac78 .

Ejercicio 35.3 ★

La duración de vida (en años) de un componente electrónico sigue $\mathcal E(0.2)$ .

Calcula la duración de vida esperada y $\P(X > 5)$ .
El componente lleva ya $3$ años funcionando. ¿Cuál es la probabilidad de que funcione al menos $5$ años más?

Solución

Solución de Ejercicio 35.3.

1. $\E(X) = \frac{1}{0.2} = 5$ años; $\P(X > 5) = \eu^{-0.2\times5} = \eu^{-1} \approx 0.37$ .

2. Por la falta de memoria (Teorema 35.7), $\pcond{X > 3}{X > 8} = \P(X > 5) = \eu^{-1} \approx 0.37$ : los tres años de servicio no cambian nada.

Ejercicio 35.4 ★★

El periodo de semidesintegración de un átomo radiactivo cuya duración de vida sigue $\mathcal E(\lambda)$ es la mediana $m$ : $\P(X > m) = \frac12$ . Expresa $m$ en función de $\lambda$ y compárala con la esperanza. ¿Cuál es mayor y por qué tiene sentido en una distribución asimétrica?

Solución

Solución de Ejercicio 35.4.

$\P(X > m) = \eu^{-\lambda m} = \frac12$ da $m = \frac{\ln 2}{\lambda} \approx \frac{0.69}{\lambda}$ , menor que $\E(X) = \frac1\lambda$ . La densidad exponencial tiene una cola derecha larga: unas pocas duraciones de vida atípicamente largas tiran de la media por encima de la mediana, el valor que supera la mitad de la población. (Es el periodo de semidesintegración del Ejemplo 23.9: la mitad de los átomos lo sobrevive, aunque la duración de vida media sea mayor.)

Ejercicio 35.5 ★★

Las estaturas de una población siguen $\mathcal N(175,\ 7^2)$ (en cm). Usando la regla $68$ – $95$ – $99.7$ , estima la proporción de la población con estatura entre $168$ y $182$ cm, por encima de $189$ cm y por debajo de $154$ cm.

Solución

Solución de Ejercicio 35.5.

$168 = \mu - \sigma$ y $182 = \mu + \sigma$ : en torno al $68\,\%$ . $189 = \mu + 2\sigma$ : por encima queda la mitad del $100 - 95.4 = 4.6\,\%$ restante, es decir, en torno al $2.3\,\%$ . $154 = \mu - 3\sigma$ : en torno al $\frac{100 - 99.7}{2} = 0.15\,\%$ .

Ejercicio 35.6 ★★

Una máquina llena bolsas etiquetadas de $500$ g; la masa envasada sigue $\mathcal N(\mu,\ 4^2)$ . La normativa exige que como mucho el $2.5\,\%$ de las bolsas pese menos de $500$ g. Usando la regla del $95\,\%$ , ¿cuál es el ajuste mínimo de $\mu$ que cumple la norma?

Solución

Solución de Ejercicio 35.6.

$\P(X < 500) \leq 2.5\,\%$ significa que $500$ tiene que quedar al menos dos desviaciones típicas por debajo de la media (la normal deja un $2.3\,\% \approx 2.5\,\%$ por debajo de $\mu - 2\sigma$ ; con el $1.96$ convencional, el razonamiento es idéntico):

\mu - 2\sigma \geq 500 \iff \mu \geq 500 + 8 = 508 \text{ g}.

La máquina tiene que ajustarse a $508$ g de media: el precio de la garantía son $8$ g de producto “regalado” por bolsa.

Ejercicio 35.7 ★★

Un dado del que se afirma que está equilibrado se lanza $1200$ veces y saca seis $260$ veces (como en el Ejercicio 34.7).

Calcula el intervalo de fluctuación al $95\,\%$ de la frecuencia de seises de un dado equilibrado en $1200$ lanzamientos.
¿Está dentro la frecuencia observada? Compara la fuerza de esta conclusión con la del análisis mediante Bienaymé–Chebyshev.

Solución

Solución de Ejercicio 35.7.

1. Con $p = \frac16$ y $n = 1200$ : $\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}} = \sqrt{\frac{5/36}{1200}} \approx 0.0108$ , así que el intervalo de fluctuación al $95\,\%$ es

\frac16 \pm 1.96 \times 0.0108 \approx \intcc{0.146}{0.188}.

2. La frecuencia observada $\frac{260}{1200} \approx 0.217$ queda muy fuera: la hipótesis de equilibrio se rechaza al nivel del $5\,\%$ . La desviación es de unas $4.6$ desviaciones típicas: para una aproximación normal, una probabilidad del orden de $10^{-6}$ , mucho más concluyente que la cota $\leq 4.6\,\%$ de Bienaymé–Chebyshev (Ejercicio 34.7).

Ejercicio 35.8 ★★★

Antes de unas elecciones, una encuesta a $n$ personas va a estimar el resultado $p$ de un candidato mediante la frecuencia observada $F_n$ .

Con el intervalo de confianza del Método 35.11, ¿qué tamaño de muestra garantiza un margen de $\pm 2$ puntos?
En realidad, a los candidatos los separa $1$ punto. Explica por qué ninguna encuesta realista puede declarar con fiabilidad al ganador, por bien hecha que esté.

Solución

Solución de Ejercicio 35.8.

1. El margen $\frac{1}{\sqrt n} \leq 0.02$ exige $n \geq 2500$ personas.

2. Para distinguir resultados separados por $1$ punto, el margen tiene que quedar bastante por debajo de $0.5$ puntos, lo que exige $n \geq \left(\frac{1}{0.005}\right)^2 = 40\,000$ según la fórmula simplificada: ya inviable para la mayoría de las encuestas. Peor aún: el margen estadístico solo tiene en cuenta el error de muestreo; los sesgos sistemáticos (muestras no representativas, personas que no responden, cambios de última hora) no se encogen al crecer $n$ y suelen superar el punto. Una carrera separada por $1$ punto está, de verdad, demasiado igualada para pronunciarse.

Ejercicio 35.9 ★★★

Sea $X$ de densidad $f$ sobre $\intcc ab$ y sea $Y = \alpha X + \beta$ con $\alpha > 0$ .

Demuestra que $\P(c \leq Y \leq d) = \P\left(\frac{c - \beta}{\alpha} \leq X \leq \frac{d-\beta}{\alpha}\right)$ , y deduce que $Y$ tiene densidad $g(y) = \frac{1}{\alpha} f\left(\frac{y - \beta}{\alpha}\right)$ .
Deduce que si $Z \sim \mathcal N(0,1)$ , entonces $\mu + \sigma Z$ tiene densidad $\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\, \eu^{-(y - \mu)^2/(2\sigma^2)}$ : la densidad normal general.

Solución

Solución de Ejercicio 35.9.

1. Como $\alpha > 0$ , $c \leq \alpha X + \beta \leq d \iff \frac{c - \beta}{\alpha} \leq X \leq \frac{d - \beta}{\alpha}$ , luego

\P(c \leq Y \leq d) = \int_{(c-\beta)/\alpha}^{(d-\beta)/\alpha} f(t)\,\dd t .

El cambio de variable $y = \alpha t + \beta$ (es decir, leer el área en la variable $y$ , con $t = \frac{y - \beta}{\alpha}$ y $\dd t = \frac{\dd y}{\alpha}$ ) lo convierte en $\int_c^d \frac{1}{\alpha} f\left(\frac{y-\beta}{\alpha}\right)\dd y$ : la función $g(y) = \frac1\alpha f\left(\frac{y-\beta}{\alpha}\right)$ es una densidad de $Y$ .

2. Con $f = \varphi$ , $\alpha = \sigma$ y $\beta = \mu$ :

g(y) = \frac{1}{\sigma}\,\varphi\!\left(\frac{y - \mu}{\sigma}\right) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\, \exp\left(-\frac{(y-\mu)^2}{2\sigma^2}\right),

que es, por tanto, la densidad de $\mathcal N(\mu, \sigma^2) = \mu + \sigma\,\mathcal N(0,1)$ .

35.6 Problema: Esperar el autobús, medir a la multitud

Problema 35.1

Problema de fin de semana — tres densidades gobiernan el mundo: la ignorancia total, la espera sin memoria y la campana de las muchas causas pequeñas; más la paradoja por la que tu autobús siempre llega tarde

¿Por qué parece que tu autobús tarda siempre más de lo que promete el horario? ¿Por qué la clase en la que se sienta un estudiante medio es más grande que la clase media? ¿Por qué tus amigos tienen más amigos que tú? Una pieza astuta de matemáticas, el muestreo sesgado por la longitud, responde a las tres, y vive en este capítulo, entre la distribución uniforme, la exponencial y la distribución normal (Definición 35.3, Definición 35.5, Definición 35.8). Este último problema del volumen pone a trabajar a las tres densidades y termina donde apunta toda la serie: la campana.

Parte I — Tres personajes.

Un autobús llega en un instante elegido al azar de manera uniforme en los próximos $30$ minutos. Calcula $\P(\text{espera} \leq 10)$ , la espera esperada y $\sigma$ (Proposición 35.4).
Comprueba que $f(x) = 2x$ sobre $\intcc{0}{1}$ es una densidad y calcula $\E(X)$ y $\P\left(X > \frac12\right)$ .
Las llamadas telefónicas llegan a un teléfono de ayuda como un flujo sin memoria: la espera hasta la siguiente llamada es exponencial de media $10$ minutos. Calcula $\P(T > 15)$ y la espera mediana; ¿por qué es la mediana menor que la media?
Ya has esperado $20$ minutos. ¿Cuánto vale $\P(T > 35 \mid T > 20)$ (Teorema 35.7)? Interprétalo en una frase.
Empareja cada espera con su modelo correcto (uniforme, exponencial o ninguno de los dos): (a) el chasquido de un contador Geiger; (b) un metro que pasa cada $8$ minutos, con tu llegada sin sincronizar; (c) la siguiente llamada al teléfono de ayuda; (d) el fallo de una bombilla que se desgasta. Justifica el caso (d) con el teorema de la falta de memoria.

Parte II — La campana en acción. (Usa las referencias de la normal: $68\,\%$ a menos de $\sigma$ , $95\,\%$ a menos de $2\sigma$ y $99.7\,\%$ a menos de $3\sigma$ .)

Las estaturas adultas siguen aproximadamente $\mathcal N(172,\ 8)$ (cm). ¿Qué fracciones caen en $\intcc{164}{180}$ , $\intcc{156}{188}$ y $\intcc{148}{196}$ ?
Estima la proporción de personas más altas de $190$ cm (primero la puntuación z; después, tabla o calculadora).
Las puntuaciones de cociente intelectual se calibran a $\mathcal N(100, 15)$ . ¿Qué fracción supera $130$ ? ¿Y aproximadamente una persona de cada cuántas?
Una máquina corta tornillos con longitudes $\mathcal N(50,\ 0.1)$ mm y la especificación es $\intcc{49.8}{50.2}$ . ¿Qué proporción se rechaza? La industria celebra los procesos “seis sigma”, cuyas especificaciones están a $\pm 6\sigma$ : ¿qué se compra con eso y por qué lo persiguen las fábricas?
De Moivre–Laplace (Teorema 35.10): para $100$ lanzamientos de una moneda equilibrada, aproxima $\P(45 \leq \text{caras} \leq 55)$ (corrección por continuidad: $\pm 0.5$ ; $\sigma = 5$ ). ¿Qué máquina de madera del Problema 19.1 convierte este teorema en una curva suave?
Del Ejercicio 35.8: un margen de $\pm 2$ puntos necesita unas $n = 2\,400$ personas. Calcula la muestra necesaria para $\pm 0.5$ puntos y concluye, en una frase, por qué ninguna encuesta puede declarar honradamente el ganador de una carrera separada por un punto.

Parte III — La paradoja del autobús.

Los autobuses llegan como un flujo sin memoria con un intervalo medio de $10$ minutos. Tú llegas a la parada en un momento cualquiera. La intuición dice que la espera esperada es de $5$ minutos (medio intervalo). ¿Qué dice en cambio el teorema de la falta de memoria?
Diagnostica la intuición con un horario de juguete: los intervalos alternan $5$ y $15$ minutos (intervalo medio, $10$ ). Calcula la probabilidad de que una llegada uniforme al azar caiga en un intervalo largo y después la espera esperada de verdad; y nombra al culpable: las llegadas muestrean los intervalos con probabilidad proporcional a su longitud.
En el flujo sin memoria, el intervalo en el que caes tiene una longitud esperada de $20$ minutos, el doble del intervalo típico (el tiempo hacia atrás hasta el autobús anterior y el tiempo hacia delante hasta el siguiente son los dos exponenciales de media $10$ ). Concilia esto con la pregunta 12 y enuncia en una frase la paradoja de la inspección.
El mismo aguijón, en tierra firme: una universidad imparte nueve clases de $10$ estudiantes y una de $110$ . Calcula el tamaño medio de clase y después el tamaño de clase que vive el estudiante medio. ¿Qué número imprimirá el folleto y cuál es la verdad vivida por los estudiantes?
La paradoja de la amistad (“tus amigos tienen, en promedio, más amigos que tú”) son las mismas matemáticas. Di en una frase qué hace aquí el papel del intervalo largo.

Parte IV — Cerrando el volumen.

La simulación, el puente de quienes aplican esto: si $U$ es uniforme sobre $\intoo{0}{1}$ , demuestra que $T = -10\ln U$ es exponencial de media $10$ (calcula $\P(T > t)$ ). Todas las simulaciones industriales de esperas aleatorias funcionan con este truco de una línea.
Una vieja receta de programadores construye una campana: se suman doce uniformes independientes sobre $\intcc{0}{1}$ y se resta $6$ . Da la media y la varianza de la suma y explica, con la tabla de Galton en la mano, por qué el resultado es casi normal.
Los mercados se desploman con más violencia de la que permite la campana: el desplome de 1987 se describió como un “suceso de $25\sigma$ ”, que bajo normalidad tiene una probabilidad del orden de $10^{-137}$ . ¿Cuál es la conclusión correcta: sobre el mundo o sobre el modelo? (Una frase: el catecismo del estadístico.)
Final y despedida del volumen: los tres personajes, a una línea cada uno: la uniforme (ignorancia dentro de unos límites), la exponencial (un riesgo sin memoria) y la normal (la suma de muchas causas pequeñas); la paradoja de la inspección como aguijón del capítulo; y el arco de toda la serie, desde contar cartones de zumo en el año 6 hasta la campana que mide a cualquier multitud, con los volúmenes universitarios esperando allí donde toman el relevo los límites, las integrales y el teorema central del límite.

Solución

Solución de Problema 35.1.

1. $\P(\text{espera} \leq 10) = \frac{10}{30} = \frac13$ ; $\E = 15$ min; $\sigma = \frac{30}{\sqrt{12}} \approx 8.7$ min.

2. $\int_0^1 2x\,\dd x = 1$ : es una densidad. $\E(X) = \int_0^1 2x^2\,\dd x = \frac23$ ; $\P\left(X > \frac12\right) = \int_{1/2}^1 2x\,\dd x = 1 - \frac14 = \frac34$ .

3. $\P(T > 15) = \eu^{-15/10} \approx 0.22$ . Mediana: $\eu^{-m/10} = \frac12$ : $m = 10\ln 2 \approx 6.9$ min, menor que la media $10$ porque la larga cola derecha de la exponencial (esperas enormes y raras) tira de la media hacia arriba mientras deja la mediana en la espera “típica”.

4. Por la falta de memoria, $\P(T > 35 \mid T > 20) = \P(T > 15) \approx 0.22$ : los veinte minutos ya cumplidos no compran nada; el flujo no envejece.

5. (a) exponencial (la desintegración radiactiva es el modelo para el que se inventó la falta de memoria); (b) uniforme sobre $\intcc{0}{8}$ (un horario con un desfase aleatorio); (c) exponencial; (d) ninguno de los dos: una bombilla desgastada tiene más probabilidad de fallar en la próxima hora que una nueva, así que $\P(T > s + t \mid T > s) < \P(T > t)$ : el envejecimiento contradice el teorema de la falta de memoria.

6. $68\,\%$ , $95\,\%$ y $99.7\,\%$ : los tres intervalos de referencia.

7. $z = \frac{190 - 172}{8} = 2.25$ : cola superior $\approx 1.2\,\%$ .

8. $z = 2$ : en torno al $2.3\,\%$ , aproximadamente una persona de cada $44$ .

9. La especificación está a $\pm 2\sigma$ : pasa en torno al $95.4\,\%$ y se rechaza el $4.6\,\%$ , ruinoso a gran escala. A $\pm 6\sigma$ , la tasa de fallo cae a unas dos partes por mil millones: el seis sigma compra el derecho a producir en masa sin inspeccionar en masa.

10. $\sigma = 5$ ; con corrección por continuidad, $\P \approx \P\left(\abs Z \leq \frac{5.5}{5}\right) = \P(\abs Z \leq 1.1) \approx 0.73$ . El teorema alisa la tabla de Galton del Problema 19.1: la escalera de casillas se convierte en la campana continua.

11. $n \approx \frac{1.96^2 \times 0.25}{0.005^2} \approx 38\,400$ personas; y con ese tamaño, los errores ajenos al muestreo (el marco, las negativas a responder, las mentiras) aplastan al margen: una carrera de un punto queda fuera del alcance de una encuesta honrada, y por eso los institutos serios dicen entonces “demasiado igualado para pronunciarse”.

12. Falta de memoria: desde el instante en que llegas, la espera restante es exponencial de media $10$ ; los $10$ minutos enteros, no $5$ . El “intervalo medio de $10$ ” del horario induce a error: tu espera tiene la misma distribución que un intervalo completo.

13. Las llegadas al azar caen proporcionalmente a la longitud del intervalo: $\P(\text{intervalo largo}) = \frac{15}{20} = \frac34$ . Espera esperada: $\frac34 \times \frac{15}{2} + \frac14 \times \frac52 = 5.625 + 0.625 = 6.25$ min, más que el ingenuo $5$ , aunque el intervalo medio sea $10$ . El culpable: el muestreo sesgado por la longitud; los intervalos largos atrapan a más pasajeros.

14. Las esperas hacia atrás y hacia delante son ambas exponenciales de media $10$ (la falta de memoria funciona en los dos sentidos desde tu llegada): el intervalo que te contiene mide, en promedio, $20$ minutos, el doble del intervalo típico. La paradoja de la inspección en una frase: el intervalo que te toca inspeccionar no es un intervalo típico, porque tenías más probabilidad de caer en uno grande.

15. Clase media: $\frac{9 \times 10 + 110}{10} = 20$ estudiantes. Media vivida por el estudiante: $\frac{90 \times 10 + 110 \times 110}{200} = \frac{13\,000}{200} = 65$ estudiantes. El folleto imprime $20$ ; tres de cada cinco estudiantes se sientan en la clase de $110$ y viven el $65$ .

16. Las personas populares aparecen en muchas listas de amigos, así que muestrear “un amigo” está sesgado hacia los sociables: tus amigos salen de los intervalos largos del horario social.

17. Para $t \geq 0$ : $\P(T > t) = \P(-10\ln U > t) = \P\left(U < \eu^{-t/10}\right) = \eu^{-t/10}$ : exactamente la función de supervivencia de la exponencial; un solo logaritmo convierte el ruido uniforme del ordenador en cualquier tiempo de espera.

18. Cada uniforme tiene media $\frac12$ y varianza $\frac{1}{12}$ : la suma de doce tiene media $6$ y varianza $1$ , así que la receta devuelve media $0$ y varianza $1$ . Doce empujoncitos independientes sumados: el mecanismo de Galton, y con la bendición de De Moivre–Laplace el histograma ya tiene forma de campana a simple vista.

19. Sobre el modelo: los mercados no son sumas de muchas causas pequeñas independientes; los pánicos lo correlacionan todo (la lección de 2008 del problema anterior) y producen colas gruesas que ninguna densidad normal posee. Cuando los datos susurran $10^{-137}$ , el catecismo del estadístico responde: lo que se rechaza es el modelo, no el día.

20. Uniforme: todas las posiciones por igual, el honrado “solo conozco los límites”. Exponencial: el riesgo que nunca envejece; desintegraciones, llegadas, chasquidos. Normal: la campana democrática de muchas causas pequeñas e independientes; estaturas, errores, promedios. El aguijón: lo que muestreas está sesgado por la manera en que te tropezaste con ello; autobuses, clases, amigos. Y el arco: la criatura que contaba cartones de zumo en el año 6 ha medido, diez volúmenes de problemas después, a la multitud entera con una curva; el épsilon, la integral y el teorema central del límite esperan en los volúmenes universitarios para explicar por qué la campana dobla por todo.

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