Matemáticas de secundaria · Grades 10–12

34Sumas de variables aleatorias y la ley de los grandes números

¿Por qué acaban ganando siempre los casinos y por qué funcionan las encuestas? Porque los promedios de muchas cantidades aleatorias independientes fluctúan cada vez menos. Este capítulo lo demuestra: linealidad de la esperanza, aditividad de la varianza para variables independientes, desigualdad de Bienaymé–Chebyshev y ley de los grandes números.

34.1 Sumas de variables aleatorias

Dadas dos variables aleatorias $X, Y$ sobre el mismo espacio muestral finito $\Omega$ , la suma $X + Y$ es la variable aleatoria $\omega \mapsto X(\omega) + Y(\omega)$ .

Teorema 34.1 (Linealidad de la esperanza)

Para cualesquiera variables aleatorias $X, Y$ sobre $\Omega$ y $a, b \in \R$ :

\E(X + Y) = \E(X) + \E(Y), \qquad \E(aX + b) = a\E(X) + b .

No hace falta ninguna hipótesis de independencia.

Demostración. Escribimos la esperanza como suma sobre los resultados: como $\P(X = x) = \sum_{\omega : X(\omega) = x} \P(\{\omega\})$ , agrupar términos da $\E(X) = \sum_{\omega \in \Omega} \P(\{\omega\})\,X(\omega)$ . Entonces

\E(X + Y) = \sum_{\omega} \P(\{\omega\})\bigl(X(\omega) + Y(\omega)\bigr) = \sum_{\omega} \P(\{\omega\})X(\omega) + \sum_{\omega} \P(\{\omega\})Y(\omega) = \E(X) + \E(Y). \qedhere

∎

Definición 34.2 (Variables aleatorias independientes)

$X$ e $Y$ son independientes si para todos los valores $x, y$ :

\P(X = x \text{ e } Y = y) = \P(X = x)\,\P(Y = y).

Varias variables $X_1, \dots, X_n$ son independientes si esta regla del producto vale para cualquier elección de valores de cualquier subfamilia.

Proposición 34.3

Si $X$ e $Y$ son independientes, $\E(XY) = \E(X)\,\E(Y)$ .

Demostración.

\begin{aligned} \E(XY) &= \sum_{x, y} xy\;\P(X = x \text{ e } Y = y) = \sum_{x, y} xy\,\P(X=x)\P(Y=y) \\ &= \Bigl(\sum_x x\P(X=x)\Bigr)\Bigl(\sum_y y\P(Y=y)\Bigr). \qedhere \end{aligned}

∎

Teorema 34.4 (Varianza de una suma)

Si $X$ e $Y$ son independientes, entonces

\V(X + Y) = \V(X) + \V(Y).

Más en general, para $X_1, \dots, X_n$ independientes: $\V(X_1 + \dots + X_n) = \V(X_1) + \dots + \V(X_n)$ .

Demostración. Usando König–Huygens (Proposición 33.3) y la linealidad:

\begin{align*} \V(X + Y) &= \E\bigl((X+Y)^2\bigr) - \bigl(\E X + \E Y\bigr)^2\\ &= \E(X^2) + 2\E(XY) + \E(Y^2) - \E(X)^2 - 2\E(X)\E(Y) - \E(Y)^2\\ &= \V(X) + \V(Y) + 2\bigl(\E(XY) - \E(X)\E(Y)\bigr), \end{align*}

y el último paréntesis se anula para variables independientes (Proposición 34.3). El caso general se sigue por inducción. ∎

Ejemplo 34.5 (La binomial, revisitada)

Una variable binomial $X \sim \mathcal B(n, p)$ es una suma $X = X_1 + \dots + X_n$ de $n$ variables de Bernoulli independientes. Por tanto, estructuralmente:

\E(X) = np, \qquad \V(X) = np(1-p),

con lo que recuperamos el Teorema 33.8 sin ningún cálculo.

Proposición 34.6 (Media muestral)

Sean $X_1, \dots, X_n$ independientes y con la misma distribución que $X$ (esperanza $\mu$ , varianza $\sigma^2$ ), y sea $M_n = \frac{X_1 + \dots + X_n}{n}$ su media muestral. Entonces

\E(M_n) = \mu, \qquad \V(M_n) = \frac{\sigma^2}{n}, \qquad \sigma(M_n) = \frac{\sigma}{\sqrt n}.

Demostración. La linealidad da $\E(M_n) = \frac{n\mu}{n} = \mu$ ; la independencia da $\V(X_1 + \dots + X_n) = n\sigma^2$ , y dividir entre $n$ multiplica la varianza por $\frac{1}{n^2}$ (Proposición 33.4). ∎

El $\frac{\sigma}{\sqrt n}$ es la ley de la raíz cuadrada fundamental: para reducir a la mitad las fluctuaciones de un promedio hay que cuadruplicar el tamaño de la muestra.

La ley de la raíz cuadrada: cada vez que se cuadruplica el tamaño de la muestra, la desviación típica de la media solo se reduce a la mitad.

34.2 Desigualdades de concentración

Teorema 34.7 (Desigualdad de Markov)

Si $X \geq 0$ y $a > 0$ :

\P(X \geq a) \leq \frac{\E(X)}{a}.

Demostración. En $\E(X) = \sum_i p_i x_i$ (con todos los términos no negativos), conservamos solo los términos con $x_i \geq a$ : cada uno vale al menos $a\,p_i$ , luego $\E(X) \geq a \sum_{x_i \geq a} p_i = a\,\P(X \geq a)$ . ∎

Teorema 34.8 (Desigualdad de Bienaymé–Chebyshev)

Para cualquier variable aleatoria $X$ y cualquier $\varepsilon > 0$ :

\P\bigl(\abs{X - \E(X)} \geq \varepsilon\bigr) \leq \frac{\V(X)}{\varepsilon^2}.

Demostración. Aplicamos la desigualdad de Markov a la variable no negativa $Y = (X - \E(X))^2$ con $a = \varepsilon^2$ :

\P\bigl(\abs{X - \E(X)} \geq \varepsilon\bigr) = \P(Y \geq \varepsilon^2) \leq \frac{\E(Y)}{\varepsilon^2} = \frac{\V(X)}{\varepsilon^2}. \qedhere

∎

Concentración: Bienaymé–Chebyshev acota por (X)/ 2 la probabilidad de que X caiga en las colas (en rojo), a distancia al menos de su esperanza. — Concentración: Bienaymé–Chebyshev acota por $\V(X)/\varepsilon^2$ la probabilidad de que $X$ caiga en las colas (en rojo), a distancia al menos $\varepsilon$ de su esperanza.

Teorema 34.9 (Ley de los grandes números)

Sean $X_1, \dots, X_n$ independientes y con la misma distribución (esperanza $\mu$ , varianza $\sigma^2$ ) y sea $M_n$ su media muestral. Para todo $\varepsilon > 0$ :

\P\bigl(\abs{M_n - \mu} \geq \varepsilon\bigr) \leq \frac{\sigma^2}{n\,\varepsilon^2} \xrightarrow[n \to +\infty]{} 0 .

La media muestral se concentra alrededor de la esperanza.

Demostración. Bienaymé–Chebyshev aplicada a $M_n$ , cuya esperanza es $\mu$ y cuya varianza es $\frac{\sigma^2}{n}$ (Proposición 34.6). ∎

Observación 34.10

Este teorema es el puente entre la teoría de la probabilidad y la estadística: la frecuencia de un suceso a lo largo de muchas repeticiones independientes se acerca a su probabilidad (basta tomar como $X_i$ el indicador del suceso, con lo que $\mu = p$ ). Justifica estimar una probabilidad por simulación (método de Montecarlo) y una proporción de la población mediante una encuesta, y además de manera cuantitativa: véase el Capítulo 35.

Método 34.11 (Usar Bienaymé–Chebyshev)

Para garantizar $\P(\abs{M_n - \mu} \geq \varepsilon) \leq \alpha$ basta con que $n \geq \frac{\sigma^2}{\alpha\,\varepsilon^2}$ . La cota es burda (las fluctuaciones reales suelen ser mucho menores), pero perfectamente general: no exige nada sobre la distribución más allá de que tenga varianza finita.

34.3 Ejercicios

Ejercicio 34.1 ★

Se lanzan dos dados equilibrados; sea $S$ la suma. Usando la linealidad (¡y no la distribución de $S$ !), calcula $\E(S)$ ; calcula después $\V(S)$ usando la independencia, sabiendo que un solo dado equilibrado tiene varianza $\frac{35}{12}$ .

Solución

Solución de Ejercicio 34.1.

Cada dado tiene esperanza $\frac{1 + 2 + \dots + 6}{6} = \frac{7}{2}$ , así que por linealidad $\E(S) = \frac72 + \frac72 = 7$ . Los dados son independientes, luego $\V(S) = \frac{35}{12} + \frac{35}{12} = \frac{35}{6} \approx 5.83$ .

Ejercicio 34.2 ★

Sea $X \sim \mathcal B(100,\ 0.5)$ . Acota $\P(X \geq 75)$ con la desigualdad de Markov y después $\P(\abs{X - 50} \geq 25)$ con Bienaymé–Chebyshev. Compara.

Solución

Solución de Ejercicio 34.2.

$\E(X) = 50$ y $\V(X) = 100 \times 0.25 = 25$ .

Markov ( $X \geq 0$ ): $\P(X \geq 75) \leq \frac{50}{75} = \frac23$ .

Bienaymé–Chebyshev: $\P(\abs{X - 50} \geq 25) \leq \frac{25}{25^2} = 0.04$ , y esto acota incluso el suceso bilateral, del que $X \geq 75$ es la mitad. Aquí Chebyshev es mucho más fina porque aprovecha la varianza, y no solo la media. (El valor verdadero de $\P(X \geq 75)$ es menor que $10^{-6}$ : las dos cotas son burdas.)

Ejercicio 34.3 ★

Se lanza una moneda equilibrada $n$ veces y $F_n$ denota la frecuencia de caras. ¿Cómo de grande tiene que ser $n$ para que, según la cota de Bienaymé–Chebyshev, $\P\bigl(\abs{F_n - 0.5} \geq 0.05\bigr) \leq 0.05$ ?

Solución

Solución de Ejercicio 34.3.

$F_n$ es la media muestral de $n$ variables de Bernoulli de parámetro $\frac12$ , de varianza $\sigma^2 = \frac14$ . La cota

\P\left(\abs{F_n - 0.5} \geq 0.05\right) \leq \frac{1/4}{n \times 0.05^2} = \frac{100}{n}

es $\leq 0.05$ en cuanto $n \geq 2000$ .

Ejercicio 34.4 ★★

Una inversora reparte su capital a partes iguales entre $n$ activos independientes, cada uno con rentabilidad esperada $\mu = 5\,\%$ y desviación típica $\sigma = 20\,\%$ . Calcula la esperanza y la desviación típica de la rentabilidad $M_n$ de la cartera, y el número de activos necesario para bajar la desviación típica por debajo del $4\,\%$ . ¿Qué principio financiero ilustra esto?

Solución

Solución de Ejercicio 34.4.

Por la Proposición 34.6, $\E(M_n) = 5\,\%$ (diversificar no cambia la rentabilidad esperada) y $\sigma(M_n) = \frac{20\,\%}{\sqrt n}$ . Exigir $\frac{20}{\sqrt n} < 4$ da $\sqrt n > 5$ , es decir, $n \geq 26$ . Este es el principio de la diversificación: repartir el capital entre riesgos independientes divide el riesgo (la desviación típica) entre $\sqrt n$ sin reducir la rentabilidad esperada.

Ejercicio 34.5 ★★

Sean $X$ e $Y$ independientes, las dos uniformes sobre $\{1, 2, 3\}$ .

Da la distribución de $S = X + Y$ y calcula $\E(S)$ y $\V(S)$ directamente a partir de ella.
Recupera los dos valores por linealidad y aditividad de la varianza.

Solución

Solución de Ejercicio 34.5.

1. Contando las $9$ parejas equiprobables: $S$ toma los valores $2, 3, 4, 5, 6$ con probabilidades $\frac19, \frac29, \frac39, \frac29, \frac19$ . Por tanto, $\E(S) = \frac{2 + 6 + 12 + 10 + 6}{9} = 4$ y $\E(S^2) = \frac{4 + 18 + 48 + 50 + 36}{9} = \frac{156}{9} = \frac{52}{3}$ , luego $\V(S) = \frac{52}{3} - 16 = \frac43$ .

2. Para una sola variable: $\E(X) = 2$ , $\E(X^2) = \frac{1 + 4 + 9}{3} = \frac{14}{3}$ y $\V(X) = \frac{14}{3} - 4 = \frac23$ . Entonces $\E(S) = 2 + 2 = 4$ y, por independencia, $\V(S) = \frac23 + \frac23 = \frac43$ . Los mismos valores.

Ejercicio 34.6 ★★

Demuestra que la aditividad de la varianza puede fallar sin independencia: calcula $\V(X + Y)$ para $Y = X$ y compáralo con $\V(X) + \V(Y)$ . ¿Para qué variables $X$ se cumple $\V(2X) = 2\V(X)$ ?

Solución

Solución de Ejercicio 34.6.

Con $Y = X$ : $\V(X + Y) = \V(2X) = 4\V(X)$ , mientras que $\V(X) + \V(Y) = 2\V(X)$ . Los dos coinciden solo cuando $\V(X) = 0$ , es decir, cuando $X$ es constante; así que la aditividad exige de verdad la independencia (aquí $X$ depende de sí misma todo lo que se puede depender).

Ejercicio 34.7 ★★

Se sospecha que un dado está trucado. Se lanza $1200$ veces y saca seis $260$ veces ( $f = 0.2167$ en lugar de $\frac16 \approx 0.1667$ ). Bajo la hipótesis de que el dado es equilibrado, acota $\P\bigl(\abs{F_n - \frac16} \geq 0.05\bigr)$ con Bienaymé–Chebyshev y discute si la hipótesis de equilibrio es plausible.

Solución

Solución de Ejercicio 34.7.

Suponiendo el dado equilibrado, $F_n$ es la media de $n = 1200$ variables de Bernoulli con $p = \frac16$ y $\sigma^2 = \frac16\cdot\frac56 = \frac{5}{36}$ :

\P\left(\abs{F_n - \tfrac16} \geq 0.05\right) \leq \frac{5/36}{1200 \times 0.0025} = \frac{5}{108} \approx 0.046 .

La desviación observada es exactamente $0.05$ : un suceso que un dado equilibrado produce con probabilidad como mucho del $4.6\,\%$ ; y como Chebyshev es muy conservadora, la probabilidad verdadera es mucho menor. La hipótesis de equilibrio no es plausible; lo más probable, con mucho, es que el dado esté trucado.

Ejercicio 34.8 ★★★

(Una desigualdad mejor para la moneda.) Sean $X \sim \mathcal B(n,\ p)$ y $F_n = \frac Xn$ .

Demuestra que $p(1-p) \leq \frac14$ para $p \in \intcc{0}{1}$ .
Deduce la cota, independiente de la distribución, $\P\bigl(\abs{F_n - p} \geq \varepsilon\bigr) \leq \frac{1}{4n\varepsilon^2}$ .
¿A cuántas personas hay que encuestar para que la frecuencia observada quede a menos de $3$ puntos de la proporción verdadera con probabilidad al menos $95\,\%$ , según esta cota? (Las encuestas reales usan estimaciones más finas, pero el orden de magnitud es correcto.)

Solución

Solución de Ejercicio 34.8.

1. $p(1-p) = \frac14 - \left(p - \frac12\right)^2 \leq \frac14$ .

2. $F_n$ tiene esperanza $p$ y varianza $\frac{p(1-p)}{n} \leq \frac{1}{4n}$ ; Bienaymé–Chebyshev da

\P\bigl(\abs{F_n - p} \geq \varepsilon\bigr) \leq \frac{p(1-p)}{n\varepsilon^2} \leq \frac{1}{4n\varepsilon^2},

válido sea cual sea el $p$ desconocido.

3. Con $\varepsilon = 0.03$ y nivel $0.05$ :

\frac{1}{4n(0.03)^2} \leq 0.05 \iff n \geq \frac{1}{4 \times 0.0009 \times 0.05} \approx 5556 .

Con esta cota burda bastan unas $5600$ personas (la respuesta clásica por aproximación normal está más cerca de $1100$ ; véase el Capítulo 35).

34.4 Problema: La banca siempre gana

Problema 34.1

Problema de fin de semana — la ley de los grandes números explica los casinos, las encuestas y los seguros, y de paso demuele la falacia del jugador

Un jugador de ruleta, después de $100$ tiradas, va ganando casi tantas veces como no. El casino, que gestiona un millón de tiradas, va ganando con una certeza que ningún tribunal pondría en duda. El mismo juego, la misma ventaja minúscula: la diferencia es $\sqrt n$ , y es el asunto de este capítulo (Proposición 34.6, Teorema 34.8, Teorema 34.9). Este problema lleva la contabilidad del casino, dimensiona una encuesta electoral, pone precio a la diversificación y desmonta la falacia más cara de la historia del juego.

Parte I — Soltura.

Dos dados independientes: calcula $\V(X + Y)$ (Teorema 34.4).
Lanza $100$ dados independientes y promedia los resultados: da la esperanza y la desviación típica de la media muestral (Proposición 34.6; para un solo dado, $\sigma = \sqrt{35/12} \approx 1.71$ ).
Una variable aleatoria no negativa tiene esperanza $2$ . ¿Qué dice la desigualdad de Markov (Teorema 34.7) sobre $\P(X \geq 10)$ ?
Acota $\P\left(\abs{\bar X_{100} - 3.5} \geq 0.5\right)$ para la media de los dados de la pregunta 2 con Bienaymé–Chebyshev.
Las esperanzas se suman siempre; las varianzas, solo con independencia: exhibe $X$ e $Y$ dependientes (indicación: $Y = -X$ ) para los que $\V(X + Y) \neq \V(X) + \V(Y)$ .

Parte II — La contabilidad de la banca. Ruleta europea, apuesta de $1$ euro al rojo: se gana $+1$ con probabilidad $\frac{18}{37}$ y se pierde $-1$ con probabilidad $\frac{19}{37}$ .

Calcula la esperanza y la desviación típica de la ganancia de una apuesta.
Un jugador hace $100$ apuestas independientes; sea $G$ la ganancia total. Calcula $\E(G)$ y $\sigma(G)$ , y después el cociente $\frac{\abs{\E(G)}}{\sigma(G)}$ . ¿Qué significa una deriva de un cuarto de desviación típica para las posibilidades que tiene el jugador de terminar la noche ganando?
El casino ve $1\,000\,000$ de apuestas. Calcula la esperanza y la desviación típica de su recaudación total, y el mismo cociente. Interpreta el número $27$ .
Certifícalo con Chebyshev: acota la probabilidad de que el casino pierda dinero a lo largo del millón de apuestas.
Sistemas de apuestas: doblar tras las pérdidas, retirarse cuando se va ganando … Usando la linealidad de la esperanza (Teorema 34.1) sobre la sucesión (posiblemente aleatoria) de apuestas, explica por qué toda estrategia en un juego con ventaja negativa tiene ganancia esperada negativa. ¿Qué violaría un sistema ganador?
Enuncia qué promete la ley de los grandes números (Teorema 34.9) sobre la frecuencia del rojo, y qué no promete sobre la siguiente tirada después de diez rojos seguidos. Nombra la falacia.
El punto más sutil: la ley funciona por dilución, no por compensación. Si los rojos acaban una noche $100$ por encima de lo esperado, ese excedente no se “devuelve” nunca: calcula qué le pasa en cambio a la fracción $\frac{100}{n}$ cuando $n = 10^6$ , y reescribe en una frase el error de la falacia del jugador.

Parte III — Encuestas.

A partir del Ejercicio 34.8: ¿a cuántas personas hay que encuestar para que la frecuencia observada caiga a menos de $3$ puntos de la verdad con probabilidad al menos $95\,\%$ , según la cota de Chebyshev independiente de la distribución?
Los institutos de sondeos reales usan unas $1\,100$ personas para un margen de $\pm 3$ puntos al $95\,\%$ : su fórmula es $n \approx \frac{1.96^2 \times p(1-p)}{\varepsilon^2}$ con $p(1-p) \leq \frac14$ . Evalúala y explica la diferencia con la pregunta 13 (¿qué es lo que Chebyshev no sabe sobre la forma de las fluctuaciones?).
Para reducir a la mitad el margen de error, ¿cómo tiene que crecer la muestra? Partiendo de $\pm 3$ puntos con $1\,100$ personas, ¿qué muestra da $\pm 1.5$ puntos?
El clásico contraintuitivo: el tamaño de muestra necesario no ha usado en ningún momento el tamaño de la población; $1\,100$ personas bastan para una ciudad o para un continente. Señala el lugar del modelo donde el tamaño de la población está ausente y da la analogía culinaria que emplean los encuestadores.

Parte IV — Diversificación.

La aseguradora del Problema 33.1 gana $30n$ euros en esperanza con $n$ pólizas, con una desviación típica de los siniestros de unos $315\sqrt n$ . ¿A partir de qué $n$ supera por fin el beneficio esperado a una desviación típica de los siniestros? ¿Qué está haciendo el $\sqrt n$ por la aseguradora?
La rentabilidad anual de una acción fluctúa con $\sigma = 20\,\%$ . Reparte el dinero a partes iguales entre $25$ acciones independientes como esa: calcula la $\sigma$ de la cartera. En finanzas se dice que la diversificación es la única comida gratis; ¿en qué consiste exactamente esa comida?
Supón ahora que las $25$ acciones están perfectamente correlacionadas (se mueven todas a la vez): ¿cuál es la $\sigma$ de la cartera? Compara los dos extremos y di qué hipótesis alquila en secreto todo argumento a favor de la diversificación, y qué pasó cuando falló en todo el sistema en 2008.
Final: la sinfonía del $\sqrt n$ : las sumas fluctúan como $\sqrt n$ mientras sus medias se asientan como $\frac{1}{\sqrt n}$ ; toca el tema a lo largo de los cuatro sectores de este problema (casino, encuestas, seguros y carteras), nombra a los dos infractores habituales (la falacia del jugador y la independencia fingida) y da la mirada hacia delante: la forma de las fluctuaciones, la campana, es la estrella continua del capítulo siguiente, y su teorema completo corona los volúmenes universitarios.

Solución

Solución de Problema 34.1.

1. $\V(X + Y) = \V(X) + \V(Y) = \frac{35}{12} + \frac{35}{12} = \frac{35}{6}$ (independencia).

2. $\E(\bar X) = 3.5$ ; $\sigma(\bar X) = \frac{1.71}{\sqrt{100}} \approx 0.17$ : la media de cien dados se pega al $3.5$ con menos de una quinta parte de punto de holgura.

3. $\P(X \geq 10) \leq \frac{2}{10} = 0.2$ .

4. $\P \leq \frac{\V(\bar X)}{0.5^2} = \frac{35/1200}{0.25} \approx 0.117$ : como mucho, en torno al $12\,\%$ .

5. Con $Y = -X$ : $\V(X + Y) = \V(0) = 0$ , mientras que $\V(X) + \V(Y) = 2\V(X) > 0$ : las variables perfectamente anticorrelacionadas se cancelan; sumar varianzas es un privilegio de la independencia.

6. $\E = \frac{18}{37} - \frac{19}{37} = -\frac{1}{37} \approx -0.027$ ; $\sigma = \sqrt{1 - \left(\frac{1}{37}\right)^2} \approx 1.00$ .

7. $\E(G) = -2.70$ y $\sigma(G) = 10 \times 1.00 = 10$ : la deriva es de solo $0.27\sigma$ . El ruido de la noche aplasta a la ventaja: una amplia minoría de jugadores (en torno al $40\,\%$ , según dice la campana) sale ganando, que es exactamente lo que hace que vuelvan.

8. Recaudación del casino: esperanza $+27\,027$ euros y desviación típica $\approx 1\,000$ : el beneficio está $27$ desviaciones típicas por encima de cero. A $27\sigma$ , “el casino podría perder este año” no es un riesgo, es un error de redondeo.

9. $\P(\text{pérdida}) = \P(G \geq 27\,027$ para los jugadores $)$ $\leq \frac{10^6 \times 1}{27\,027^2} \approx 0.0014$ : hasta la más tosca de las desigualdades del libro garantiza a la banca un $99.86\,\%$ ; la verdad es astronómicamente más fuerte.

10. Cada euro apostado, se apueste cuando se apueste y como se apueste, tiene una rentabilidad esperada de $-\frac{1}{37}$ de sí mismo; por linealidad, la ganancia total esperada es $-\frac{1}{37} \times (\text{total apostado})$ , negativa para toda estrategia que apueste algo. Un sistema ganador violaría la linealidad de la esperanza: ninguna secuencia ingeniosa de apuestas malas produce una buena. (Los sistemas de doblar se limitan a cambiar muchas ganancias pequeñas por pérdidas raras y catastróficas.)

11. El teorema dice que la frecuencia del rojo a lo largo de $n$ tiradas converge (en probabilidad) a $\frac{18}{37}$ . No dice nada de la tirada $n + 1$ : la ruleta no tiene memoria, y tras diez rojos la probabilidad de rojo sigue siendo $\frac{18}{37}$ . Creer lo contrario es la falacia del jugador, y la pregunta 12 muestra qué le pasa de verdad a las rachas.

12. El excedente de $100$ rojos no se devuelve: las tiradas futuras son copias equitativas y el excedente esperado sigue siendo $100$ . Pero $\frac{100}{10^6} = 0.0001$ : una centésima de punto. El error de la falacia en una frase: la ley de los grandes números diluye los accidentes pasados en un océano de pruebas nuevas; nunca manda a la ruleta a cobrar deudas.

13. $n \geq \frac{1}{4 \times 0.05 \times 0.03^2} \approx 5\,556$ personas.

14. $\frac{1.96^2 \times 0.25}{0.03^2} \approx 1\,067$ : cinco veces menos. Chebyshev vale para cualquier distribución y paga su universalidad con holgura; el $1.96$ de los encuestadores sale de la forma real, de campana, de las fluctuaciones, que se concentran mucho más.

15. El margen es proporcional a $\frac{1}{\sqrt n}$ : reducirlo a la mitad cuadruplica la muestra, unas $4\,400$ personas para $\pm 1.5$ puntos. La precisión se paga a precios cuadráticos.

16. El modelo consiste en $n$ extracciones independientes con probabilidad de éxito $p$ : el tamaño $N$ de la población no aparece jamás (muestrear una fracción minúscula de una población grande y bien mezclada es justamente lo que codifica la independencia). La analogía de los encuestadores: para probar la sopa basta una cucharada bien removida, tanto si la olla da de comer a diez como a diez mil. La trampa está en el removido (un marco de muestreo sesgado, como la encuesta del volumen anterior que engañó a todo un país), no en la olla.

17. $315\sqrt n < 30n \iff \sqrt n > 10.5 \iff n > 110$ : a partir de un centenar de pólizas, la deriva adelanta al ruido, y cada póliza adicional ensancha la diferencia por la ley del $\sqrt n$ ; agrupar riesgos es el modelo de negocio.

18. Partes iguales e independientes: $\sigma_{\text{cartera}} = \frac{20\,\%}{\sqrt{25}} = 4\,\%$ : la misma rentabilidad esperada con una quinta parte de la fluctuación. La comida gratis: reducir el riesgo sin coste alguno en esperanza, por el simple hecho de promediar azares independientes.

19. Perfectamente correlacionadas: la cartera es una sola acción con $25$ disfraces: $\sigma = 20\,\%$ , sin reducción ninguna. La diversificación alquila la independencia; y cuando una crisis correlaciona todo (2008: todas las apuestas inmobiliarias eran una sola apuesta), la protección del $\sqrt n$ se evapora exactamente cuando hace falta.

20. Las sumas derivan como $n$ y fluctúan como $\sqrt n$ , así que las medias se asientan como $\frac{1}{\sqrt n}$ : el casino ingresa la deriva a lo largo de un millón de tiradas; el encuestador compra $\frac{1}{\sqrt{1100}}$ de ruido con un presupuesto de llamadas; la aseguradora crece más deprisa que sus propios siniestros a partir de $n > 110$ ; la inversora divide el riesgo entre $\sqrt{25}$ . Los infractores: el jugador que cree en deudas (solo hay dilución) y el financiero que cree en la independencia (a veces solo hay una apuesta). La forma universal de las fluctuaciones, la campana, es la estrella del capítulo continuo, y su teorema, el teorema central del límite, es la cima de la probabilidad de los volúmenes universitarios.