Matemáticas de secundaria · Grades 10–12

23Exponencial y Logaritmo

The función exponencial is the unique función equal to its own derivado y tomando el valor $1$ en $0$ . Convierte sumas en productos; es inverso, el logaritmo natural, convierte productos en sumas. Juntos describen every phenomenon whose rate of change is proportional to its size: radioactive decay, population growth, compound interest.

23.1 La función exponencial

Teorema 23.1 (Existencia y unidad)

Existe un diferenciable función $f \colon \R \to \R$ único tal que

f' = f \qquad\text{and}\qquad f(0) = 1 .

Se llama función exponencial y está escrito $\exp$ o $x \mapsto \eu^x$ .

prueba de unicidad. Primero, tal función nunca desaparece. De hecho, deja $g(x) = f(x)f(-x)$ ; entonces

g'(x) = f'(x)f(-x) - f(x)f'(-x) = f(x)f(-x) - f(x)f(-x) = 0,

entonces $g$ es una constante igual a $g(0) = 1$ : por cada $x$ , $f(x)f(-x) = 1$ , y en particular $f(x) \neq 0$ .

Ahora dejemos que $f_1, f_2$ sean dos soluciones y $h = \dfrac{f_1}{f_2}$ (legítimo ya que $f_2$ nunca desaparece). entonces

h' = \frac{f_1' f_2 - f_1 f_2'}{f_2^2} = \frac{f_1 f_2 - f_1 f_2}{f_2^2} = 0,

entonces $h$ es una constante igual a $h(0) = 1$ , i.e. $f_1 = f_2$ .

En este nivel se admite Existencia (se puede obtener a través del secuencia de Ejercicio 20.10, o como el inverso del logaritmo construido por integración en Capítulo 25). ∎

Proposición 23.2 (Ecuación funcional)

Para todos los $x, y \in \R$ y $n \in \Z$ :

\eu^{x+y} = \eu^x\,\eu^y, \qquad \eu^{-x} = \frac{1}{\eu^x}, \qquad \eu^{x-y} = \frac{\eu^x}{\eu^y}, \qquad \bigl(\eu^{x}\bigr)^n = \eu^{nx}.

Además $\eu^x > 0$ para todos los $x$ .

Demostración. Arregle $y$ y considere $\varphi(x) = \dfrac{\exp(x+y)}{\exp(x)\exp(y)}$ . su numerador y denominador, como funciones de $x$ , son soluciones de $f' = f$ hasta la constante $\exp(y)$ ; diferenciando $\varphi$ directamente (regla del cociente) da $\varphi' = 0$ , entonces $\varphi \equiv \varphi(0) = 1$ , acreditando la primera identidad. tomando $y = -x$ da el segundo (con el valor $\eu^0 = 1$ ), y el tercero sigue. La cuarta es una inducción de la primera para $n \geq 0$ , extendida a $n < 0$ por segundo.

Positividad: $\eu^x = \left(\eu^{x/2}\right)^2 \geq 0$ y $\eu^x \neq 0$ (mostrado en Teorema 23.1), entonces $\eu^x > 0$ . ∎

Proposición 23.3 (Variaciones y límites)

El exponencial es estrictamente creciente, convexo y

\lim_{x\to-\infty} \eu^x = 0, \qquad \lim_{x\to+\infty} \eu^x = +\infty .

Demostración. $(\exp)' = \exp > 0$ da aumento estricto; $(\exp)'' = \exp > 0$ da convexidad. Por convexidad, $\eu^x \geq 1 + x$ (tangente en $0$ , ver Ejemplo 22.15), entonces $\eu^x \to +\infty$ como $x \to +\infty$ por comparación. Luego $\eu^{x} = 1/\eu^{-x} \to 0$ como $x \to -\infty$ . ∎

El exponencial: estrictamente creciente, convexo, con _-∈fty x = 0. Se encuentra encima de su tangente en 0: x ≥ 1 + x. — El exponencial: estrictamente creciente, convexo, con $\lim_{-\infty} \eu^x = 0$ . Se encuentra encima de su tangente en $0$ : $\eu^x \geq 1 + x$ .

Teorema 23.4 (Comparación de crecimiento)

Por cada entero $n \geq 1$ ,

\lim_{x\to+\infty} \frac{\eu^x}{x^n} = +\infty, \qquad \lim_{x\to-\infty} x^n \eu^x = 0 .

En palabras: el exponencial supera todas las potencias de $x$ .

Demostración. Para $n = 1$ : aplicando $\eu^t \geq 1 + t \geq t$ en $t = x/2$ ,

\frac{\eu^x}{x} = \frac{\left(\eu^{x/2}\right)^2}{x} \geq \frac{(x/2)^2}{x} = \frac{x}{4} \xrightarrow[x\to+\infty]{} +\infty .

Para $n$ general, escriba

\frac{\eu^x}{x^n} = \frac{1}{n^n}\left(\frac{\eu^{x/n}}{x/n}\right)^{n} \xrightarrow[x\to+\infty]{} +\infty

por el caso $n=1$ y composición. El límite en $-\infty$ sigue el sustitución $x \mapsto -x$ : $\abs{x^n \eu^x} = \frac{\abs{x}^n}{\eu^{\abs x}} \to 0$ . ∎

La exponencial (azul) eventualmente vence a todas las potencias: adelanta a x2 (rojo) desde el principio y a x3 (naranja) en x 4.54. — La exponencial (azul) eventualmente vence a todas las potencias: adelanta a $x^2$ (rojo) desde el principio y a $x^3$ (naranja) en $x \approx 4.54$ .

23.2 El logaritmo natural

Definición 23.5 (logaritmo natural)

El exponencial es continuo y estrictamente creciente desde $\R$ hasta $\intoo{0}{+\infty}$ ; por el teorema de biyección (Teorema 21.15), por cada $y > 0$ el ecuación $\eu^x = y$ tiene una solución única. Esta solución es naturales logaritmo de $y$ , escrito $\ln y$ . Así

\text{for } x \in \R,\ y > 0: \qquad y = \eu^x \iff x = \ln y .

En particular $\ln 1 = 0$ , $\ln \eu = 1$ y $\eu^{\ln y} = y$ , $\ln(\eu^x) = x$ .

Las curvas de y son espejo imágenes entre sí en la línea y = x: el punto (x, x) refleja a ( x, x). — Las curvas de $\exp$ y $\ln$ son espejo imágenes entre sí en la línea $y = x$ : el punto $(x, \eu^x)$ refleja a $(\eu^x, x)$ .

Proposición 23.6 (Propiedades algebraicas)

Para todos los $a, b > 0$ y $n \in \Z$ :

\ln(ab) = \ln a + \ln b, \quad \ln\frac{1}{a} = -\ln a, \quad \ln\frac{a}{b} = \ln a - \ln b, \quad \ln(a^n) = n \ln a, \quad \ln\sqrt{a} = \tfrac12 \ln a .

Demostración. $\eu^{\ln a + \ln b} = \eu^{\ln a}\eu^{\ln b} = ab$ , y tomando $\ln$ de ambos lados da la primera identidad. Los demás siguen por el mismo mecanismo desde las identidades correspondientes de Proposición 23.2. ∎

Proposición 23.7 (Propiedades analíticas)

El función $\ln$ es diferenciable en $\intoo{0}{+\infty}$ con

(\ln x)' = \frac{1}{x},

estrictamente creciente, cóncavo y $\lim\limits_{x\to0^+} \ln x = -\infty$ , $\lim\limits_{x\to+\infty} \ln x = +\infty$ . Además, por cada entero $n \geq 1$ ,

\lim_{x\to+\infty} \frac{\ln x}{x^{1/n}} = 0, \qquad \lim_{x\to0^+} x \ln x = 0 .

Demostración. En este nivel se admite la diferenciabilidad de la inversa función; otorgando diferenciar la identidad $\eu^{\ln x} = x$ por la regla de la cadena: $(\ln x)'\,\eu^{\ln x} = 1$ , entonces $(\ln x)' = \frac{1}{x} > 0$ , de donde es estricto aumento, y $(\ln x)'' = -\frac1{x^2} < 0$ , de donde la concavidad. Los límites en $0^+$ y $+\infty$ reflejan los de $\exp$ a través de la biyección. Para el comparación de crecimiento, sustituir $x = \eu^{t}$ : $\frac{\ln x}{x} = \frac{t}{\eu^t} \to 0$ como $t \to +\infty$ por Teorema 23.4, y de manera similar para los demás límites con $x = \eu^{-t}$ , dando $x\ln x = -t\eu^{-t} \to 0$ . ∎

Método 23.8 (Resolución de ecuaciones con $\exp$ y $\ln$ )

Ambos funciones son estrictamente creciente, por lo que se pueden aplicar (o eliminar) de) ambos lados de una ecuación o desigualdad sin cambiar su dirección:

\eu^{u} = \eu^{v} \iff u = v, \qquad \eu^{u} \leq \eu^{v} \iff u \leq v,

y lo mismo para $\ln$ en cantidades positivas. Always check dominios first ( $\ln$ requiere argumentos positivos). Para ecuaciones me gusta $a^x = b$ con $a>0$ , $a \neq 1$ , reescribe $a^x = \eu^{x\ln a}$ y resuelve $x = \frac{\ln b}{\ln a}$ .

Ejemplo 23.9

Un muestra radiactivo se desintegra después de $N(t) = N_0\,\eu^{-\lambda t}$ . su vida media $T$ satisface $N(T) = N_0/2$ , i.e. $\eu^{-\lambda T} = \frac12$ , entonces $T = \frac{\ln 2}{\lambda}$ : la vida media No depende de la cantidad inicial.

23.3 Ceremonias

Ejercicio 23.1 ★

Simplificar $\dfrac{\eu^{3x}\,\eu^{-x+1}}{\eu^{x}}$ y $\ln\!\left(\dfrac{\eu^2\sqrt{\eu}}{\eu^{-3}}\right)$ .

Solución

Solución de Ejercicio 23.1.

$\dfrac{\eu^{3x}\,\eu^{-x+1}}{\eu^{x}} = \eu^{3x - x + 1 - x} = \eu^{x+1}$ .

$\ln\!\left(\dfrac{\eu^2\sqrt{\eu}}{\eu^{-3}}\right) = 2 + \tfrac12 + 3 = \tfrac{11}{2}$ .

Ejercicio 23.2 ★

Resolver en $\R$ :

\text{(a) } \eu^{2x} - 3\eu^{x} + 2 = 0; \qquad \text{(b) } \ln(x - 1) + \ln(x + 2) = \ln 4 .

Solución

Solución de Ejercicio 23.2.

(a) Establecer $X = \eu^x > 0$ : $X^2 - 3X + 2 = 0$ da $X = 1$ o $X = 2$ , ambos positivos, entonces $x = 0$ o $x = \ln 2$ .

(b) Dominio: $x - 1 > 0$ y $x + 2 > 0$ , entonces $x > 1$ . El ecuación se convierte en $\ln\bigl((x-1)(x+2)\bigr) = \ln 4$ , por lo tanto $(x-1)(x+2) = 4$ , i.e. $x^2 + x - 6 = 0$ , entonces $x = 2$ o $x = -3$ . Sólo $x = 2$ está en el dominio: $S = \{2\}$ .

Ejercicio 23.3 ★

Calcular los límites:

\lim_{x\to+\infty} \frac{\eu^x - x^2}{\eu^x + 1}, \qquad \lim_{x\to+\infty} \frac{\ln x}{\sqrt x}, \qquad \lim_{x\to0^+} x^2 \ln x, \qquad \lim_{x\to+\infty} \bigl(x - \ln x\bigr).

Solución

Solución de Ejercicio 23.3.

Dividir por $\eu^x$ : $\dfrac{1 - x^2\eu^{-x}}{1 + \eu^{-x}} \to \dfrac{1-0}{1+0} = 1$ , usando $x^2 \eu^{-x} \to 0$ (Teorema 23.4).

$\dfrac{\ln x}{\sqrt x} \to 0$ por Proposición 23.7 (caso $n = 2$ ).

$x^2 \ln x = x \cdot (x \ln x) \to 0 \times 0 = 0$ .

$x - \ln x = x\left(1 - \frac{\ln x}{x}\right) \to +\infty$ desde $\frac{\ln x}{x} \to 0$ .

Ejercicio 23.4 ★★

Estudie el función $f(x) = x\,\eu^{-x}$ sobre $\R$ : variaciones, límites, extremo; demuestre que su curva tiene un punto de inflexión y dé su coordenadas.

Solución

Solución de Ejercicio 23.4.

$f'(x) = \eu^{-x} - x\eu^{-x} = (1 - x)\eu^{-x}$ , del signo de $1 - x$ : $f$ aumenta en $\intoc{-\infty}{1}$ , disminuye en $\intco{1}{+\infty}$ , con un máximo $f(1) = \eu^{-1}$ global.

Límites: como $x \to +\infty$ , $f(x) = \frac{x}{\eu^x} \to 0$ (Teorema 23.4); como $x \to -\infty$ , $x \to -\infty$ y $\eu^{-x} \to +\infty$ , entonces $f(x) \to -\infty$ .

$f''(x) = -\eu^{-x} - (1-x)\eu^{-x} = (x - 2)\eu^{-x}$ , que cambia de signo en $x = 2$ : punto de inflexión en $\bigl(2,\, 2\eu^{-2}\bigr)$ .

Ejercicio 23.5 ★★

Muestre que para todos $x > -1$ , $\ln(1 + x) \leq x$ , con igualdad solo en $x = 0$ . Deduce eso para todo $n \geq 1$ ,

\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n \leq \eu \leq \left(1 - \frac{1}{n+1}\right)^{-(n+1)} .

Solución

Solución de Ejercicio 23.5.

Deje $g(x) = x - \ln(1+x)$ en $\intoo{-1}{+\infty}$ . entonces $g'(x) = 1 - \frac{1}{1+x} = \frac{x}{1+x}$ , negativo en $\intoo{-1}{0}$ y positivo en $\intoo{0}{+\infty}$ : $g$ alcanza su mínimo $g(0) = 0$ , por lo que $g \geq 0$ con igualdad solo en $0$ . Por lo tanto $\ln(1+x) \leq x$ .

Aplicar esto con $x = \frac1n$ : $n\ln\left(1 + \frac1n\right) \leq 1$ , entonces $\left(1+\frac1n\right)^n = \eu^{\,n\ln(1+1/n)} \leq \eu$ . Aplicarlo con $x = -\frac{1}{n+1} > -1$ : $\ln\left(1 - \frac{1}{n+1}\right) \leq -\frac{1}{n+1}$ , entonces $-(n+1)\ln\left(1 - \frac{1}{n+1}\right) \geq 1$ y $\left(1 - \frac{1}{n+1}\right)^{-(n+1)} \geq \eu$ .

Ejercicio 23.6 ★★

Se invierte un capital $C_0$ a una tasa anual de $3\%$ , interés compuesto cada año.

Expresar el capital $C_n$ después de $n$ años.
¿Después de cuántos años se duplica el capital? da la respuesta exacta usando $\ln$ , luego un valor numérico.
Compare con aproximación “ $70$ dividido por la tasa en porcentaje” utilizado por los banqueros.

Solución

Solución de Ejercicio 23.6.

1. Cada año se multiplica el capital por $1.03$ : $C_n = C_0 (1.03)^n$ .

2. $C_n \geq 2C_0 \iff (1.03)^n \geq 2 \iff n \ln 1.03 \geq \ln 2 \iff n \geq \frac{\ln 2}{\ln 1.03} \approx 23.45$ : el capital se duplica después $24$ años.

3. $\frac{70}{3} \approx 23.3$ , cerca del exacto $\frac{\ln 2}{\ln 1.03}$ . La regla funciona porque $\ln(1 + r) \approx r$ para $r$ pequeño, por lo que $\frac{\ln 2}{\ln(1+r)} \approx \frac{0.693}{r} \approx \frac{70}{100r}$ .

Ejercicio 23.7 ★★

Resuelve la desigualdad $\eu^{2x} - \eu^{x+1} > 0$ , luego la desigualdad $\ln(x^2 - 1) \leq \ln(x + 5)$ .

Solución

Solución de Ejercicio 23.7.

$\eu^{2x} > \eu^{x+1} \iff 2x > x + 1 \iff x > 1$ (la exponencial es estrictamente creciente): $S = \intoo{1}{+\infty}$ .

Dominio de la segunda desigualdad: $x^2 - 1 > 0$ y $x + 5 > 0$ , i.e. $x \in \intoo{-5}{-1} \cup \intoo{1}{+\infty}$ . En este dominio, siendo $\ln$ estrictamente creciente,

\ln(x^2-1) \leq \ln(x+5) \iff x^2 - 1 \leq x + 5 \iff x^2 - x - 6 \leq 0 \iff x \in \intcc{-2}{3}.

Intersección con el dominio: $S = \intco{-2}{-1} \cup \intoc{1}{3}$ .

Ejercicio 23.8 ★★★

Deje $f(x) = \dfrac{\eu^x}{x}$ por $x > 0$ .

Estudie las variaciones de $f$ en $\intoo{0}{+\infty}$ y dé su mínimo.
¿Para qué valores de $k$ el ecuación $\eu^x = kx$ tiene $0$ , $1$ ? o soluciones $2$ en $\intoo{0}{+\infty}$ ?

Solución

Solución de Ejercicio 23.8.

1. $f'(x) = \dfrac{\eu^x x - \eu^x}{x^2} = \dfrac{(x-1)\eu^x}{x^2}$ , negativo en $\intoo{0}{1}$ , positivo en $\intoo{1}{+\infty}$ : mínimo $f(1) = \eu$ . Límites: $f \to +\infty$ en $0^+$ (numerador $\to 1$ , denominador $\to 0^+$ ) y en $+\infty$ (Teorema 23.4).

2. Para $x > 0$ , $\eu^x = kx \iff f(x) = k$ . Del tabla de variaciones ( $+\infty \searrow \eu \nearrow +\infty$ , continuo y estrictamente monótono en cada lado): no hay solución para $k < \eu$ ; exactamente uno ( $x = 1$ ) para $k = \eu$ ; exactamente dos para $k > \eu$ (uno en $\intoo{0}{1}$ , uno en $\intoo{1}{+\infty}$ , por el teorema de biyección en cada intervalo).

Ejercicio 23.9 ★★★

Para $n \geq 1$ , sea $u_n = \left(1 + \frac1n\right)^n$ .

Usando Ejercicio 23.5, muestre que $(u_n)$ es delimitado arriba por $\eu$ .
Demuestre que $\ln u_n = n \ln\left(1 + \frac1n\right) \to 1$ , y deducir que $u_n \to \eu$ . (Pista: reconozca un cociente de diferencias de $\ln$ en $1$ ).

Solución

Solución de Ejercicio 23.9.

1. Directo de la primera desigualdad de Ejercicio 23.5: $u_n = \eu^{\,n\ln(1+1/n)} \leq \eu^1 = \eu$ .

2. Escribir

\ln u_n = n \ln\!\left(1 + \frac1n\right) = \frac{\ln\!\left(1 + \frac1n\right) - \ln 1}{\frac1n},

un cociente de diferencias de $\ln$ en el punto $1$ con incremento $h = \frac1n \to 0$ . Dado que $\ln$ es diferenciable en $1$ con derivado $1$ , $\ln u_n \to 1$ . Por continuidad de $\exp$ (Proposición 21.12), $u_n = \eu^{\ln u_n} \to \eu^1 = \eu$ .

23.4 Problema: el logaritmo domina al mundo

Problema 23.1

Problema del fin de semana — tiempos de duplicación y la regla de 72, las escalas de terremotos, ácidos y pianos, y la constante $\eu$ dejando huellas dactilares por todos lados

Todo lo que crece con un porcentaje fijo crece exponencialmente — ahorros, bacterias, epidemias — y lo que sea abarca demasiadas potencias de diez para comprenderlas: energías sísmicas, acidez, intensidades de sonido — es domesticado por un logaritmo. esto El problema calcula los tiempos de duplicación y desenmascara la regla de los banqueros. 72, lee las escalas logarítmicas del mundo y recopila las Huellas dactilares que deja el número $\eu$ en cada escena del crimen (Proposición 23.2, Teorema 23.4, Método 23.8).

Parte I — Fluency.

Resolver: $\eu^{2x} = 5$ ; $\ln(3x - 1) = 2$ ; $\eu^{2x} - 3\eu^x + 2 = 0$ (una cuadrática disfrazada).
Simplificar: $\dfrac{\ln 8}{\ln 2}$ ; $\ln\!\left(\eu^3 \sqrt{\eu}\right)$ ; $\eu^{\ln 5 - \ln 2}$ .
Demostrar la desigualdad madre: $\eu^x \geq 1 + x$ para todos real $x$ (estudio $f(x) = \eu^x - 1 - x$ ), y deducir $\ln(1 + u) \leq u$ para $u > -1$ .
Computar $\lim_{x \to +\infty} x^2 \eu^{-x}$ , $\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln x}{x}$ (Teorema 23.4), y $\lim_{x \to 0} \frac{\eu^x - 1}{x}$ (reconoce un derivado).
Estudio $f(x) = x \ln x$ sobre $\intoo{0}{+\infty}$ : variaciones, mínimo, y el límite en $0^+$ (admitido: $x \ln x \to 0$ ). Este pequeño función mide información y entropía en los volúmenes universitarios.

Parte II — Doubling times and the rule of 72.

Los ahorros crecen a $3\,\%$ por año. resolver $1.03^n = 2$ : ¿cuánto tiempo para duplicar el capital?
Los banqueros estiman que el tiempo de duplicación es $\frac{72}{\text{rate in }\%}$ . Pruebe la regla en $3\,\%$ , $6\,\%$ y $9\,\%$ contra el exacto $\frac{\ln 2}{\ln(1 + r)}$ , luego explícalo: para pequeños $r$ , $\ln(1 + r) \approx r$ (la desigualdad de la pregunta 3 es la mitad de la historia), por lo que la constante exacta es $100 \ln 2 \approx 69.3$ — ¿por qué los banqueros prefieren $72$ ?
Una bacteria se divide cada $20$ minutos: $p(t) = 2^{t/20}$ ( $t$ en minutos). Reescribirlo como $\eu^{\lambda t}$ , luego calcule $p$ después de $24$ horas. La respuesta (más de $10^{21}$ ) demuestra ¿qué pasa con el modelo — ¿y qué detiene a las verdaderas colonias?
La cafeína sale del cuerpo con una vida media de aproximadamente $5$ horas. Después de un café $100$ mg a las 15:00, ¿cuánto queda a las 23:00? ¿A qué hora baja? $10$ mg? (El insomnio tiene un logaritmo).
Un euro a $100\,\%$ interés anual: calcular el Capital de fin de año anual, mensual y diario. composición, y dar el techo que Ejercicio 23.9 resultó irrompible. cual famoso ¿Constante es el límite de la pura codicia?
¿Por qué los científicos conspiran contra $\ln(\text{cases})$ ? ¿Cuál es el momento durante la fase inicial de una epidemia? ¿Qué significa un línea recta en esa trama revela, y ¿qué significa su pendiente medida?

Parte III — The world’s logarithmic scales. (Escribe $\log_{10} x = \frac{\ln x}{\ln 10}$ .)

Nivel sonoro en decibelios: $L = 10 \log_{10}(I/I_0)$ . un una conversación mide $60$ dB, un concierto de rock $120$ dB: ¿En qué factor difieren las intensidades del sonido?
Las magnitudes del terremoto aumentan en $1$ cuando la actividad sísmica La amplitud se multiplica por $10$ y se libera. escalas de energía como amplitud $^{3/2}$ . Comparar Terremotos de magnitud- $5$ y magnitud- $7$ : amplitud relación, luego relación de energía.
Química: $\text{pH} = -\log_{10}[\mathrm{H^+}]$ . El jugo de limón tiene pH $2$ , la leche pH $6.5$ : ¿cuál es el relación de sus concentraciones de ácido?
Música: cada octava duplica la frecuencia. Desde el desde la A más baja del piano ( $27.5$ Hz) hasta su C más alta ( $4\,186$ Hz), ¿cuántas octavas abarca el teclado? ¿Y por qué nuestros sentidos (oído, vista, sensación de temblor) — ¿prefieres escalas logarítmicas? (Una frase.)
La regla de cálculo, la calculadora de ingenieros para $350$ años: dos palos graduados para que el longitud a la marca $x$ es proporcional a $\ln x$ . Explica como deslizar un palo sobre el otro multiplica números, y nombrar la identidad de Proposición 23.6 haciendo el trabajo.

Parte IV — $\eu$ ’s fingerprints.

De Ejercicio 23.8: el ecuación $\eu^x = kx$ ( $x > 0$ ) tiene soluciones $0$ , $1$ o $2$ según la posición de $k$ relativa a un umbral. Vuelva a expresar el resultado — y verifique el hecho geométrico detrás de esto: la línea $y = \eu x$ es exactamente el tangente a la exponencial a través del origen.
La constante casi fallida: con $n$ billetes de lotería de ganando probabilidad $\frac1n$ cada uno, $\P(\text{no win}) = \left(1 - \frac1n\right)^n$ . Calcule su límite mediante $n \ln\!\left(1 - \frac1n\right)$ (use el estándar límite $\frac{\ln(1 + u)}{u} \to 1$ ), y conciliar con el misterioso $0.368$ de Problema 19.1.
La regla $37\,\%$ : elegir lo mejor de $n$ candidatos entrevistados en orden aleatorio (sin vuelta atrás), la estrategia óptima rechaza la primera $\frac{n}{\eu} \approx 37\,\%$ y luego toma la primera candidato mejor que todos hasta ahora — teniendo éxito con probabilidad sobre $\frac1\eu$ . ¿Dónde están los dos? $\frac1\eu$ de las preguntas 18 y 19 provienen de — indicar el mecanismo común (muchos independientes de pequeña probabilidad eventos), y calcular $\frac1\eu$ a tres decimales.
Finale — Retrato de $\eu$ : el techo de la capitalización (pregunta 10); la base cuyo tangente en $0$ tiene pendiente exactamente $1$ (preguntas 3 y 4); el crecimiento no capturas polinómicas (pregunta 4); la constante de cuasi accidentes y de parada óptima (preguntas 18-19); y su inverso $\ln$ , que convierte productos en sumas (pregunta 16) y décadas en pulgadas (Parte III). uno frase cada uno.

Solución

Solución de Problema 23.1.

1. $x = \frac{\ln 5}{2}$ . $3x - 1 = \eu^2$ : $x = \frac{\eu^2 + 1}{3}$ . Con $u = \eu^x$ : $u^2 - 3u + 2 = (u - 1)(u - 2) = 0$ : $x = 0$ o $x = \ln 2$ .

2. $\frac{3\ln 2}{\ln 2} = 3$ ; $3 + \frac12 = \frac72$ ; $\frac52$ .

3. $f'(x) = \eu^x - 1$ : negativo antes de $0$ , positivo después: mínimo $f(0) = 0$ , entonces $f \geq 0$ en todas partes: $\eu^x \geq 1 + x$ . Sustituyendo $x = \ln(1 + u)$ : $1 + u \geq 1 + \ln(1 + u)$ , es decir $\ln(1 + u) \leq u$ .

4. $x^2\eu^{-x} = \frac{x^2}{\eu^x} \to 0$ y $\frac{\ln x}{x} \to 0$ : exponenciales aplastan potencias, potencias aplastar logaritmos. Y $\frac{\eu^x - 1}{x} = \frac{\eu^x - \eu^0}{x - 0} \to \exp'(0) = 1$ .

5. $f'(x) = \ln x + 1$ : cero en $\eu^{-1}$ , negativo antes, positivo después: mínimo $f\!\left(\frac1\eu\right) = -\frac1\eu$ ; y $x \ln x \to 0$ en $0^+$ : la curva sale del origen, desciende hasta $-\frac1\eu$ , y se aleja.

6. $n = \frac{\ln 2}{\ln 1.03} \approx 23.4$ años.

7. Exacto: $23.4$ , $11.9$ , $8.0$ años; regla del 72: $24$ , $12$ , $8$ . Desde $\ln(1+r) \approx r$ , $\frac{\ln 2}{\ln(1+r)} \approx \frac{0.693}{r}$ , es decir $\frac{69.3}{\text{rate in }\%}$ ; los banqueros redondean hasta $72$ porque divide maravillosamente por $2, 3, 4, 6, 8, 9, 12$ — la aritmética mental supera a un decimal de precisión.

8. $2^{t/20} = \eu^{t \ln 2 / 20}$ : $\lambda = \frac{\ln 2}{20}$ por minuto. después $24 \times 60 = 1440$ minutos: $2^{72} \approx 4.7 \times 10^{21}$ bacterias — más que los granos de arena de la Tierra, de una celda en un día. El modelo es honesto solo mientras come. y el espacio al final: el crecimiento real se curva hacia la curva S logística (la curva del epidemiólogo de Problema 22.1).

9. A las 23:00 (horas $8$ ): $100 \times 2^{-8/5} \approx 33$ mg. Por debajo de $10$ mg: $2^{-t/5} < 0.1$ da $t > 5\,\frac{\ln 10}{\ln 2} \approx 16.6$ h: alrededor de las 7:40 de la mañana siguiente — el espresso a las tres tiene una cola larga.

10. Anual: $2$ . Mensual: $\left(1 + \frac{1}{12}\right)^{12} \approx 2.613$ . Diariamente: $\approx 2.715$ . El techo: $\eu = 2.71828\ldots$ (Ejercicio 23.9) — compuesto continuamente, avaricia converge.

11. Si los casos crecen exponencialmente, $c(t) = c_0 \eu^{\lambda t}$ , entonces $\ln c(t) = \ln c_0 + \lambda t$ : a Línea recta de pendiente $\lambda$ — la tasa de crecimiento. un estiramiento recto en el diagrama logarítmico is el exponencial fase, y su intensidad es el ritmo de la epidemia.

12. $120 - 60 = 60$ dB significa $10\log_{10}(I_2/I_1) = 60$ : el concierto es $10^6$ — un millón de veces — más intenso que el conversación.

13. Amplitud: $10^{7-5} = 100$ . Energía: $100^{3/2} = 1000$ : dos puntos de magnitud esconden tres órdenes de magnitud en energía.

14. $10^{6.5 - 2} = 10^{4.5} \approx 32\,000$ : limón El jugo es treinta mil veces más ácido que la leche — pH comprime los abismos de la química en una balanza de bolsillo.

15. $\log_2\!\frac{4186}{27.5} = \frac{\ln(4186/27.5)}{\ln 2} \approx 7.25$ : un piano se extiende apenas más de siete octavas. Los sentidos responden a proporciones de estímulos. — duplicar la intensidad se siente como un paso, sea cual sea el nivel inicial — por lo que la percepción se basa en un logarítmico escala, y también lo son las unidades que inventamos para ello.

16. Colocando el palo para $a$ de extremo a extremo con el La posición del joystick para $b$ agrega las longitudes $\ln a + \ln b$ , y la graduación sentada con esa longitud total dice $\eu^{\ln a + \ln b} = ab$ : la regla de cálculo calcula productos agregando logaritmos — $\ln(ab) = \ln a + \ln b$ (Proposición 23.6) tallado en madera de boj.

17. El mínimo de $\frac{\eu^x}{x}$ en $\intoo{0}{+\infty}$ es $\eu$ , en $x = 1$ : no hay solución para $k < \eu$ , exactamente uno para $k = \eu$ , dos para $k > \eu$ . Tangente comprobar: en $a = 1$ el tangente al $\eu^x$ es $y = \eu + \eu(x - 1) = \eu x$ : pasa por el origen — la línea de umbral, rozando la curva en $(1, \eu)$ .

18. $n \ln\!\left(1 - \frac1n\right) = \frac{\ln(1 - 1/n)}{-1/n} \times (-1) \to -1$ , entonces $\left(1 - \frac1n\right)^n \to \eu^{-1} \approx 0.368$ : el $0.999^{1000} \approx 0.368$ de Problema 19.1, explicado — la constante casi fallida de la lotería es $\frac1\eu$ .

19. Ambos son la forma límite de "muchos independientes". eventos, cada uno individualmente improbable”: la posibilidad de que ninguno de $n$ posibilidades de incendio de tamaño $\frac1n$ tiende a $\eu^{-1}$ , y la regla de secretaria ajusta su ventana de rechazo para que el éxito se concentre en esa misma constante. $\frac1\eu \approx 0.368$ .

20. El límite máximo de capitalización; la base única cuya tangente en $0$ tiene pendiente $1$ (por eso al cálculo le encanta); el crecimiento que supera a todo poder; la constante donde los cuasi accidentes y la parada óptima se resuelven; y el logaritmo — La multiplicación se convierte en suma, los rangos más salvajes del mundo. doblado sobre una regla.