Matemáticas de secundaria · Grades 10–12

23Exponencial y logaritmo

La función exponencial es la única función igual a su propia derivada y que vale $1$ en $0$ . Convierte sumas en productos; su inversa, el logaritmo neperiano, convierte productos en sumas. Juntas describen todos los fenómenos cuya tasa de variación es proporcional a su tamaño: la desintegración radiactiva, el crecimiento de poblaciones, el interés compuesto.

23.1 La función exponencial

Teorema 23.1 (Existencia y unicidad)

Existe una única función derivable $f \colon \R \to \R$ tal que

f' = f \qquad\text{y}\qquad f(0) = 1 .

Se llama función exponencial y se escribe $\exp$ , o bien $x \mapsto \eu^x$ .

Demostración de la unicidad. En primer lugar, una función así no se anula nunca. En efecto, sea $g(x) = f(x)f(-x)$ ; entonces

g'(x) = f'(x)f(-x) - f(x)f'(-x) = f(x)f(-x) - f(x)f(-x) = 0,

así que $g$ es constante e igual a $g(0) = 1$ : para todo $x$ , $f(x)f(-x) = 1$ y, en particular, $f(x) \neq 0$ .

Sean ahora $f_1, f_2$ dos soluciones y $h = \dfrac{f_1}{f_2}$ (legítimo, porque $f_2$ no se anula nunca). Entonces

h' = \frac{f_1' f_2 - f_1 f_2'}{f_2^2} = \frac{f_1 f_2 - f_1 f_2}{f_2^2} = 0,

así que $h$ es constante e igual a $h(0) = 1$ , es decir, $f_1 = f_2$ .

La existencia se admite a este nivel (se puede obtener mediante la sucesión del Ejercicio 20.10, o como inversa del logaritmo construido por integración en el Capítulo 25). ∎

Proposición 23.2 (Ecuación funcional)

Para todos $x, y \in \R$ y $n \in \Z$ :

\eu^{x+y} = \eu^x\,\eu^y, \qquad \eu^{-x} = \frac{1}{\eu^x}, \qquad \eu^{x-y} = \frac{\eu^x}{\eu^y}, \qquad \bigl(\eu^{x}\bigr)^n = \eu^{nx}.

Además, $\eu^x > 0$ para todo $x$ .

Demostración. Fijemos $y$ y consideremos $\varphi(x) = \dfrac{\exp(x+y)}{\exp(x)\exp(y)}$ . Su numerador y su denominador, como funciones de $x$ , son los dos soluciones de $f' = f$ salvo la constante $\exp(y)$ ; derivando $\varphi$ directamente (regla del cociente) se obtiene $\varphi' = 0$ , luego $\varphi \equiv \varphi(0) = 1$ , lo que demuestra la primera identidad. Tomando $y = -x$ se obtiene la segunda (con el valor $\eu^0 = 1$ ), y de ahí se sigue la tercera. La cuarta es una inducción a partir de la primera para $n \geq 0$ , extendida a $n < 0$ mediante la segunda.

Positividad: $\eu^x = \left(\eu^{x/2}\right)^2 \geq 0$ y $\eu^x \neq 0$ (visto en el Teorema 23.1), luego $\eu^x > 0$ . ∎

Proposición 23.3 (Variación y límites)

La exponencial es estrictamente creciente y convexa, y

\lim_{x\to-\infty} \eu^x = 0, \qquad \lim_{x\to+\infty} \eu^x = +\infty .

Demostración. $(\exp)' = \exp > 0$ da el crecimiento estricto; $(\exp)'' = \exp > 0$ da la convexidad. Por la convexidad, $\eu^x \geq 1 + x$ (la tangente en $0$ , véase el Ejemplo 22.15), así que $\eu^x \to +\infty$ cuando $x \to +\infty$ por comparación. Y entonces $\eu^{x} = 1/\eu^{-x} \to 0$ cuando $x \to -\infty$ . ∎

La exponencial: estrictamente creciente, convexa y con _-∈fty x = 0. Queda por encima de su tangente en 0: x ≥ 1 + x. — La exponencial: estrictamente creciente, convexa y con $\lim_{-\infty} \eu^x = 0$ . Queda por encima de su tangente en $0$ : $\eu^x \geq 1 + x$ .

Teorema 23.4 (Comparación de crecimientos)

Para todo entero $n \geq 1$ ,

\lim_{x\to+\infty} \frac{\eu^x}{x^n} = +\infty, \qquad \lim_{x\to-\infty} x^n \eu^x = 0 .

En palabras: la exponencial gana a todas las potencias de $x$ .

Demostración. Para $n = 1$ : aplicando $\eu^t \geq 1 + t \geq t$ en $t = x/2$ ,

\frac{\eu^x}{x} = \frac{\left(\eu^{x/2}\right)^2}{x} \geq \frac{(x/2)^2}{x} = \frac{x}{4} \xrightarrow[x\to+\infty]{} +\infty .

Para $n$ general, escribimos

\frac{\eu^x}{x^n} = \frac{1}{n^n}\left(\frac{\eu^{x/n}}{x/n}\right)^{n} \xrightarrow[x\to+\infty]{} +\infty

por el caso $n=1$ y la composición. El límite en $-\infty$ se sigue con la sustitución $x \mapsto -x$ : $\abs{x^n \eu^x} = \frac{\abs{x}^n}{\eu^{\abs x}} \to 0$ . ∎

La exponencial (en azul) acaba ganando a todas las potencias: adelanta pronto a x2 (en rojo) y a x3 (en naranja) en x 4.54. — La exponencial (en azul) acaba ganando a todas las potencias: adelanta pronto a $x^2$ (en rojo) y a $x^3$ (en naranja) en $x \approx 4.54$ .

23.2 El logaritmo neperiano

Definición 23.5 (Logaritmo neperiano)

La exponencial es continua y estrictamente creciente de $\R$ sobre $\intoo{0}{+\infty}$ ; por el teorema de la biyección (Teorema 21.15), para todo $y > 0$ la ecuación $\eu^x = y$ tiene una única solución. Esa solución es el logaritmo neperiano de $y$ , que se escribe $\ln y$ . Así pues,

\text{para } x \in \R,\ y > 0: \qquad y = \eu^x \iff x = \ln y .

En particular, $\ln 1 = 0$ , $\ln \eu = 1$ , $\eu^{\ln y} = y$ y $\ln(\eu^x) = x$ .

Las curvas de y de son simétricas la una de la otra respecto de la recta y = x: el punto (x, x) se refleja en ( x, x). — Las curvas de $\exp$ y de $\ln$ son simétricas la una de la otra respecto de la recta $y = x$ : el punto $(x, \eu^x)$ se refleja en $(\eu^x, x)$ .

Proposición 23.6 (Propiedades algebraicas)

Para todos $a, b > 0$ y $n \in \Z$ :

\ln(ab) = \ln a + \ln b, \quad \ln\frac{1}{a} = -\ln a, \quad \ln\frac{a}{b} = \ln a - \ln b, \quad \ln(a^n) = n \ln a, \quad \ln\sqrt{a} = \tfrac12 \ln a .

Demostración. $\eu^{\ln a + \ln b} = \eu^{\ln a}\eu^{\ln b} = ab$ , y tomando $\ln$ en los dos miembros se obtiene la primera identidad. Las demás se siguen por el mismo mecanismo de las identidades correspondientes de la Proposición 23.2. ∎

Proposición 23.7 (Propiedades analíticas)

La función $\ln$ es derivable en $\intoo{0}{+\infty}$ con

(\ln x)' = \frac{1}{x},

es estrictamente creciente y cóncava, y $\lim\limits_{x\to0^+} \ln x = -\infty$ , $\lim\limits_{x\to+\infty} \ln x = +\infty$ . Además, para todo entero $n \geq 1$ ,

\lim_{x\to+\infty} \frac{\ln x}{x^{1/n}} = 0, \qquad \lim_{x\to0^+} x \ln x = 0 .

Demostración. La derivabilidad de la función inversa se admite a este nivel; admitiéndola, derivamos la identidad $\eu^{\ln x} = x$ con la regla de la cadena: $(\ln x)'\,\eu^{\ln x} = 1$ , luego $(\ln x)' = \frac{1}{x} > 0$ , de donde el crecimiento estricto, y $(\ln x)'' = -\frac1{x^2} < 0$ , de donde la concavidad. Los límites en $0^+$ y en $+\infty$ reflejan los de $\exp$ a través de la biyección. Para la comparación de crecimientos, sustituimos $x = \eu^{t}$ : $\frac{\ln x}{x} = \frac{t}{\eu^t} \to 0$ cuando $t \to +\infty$ por el Teorema 23.4, y análogamente para el otro límite con $x = \eu^{-t}$ , que da $x\ln x = -t\eu^{-t} \to 0$ . ∎

Método 23.8 (Resolver ecuaciones con $\exp$ y $\ln$ )

Las dos funciones son estrictamente crecientes, así que se pueden aplicar (o quitar) en los dos miembros de una ecuación o de una inecuación sin cambiar su sentido:

\eu^{u} = \eu^{v} \iff u = v, \qquad \eu^{u} \leq \eu^{v} \iff u \leq v,

y lo mismo con $\ln$ sobre cantidades positivas. Comprueba siempre antes los dominios ( $\ln$ exige argumentos positivos). Para ecuaciones del tipo $a^x = b$ con $a>0$ y $a \neq 1$ , reescribe $a^x = \eu^{x\ln a}$ y resuelve $x = \frac{\ln b}{\ln a}$ .

Ejemplo 23.9

Una muestra radiactiva se desintegra según $N(t) = N_0\,\eu^{-\lambda t}$ . Su periodo de semidesintegración $T$ cumple $N(T) = N_0/2$ , es decir, $\eu^{-\lambda T} = \frac12$ , luego $T = \frac{\ln 2}{\lambda}$ : el periodo no depende de la cantidad inicial.

23.3 Ejercicios

Ejercicio 23.1 ★

Simplifica $\dfrac{\eu^{3x}\,\eu^{-x+1}}{\eu^{x}}$ y $\ln\!\left(\dfrac{\eu^2\sqrt{\eu}}{\eu^{-3}}\right)$ .

Solución

Solución de Ejercicio 23.1.

$\dfrac{\eu^{3x}\,\eu^{-x+1}}{\eu^{x}} = \eu^{3x - x + 1 - x} = \eu^{x+1}$ .

$\ln\!\left(\dfrac{\eu^2\sqrt{\eu}}{\eu^{-3}}\right) = 2 + \tfrac12 + 3 = \tfrac{11}{2}$ .

Ejercicio 23.2 ★

Resuelve en $\R$ :

\text{(a) } \eu^{2x} - 3\eu^{x} + 2 = 0; \qquad \text{(b) } \ln(x - 1) + \ln(x + 2) = \ln 4 .

Solución

Solución de Ejercicio 23.2.

(a) Tomamos $X = \eu^x > 0$ : $X^2 - 3X + 2 = 0$ da $X = 1$ o $X = 2$ , los dos positivos, luego $x = 0$ o $x = \ln 2$ .

(b) Dominio: $x - 1 > 0$ y $x + 2 > 0$ , luego $x > 1$ . La ecuación queda $\ln\bigl((x-1)(x+2)\bigr) = \ln 4$ , de donde $(x-1)(x+2) = 4$ , es decir, $x^2 + x - 6 = 0$ , luego $x = 2$ o $x = -3$ . Solo $x = 2$ está en el dominio: $S = \{2\}$ .

Ejercicio 23.3 ★

Calcula los límites:

\lim_{x\to+\infty} \frac{\eu^x - x^2}{\eu^x + 1}, \qquad \lim_{x\to+\infty} \frac{\ln x}{\sqrt x}, \qquad \lim_{x\to0^+} x^2 \ln x, \qquad \lim_{x\to+\infty} \bigl(x - \ln x\bigr).

Solución

Solución de Ejercicio 23.3.

Dividimos entre $\eu^x$ : $\dfrac{1 - x^2\eu^{-x}}{1 + \eu^{-x}} \to \dfrac{1-0}{1+0} = 1$ , usando $x^2 \eu^{-x} \to 0$ (Teorema 23.4).

$\dfrac{\ln x}{\sqrt x} \to 0$ por la Proposición 23.7 (caso $n = 2$ ).

$x^2 \ln x = x \cdot (x \ln x) \to 0 \times 0 = 0$ .

$x - \ln x = x\left(1 - \frac{\ln x}{x}\right) \to +\infty$ , porque $\frac{\ln x}{x} \to 0$ .

Ejercicio 23.4 ★★

Estudia la función $f(x) = x\,\eu^{-x}$ en $\R$ : variación, límites y extremo; demuestra que su curva tiene un punto de inflexión y da sus coordenadas.

Solución

Solución de Ejercicio 23.4.

$f'(x) = \eu^{-x} - x\eu^{-x} = (1 - x)\eu^{-x}$ , con el signo de $1 - x$ : $f$ crece en $\intoc{-\infty}{1}$ y decrece en $\intco{1}{+\infty}$ , con un máximo absoluto $f(1) = \eu^{-1}$ .

Límites: cuando $x \to +\infty$ , $f(x) = \frac{x}{\eu^x} \to 0$ (Teorema 23.4); cuando $x \to -\infty$ , $x \to -\infty$ y $\eu^{-x} \to +\infty$ , luego $f(x) \to -\infty$ .

$f''(x) = -\eu^{-x} - (1-x)\eu^{-x} = (x - 2)\eu^{-x}$ , que cambia de signo en $x = 2$ : punto de inflexión en $\bigl(2,\, 2\eu^{-2}\bigr)$ .

Ejercicio 23.5 ★★

Demuestra que para todo $x > -1$ se cumple $\ln(1 + x) \leq x$ , con igualdad solo en $x = 0$ . Deduce que para todo $n \geq 1$ ,

\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n \leq \eu \leq \left(1 - \frac{1}{n+1}\right)^{-(n+1)} .

Solución

Solución de Ejercicio 23.5.

Sea $g(x) = x - \ln(1+x)$ en $\intoo{-1}{+\infty}$ . Entonces $g'(x) = 1 - \frac{1}{1+x} = \frac{x}{1+x}$ , negativa en $\intoo{-1}{0}$ y positiva en $\intoo{0}{+\infty}$ : $g$ alcanza su mínimo $g(0) = 0$ , luego $g \geq 0$ con igualdad solo en $0$ . Por tanto, $\ln(1+x) \leq x$ .

Aplicándolo con $x = \frac1n$ : $n\ln\left(1 + \frac1n\right) \leq 1$ , luego $\left(1+\frac1n\right)^n = \eu^{\,n\ln(1+1/n)} \leq \eu$ . Y aplicándolo con $x = -\frac{1}{n+1} > -1$ : $\ln\left(1 - \frac{1}{n+1}\right) \leq -\frac{1}{n+1}$ , luego $-(n+1)\ln\left(1 - \frac{1}{n+1}\right) \geq 1$ y $\left(1 - \frac{1}{n+1}\right)^{-(n+1)} \geq \eu$ .

Ejercicio 23.6 ★★

Se invierte un capital $C_0$ a un tipo anual del $3\,\%$ , con los intereses capitalizados cada año.

Expresa el capital $C_n$ al cabo de $n$ años.
¿Al cabo de cuántos años se duplica el capital? Da la respuesta exacta con $\ln$ y después un valor numérico.
Compárala con la aproximación “ $70$ dividido entre el tipo en tanto por ciento” que usan los banqueros.

Solución

Solución de Ejercicio 23.6.

1. Cada año multiplica el capital por $1.03$ : $C_n = C_0 (1.03)^n$ .

2. $C_n \geq 2C_0 \iff (1.03)^n \geq 2 \iff n \ln 1.03 \geq \ln 2 \iff n \geq \frac{\ln 2}{\ln 1.03} \approx 23.45$ : el capital se duplica al cabo de $24$ años.

3. $\frac{70}{3} \approx 23.3$ , cerca del valor exacto $\frac{\ln 2}{\ln 1.03}$ . La regla funciona porque $\ln(1 + r) \approx r$ para $r$ pequeño, así que $\frac{\ln 2}{\ln(1+r)} \approx \frac{0.693}{r} \approx \frac{70}{100r}$ .

Ejercicio 23.7 ★★

Resuelve la inecuación $\eu^{2x} - \eu^{x+1} > 0$ y después la inecuación $\ln(x^2 - 1) \leq \ln(x + 5)$ .

Solución

Solución de Ejercicio 23.7.

$\eu^{2x} > \eu^{x+1} \iff 2x > x + 1 \iff x > 1$ (la exponencial es estrictamente creciente): $S = \intoo{1}{+\infty}$ .

Dominio de la segunda inecuación: $x^2 - 1 > 0$ y $x + 5 > 0$ , es decir, $x \in \intoo{-5}{-1} \cup \intoo{1}{+\infty}$ . En ese dominio, como $\ln$ es estrictamente creciente,

\ln(x^2-1) \leq \ln(x+5) \iff x^2 - 1 \leq x + 5 \iff x^2 - x - 6 \leq 0 \iff x \in \intcc{-2}{3}.

Intersecando con el dominio: $S = \intco{-2}{-1} \cup \intoc{1}{3}$ .

Ejercicio 23.8 ★★★

Sea $f(x) = \dfrac{\eu^x}{x}$ para $x > 0$ .

Estudia la variación de $f$ en $\intoo{0}{+\infty}$ y da su mínimo.
¿Para qué valores de $k$ tiene la ecuación $\eu^x = kx$ $0$ , $1$ o $2$ soluciones en $\intoo{0}{+\infty}$ ?

Solución

Solución de Ejercicio 23.8.

1. $f'(x) = \dfrac{\eu^x x - \eu^x}{x^2} = \dfrac{(x-1)\eu^x}{x^2}$ , negativa en $\intoo{0}{1}$ y positiva en $\intoo{1}{+\infty}$ : mínimo $f(1) = \eu$ . Límites: $f \to +\infty$ en $0^+$ (el numerador $\to 1$ y el denominador $\to 0^+$ ) y en $+\infty$ (Teorema 23.4).

2. Para $x > 0$ , $\eu^x = kx \iff f(x) = k$ . Por la tabla de variación ( $+\infty \searrow \eu \nearrow +\infty$ , continua y estrictamente monótona a cada lado): ninguna solución para $k < \eu$ ; exactamente una ( $x = 1$ ) para $k = \eu$ ; y exactamente dos para $k > \eu$ (una en $\intoo{0}{1}$ y otra en $\intoo{1}{+\infty}$ , por el teorema de la biyección en cada intervalo).

Ejercicio 23.9 ★★★

Para $n \geq 1$ , sea $u_n = \left(1 + \frac1n\right)^n$ .

Usando el Ejercicio 23.5, demuestra que $(u_n)$ está acotada superiormente por $\eu$ .
Demuestra que $\ln u_n = n \ln\left(1 + \frac1n\right) \to 1$ y deduce que $u_n \to \eu$ . (Indicación: reconoce un cociente incremental de $\ln$ en $1$ .)

Solución

Solución de Ejercicio 23.9.

1. Directamente de la primera desigualdad del Ejercicio 23.5: $u_n = \eu^{\,n\ln(1+1/n)} \leq \eu^1 = \eu$ .

2. Escribimos

\ln u_n = n \ln\!\left(1 + \frac1n\right) = \frac{\ln\!\left(1 + \frac1n\right) - \ln 1}{\frac1n},

que es un cociente incremental de $\ln$ en el punto $1$ con incremento $h = \frac1n \to 0$ . Como $\ln$ es derivable en $1$ con derivada $1$ , $\ln u_n \to 1$ . Por la continuidad de $\exp$ (Proposición 21.12), $u_n = \eu^{\ln u_n} \to \eu^1 = \eu$ .

23.4 Problema: El logaritmo domestica el mundo

Problema 23.1

Problema de fin de semana — tiempos de duplicación y la regla del 72, las escalas de los terremotos, los ácidos y los pianos, y la constante $\eu$ dejando huellas por todas partes

Todo lo que crece un porcentaje fijo crece exponencialmente (los ahorros, las bacterias, las epidemias), y todo lo que abarca demasiadas potencias de diez para poder abarcarlo con la vista (energías de terremotos, acideces, intensidades sonoras) lo domestica un logaritmo. Este problema calcula tiempos de duplicación y desenmascara la regla del 72 de los banqueros, lee las escalas logarítmicas del mundo y recoge las huellas que el número $\eu$ deja en todas las escenas del crimen (Proposición 23.2, Teorema 23.4, Método 23.8).

Parte I — Soltura.

Resuelve: $\eu^{2x} = 5$ ; $\ln(3x - 1) = 2$ ; $\eu^{2x} - 3\eu^x + 2 = 0$ (una ecuación de segundo grado disfrazada).
Simplifica: $\dfrac{\ln 8}{\ln 2}$ ; $\ln\!\left(\eu^3 \sqrt{\eu}\right)$ ; $\eu^{\ln 5 - \ln 2}$ .
Demuestra la desigualdad madre: $\eu^x \geq 1 + x$ para todo $x$ real (estudia $f(x) = \eu^x - 1 - x$ ) y deduce $\ln(1 + u) \leq u$ para $u > -1$ .
Calcula $\lim_{x \to +\infty} x^2 \eu^{-x}$ , $\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln x}{x}$ (Teorema 23.4) y $\lim_{x \to 0} \frac{\eu^x - 1}{x}$ (reconoce una derivada).
Estudia $f(x) = x \ln x$ en $\intoo{0}{+\infty}$ : variación, mínimo y el límite en $0^+$ (se admite: $x \ln x \to 0$ ). Esta pequeña función mide la información y la entropía a lo largo de los volúmenes universitarios.

Parte II — Tiempos de duplicación y la regla del 72.

Unos ahorros crecen un $3\,\%$ anual. Resuelve $1.03^n = 2$ : ¿cuánto tarda en duplicarse el capital?
Los banqueros estiman el tiempo de duplicación como $\frac{72}{\text{tipo en }\%}$ . Prueba la regla al $3\,\%$ , al $6\,\%$ y al $9\,\%$ frente al valor exacto $\frac{\ln 2}{\ln(1 + r)}$ y explícala después: para $r$ pequeño, $\ln(1 + r) \approx r$ (la desigualdad de la pregunta 3 es la mitad de la historia), así que la constante exacta es $100 \ln 2 \approx 69.3$ . ¿Por qué prefieren los banqueros el $72$ ?
Una bacteria se divide cada $20$ minutos: $p(t) = 2^{t/20}$ (con $t$ en minutos). Reescríbelo como $\eu^{\lambda t}$ y calcula $p$ al cabo de $24$ horas. La respuesta (más de $10^{21}$ ) ¿qué demuestra sobre el modelo, y qué es lo que detiene a las colonias reales?
La cafeína abandona el cuerpo con una semivida de unas $5$ horas. Tras un café de $100$ mg a las 15:00, ¿cuánta queda a las 23:00? ¿A qué hora baja de $10$ mg? (El insomnio tiene un logaritmo.)
Un euro a un interés anual del $100\,\%$ : calcula el capital a fin de año con capitalización anual, mensual y diaria, y da el techo que el Ejercicio 23.9 demostró infranqueable. ¿Qué constante famosa es el límite de la pura codicia?
¿Por qué representan los científicos $\ln(\text{casos})$ frente al tiempo durante la fase inicial de una epidemia? ¿Qué revela una recta en esa representación y qué mide su pendiente?

Parte III — Las escalas logarítmicas del mundo. (Escribimos $\log_{10} x = \frac{\ln x}{\ln 10}$ .)

Nivel sonoro en decibelios: $L = 10 \log_{10}(I/I_0)$ . Una conversación mide $60$ dB y un concierto de rock, $120$ dB: ¿por qué factor se diferencian sus intensidades sonoras?
La magnitud de un terremoto sube en $1$ cuando la amplitud sísmica se multiplica por $10$ , y la energía liberada escala como amplitud $^{3/2}$ . Compara un terremoto de magnitud $5$ con uno de magnitud $7$ : razón de amplitudes y después razón de energías.
Química: $\text{pH} = -\log_{10}[\mathrm{H^+}]$ . El zumo de limón tiene pH $2$ y la leche, pH $6.5$ : ¿cuál es la razón de sus concentraciones de ácido?
Música: cada octava duplica la frecuencia. Del la más grave del piano ( $27.5$ Hz) al do más agudo ( $4\,186$ Hz), ¿cuántas octavas abarca el teclado? ¿Y por qué prefieren nuestros sentidos (el oído, la vista, la percepción de los terremotos) las escalas logarítmicas? (Una frase.)
La regla de cálculo, la calculadora de los ingenieros durante $350$ años: dos reglas graduadas de modo que la longitud hasta la marca $x$ sea proporcional a $\ln x$ . Explica cómo deslizar una regla sobre la otra multiplica números y nombra la identidad de la Proposición 23.6 que hace el trabajo.

Parte IV — Las huellas de $\eu$ .

Del Ejercicio 23.8: la ecuación $\eu^x = kx$ ( $x > 0$ ) tiene $0$ , $1$ o $2$ soluciones según la posición de $k$ respecto de un umbral. Reformula el resultado y comprueba el hecho geométrico que hay detrás: la recta $y = \eu x$ es exactamente la tangente a la exponencial que pasa por el origen.
La constante del casi: con $n$ boletos de lotería de probabilidad de premio $\frac1n$ cada uno, $\P(\text{ningún premio}) = \left(1 - \frac1n\right)^n$ . Calcula su límite mediante $n \ln\!\left(1 - \frac1n\right)$ (usa el límite estándar $\frac{\ln(1 + u)}{u} \to 1$ ) y concílialo con el misterioso $0.368$ del Problema 19.1.
La regla del $37\,\%$ : para elegir al mejor de $n$ candidatos entrevistados en orden aleatorio (sin poder volver atrás), la estrategia óptima rechaza a los primeros $\frac{n}{\eu} \approx 37\,\%$ y se queda después con el primer candidato mejor que todos los anteriores, con una probabilidad de acierto de en torno a $\frac1\eu$ . ¿De dónde salen los dos $\frac1\eu$ de las preguntas 18 y 19? Enuncia el mecanismo común (muchos sucesos independientes de probabilidad pequeña) y calcula $\frac1\eu$ con tres decimales.
Final: el retrato de $\eu$ : el techo de la capitalización (pregunta 10); la base cuya tangente en $0$ tiene pendiente exactamente $1$ (preguntas 3 y 4); el crecimiento que ningún polinomio alcanza (pregunta 4); la constante de los “por poco” y de la parada óptima (preguntas 18 y 19); y su inversa $\ln$ , que convierte productos en sumas (pregunta 16) y décadas en centímetros (Parte III). Una frase para cada cosa.

Solución

Solución de Problema 23.1.

1. $x = \frac{\ln 5}{2}$ . $3x - 1 = \eu^2$ : $x = \frac{\eu^2 + 1}{3}$ . Con $u = \eu^x$ : $u^2 - 3u + 2 = (u - 1)(u - 2) = 0$ : $x = 0$ o $x = \ln 2$ .

2. $\frac{3\ln 2}{\ln 2} = 3$ ; $3 + \frac12 = \frac72$ ; $\frac52$ .

3. $f'(x) = \eu^x - 1$ : negativa antes de $0$ y positiva después: mínimo $f(0) = 0$ , luego $f \geq 0$ en todas partes: $\eu^x \geq 1 + x$ . Sustituyendo $x = \ln(1 + u)$ : $1 + u \geq 1 + \ln(1 + u)$ , es decir, $\ln(1 + u) \leq u$ .

4. $x^2\eu^{-x} = \frac{x^2}{\eu^x} \to 0$ y $\frac{\ln x}{x} \to 0$ : las exponenciales aplastan a las potencias y las potencias, a los logaritmos. Y $\frac{\eu^x - 1}{x} = \frac{\eu^x - \eu^0}{x - 0} \to \exp'(0) = 1$ .

5. $f'(x) = \ln x + 1$ : se anula en $\eu^{-1}$ , es negativa antes y positiva después: mínimo $f\!\left(\frac1\eu\right) = -\frac1\eu$ ; y $x \ln x \to 0$ en $0^+$ : la curva sale del origen, baja hasta $-\frac1\eu$ y sube después.

6. $n = \frac{\ln 2}{\ln 1.03} \approx 23.4$ años.

7. Exactos: $23.4$ , $11.9$ y $8.0$ años; regla del 72: $24$ , $12$ y $8$ . Como $\ln(1+r) \approx r$ , $\frac{\ln 2}{\ln(1+r)} \approx \frac{0.693}{r}$ , es decir, $\frac{69.3}{\text{tipo en }\%}$ ; los banqueros redondean al $72$ porque se divide estupendamente entre $2, 3, 4, 6, 8, 9$ y $12$ : el cálculo mental gana a un decimal de precisión.

8. $2^{t/20} = \eu^{t \ln 2 / 20}$ : $\lambda = \frac{\ln 2}{20}$ por minuto. Al cabo de $24 \times 60 = 1440$ minutos: $2^{72} \approx 4.7 \times 10^{21}$ bacterias, más que los granos de arena de la Tierra, a partir de una sola célula y en un día. El modelo es honrado solo mientras duren el alimento y el espacio: el crecimiento real se dobla en la curva logística en forma de S (la curva del epidemiólogo del Problema 22.1).

9. A las 23:00 (a las $8$ horas): $100 \times 2^{-8/5} \approx 33$ mg. Por debajo de $10$ mg: $2^{-t/5} < 0.1$ da $t > 5\,\frac{\ln 10}{\ln 2} \approx 16.6$ h: hacia las 7:40 de la mañana siguiente; el café de las tres tiene una cola larga.

10. Anual: $2$ . Mensual: $\left(1 + \frac{1}{12}\right)^{12} \approx 2.613$ . Diaria: $\approx 2.715$ . El techo: $\eu = 2.71828\ldots$ (Ejercicio 23.9): capitalizando de forma continua, la codicia converge.

11. Si los casos crecen exponencialmente, $c(t) = c_0 \eu^{\lambda t}$ , entonces $\ln c(t) = \ln c_0 + \lambda t$ : una recta de pendiente $\lambda$ , la tasa de crecimiento. Un tramo recto en la representación logarítmica es la fase exponencial, y su inclinación es el tempo de la epidemia.

12. $120 - 60 = 60$ dB significa $10\log_{10}(I_2/I_1) = 60$ : el concierto es $10^6$ (un millón de veces) más intenso que la conversación.

13. Amplitud: $10^{7-5} = 100$ . Energía: $100^{3/2} = 1000$ : dos puntos de magnitud esconden tres órdenes de magnitud de energía.

14. $10^{6.5 - 2} = 10^{4.5} \approx 32\,000$ : el zumo de limón es treinta mil veces más ácido que la leche; el pH comprime los abismos de la química en una escala de bolsillo.

15. $\log_2\!\frac{4186}{27.5} = \frac{\ln(4186/27.5)}{\ln 2} \approx 7.25$ : un piano abarca algo más de siete octavas. Los sentidos responden a razones de estímulo (duplicar la intensidad se siente como un escalón, sea cual sea el nivel de partida), así que la percepción está construida sobre una escala logarítmica, y también lo están las unidades que inventamos para ella.

16. Colocar la regla de $a$ a continuación de la posición de $b$ suma las longitudes $\ln a + \ln b$ , y la graduación situada en esa longitud total marca $\eu^{\ln a + \ln b} = ab$ : la regla de cálculo calcula productos sumando logaritmos; $\ln(ab) = \ln a + \ln b$ (Proposición 23.6) tallado en madera.

17. El mínimo de $\frac{\eu^x}{x}$ en $\intoo{0}{+\infty}$ es $\eu$ , en $x = 1$ : ninguna solución para $k < \eu$ , exactamente una para $k = \eu$ y dos para $k > \eu$ . Comprobación con la tangente: en $a = 1$ , la tangente a $\eu^x$ es $y = \eu + \eu(x - 1) = \eu x$ , que pasa por el origen; es la recta umbral, que roza la curva en $(1, \eu)$ .

18. $n \ln\!\left(1 - \frac1n\right) = \frac{\ln(1 - 1/n)}{-1/n} \times (-1) \to -1$ , luego $\left(1 - \frac1n\right)^n \to \eu^{-1} \approx 0.368$ : el $0.999^{1000} \approx 0.368$ del Problema 19.1, explicado; la constante del “por poco” de la lotería es $\frac1\eu$ .

19. Las dos son la forma límite de “muchos sucesos independientes, cada uno de ellos improbable”: la probabilidad de que ninguna de $n$ opciones de tamaño $\frac1n$ se dispare tiende a $\eu^{-1}$ , y la regla de la secretaria ajusta su ventana de rechazo para que el éxito se concentre en esa misma constante. $\frac1\eu \approx 0.368$ .

20. El techo de la capitalización; la única base cuya tangente en $0$ tiene pendiente $1$ (por eso el cálculo la adora); el crecimiento que deja atrás a todas las potencias; la constante en la que se asientan los “por poco” y la parada óptima; y el logaritmo: la multiplicación convertida en suma y los rangos más salvajes del mundo doblados sobre una regla.

Términos definidos en este capítulo

Logaritmo neperiano

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