Matemáticas de secundaria · Grades 10–12

17Estadística descriptiva

La estadística comprime una lista de números en unos pocos resúmenes con sentido: dónde se sitúan los datos (media, mediana) y hasta qué punto están dispersos (cuartiles, varianza, desviación típica). Este capítulo lo desarrolla todo sobre un mismo ejemplo. Los mismos resúmenes reaparecen para las variables aleatorias en el Capítulo 18, y sus leyes probabilísticas, en el Capítulo 34.

A lo largo del capítulo, nuestro conjunto de datos de referencia son las notas (sobre $20$ ) de una clase de $12$ alumnos:

8,\ 9,\ 10,\ 10,\ 11,\ 12,\ 12,\ 12,\ 13,\ 14,\ 16,\ 17 .

17.1 Media y mediana

Definición 17.1 (Media)

La media de los valores $x_1, x_2, \dots, x_n$ es

\bar x = \frac{x_1 + x_2 + \dots + x_n}{n}.

Si el valor $x_i$ aparece con frecuencia $n_i$ (con $n_1 + \dots + n_k = n$ ), entonces $\bar x = \frac{n_1 x_1 + \dots + n_k x_k}{n}$ .

Definición 17.2 (Mediana)

Una mediana de un conjunto de datos ordenado es un valor que lo parte por la mitad: al menos la mitad de los valores son $\leq$ que él y al menos la mitad son $\geq$ que él. En la práctica se ordenan los $n$ valores; si $n$ es impar, la mediana es el valor central; si $n$ es par, se toma el punto medio de los dos valores centrales.

Ejemplo 17.3

Para nuestro conjunto de datos, la suma es $144$ , luego $\bar x = \frac{144}{12} = 12$ . Los dos valores centrales (el $6$ y el $7$ de la lista ordenada) son los dos $12$ , así que la mediana también es $12$ . La media y la mediana no tienen por qué coincidir: la mediana ignora cuán lejos están los valores extremos y la media, no. Sustituir la nota más alta, $17$ , por $20$ mueve la media a $12.25$ , pero deja la mediana en $12$ .

17.2 Cuartiles

Definición 17.4 (Cuartiles, recorrido intercuartílico)

El primer cuartil $Q_1$ es el menor valor tal que al menos una cuarta parte de los datos es $\leq Q_1$ ; el tercer cuartil $Q_3$ es el menor valor tal que al menos tres cuartas partes de los datos son $\leq Q_3$ . El recorrido intercuartílico es $Q_3 - Q_1$ : la anchura de la mitad central de los datos.

Ejemplo 17.5

$n = 12$ : la cuarta parte es $3$ , así que $Q_1$ es el $3$ .^er valor ordenado: $Q_1 = 10$ . Tres cuartas partes son $9$ , así que $Q_3$ es el $9$ .^o valor: $Q_3 = 13$ . El recorrido intercuartílico es $3$ : la mitad central de la clase cabe en $3$ puntos de nota.

El conjunto de datos como diagrama de puntos, su media (en rojo) y, encima, el resumen de cinco números (en naranja): mínimo, Q_1, mediana, Q_3 y máximo. La caja contiene la mitad central de los datos. — El conjunto de datos como diagrama de puntos, su media (en rojo) y, encima, el resumen de cinco números (en naranja): mínimo, $Q_1$ , mediana, $Q_3$ y máximo. La caja contiene la mitad central de los datos.

17.3 Varianza y desviación típica

Definición 17.6 (Varianza, desviación típica)

La varianza del conjunto de datos es la media de los cuadrados de las desviaciones respecto de la media:

V = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar x)^2,

y la desviación típica es $\sigma = \sqrt{V}$ , expresada en la misma unidad que los datos.

Proposición 17.7 (Fórmula abreviada)

La varianza es la media de los cuadrados menos el cuadrado de la media:

V = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i^2 \;-\; \bar x^{\,2}.

Demostración. Desarrollamos cada desviación al cuadrado: $(x_i - \bar x)^2 = x_i^2 - 2\bar x\, x_i + \bar x^2$ . Sumando y dividiendo entre $n$ :

V = \frac1n \sum x_i^2 - 2\bar x \cdot \underbrace{\frac1n \sum x_i}_{=\ \bar x} + \frac1n \cdot n\bar x^2 = \frac1n\sum x_i^2 - 2\bar x^2 + \bar x^2 = \frac1n\sum x_i^2 - \bar x^2 .

La misma identidad, para variables aleatorias, es la Proposición 18.13. ∎

Ejemplo 17.8

Para nuestro conjunto de datos, las desviaciones respecto de $\bar x = 12$ son $-4$ , $-3$ , $-2$ , $-2$ , $-1$ , $0$ , $0$ , $0$ , $1$ , $2$ , $4$ , $5$ ; sus cuadrados suman

16 + 9 + 4 + 4 + 1 + 0 + 0 + 0 + 1 + 4 + 16 + 25 = 80 .

Por tanto,

V = \frac{80}{12} = \frac{20}{3} \approx 6.67, \qquad \sigma = \sqrt{20/3} \approx 2.6 \text{ puntos}.

A grandes rasgos, una nota típica se aleja unos $2.6$ puntos de la media.

Proposición 17.9 (Cambio de unidades)

Si todos los valores se transforman mediante $y_i = a x_i + b$ , entonces

\bar y = a \bar x + b, \qquad V_y = a^2\, V_x, \qquad \sigma_y = \abs{a}\,\sigma_x .

Demostración. $\bar y = \frac1n \sum (a x_i + b) = a\left(\frac1n\sum x_i\right) + \frac1n \cdot nb = a\bar x + b$ . Después, $y_i - \bar y = a(x_i - \bar x)$ : cada desviación queda multiplicada por $a$ (el desplazamiento $b$ se cancela), así que cada desviación al cuadrado queda multiplicada por $a^2$ , y su media también. Tomando raíces cuadradas se obtiene $\sigma_y = \abs a\,\sigma_x$ . ∎

Ejemplo 17.10

Unas temperaturas registradas en grados Celsius con media $20$ y desviación típica $3$ se pasan a Fahrenheit con $F = 1.8\,C + 32$ : la media pasa a ser $1.8 \times 20 + 32 = 68$ y la desviación típica, $1.8 \times 3 = 5.4$ . Desplazar un conjunto de datos no cambia su dispersión; cambiarle la escala se la cambia también a ella.

Método 17.11 (Resumir y comparar conjuntos de datos)

Para comparar dos conjuntos de datos, pon uno junto a otro: la media (o la mediana) para la posición y la desviación típica (o el recorrido intercuartílico) para la dispersión. La pareja (mediana, recorrido intercuartílico) es robusta frente a los valores extremos; la pareja (media, desviación típica) usa todos los valores y alimenta la teoría de la probabilidad.

Ejemplo 17.12

Dos arqueros lanzan $10$ flechas cada uno; las puntuaciones promedian $8.5$ en los dos casos, pero las desviaciones típicas son $0.5$ y $2.1$ . El mismo nivel de media, pero el primer arquero es mucho más regular.

17.4 Ejercicios

Ejercicio 17.1 ★

Calcula la media, la mediana, los cuartiles y el recorrido intercuartílico del conjunto de datos

5,\ 7,\ 7,\ 8,\ 9,\ 10,\ 11,\ 14 .

Solución

Solución de Ejercicio 17.1.

$n = 8$ y suma $71$ : media $\bar x = \frac{71}{8} = 8.875$ . Mediana: punto medio del $4$ .^o y el $5$ .^o valores, $\frac{8 + 9}{2} = 8.5$ . Cuartiles: la cuarta parte de $8$ es $2$ , así que $Q_1$ es el $2$ .^o valor, $7$ ; tres cuartas partes son $6$ , así que $Q_3$ es el $6$ .^o valor, $10$ . Recorrido intercuartílico: $10 - 7 = 3$ .

Ejercicio 17.2 ★

Calcula la varianza y la desviación típica del conjunto de datos $2,\ 4,\ 4,\ 4,\ 5,\ 5,\ 7,\ 9$ (primero la media y después la fórmula abreviada de la Proposición 17.7).

Solución

Solución de Ejercicio 17.2.

Suma $40$ , luego $\bar x = 5$ . Suma de cuadrados: $4 + 16 + 16 + 16 + 25 + 25 + 49 + 81 = 232$ . Por la fórmula abreviada,

V = \frac{232}{8} - 5^2 = 29 - 25 = 4, \qquad \sigma = 2 .

Ejercicio 17.3 ★

Se lanza un dado $50$ veces; los resultados se resumen en frecuencias:

resultado	1	2	3	4	5	6
frecuencia	6	9	8	10	9	8

Calcula el resultado medio y la mediana.

Solución

Solución de Ejercicio 17.3.

Media:

\bar x = \frac{1 \times 6 + 2 \times 9 + 3 \times 8 + 4 \times 10 + 5 \times 9 + 6 \times 8}{50} = \frac{181}{50} = 3.62 .

Mediana: las frecuencias acumuladas son $6, 15, 23, 33, \dots$ , así que los resultados $25$ y $26$ de la lista ordenada son los dos $4$ : la mediana es $4$ .

Ejercicio 17.4 ★★

Una clase de $15$ alumnos tiene una nota media de $11.2$ . Se incorpora un $16$ .^o alumno y saca $18$ . ¿Cuál es la nueva media de la clase?

Solución

Solución de Ejercicio 17.4.

El total de las $15$ notas es $15 \times 11.2 = 168$ ; con el recién llegado, $\frac{168 + 18}{16} = \frac{186}{16} = 11.625$ .

Ejercicio 17.5 ★★

La media del conjunto de datos $6, 8, x, 12, 14$ es $10$ . Halla $x$ y calcula después la desviación típica del conjunto completo.

Solución

Solución de Ejercicio 17.5.

$\frac{6 + 8 + x + 12 + 14}{5} = 10$ da $40 + x = 50$ , luego $x = 10$ . Las desviaciones de $6, 8, 10, 12, 14$ respecto de la media $10$ son $-4, -2, 0, 2, 4$ , con cuadrados que suman $40$ : $V = \frac{40}{5} = 8$ y $\sigma = 2\sqrt2 \approx 2.83$ .

Ejercicio 17.6 ★

Unas notas de media $12.4$ y desviación típica $2.5$ se transforman con $y = \frac{x}{2} + 4$ . Da la nueva media y la nueva desviación típica.

Solución

Solución de Ejercicio 17.6.

Por la Proposición 17.9 con $a = \frac12$ y $b = 4$ : nueva media $\frac{12.4}{2} + 4 = 10.2$ ; nueva desviación típica $\frac{2.5}{2} = 1.25$ .

Ejercicio 17.7 ★★

El grupo A ( $20$ valores) tiene media $10$ ; el grupo B ( $30$ valores) tiene media $15$ . Calcula la media de los $50$ valores juntos. ¿Es el punto medio $12.5$ ? ¿Por qué no?

Solución

Solución de Ejercicio 17.7.

La media conjunta es la media ponderada

\frac{20 \times 10 + 30 \times 15}{50} = \frac{650}{50} = 13,

y no $12.5$ : el grupo B aporta más valores, así que arrastra la media conjunta hacia la suya.

Ejercicio 17.8 ★★

Dos líneas de producción llenan bolsas de azúcar de $1$ kg. Unas muestras dan: línea 1: media $1.002$ kg, desviación típica $0.006$ kg; línea 2: media $1.001$ kg, desviación típica $0.019$ kg. ¿Qué línea hay que recalibrar primero y por qué?

Solución

Solución de Ejercicio 17.8.

Las dos líneas están casi en el objetivo de media ( $1.002$ y $1.001$ kg), pero la desviación típica de la línea 2 es el triple: sus bolsas varían mucho más y produce muchas más bolsas visiblemente escasas o pasadas de peso. Hay que ocuparse primero de la línea 2: lo que hay que arreglar es la regularidad, no solo la media.

Ejercicio 17.9 ★★

Un conjunto de $n = 10$ valores cumple $\sum x_i = 70$ y $\sum x_i^2 = 540$ . Calcula su media, su varianza y su desviación típica.

Solución

Solución de Ejercicio 17.9.

$\bar x = \frac{70}{10} = 7$ ; $V = \frac{540}{10} - 7^2 = 54 - 49 = 5$ ; $\sigma = \sqrt5 \approx 2.24$ .

Ejercicio 17.10 ★★★

El conjunto de datos $1,\ 2,\ 2,\ 3,\ 3,\ 3,\ 4,\ 4,\ 5,\ 23$ contiene un valor atípico.

Calcula la media y la mediana con y sin el valor $23$ .
Calcula el recorrido intercuartílico con y sin el $23$ .
¿Qué resúmenes son robustos frente al valor atípico? Concluye con una recomendación.

Solución

Solución de Ejercicio 17.10.

1. Con el $23$ : suma $50$ , media $5$ ; mediana $=$ punto medio del $5$ .^o y el $6$ .^o valores $= 3$ . Sin el $23$ : suma $27$ , media $3$ ; mediana (el $5$ .^o de $9$ valores) $= 3$ .

2. Con el $23$ ( $n = 10$ ): $Q_1$ es el $3$ .^er valor ( $2$ ) y $Q_3$ , el $8$ .^o ( $4$ ): recorrido intercuartílico $2$ . Sin él ( $n = 9$ ): $Q_1$ es el $3$ .^er valor ( $2$ ) y $Q_3$ , el $7$ .^o ( $4$ ): sigue siendo $2$ .

3. Un único valor atípico arrastra la media de $3$ a $5$ , pero deja intactos la mediana y el recorrido intercuartílico: esos dos son robustos. Cuando un conjunto de datos puede contener valores aberrantes, informa de la mediana y del recorrido intercuartílico antes que de la media y la desviación típica.

17.5 Problema: La puntuación z, una regla universal

Problema 17.1

Problema de fin de semana — las desviaciones típicas comparan peras con manzanas, la desigualdad de Chebyshev convierte $\sigma$ en una garantía y la media se gana su propia medalla

¿Es mejor un $15$ sobre $20$ en un examen difícil que un $13$ sobre $20$ en uno fácil? ¿Un $23$ en una lista de números pequeños es un accidente o un valor atípico? Los números en bruto no lo pueden decir, pero divididos entre la desviación típica adecuada hablan todos un mismo idioma: la puntuación z. Este problema domina la maquinaria de la varianza (Definición 17.6, Proposición 17.7), construye la regla universal y demuestra la notable desigualdad que convierte $\sigma$ de número descriptivo en garantía.

Parte I — Mecánica de la varianza.

Para el conjunto de datos $4, 8, 6, 5, 2$ : calcula la media, después la varianza directamente desde la definición y después $\sigma$ .
Vuelve a calcular la varianza con la fórmula abreviada (Proposición 17.7), la media de los cuadrados menos el cuadrado de la media, y comprueba que coinciden.
Con frecuencias: notas $8$ , $10$ , $14$ obtenidas por $3$ , $5$ y $2$ alumnos. Calcula la media, la varianza y $\sigma$ (con dos decimales).
Unas temperaturas tienen media $20$ y $\sigma = 3$ (en grados Celsius). Da la media y $\sigma$ en Fahrenheit ( $F = 1.8\,C + 32$ ; Proposición 17.9).
Demuestra las dos reglas que acabas de usar: sumar una constante $b$ a todos los valores desplaza la media en $b$ y deja $\sigma$ igual; multiplicar por $a$ multiplica la media por $a$ y $\sigma$ por $\abs a$ .

Parte II — La regla universal. La puntuación z de un valor $x$ en un conjunto de datos de media $\bar x$ y desviación típica $\sigma$ es $z = \dfrac{x - \bar x}{\sigma}$ : el número de desviaciones típicas que separan $x$ de la media.

El examen A tiene media $12$ y $\sigma = 2$ ; el examen B tiene media $8$ y $\sigma = 4$ . Alicia sacó un $15$ en A y Bruno un $13$ en B. Calcula las dos puntuaciones z: ¿cuál de las dos actuaciones destaca más sobre el grupo?
Calcula las cinco puntuaciones z del conjunto de datos de la pregunta 1 y comprueba que tienen media $0$ y desviación típica $1$ . Explica, a partir de la pregunta 5, por qué la estandarización produce siempre media $0$ y $\sigma = 1$ .
Un test de aptitud tiene media $100$ y $\sigma = 15$ . ¿Qué puntuación bruta tiene $z = 2$ ? ¿Cuál es la puntuación z de $76$ ?
Un pediatra anota el peso de un bebé como “ $z = -2.5$ ”. Explica qué significa eso y por qué el crecimiento se sigue en puntuaciones z y no en kilogramos a medida que el niño crece.
El valor atípico del Ejercicio 17.10 (conjunto $1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 5, 23$ ): calcula la media, $\sigma$ y la puntuación z de $23$ . El umbral de alarma clásico es $\abs z \geq 3$ : ¿veredicto?
Vuelve a calcular $\sigma$ sin el valor $23$ , y la puntuación z que tendría $23$ frente a la media y la $\sigma$ de los datos limpios. ¿Qué le ha hecho el valor atípico a la propia regla que debía medirlo, y qué contramedida sugiere el Ejercicio 17.10?

Parte III — La garantía de Chebyshev.

Demuestra la desigualdad de Bienaymé–Chebyshev para un conjunto de datos: si una proporción $p$ de los valores cumple $\abs{x - \bar x} \geq k\sigma$ , entonces, conservando solo esos términos en la suma de la varianza,

$\sigma^2 \geq p \cdot (k\sigma)^2, \qquad\text{luego}\qquad p \leq \frac{1}{k^2} .$
¿Qué garantiza la desigualdad sobre la proporción de un conjunto de datos cualquiera más allá de $2\sigma$ de su media? ¿Y más allá de $3\sigma$ ? Comprueba lo de $2\sigma$ con el conjunto de datos de la pregunta 1.
Una fábrica produce tornillos de media $50$ mm y $\sigma = 0.1$ mm. ¿Qué garantiza Chebyshev sobre la proporción de tornillos fuera de $\intcc{49.7}{50.3}$ ? (La producción real lo hace mucho mejor: la campana del año que viene convierte este prudente $\frac19$ en una fracción de punto porcentual.)
Dos fondos rinden de media un $5\,\%$ anual, con $\sigma = 2\,\%$ para el fondo A y $\sigma = 12\,\%$ para el fondo B. Para cada fondo, ¿qué dice Chebyshev sobre la proporción de años con rendimientos por debajo del $-19\,\%$ ? ¿Cuál es el nombre financiero de $\sigma$ ?

Parte IV — La medalla de la media, y un aviso.

Sea $f(c)$ la media de las desviaciones al cuadrado $(x_i - c)^2$ respecto de un centro arbitrario $c$ . Demuestra la identidad

$f(c) = \sigma^2 + (\bar x - c)^2 ,$

y concluye: la media es el único punto que minimiza la desviación cuadrática media; esa es su medalla, pareja de la minimización de las desviaciones en valor absoluto que logra la mediana en el Problema 8.1.
Comprueba la identidad con el conjunto de datos de la pregunta 1 y $c = 6$ : calcula $f(6)$ directamente y con la fórmula.
Mismos resúmenes, datos distintos: comprueba que $P = \{3, 5, 7, 9, 11\}$ y $Q = \{1, 7, 7, 7, 13\}$ comparten la media, pero no la varianza; y construye después un conjunto de la forma $\{7 - a, 7, 7, 7, 7 + a\}$ con exactamente la media y la varianza de $P$ , pero con una forma completamente propia.
Demuestra que $\sigma = 0$ obliga a que todos los valores sean iguales. (¿Cómo tiene que ser cada término de una suma de cuadrados que vale cero?)
Final: la escalera del estadístico, una línea por peldaño: los centros (media, mediana), las dispersiones ( $\sigma$ , recorrido intercuartílico), la regla universal ( $z$ ), la garantía (Chebyshev) y el aviso de la pregunta 18: los resúmenes comprimen, y comprimir pierde información; la campana del año que viene espera para convertir las puntuaciones z en probabilidades exactas.

Solución

Solución de Problema 17.1.

1. Media $\bar x = \frac{25}{5} = 5$ . Desviaciones al cuadrado: $1, 9, 1, 0, 9$ : varianza $\frac{20}{5} = 4$ , luego $\sigma = 2$ .

2. Media de los cuadrados: $\frac{16 + 64 + 36 + 25 + 4}{5} = 29$ ; menos $\bar x^2 = 25$ : varianza $4$ . La misma respuesta con la mitad de trabajo.

3. Media $= \frac{3 \times 8 + 5 \times 10 + 2 \times 14}{10} = 10.2$ ; varianza $= \frac{3 \times 64 + 5 \times 100 + 2 \times 196}{10} - 10.2^2 = 108.4 - 104.04 = 4.36$ ; $\sigma \approx 2.09$ .

4. Media: $1.8 \times 20 + 32 = 68\,^\circ$ F; $\sigma$ : $1.8 \times 3 = 5.4\,^\circ$ F: el desplazamiento $+32$ no dispersa nada.

5. Al sumar $b$ : cada desviación $x_i + b - (\bar x + b) = x_i - \bar x$ no cambia, luego la varianza tampoco. Al multiplicar por $a$ : las desviaciones quedan multiplicadas por $a$ , sus cuadrados por $a^2$ , la varianza por $a^2$ y $\sigma$ por $\sqrt{a^2} = \abs a$ .

6. $z_A = \frac{15 - 12}{2} = 1.5$ ; $z_B = \frac{13 - 8}{4} = 1.25$ . Alicia destaca más sobre su grupo: el $15$ del examen difícil gana al $13$ del fácil.

7. Puntuaciones z: $-0.5,\ 1.5,\ 0.5,\ 0,\ -1.5$ : media $0$ y desviación típica $1$ . En general, estandarizar resta $\bar x$ (la media pasa a $0$ y $\sigma$ no se toca) y divide después entre $\sigma$ (la nueva $\sigma$ pasa a valer $1$ ): la pregunta 5 aplicada dos veces.

8. $z = 2$ : $100 + 2 \times 15 = 130$ . Y $z(76) = \frac{76 - 100}{15} = -1.6$ .

9. El bebé está $2.5$ desviaciones típicas por debajo del peso medio de los bebés de su edad: alarmantemente ligero para su cohorte. Los kilogramos en bruto no se pueden comparar entre edades (todos los bebés ganan peso); las puntuaciones z miden a cada niño frente a su propio grupo de edad, con una sola regla para todas las edades.

10. Media $5$ ; media de los cuadrados $\frac{622}{10} = 62.2$ , varianza $37.2$ y $\sigma \approx 6.10$ ; $z(23) = \frac{18}{6.10} \approx 2.95$ : justo por debajo del umbral de alarma; el test apenas parpadea.

11. Sin el $23$ : media $3$ , varianza $\frac{93}{9} - 9 \approx 1.33$ y $\sigma \approx 1.15$ ; frente a esa regla limpia, el $23$ puntúa $z \approx \frac{20}{1.15} \approx 17$ : un monstruo. El valor atípico infló a la vez la media y $\sigma$ y se camufló: por eso el Ejercicio 17.10 recomienda resúmenes robustos (mediana, recorrido intercuartílico) cuando amenaza la contaminación.

12. En la suma de la varianza $\sigma^2 = \frac1N \sum (x_i - \bar x)^2$ , conservamos solo los términos con $\abs{x_i - \bar x} \geq k\sigma$ : hay $pN$ de ellos y cada uno vale al menos $(k\sigma)^2$ , luego $\sigma^2 \geq \frac{1}{N} \cdot pN \cdot k^2\sigma^2 = p\,k^2\sigma^2$ ; dividiendo entre $k^2 \sigma^2$ (con dispersión no nula), $p \leq \frac{1}{k^2}$ .

13. Más allá de $2\sigma$ : como mucho $\frac14 = 25\,\%$ de un conjunto de datos cualquiera; más allá de $3\sigma$ : como mucho $\frac19 \approx 11\,\%$ . Con los datos de la pregunta 1: más allá de $2\sigma = 4$ de la media $5$ significa $\leq 1$ o $\geq 9$ : ninguno de los cinco valores, o sea, $0\,\% \leq 25\,\%$ , como se prometía.

14. Estar fuera de $\intcc{49.7}{50.3}$ significa estar más allá de $3\sigma$ : como mucho $\frac19$ de la producción, sea cual sea la forma de la distribución; Chebyshev no pide nada más que una media y una $\sigma$ . Una producción en forma de campana se concentra mucho mejor (alrededor de un $0.3\,\%$ más allá de $3\sigma$ ): la ley normal, el año que viene.

15. El $-19\,\%$ está $24$ puntos por debajo de la media $5$ . Fondo B: $24 = 2\sigma_B$ , así que Chebyshev permite hasta $\frac14$ de años tan malos. Fondo A: $24 = 12\sigma_A$ : como mucho $\frac{1}{144}$ . La misma media, peligros incomparables: $\sigma$ es lo que en finanzas se llama riesgo (o volatilidad).

16. Desarrollamos alrededor de $\bar x$ : $(x_i - c)^2 = \left((x_i - \bar x) + (\bar x - c)\right)^2 = (x_i - \bar x)^2 + 2(\bar x - c)(x_i - \bar x) + (\bar x - c)^2$ . Al promediar, el término central muere (las desviaciones respecto de la media suman cero) y queda $f(c) = \sigma^2 + (\bar x - c)^2$ , mínimo exactamente en $c = \bar x$ , con mínimo $\sigma^2$ . La media es el centro de mínimos cuadrados, igual que la mediana es el centro de mínimos valores absolutos (Problema 8.1).

17. Directamente: las desviaciones respecto de $6$ son $-2, 2, 0, -1, -4$ , con cuadrados $4, 4, 0, 1, 16$ : $f(6) = \frac{25}{5} = 5$ . Con la fórmula: $\sigma^2 + (5 - 6)^2 = 4 + 1 = 5$ . Coinciden.

18. Los dos tienen media $7$ ; varianzas: $P$ : $\frac{16 + 4 + 0 + 4 + 16}{5} = 8$ ; $Q$ : $\frac{36 + 0 + 0 + 0 + 36}{5} = 14.4$ : dispersiones distintas tras una misma media. Para $\{7 - a, 7, 7, 7, 7 + a\}$ : la varianza $\frac{2a^2}{5} = 8$ da $a = \sqrt{20} \approx 4.47$ : el conjunto $\{2.53, 7, 7, 7, 11.47\}$ tiene exactamente la media y la varianza de $P$ con un perfil completamente distinto; los resúmenes comprimen, y comprimir pierde.

19. $\sigma^2 = 0$ significa que se anula una suma de cuadrados $(x_i - \bar x)^2$ ; los cuadrados son $\geq 0$ , así que una suma nula obliga a que todos los términos sean nulos: $x_i = \bar x$ para todo $i$ , o sea, todos los valores iguales.

20. Los centros dicen dónde vive el conjunto de datos; las dispersiones, con qué holgura; la puntuación z tiende una misma regla sobre todos los conjuntos de datos, exámenes, edades y monedas; Chebyshev convierte $\sigma$ en una garantía incondicional; y la pregunta 18 nos mantiene honrados: ningún puñado de números contiene nunca la historia entera. El año que viene la campana afinará la regla hasta convertirla en probabilidades exactas.