Matemáticas de secundaria · Grades 10–12

6Vectores

Un vector codifica un desplazamiento: una dirección y una longitud, sin importar el punto de partida. Los vectores dan demostraciones limpias de hechos geométricos y, en cuanto entran las coordenadas, los reducen a cálculos breves. Serán una herramienta clave en el Capítulo 7 y, más adelante, para el producto escalar del Capítulo 16.

6.1 Traslaciones y vectores

Definición 6.1 (Vector)

Dados dos puntos $A$ y $B$ , el vector $\vect{AB}$ representa el desplazamiento de $A$ a $B$ : tiene una dirección (la de la recta $(AB)$ , junto con el sentido en que se recorre, de $A$ hacia $B$ ) y una longitud (la distancia $AB$ , que también se escribe $\norm{\vect{AB}}$ ). Dos vectores son iguales cuando codifican el mismo desplazamiento: $\vect{AB} = \vect{CD}$ significa que aplicar los dos desplazamientos a un punto cualquiera da el mismo resultado.

Proposición 6.2 (Vectores iguales y paralelogramos)

$\vect{AB} = \vect{CD}$ exactamente cuando $ABDC$ (¡en este orden!) es un paralelogramo, quizá aplastado; equivalentemente, cuando $[AD]$ y $[BC]$ tienen el mismo punto medio.

Demostración. Admitido a este nivel. ∎

Vectores iguales AB = CD: misma dirección, mismo sentido, misma longitud. El cuadrilátero ABDC es un paralelogramo. — Vectores iguales $\vect{AB} = \vect{CD}$ : misma dirección, mismo sentido, misma longitud. El cuadrilátero $ABDC$ es un paralelogramo.

Notación 6.3

Un vector se nombra a menudo con una sola letra, $\vec u$ o $\vec v$ , cuando los extremos no importan. El vector nulo $\vec 0 = \vect{AA}$ es el desplazamiento que no mueve nada. El opuesto de $\vect{AB}$ es $\vect{BA}$ : la misma longitud, el sentido contrario. Escribimos $\vect{BA} = -\vect{AB}$ .

6.2 Suma de vectores

Definición 6.4 (Suma de dos vectores)

La suma $\vec u + \vec v$ es el desplazamiento que se obtiene efectuando $\vec u$ y después $\vec v$ .

Teorema 6.5 (Relación de Chasles)

Para tres puntos cualesquiera $A$ , $B$ , $C$ :

\vect{AB} + \vect{BC} = \vect{AC}.

Demostración. Ir de $A$ a $B$ y después de $B$ a $C$ es un desplazamiento que lleva $A$ hasta $C$ : es el desplazamiento codificado por $\vect{AC}$ . ∎

Observación 6.6 (Regla del paralelogramo)

Para sumar dos vectores trazados desde el mismo punto, $\vect{AB} + \vect{AC}$ , completa el paralelogramo $ABDC$ : la suma es la diagonal $\vect{AD}$ . En efecto, $\vect{AC} = \vect{BD}$ , luego $\vect{AB} + \vect{AC} = \vect{AB} + \vect{BD} = \vect{AD}$ por la relación de Chasles.

Dos imágenes de la suma: punta con cola (relación de Chasles, a la izquierda) y regla del paralelogramo (a la derecha).

Ejemplo 6.7 (Simplificar con Chasles)

Simplifiquemos $\vect{MN} + \vect{NP} + \vect{PQ}$ : encadenando los desplazamientos queda $\vect{MQ}$ . Simplifiquemos $\vect{AB} - \vect{AC}$ : reescribimos la diferencia como suma con el vector opuesto,

\vect{AB} - \vect{AC} = \vect{AB} + \vect{CA} = \vect{CA} + \vect{AB} = \vect{CB}.

6.3 Producto de un vector por un número

Definición 6.8 (Producto por un escalar)

Sean $\vec u$ un vector no nulo y $k$ un número real. El vector $k\vec u$ tiene la misma dirección que $\vec u$ , longitud $\abs{k} \times \norm{\vec u}$ y el mismo sentido que $\vec u$ si $k > 0$ , o el contrario si $k < 0$ . Para $k = 0$ , $0\vec u = \vec 0$ .

Definición 6.9 (Colinealidad)

Dos vectores $\vec u$ y $\vec v$ son colineales cuando tienen la misma dirección, es decir, cuando $\vec v = k \vec u$ para algún real $k$ (o cuando uno de ellos es $\vec 0$ ).

Observación 6.10

La colinealidad es el lenguaje vectorial del paralelismo y de la alineación:

las rectas $(AB)$ y $(CD)$ son paralelas exactamente cuando $\vect{AB}$ y $\vect{CD}$ son colineales;
los puntos $A$ , $B$ , $C$ están alineados exactamente cuando $\vect{AB}$ y $\vect{AC}$ son colineales.

6.4 Coordenadas de un vector

Definición 6.11 (Coordenadas de un vector)

En un sistema de coordenadas, las coordenadas del vector $\vect{AB}$ son los números que describen el desplazamiento:

\vect{AB}\,(x_B - x_A,\ y_B - y_A).

Un vector $\vec u\,(a, b)$ mueve cada punto $a$ unidades en horizontal y $b$ unidades en vertical.

Proposición 6.12 (Cálculo con coordenadas)

Sean $\vec u\,(a, b)$ y $\vec v\,(c, d)$ , y sea $k \in \R$ .

$\vec u = \vec v$ exactamente cuando $a = c$ y $b = d$ ;
$\vec u + \vec v$ tiene coordenadas $(a + c,\ b + d)$ ;
$k\vec u$ tiene coordenadas $(ka,\ kb)$ ;
$\norm{\vec u} = \sqrt{a^2 + b^2}$ (en un sistema ortonormal).

Demostración. Los puntos 1 a 3 reformulan, coordenada a coordenada, lo que hacen los desplazamientos: por ejemplo, efectuar $\vec u$ y después $\vec v$ mueve un punto en horizontal primero $a$ y luego $c$ , o sea $a + c$ en total. El punto 4 es la fórmula de la distancia del Teorema 5.4 aplicada a un segmento que representa $\vec u$ . ∎

Teorema 6.13 (Criterio de colinealidad)

Dos vectores $\vec u\,(a, b)$ y $\vec v\,(c, d)$ son colineales si y solo si

ad - bc = 0 .

Demostración. Si $\vec v = k\vec u$ , entonces $c = ka$ y $d = kb$ , luego $ad - bc = a(kb) - b(ka) = 0$ . Lo mismo ocurre si $\vec u = k \vec v$ o si alguno de los dos vectores es nulo.

Recíprocamente, supongamos $ad - bc = 0$ con $\vec u \neq \vec 0$ , digamos $a \neq 0$ (el caso $b \neq 0$ es análogo). Tomamos $k = \frac{c}{a}$ ; entonces $c = ka$ , y de $ad = bc = b(ka)$ se obtiene, dividiendo entre $a \neq 0$ , $d = kb$ . Luego $\vec v = k\vec u$ . ∎

Ejemplo 6.14

¿Son colineales $\vec u\,(3, -2)$ y $\vec v\,(-6, 4)$ ? Calculamos $ad - bc = 3 \times 4 - (-2)\times(-6) = 12 - 12 = 0$ : sí, y en efecto $\vec v = -2\vec u$ . Para $\vec u\,(3, -2)$ y $\vec w\,(1, 5)$ : $3 \times 5 - (-2) \times 1 = 17 \neq 0$ : no son colineales.

Método 6.15 (Alineación y paralelismo)

Para demostrar que tres puntos $A$ , $B$ , $C$ están alineados:

calcula las coordenadas de $\vect{AB}$ y de $\vect{AC}$ ;
comprueba el criterio $ad - bc = 0$ del Teorema 6.13;
concluye: los vectores son colineales y comparten el punto $A$ , así que los tres puntos están alineados.

El mismo cálculo con $\vect{AB}$ y $\vect{CD}$ demuestra que las rectas $(AB)$ y $(CD)$ son paralelas.

Ejemplo 6.16

Sean $A(1, 2)$ , $B(3, 5)$ y $C(7, 11)$ . Entonces $\vect{AB}\,(2, 3)$ y $\vect{AC}\,(6, 9)$ , y $2 \times 9 - 3 \times 6 = 18 - 18 = 0$ : los puntos están alineados (de hecho, $\vect{AC} = 3\vect{AB}$ ).

Puntos alineados: AC es un múltiplo de AB. — Puntos alineados: $\vect{AC}$ es un múltiplo de $\vect{AB}$ .

6.5 Ejercicios

Ejercicio 6.1 ★

Simplifica usando la relación de Chasles:

\vect{AB} + \vect{BD}, \qquad \vect{KL} + \vect{LM} + \vect{MK}, \qquad \vect{AC} - \vect{BC}, \qquad \vect{AB} + \vect{CA}.

Solución

Solución de Ejercicio 6.1.

$\vect{AB} + \vect{BD} = \vect{AD}$ (Chasles).

$\vect{KL} + \vect{LM} + \vect{MK} = \vect{KK} = \vec 0$ .

$\vect{AC} - \vect{BC} = \vect{AC} + \vect{CB} = \vect{AB}$ .

$\vect{AB} + \vect{CA} = \vect{CA} + \vect{AB} = \vect{CB}$ .

Ejercicio 6.2 ★

Sean $A(2, 1)$ , $B(5, 3)$ , $C(-1, 4)$ . Calcula las coordenadas de $\vect{AB}$ , $\vect{BC}$ y $\vect{AC}$ , y comprueba sobre las coordenadas que $\vect{AB} + \vect{BC} = \vect{AC}$ .

Solución

Solución de Ejercicio 6.2.

$\vect{AB}\,(5-2,\ 3-1) = (3, 2)$ ; $\vect{BC}\,(-1-5,\ 4-3) = (-6, 1)$ ; $\vect{AC}\,(-1-2,\ 4-1) = (-3, 3)$ . Comprobación: $(3, 2) + (-6, 1) = (-3, 3)$ , coordenada a coordenada.

Ejercicio 6.3 ★

Sean $\vec u\,(2, -3)$ y $\vec v\,(-1, 4)$ . Da las coordenadas de $\vec u + \vec v$ , $3\vec u$ y $2\vec u - \vec v$ , y calcula $\norm{\vec u}$ .

Solución

Solución de Ejercicio 6.3.

$\vec u + \vec v = (2 + (-1),\ -3 + 4) = (1, 1)$ .

$3\vec u = (6, -9)$ .

$2\vec u - \vec v = (4 - (-1),\ -6 - 4) = (5, -10)$ .

$\norm{\vec u} = \sqrt{2^2 + (-3)^2} = \sqrt{13}$ .

Ejercicio 6.4 ★

En cada caso, di si $\vec u$ y $\vec v$ son colineales:

\text{(a) } \vec u\,(4, 6),\ \vec v\,(6, 9); \qquad \text{(b) } \vec u\,(2, -5),\ \vec v\,(-4, 10); \qquad \text{(c) } \vec u\,(3, 1),\ \vec v\,(1, 3).

Solución

Solución de Ejercicio 6.4.

(a) $4 \times 9 - 6 \times 6 = 36 - 36 = 0$ : colineales ( $\vec v = \frac32 \vec u$ ).

(b) $2 \times 10 - (-5) \times (-4) = 20 - 20 = 0$ : colineales ( $\vec v = -2\vec u$ ).

Ejercicio 6.5 ★

Sean $A(0, 2)$ , $B(4, 0)$ , $C(6, 3)$ . Halla las coordenadas del punto $D$ tal que $ABCD$ sea un paralelogramo, es decir, tal que $\vect{AB} = \vect{DC}$ .

Solución

Solución de Ejercicio 6.5.

$\vect{AB}\,(4, -2)$ y $\vect{DC}\,(6 - x_D,\ 3 - y_D)$ . La condición $\vect{AB} = \vect{DC}$ da $6 - x_D = 4$ y $3 - y_D = -2$ , luego $D(2, 5)$ .

Ejercicio 6.6 ★★

Sean $A(-2, 1)$ , $B(1, 3)$ , $C(4, -1)$ .

Calcula las coordenadas del punto $M$ tal que $\vect{AM} = \vect{AB} + \vect{AC}$ .
¿Qué es el cuadrilátero $ABMC$ ? Justifícalo.

Solución

Solución de Ejercicio 6.6.

1. $\vect{AB}\,(3, 2)$ y $\vect{AC}\,(6, -2)$ , luego $\vect{AB} + \vect{AC} = (9, 0)$ y $M = (-2 + 9,\ 1 + 0) = (7, 1)$ .

2. Por la regla del paralelogramo, $\vect{AM} = \vect{AB} + \vect{AC}$ significa que $ABMC$ es un paralelogramo ( $M$ es el cuarto vértice, opuesto a $A$ ). Se puede comprobar: $\vect{AB}\,(3,2)$ y $\vect{CM}\,(7-4,\ 1-(-1)) = (3, 2)$ son iguales.

Ejercicio 6.7 ★★

Sean $A(1, -1)$ , $B(4, 1)$ , $C(10, 5)$ . ¿Están alineados los puntos $A$ , $B$ , $C$ ? La misma pregunta para $A(0, 3)$ , $B(2, 2)$ , $C(8, -1)$ .

Solución

Solución de Ejercicio 6.7.

Primer trío: $\vect{AB}\,(3, 2)$ , $\vect{AC}\,(9, 6)$ ; $3 \times 6 - 2 \times 9 = 0$ : alineados ( $\vect{AC} = 3\vect{AB}$ ).

Segundo trío: $\vect{AB}\,(2, -1)$ , $\vect{AC}\,(8, -4)$ ; $2 \times (-4) - (-1) \times 8 = -8 + 8 = 0$ : también alineados ( $\vect{AC} = 4\vect{AB}$ ).

Ejercicio 6.8 ★★

Sean $A(1, 2)$ , $B(5, 4)$ , $C(6, 1)$ , $D(2, -1)$ . Demuestra que $(AB)$ y $(CD)$ son paralelas y después que $ABCD$ es un paralelogramo. ¿Cuál de las dos comprobaciones implica la otra?

Solución

Solución de Ejercicio 6.8.

$\vect{AB}\,(4, 2)$ y $\vect{DC}\,(6-2,\ 1-(-1)) = (4, 2)$ : los dos vectores son iguales, así que $ABCD$ es un paralelogramo y, en particular, $(AB) \parallel (CD)$ . La propiedad de paralelogramo es la más fuerte: implica el paralelismo (la colinealidad de los vectores), pero no al revés.

Ejercicio 6.9 ★★

Sea $ABC$ un triángulo y sea $I$ el punto definido por $\vect{AI} = \frac23 \vect{AB}$ . Con $A(0,0)$ , $B(6, 3)$ , $C(2, 5)$ (para que los cálculos sean sencillos):

calcula las coordenadas de $I$ ;
sea $J$ tal que $\vect{CJ} = \frac23\vect{CB}$ ; calcula las coordenadas de $J$ ;
demuestra que $(IJ)$ es paralela a $(AC)$ .

Solución

Solución de Ejercicio 6.9.

1. $\vect{AB}\,(6, 3)$ , luego $\vect{AI} = \frac23\vect{AB} = (4, 2)$ e $I(4, 2)$ .

2. $\vect{CB}\,(6-2,\ 3-5) = (4, -2)$ , luego $\vect{CJ} = \frac23\vect{CB} = \left(\frac83, -\frac43\right)$ y $J\left(2 + \frac83,\ 5 - \frac43\right) = \left(\frac{14}{3}, \frac{11}{3}\right)$ .

3. $\vect{IJ}\,\left(\frac{14}{3} - 4,\ \frac{11}{3} - 2\right) = \left(\frac23, \frac53\right)$ y $\vect{AC}\,(2, 5)$ . Criterio de colinealidad:

\frac23 \times 5 - \frac53 \times 2 = \frac{10}{3} - \frac{10}{3} = 0 :

los vectores son colineales, así que $(IJ)$ es paralela a $(AC)$ . (Tanto $I$ como $J$ están a un tercio del camino hacia $B$ desde su lado: el pequeño triángulo $IBJ$ es una reducción de $ABC$ .)

Ejercicio 6.10 ★★★

Sea $ABCD$ un cuadrilátero cualquiera y sean $I$ , $J$ , $K$ , $L$ los puntos medios de $[AB]$ , $[BC]$ , $[CD]$ , $[DA]$ . Usando coordenadas $A(x_A, y_A)$ , etc., demuestra que $\vect{IJ} = \vect{LK}$ y concluye que los puntos medios de los lados de cualquier cuadrilátero forman un paralelogramo.

Solución

Solución de Ejercicio 6.10.

Los puntos medios son

I\left(\tfrac{x_A + x_B}{2}, \tfrac{y_A + y_B}{2}\right), \quad J\left(\tfrac{x_B + x_C}{2}, \tfrac{y_B + y_C}{2}\right), \quad K\left(\tfrac{x_C + x_D}{2}, \tfrac{y_C + y_D}{2}\right), \quad L\left(\tfrac{x_D + x_A}{2}, \tfrac{y_D + y_A}{2}\right).

Primeras coordenadas de los dos vectores:

x_J - x_I = \frac{x_B + x_C}{2} - \frac{x_A + x_B}{2} = \frac{x_C - x_A}{2}, \qquad x_K - x_L = \frac{x_C + x_D}{2} - \frac{x_D + x_A}{2} = \frac{x_C - x_A}{2},

y el mismo cálculo vale para las segundas coordenadas. Por tanto, $\vect{IJ} = \vect{LK}$ (los dos valen $\frac12\vect{AC}$ ) e $IJKL$ es un paralelogramo, sea cual sea el aspecto del cuadrilátero $ABCD$ .

6.6 Problema: El álgebra de las flechas

Problema 6.1

Problema de fin de semana — gimnasia con Chasles, el baricentro demostrado en dos líneas y fuerzas en equilibrio: para qué sirven de verdad los vectores

En el volumen anterior se demostró que las medianas de un triángulo se cortan a dos tercios de su longitud, con un ingenioso paralelogramo escondido dentro del triángulo (problema de fin de semana del volumen anterior sobre el baricentro). Los vectores lo vuelven a demostrar en dos líneas y regalan además la concurrencia. Para eso sirve esta nueva álgebra: los teoremas se convierten en cálculos con flechas. Este problema entrena el cálculo (Chasles ante todo), entrega la demostración de dos líneas, extiende Varignon (Ejercicio 6.10) y termina donde nacieron los vectores: las fuerzas y las velocidades.

Parte I — Gimnasia con Chasles.

Simplifica usando la relación de Chasles (Teorema 6.5): $\vect{AB} + \vect{BC} + \vect{CD}$ ; $\vect{MA} - \vect{MB}$ ; $\vect{AB} + \vect{CD} + \vect{BC} + \vect{DA}$ .
El truco del origen: demuestra que para cualquier punto $O$ se cumple $\vect{AB} = \vect{OB} - \vect{OA}$ .
Demuestra las dos caracterizaciones del punto medio $I$ de $[AB]$ :

$\vect{IA} + \vect{IB} = \vec 0 \qquad\text{y}\qquad \vect{OI} = \tfrac12\left(\vect{OA} + \vect{OB}\right) \ \text{para cualquier } O .$
Usando $\vect{AB} = \vect{DC}$ , vuelve a hallar el cuarto vértice $D$ del paralelogramo $ABCD$ con $A(-1, 2)$ , $B(3, 4)$ , $C(6, 0)$ , y compara con la respuesta obtenida mediante el punto medio en el Problema 5.1.
Sumar un vector fijo $\vec u$ a todos los puntos del plano efectúa, ¿qué transformación? La que se descubrió con dos espejos en el problema de fin de semana del volumen anterior sobre los dos espejos y con dos medios giros en el problema de fin de semana del volumen anterior sobre los medios giros. Calcula la imagen de $(1, 2)$ con $\vec u = (3, -1)$ .

Parte II — El baricentro, tercera demostración. Definimos el punto $G$ de un triángulo $ABC$ por la elegante condición

\vect{GA} + \vect{GB} + \vect{GC} = \vec 0 .

Con el truco del origen, demuestra que esta condición determina $G$ de forma única: $\vect{OG} = \frac13\left(\vect{OA} + \vect{OB} + \vect{OC}\right)$ para cualquier $O$ ; así que las coordenadas de $G$ son las medias de las de los vértices (el problema de fin de semana del volumen anterior sobre el baricentro ya lo vio numéricamente).
Demuestra que $\vect{AG} = \frac13\left(\vect{AB} + \vect{AC}\right)$ y que, llamando $K$ al punto medio de $[BC]$ , $\vect{AK} = \frac12\left(\vect{AB} + \vect{AC}\right)$ . Concluye: $\vect{AG} = \frac23\,\vect{AK}$ ; el teorema de los dos tercios, demostrado de nuevo.
¿Por qué las medianas desde $B$ y desde $C$ pasan por el mismo $G$ sin ningún cálculo adicional? Compara en una frase cada una de las tres demostraciones disponibles de este teorema: el paralelogramo escondido, las coordenadas y los vectores.
Comprobación numérica: $A(1, 1)$ , $B(5, 2)$ , $C(3, 6)$ . Calcula $G$ , después $K$ , y verifica $\vect{AG} = \frac23 \vect{AK}$ con el criterio de colinealidad (Teorema 6.13).
La física lee $G$ como el punto de equilibrio de tres masas iguales situadas en los vértices. Duplica la masa en $A$ (masas $2, 1, 1$ ): el punto de equilibrio pasa a ser $\vect{OG'} = \frac{2\vect{OA} + \vect{OB} + \vect{OC}}{4}$ . Calcula $G'$ para el triángulo de la pregunta 9 y compara su posición con la de $G$ .

Parte III — La colinealidad en acción.

¿Son colineales $\vec u(3, -2)$ y $\vec v(-6, 4)$ ? ¿Y $\vec w(2, 5)$ y $\vec z(4, 9)$ ? Decídelo con el criterio del determinante.
¿Están alineados los puntos $A(1, 2)$ , $B(3, 5)$ , $C(7, 11)$ ?
Más allá de Varignon (Ejercicio 6.10): en cualquier cuadrilátero $ABCD$ , las bimedianas unen los puntos medios de lados opuestos ( $[IK]$ y $[JL]$ ). Usando vectores de posición ( $\vect{OI} = \frac12(\vect{OA} + \vect{OB})$ , etc.), demuestra que las dos bimedianas tienen el mismo punto medio, de vector de posición $\frac14\left(\vect{OA} + \vect{OB} + \vect{OC} + \vect{OD}\right)$ : el baricentro del cuadrilátero.
Tales en una línea: $M$ y $N$ son los puntos definidos por $\vect{AM} = \frac13\vect{AB}$ y $\vect{AN} = \frac13\vect{AC}$ . Calcula $\vect{MN}$ en función de $\vect{BC}$ y deduce el paralelismo y la razón.
Generaliza la pregunta 14 a una razón cualquiera $k$ y explica en una frase cómo el cálculo vectorial absorbe de golpe el teorema de la base media y el teorema de Tales.

Parte IV — Fuerzas y velocidades.

Una barca es empujada por una corriente de $3$ km/h hacia el este mientras rema a $4$ km/h hacia el norte. Da el vector velocidad resultante, su módulo y describe el rumbo real. (Aparece un trío de números muy antiguo.)
Sobre una anilla actúan tres fuerzas: $\vec u(2, 1)$ , $\vec v(-3, 2)$ , $\vec w(1, -3)$ . Calcula la resultante. ¿Qué hace la anilla? ¿Y por qué la suma de las flechas a lo largo de cualquier polígono cerrado es siempre $\vec 0$ (Chasles)?
Sobre un gancho actúan dos fuerzas, $\vec u(4, -1)$ y $\vec v(-1, 3)$ . ¿Qué tercera fuerza mantiene el gancho en equilibrio?
Una nadadora cruza un río apuntando en perpendicular a la orilla a $2$ m/s; la corriente va a $1.5$ m/s. Da la velocidad resultante y su módulo. El río mide $50$ m de ancho: ¿cuánto dura la travesía y a qué distancia río abajo llega la nadadora?
Final: un mismo objeto con tres disfraces: flecha de desplazamiento, pareja de coordenadas y fuerza o velocidad. Enumera los tres teoremas clásicos que este problema ha vuelto a demostrar con álgebra vectorial y nombra la única magnitud geométrica que los vectores de este capítulo todavía no saben medir; la herramienta que lo arregla llega con el producto escalar, el año que viene.

Solución

Solución de Problema 6.1.

1. $\vect{AB} + \vect{BC} + \vect{CD} = \vect{AD}$ ; $\vect{MA} - \vect{MB} = \vect{MA} + \vect{BM} = \vect{BA}$ ; $\vect{AB} + \vect{BC} + \vect{CD} + \vect{DA} = \vect{AA} = \vec 0$ (reordenando la tercera suma).

2. $\vect{OB} - \vect{OA} = \vect{AO} + \vect{OB} = \vect{AB}$ por Chasles.

3. $I$ es el punto medio de $[AB]$ exactamente cuando $\vect{IA} = -\vect{IB}$ , es decir, $\vect{IA} + \vect{IB} = \vec 0$ . Entonces, para cualquier $O$ : $\vec 0 = \vect{IO} + \vect{OA} + \vect{IO} + \vect{OB}$ , luego $2\,\vect{OI} = \vect{OA} + \vect{OB}$ ; y recíprocamente.

4. $\vect{AB} = (4, 2)$ , y $D$ cumple $\vect{DC} = \vect{AB}$ : $D = C - (4, 2) = (2, -2)$ ; el mismo $D$ que en el Problema 5.1, una línea más rápido.

5. La traslación de vector $\vec u$ , exactamente la transformación que producen dos espejos paralelos o dos medios giros. Imagen de $(1, 2)$ : $(4, 1)$ .

6. Desarrollando cada $\vect{GX}$ como $\vect{GO} + \vect{OX}$ : $3\,\vect{GO} + \vect{OA} + \vect{OB} + \vect{OC} = \vec 0$ , luego $\vect{OG} = \frac13(\vect{OA} + \vect{OB} + \vect{OC})$ : uno y solo un punto así, cuyas coordenadas son las medias de las de los tres vértices.

7. $\vect{AB} + \vect{AC} = (\vect{AG} + \vect{GB}) + (\vect{AG} + \vect{GC}) = 2\vect{AG} + (\vect{GB} + \vect{GC}) = 2\vect{AG} - \vect{GA} = 3\vect{AG}$ , de donde $\vect{AG} = \frac13(\vect{AB} + \vect{AC})$ . La fórmula del punto medio (pregunta 3, vista desde $A$ ) da $\vect{AK} = \frac12(\vect{AB} + \vect{AC})$ . Comparando: $\vect{AG} = \frac23\vect{AK}$ ; $G$ está sobre la mediana $[AK]$ , a dos tercios del camino desde $A$ .

8. La condición que define $G$ trata a $A$ , $B$ y $C$ por igual, así que el mismo cálculo desde $B$ o desde $C$ coloca el mismo $G$ a dos tercios de esas medianas: la concurrencia sale gratis. La demostración con el paralelogramo era ingeniosa, pero improvisada para el caso; las coordenadas calculan, pero oscurecen; los vectores hacen visible la simetría y reducen la demostración a dos líneas.

9. $G\left(\frac{1+5+3}{3}, \frac{1+2+6}{3}\right) = (3, 3)$ ; $K(4, 4)$ ; $\vect{AG} = (2, 2)$ y $\vect{AK} = (3, 3)$ : determinante $2 \times 3 - 2 \times 3 = 0$ , colineales, y en efecto $\vect{AG} = \frac23\vect{AK}$ .

10. $G'\left(\frac{2 + 5 + 3}{4}, \frac{2 + 2 + 6}{4}\right) = (2.5,\ 2.5)$ : atraído desde $G(3,3)$ hacia el vértice duplicado $A(1,1)$ , como debe hacer un punto de equilibrio.

11. $3 \times 4 - (-2)(-6) = 12 - 12 = 0$ : colineales ( $\vec v = -2\vec u$ ). $2 \times 9 - 5 \times 4 = -2 \neq 0$ : no colineales.

12. $\vect{AB} = (2, 3)$ , $\vect{AC} = (6, 9)$ : determinante $2 \times 9 - 3 \times 6 = 0$ : alineados.

13. $\vect{OI} = \frac12(\vect{OA} + \vect{OB})$ y $\vect{OK} = \frac12(\vect{OC} + \vect{OD})$ , así que el punto medio de $[IK]$ tiene vector de posición $\frac12(\vect{OI} + \vect{OK}) = \frac14(\vect{OA} + \vect{OB} + \vect{OC} + \vect{OD})$ ; y el cálculo para $[JL]$ da exactamente el mismo vector. Las dos bimedianas (y, por Varignon, las diagonales del paralelogramo $IJKL$ ) comparten ese centro: el baricentro del cuadrilátero.

14. $\vect{MN} = \vect{AN} - \vect{AM} = \frac13\vect{AC} - \frac13\vect{AB} = \frac13\vect{BC}$ : luego $(MN) \parallel (BC)$ y $MN = \frac13 BC$ .

15. Con $\vect{AM} = k\,\vect{AB}$ y $\vect{AN} = k\,\vect{AC}$ : $\vect{MN} = k\,\vect{BC}$ ; una sola línea que contiene el teorema de la base media ( $k = \frac12$ ) y el de Tales (cualquier $k$ ): la razón atraviesa la resta sin inmutarse.

16. Resultante $(3, 4)$ , módulo $\sqrt{9 + 16} = 5$ km/h: la barca avanza realmente hacia el nordeste, tirando al norte, siguiendo la hipotenusa del triángulo $3$ – $4$ – $5$ .

17. $\vec u + \vec v + \vec w = (0, 0)$ : la anilla no se mueve; está en equilibrio. A lo largo de un polígono cerrado $A_1 A_2 \dots A_n A_1$ , Chasles condensa la suma en $\vect{A_1 A_1} = \vec 0$ : dar la vuelta te devuelve al punto de partida.

18. $\vec w = -(\vec u + \vec v) = -(3, 2) = (-3, -2)$ .

19. Resultante $(1.5,\ 2)$ , módulo $\sqrt{2.25 + 4} = 2.5$ m/s. Travesía: $50$ m a $2$ m/s en la dirección transversal: $25$ s; deriva: $1.5 \times 25 = 37.5$ m río abajo.

20. Demostrados de nuevo este fin de semana: el teorema de los dos tercios del baricentro (pregunta 7), el centro de las bimedianas y de Varignon (pregunta 13) y Tales con la base media (preguntas 14 y 15). Lo que las flechas todavía no saben hacer: medir ángulos (y, con ellos, longitudes en direcciones arbitrarias); el producto escalar del curso que viene es justo el instrumento que falta.

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