Matemáticas de secundaria · Grades 10–12

6Vectores

Un vector codifica un desplazamiento: una dirección y una longitud, independientemente de el punto de partida. Vectores dar pruebas limpias de hechos geométricos y, una vez coordenadas entra en escena, redúcelos a pequeños cálculos. ellos será una herramienta clave en Capítulo 7 y, posteriormente, para el escalar producto en Capítulo 16.

6.1 Traducciones y vectores

Definición 6.1 (Vector)

Dados dos puntos $A$ y $B$ , el vector $\vect{AB}$ representa el desplazamiento de $A$ a $B$ : tiene un dirección (el sentido de la línea $(AB)$ , junto con el camino de recorrerlo, desde $A$ hacia $B$ ) y un longitud (la distancia $AB$ , también escrita $\norm{\vect{AB}}$ ). Dos vectores son igual cuando codifican el mismo desplazamiento: $\vect{AB} = \vect{CD}$ significa que aplicando los dos desplazamientos a cualquier punto da el mismo resultado.

Proposición 6.2 (Vectores iguales y paralelogramos)

$\vect{AB} = \vect{CD}$ exactamente cuando $ABDC$ (¡en este orden!) es un paralelogramo, posiblemente uno aplanado — equivalentemente, cuando $[AD]$ y $[BC]$ tiene el mismo punto medio.

Demostración. Admitido a este nivel. ∎

Igual vectores AB = CD: misma dirección, mismo camino, misma longitud. El cuadrilátero ABDC es un paralelogramo. — Igual vectores $\vect{AB} = \vect{CD}$ : misma dirección, mismo camino, misma longitud. El cuadrilátero $ABDC$ es un paralelogramo.

Notación 6.3

Un vector suele denominarse con una sola letra, $\vec u$ o $\vec v$ , cuando el los puntos finales no importan. El zero vector $\vec 0 = \vect{AA}$ es el desplazamiento que no mueve nada. El opuesto de $\vect{AB}$ es $\vect{BA}$ : misma longitud, en sentido opuesto. escribimos $\vect{BA} = -\vect{AB}$ .

6.2 Añadiendo vectores

Definición 6.4 (Suma de dos vectores)

El suma $\vec u + \vec v$ es el desplazamiento obtenido realizando $\vec u$ y luego $\vec v$ .

Teorema 6.5 (Relación de Chasles)

Para tres puntos cualesquiera $A$ , $B$ , $C$ :

\vect{AB} + \vect{BC} = \vect{AC}.

Demostración. Pasar de $A$ a $B$ , luego de $B$ a $C$ , es un desplazamiento que toma $A$ a $C$ : es el desplazamiento codificado por $\vect{AC}$ . ∎

Observación 6.6 (Regla del paralelogramo)

Para sumar dos vectores extraídos del mismo punto, $\vect{AB} + \vect{AC}$ , Completa el paralelogramo $ABDC$ : el suma es la diagonal $\vect{AD}$ . De hecho $\vect{AC} = \vect{BD}$ , entonces $\vect{AB} + \vect{AC} = \vect{AB} + \vect{BD} = \vect{AD}$ por Chasles’ relación.

Dos fotos del suma: de punta a cola (pariente de Chasles, izquierda) y la regla del paralelogramo (derecha).

Ejemplo 6.7 (Simplificando con Chasles)

Simplificar $\vect{MN} + \vect{NP} + \vect{PQ}$ : encadenando los desplazamientos da $\vect{MQ}$ . Simplifique $\vect{AB} - \vect{AC}$ : reescriba el diferencia como un suma con el opuesto vector,

\vect{AB} - \vect{AC} = \vect{AB} + \vect{CA} = \vect{CA} + \vect{AB} = \vect{CB}.

6.3 Multiplicar un vector por un número

Definición 6.8 (escalera múltiple)

Sea $\vec u$ un vector distinto de cero y $k$ un numero real. El vector $k\vec u$ tiene la misma dirección que $\vec u$ , longitud $\abs{k} \times \norm{\vec u}$ y apunta en la misma dirección como $\vec u$ si $k > 0$ , al revés si $k < 0$ . Para $k = 0$ , $0\vec u = \vec 0$ .

Definición 6.9 (Colinealidad)

Dos vectores $\vec u$ y $\vec v$ son colineal cuando tengan el mismo dirección, es decir, cuando $\vec v = k \vec u$ para algún $k$ real (o uno de ellos es $\vec 0$ ).

Observación 6.10

La colinealidad es el lenguaje vector para paralelismo y alineación:

las líneas $(AB)$ y $(CD)$ son paralelas exactamente cuando $\vect{AB}$ y $\vect{CD}$ son colineal;
los puntos $A$ , $B$ , $C$ están alineados exactamente cuando $\vect{AB}$ y $\vect{AC}$ son colineal.

6.4 Coordenadas de vectores

Definición 6.11 (Coordenadas de un vector)

En un sistema de coordenadas, el coordenadas del vector $\vect{AB}$ son los números que describen el desplazamiento:

\vect{AB}\,(x_B - x_A,\ y_B - y_A).

Un vector $\vec u\,(a, b)$ mueve cada punto $a$ unidades horizontalmente y $b$ unidades verticalmente.

Proposición 6.12 (Cálculo con coordenadas)

Dejemos $\vec u\,(a, b)$ y $\vec v\,(c, d)$ y $k \in \R$ .

$\vec u = \vec v$ exactamente cuando $a = c$ y $b = d$ ;
$\vec u + \vec v$ tiene coordenadas $(a + c,\ b + d)$ ;
$k\vec u$ tiene coordenadas $(ka,\ kb)$ ;
$\norm{\vec u} = \sqrt{a^2 + b^2}$ (sistema ortonormal).

Demostración. 1–3 reformula, coordenada por coordenada, lo que hacen los desplazamientos: por instancia que realiza $\vec u$ , luego $\vec v$ mueve un punto horizontalmente $a$ luego $c$ , por lo tanto, $a + c$ en total. El punto 4 es la fórmula de la distancia. de Teorema 5.4 aplicado a un segmento que representa $\vec u$ . ∎

Teorema 6.13 (Criterio de colinealidad)

Dos vectores $\vec u\,(a, b)$ y $\vec v\,(c, d)$ son colineal si y solo si

ad - bc = 0 .

Demostración. Si $\vec v = k\vec u$ , entonces $c = ka$ y $d = kb$ , entonces $ad - bc = a(kb) - b(ka) = 0$ . Lo mismo vale si $\vec u = k \vec v$ o si vector es cero.

Por el contrario, supongamos $ad - bc = 0$ con $\vec u \neq \vec 0$ , digamos $a \neq 0$ (el caso $b \neq 0$ es similar). Establecer $k = \frac{c}{a}$ ; entonces $c = ka$ y $ad = bc = b(ka)$ dan, después de dividir por $a \neq 0$ , $d = kb$ . Entonces $\vec v = k\vec u$ . ∎

Ejemplo 6.14

¿Son $\vec u\,(3, -2)$ y $\vec v\,(-6, 4)$ colineal? calcular $ad - bc = 3 \times 4 - (-2)\times(-6) = 12 - 12 = 0$ : si, y efectivamente $\vec v = -2\vec u$ . Para $\vec u\,(3, -2)$ y $\vec w\,(1, 5)$ : $3 \times 5 - (-2) \times 1 = 17 \neq 0$ : no colineal.

Método 6.15 (Alineación y paralelismo)

Para demostrar que tres puntos $A$ , $B$ , $C$ están alineados:

calcula el coordenadas de $\vect{AB}$ y $\vect{AC}$ ;
comprobar el criterio $ad - bc = 0$ de Teorema 6.13;
concluye: los vectores son colineal y comparten el punto $A$ , por lo que Los tres puntos están alineados.

El mismo cálculo con $\vect{AB}$ y $\vect{CD}$ demuestra que el Las líneas $(AB)$ y $(CD)$ son paralelas.

Ejemplo 6.16

Sean $A(1, 2)$ , $B(3, 5)$ y $C(7, 11)$ . Luego $\vect{AB}\,(2, 3)$ y $\vect{AC}\,(6, 9)$ y $2 \times 9 - 3 \times 6 = 18 - 18 = 0$ : el Los puntos están alineados (de hecho, $\vect{AC} = 3\vect{AB}$ ).

Puntos alineados: AC es un múltiplo escalar de AB. — Puntos alineados: $\vect{AC}$ es un múltiplo escalar de $\vect{AB}$ .

6.5 Ceremonias

Ejercicio 6.1 ★

Simplifique usando la relación de Chasles:

\vect{AB} + \vect{BD}, \qquad \vect{KL} + \vect{LM} + \vect{MK}, \qquad \vect{AC} - \vect{BC}, \qquad \vect{AB} + \vect{CA}.

Solución

Solución de Ejercicio 6.1.

$\vect{AB} + \vect{BD} = \vect{AD}$ (Chasles).

$\vect{KL} + \vect{LM} + \vect{MK} = \vect{KK} = \vec 0$ .

$\vect{AC} - \vect{BC} = \vect{AC} + \vect{CB} = \vect{AB}$ .

$\vect{AB} + \vect{CA} = \vect{CA} + \vect{AB} = \vect{CB}$ .

Ejercicio 6.2 ★

Deje $A(2, 1)$ , $B(5, 3)$ , $C(-1, 4)$ . Calcule el coordenadas de $\vect{AB}$ , $\vect{BC}$ , $\vect{AC}$ y verifique en coordenadas que $\vect{AB} + \vect{BC} = \vect{AC}$ .

Solución

Solución de Ejercicio 6.2.

$\vect{AB}\,(5-2,\ 3-1) = (3, 2)$ ; $\vect{BC}\,(-1-5,\ 4-3) = (-6, 1)$ ; $\vect{AC}\,(-1-2,\ 4-1) = (-3, 3)$ . Verificar: $(3, 2) + (-6, 1) = (-3, 3)$ , coordenada por coordenada.

Ejercicio 6.3 ★

Sean $\vec u\,(2, -3)$ y $\vec v\,(-1, 4)$ . Dale el coordenadas de $\vec u + \vec v$ , $3\vec u$ , $2\vec u - \vec v$ y cálculo $\norm{\vec u}$ .

Solución

Solución de Ejercicio 6.3.

$\vec u + \vec v = (2 + (-1),\ -3 + 4) = (1, 1)$ .

$3\vec u = (6, -9)$ .

$2\vec u - \vec v = (4 - (-1),\ -6 - 4) = (5, -10)$ .

$\norm{\vec u} = \sqrt{2^2 + (-3)^2} = \sqrt{13}$ .

Ejercicio 6.4 ★

En cada caso, diga si $\vec u$ y $\vec v$ son colineal:

\text{(a) } \vec u\,(4, 6),\ \vec v\,(6, 9); \qquad \text{(b) } \vec u\,(2, -5),\ \vec v\,(-4, 10); \qquad \text{(c) } \vec u\,(3, 1),\ \vec v\,(1, 3).

Solución

Solución de Ejercicio 6.4.

(a) $4 \times 9 - 6 \times 6 = 36 - 36 = 0$ : colineal ( $\vec v = \frac32 \vec u$ ).

(b) $2 \times 10 - (-5) \times (-4) = 20 - 20 = 0$ : colineal ( $\vec v = -2\vec u$ ).

Ejercicio 6.5 ★

Deje $A(0, 2)$ , $B(4, 0)$ , $C(6, 3)$ . Encuentra el coordenadas del punto. $D$ tal que $ABCD$ es un paralelogramo, es decir, tal que $\vect{AB} = \vect{DC}$ .

Solución

Solución de Ejercicio 6.5.

$\vect{AB}\,(4, -2)$ y $\vect{DC}\,(6 - x_D,\ 3 - y_D)$ . la condición $\vect{AB} = \vect{DC}$ da $6 - x_D = 4$ y $3 - y_D = -2$ , por lo que $D(2, 5)$ .

Ejercicio 6.6 ★★

Deje $A(-2, 1)$ , $B(1, 3)$ , $C(4, -1)$ .

Calcular el coordenadas del punto $M$ tal que $\vect{AM} = \vect{AB} + \vect{AC}$ .
¿Qué es el cuadrilátero $ABMC$ ? Justificar.

Solución

Solución de Ejercicio 6.6.

1. $\vect{AB}\,(3, 2)$ y $\vect{AC}\,(6, -2)$ , entonces $\vect{AB} + \vect{AC} = (9, 0)$ y $M = (-2 + 9,\ 1 + 0) = (7, 1)$ .

2. Por la regla del paralelogramo, $\vect{AM} = \vect{AB} + \vect{AC}$ significa que $ABMC$ es un paralelogramo ( $M$ es el cuarto vértice opuesto $A$ ). Se puede comprobar: $\vect{AB}\,(3,2)$ y $\vect{CM}\,(7-4,\ 1-(-1)) = (3, 2)$ son iguales.

Ejercicio 6.7 ★★

Deje $A(1, -1)$ , $B(4, 1)$ , $C(10, 5)$ . Son los puntos $A$ , $B$ , $C$ ¿alineado? Misma pregunta para $A(0, 3)$ , $B(2, 2)$ , $C(8, -1)$ .

Solución

Solución de Ejercicio 6.7.

Primer triple: $\vect{AB}\,(3, 2)$ , $\vect{AC}\,(9, 6)$ ; $3 \times 6 - 2 \times 9 = 0$ : alineado ( $\vect{AC} = 3\vect{AB}$ ).

Segundo triple: $\vect{AB}\,(2, -1)$ , $\vect{AC}\,(8, -4)$ ; $2 \times (-4) - (-1) \times 8 = -8 + 8 = 0$ : alineado también ( $\vect{AC} = 4\vect{AB}$ ).

Ejercicio 6.8 ★★

Sean $A(1, 2)$ , $B(5, 4)$ , $C(6, 1)$ , $D(2, -1)$ . Demuestre que $(AB)$ y $(CD)$ son paralelos, entonces $ABCD$ es un paralelogramo. cual ¿La verificación implica el otro?

Solución

Solución de Ejercicio 6.8.

$\vect{AB}\,(4, 2)$ y $\vect{DC}\,(6-2,\ 1-(-1)) = (4, 2)$ : los dos vectores son igual, por lo que $ABCD$ es un paralelogramo y, en particular, $(AB) \parallel (CD)$ . La propiedad del paralelogramo es la más fuerte: implica el paralelismo (colinealidad del vectores), no al revés.

Ejercicio 6.9 ★★

Sea $ABC$ un triángulo y sea $I$ el punto definido por $\vect{AI} = \frac23 \vect{AB}$ . Con $A(0,0)$ , $B(6, 3)$ , $C(2, 5)$ (para que los cálculos sean simples):

calcula el coordenadas de $I$ ;
sea $J$ tal que $\vect{CJ} = \frac23\vect{CB}$ ; calcular el coordenadas de $J$ ;
muestra que $(IJ)$ es paralelo a $(AC)$ .

Solución

Solución de Ejercicio 6.9.

1. $\vect{AB}\,(6, 3)$ , entonces $\vect{AI} = \frac23\vect{AB} = (4, 2)$ y $I(4, 2)$ .

2. $\vect{CB}\,(6-2,\ 3-5) = (4, -2)$ , entonces $\vect{CJ} = \frac23\vect{CB} = \left(\frac83, -\frac43\right)$ y $J\left(2 + \frac83,\ 5 - \frac43\right) = \left(\frac{14}{3}, \frac{11}{3}\right)$ .

3. $\vect{IJ}\,\left(\frac{14}{3} - 4,\ \frac{11}{3} - 2\right) = \left(\frac23, \frac53\right)$ y $\vect{AC}\,(2, 5)$ . Colinealidad criterio:

\frac23 \times 5 - \frac53 \times 2 = \frac{10}{3} - \frac{10}{3} = 0 :

los vectores son colineal, por lo que $(IJ)$ es paralelo a $(AC)$ . (Tanto $I$ como $J$ siéntate a un tercio del camino desde el costado hacia $B$ : el pequeño El triángulo $IBJ$ es una reducción de $ABC$ ).

Ejercicio 6.10 ★★★

Sea $ABCD$ cualquier cuadrilátero y sea $I$ , $J$ , $K$ , $L$ el puntos medios de $[AB]$ , $[BC]$ , $[CD]$ , $[DA]$ . Usando coordenadas $A(x_A, y_A)$ , etc., muestran que $\vect{IJ} = \vect{LK}$ y concluyen que el puntos medios de los lados del cuadrilátero cualquier forman un paralelogramo.

Solución

Solución de Ejercicio 6.10.

Los puntos medios son

I\left(\tfrac{x_A + x_B}{2}, \tfrac{y_A + y_B}{2}\right), \quad J\left(\tfrac{x_B + x_C}{2}, \tfrac{y_B + y_C}{2}\right), \quad K\left(\tfrac{x_C + x_D}{2}, \tfrac{y_C + y_D}{2}\right), \quad L\left(\tfrac{x_D + x_A}{2}, \tfrac{y_D + y_A}{2}\right).

Primer coordenadas de los dos vectores:

x_J - x_I = \frac{x_B + x_C}{2} - \frac{x_A + x_B}{2} = \frac{x_C - x_A}{2}, \qquad x_K - x_L = \frac{x_C + x_D}{2} - \frac{x_D + x_A}{2} = \frac{x_C - x_A}{2},

y el mismo cálculo funciona para el segundo coordenadas. entonces $\vect{IJ} = \vect{LK}$ (ambos iguales a $\frac12\vect{AC}$ ) y $IJKL$ es un paralelogramo, cualquiera que sea el aspecto del cuadrilátero $ABCD$ .

6.6 Problema: el álgebra de las flechas

Problema 6.1

Problema de fin de semana — Gimnasia Chasles, la centroide reprobado en dos líneas, y fuerzas en equilibrio: ¿qué? los vectores son realmente para

El octavo grado demostró que las medianas de un triángulo se encuentran en dos tercios. de su longitud — con un ingenioso paralelogramo escondido en su interior el triángulo (el problema del centroide del fin de semana del volumen de la escuela secundaria). Vectores reprenderlo en dos líneas y reparte la concurrencia gratis. Eso es lo que Esta nueva álgebra es para: los teoremas se convierten en cálculos con flechas. Este problema entrena el cálculo (Chasles sobre todo), ofrece la prueba de dos líneas, amplía Varignon (Ejercicio 6.10), y termina donde nació vectores: fuerzas y velocidades.

Parte I — Chasles gymnastics.

Simplifica usando la relación de Chasles (Teorema 6.5): $\vect{AB} + \vect{BC} + \vect{CD}$ ; $\vect{MA} - \vect{MB}$ ; $\vect{AB} + \vect{CD} + \vect{BC} + \vect{DA}$ .
El truco del origen: muestra que para cualquier punto $O$ , $\vect{AB} = \vect{OB} - \vect{OA}$ .
Probar las dos caracterizaciones del punto medio $I$ de $[AB]$ :

$\vect{IA} + \vect{IB} = \vec 0 \qquad\text{and}\qquad \vect{OI} = \tfrac12\left(\vect{OA} + \vect{OB}\right) \ \text{for any } O .$
Usando $\vect{AB} = \vect{DC}$ , vuelva a encontrar el cuarto vértice $D$ del paralelogramo $ABCD$ con $A(-1, 2)$ , $B(3, 4)$ , $C(6, 0)$ — y comparar con el respuesta del truco del punto medio de Problema 5.1.
Agregando un vector $\vec u$ fijo a cada punto del plano realiza qué transformación — la que descubierto con dos espejos en el problema de fin de semana de dos espejos del volumen de Escuela Secundaria y dos medias vueltas en el problema de fin de semana de medias vueltas del volumen de la escuela secundaria? calcular el imagen de $(1, 2)$ bajo $\vec u = (3, -1)$ .

Parte II — The centroid, third proof. Definir el punto $G$ de un triángulo $ABC$ mediante el elegante condición

\vect{GA} + \vect{GB} + \vect{GC} = \vec 0 .

Usando el truco del origen, demuestre que esta condición determina $G$ de forma única: $\vect{OG} = \frac13\left(\vect{OA} + \vect{OB} + \vect{OC}\right)$ para cualquier $O$ — entonces el coordenadas de $G$ son los promedios de los vértices (el problema del centroide del fin de semana del volumen de la escuela secundaria lo vio numéricamente).
Pruebe $\vect{AG} = \frac13\left(\vect{AB} + \vect{AC}\right)$ , y, escribiendo $K$ para el punto medio de $[BC]$ , $\vect{AK} = \frac12\left(\vect{AB} + \vect{AC}\right)$ . Concluir: $\vect{AG} = \frac23\,\vect{AK}$ — los dos tercios teorema, re-probado.
¿Por qué pasan las medianas de $B$ y de $C$ ? el mismo $G$ sin más cálculos? Compare las tres pruebas disponibles de este teorema — paralelogramo oculto de grado 8, coordenadas, vectores — en una frase cada uno.
Comprobación numérica: $A(1, 1)$ , $B(5, 2)$ , $C(3, 6)$ . Calcule $G$ , luego $K$ , luego verifique $\vect{AG} = \frac23 \vect{AK}$ con la colinealidad criterio (Teorema 6.13).
Física lee $G$ como el punto de equilibrio de tres iguales masas en los vértices. Duplicar la masa en $A$ (masas $2, 1, 1$ ): el punto de equilibrio pasa a ser $\vect{OG'} = \frac{2\vect{OA} + \vect{OB} + \vect{OC}}{4}$ . Calcule $G'$ para el triángulo de pregunta 9 y compare su posición con $G$ .

Parte III — Collinearity at work.

¿Son $\vec u(3, -2)$ y $\vec v(-6, 4)$ colineal? y $\vec w(2, 5)$ , $\vec z(4, 9)$ ? decidir con el criterio determinante.
Son los puntos $A(1, 2)$ , $B(3, 5)$ , $C(7, 11)$ ¿alineado?
Más allá de Varignon (Ejercicio 6.10): en cualquier cuadrilátero $ABCD$ , el bimedianas se une al puntos medios de lados opuestos ( $[IK]$ y $[JL]$ ). Usando posición vectores ( $\vect{OI} = \frac12(\vect{OA} + \vect{OB})$ , etc.), muestran que ambas bimedianas tienen la mismo punto medio, de posición vector $\frac14\left(\vect{OA} + \vect{OB} + \vect{OC} + \vect{OD}\right)$ : el centroide del cuadrilátero.
Tales en una línea: $M$ y $N$ son los puntos definidos por $\vect{AM} = \frac13\vect{AB}$ y $\vect{AN} = \frac13\vect{AC}$ . calcular $\vect{MN}$ en términos de $\vect{BC}$ y concluir paralelismo y proporción.
Generalizar la pregunta 14 a una proporción arbitraria $k$ , y Indique en una oración cómo el cálculo vector absorbe el teorema punto medio (el teorema punto medio) y Tales (teorema de Tales) a la vez.

Parte IV — Forces and velocities.

Un barco es empujado por una corriente de $3$ km/h hacia el este mientras remaba a $4$ km/h hacia el norte. dar el resultante velocidad vector, su magnitud y describir la velocidad real curso. (Aparece un triple muy antiguo.)
Tres fuerzas actúan sobre un anillo: $\vec u(2, 1)$ , $\vec v(-3, 2)$ , $\vec w(1, -3)$ . Calcula la resultante. ¿Qué hace el anillo? ¿Y por qué el suma de las flechas? a lo largo de cualquier polígono cerrado siempre $\vec 0$ (Chasles)?
Dos fuerzas $\vec u(4, -1)$ y $\vec v(-1, 3)$ actúan sobre un gancho. ¿Qué tercera fuerza mantiene el gancho en equilibrio?
Un nadador cruza un río en línea recta en $2$ m/s; la corriente corre a $1.5$ m/s. Dale el velocidad resultante y su magnitud. el río es $50$ m de ancho: ¿cuánto dura el cruce y cuánto tiempo ¿Qué tan abajo aterriza el nadador?
Final: un objeto, tres disfraces — desplazamiento flecha, par de coordenadas, fuerza o velocidad. Enumere el tres teoremas clásicos, este problema volvió a demostrarse con vector álgebra y nombre la cantidad geométrica única vectores de este capítulo aún no puede medir — el herramienta que lo soluciona llega con el producto escalar, en grado 11.

Solución

Solución de Problema 6.1.

1. $\vect{AB} + \vect{BC} + \vect{CD} = \vect{AD}$ ; $\vect{MA} - \vect{MB} = \vect{MA} + \vect{BM} = \vect{BA}$ ; $\vect{AB} + \vect{BC} + \vect{CD} + \vect{DA} = \vect{AA} = \vec 0$ (reordenando el tercer suma).

2. $\vect{OB} - \vect{OA} = \vect{AO} + \vect{OB} = \vect{AB}$ de Chasles.

3. $I$ es el punto medio de $[AB]$ exactamente cuando $\vect{IA} = -\vect{IB}$ , es decir $\vect{IA} + \vect{IB} = \vec 0$ . Luego, para cualquier $O$ : $\vec 0 = \vect{IO} + \vect{OA} + \vect{IO} + \vect{OB}$ , entonces $2\,\vect{OI} = \vect{OA} + \vect{OB}$ — y viceversa.

4. $\vect{AB} = (4, 2)$ y $D$ satisfacen $\vect{DC} = \vect{AB}$ : $D = C - (4, 2) = (2, -2)$ — el mismo $D$ que Problema 5.1, una línea más rápida.

5. La traducción de vector $\vec u$ — exactamente la transformación producida por dos espejos paralelos o dos medias vueltas. Imagen de $(1, 2)$ : $(4, 1)$ .

6. En expansión cada $\vect{GX}$ como $\vect{GO} + \vect{OX}$ : $3\,\vect{GO} + \vect{OA} + \vect{OB} + \vect{OC} = \vec 0$ , entonces $\vect{OG} = \frac13(\vect{OA} + \vect{OB} + \vect{OC})$ : uno y sólo uno de esos puntos, cuyos coordenadas son los promedios de los tres vértices’.

7. $\vect{AB} + \vect{AC} = (\vect{AG} + \vect{GB}) + (\vect{AG} + \vect{GC}) = 2\vect{AG} + (\vect{GB} + \vect{GC}) = 2\vect{AG} - \vect{GA} = 3\vect{AG}$ , de donde $\vect{AG} = \frac13(\vect{AB} + \vect{AC})$ . El punto medio La fórmula (pregunta 3, vista desde $A$ ) da $\vect{AK} = \frac12(\vect{AB} + \vect{AC})$ . Comparando: $\vect{AG} = \frac23\vect{AK}$ — $G$ se encuentra en la mediana $[AK]$ , a dos tercios del camino desde $A$ .

8. La condición definitoria trata $A$ , $B$ , $C$ idénticamente, por lo que el mismo cálculo de $B$ o de $C$ coloca el mismo $G$ en dos tercios de esas medianas: la concurrencia no cuesta nada. La prueba del paralelogramo fue ingenioso pero ad hoc; coordenadas cálculo pero oscuro; vectores hace visible la simetría y la prueba de dos líneas.

9. $G\left(\frac{1+5+3}{3}, \frac{1+2+6}{3}\right) = (3, 3)$ ; $K(4, 4)$ ; $\vect{AG} = (2, 2)$ y $\vect{AK} = (3, 3)$ : determinante $2 \times 3 - 2 \times 3 = 0$ , colineal y, de hecho, $\vect{AG} = \frac23\vect{AK}$ .

10. $G'\left(\frac{2 + 5 + 3}{4}, \frac{2 + 2 + 6}{4}\right) = (2.5,\ 2.5)$ : tirado de $G(3,3)$ hacia el vértice duplicado $A(1,1)$ , como debe ser un punto de equilibrio.

11. $3 \times 4 - (-2)(-6) = 12 - 12 = 0$ : colineal ( $\vec v = -2\vec u$ ). $2 \times 9 - 5 \times 4 = -2 \neq 0$ : no colineal.

12. $\vect{AB} = (2, 3)$ , $\vect{AC} = (6, 9)$ : determinante $2 \times 9 - 3 \times 6 = 0$ : alineado.

13. $\vect{OI} = \frac12(\vect{OA} + \vect{OB})$ y $\vect{OK} = \frac12(\vect{OC} + \vect{OD})$ , entonces el punto medio de $[IK]$ tiene la posición vector $\frac12(\vect{OI} + \vect{OK}) = \frac14(\vect{OA} + \vect{OB} + \vect{OC} + \vect{OD})$ — y el cálculo para $[JL]$ da el mismo vector. Las dos bimedianas (y, por Varignon, las diagonales del paralelogramo $IJKL$ ) todas comparten este centro: el centroide del cuadrilátero.

14. $\vect{MN} = \vect{AN} - \vect{AM} = \frac13\vect{AC} - \frac13\vect{AB} = \frac13\vect{BC}$ : entonces $(MN) \parallel (BC)$ y $MN = \frac13 BC$ .

15. Con $\vect{AM} = k\,\vect{AB}$ y $\vect{AN} = k\,\vect{AC}$ : $\vect{MN} = k\,\vect{BC}$ — uno línea que contiene el teorema punto medio ( $k = \frac12$ ) y Tales (cualquier $k$ ): la razón pasa por la resta intacto.

16. Resultante $(3, 4)$ , magnitud $\sqrt{9 + 16} = 5$ km/h: el barco realmente viaja noreste a norte a lo largo del triángulo $3$ – $4$ – $5$ hipotenusa.

17. $\vec u + \vec v + \vec w = (0, 0)$ : el anillo permanece quieto — equilibrio. A lo largo de un polígono cerrado $A_1 A_2 \dots A_n A_1$ , Chasles telescópicamente el suma para $\vect{A_1 A_1} = \vec 0$ : dar vueltas te trae de vuelta.

18. $\vec w = -(\vec u + \vec v) = -(3, 2) = (-3, -2)$ .

19. Resultante $(1.5,\ 2)$ , magnitud $\sqrt{2.25 + 4} = 2.5$ m/s. Cruce: $50$ m a $2$ m/s a través de: $25$ s; deriva: $1.5 \times 25 = 37.5$ m aguas abajo.

20. Reprobado este fin de semana: los dos tercios del centroide teorema (pregunta 7), el centro bimediano/Varignon (pregunta 13), Tales–punto medio (preguntas 14–15). ¿Qué flechas todavía? no puedo hacer: medir anglos (y por lo tanto las longitudes en direcciones arbitrarias) — el producto escalar de grado 11 es Precisamente el instrumento que falta.