Matemáticas de secundaria · Grades 10–12

5Geometría analítica

La gran idea de Descartes fue describir los puntos mediante parejas de números, convirtiendo los problemas de geometría en cálculos. Con solo dos fórmulas, la del punto medio y la de la distancia, se puede demostrar que un triángulo es isósceles, que un cuadrilátero es un paralelogramo o que tres puntos están alineados, sin trazar ni una sola línea auxiliar.

5.1 Coordenadas en el plano

Definición 5.1 (Sistema de coordenadas)

Un sistema de coordenadas del plano consta de un origen $O$ y dos ejes graduados que pasan por $O$ : el eje horizontal, o eje $x$ , y el eje vertical, o eje $y$ . Cada punto $M$ tiene entonces una única pareja de coordenadas $(x, y)$ : su abscisa $x$ y su ordenada $y$ . El sistema es ortonormal cuando los ejes son perpendiculares y llevan la misma unidad de longitud. Todos los sistemas de este capítulo son ortonormales.

Cada punto del plano queda localizado por dos números: primero la abscisa (horizontal) y después la ordenada (vertical).

5.2 Punto medio de un segmento

Proposición 5.2 (Fórmula del punto medio)

Sean $A(x_A, y_A)$ y $B(x_B, y_B)$ . El punto medio $I$ del segmento $[AB]$ tiene coordenadas

I\left(\frac{x_A + x_B}{2},\ \frac{y_A + y_B}{2}\right).

Demostración. Fijémonos en las coordenadas horizontales. Al ir de $A$ a $B$ , la abscisa varía en $x_B - x_A$ ; el punto situado a mitad de camino tiene abscisa

x_A + \frac{x_B - x_A}{2} = \frac{2x_A + x_B - x_A}{2} = \frac{x_A + x_B}{2},

la media de las dos abscisas. El mismo cálculo vale para las ordenadas. ∎

Ejemplo 5.3

Con $A(-1, 4)$ y $B(5, -2)$ , el punto medio de $[AB]$ es

I\left(\frac{-1 + 5}{2},\ \frac{4 + (-2)}{2}\right) = I(2, 1).

La fórmula también funciona al revés: si $A(-1, 4)$ y el punto medio es $I(2, 1)$ , entonces $B$ cumple $\frac{-1 + x_B}{2} = 2$ y $\frac{4 + y_B}{2} = 1$ , luego $x_B = 5$ e $y_B = -2$ : el punto $B$ es el simétrico de $A$ respecto de $I$ .

5.3 Distancia entre dos puntos

Teorema 5.4 (Fórmula de la distancia)

En un sistema ortonormal, la distancia entre $A(x_A, y_A)$ y $B(x_B, y_B)$ es

AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}.

Demostración. Sea $C$ el punto $(x_B, y_A)$ : está a la misma altura que $A$ y tiene la misma abscisa que $B$ , así que el triángulo $ACB$ tiene un ángulo recto en $C$ . Sus catetos son segmentos horizontales y verticales, de longitudes $AC = \abs{x_B - x_A}$ y $CB = \abs{y_B - y_A}$ . Por el teorema de Pitágoras,

AB^2 = AC^2 + CB^2 = (x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2,

y al tomar la raíz cuadrada (los dos miembros son no negativos) se obtiene la fórmula. ∎

La fórmula de la distancia es el teorema de Pitágoras aplicado al triángulo rectángulo ACB, construido sobre un cateto horizontal y otro vertical. — La fórmula de la distancia es el teorema de Pitágoras aplicado al triángulo rectángulo $ACB$ , construido sobre un cateto horizontal y otro vertical.

Ejemplo 5.5

Con $A(1, 1)$ y $B(5, 3)$ :

AB = \sqrt{(5-1)^2 + (3-1)^2} = \sqrt{16 + 4} = \sqrt{20} = 2\sqrt 5 .

Las distancias suelen dejarse en forma exacta (con la raíz); redondea solo al final, si hace falta una respuesta decimal.

Observación 5.6

El orden de los puntos no importa: $(x_A - x_B)^2 = (x_B - x_A)^2$ . ¡Pero no te olvides de los cuadrados! La distancia no es $\abs{x_B - x_A} + \abs{y_B - y_A}$ .

5.4 Las fórmulas al servicio de la geometría

Método 5.7 (Naturaleza de un triángulo)

Dados tres puntos $A$ , $B$ , $C$ por sus coordenadas:

calcula los tres cuadrados de las longitudes $AB^2$ , $AC^2$ , $BC^2$ con la fórmula de la distancia (dejarlo en cuadrados evita las raíces);
dos cuadrados iguales $\Rightarrow$ el triángulo es isósceles;
si el mayor de los cuadrados es la suma de los otros dos, el triángulo es rectángulo en el vértice opuesto al lado más largo, por el recíproco del teorema de Pitágoras.

Ejemplo 5.8

Sean $A(0, 1)$ , $B(4, 3)$ y $C(2, -3)$ . Entonces

\begin{align*} AB^2 &= (4-0)^2 + (3-1)^2 = 16 + 4 = 20, \\ AC^2 &= (2-0)^2 + (-3-1)^2 = 4 + 16 = 20, \\ BC^2 &= (2-4)^2 + (-3-3)^2 = 4 + 36 = 40 . \end{align*}

En primer lugar, $AB^2 = AC^2$ , luego $AB = AC$ : el triángulo es isósceles en $A$ . Además $AB^2 + AC^2 = 40 = BC^2$ , así que por el recíproco del teorema de Pitágoras también es rectángulo en $A$ .

Método 5.9 (Reconocer un paralelogramo)

Un cuadrilátero $ABCD$ es un paralelogramo exactamente cuando sus diagonales $[AC]$ y $[BD]$ tienen el mismo punto medio. Así pues: calcula los dos puntos medios con la fórmula correspondiente y compáralos.

Ejemplo 5.10

Sean $A(-1, 0)$ , $B(2, 2)$ , $C(5, 1)$ y $D(2, -1)$ . El punto medio de $[AC]$ es $\left(\frac{-1+5}{2}, \frac{0+1}{2}\right) = (2, \frac12)$ ; el de $[BD]$ es $\left(\frac{2+2}{2}, \frac{2-1}{2}\right) = (2, \frac12)$ . Coinciden, así que $ABCD$ es un paralelogramo.

ABCD es un paralelogramo porque sus dos diagonales comparten el punto medio I(2, 1/2). — $ABCD$ es un paralelogramo porque sus dos diagonales comparten el punto medio $I(2, \frac12)$ .

5.5 Ejercicios

Ejercicio 5.1 ★

Sean $A(2, 5)$ y $B(-4, 1)$ . Calcula las coordenadas del punto medio de $[AB]$ y la distancia $AB$ .

Solución

Solución de Ejercicio 5.1.

Punto medio: $\left(\frac{2 + (-4)}{2}, \frac{5 + 1}{2}\right) = (-1, 3)$ . Distancia:

AB = \sqrt{(-4 - 2)^2 + (1 - 5)^2} = \sqrt{36 + 16} = \sqrt{52} = 2\sqrt{13}.

Ejercicio 5.2 ★

Sean $A(3, -2)$ e $I(1, 2)$ . Halla las coordenadas del punto $B$ tal que $I$ sea el punto medio de $[AB]$ .

Solución

Solución de Ejercicio 5.2.

Que $I$ sea el punto medio de $[AB]$ significa $\frac{3 + x_B}{2} = 1$ y $\frac{-2 + y_B}{2} = 2$ , luego $x_B = -1$ e $y_B = 6$ : $B(-1, 6)$ .

Ejercicio 5.3 ★

¿Cuál de los puntos $P(4, 1)$ , $Q(-3, 2)$ y $R(0, -5)$ está más cerca del origen $O(0,0)$ ? Responde con distancias exactas.

Solución

Solución de Ejercicio 5.3.

$OP = \sqrt{16 + 1} = \sqrt{17}$ ; $OQ = \sqrt{9 + 4} = \sqrt{13}$ ; $OR = \sqrt{0 + 25} = 5 = \sqrt{25}$ . Como $13 < 17 < 25$ y la raíz cuadrada es creciente, $Q$ es el más cercano al origen.

Ejercicio 5.4 ★

Representa los puntos $A(1, 2)$ , $B(5, 4)$ , $C(7, 0)$ en papel cuadriculado y demuestra después con un cálculo que el triángulo $ABC$ es isósceles. ¿Es rectángulo?

Solución

Solución de Ejercicio 5.4.

Cuadrados de las longitudes:

\begin{align*} AB^2 &= (5-1)^2 + (4-2)^2 = 16 + 4 = 20, \\ BC^2 &= (7-5)^2 + (0-4)^2 = 4 + 16 = 20, \\ AC^2 &= (7-1)^2 + (0-2)^2 = 36 + 4 = 40 . \end{align*}

$AB = BC$ : el triángulo es isósceles en $B$ . Además $AB^2 + BC^2 = 40 = AC^2$ : por el recíproco del teorema de Pitágoras también es rectángulo en $B$ .

Ejercicio 5.5 ★★

Sean $A(-2, 1)$ , $B(1, 3)$ , $C(4, 1)$ y $D(1, -1)$ .

Demuestra que $ABCD$ es un paralelogramo.
Calcula $AB$ y $BC$ . ¿Es $ABCD$ un rombo (todos los lados iguales)?
Calcula $AC$ y $BD$ . ¿Es $ABCD$ un rectángulo (diagonales iguales)?

Solución

Solución de Ejercicio 5.5.

1. Punto medio de $[AC]$ : $\left(\frac{-2+4}{2}, \frac{1+1}{2}\right) = (1, 1)$ ; punto medio de $[BD]$ : $\left(\frac{1+1}{2}, \frac{3+(-1)}{2}\right) = (1, 1)$ . Mismo punto medio: $ABCD$ es un paralelogramo.

2. $AB^2 = 3^2 + 2^2 = 13$ y $BC^2 = 3^2 + (-4)^2 = 25$ : $AB \neq BC$ , no es un rombo.

3. $AC^2 = 6^2 + 0^2 = 36$ y $BD^2 = 0^2 + (-4)^2 = 16$ : $AC \neq BD$ , no es un rectángulo. $ABCD$ es un paralelogramo sin más.

Ejercicio 5.6 ★★

La circunferencia de centro $\Omega(2, 1)$ y radio $5$ está formada por todos los puntos que distan $5$ de $\Omega$ . ¿Cuáles de los puntos $A(5, 5)$ , $B(-1, -3)$ , $C(6, 2)$ están sobre ella? ¿Cuáles en su interior? ¿Cuáles en su exterior?

Solución

Solución de Ejercicio 5.6.

Calculamos los cuadrados de las distancias a $\Omega(2,1)$ y los comparamos con $5^2 = 25$ :

\Omega A^2 = 3^2 + 4^2 = 25, \qquad \Omega B^2 = (-3)^2 + (-4)^2 = 25, \qquad \Omega C^2 = 4^2 + 1^2 = 17 .

$A$ y $B$ están sobre la circunferencia; $C$ está dentro ( $17 < 25$ ).

Ejercicio 5.7 ★★

Sean $A(1, 1)$ y $B(7, 5)$ . Halla todos los puntos $M(x, 0)$ del eje $x$ que equidistan de $A$ y de $B$ . (Escribe $MA^2 = MB^2$ y despeja $x$ .)

Solución

Solución de Ejercicio 5.7.

$MA^2 = (x - 1)^2 + 1$ y $MB^2 = (x - 7)^2 + 25$ . Igualando $MA^2 = MB^2$ :

x^2 - 2x + 2 = x^2 - 14x + 74 \ \Longleftrightarrow\ 12x = 72 \ \Longleftrightarrow\ x = 6 .

El único punto de ese tipo es $M(6, 0)$ .

Ejercicio 5.8 ★★

Sean $A(0, 3)$ y $B(4, 1)$ .

Calcula las coordenadas del punto medio $I$ de $[AB]$ .
Comprueba que $M(2, 2) = I$ y verifica después, calculando $MA$ y $MB$ , que $M$ equidista de $A$ y de $B$ .
Halla un segundo punto, sobre el eje $y$ , que equidiste de $A$ y de $B$ .

Solución

Solución de Ejercicio 5.8.

1. $I = \left(\frac{0+4}{2}, \frac{3+1}{2}\right) = (2, 2)$ .

2. $M(2,2)$ es efectivamente $I$ . Y $MA^2 = (0-2)^2 + (3-2)^2 = 5$ , $MB^2 = (4-2)^2 + (1-2)^2 = 5$ : el punto medio equidista de los dos extremos, como era de esperar.

3. Buscamos $N(0, y)$ con $NA^2 = NB^2$ :

(3 - y)^2 = 16 + (1 - y)^2 \ \Longleftrightarrow\ 9 - 6y = 16 + 1 - 2y \ \Longleftrightarrow\ -4y = 8,

luego $y = -2$ : el punto $N(0, -2)$ .

Ejercicio 5.9 ★★

Se dan los puntos $A(-1, -1)$ , $B(3, 1)$ y $C(11, 5)$ . Calcula $AB$ , $BC$ y $AC$ y deduce que $A$ , $B$ , $C$ están alineados. (Tres puntos están alineados exactamente cuando la mayor de las tres distancias es la suma de las otras dos.)

Solución

Solución de Ejercicio 5.9.

\begin{align*} AB &= \sqrt{4^2 + 2^2} = \sqrt{20} = 2\sqrt5, \\ BC &= \sqrt{8^2 + 4^2} = \sqrt{80} = 4\sqrt5, \\ AC &= \sqrt{12^2 + 6^2} = \sqrt{180} = 6\sqrt5 . \end{align*}

Entonces $AB + BC = 2\sqrt5 + 4\sqrt5 = 6\sqrt5 = AC$ : la desigualdad triangular es una igualdad, así que $B$ está sobre el segmento $[AC]$ ; los tres puntos están alineados.

Ejercicio 5.10 ★★★

Sean $A(a, 0)$ y $B(0, b)$ con $a, b > 0$ , y sea $I$ el punto medio de $[AB]$ . Demuestra con un cálculo que $OI = IA = IB$ , donde $O$ es el origen. (Esto demuestra un teorema clásico: en un triángulo rectángulo, el punto medio de la hipotenusa equidista de los tres vértices.)

Solución

Solución de Ejercicio 5.10.

El punto medio de $[AB]$ es $I\left(\frac a2, \frac b2\right)$ . Entonces

OI^2 = \frac{a^2}{4} + \frac{b^2}{4}, \qquad IA^2 = \left(a - \frac a2\right)^2 + \left(0 - \frac b2\right)^2 = \frac{a^2}{4} + \frac{b^2}{4},

y también $IB^2 = \left(0 - \frac a2\right)^2 + \left(b - \frac b2\right)^2 = \frac{a^2}{4} + \frac{b^2}{4}$ . Los tres cuadrados de las distancias coinciden, luego $OI = IA = IB$ : el punto medio de la hipotenusa del triángulo rectángulo $OAB$ equidista de los tres vértices (es el centro de su circunferencia circunscrita).

5.6 Problema: El puente de Descartes — ecuaciones de circunferencias y cómo saber dónde estás

Problema 5.1

Problema de fin de semana — la circunferencia se convierte en una ecuación, los viejos teoremas en cálculos y tres balizas localizan un punto: trilateración por álgebra

En 1637, René Descartes tendió un puente entre dos continentes: toda curva de la geometría pasó a ser una ecuación y toda cuestión geométrica, un cálculo. Este problema recorre el puente en los dos sentidos: deduce la ecuación de la circunferencia a partir de la fórmula de la distancia (Teorema 5.4), vuelve a demostrar teoremas clásicos en tres líneas de álgebra y termina donde el puente soporta hoy más tráfico: calcular una posición a partir de señales de distancia, el corazón, en versión plana, del GPS.

Parte I — La circunferencia recibe una ecuación.

Un punto $M(x, y)$ está en la circunferencia de centro $\Omega(2, 1)$ y radio $5$ exactamente cuando $\Omega M = 5$ . Eleva al cuadrado esa condición para obtener la ecuación de la circunferencia:

$(x - 2)^2 + (y - 1)^2 = 25 .$
Comprueba la pertenencia: ¿cuáles de los puntos $A(5, 5)$ , $B(6, 4)$ , $D(4, 4)$ están sobre la circunferencia, cuáles dentro y cuáles fuera?
Una circunferencia disfrazada: completa los cuadrados (Problema 2.1) en

$x^2 + y^2 - 6x + 4y - 12 = 0$

y da su centro y su radio.
Haz lo mismo con $x^2 + y^2 - 6x + 4y + 14 = 0$ . ¿Qué revela la forma completada? Enuncia el criterio: ¿cuándo describe $(x - h)^2 + (y - k)^2 = c$ una circunferencia, cuándo un único punto y cuándo nada en absoluto?
Corta la circunferencia de la pregunta 3 con la recta horizontal $y = 3$ : sustituye y resuelve. ¿Cuántos puntos salen y qué nombre geométrico recibe una recta así?

Parte II — Viejos teoremas en tres líneas.

El teorema de la circunferencia del volumen anterior (un ángulo recto en toda semicircunferencia), demostrado de nuevo por álgebra: sean $A(-r, 0)$ y $B(r, 0)$ los extremos de un diámetro y $M(x, y)$ un punto cualquiera de la circunferencia $x^2 + y^2 = r^2$ . Calcula $MA^2 + MB^2$ y concluye con el recíproco de Pitágoras que $\widehat{AMB}$ es recto.
El teorema de la mediana: con $A(-a, 0)$ y $B(a, 0)$ (de modo que el punto medio de $[AB]$ es el origen $I$ ), demuestra que para todo punto $M(x, y)$ :

$MA^2 + MB^2 = 2\,MI^2 + \frac{AB^2}{2} .$
Deduce el lugar geométrico de los puntos $M$ con $MA^2 + MB^2 = 26$ cuando $AB = 6$ : ¿qué curva, con qué centro y qué radio?
Otro lugar geométrico: $A(0,0)$ , $B(3,0)$ ; halla todos los puntos con $MA = 2\,MB$ . (Eleva al cuadrado, desarrolla, completa los cuadrados: aparece una circunferencia famosa, que Apolonio ya conocía sin coordenadas.)
En una o dos frases: ¿qué cambia el puente de Descartes en la manera de demostrar teoremas? Compara la pregunta 6 con la demostración mediante un rectángulo del teorema de la circunferencia del volumen anterior (un ángulo recto en toda semicircunferencia).

Parte III — Tres balizas te encuentran. Tu posición $M(x, y)$ es desconocida. La baliza $P(0, 0)$ mide tu distancia y obtiene $5$ ; la baliza $Q(6, 0)$ obtiene también $5$ .

Escribe las dos ecuaciones de circunferencia, réstalas y observa cómo se cancelan los cuadrados: ¿qué ecuación sencilla sobrevive? Combínala con una de las circunferencias para hallar las dos posiciones candidatas.
Una tercera baliza, $R(0, 8)$ , mide tu distancia y obtiene $5$ . Calcula su distancia a cada candidata y decide dónde estás.
Explica por qué restar dos ecuaciones de circunferencia da siempre la ecuación de una recta (¿qué términos se cancelan?) y qué recta es esa, geométricamente, cuando las dos circunferencias se cortan en dos puntos.
El posicionamiento por satélite real funciona en el espacio y con relojes imperfectos: cada satélite aporta (a través del tiempo de viaje de la señal) una distancia y, por tanto, una esfera. ¿Cuántas incógnitas tiene un receptor (la posición y el error de su propio reloj) y por qué el GPS escucha entonces al menos a cuatro satélites?
Precisión: supón que la distancia de la baliza $P$ es realmente $5.1$ en lugar de $5$ (todo lo demás igual). Rehaz la resta de la pregunta 11 para hallar el nuevo $x$ y cuantifica cuánto se ha desplazado la estimación. (Compara con las ideas sobre el presupuesto de errores del Problema 1.1.)

Parte IV — La caja de herramientas del topógrafo.

El camino más corto para ir a beber: un campamento en $A(1, 5)$ , un establo en $B(7, 3)$ y un río recto a lo largo del eje $y = 0$ . Para ir de $A$ al río y después a $B$ andando lo menos posible: refleja $B$ respecto del río en $B'$ y halla dónde corta el segmento $[AB']$ al río. Da el punto de corte y la longitud total mínima. (La idea es la del ejercicio del rebote de billar del volumen anterior, ahora totalmente calculable.)
Confirma que es mínima frente a una rival: calcula el camino total pasando por $Q(3, 0)$ y comprueba que pierde frente a tu respuesta.
Clasifica por completo el cuadrilátero $A(1,1)$ , $B(4,2)$ , $C(5,5)$ , $D(2,4)$ : ¿paralelogramo?, ¿rombo?, ¿rectángulo?, ¿cuadrado? (Método 5.9, Método 5.7; compara también las diagonales.)
Dados $A(-1, 2)$ , $B(3, 4)$ , $C(6, 0)$ , halla $D$ tal que $ABCD$ sea un paralelogramo (el truco del punto medio de las diagonales del problema de fin de semana del volumen anterior sobre los medios giros, ahora en fórmulas).
Final: tres herramientas, la fórmula del punto medio, la de la distancia y la resta de ecuaciones de circunferencia. Di, para cada una, qué tipo de pregunta ha resuelto en este problema y qué añaden a la caja los dos capítulos siguientes (direcciones y pendientes: los vectores y las ecuaciones de rectas).

Solución

Solución de Problema 5.1.

1. $\Omega M = 5 \iff \Omega M^2 = 25 \iff (x - 2)^2 + (y - 1)^2 = 25$ por la fórmula de la distancia (Teorema 5.4); elevar al cuadrado es inofensivo, porque los dos miembros son positivos.

2. $A$ : $(5-2)^2 + (5-1)^2 = 9 + 16 = 25$ : está sobre la circunferencia. $B$ : $16 + 9 = 25$ : también. $D$ : $4 + 9 = 13 < 25$ : está dentro.

3. $x^2 - 6x = (x - 3)^2 - 9$ y $y^2 + 4y = (y + 2)^2 - 4$ , así que la ecuación queda $(x - 3)^2 + (y + 2)^2 = 25$ : centro $(3, -2)$ , radio $5$ .

4. $(x - 3)^2 + (y + 2)^2 = -1$ : una suma de cuadrados nunca es negativa, así que ningún punto la cumple: el conjunto vacío. En general, $(x - h)^2 + (y - k)^2 = c$ es una circunferencia de radio $\sqrt c$ si $c > 0$ , el único punto $(h, k)$ si $c = 0$ y el vacío si $c < 0$ .

5. Con $y = 3$ : $(x - 3)^2 + 25 = 25$ , luego $(x - 3)^2 = 0$ : el único punto $(3, 3)$ . Un solo punto de contacto: la recta es tangente a la circunferencia.

6. $MA^2 + MB^2 = (x + r)^2 + y^2 + (x - r)^2 + y^2 = 2x^2 + 2y^2 + 2r^2 = 2r^2 + 2r^2 = 4r^2$ (usando $x^2 + y^2 = r^2$ ). Como $AB^2 = (2r)^2 = 4r^2$ , el triángulo $AMB$ cumple $MA^2 + MB^2 = AB^2$ : es rectángulo en $M$ (recíproco de Pitágoras); tres líneas, tal como se prometía.

7. $MA^2 + MB^2 = (x + a)^2 + y^2 + (x - a)^2 + y^2 = 2x^2 + 2y^2 + 2a^2 = 2\,MI^2 + 2a^2$ , y $\frac{AB^2}{2} = \frac{(2a)^2}{2} = 2a^2$ . Identidad demostrada.

8. $2\,MI^2 + \frac{36}{2} = 26$ da $MI^2 = 4$ : la circunferencia de centro el punto medio $I$ y radio $2$ .

9. $MA^2 = 4\,MB^2$ : $x^2 + y^2 = 4\left((x - 3)^2 + y^2\right)$ , es decir, $3x^2 + 3y^2 - 24x + 36 = 0$ , o bien $x^2 + y^2 - 8x + 12 = 0$ ; completando cuadrados, $(x - 4)^2 + y^2 = 4$ : la circunferencia de centro $(4, 0)$ y radio $2$ (la circunferencia de Apolonio de razón $2$ ).

10. El puente convierte las construcciones en cálculos: sin rectángulo auxiliar y sin distinción de casos, un desarrollo y el teorema cae solo. El precio: los cálculos llevan menos intuición geométrica; la demostración clásica muestra el porqué y la algebraica, el que. Un matemático en activo conserva las dos.

11. $x^2 + y^2 = 25$ y $(x - 6)^2 + y^2 = 25$ . Restando: $x^2 - (x - 6)^2 = 0$ , es decir, $12x - 36 = 0$ : $x = 3$ . Después $9 + y^2 = 25$ : $y = \pm 4$ . Candidatas: $(3, 4)$ y $(3, -4)$ .

12. De $(3, 4)$ a $R(0, 8)$ : $\sqrt{9 + 16} = 5$ : encaja. De $(3, -4)$ : $\sqrt{9 + 144} \approx 12.4$ : no encaja. Estás en $(3, 4)$ .

13. Las dos ecuaciones llevan el mismo $x^2 + y^2$ (o con coeficientes iguales tras desarrollar): al restar se cancelan los cuadrados y queda una ecuación de primer grado, o sea, una recta. Cuando las circunferencias se cortan dos veces, esa recta pasa por los dos puntos de corte: es la recta de la cuerda común.

14. Cuatro incógnitas: las tres coordenadas más el error del reloj del receptor (un reloj barato, corregido por las matemáticas). Cada satélite aporta una ecuación, así que cuatro satélites dan cuatro ecuaciones para cuatro incógnitas; más satélites mejoran la precisión.

15. La resta da ahora $x = \frac{5.1^2 - 5^2 + 36}{12} = \frac{37.01}{12} \approx 3.084$ : un error de $10$ cm en una distancia ha desplazado la estimación unos $8$ cm. Los errores se propagan por todas las fórmulas: la prudencia de la aritmética de intervalos del Problema 1.1, ahora con coordenadas.

16. $B'(7, -3)$ . La recta $(AB')$ tiene pendiente $\frac{-3 - 5}{7 - 1} = -\frac43$ y corta a $y = 0$ en $x = 1 + \frac{5}{8} \times 6 = 4.75$ : hay que beber en $P(4.75,\ 0)$ . Longitud mínima: $AP + PB = AP + PB' = AB' = \sqrt{6^2 + 8^2} = 10$ .

17. Pasando por $Q(3, 0)$ : $AQ + QB = \sqrt{4 + 25} + \sqrt{16 + 9} = \sqrt{29} + 5 \approx 10.39 > 10$ . Gana la línea recta reflejada.

18. Puntos medios de las diagonales: $[AC]$ : $(3, 3)$ ; $[BD]$ : $(3, 3)$ ; iguales: paralelogramo. Lados: $AB = \sqrt{10} = AD$ : rombo. Diagonales: $AC = \sqrt{32} \neq BD = \sqrt{8}$ : no es un rectángulo y, por tanto, tampoco un cuadrado. Veredicto: un rombo, y nada más.

19. $D = A + C - B = (-1 + 6 - 3,\ 2 + 0 - 4) = (2, -2)$ : entonces $[AC]$ y $[BD]$ comparten el punto medio $\left(\frac52, 1\right)$ .

20. Fórmula del punto medio: paralelogramos y centros (preguntas 18 y 19). Fórmula de la distancia: circunferencias, lugares geométricos, naturaleza de triángulos, caminos más cortos (preguntas 1 a 9 y 16). Resta de ecuaciones de circunferencia: la recta que localiza una posición (preguntas 11 a 15). Lo que falta en la caja: un álgebra limpia de las direcciones (los vectores) y de las pendientes (las ecuaciones de rectas y los sistemas); los dos capítulos siguientes proporcionan exactamente eso.