Matemáticas de secundaria · Grades 10–12

1Números y conjuntos de números

Las matemáticas empiezan con los números, y no todos los números son del mismo tipo: números para contar, números negativos, fracciones, y números como $\sqrt 2$ o $\pi$ que ninguna fracción puede expresar. Este capítulo los organiza en familias encajadas, introduce los intervalos para describir porciones de la recta numérica, y usa el valor absoluto para medir distancias entre números.

1.1 Las familias de números

Definición 1.1 (Conjuntos de números)

$\N$ es el conjunto de los números naturales: $0, 1, 2, 3, \dots$
$\Z$ es el conjunto de los enteros: $\dots, -2, -1, 0, 1, 2, \dots$
$\Q$ es el conjunto de los números racionales: todos los cocientes $\frac{p}{q}$ con $p \in \Z$ , $q \in \N$ y $q \neq 0$ .
$\R$ es el conjunto de los números reales: todos los números que se pueden colocar en la recta numérica.

Notación 1.2

El símbolo $\in$ se lee «pertenece a»: $3 \in \N$ , $-5 \in \Z$ , $\frac23 \in \Q$ . El símbolo $\subset$ se lee «está incluido en»: todo número natural es un entero, todo entero es un número racional (p. ej. $-5 = \frac{-5}{1}$ ), y todo número racional es real, de modo que

\N \subset \Z \subset \Q \subset \R .

Una barra niega un símbolo: $\frac12 \notin \Z$ .

Las familias encajadas de números: ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ. Cada anillo contiene números que no pertenecen a los más pequeños. — Las familias encajadas de números: $\N \subset \Z \subset \Q \subset \R$ . Cada anillo contiene números que no pertenecen a los más pequeños.

Ejemplo 1.3

Coloquemos algunos números en la familia más pequeña que los contiene.

$\frac{28}{4} = 7$ , así que $\frac{28}{4} \in \N$ aunque se escriba como fracción: siempre simplificar primero.
$-3.5 = -\frac{35}{10} = -\frac72$ es racional pero no entero.
$0.333\dots$ (el dígito $3$ que se repite indefinidamente) vale $\frac13$ , un número racional.
$\sqrt 2$ y $\pi$ son reales pero no racionales, como vamos a ver para $\sqrt 2$ ; tales números se llaman irracionales.

Teorema 1.4 (Irracionalidad de $\sqrt 2$ )

El número $\sqrt 2$ no es racional: ninguna fracción de enteros tiene cuadrado $2$ .

Demostración. Razonamos por reducción al absurdo, en pasos pequeños.

Supongamos $\sqrt 2 = \frac{p}{q}$ donde $p$ y $q$ son enteros positivos, y la fracción está simplificada, de modo que $p$ y $q$ no son ambos pares.
Elevando al cuadrado: $2 = \frac{p^2}{q^2}$ , es decir $p^2 = 2q^2$ . Así $p^2$ es par.
Si $p$ fuera impar, digamos $p = 2k+1$ , entonces $p^2 = 4k^2 + 4k + 1$ sería impar. Como $p^2$ es par, $p$ debe ser par: $p = 2k$ para algún entero $k$ .
Sustituyendo: $(2k)^2 = 2q^2$ , luego $4k^2 = 2q^2$ , luego $q^2 = 2k^2$ . Por el mismo argumento del paso 3, $q$ es par.
Ahora $p$ y $q$ son ambos pares, lo que contradice el paso 1. La hipótesis era imposible: $\sqrt 2$ es irracional.

∎

Observación 1.5

Los números racionales son exactamente los números cuya expansión decimal o bien termina (como $\frac72 = 3.5$ ) o bien acaba repitiendo el mismo bloque para siempre (como $\frac13 = 0.333\dots$ o $\frac{1}{7} = 0.142857\,142857\dots$ ). Los números irracionales como $\sqrt2 = 1.41421356\dots$ tienen cifras decimales que nunca caen en un patrón repetitivo. Admitimos esta caracterización a este nivel.

1.2 La recta numérica y los intervalos

Los números reales llenan una recta: eligiendo un origen $0$ y una unidad de longitud, cada número real corresponde a exactamente un punto.

Definición 1.6 (Intervalo)

Sean $a$ y $b$ números reales con $a < b$ . Un intervalo es el conjunto de todos los números reales entre dos cotas. Un corchete significa que la cota está incluida; un paréntesis, que está excluida:

notación	descripción
$\intcc{a}{b}$	$a \leq x \leq b$ (ambos extremos incluidos)
$\intoo{a}{b}$	$a < x < b$ (ambos extremos excluidos)
$\intco{a}{b}$	$a \leq x < b$
$\intoc{a}{b}$	$a < x \leq b$
$\intco{a}{+\infty}$	$x \geq a$
$\intoo{-\infty}{b}$	$x < b$

Los símbolos $-\infty$ y $+\infty$ («infinito») no son números, solo una forma de decir que el intervalo continúa para siempre; el delimitador junto a ellos es siempre un paréntesis. Toda la recta $\R$ es el intervalo $\intoo{-\infty}{+\infty}$ .

Intervalos en la recta numérica: un punto lleno para una cota incluida, un punto hueco para una excluida.

Definición 1.7 (Intersección y unión)

Sean $I$ y $J$ dos conjuntos de números reales. La intersección $I \cap J$ (« $I$ y $J$ ») es el conjunto de números que pertenecen a ambos; la unión $I \cup J$ (« $I$ o $J$ ») es el conjunto de números que pertenecen al menos a uno de ellos.

Ejemplo 1.8

Tómese $I = \intcc{-1}{3}$ y $J = \intoo{1}{5}$ . Dibújense ambos en la misma recta: se solapan entre $1$ y $3$ . Por tanto

I \cap J = \intoc{1}{3}, \qquad I \cup J = \intco{-1}{5}.

Nótese los delimitadores: $1 \notin J$ así que $1 \notin I \cap J$ , pero $3 \in I$ y $3 \in J$ , así que $3 \in I \cap J$ .

Método 1.9 (Trabajar con intervalos)

Para hallar la intersección o la unión de dos intervalos:

dibujar la recta numérica y marcar las cuatro cotas;
sombrear el primer intervalo por encima de la recta y el segundo por debajo;
la intersección es donde se solapan los sombreados, la unión donde hay al menos un sombreado;
decidir cada delimitador comprobando si la cota pertenece a ambos conjuntos (intersección) o al menos a uno (unión).

1.3 Valor absoluto y distancia

Definición 1.10 (Valor absoluto)

El valor absoluto de un número real $x$ es

\abs{x} = \begin{cases} x & \text{si } x \geq 0, \\ -x & \text{si } x < 0. \end{cases}

Por ejemplo $\abs{7} = 7$ y $\abs{-4} = 4$ . En todos los casos $\abs{x} \geq 0$ .

Proposición 1.11 (Distancia en la recta)

Para todos los números reales $a$ y $b$ , la distancia entre los puntos $a$ y $b$ en la recta numérica es $\abs{b - a}$ . En particular $\abs{x}$ es la distancia de $x$ a $0$ .

Demostración. Si $b \geq a$ , la distancia de $a$ a $b$ es $b - a \geq 0$ , que coincide con $\abs{b-a}$ . Si $b < a$ , la distancia es $a - b = -(b - a) > 0$ , que de nuevo es $\abs{b - a}$ por la definición del valor absoluto. ∎

Proposición 1.12 (Valor absoluto e intervalos)

Sea $a$ un número real y $r > 0$ . Entonces

\abs{x - a} \leq r \quad\text{si y solo si}\quad x \in \intcc{a - r}{a + r}.

Demostración. $\abs{x-a} \leq r$ dice que la distancia de $x$ a $a$ es a lo sumo $r$ , es decir que $x$ no se aleja más de $r$ de $a$ a cada lado. Los números que lo cumplen son exactamente los que están entre $a - r$ y $a + r$ , cotas incluidas. ∎

La desigualdad |x - a| ≤ r describe el intervalo de los números a distancia a lo sumo r de a. — La desigualdad $\abs{x - a} \leq r$ describe el intervalo de los números a distancia a lo sumo $r$ de $a$ .

Ejemplo 1.13

Resolver $\abs{x - 3} \leq 2$ . Las soluciones son los números a distancia a lo sumo $2$ de $3$ : el intervalo $\intcc{1}{5}$ . Recíprocamente, el intervalo $\intcc{-1}{7}$ tiene centro $\frac{-1+7}{2} = 3$ y radio $\frac{7-(-1)}{2} = 4$ , así que se describe por $\abs{x - 3} \leq 4$ .

1.4 Aproximaciones

Los números irracionales, e incluso la mayoría de las fracciones, no se pueden escribir exactamente con un número finito de cifras decimales, así que en la práctica los aproximamos.

Definición 1.14 (Aproximación con una precisión dada)

Un número $d$ es una aproximación de $x$ con error a lo sumo $10^{-n}$ cuando $\abs{x - d} \leq 10^{-n}$ . Truncar o redondear la expansión decimal tras la $n$ -ésima cifra dan ambas tales aproximaciones.

Ejemplo 1.15

De $\pi = 3.14159\,26\dots$ : el truncamiento $3.141$ y el redondeo $3.142$ son ambas aproximaciones de $\pi$ con error a lo sumo $10^{-3}$ . El redondeo está a distancia menor que $\frac12 \times 10^{-3}$ ; el truncamiento solo garantiza $10^{-3}$ . Escribir $3.141 \leq \pi \leq 3.142$ encuadra $\pi$ entre dos cotas decimales.

1.5 Ejercicios

Ejercicio 1.1 ★

Para cada número, indique el más pequeño de los conjuntos $\N$ , $\Z$ , $\Q$ , $\R$ al que pertenece:

\frac{15}{3}, \qquad -7, \qquad \frac{22}{7}, \qquad \sqrt{9}, \qquad \sqrt{10}, \qquad -2.4, \qquad 0 .

Solución

Solución de Ejercicio 1.1.

$\frac{15}{3} = 5 \in \N$ . $-7 \in \Z$ . $\frac{22}{7} \in \Q$ (no es un entero: $22 = 7 \times 3 + 1$ ). $\sqrt 9 = 3 \in \N$ . $\sqrt{10} \in \R$ (irracional, pues $10$ no es el cuadrado de un racional — admitido aquí, en el espíritu del Teorema 1.4). $-2.4 = -\frac{24}{10} \in \Q$ . $0 \in \N$ .

Ejercicio 1.2 ★

Escriba cada afirmación con notación de intervalo y dibújela en una recta numérica: (a) $-2 \leq x < 5$ ; (b) $x > 3$ ; (c) $x \leq -1$ ; (d) la distancia de $x$ a $2$ es a lo sumo $3$ .

Solución

Solución de Ejercicio 1.2.

(a) $\intco{-2}{5}$ : punto lleno en $-2$ , punto hueco en $5$ . (b) $\intoo{3}{+\infty}$ : punto hueco en $3$ , sombreado hacia la derecha. (c) $\intoc{-\infty}{-1}$ : sombreado desde la izquierda hasta un punto lleno en $-1$ . (d) «distancia de $x$ a $2$ a lo sumo $3$ » significa $\abs{x - 2} \leq 3$ , es decir $x \in \intcc{-1}{5}$ : puntos llenos en $-1$ y $5$ .

Ejercicio 1.3 ★

Calcule $I \cap J$ e $I \cup J$ para

\text{(a) } I = \intcc{-3}{2},\ J = \intco{0}{4}; \qquad \text{(b) } I = \intoo{-\infty}{1},\ J = \intco{-2}{+\infty}.

Solución

Solución de Ejercicio 1.3.

(a) Los dos intervalos se solapan entre $0$ y $2$ : $I \cap J = \intcc{0}{2}$ ( $0 \in J$ y $2 \in I$ , y ambos pertenecen también al otro conjunto), e $I \cup J = \intco{-3}{4}$ .

(b) $I \cap J$ es el conjunto de $x$ con $-2 \leq x$ y $x < 1$ : $\intco{-2}{1}$ . La unión cubre todo: $I \cup J = \R$ .

Ejercicio 1.4 ★

Calcule sin calculadora:

\abs{-6}, \qquad \abs{4 - 9}, \qquad \abs{-3 - 5}, \qquad \abs{\sqrt 2 - 1}, \qquad \abs{1 - \sqrt 2}.

Solución

Solución de Ejercicio 1.4.

$\abs{-6} = 6$ ; $\abs{4 - 9} = \abs{-5} = 5$ ; $\abs{-3 - 5} = \abs{-8} = 8$ ; $\sqrt 2 > 1$ así que $\abs{\sqrt2 - 1} = \sqrt2 - 1$ ; $1 - \sqrt2 < 0$ así que $\abs{1 - \sqrt2} = \sqrt2 - 1$ también (un número y su opuesto tienen el mismo valor absoluto).

Ejercicio 1.5 ★

Resuelva las ecuaciones y desigualdades y dé los conjuntos solución:

\abs{x} = 5, \qquad \abs{x - 1} = 3, \qquad \abs{x - 4} \leq 1, \qquad \abs{x + 2} < 3 .

(Nótese que $\abs{x+2} = \abs{x - (-2)}$ es una distancia a $-2$ .)

Solución

Solución de Ejercicio 1.5.

$\abs{x} = 5$ : distancia $5$ a $0$ , luego $x = 5$ o $x = -5$ .

$\abs{x - 1} = 3$ : distancia $3$ a $1$ , luego $x = 4$ o $x = -2$ .

$\abs{x - 4} \leq 1$ : distancia a lo sumo $1$ a $4$ , luego $x \in \intcc{3}{5}$ .

$\abs{x + 2} < 3$ : distancia estrictamente menor que $3$ a $-2$ , luego $x \in \intoo{-5}{1}$ .

Ejercicio 1.6 ★★

Describa cada intervalo mediante una desigualdad de la forma $\abs{x - a} \leq r$ o $\abs{x - a} < r$ :

\intcc{2}{8}, \qquad \intoo{-5}{1}, \qquad \intcc{-7}{-3}.

Solución

Solución de Ejercicio 1.6.

Cada intervalo se describe por su centro $a$ (punto medio de las cotas) y radio $r$ (mitad de la longitud).

$\intcc{2}{8}$ : $a = 5$ , $r = 3$ , luego $\abs{x - 5} \leq 3$ .

$\intoo{-5}{1}$ : $a = -2$ , $r = 3$ , cotas abiertas, luego $\abs{x + 2} < 3$ .

$\intcc{-7}{-3}$ : $a = -5$ , $r = 2$ , luego $\abs{x + 5} \leq 2$ .

Ejercicio 1.7 ★★

Muestre que $0.272727\dots$ (el bloque $27$ que se repite siempre) es racional. (Sugerencia: llámelo $x$ y calcule $100x - x$ .)

Solución

Solución de Ejercicio 1.7.

Sea $x = 0.272727\dots$ Entonces $100x = 27.2727\dots$ , y al restar:

100x - x = 27.2727\dots - 0.2727\dots = 27,

luego $99x = 27$ y $x = \frac{27}{99} = \frac{3}{11}$ , un cociente de enteros: $x$ es racional.

Ejercicio 1.8 ★★

¿Verdadero o falso? Justifique cada respuesta con un argumento o un contraejemplo.

La suma de dos enteros es un entero.
El cociente de dos enteros es un entero.
La suma de dos números racionales es racional.
La suma de un número racional y un número irracional es irracional.

Solución

Solución de Ejercicio 1.8.

1. Verdadero: sumar enteros (números enteros positivos o negativos) siempre produce un entero.

2. Falso: $\frac{1}{2}$ es un cociente de los enteros $1$ y $2$ y no es un entero.

3. Verdadero: $\frac pq + \frac{p'}{q'} = \frac{pq' + p'q}{qq'}$ es de nuevo un cociente de enteros (con denominador no nulo).

4. Verdadero: supóngase $r$ racional, $t$ irracional, y $r + t = s$ racional. Entonces $t = s - r$ sería diferencia de dos racionales, luego racional (por 3, con $-r$ ) — contradicción. Así $r + t$ es irracional.

Ejercicio 1.9 ★★

Usando $1.414 \leq \sqrt 2 \leq 1.415$ , encuadre los números $2\sqrt2$ , $\sqrt2 + 3$ y $-\sqrt2$ entre dos cotas decimales.

Solución

Solución de Ejercicio 1.9.

Multiplicando $1.414 \leq \sqrt2 \leq 1.415$ por $2 > 0$ : $2.828 \leq 2\sqrt2 \leq 2.830$ .

Sumando $3$ : $4.414 \leq \sqrt2 + 3 \leq 4.415$ .

Multiplicando por $-1 < 0$ se invierten las desigualdades: $-1.415 \leq -\sqrt2 \leq -1.414$ .

Ejercicio 1.10 ★★★

Adapte la demostración del Teorema 1.4 para mostrar que $\sqrt 3$ es irracional. (Sustituya «par» por «múltiplo de $3$ »: compruebe primero que si $p^2$ es múltiplo de $3$ , también lo es $p$ , examinando los restos $0$ , $1$ , $2$ de $p$ al dividir por $3$ .)

Solución

Solución de Ejercicio 1.10.

Primero el hecho auxiliar. Divida $p$ por $3$ : el resto es $0$ , $1$ o $2$ , es decir $p = 3k$ , $p = 3k+1$ o $p = 3k+2$ . Elevando al cuadrado:

(3k)^2 = 3(3k^2), \quad (3k+1)^2 = 3(3k^2 + 2k) + 1, \quad (3k+2)^2 = 3(3k^2 + 4k + 1) + 1 .

Solo el primero es múltiplo de $3$ : si $p^2$ es múltiplo de $3$ , también lo es $p$ .

Supóngase ahora $\sqrt3 = \frac pq$ en forma simplificada. Elevando al cuadrado: $p^2 = 3q^2$ , así $p^2$ es múltiplo de $3$ , luego $p = 3k$ . Entonces $9k^2 = 3q^2$ , luego $q^2 = 3k^2$ y $q$ también es múltiplo de $3$ — pero entonces la fracción $\frac pq$ no estaba simplificada: contradicción. Así $\sqrt3$ es irracional.

1.6 Problema: Entre cualesquiera dos números

Problema 1.1

Problema de fin de semana — racionales e irracionales se entrelazan: todo intervalo, por pequeño que sea, contiene infinitos de cada uno, y ninguna medición puede distinguirlos

Los racionales parecen una multitud (¡todas las fracciones!) y los irracionales excepciones exóticas ( $\sqrt2$ , $\pi$ ). Este problema revela el verdadero cuadro: las dos familias se entrelazan tan finamente que todo intervalo de la recta numérica, por microscópico que sea, contiene infinitos de cada una — con consecuencias extrañas, como esta: ninguna medición física, por precisa que sea, puede decidir si una longitud es racional.

Parte I — Los cuatro reinos.

Para cada número, nombre el más pequeño de los conjuntos $\N$ , $\Z$ , $\Q$ , $\R$ que lo contiene (Definición 1.1): $-7$ ; $\frac{13}{4}$ ; $\sqrt{16}$ ; $0.121212\ldots$ (recuerde el problema de fin de semana de los decimales periódicos del volumen de Primaria–Secundaria); $\sqrt8$ ; $\pi$ (admita su irracionalidad — demostrada solo en los volúmenes universitarios).
Pruebe que $\Q$ es estable por suma y multiplicación: si $x = \frac pq$ e $y = \frac rs$ son racionales, escriba $x + y$ y $xy$ como fracciones únicas.
Deduzca por reducción al absurdo: (a) la suma de un racional y un irracional es irracional; (b) el producto de un racional no nulo y un irracional es irracional.
Muestre que el conjunto de los irracionales no es estable por ninguna de las dos operaciones: exhiba dos irracionales cuya suma es racional, y dos cuyo producto es racional.
Sitúe $\sqrt2 + \sqrt8$ y $\sqrt2 \times \sqrt8$ en los cuatro reinos (simplifique $\sqrt8$ primero, con el método del volumen de Primaria–Secundaria).

Parte II — Los racionales son densos.

Encuentre un racional estrictamente entre $3.47$ y $3.48$ ; luego un segundo; luego describa cómo producir tantos como se desee (el zoom del problema de «no hay siguiente número» del volumen de Primaria–Secundaria, ahora con una prueba a la vista).
El teorema general. Sean $a < b$ dos reales cualesquiera, con hueco $g = b - a > 0$ . Elija $n$ con $10^{-n} < g$ , y considere los múltiplos de $10^{-n}$ (la malla decimal de paso $10^{-n}$ ). Explique por qué al menos un punto de la malla cae estrictamente entre $a$ y $b$ , y concluya: todo intervalo de longitud positiva contiene un número racional.
Mejore la conclusión: todo tal intervalo contiene infinitos racionales. (Aplique de nuevo la pregunta 7 dentro de un intervalo más pequeño.)
Ahora los irracionales: dados $a < b$ , tome un racional $r$ estrictamente interior (pregunta 7) y considere los números $r + \frac{\sqrt2}{10^k}$ . Usando la pregunta 3, muestre que son irracionales, y que para $k$ bastante grande siguen en el intervalo: todo intervalo contiene también infinitos irracionales.
Dos acertijos clásicos resueltos: ¿hay un número real positivo mínimo? ¿Un número real «justo después de $3$ »? Responda ambos con el teorema de la pregunta 7, y salude la versión infantil (el problema de fin de semana «no hay siguiente número» del volumen de Primaria–Secundaria).

Parte III — El valor absoluto, la geometría de $\R$ .

Resuelva, y exprese las soluciones como intervalos o uniones (Proposición 1.12): $\abs{x - 5} = 2$ ; $\abs{x - 5} < 2$ ; $\abs{x + 1} \geq 3$ .
Un pistón debe fabricarse a $80$ mm con una tolerancia de $0.05$ mm. Escriba el requisito con un valor absoluto, luego como un intervalo. Dos pistones miden $79.97$ y $80.06$ mm: ¿veredictos?
La desigualdad triangular en la recta: $\abs{a + b} \leq \abs a + \abs b$ . Compruébela en $(a, b) = (3, -5)$ y $(-2, -7)$ , demuéstrela cuando $a$ y $b$ tienen el mismo signo y cuando tienen signos opuestos, y diga exactamente cuándo hay igualdad.
Resuelva $\abs{x - 2} = \abs{x + 4}$ leyéndola como igualdad de distancias en la recta. ¿Qué punto del problema de los dos espejos del volumen de Primaria–Secundaria acaba de calcular, una dimensión abajo?
Simplifique $\sqrt{x^2}$ — con cuidado. Pruebe su fórmula en $x = 3$ y $x = -3$ , luego úsela para resolver $x^2 < 9$ con un valor absoluto.

Parte IV — Lo que ninguna medición puede decidir.

Un físico mide una varilla: $1.41421 \pm 0.00001$ m. ¿Puede alguna medición — esta o una futura más precisa — demostrar alguna vez que la longitud es irracional? ¿O que es racional? Use las preguntas 7 y 9 en el intervalo de tolerancia, y explique por qué solo una demostración (como para la diagonal, el problema de irracionalidad del volumen de Primaria–Secundaria) puede zanjear la irracionalidad.
Los truncamientos $1.4$ , $1.41$ , $1.414$ , $1.4142,\dots$ de $\sqrt2$ son todos racionales. ¿Qué muestran sobre lo cerca que $\Q$ se aprieta contra cada irracional? Formule el hecho general.
Aritmética de intervalos: valores medidos $a = 2.5 \pm 0.1$ y $b = 1.2 \pm 0.1$ . Encuadre $a + b$ y $a \times b$ entre cotas ciertas. ¿Qué operación degrada más la precisión?
Una regla de ingeniero dice que los errores de mediciones independientes «se suman» en las sumas: exprese con la desigualdad triangular (pregunta 13) por qué el error de $a + b$ es a lo sumo la suma de los errores — la desigualdad es la regla de ingeniería.
Final, en un párrafo breve: reúna el cuadro de la recta real establecido por este problema y sus antepasados — no hay siguiente número (problema del volumen de Primaria–Secundaria), racionales $=$ decimales periódicos (idem), ambas familias densas (preguntas 8 y 9), medición siempre indecisa (pregunta 16). Termine con el anticipo que este capítulo aún no puede demostrar: en un sentido preciso hay vastamente más irracionales que racionales — los volúmenes universitarios cuentan los infinitos.

Solución

Solución de Problema 1.1.

1. $-7 \in \Z$ ; $\frac{13}{4} \in \Q$ ; $\sqrt{16} = 4 \in \N$ ; $0.121212\ldots = \frac{12}{99} = \frac{4}{33} \in \Q$ (problema de fin de semana de los decimales periódicos del volumen de Primaria–Secundaria); $\sqrt8 = 2\sqrt2$ es irracional: conjunto más pequeño $\R$ ; $\pi$ : $\R$ .

2. $\frac pq + \frac rs = \frac{ps + qr}{qs}$ y $\frac pq \times \frac rs = \frac{pr}{qs}$ : cocientes de enteros con denominadores no nulos — racionales.

3. (a) Si $r$ es racional, $x$ irracional y $r + x = q$ fuera racional, entonces $x = q - r$ sería diferencia de racionales, luego racional (pregunta 2): contradicción. (b) Si $r \neq 0$ y $r x = q$ racional, entonces $x = \frac qr$ es racional: contradicción.

4. $\sqrt2$ y $-\sqrt2$ son irracionales con suma $0$ ; $\sqrt2$ y $\sqrt2$ tienen producto $2$ . Resultados racionales a partir de ingredientes irracionales: los irracionales no forman un reino estable.

5. $\sqrt8 = 2\sqrt2$ , luego $\sqrt2 + \sqrt8 = 3\sqrt2$ : irracional (pregunta 3b, multiplicador $3$ ). Y $\sqrt2 \times \sqrt8 = \sqrt{16} = 4 \in \N$ : el producto de dos irracionales cae en el reino más pequeño de todos.

6. $3.475$ , luego $3.471$ (o $3.4701$ , $3.47001$ , …): añadir cifras decimales produce racionales frescos entre los dos para siempre.

7. Los múltiplos de $10^{-n}$ marchan por la recta en pasos de $10^{-n} < g$ . El primer múltiplo estrictamente mayor que $a$ — existe, pues los múltiplos acaban superando $a$ — está a lo sumo un paso más allá de $a$ , luego antes de $a + g = b$ : estrictamente entre $a$ y $b$ . Un punto de la malla es un decimal, luego un racional: todo intervalo de longitud positiva contiene uno.

8. Entre $a$ y el racional $r_1$ hallado en la pregunta 7 hay (pregunta 7 de nuevo) un racional $r_2$ ; entre $a$ y $r_2$ un racional $r_3$ ; y así sucesivamente: infinitos, todos distintos, todos en el intervalo original.

9. $r + \frac{\sqrt2}{10^k}$ es la suma de un racional y un irracional ( $\frac{\sqrt2}{10^k}$ es irracional por la pregunta 3b), luego irracional. Como $\frac{\sqrt2}{10^k} < \frac{2}{10^k}$ se encoge por debajo de cualquier cota, para $k$ bastante grande $r + \frac{\sqrt2}{10^k}$ sigue antes de $b$ : un irracional dentro del intervalo — y al variar $k$ se obtienen infinitos.

10. No hay real positivo mínimo: si $s > 0$ lo fuera, el intervalo $(0, s)$ aún contendría un racional (pregunta 7), positivo y menor que $s$ . No hay número justo después de $3$ : cualquier candidato $c > 3$ deja el intervalo $(3, c)$ , que no está vacío — el juego del problema «no hay siguiente número» del volumen de Primaria–Secundaria, ahora un teorema sobre $\R$ .

11. $\abs{x - 5} = 2$ : $x = 3$ o $x = 7$ . $\abs{x - 5} < 2$ : $x \in \intoo{3}{7}$ . $\abs{x + 1} \geq 3$ : distancia a $-1$ al menos $3$ : $x \in \intoc{-\infty}{-4} \cup \intco{2}{+\infty}$ .

12. $\abs{d - 80} \leq 0.05$ , es decir $d \in \intcc{79.95}{80.05}$ . El pistón de $79.97$ pasa; el de $80.06$ falla por una centésima de milímetro.

13. $(3, -5)$ : $\abs{-2} = 2 \leq 8$ . $(-2, -7)$ : $\abs{-9} = 9 = 2 + 7$ : igualdad. Mismo signo: $\abs{a + b}$ es la suma de las distancias, igual a $\abs a + \abs b$ . Signos opuestos: el recorrido da la vuelta, $\abs{a + b}$ es la diferencia de las distancias, estrictamente menor que su suma (salvo que una sea $0$ ). Igualdad exactamente cuando $a$ y $b$ tienen el mismo signo o uno es cero.

14. Las soluciones son los puntos equidistantes de $2$ y $-4$ : el punto medio, $x = -1$ . Es la mediatriz del problema de los dos espejos del volumen de Primaria–Secundaria, colapsada a una dimensión: un solo punto.

15. $\sqrt{x^2} = \abs{x}$ , no $x$ : para $x = -3$ , $\sqrt{9} = 3 = \abs{-3} \neq -3$ . Entonces $x^2 < 9$ se lee $\sqrt{x^2} < 3$ , es decir $\abs x < 3$ : $x \in \intoo{-3}{3}$ .

16. La medición solo afirma que la longitud está en el intervalo $\intcc{1.41420}{1.41422}$ — y por las preguntas 7 y 9 ese intervalo contiene infinitos racionales e infinitos irracionales. Lo mismo vale para toda tolerancia futura, por pequeña que sea. Ninguna medición puede separar las dos familias; solo una demostración sobre la longitud exacta — como la de la diagonal del cuadrado unidad (problema de irracionalidad del volumen de Primaria–Secundaria) — puede.

17. Se acercan a $\sqrt2$ con errores por debajo de $10^{-1}, 10^{-2}, 10^{-3}, \dots$ : los racionales se aprietan contra $\sqrt2$ a todas las escalas. El hecho general: todo número real se aproxima tanto como se quiera por racionales (sus truncamientos decimales) — de nuevo la densidad, vista desde el lado del objetivo.

18. $a + b \in \intcc{2.4 + 1.1}{2.6 + 1.3} = \intcc{3.5}{3.9}$ : incertidumbre $\pm 0.2$ (errores sumados). $a \times b \in \intcc{2.4 \times 1.1}{2.6 \times 1.3} = \intcc{2.64}{3.38}$ : una incertidumbre de unos $\pm 0.37$ en torno a $3$ — los errores relativos se suman en productos, así que la precisión se degrada más rápido.

19. Escriba los valores verdaderos $a = 2.5 + e_1$ , $b = 1.2 + e_2$ con $\abs{e_1}, \abs{e_2} \leq 0.1$ . Entonces el error de la suma es $\abs{e_1 + e_2} \leq \abs{e_1} + \abs{e_2} \leq 0.2$ : la regla del ingeniero es la desigualdad triangular de la pregunta 13.

20. La recta real no tiene huecos ni vecinos: después de cualquier número, no hay un «siguiente» (pregunta 10). Sus puntos se parten en los racionales — exactamente los decimales que terminan o se repiten (problema del volumen de Primaria–Secundaria) — y los irracionales, y las dos familias están tan entrelazadas que todo intervalo alberga infinitos de cada una (preguntas 8 y 9), por lo que ninguna medición, solo una demostración, puede distinguirlas (pregunta 16). Y la sorpresa final, dejada como promesa: los irracionales superan en número a los racionales — no contando uno a uno, sino en el sentido preciso de comparar infinitos, una teoría construida en los volúmenes universitarios.