Matemáticas de secundaria · Grades 10–12

1Números y conjuntos de números

Las matemáticas empiezan con los números, y no todos los números son de la misma clase: los que sirven para contar, los negativos, las fracciones y números como $\sqrt 2$ o $\pi$ que ninguna fracción puede expresar. Este capítulo los organiza en familias encajadas, introduce los intervalos para describir trozos de la recta real y usa el valor absoluto para medir distancias entre números.

1.1 Las familias de números

Definición 1.1 (Conjuntos de números)

$\N$ es el conjunto de los números naturales: $0, 1, 2, 3, \dots$
$\Z$ es el conjunto de los números enteros: $\dots, -2, -1, 0, 1, 2, \dots$
$\Q$ es el conjunto de los números racionales: todos los cocientes $\frac{p}{q}$ con $p \in \Z$ , $q \in \N$ y $q \neq 0$ .
$\R$ es el conjunto de los números reales: todos los números que se pueden situar sobre la recta numérica.

Notación 1.2

El símbolo $\in$ se lee “pertenece a”: $3 \in \N$ , $-5 \in \Z$ , $\frac23 \in \Q$ . El símbolo $\subset$ se lee “está contenido en”: todo número natural es entero, todo entero es racional (por ejemplo, $-5 = \frac{-5}{1}$ ) y todo racional es real, de modo que

\N \subset \Z \subset \Q \subset \R .

Una barra inclinada niega un símbolo: $\frac12 \notin \Z$ .

Las familias de números, encajadas: ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ. Cada anillo contiene números que no pertenecen a los anteriores. — Las familias de números, encajadas: $\N \subset \Z \subset \Q \subset \R$ . Cada anillo contiene números que no pertenecen a los anteriores.

Ejemplo 1.3

Situemos algunos números en la menor familia que los contiene.

$\frac{28}{4} = 7$ , así que $\frac{28}{4} \in \N$ aunque esté escrito como fracción: simplifica siempre antes de decidir.
$-3.5 = -\frac{35}{10} = -\frac72$ es racional, pero no entero.
$0.333\dots$ (la cifra $3$ repetida indefinidamente) vale $\frac13$ , un número racional.
$\sqrt 2$ y $\pi$ son reales, pero no racionales, como vamos a ver para $\sqrt 2$ ; esos números se llaman irracionales.

Teorema 1.4 (Irracionalidad de $\sqrt 2$ )

El número $\sqrt 2$ no es racional: ninguna fracción de enteros tiene cuadrado $2$ .

Demostración. Razonamos por reducción al absurdo, en pasos pequeños.

Supongamos que $\sqrt 2 = \frac{p}{q}$ , con $p$ y $q$ enteros positivos y la fracción totalmente simplificada, de modo que $p$ y $q$ no son ambos pares.
Al elevar al cuadrado se obtiene $2 = \frac{p^2}{q^2}$ , es decir, $p^2 = 2q^2$ . Luego $p^2$ es par.
Si $p$ fuera impar, digamos $p = 2k+1$ , entonces $p^2 = 4k^2 + 4k + 1$ sería impar. Como $p^2$ es par, $p$ tiene que ser par: $p = 2k$ para cierto entero $k$ .
Sustituyendo: $(2k)^2 = 2q^2$ , luego $4k^2 = 2q^2$ , luego $q^2 = 2k^2$ . Por el mismo argumento del paso 3, $q$ es par.
Ahora $p$ y $q$ son ambos pares, en contradicción con el paso 1. La suposición era imposible: $\sqrt 2$ es irracional.

∎

Observación 1.5

Los números racionales son exactamente aquellos cuyo desarrollo decimal o bien termina (como $\frac72 = 3.5$ ), o bien repite indefinidamente un mismo bloque de cifras (como $\frac13 = 0.333\dots$ o $\frac{1}{7} = 0.142857\,142857\dots$ ). Los números irracionales, como $\sqrt2 = 1.41421356\dots$ , tienen cifras decimales que nunca llegan a un bloque periódico. Admitimos esta caracterización a este nivel.

1.2 La recta real y los intervalos

Los números reales llenan una recta: elegidos un origen $0$ y una unidad de longitud, a cada número real le corresponde exactamente un punto.

Definición 1.6 (Intervalo)

Sean $a$ y $b$ números reales con $a < b$ . Un intervalo es el conjunto de los números reales comprendidos entre dos extremos. Un corchete indica que el extremo está incluido; un paréntesis, que está excluido:

notación	descripción
$\intcc{a}{b}$	$a \leq x \leq b$ (los dos extremos incluidos)
$\intoo{a}{b}$	$a < x < b$ (los dos extremos excluidos)
$\intco{a}{b}$	$a \leq x < b$
$\intoc{a}{b}$	$a < x \leq b$
$\intco{a}{+\infty}$	$x \geq a$
$\intoo{-\infty}{b}$	$x < b$

Los símbolos $-\infty$ y $+\infty$ (“infinito”) no son números: solo indican que el intervalo continúa indefinidamente, y el signo que va junto a ellos es siempre un paréntesis. La recta entera $\R$ es el intervalo $\intoo{-\infty}{+\infty}$ .

Intervalos sobre la recta real: punto relleno para un extremo incluido, punto hueco para uno excluido.

Definición 1.7 (Intersección y unión)

Sean $I$ y $J$ dos conjuntos de números reales. La intersección $I \cap J$ (“ $I$ y $J$ ”) es el conjunto de los números que pertenecen a los dos; la unión $I \cup J$ (“ $I$ o $J$ ”) es el conjunto de los números que pertenecen al menos a uno de ellos.

Ejemplo 1.8

Tomemos $I = \intcc{-1}{3}$ y $J = \intoo{1}{5}$ . Dibuja los dos sobre la misma recta: se solapan entre $1$ y $3$ . Por tanto

I \cap J = \intoc{1}{3}, \qquad I \cup J = \intco{-1}{5}.

Fíjate en los extremos: $1 \notin J$ , luego $1 \notin I \cap J$ ; en cambio $3 \in I$ y $3 \in J$ , luego $3 \in I \cap J$ .

Método 1.9 (Trabajar con intervalos)

Para hallar la intersección o la unión de dos intervalos:

dibuja la recta real y marca los cuatro extremos;
sombrea el primer intervalo por encima de la recta y el segundo por debajo;
la intersección es la zona donde los dos sombreados se solapan; la unión, la zona donde hay al menos un sombreado;
decide cada extremo comprobando si pertenece a los dos conjuntos (intersección) o al menos a uno (unión).

1.3 Valor absoluto y distancia

Definición 1.10 (Valor absoluto)

El valor absoluto de un número real $x$ es

\abs{x} = \begin{cases} x & \text{si } x \geq 0, \\ -x & \text{si } x < 0. \end{cases}

Por ejemplo, $\abs{7} = 7$ y $\abs{-4} = 4$ . En todos los casos $\abs{x} \geq 0$ .

Proposición 1.11 (Distancia sobre la recta)

Para todos los números reales $a$ y $b$ , la distancia entre los puntos $a$ y $b$ de la recta real es $\abs{b - a}$ . En particular, $\abs{x}$ es la distancia de $x$ a $0$ .

Demostración. Si $b \geq a$ , la distancia de $a$ a $b$ es $b - a \geq 0$ , que coincide con $\abs{b-a}$ . Si $b < a$ , la distancia es $a - b = -(b - a) > 0$ , que de nuevo es $\abs{b - a}$ por definición de valor absoluto. ∎

Proposición 1.12 (Valor absoluto e intervalos)

Sean $a$ un número real y $r > 0$ . Entonces

\abs{x - a} \leq r \quad\text{si y solo si}\quad x \in \intcc{a - r}{a + r}.

Demostración. La condición $\abs{x-a} \leq r$ dice que la distancia de $x$ a $a$ es como mucho $r$ , es decir, que $x$ no se aleja de $a$ más de $r$ ni por un lado ni por el otro. Los números que la cumplen son exactamente los comprendidos entre $a - r$ y $a + r$ , extremos incluidos. ∎

La desigualdad |x - a| ≤ r describe el intervalo de los números que distan de a como mucho r. — La desigualdad $\abs{x - a} \leq r$ describe el intervalo de los números que distan de $a$ como mucho $r$ .

Ejemplo 1.13

Resolvamos $\abs{x - 3} \leq 2$ . Las soluciones son los números que distan de $3$ como mucho $2$ : el intervalo $\intcc{1}{5}$ . Al revés, el intervalo $\intcc{-1}{7}$ tiene centro $\frac{-1+7}{2} = 3$ y radio $\frac{7-(-1)}{2} = 4$ , así que se describe mediante $\abs{x - 3} \leq 4$ .

1.4 Aproximaciones

Los números irracionales, y también casi todas las fracciones, no se pueden escribir de forma exacta con un número finito de cifras decimales, así que en la práctica los aproximamos.

Definición 1.14 (Aproximación con una precisión dada)

Un número $d$ es una aproximación de $x$ con precisión $10^{-n}$ cuando $\abs{x - d} \leq 10^{-n}$ . Tanto truncar como redondear el desarrollo decimal después de la cifra $n$ -ésima dan aproximaciones de ese tipo.

Ejemplo 1.15

Partamos de $\pi = 3.14159\,26\dots$ : el truncamiento $3.141$ y el redondeo $3.142$ son aproximaciones de $\pi$ con precisión $10^{-3}$ . El redondeo está a distancia menor que $\frac12 \times 10^{-3}$ ; el truncamiento solo garantiza $10^{-3}$ . Escribir $3.141 \leq \pi \leq 3.142$ acota $\pi$ entre dos números decimales.

1.5 Ejercicios

Ejercicio 1.1 ★

Para cada número, indica el menor de los conjuntos $\N$ , $\Z$ , $\Q$ , $\R$ al que pertenece:

\frac{15}{3}, \qquad -7, \qquad \frac{22}{7}, \qquad \sqrt{9}, \qquad \sqrt{10}, \qquad -2.4, \qquad 0 .

Solución

Solución de Ejercicio 1.1.

$\frac{15}{3} = 5 \in \N$ . $-7 \in \Z$ . $\frac{22}{7} \in \Q$ (no es entero: $22 = 7 \times 3 + 1$ ). $\sqrt 9 = 3 \in \N$ . $\sqrt{10} \in \R$ (irracional, porque $10$ no es el cuadrado de ningún racional; lo admitimos aquí, en la línea del Teorema 1.4). $-2.4 = -\frac{24}{10} \in \Q$ . $0 \in \N$ .

Ejercicio 1.2 ★

Escribe cada enunciado con notación de intervalos y represéntalo después sobre una recta real: (a) $-2 \leq x < 5$ ; (b) $x > 3$ ; (c) $x \leq -1$ ; (d) la distancia de $x$ a $2$ es como mucho $3$ .

Solución

Solución de Ejercicio 1.2.

(a) $\intco{-2}{5}$ : punto relleno en $-2$ , punto hueco en $5$ . (b) $\intoo{3}{+\infty}$ : punto hueco en $3$ y sombreado hacia la derecha. (c) $\intoc{-\infty}{-1}$ : sombreado desde la izquierda hasta un punto relleno en $-1$ . (d) “la distancia de $x$ a $2$ es como mucho $3$ ” significa $\abs{x - 2} \leq 3$ , es decir, $x \in \intcc{-1}{5}$ : puntos rellenos en $-1$ y $5$ .

Ejercicio 1.3 ★

Calcula $I \cap J$ e $I \cup J$ para

\text{(a) } I = \intcc{-3}{2},\ J = \intco{0}{4}; \qquad \text{(b) } I = \intoo{-\infty}{1},\ J = \intco{-2}{+\infty}.

Solución

Solución de Ejercicio 1.3.

(a) Los dos intervalos se solapan entre $0$ y $2$ : $I \cap J = \intcc{0}{2}$ ( $0 \in J$ y $2 \in I$ , y cada uno pertenece también al otro conjunto), y $I \cup J = \intco{-3}{4}$ .

(b) $I \cap J$ es el conjunto de los $x$ con $-2 \leq x$ y $x < 1$ : $\intco{-2}{1}$ . La unión lo cubre todo: $I \cup J = \R$ .

Ejercicio 1.4 ★

Calcula sin calculadora:

\abs{-6}, \qquad \abs{4 - 9}, \qquad \abs{-3 - 5}, \qquad \abs{\sqrt 2 - 1}, \qquad \abs{1 - \sqrt 2}.

Solución

Solución de Ejercicio 1.4.

$\abs{-6} = 6$ ; $\abs{4 - 9} = \abs{-5} = 5$ ; $\abs{-3 - 5} = \abs{-8} = 8$ ; $\sqrt 2 > 1$ , luego $\abs{\sqrt2 - 1} = \sqrt2 - 1$ ; $1 - \sqrt2 < 0$ , luego $\abs{1 - \sqrt2} = \sqrt2 - 1$ también (un número y su opuesto tienen el mismo valor absoluto).

Ejercicio 1.5 ★

Resuelve las ecuaciones e inecuaciones y da los conjuntos de soluciones:

\abs{x} = 5, \qquad \abs{x - 1} = 3, \qquad \abs{x - 4} \leq 1, \qquad \abs{x + 2} < 3 .

(Observa que $\abs{x+2} = \abs{x - (-2)}$ es una distancia a $-2$ .)

Solución

Solución de Ejercicio 1.5.

$\abs{x} = 5$ : distancia $5$ a $0$ , luego $x = 5$ o $x = -5$ .

$\abs{x - 1} = 3$ : distancia $3$ a $1$ , luego $x = 4$ o $x = -2$ .

$\abs{x - 4} \leq 1$ : distancia como mucho $1$ a $4$ , luego $x \in \intcc{3}{5}$ .

$\abs{x + 2} < 3$ : distancia estrictamente menor que $3$ a $-2$ , luego $x \in \intoo{-5}{1}$ .

Ejercicio 1.6 ★★

Describe cada intervalo mediante una desigualdad de la forma $\abs{x - a} \leq r$ o $\abs{x - a} < r$ :

\intcc{2}{8}, \qquad \intoo{-5}{1}, \qquad \intcc{-7}{-3}.

Solución

Solución de Ejercicio 1.6.

Cada intervalo queda descrito por su centro $a$ (el punto medio de los extremos) y su radio $r$ (la mitad de la longitud).

$\intcc{2}{8}$ : $a = 5$ , $r = 3$ , luego $\abs{x - 5} \leq 3$ .

$\intoo{-5}{1}$ : $a = -2$ , $r = 3$ , extremos abiertos, luego $\abs{x + 2} < 3$ .

$\intcc{-7}{-3}$ : $a = -5$ , $r = 2$ , luego $\abs{x + 5} \leq 2$ .

Ejercicio 1.7 ★★

Demuestra que $0.272727\dots$ (el bloque $27$ repetido indefinidamente) es racional. (Indicación: llámalo $x$ y calcula $100x - x$ .)

Solución

Solución de Ejercicio 1.7.

Sea $x = 0.272727\dots$ Entonces $100x = 27.2727\dots$ y, restando,

100x - x = 27.2727\dots - 0.2727\dots = 27,

luego $99x = 27$ y $x = \frac{27}{99} = \frac{3}{11}$ , un cociente de enteros: $x$ es racional.

Ejercicio 1.8 ★★

¿Verdadero o falso? Justifica cada respuesta con un argumento o con un contraejemplo.

La suma de dos enteros es un entero.
El cociente de dos enteros es un entero.
La suma de dos números racionales es racional.
La suma de un número racional y uno irracional es irracional.

Solución

Solución de Ejercicio 1.8.

1. Verdadero: al sumar enteros (positivos o negativos) se obtiene siempre un entero.

2. Falso: $\frac{1}{2}$ es un cociente de los enteros $1$ y $2$ y no es entero.

3. Verdadero: $\frac pq + \frac{p'}{q'} = \frac{pq' + p'q}{qq'}$ es de nuevo un cociente de enteros (con denominador no nulo).

4. Verdadero: supongamos que $r$ es racional, $t$ irracional y que $r + t = s$ fuera racional. Entonces $t = s - r$ sería una diferencia de racionales y, por tanto, racional (por el apartado 3, aplicado con $-r$ ): contradicción. Luego $r + t$ es irracional.

Ejercicio 1.9 ★★

Usando $1.414 \leq \sqrt 2 \leq 1.415$ , acota $2\sqrt2$ , $\sqrt2 + 3$ y $-\sqrt2$ entre dos números decimales.

Solución

Solución de Ejercicio 1.9.

Multiplicando $1.414 \leq \sqrt2 \leq 1.415$ por $2 > 0$ : $2.828 \leq 2\sqrt2 \leq 2.830$ .

Sumando $3$ : $4.414 \leq \sqrt2 + 3 \leq 4.415$ .

Al multiplicar por $-1 < 0$ se invierten las desigualdades: $-1.415 \leq -\sqrt2 \leq -1.414$ .

Ejercicio 1.10 ★★★

Adapta la demostración del Teorema 1.4 para probar que $\sqrt 3$ es irracional. (Sustituye “par” por “múltiplo de $3$ ”: comprueba primero que si $p^2$ es múltiplo de $3$ , entonces $p$ también lo es, examinando los restos $0$ , $1$ , $2$ de la división de $p$ entre $3$ .)

Solución

Solución de Ejercicio 1.10.

Primero el hecho auxiliar. Dividimos $p$ entre $3$ : el resto es $0$ , $1$ o $2$ , es decir, $p = 3k$ , $p = 3k+1$ o $p = 3k+2$ . Elevando al cuadrado:

(3k)^2 = 3(3k^2), \quad (3k+1)^2 = 3(3k^2 + 2k) + 1, \quad (3k+2)^2 = 3(3k^2 + 4k + 1) + 1 .

Solo el primero es múltiplo de $3$ : si $p^2$ es múltiplo de $3$ , entonces $p$ también lo es.

Supongamos ahora que $\sqrt3 = \frac pq$ con la fracción totalmente simplificada. Elevando al cuadrado, $p^2 = 3q^2$ , luego $p^2$ es múltiplo de $3$ y por tanto $p = 3k$ . Entonces $9k^2 = 3q^2$ , luego $q^2 = 3k^2$ y $q$ también es múltiplo de $3$ ; pero entonces la fracción $\frac pq$ no estaba totalmente simplificada: contradicción. Así pues, $\sqrt3$ es irracional.

1.6 Problema: Entre dos números cualesquiera

Problema 1.1

Problema de fin de semana — racionales e irracionales se entrelazan: todo intervalo, por pequeño que sea, contiene infinitos de cada clase, y ninguna medida podrá jamás distinguirlos

Los racionales parecen una multitud (¡todas las fracciones!) y los irracionales, excepciones exóticas ( $\sqrt2$ , $\pi$ ). Este problema descubre el verdadero panorama: las dos familias se entrelazan tan finamente que todo intervalo de la recta real, por microscópico que sea, contiene infinitos de cada clase, con consecuencias sorprendentes como esta: ninguna medida física, por precisa que sea, puede decidir si una longitud es racional.

Parte I — Los cuatro reinos.

Para cada número, indica el menor de los conjuntos $\N$ , $\Z$ , $\Q$ , $\R$ que lo contiene (Definición 1.1): $-7$ ; $\frac{13}{4}$ ; $\sqrt{16}$ ; $0.121212\ldots$ (recuerda el problema de fin de semana sobre los decimales periódicos del volumen anterior); $\sqrt8$ ; $\pi$ (admite su irracionalidad: solo se demuestra en los volúmenes universitarios).
Demuestra que $\Q$ es estable para la suma y el producto: si $x = \frac pq$ e $y = \frac rs$ son racionales, escribe $x + y$ y $xy$ como una sola fracción.
Deduce por reducción al absurdo: (a) la suma de un racional y un irracional es irracional; (b) el producto de un racional no nulo por un irracional es irracional.
Comprueba que el conjunto de los irracionales no es estable para ninguna de las dos operaciones: da dos irracionales cuya suma sea racional y dos cuyo producto sea racional.
Sitúa $\sqrt2 + \sqrt8$ y $\sqrt2 \times \sqrt8$ en los cuatro reinos (simplifica antes $\sqrt8$ , con el método del volumen anterior).

Parte II — Los racionales son densos.

Encuentra un racional estrictamente comprendido entre $3.47$ y $3.48$ ; después otro; describe luego cómo fabricar tantos como quieras (el zoom del problema de fin de semana del volumen anterior sobre la inexistencia de número siguiente, ahora con una demostración a la vista).
El teorema general. Sean $a < b$ dos reales cualesquiera, con separación $g = b - a > 0$ . Elige $n$ tal que $10^{-n} < g$ y considera los múltiplos de $10^{-n}$ (la cuadrícula decimal de paso $10^{-n}$ ). Explica por qué al menos un punto de esa cuadrícula cae estrictamente entre $a$ y $b$ , y concluye: todo intervalo de longitud positiva contiene un número racional.
Refuerza la conclusión: todo intervalo de ese tipo contiene infinitos racionales. (Aplica de nuevo la pregunta 7 dentro de un intervalo más pequeño.)
Ahora los irracionales: dados $a < b$ , toma un racional $r$ estrictamente en medio (pregunta 7) y considera los números $r + \frac{\sqrt2}{10^k}$ . Usando la pregunta 3, demuestra que son irracionales y que, para $k$ suficientemente grande, siguen estando en el intervalo: todo intervalo contiene también infinitos irracionales.
Dos enigmas clásicos resueltos: ¿existe un número real positivo mínimo? ¿Y un número real “justo después de $3$ ”? Responde a los dos con el teorema de la pregunta 7 y saluda a su versión infantil (el problema de fin de semana del volumen anterior sobre la inexistencia de número siguiente).

Parte III — El valor absoluto, la geometría de $\R$ .

Resuelve y expresa las soluciones como intervalos o uniones de intervalos (Proposición 1.12): $\abs{x - 5} = 2$ ; $\abs{x - 5} < 2$ ; $\abs{x + 1} \geq 3$ .
Un pistón debe fabricarse a $80$ mm con una tolerancia de $0.05$ mm. Escribe la exigencia con un valor absoluto y después como intervalo. Dos pistones miden $79.97$ y $80.06$ mm: ¿veredicto?
La desigualdad triangular sobre la recta: $\abs{a + b} \leq \abs a + \abs b$ . Compruébala con $(a, b) = (3, -5)$ y $(-2, -7)$ , demuéstrala cuando $a$ y $b$ tienen el mismo signo y cuando tienen signos opuestos, y di exactamente cuándo se da la igualdad.
Resuelve $\abs{x - 2} = \abs{x + 4}$ leyéndolo como una igualdad de distancias sobre la recta. ¿Qué punto del problema de fin de semana del volumen anterior sobre los dos espejos acabas de calcular, con una dimensión menos?
Simplifica $\sqrt{x^2}$ , con cuidado. Prueba tu fórmula con $x = 3$ y $x = -3$ y úsala después para resolver $x^2 < 9$ con un valor absoluto.

Parte IV — Lo que ninguna medida puede decidir.

Un físico mide una barra: $1.41421 \pm 0.00001$ m. ¿Puede alguna medida así, esta o una futura más precisa, demostrar que la longitud de la barra es irracional? ¿O que es racional? Usa las preguntas 7 y 9 sobre el intervalo de tolerancia y explica por qué solo una demostración (como la de la diagonal, en el problema de fin de semana del volumen anterior sobre la irracionalidad) puede zanjar la cuestión.
Los truncamientos $1.4$ , $1.41$ , $1.414$ , $1.4142,\dots$ de $\sqrt2$ son todos racionales. ¿Qué muestran sobre lo cerca que $\Q$ se aprieta contra cada irracional? Formula el hecho general.
Aritmética de intervalos: valores medidos $a = 2.5 \pm 0.1$ y $b = 1.2 \pm 0.1$ . Acota $a + b$ y $a \times b$ entre cotas seguras. ¿Qué operación degrada más la precisión?
Una regla de ingeniería dice que los errores de medidas independientes “se suman” en las sumas: expresa con la desigualdad triangular (pregunta 13) por qué el error de $a + b$ es como mucho la suma de los errores; la desigualdad es esa regla de ingeniería.
Final, en un párrafo breve: reúne la imagen de la recta real que han construido este problema y sus antecesores: no hay número siguiente (problema de fin de semana del volumen anterior sobre la inexistencia de número siguiente), racionales $=$ decimales periódicos (problema de fin de semana del volumen anterior sobre los decimales periódicos), las dos familias densas (preguntas 8 y 9), la medida eternamente indecisa (pregunta 16). Termina con el adelanto que este capítulo todavía no puede demostrar: en un sentido preciso hay muchísimos más irracionales que racionales; los volúmenes universitarios cuentan los infinitos.

Solución

Solución de Problema 1.1.

1. $-7 \in \Z$ ; $\frac{13}{4} \in \Q$ ; $\sqrt{16} = 4 \in \N$ ; $0.121212\ldots = \frac{12}{99} = \frac{4}{33} \in \Q$ (problema de fin de semana del volumen anterior sobre los decimales periódicos); $\sqrt8 = 2\sqrt2$ es irracional: el menor conjunto es $\R$ ; $\pi$ : $\R$ .

2. $\frac pq + \frac rs = \frac{ps + qr}{qs}$ y $\frac pq \times \frac rs = \frac{pr}{qs}$ : cocientes de enteros con denominador no nulo; racionales.

3. (a) Si $r$ es racional, $x$ irracional y $r + x = q$ fuera racional, entonces $x = q - r$ sería una diferencia de racionales y por tanto racional (pregunta 2): contradicción. (b) Si $r \neq 0$ y $r x = q$ es racional, entonces $x = \frac qr$ es racional: contradicción.

4. $\sqrt2$ y $-\sqrt2$ son irracionales y suman $0$ ; $\sqrt2$ y $\sqrt2$ tienen producto $2$ . Resultados racionales a partir de ingredientes irracionales: los irracionales no forman un reino estable.

5. $\sqrt8 = 2\sqrt2$ , luego $\sqrt2 + \sqrt8 = 3\sqrt2$ : irracional (pregunta 3b, con factor $3$ ). Y $\sqrt2 \times \sqrt8 = \sqrt{16} = 4 \in \N$ : el producto de dos irracionales aterriza en el más pequeño de los reinos.

6. $3.475$ , después $3.471$ (o $3.4701$ , $3.47001$ , …): añadiendo cifras decimales se obtienen racionales nuevos entre los dos indefinidamente.

7. Los múltiplos de $10^{-n}$ recorren la recta a pasos de $10^{-n} < g$ . El primer múltiplo estrictamente mayor que $a$ (existe, porque los múltiplos acaban superando a $a$ ) está como mucho a un paso de $a$ y, por tanto, antes de $a + g = b$ : está estrictamente entre $a$ y $b$ . Un punto de la cuadrícula es un decimal y por tanto un racional: todo intervalo de longitud positiva contiene uno.

8. Entre $a$ y el racional $r_1$ hallado en la pregunta 7 hay (pregunta 7 de nuevo) un racional $r_2$ ; entre $a$ y $r_2$ , un racional $r_3$ ; y así indefinidamente: infinitos, todos distintos y todos dentro del intervalo de partida.

9. $r + \frac{\sqrt2}{10^k}$ es la suma de un racional y un irracional ( $\frac{\sqrt2}{10^k}$ es irracional por la pregunta 3b), luego es irracional. Como $\frac{\sqrt2}{10^k} < \frac{2}{10^k}$ baja por debajo de cualquier cota, para $k$ suficientemente grande $r + \frac{\sqrt2}{10^k}$ sigue estando antes de $b$ : un irracional dentro del intervalo, y al variar $k$ se obtienen infinitos.

10. No hay un real positivo mínimo: si $s > 0$ lo fuera, el intervalo $(0, s)$ contendría todavía un racional (pregunta 7), positivo y menor que $s$ . Tampoco hay un número justo después de $3$ : cualquier candidato $c > 3$ deja el intervalo $(3, c)$ , que no es vacío; el juego del problema de fin de semana del volumen anterior sobre la inexistencia de número siguiente, ahora convertido en un teorema sobre $\R$ .

11. $\abs{x - 5} = 2$ : $x = 3$ o $x = 7$ . $\abs{x - 5} < 2$ : $x \in \intoo{3}{7}$ . $\abs{x + 1} \geq 3$ : distancia a $-1$ al menos $3$ : $x \in \intoc{-\infty}{-4} \cup \intco{2}{+\infty}$ .

12. $\abs{d - 80} \leq 0.05$ , es decir, $d \in \intcc{79.95}{80.05}$ . El pistón de $79.97$ pasa el control; el de $80.06$ lo suspende por una centésima de milímetro.

13. $(3, -5)$ : $\abs{-2} = 2 \leq 8$ . $(-2, -7)$ : $\abs{-9} = 9 = 2 + 7$ , igualdad. Signos iguales: $\abs{a + b}$ es la suma de las distancias, igual a $\abs a + \abs b$ . Signos opuestos: el recorrido se vuelve atrás y $\abs{a + b}$ es la diferencia de las distancias, estrictamente menor que su suma (salvo que uno de los dos sea $0$ ). Hay igualdad exactamente cuando $a$ y $b$ tienen el mismo signo o alguno es nulo.

14. Las soluciones son los puntos que equidistan de $2$ y de $-4$ : el punto medio, $x = -1$ . Es la mediatriz del problema de fin de semana del volumen anterior sobre los dos espejos, reducida a una dimensión: un único punto.

15. $\sqrt{x^2} = \abs{x}$ , no $x$ : para $x = -3$ , $\sqrt{9} = 3 = \abs{-3} \neq -3$ . Entonces $x^2 < 9$ se lee $\sqrt{x^2} < 3$ , es decir, $\abs x < 3$ : $x \in \intoo{-3}{3}$ .

16. La medida solo afirma que la longitud está en el intervalo $\intcc{1.41420}{1.41422}$ , y por las preguntas 7 y 9 ese intervalo contiene infinitos racionales e infinitos irracionales. Lo mismo ocurre con cualquier tolerancia futura, por pequeña que sea. Ninguna medida podrá separar nunca las dos familias; solo puede hacerlo una demostración sobre la longitud exacta, como la de la diagonal del cuadrado unidad (problema de fin de semana del volumen anterior sobre la irracionalidad).

17. Se acercan a $\sqrt2$ con errores por debajo de $10^{-1}, 10^{-2}, 10^{-3}, \dots$ : los racionales se aprietan contra $\sqrt2$ a todas las escalas. El hecho general: todo número real se puede aproximar tanto como se quiera por racionales (sus truncamientos decimales); la densidad otra vez, vista desde el lado del objetivo.

18. $a + b \in \intcc{2.4 + 1.1}{2.6 + 1.3} = \intcc{3.5}{3.9}$ : incertidumbre $\pm 0.2$ (los errores se suman). $a \times b \in \intcc{2.4 \times 1.1}{2.6 \times 1.3} = \intcc{2.64}{3.38}$ : una incertidumbre de unos $\pm 0.37$ alrededor de $3$ ; en los productos se suman los errores relativos, así que la precisión se degrada más deprisa.

19. Escribimos los valores verdaderos $a = 2.5 + e_1$ , $b = 1.2 + e_2$ con $\abs{e_1}, \abs{e_2} \leq 0.1$ . El error de la suma es entonces $\abs{e_1 + e_2} \leq \abs{e_1} + \abs{e_2} \leq 0.2$ : la regla de ingeniería es la desigualdad triangular de la pregunta 13.

20. La recta real no tiene huecos ni vecinos: después de un número no hay “siguiente” (pregunta 10). Sus puntos se reparten entre los racionales, que son exactamente los decimales exactos o periódicos (problema de fin de semana del volumen anterior sobre los decimales periódicos), y los irracionales, y las dos familias están tan entretejidas que todo intervalo contiene infinitos de cada clase (preguntas 8 y 9), por lo que ninguna medida, sino solo una demostración, puede distinguirlas (pregunta 16). Y la sorpresa final, que queda como promesa: los irracionales son más que los racionales, no contando uno a uno, sino en el sentido preciso de comparar infinitos, una teoría que se construye en los volúmenes universitarios.

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