Matemáticas de secundaria · Grades 10–12

8Estadística descriptiva

La estadística resume una colección grande de números (notas, salarios, temperaturas) mediante unos pocos indicadores bien elegidos. Este capítulo presenta las dos familias de indicadores: los que localizan el centro de los datos (media, mediana) y los que miden su dispersión (recorrido, cuartiles). Un tratamiento más profundo, con la desviación típica, llega en el Capítulo 17.

8.1 Datos y frecuencias

Definición 8.1 (Serie estadística)

Una serie estadística es una lista de valores $x_1, x_2, \dots, x_N$ observados en una población de tamaño $N$ . Cuando un valor $x$ aparece $n$ veces, $n$ es su frecuencia absoluta y el cociente

f = \frac{n}{N}

es su frecuencia relativa (que a menudo se expresa como porcentaje). Las frecuencias relativas de todos los valores suman $1$ .

Ejemplo 8.2

Las notas de $20$ alumnos en una prueba sobre $5$ puntos:

nota $x$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$
frec. absoluta $n$	$1$	$2$	$4$	$6$	$5$	$2$
frec. relativa $f$	$0.05$	$0.10$	$0.20$	$0.30$	$0.25$	$0.10$

Comprobación: $1 + 2 + 4 + 6 + 5 + 2 = 20$ y las frecuencias relativas suman $1$ .

El diagrama de barras de las notas de la prueba: una barra por valor, con altura igual a la frecuencia absoluta.

8.2 Medidas de centralización

Definición 8.3 (Media)

La media de la serie es

\bar x = \frac{x_1 + x_2 + \dots + x_N}{N}.

Si los valores $v_1, \dots, v_k$ aparecen con frecuencias absolutas $n_1, \dots, n_k$ , el mismo número se calcula como la media ponderada

\bar x = \frac{n_1 v_1 + n_2 v_2 + \dots + n_k v_k}{n_1 + n_2 + \dots + n_k}.

Ejemplo 8.4

Para la prueba del Ejemplo 8.2:

\bar x = \frac{1 \times 0 + 2 \times 1 + 4 \times 2 + 6 \times 3 + 5 \times 4 + 2 \times 5}{20} = \frac{0 + 2 + 8 + 18 + 20 + 10}{20} = \frac{58}{20} = 2.9 .

Definición 8.5 (Mediana)

La mediana es un valor que parte en dos mitades la serie ordenada: al menos la mitad de los valores son $\leq$ que la mediana y al menos la mitad son $\geq$ que ella. En la práctica, ordena los $N$ valores;

si $N$ es impar, la mediana es el valor central, en la posición $\frac{N+1}{2}$ ;
si $N$ es par, se toma el punto medio de los dos valores centrales, en las posiciones $\frac N2$ y $\frac N2 + 1$ .

Ejemplo 8.6

Serie ordenada de $7$ precios de vivienda (en miles): $120$ , $150$ , $160$ , $180$ , $210$ , $240$ , $900$ . La mediana es el $4$ .^o valor, $180$ . La media es $\frac{1960}{7} = 280$ , ¡mayor que $6$ de los $7$ precios! Un valor extremo ( $900$ ) arrastra a la media mucho más que a la mediana: la mediana es robusta; la media, no.

8.3 Medidas de dispersión

Definición 8.7 (Recorrido, cuartiles)

Para una serie ordenada:

el recorrido es la diferencia entre el mayor y el menor de los valores;
el primer cuartil $Q_1$ es el menor valor tal que al menos una cuarta parte ( $25\,\%$ ) de los valores son $\leq Q_1$ ; el tercer cuartil $Q_3$ es el menor valor tal que al menos tres cuartas partes ( $75\,\%$ ) de los valores son $\leq Q_3$ ;
el recorrido intercuartílico $Q_3 - Q_1$ mide la dispersión de la mitad central de los datos.

Método 8.8 (Hallar los cuartiles)

Para una serie de $N$ valores ordenados:

calcula $\frac N4$ ; si no es entero, redondéalo hacia arriba al entero siguiente; $Q_1$ es el valor de esa posición;
calcula $\frac{3N}{4}$ ; redondea hacia arriba si hace falta; $Q_3$ es el valor de esa posición.

Ejemplo 8.9

Tomemos los $11$ valores ordenados

2,\ 3,\ 5,\ 5,\ 6,\ 7,\ 8,\ 9,\ 9,\ 10,\ 12 .

Mediana: posición $\frac{11+1}{2} = 6$ , así que la mediana es $7$ . $Q_1$ : $\frac{11}{4} = 2.75$ , que se redondea a $3$ ; el $3.$ ^er valor es $5$ . $Q_3$ : $\frac{33}{4} = 8.25$ , que se redondea a $9$ ; el $9.$ ^o valor es $9$ . Recorrido: $12 - 2 = 10$ ; recorrido intercuartílico: $9 - 5 = 4$ .

El diagrama de caja del : la caja abarca el intervalo intercuartílico [Q_1, Q_3] y contiene la mitad central de los datos; los bigotes llegan a los valores extremos. — El diagrama de caja del Ejemplo 8.9: la caja abarca el intervalo intercuartílico $\intcc{Q_1}{Q_3}$ y contiene la mitad central de los datos; los bigotes llegan a los valores extremos.

Ejemplo 8.10 (Comparar dos grupos)

Dos clases hacen el mismo examen (notas sobre $20$ ):

	mediana	$Q_1$	$Q_3$
clase A	$12$	$10$	$14$
clase B	$12$	$6$	$17$

La misma mediana y dispersiones muy distintas: la clase A es homogénea (la mitad de sus notas están en $\intcc{10}{14}$ ) y la clase B es heterogénea (su mitad central abarca $\intcc{6}{17}$ ). Los indicadores de centralización, por sí solos, nunca cuentan toda la historia.

Observación 8.11

Ni la media ni la mediana son “mejores”: la media usa todos los valores (y hace falta para calcular totales), la mediana resiste los valores extremos. Un resumen serio de una serie da al menos un indicador de centralización y uno de dispersión.

8.4 Ejercicios

Ejercicio 8.1 ★

Estos son los números de libros leídos en un año por $15$ alumnos:

0,\ 1,\ 1,\ 2,\ 2,\ 2,\ 3,\ 3,\ 4,\ 4,\ 5,\ 6,\ 7,\ 8,\ 12 .

Calcula la media, la mediana y el recorrido de esta serie.

Solución

Solución de Ejercicio 8.1.

Suma: $0+1+1+2+2+2+3+3+4+4+5+6+7+8+12 = 60$ , luego la media es $\frac{60}{15} = 4$ . La serie ya está ordenada y $N = 15$ es impar: la mediana es el $8$ .^o valor, $3$ . Recorrido: $12 - 0 = 12$ .

Ejercicio 8.2 ★

Se ha lanzado un dado $50$ veces:

resultado	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$
frecuencia	$7$	$9$	$8$	$10$	$6$	$10$

Calcula la frecuencia relativa de cada resultado y el resultado medio.

Solución

Solución de Ejercicio 8.2.

Frecuencias relativas: $\frac{7}{50} = 0.14$ , $\frac{9}{50} = 0.18$ , $\frac{8}{50} = 0.16$ , $\frac{10}{50} = 0.20$ , $\frac{6}{50} = 0.12$ , $\frac{10}{50} = 0.20$ (suman $1$ ). Resultado medio:

\bar x = \frac{7 \times 1 + 9 \times 2 + 8 \times 3 + 10 \times 4 + 6 \times 5 + 10 \times 6}{50} = \frac{7 + 18 + 24 + 40 + 30 + 60}{50} = \frac{179}{50} = 3.58 .

Ejercicio 8.3 ★

Halla la mediana, $Q_1$ y $Q_3$ de la serie ordenada

1,\ 2,\ 4,\ 4,\ 5,\ 6,\ 6,\ 7,\ 8,\ 9,\ 9,\ 11 \qquad (N = 12),

y dibuja el diagrama de caja correspondiente.

Solución

Solución de Ejercicio 8.3.

$N = 12$ (par): la mediana es el punto medio del $6$ .^o y el $7$ .^o valores, los dos iguales a $6$ : mediana $6$ .

$Q_1$ : $\frac{12}{4} = 3$ , así que $Q_1$ es el $3$ .^er valor: $4$ .

$Q_3$ : $\frac{3 \times 12}{4} = 9$ , así que $Q_3$ es el $9$ .^o valor: $8$ .

Diagrama de caja: caja de $4$ a $8$ con la barra de la mediana en $6$ y bigotes de $1$ a $11$ .

Ejercicio 8.4 ★

La media de $24$ notas de un examen es $11.5$ . Un $25$ .^o alumno hace el examen y saca $19$ . ¿Cuál es la nueva media de la clase?

Solución

Solución de Ejercicio 8.4.

Las $24$ notas suman $24 \times 11.5 = 276$ . Con la nueva nota, el total es $276 + 19 = 295$ para $25$ alumnos: nueva media $\frac{295}{25} = 11.8$ .

Ejercicio 8.5 ★★

Un alumno tiene una media de $12$ después de $5$ exámenes, todos con el mismo peso. ¿Qué nota en el $6$ .^o examen subiría la media a $13$ ? ¿Es alcanzable una media de $14$ (las notas son sobre $20$ )?

Solución

Solución de Ejercicio 8.5.

Total actual: $5 \times 12 = 60$ . Una media de $13$ en $6$ exámenes exige un total de $78$ , así que la $6$ .^a nota debe ser $78 - 60 = 18$ . Una media de $14$ exigiría $84 - 60 = 24 > 20$ : no es alcanzable.

Ejercicio 8.6 ★★

Inventa una serie de $7$ valores no negativos cuya mediana sea $10$ y cuya media sea mayor que $20$ ; después otra cuya mediana sea $10$ y cuya media sea menor que $6$ . ¿Por qué la media de una serie así nunca puede ser menor que $\frac{40}{7}$ ? ¿Qué muestran estos ejemplos?

Solución

Solución de Ejercicio 8.6.

Media mayor que $20$ : por ejemplo, $1,\ 2,\ 3,\ 10,\ 40,\ 50,\ 60$ , con mediana $10$ (el $4$ .^o valor ordenado) y media $\frac{166}{7} \approx 23.7$ .

Media menor que $6$ : por ejemplo, $0,\ 0,\ 0,\ 10,\ 10,\ 10,\ 10$ , con mediana $10$ y media $\frac{40}{7} \approx 5.7$ .

La media no puede bajar de $\frac{40}{7}$ : para que la mediana (el $4$ .^o valor ordenado) sea $10$ , los valores de las posiciones $4$ a $7$ deben ser todos $\geq 10$ , así que el total es al menos $40$ y la media, al menos $\frac{40}{7}$ ; el segundo ejemplo es el extremo.

Estos ejemplos muestran que la media y la mediana son en gran medida independientes: conocer una dice poco de la otra, y por eso un buen resumen informa de las dos.

Ejercicio 8.7 ★★

En una empresa, los $9$ empleados cobran $1800$ cada uno al mes y el director cobra $12000$ .

Calcula el salario medio y el salario mediano.
¿Qué indicador describe mejor un salario “típico” aquí? ¿Por qué?

Solución

Solución de Ejercicio 8.7.

1. Media: $\frac{9 \times 1800 + 12000}{10} = \frac{16200 + 12000}{10} = 2820$ . Mediana: ordenados, los $10$ salarios son nueve valores $1800$ y luego $12000$ ; la mediana es el punto medio del $5$ .^o y el $6$ .^o valores, los dos $1800$ : mediana $1800$ .

2. La mediana ( $1800$ ) describe el salario típico: es lo que cobran realmente $9$ de cada $10$ empleados. La media ( $2820$ ) está tirada hacia arriba por el único salario alto y no coincide con la nómina de nadie.

Ejercicio 8.8 ★★

Los $12$ chicos de una clase miden de media $168$ cm; las $18$ chicas de la misma clase miden de media $163$ cm. Calcula la estatura media de toda la clase. (Cuidado: no es el punto medio de $168$ y $163$ ; hay que ponderar las medias por los tamaños de los grupos.)

Solución

Solución de Ejercicio 8.8.

Estatura total: $12 \times 168 + 18 \times 163 = 2016 + 2934 = 4950$ cm para $30$ alumnos, así que la media es $\frac{4950}{30} = 165$ cm. Está más cerca de la media de las chicas porque son más numerosas (media ponderada, con pesos $12$ y $18$ ).

Ejercicio 8.9 ★★★

Una serie de $N$ valores $x_1, \dots, x_N$ tiene media $\bar x$ . Cada valor se transforma en $y_i = a x_i + b$ con $a$ y $b$ números fijos.

Demuestra que la media de la nueva serie es $a \bar x + b$ .
Las temperaturas de una semana, en grados Celsius, tienen media $20$ . ¿Cuál es su media en grados Fahrenheit ( $F = 1.8\,C + 32$ )?

Solución

Solución de Ejercicio 8.9.

1. La nueva media es

\bar y = \frac{y_1 + \dots + y_N}{N} = \frac{(a x_1 + b) + \dots + (a x_N + b)}{N} = \frac{a(x_1 + \dots + x_N) + Nb}{N} = a \bar x + b .

2. Con $a = 1.8$ y $b = 32$ : media $1.8 \times 20 + 32 = 68$ grados Fahrenheit.

8.5 Problema: La persona media no existe

Problema 8.1

Problema de fin de semana — media contra mediana: valores atípicos, curvas de notas, el almacén en la carretera y la cabina diseñada para nadie

En 1950, la Fuerza Aérea estadounidense midió a $4\,000$ pilotos en diez dimensiones corporales y construyó la cabina para el hombre medio. Le servía, como descubrió un teniente contando, prácticamente a nadie. La estadística resume multitudes con números sueltos, y cada resumen dice la verdad sobre algo y miente sobre otra cosa. Este problema lleva a juicio a la media y a la mediana (Definición 8.3, Definición 8.5), deja que cada una enseñe en qué es la mejor y cierra el caso de la cabina.

Parte I — Dos resúmenes en el banquillo.

En una calle se venden siete casas, en miles de euros: $200$ , $210$ , $220$ , $230$ , $240$ , $250$ y un caserón de $1\,200$ . Calcula el precio medio y el precio mediano. ¿Qué número describe “una casa de esta calle”?
Quita el caserón y vuelve a calcular los dos. ¿Cuánto se ha movido cada resumen? Enuncia la moraleja sobre los valores atípicos.
Una tabla del censo: de $100$ familias, $20$ no tienen hijos, $25$ tienen uno, $30$ tienen dos, $15$ tienen tres y $10$ tienen cuatro. Calcula el número medio de hijos. Ninguna familia “tiene $1.7$ hijos”, así que ¿qué cantidad real codifica la media? (Multiplícala por $100$ .)
Para las quince notas $4, 6, 7, 8, 9, 10, 10, 11, 12, 12, 13, 14, 15, 17, 19$ : halla la mediana y los cuartiles $Q_1$ y $Q_3$ (Método 8.8).
Para la misma serie, da el recorrido y el recorrido intercuartílico. ¿Qué mide cada uno?

Parte II — Curvas de notas y clases fusionadas.

A partir del Ejercicio 8.9: desplazar todos los valores en $+b$ desplaza en $+b$ la media, la mediana y los cuartiles; multiplicarlos por $a$ los multiplica por $a$ . ¿Qué les ocurre al recorrido y al recorrido intercuartílico con un desplazamiento? ¿Y con un cambio de escala? Justifícalo.
Un examen tiene media $9$ (sobre $20$ ) y el profesor quiere media $12$ . Se proponen dos correcciones: sumar $3$ puntos a todo el mundo o multiplicar cada nota por $\frac43$ . Calcula qué le ocurre a un alumno con $6$ y a otro con $18$ con cada corrección. ¿A quién favorece cada una y cuál tiene un problema de techo?
La clase A ( $20$ alumnos) tiene media $12$ ; la clase B ( $30$ alumnos) tiene media $10$ . Calcula la media de los $50$ alumnos juntos y explica por qué no es $11$ (la lección de la media ponderada del problema de fin de semana del volumen anterior sobre la media armónica, llevada al aula).
Comprueba que las medianas se niegan a este juego: calcula las medianas de $A = \{1, 2, 3\}$ y $B = \{0, 10\}$ , después la mediana de la lista fusionada, y compárala con la media ponderada por tamaños de las dos medianas.
Patinaje artístico: cinco jueces puntúan $5.2$ , $5.3$ , $5.4$ , $5.5$ , $9.9$ . Calcula la media, la mediana y la media recortada (se descartan la nota más baja y la más alta y se promedian las demás). ¿Por qué recortan casi todos los deportes con jueces?

Parte III — Leer distribuciones.

Dos fábricas producen tornillos de longitud media $50$ mm. Fábrica A: $Q_1 = 49.9$ , $Q_3 = 50.1$ ; fábrica B: $Q_1 = 48$ , $Q_3 = 52$ . Necesitas tornillos intercambiables: ¿qué fábrica eliges y qué estadístico ha decidido?
En un ambulatorio, la espera mediana es de $10$ minutos, pero la espera media es de $25$ . ¿Qué forma de los datos delata esta pareja de números? Construye un conjunto de cinco valores con exactamente esa mediana y esa media.
“Tu bebé está en el percentil 75 de estatura”: ¿qué significa esa frase? ¿Y puede estar por encima de la media todo niño de una ciudad? ¿Y por encima de la mediana? Explica la diferencia.
Clase A: mín $4$ , $Q_1\,8$ , mediana $11$ , $Q_3\,13$ , máx $17$ . Clase B: mín $2$ , $Q_1\,9$ , mediana $11$ , $Q_3\,12$ , máx $19$ . Compara: nota típica, homogeneidad de la mitad central y salvajismo de los extremos.
La lista del periodista: un titular dice “salario medio en TechCorp: $5\,000$ euros”. Enumera las tres preguntas que este problema te ha enseñado a hacer antes de creer que el titular dice algo sobre un empleado típico.

Parte IV — El caso de la cabina.

Fabrica tus propias pruebas: construye cinco precios de vivienda con media $300$ y mediana $200$ (miles de euros).
La media es el punto de equilibrio: demuestra a partir de la definición que las desviaciones respecto de la media siempre se cancelan, $\sum (x_i - \bar x) = 0$ , y compruébalo con tu conjunto de datos de la pregunta 16.
La mediana es la que minimiza los recados: hay tiendas en los kilómetros $1$ , $3$ , $4$ , $9$ y $13$ de una carretera, y un almacén debe minimizar la distancia total a las cinco tiendas. Calcula esa distancia total con el almacén en la mediana ( $4$ ), en la media ( $6$ ) y en $5$ . ¿Quién gana? (Es un hecho general: la mediana minimiza la distancia total en valor absoluto; prueba con cualquier otro punto.)
La cabina, resuelta: supón que un piloto tiene un $30\,\%$ de probabilidad de estar “cerca de la media” en una dimensión corporal, de forma independiente en las $10$ dimensiones. Estima la probabilidad de estar cerca de la media en las diez y concilia el resultado con lo que encontró el teniente entre $4\,000$ pilotos. ¿Qué construyó la Fuerza Aérea en lugar de la cabina media?
Final, el manual de uso, una línea para cada caso: cuando lo que importa son los totales (un presupuesto, una cosecha), usa la …; cuando importa el individuo típico (salarios, tiempos de espera), usa la …; cuando importa la equidad de la dispersión, informa de los …; cuando amenaza la contaminación, usa la … Cierra el caso con el título del problema.

Solución

Solución de Problema 8.1.

1. Media: $\frac{2\,550}{7} \approx 364$ mil euros; mediana: el cuarto de los siete precios ordenados, $230$ . La mediana describe la calle: seis de las siete casas no cuestan nada parecido a $364$ .

2. Sin el caserón: media $\frac{1\,350}{6} = 225$ , mediana $\frac{220 + 230}{2} = 225$ . La media ha caído unos $139$ ; la mediana, $5$ . Un solo valor extremo puede arrastrar la media a donde sea; la mediana apenas se entera: es robusta.

3. Media $= \frac{0 \times 20 + 1 \times 25 + 2 \times 30 + 3 \times 15 + 4 \times 10}{100} = \frac{170}{100} = 1.7$ . Ninguna familia tiene $1.7$ hijos, pero $1.7 \times 100 = 170$ sí es el número total exacto de hijos: la media codifica el total, repartido a partes iguales; ese es su verdadero talento.

4. $N = 15$ : mediana $=$ $8$ .^o valor $= 11$ ; $Q_1 =$ $4$ .^o valor $= 8$ ; $Q_3 =$ $12$ .^o valor $= 14$ .

5. Recorrido $19 - 4 = 15$ : la dispersión completa, extremos incluidos. Recorrido intercuartílico $14 - 8 = 6$ : la anchura de la mitad central, o sea, la dispersión sin el ruido de los extremos.

6. Un desplazamiento $+b$ mueve todos los valores, así que las diferencias entre valores (recorrido, recorrido intercuartílico) no cambian: $(x_i + b) - (x_j + b) = x_i - x_j$ . Un cambio de escala de razón $a$ multiplica todas las diferencias por $a$ : el recorrido y el recorrido intercuartílico quedan multiplicados por $\abs a$ .

7. Corrección aditiva: $6 \to 9$ y $18 \to 21$ ; el alumno flojo gana un $50\,\%$ y el fuerte, un $17\,\%$ , y el $21$ solo se sale ligeramente de la escala de $20$ puntos. Multiplicativa: $6 \to 8$ y $18 \to 24$ ; se conservan las razones, pero $24$ es imposible en una escala de $20$ : el problema del techo. Las correcciones aditivas favorecen a los de abajo; las multiplicativas hacen estallar a los de arriba.

8. Total de notas: $20 \times 12 + 30 \times 10 = 540$ , así que la media conjunta es $\frac{540}{50} = 10.8$ : los treinta alumnos de la clase B pesan más que los veinte de la A; las medias se fusionan por media ponderada, nunca por media simple.

9. Mediana de $A$ : $2$ ; la de $B$ : $5$ . Lista fusionada $\{0, 1, 2, 3, 10\}$ : mediana $2$ . La media de las medianas ponderada por tamaños sería $\frac{3 \times 2 + 2 \times 5}{5} = 3.2 \neq 2$ : las medianas no llevan ningún total, así que no existe fórmula de fusión; hay que reordenar la lista entera.

10. Media: $\frac{31.3}{5} = 6.26$ . Mediana: $5.4$ . Media recortada: $\frac{5.3 + 5.4 + 5.5}{3} = 5.4$ . Un juez entusiasta (o corrupto) ha movido la media casi un punto; la mediana y la media recortada se han encogido de hombros: de ahí las reglas de recorte de los deportes con jueces.

11. Fábrica A: la mitad central cabe en $0.2$ mm; fábrica B, en $4$ mm. Misma media, fiabilidad opuesta: compra en A. Ha decidido el recorrido intercuartílico; las medias solas comparan centros, nunca regularidad.

12. Una mediana muy por debajo de la media delata una cola larga por la derecha: casi todas las esperas cortas y unas pocas catastróficas. Ejemplo: $\{5, 5, 10, 10, 95\}$ , con mediana $10$ y media $\frac{125}{5} = 25$ .

13. Significa que el $75\,\%$ de los bebés de esa edad son más bajos (y el $25\,\%$ , más altos): es un puesto, no una talla. “Todos los niños por encima de la media” es imposible: si todos los valores superaran a la media, su promedio superaría a la media, que es él mismo: contradicción. Pero casi todos sí pueden estarlo: un solo niño muy bajo puede mantener la media por debajo de todos los demás. Por encima de la mediana: nunca más de la mitad, por definición. A los puestos no se los puede halagar; a los promedios, sí.

14. Nota típica: la misma, mediana $11$ en las dos. Homogeneidad de la mitad central: B es más compacta (recorrido intercuartílico $3$ frente a $5$ ). Extremos: B es más salvaje (recorrido $17$ frente a $13$ ). B es una clase de alumnos parecidos con unos pocos valores atípicos; A está repartida de manera uniforme.

15. (1) ¿Es $5\,000$ la media o la mediana, y me pueden dar la mediana? (2) ¿Cuál es la dispersión (los cuartiles), para saber hasta qué punto lo “típico” es típico? (3) ¿A quién se ha contado: tamaño de la muestra y forma de elegirla (la lección sobre encuestas del problema de fin de semana del volumen anterior sobre cómo mienten los datos)?

16. Por ejemplo, $100, 150, 200, 250, 800$ : mediana $200$ , media $\frac{1\,500}{5} = 300$ .

17. $\sum (x_i - \bar x) = \sum x_i - N \bar x = N\bar x - N\bar x = 0$ . Comprobación: $-200 - 150 - 100 - 50 + 500 = 0$ . La media es el punto donde se equilibran las desviaciones: el centro de gravedad de los datos (el $G$ del problema de fin de semana del volumen anterior sobre el baricentro, en una dimensión).

18. En la mediana $4$ : $3 + 1 + 0 + 5 + 9 = 18$ km. En la media $6$ : $5 + 3 + 2 + 3 + 7 = 20$ km. En $5$ : $4 + 2 + 1 + 4 + 8 = 19$ km. Gana la mediana: alejarse de ella siempre deja atrás más tiendas de las que acerca, así que el total solo puede crecer.

19. $0.3^{10} \approx 6 \times 10^{-6}$ : unos seis pilotos por millón. Entre $4\,000$ pilotos, el número esperado es $0.02$ , es decir, cero, tal como encontró el teniente Daniels. La Fuerza Aérea dejó de diseñar para el hombre medio y lo hizo todo ajustable: asientos, pedales, correas; diseñar para la dispersión, no para el centro.

20. Totales: la media. Individuo típico: la mediana. Equidad de la dispersión: los cuartiles (y el recorrido intercuartílico). Contaminación: la media recortada. Y la frase de cierre: la persona media no existe, pero la persona mediana casi sí.