Matemáticas de secundaria · Grades 10–12

14Trigonometría: la circunferencia unidad

La trigonometría empieza en los triángulos rectángulos, pero su verdadera casa es la circunferencia unidad, donde el coseno y el seno pasan a ser funciones de un número real cualquiera. Este capítulo instala el radián, el enrollamiento de la recta real sobre la circunferencia, los valores exactos que hay que saberse de memoria y las simetrías que generan todas las identidades clásicas. El estudio de $\cos$ y $\sin$ como funciones (variación, derivadas) se lleva a cabo en el Capítulo 24.

14.1 Radianes y enrollamiento

Definición 14.1 (Radián)

Sea $\mathcal C$ la circunferencia de radio $1$ centrada en el origen $O$ y sea $I(1, 0)$ . La medida en radianes de un ángulo central de $\mathcal C$ es la longitud del arco que recorta sobre $\mathcal C$ . Como la circunferencia completa mide $2\pi$ :

360^\circ = 2\pi \text{ rad}, \qquad 180^\circ = \pi \text{ rad}, \qquad 1 \text{ rad} = \frac{180^\circ}{\pi} \approx 57.3^\circ .

Método 14.2 (Convertir)

Los grados y los radianes son proporcionales: multiplica por $\frac{\pi}{180}$ para pasar de grados a radianes y por $\frac{180}{\pi}$ en sentido contrario. Por ejemplo, $60^\circ = 60 \times \frac{\pi}{180} = \frac{\pi}{3}$ y $\frac{3\pi}{4} = \frac{3 \times 180^\circ}{4} = 135^\circ$ .

Definición 14.3 (Enrollar la recta sobre la circunferencia)

A cada número real $t$ le asociamos el punto $M(t)$ de $\mathcal C$ que se obtiene recorriendo una distancia $\abs t$ sobre la circunferencia desde $I$ , en sentido antihorario si $t \geq 0$ y en sentido horario si $t < 0$ . Como la longitud de la circunferencia es $2\pi$ , los números $t$ y $t + 2k\pi$ ( $k \in \Z$ ) llegan al mismo punto: $M(t + 2k\pi) = M(t)$ .

Ejemplo 14.4

$M(0) = I$ ; $M\!\left(\frac{\pi}{2}\right) = (0, 1)$ , lo más alto de la circunferencia; $M(\pi) = (-1, 0)$ ; $M\!\left(-\frac{\pi}{2}\right) = (0, -1)$ ; y $M\!\left(\frac{9\pi}{4}\right) = M\!\left(\frac{\pi}{4} + 2\pi\right) = M\!\left(\frac{\pi}{4}\right)$ .

14.2 Coseno y seno

Definición 14.5 (Coseno y seno)

Para todo real $t$ , el coseno y el seno de $t$ son las coordenadas del punto $M(t)$ de la circunferencia unidad:

M(t) = (\cos t,\ \sin t).

La circunferencia unidad: el número real t, enrollado en sentido antihorario desde I, aterriza en el punto M(t), cuyas coordenadas definen t y t. — La circunferencia unidad: el número real $t$ , enrollado en sentido antihorario desde $I$ , aterriza en el punto $M(t)$ , cuyas coordenadas *definen* $\cos t$ y $\sin t$ .

Proposición 14.6 (Primeras propiedades)

Para todos $t \in \R$ y $k \in \Z$ :

-1 \leq \cos t \leq 1, \qquad -1 \leq \sin t \leq 1, \qquad \cos^2 t + \sin^2 t = 1,

\cos(t + 2k\pi) = \cos t, \qquad \sin(t + 2k\pi) = \sin t .

Demostración. $M(t)$ está en la circunferencia unidad, así que sus coordenadas están entre $-1$ y $1$ y cumplen la ecuación de la circunferencia $x^2 + y^2 = 1$ , que es la identidad $\cos^2 t + \sin^2 t = 1$ . La periodicidad no es más que otra forma de escribir $M(t + 2k\pi) = M(t)$ (Definición 14.3). ∎

Ejemplo 14.7

Si $\sin t = \frac35$ y $t \in \intcc{\frac\pi2}{\pi}$ (segundo cuadrante), entonces $\cos^2 t = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}$ , luego $\cos t = \pm\frac45$ ; en el segundo cuadrante la abscisa es negativa, así que $\cos t = -\frac45$ .

Los valores que hay que saberse de memoria:

$t$	$0$	$\dfrac{\pi}{6}$	$\dfrac{\pi}{4}$	$\dfrac{\pi}{3}$	$\dfrac{\pi}{2}$
[6pt] $\cos t$	$1$	$\dfrac{\sqrt3}{2}$	$\dfrac{\sqrt2}{2}$	$\dfrac12$	$0$
[6pt] $\sin t$	$0$	$\dfrac12$	$\dfrac{\sqrt2}{2}$	$\dfrac{\sqrt3}{2}$	$1$

Observación 14.8

Una ayuda para la memoria: los senos se leen $\frac{\sqrt0}{2}, \frac{\sqrt1}{2}, \frac{\sqrt2}{2}, \frac{\sqrt3}{2}, \frac{\sqrt4}{2}$ , y los cosenos son la misma lista al revés.

14.3 Ángulos asociados

Proposición 14.9 (Ángulos asociados)

Para todo $t \in \R$ :

\begin{aligned} \cos(-t) &= \cos t, & \sin(-t) &= -\sin t,\\ \cos(\pi - t) &= -\cos t, & \sin(\pi - t) &= \sin t,\\ \cos(\pi + t) &= -\cos t, & \sin(\pi + t) &= -\sin t,\\ \cos\left(\tfrac{\pi}{2} - t\right) &= \sin t, & \sin\left(\tfrac{\pi}{2} - t\right) &= \cos t . \end{aligned}

Demostración. Cada línea expresa una simetría de la circunferencia.

$M(-t)$ es el simétrico de $M(t)$ respecto del eje $x$ : la abscisa no cambia y la ordenada cambia de signo.

$M(\pi - t)$ es el simétrico de $M(t)$ respecto del eje $y$ : retroceder $t$ desde $\pi$ lleva al punto opuesto en horizontal al que se alcanza avanzando $t$ desde $0$ . La abscisa cambia de signo y la ordenada no.

$M(\pi + t)$ es diametralmente opuesto a $M(t)$ (medio giro): las dos coordenadas cambian de signo.

$M\!\left(\frac\pi2 - t\right)$ es el simétrico de $M(t)$ respecto de la diagonal $y = x$ , que intercambia las dos coordenadas. ∎

Los cuatro puntos asociados: M(-t) es el reflejo de M(t) respecto del eje x; M(π - t), respecto del eje y; y M(π + t) es el diametralmente opuesto. Todas las identidades de la se leen en este dibujo. — Los cuatro puntos asociados: $M(-t)$ es el reflejo de $M(t)$ respecto del eje $x$ ; $M(\pi - t)$ , respecto del eje $y$ ; y $M(\pi + t)$ es el diametralmente opuesto. Todas las identidades de la Proposición 14.9 se leen en este dibujo.

Ejemplo 14.10

$\cos\frac{2\pi}{3} = \cos\left(\pi - \frac\pi3\right) = -\cos\frac\pi3 = -\frac12$ , y $\sin\frac{7\pi}{6} = \sin\left(\pi + \frac\pi6\right) = -\sin\frac\pi6 = -\frac12$ . La tabla de cinco valores, ampliada con las simetrías, cubre toda la circunferencia.

14.4 Resolución de ecuaciones trigonométricas

Teorema 14.11 (Las ecuaciones $\cos t = \cos a$ y $\sin t = \sin a$ )

Para números reales $t$ y $a$ :

\cos t = \cos a \iff t = a + 2k\pi \ \text{o}\ t = -a + 2k\pi \quad (k \in \Z),

\sin t = \sin a \iff t = a + 2k\pi \ \text{o}\ t = \pi - a + 2k\pi \quad (k \in \Z).

Demostración. Dos puntos de la circunferencia unidad tienen la misma abscisa exactamente cuando son iguales o simétricos respecto del eje $x$ ; por la Proposición 14.9, el simétrico de $M(a)$ es $M(-a)$ . Así que $\cos t = \cos a$ significa $M(t) = M(a)$ o $M(t) = M(-a)$ , es decir, $t = \pm a$ salvo un múltiplo de $2\pi$ . De igual modo, ordenadas iguales significan puntos iguales o simétricos respecto del eje $y$ , y el simétrico de $M(a)$ es $M(\pi - a)$ . ∎

Método 14.12 (Resolver $\cos t = c$ en un intervalo)

Halla un ángulo $a$ con $\cos a = c$ , a partir de la tabla de valores conocidos.
Escribe las soluciones generales $t = \pm a + 2k\pi$ (Teorema 14.11).
Elige los enteros $k$ que caen dentro del intervalo pedido y enumera las soluciones.

Procede igual con $\sin t = c$ , con $t = a + 2k\pi$ o $t = \pi - a + 2k\pi$ .

Ejemplo 14.13

Resolvamos $\cos t = \frac12$ en $\intoc{-\pi}{\pi}$ . Una solución de $\cos a = \frac12$ es $a = \frac{\pi}{3}$ . Las soluciones generales son $t = \frac\pi3 + 2k\pi$ y $t = -\frac\pi3 + 2k\pi$ . Dentro de $\intoc{-\pi}{\pi}$ solo aporta $k = 0$ : $t \in \left\{-\frac\pi3,\ \frac\pi3\right\}$ .

Resolvamos $\sin t = -\frac{\sqrt2}{2}$ en $\intco{0}{2\pi}$ . Un ángulo es $a = -\frac\pi4$ ; las soluciones son $t = -\frac\pi4 + 2k\pi$ y $t = \pi + \frac\pi4 + 2k\pi = \frac{5\pi}{4} + 2k\pi$ . En $\intco{0}{2\pi}$ : $t = \frac{7\pi}{4}$ (de $k = 1$ ) y $t = \frac{5\pi}{4}$ .

Resolución de t = 1/2: la recta vertical x = 1/2 (en naranja) corta la circunferencia unidad en dos puntos, simétricos respecto del eje x; de ahí las dos familias de soluciones t = ± π3 + 2kπ. — Resolución de $\cos t = \frac12$ : la recta vertical $x = \frac12$ (en naranja) corta la circunferencia unidad en dos puntos, simétricos respecto del eje $x$ ; de ahí las dos familias de soluciones $t = \pm\frac\pi3 + 2k\pi$ .

14.5 Ejercicios

Ejercicio 14.1 ★

Pasa a radianes: $30^\circ$ , $45^\circ$ , $120^\circ$ , $270^\circ$ . Pasa a grados: $\frac{\pi}{5}$ , $\frac{5\pi}{6}$ , $\frac{7\pi}{4}$ , $\frac{2\pi}{9}$ .

Solución

Solución de Ejercicio 14.1.

A radianes: $30^\circ = \frac{\pi}{6}$ , $45^\circ = \frac{\pi}{4}$ , $120^\circ = \frac{2\pi}{3}$ , $270^\circ = \frac{3\pi}{2}$ .

A grados: $\frac{\pi}{5} = 36^\circ$ , $\frac{5\pi}{6} = 150^\circ$ , $\frac{7\pi}{4} = 315^\circ$ , $\frac{2\pi}{9} = 40^\circ$ .

Ejercicio 14.2 ★

Sitúa sobre la circunferencia unidad los puntos $M(t)$ para

t = \frac{2\pi}{3},\quad t = -\frac{\pi}{4},\quad t = \frac{17\pi}{6},\quad t = -\frac{7\pi}{2},

después de reducir cada uno, módulo $2\pi$ , a un valor de $\intoc{-\pi}{\pi}$ .

Solución

Solución de Ejercicio 14.2.

$\frac{2\pi}{3}$ y $-\frac{\pi}{4}$ ya están en $\intoc{-\pi}{\pi}$ : segundo cuadrante y cuarto cuadrante, respectivamente.

$\frac{17\pi}{6} - 2\pi = \frac{5\pi}{6}$ : segundo cuadrante, cerca del semieje $x$ negativo.

$-\frac{7\pi}{2} + 4\pi = \frac{\pi}{2}$ : lo más alto de la circunferencia, $(0, 1)$ .

Ejercicio 14.3 ★

Usando la tabla y los ángulos asociados, da los valores exactos de

\cos\frac{3\pi}{4}, \quad \sin\frac{5\pi}{6}, \quad \cos\left(-\frac{\pi}{3}\right), \quad \sin\frac{4\pi}{3}, \quad \cos\frac{11\pi}{6} .

Solución

Solución de Ejercicio 14.3.

$\cos\frac{3\pi}{4} = \cos\left(\pi - \frac\pi4\right) = -\cos\frac\pi4 = -\frac{\sqrt2}{2}$ .

$\sin\frac{5\pi}{6} = \sin\left(\pi - \frac\pi6\right) = \sin\frac\pi6 = \frac12$ .

$\cos\left(-\frac\pi3\right) = \cos\frac\pi3 = \frac12$ .

$\sin\frac{4\pi}{3} = \sin\left(\pi + \frac\pi3\right) = -\sin\frac\pi3 = -\frac{\sqrt3}{2}$ .

$\cos\frac{11\pi}{6} = \cos\left(-\frac\pi6 + 2\pi\right) = \cos\frac\pi6 = \frac{\sqrt3}{2}$ .

Ejercicio 14.4 ★

Sabiendo que $\cos t = \frac{5}{13}$ con $t \in \intoo{-\frac\pi2}{0}$ , calcula $\sin t$ de forma exacta.

Solución

Solución de Ejercicio 14.4.

$\sin^2 t = 1 - \cos^2 t = 1 - \frac{25}{169} = \frac{144}{169}$ , luego $\sin t = \pm\frac{12}{13}$ . En $\intoo{-\frac\pi2}{0}$ (cuarto cuadrante) la ordenada es negativa: $\sin t = -\frac{12}{13}$ .

Ejercicio 14.5 ★★

Simplifica, para todo real $x$ :

A = \cos(\pi + x) + \cos(-x) + \sin\left(\frac\pi2 - x\right) - \cos x, \qquad B = \sin(\pi - x) + \sin(\pi + x) + \sin(-x) .

Solución

Solución de Ejercicio 14.5.

Usando la Proposición 14.9:

A = (-\cos x) + \cos x + \cos x - \cos x = 0 ,

B = \sin x + (-\sin x) + (-\sin x) = -\sin x .

Ejercicio 14.6 ★★

Resuelve en $\intoc{-\pi}{\pi}$ :

\cos t = \frac{\sqrt3}{2}, \qquad \sin t = \frac12, \qquad \cos t = -1 .

Solución

Solución de Ejercicio 14.6.

$\cos t = \frac{\sqrt3}{2}$ : una solución es $\frac\pi6$ , luego $t = \pm\frac\pi6$ (los desplazamientos de $2k\pi$ salen del intervalo).

$\sin t = \frac12$ : $t = \frac\pi6$ o $t = \pi - \frac\pi6 = \frac{5\pi}{6}$ .

$\cos t = -1$ : el único punto de abscisa $-1$ es $M(\pi)$ , luego $t = \pi$ .

Ejercicio 14.7 ★★

Resuelve en $\intco{0}{2\pi}$ :

\sin t = -\frac{\sqrt3}{2}, \qquad \cos t = 0, \qquad 2\sin t + 1 = 0 .

Solución

Solución de Ejercicio 14.7.

$\sin t = -\frac{\sqrt3}{2}$ : partiendo de $a = -\frac\pi3$ , las familias son $-\frac\pi3 + 2k\pi$ y $\pi + \frac\pi3 + 2k\pi$ ; en $\intco{0}{2\pi}$ : $t = \frac{4\pi}{3}$ y $t = \frac{5\pi}{3}$ .

$\cos t = 0$ : $t = \frac\pi2$ y $t = \frac{3\pi}{2}$ .

$2\sin t + 1 = 0$ significa $\sin t = -\frac12$ : partiendo de $a = -\frac\pi6$ , en $\intco{0}{2\pi}$ : $t = \frac{7\pi}{6}$ y $t = \frac{11\pi}{6}$ .

Ejercicio 14.8 ★★

Resuelve en $\R$ la ecuación $\cos 2t = \cos t$ . (Usa el Teorema 14.11 con $a = t$ y discute las dos familias de soluciones.)

Solución

Solución de Ejercicio 14.8.

Por el Teorema 14.11, $\cos 2t = \cos t$ significa $2t = t + 2k\pi$ o $2t = -t + 2k\pi$ , es decir, $t = 2k\pi$ o $t = \frac{2k\pi}{3}$ ( $k \in \Z$ ). La primera familia está contenida en la segunda (tomando $k$ múltiplo de $3$ ), así que el conjunto de soluciones es

S = \left\{\frac{2k\pi}{3} : k \in \Z\right\}

o, sobre la circunferencia, los tres puntos $M(0)$ , $M\!\left(\frac{2\pi}{3}\right)$ y $M\!\left(\frac{4\pi}{3}\right)$ .

Ejercicio 14.9 ★★

Demuestra que para todo real $x$ ,

\bigl(\cos x + \sin x\bigr)^2 + \bigl(\cos x - \sin x\bigr)^2 = 2 .

Solución

Solución de Ejercicio 14.9.

Desarrollando los dos cuadrados y usando $\cos^2 x + \sin^2 x = 1$ :

(\cos^2 x + 2\sin x\cos x + \sin^2 x) + (\cos^2 x - 2\sin x\cos x + \sin^2 x) = 1 + 1 = 2 .

Ejercicio 14.10 ★★

Una rueda de radio $30$ cm rueda sin deslizar. ¿Qué ángulo (en radianes y después en grados) gira cuando la bicicleta avanza $1.5$ m? ¿Cuánto avanza la bicicleta en una vuelta completa de la rueda?

Solución

Solución de Ejercicio 14.10.

Rodar sin deslizar significa que la longitud del arco es igual a la distancia recorrida: $r\theta = 150$ cm da $\theta = \frac{150}{30} = 5$ rad $= 5 \times \frac{180}{\pi} \approx 286.5^\circ$ . Una vuelta completa hace avanzar la bicicleta la longitud de la circunferencia, $2\pi \times 30 = 60\pi \approx 188.5$ cm, o sea, unos $1.88$ m.

Ejercicio 14.11 ★★★

Resuelve en $\intoc{-\pi}{\pi}$ la inecuación $\cos t \leq \frac12$ . (Esboza la circunferencia unidad, marca la región donde la abscisa es como mucho $\frac12$ y lee el intervalo de valores de $t$ .)

Solución

Solución de Ejercicio 14.11.

Sobre la circunferencia unidad, los puntos de abscisa exactamente $\frac12$ son $M\!\left(\pm\frac\pi3\right)$ . Los puntos de abscisa como mucho $\frac12$ forman el arco situado a la izquierda de la recta vertical $x = \frac12$ , que se recorre cuando $t$ va de $\frac\pi3$ hasta $\pi$ , o de $-\pi$ hasta $-\frac\pi3$ . Por tanto, en $\intoc{-\pi}{\pi}$ :

S = \intoc{-\pi}{-\frac{\pi}{3}} \cup \intcc{\frac{\pi}{3}}{\pi}.

(Los extremos $\pm\frac\pi3$ están incluidos porque la desigualdad no es estricta.)

14.6 Problema: La noria y la marea

Problema 14.1

Problema de fin de semana — los radianes como distancia rodada y la circunferencia unidad como reloj maestro de todo fenómeno periódico

Una noria te lleva alrededor de un círculo; la marea sube y baja el agua del puerto siguiendo ese mismo círculo matemático. Todo fenómeno periódico (ruedas, mareas, sonido, estaciones) lee su horario en la circunferencia unidad de este capítulo (Definición 14.5), y las ecuaciones del Método 14.12 dan los instantes exactos. Este problema convierte, enrolla, modeliza y resuelve, y de paso deja claro por qué los matemáticos miden los ángulos en radianes.

Parte I — Los radianes, la distancia rodada.

Pasa a radianes: $30^\circ$ , $135^\circ$ , $300^\circ$ ; y a grados: $\frac{3\pi}{4}$ , $\frac{5\pi}{6}$ (Método 14.2).
La gracia de los radianes: un arco de ángulo $t$ (en radianes) sobre una circunferencia de radio $r$ mide exactamente $r\,t$ . ¿Qué arco recorta un ángulo de $2$ radianes en una circunferencia de radio $3$ m? (Sin ningún $\pi$ : de eso se trata.)
Una rueda de radio $30$ cm rueda $1$ km sin deslizar. ¿Cuántos radianes ha girado y cuántas vueltas completas son?
Sitúa sobre la circunferencia unidad y evalúa de forma exacta: $\cos\frac{2\pi}{3}$ , $\sin\left(-\frac{\pi}{4}\right)$ y $\cos\frac{19\pi}{6}$ (reduce antes módulo $2\pi$ ; Proposición 14.9).
Un ángulo $t \in \intoo{\frac\pi2}{\pi}$ cumple $\sin t = \frac35$ . Usando $\cos^2 t + \sin^2 t = 1$ y el cuadrante, halla $\cos t$ y $\tan t$ .

Parte II — La noria. Una noria gigante tiene radio $60$ m, su eje está a $65$ m del suelo y da una vuelta cada $30$ minutos. Subes en el punto más bajo en el instante $t = 0$ (en minutos), así que tu altura cumple

h(t) = 65 - 60 \cos\!\left(\frac{\pi t}{15}\right).

Justifica la fórmula: comprueba el ángulo girado al cabo de $t$ minutos y la altura en $t = 0$ , y explica el signo menos.
Calcula tu altura en $t = 7.5$ , $t = 15$ y $t = 20$ minutos (valores exactos).
¿En qué instante estás por primera vez a $95$ m? (Resuelve $h(t) = 95$ con el Método 14.12.)
¿Durante qué intervalo de tiempo del viaje estás al menos a $95$ m de altura, y cuánto dura en total? (Compara con el Ejercicio 14.11.)
¿Dónde cambia más deprisa la altura? Compara la subida del primer minuto ( $h(1) - h(0)$ ) con la subida entre los minutos $7$ y $8$ , y formula la observación (la herramienta que la vuelve exacta, la derivada de la sinusoide, llega el año que viene).
Turno del ingeniero: diseña la fórmula de la altura de una noria de altura máxima $40$ m, altura mínima $4$ m y periodo $12$ minutos, en la que se sube por abajo en $t = 0$ .

Parte III — La marea y las simetrías de la circunferencia. En un puerto, el calado en metros, $t$ horas después de medianoche, es

d(t) = 7 + 3 \sin\!\left(\frac{\pi t}{6}\right).

Da el calado máximo y el mínimo, los instantes en que se producen por primera vez y el periodo de la marea.
Un carguero necesita $8.5$ m de agua. Resuelve $d(t) \geq 8.5$ en $\intco{0}{12}$ : ¿en qué ventana puede entrar y cuánto dura la ventana? ¿Cuándo se abre la siguiente?
Vuelve a deducir dos identidades de ángulos asociados directamente de las simetrías de la circunferencia: $\sin(\pi - t) = \sin t$ (simetría respecto del eje vertical) y $\cos(\pi + t) = -\cos t$ (medio giro), y enuncia la identidad de los ángulos complementarios $\cos\left(\frac\pi2 - t\right) = \sin t$ .
Paridad (con el vocabulario del Problema 11.1): clasifica $\sin$ , $\cos$ y $t \mapsto \sin t + t^3$ como pares o impares, con demostraciones de una línea a partir de la circunferencia.
Resuelve en $\intco{0}{2\pi}$ : $2\sin^2 t - \sin t - 1 = 0$ . (Es una ecuación de segundo grado disfrazada: factorízala como en el Problema 10.1 y lee después la circunferencia.)

Parte IV — El ángulo del matemático.

¿Cuántos grados es $1$ radián? Y una trampa de calculadora: ¿qué es mayor, $\sin(1)$ (en modo radianes) o $\sin(1^\circ)$ , y por qué factor aproximadamente? ¿Moraleja sobre la configuración de la calculadora?
Resuelve $\cos t = \sin t$ en $\intco{0}{2\pi}$ , usando la circunferencia (¿dónde coinciden la abscisa y la ordenada?).
Para ángulos pequeños, el arco y su seno casi coinciden: compara $\sin(0.1)$ con $0.1$ (cinco decimales) y da el error relativo. Esta “aproximación de ángulos pequeños” gobierna barcos y péndulos; el teorema que hay detrás ( $\frac{\sin t}{t} \to 1$ ) es una estrella del capítulo de límites del año que viene.
Final: la circunferencia unidad como reloj maestro, una frase por punto: los radianes convierten los ángulos en números honrados (arco $=$ radio $\times$ ángulo); el coseno y el seno son la sombra y la altura de la aguja del reloj; las simetrías de la circunferencia son las identidades; resolver $\cos t = c$ lee los horarios en el reloj; y todo fenómeno periódico (rueda, marea, sonido) es ese mismo reloj disfrazado.

Solución

Solución de Problema 14.1.

1. $30^\circ = \frac{\pi}{6}$ ; $135^\circ = \frac{3\pi}{4}$ ; $300^\circ = \frac{5\pi}{3}$ . Y $\frac{3\pi}{4} = 135^\circ$ ; $\frac{5\pi}{6} = 150^\circ$ .

2. Longitud $r\,t = 3 \times 2 = 6$ m. Los radianes convierten la longitud del arco en un producto sin más; los grados arrastrarían un $\frac{\pi}{180}$ a cada fórmula.

3. Radianes girados $= \frac{\text{distancia}}{\text{radio}} = \frac{1000}{0.30} \approx 3\,333$ rad; dividiendo entre $2\pi$ , unas $530$ vueltas completas.

4. $\cos\frac{2\pi}{3} = -\frac12$ ; $\sin\left(-\frac\pi4\right) = -\frac{\sqrt2}{2}$ ; $\frac{19\pi}{6} - 2\pi = \frac{7\pi}{6}$ , luego $\cos\frac{19\pi}{6} = \cos\frac{7\pi}{6} = -\frac{\sqrt3}{2}$ .

5. $\cos^2 t = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}$ ; en el segundo cuadrante el coseno es negativo: $\cos t = -\frac45$ , y $\tan t = \frac{3/5}{-4/5} = -\frac34$ .

6. En $t$ minutos la noria gira $\frac{t}{30} \times 2\pi = \frac{\pi t}{15}$ . En $t = 0$ : $h = 65 - 60 = 5$ m, el andén de embarque, abajo del todo (la altura del eje menos el radio). El signo menos te coloca por debajo del eje cuando el ángulo girado es $0$ .

7. $h(7.5) = 65 - 60\cos\frac{\pi}{2} = 65$ m (la altura del eje); $h(15) = 65 + 60 = 125$ m (lo más alto); $h(20) = 65 - 60\cos\frac{4\pi}{3} = 65 + 30 = 95$ m.

8. $65 - 60\cos\frac{\pi t}{15} = 95$ da $\cos\frac{\pi t}{15} = -\frac12$ : la primera solución es $\frac{\pi t}{15} = \frac{2\pi}{3}$ , es decir, $t = 10$ minutos.

9. $\cos\frac{\pi t}{15} \leq -\frac12$ para $\frac{\pi t}{15} \in \intcc{\frac{2\pi}{3}}{\frac{4\pi}{3}}$ , es decir, $t \in \intcc{10}{20}$ : diez minutos del viaje por encima de $95$ m, simétricos respecto de la cima en $t = 15$ .

10. Primer minuto:

h(1) - h(0) = 60\left(1 - \cos\frac{\pi}{15}\right) \approx 1.3 \text{ m}.

Entre los minutos $7$ y $8$ :

60\left(\cos\frac{7\pi}{15} - \cos\frac{8\pi}{15}\right) \approx 12.5 \text{ m},

casi diez veces más. La altura cambia más deprisa al pasar por la altura del eje y se estanca cerca del suelo y de la cima: la sinusoide es empinada en su parte media y plana en sus extremos.

11. Radio $= \frac{40 - 4}{2} = 18$ m, eje a $4 + 18 = 22$ m y periodo $12$ min: $h(t) = 22 - 18\cos\left(\frac{\pi t}{6}\right)$ .

12. Máximo $7 + 3 = 10$ m cuando $\sin\frac{\pi t}{6} = 1$ : la primera vez en $t = 3$ (a las 3 de la madrugada); mínimo de $4$ m por primera vez en $t = 9$ ; periodo $\frac{2\pi}{\pi/6} = 12$ horas.

13. $\sin\frac{\pi t}{6} \geq \frac12$ para $\frac{\pi t}{6} \in \intcc{\frac\pi6}{\frac{5\pi}{6}}$ : $t \in \intcc{1}{5}$ , una ventana de cuatro horas de la 1 a las 5 de la madrugada, que vuelve a abrirse un periodo después, $t \in \intcc{13}{17}$ (de la 1 a las 5 de la tarde).

14. La simetría respecto del eje vertical lleva el punto de ángulo $t$ al de ángulo $\pi - t$ y conserva la ordenada: $\sin(\pi - t) = \sin t$ . El medio giro alrededor del centro lleva $t$ a $\pi + t$ y cambia el signo de las dos coordenadas: $\cos(\pi + t) = -\cos t$ . Y la simetría respecto de la diagonal intercambia abscisa y ordenada: $\cos\left(\frac\pi2 - t\right) = \sin t$ , el “co” de los ángulos complementarios.

15. $\sin(-t) = -\sin t$ : impar (su gráfica tiene simetría de medio giro); $\cos(-t) = \cos t$ : par (simetría de espejo). Y $\sin t + t^3$ es suma de dos funciones impares: impar.

16. Factorizamos: $(2\sin t + 1)(\sin t - 1) = 0$ : $\sin t = 1$ da $t = \frac\pi2$ ; $\sin t = -\frac12$ da $t = \frac{7\pi}{6}$ y $t = \frac{11\pi}{6}$ . Tres soluciones sobre la circunferencia.

17. $1$ rad $= \frac{180}{\pi} \approx 57.3^\circ$ . Así que $\sin(1) \approx 0.841$ , mientras que $\sin(1^\circ) \approx 0.0175$ : un factor de casi $50$ . Moraleja: comprueba el indicador de modo antes de fiarte de cualquier resultado trigonométrico.

18. La abscisa es igual a la ordenada sobre la diagonal: $t = \frac\pi4$ y $t = \frac{5\pi}{4}$ .

19. $\sin(0.1) = 0.09983\ldots$ frente a $0.1$ : error relativo de un $0.17\,\%$ aproximadamente. Para ángulos pequeños, la cuerda se abraza al arco, y el límite $\frac{\sin t}{t} \to 1$ del año que viene es exactamente esta observación convertida en teorema.

20. Radianes: el ángulo es el arco sobre la circunferencia unidad, así que los ángulos se calculan como longitudes. Coseno y seno: las coordenadas de la aguja del reloj, la sombra en el suelo y la altura en la pared. Simetrías de la circunferencia: todo el catálogo de identidades, leído en espejos y medios giros. Ecuaciones $\cos t = c$ : el horario del reloj, con la circunferencia mostrando todas las soluciones a la vez. Disfraces: la noria llevaba $65 - 60\cos$ y la marea, $7 + 3\sin$ ; el mismo reloj, las mismas matemáticas.