Matemáticas de secundaria · Grades 10–12

13Sucesiones: un primer curso

Una sucesión es una lista de números producida por una regla: los saldos sucesivos de una cuenta de ahorro, el tamaño de una población año tras año. Este capítulo estudia las dos familias que dominan las aplicaciones: las progresiones aritméticas, que crecen a pasos iguales, y las geométricas, que crecen en razones iguales. La teoría rigurosa de los límites se desarrolla en el Capítulo 20.

13.1 Definir una sucesión

Definición 13.1 (Sucesión)

Una sucesión $(u_n)$ asigna a cada entero $n \geq 0$ (o $n \geq 1$ ) un número real $u_n$ , su término de índice $n$ . Una sucesión se puede dar

de forma explícita, mediante una fórmula para $u_n$ en función de $n$ ; por ejemplo, $u_n = n^2 + 1$ ;
por recurrencia, mediante su primer término y una regla para pasar de cada término al siguiente; por ejemplo, $u_0 = 3$ y $u_{n+1} = 2u_n - 1$ .

Ejemplo 13.2

Para $u_n = n^2 + 1$ : $u_0 = 1$ , $u_1 = 2$ , $u_2 = 5$ , y $u_{10} = 101$ directamente. Para $u_0 = 3$ , $u_{n+1} = 2u_n - 1$ : $u_1 = 5$ , $u_2 = 9$ , $u_3 = 17$ ; cada término necesita el anterior, y llegar a $u_{10}$ cuesta diez pasos (o una fórmula general, véase el Ejercicio 13.11).

13.2 Progresiones aritméticas

Definición 13.3 (Progresión aritmética)

Una sucesión es una progresión aritmética de diferencia $d$ si cada término se obtiene del anterior sumándole $d$ :

u_{n+1} = u_n + d \quad \text{para todo } n.

Equivalentemente: la diferencia $u_{n+1} - u_n$ es constante e igual a $d$ .

Teorema 13.4 (Término general)

Si $(u_n)$ es una progresión aritmética de primer término $u_0$ y diferencia $d$ , entonces

u_n = u_0 + n\,d \quad \text{para todo } n \geq 0, \qquad\text{y, más en general, } u_n = u_p + (n - p)\,d .

Demostración. Para ir de $u_0$ a $u_n$ , la regla “sumar $d$ ” se aplica $n$ veces: un paso da $u_1 = u_0 + d$ , dos pasos dan $u_2 = u_0 + 2d$ y, tras $n$ pasos, cada aplicación ha aportado un $d$ , luego $u_n = u_0 + nd$ . (Este “y así sucesivamente” se hace riguroso por inducción en el Capítulo 20.) La fórmula general se obtiene contando los $n - p$ pasos que van de $u_p$ a $u_n$ . ∎

Teorema 13.5 (Suma de enteros consecutivos)

Para todo entero $n \geq 1$ :

1 + 2 + \dots + n = \frac{n(n+1)}{2}.

Más en general, una suma de términos consecutivos de una progresión aritmética vale

(\text{número de términos}) \times \frac{\text{primer término} + \text{último término}}{2}.

Demostración. Escribimos dos veces la suma $S$ , la segunda en orden inverso, y sumamos columna a columna:

\begin{array}{ccccccccc} S & = & 1 & + & 2 & + & \dots & + & n\\ S & = & n & + & (n-1) & + & \dots & + & 1\\ \hline 2S & = & (n+1) & + & (n+1) & + & \dots & + & (n+1) \end{array}

Hay $n$ columnas y cada una suma $n + 1$ , luego $2S = n(n+1)$ . Para una progresión aritmética cualquiera funciona el mismo emparejamiento: primero $+$ último $=$ segundo $+$ penúltimo $= \dots$ , porque avanzar un paso por la izquierda ( $+d$ ) se compensa con retroceder un paso por la derecha ( $-d$ ). ∎

Ejemplo 13.6

$1 + 2 + \dots + 100 = \frac{100 \times 101}{2} = 5050$ . La suma de los números impares $1 + 3 + \dots + 99$ ( $50$ términos) es $50 \times \frac{1 + 99}{2} = 2500$ .

13.3 Progresiones geométricas

Definición 13.7 (Progresión geométrica)

Una sucesión es una progresión geométrica de razón $q \neq 0$ si cada término se obtiene del anterior multiplicándolo por $q$ :

u_{n+1} = q\,u_n \quad \text{para todo } n.

Equivalentemente, cuando ningún término se anula: el cociente $\frac{u_{n+1}}{u_n}$ es constante e igual a $q$ .

Teorema 13.8 (Término general)

Si $(u_n)$ es una progresión geométrica de primer término $u_0$ y razón $q$ , entonces

u_n = u_0\, q^n \quad \text{para todo } n \geq 0, \qquad\text{y, más en general, } u_n = u_p\, q^{\,n-p} .

Demostración. El mismo recuento de pasos que en el Teorema 13.4: de $u_0$ a $u_n$ , la regla “multiplicar por $q$ ” se aplica $n$ veces, y aporta un factor $q^n$ . ∎

Teorema 13.9 (Suma geométrica)

Para todo real $q \neq 1$ y todo entero $n \geq 0$ :

1 + q + q^2 + \dots + q^n = \frac{1 - q^{\,n+1}}{1 - q}.

Demostración. Sea $S = 1 + q + \dots + q^n$ . Multiplicamos por $q$ : $qS = q + q^2 + \dots + q^{n+1}$ . Restamos:

S - qS = \bigl(1 + q + \dots + q^n\bigr) - \bigl(q + q^2 + \dots + q^{n+1}\bigr) = 1 - q^{\,n+1},

porque cada término intermedio aparece una vez en cada suma y se cancela. Por tanto, $(1 - q)S = 1 - q^{\,n+1}$ , y dividiendo entre $1 - q \neq 0$ se obtiene la fórmula. ∎

Ejemplo 13.10

$1 + 2 + 4 + \dots + 2^{10} = \frac{1 - 2^{11}}{1 - 2} = 2^{11} - 1 = 2047$ : duplicar granos de arroz en las casillas de un tablero de ajedrez desborda cualquier granero mucho antes de la casilla $64$ , donde el total es $2^{64} - 1 \approx 1.8 \times 10^{19}$ .

Pasos iguales frente a razones iguales: una progresión aritmética (u_n+1 = u_n + 0.9, en azul) sigue una recta; una progresión geométrica (u_n+1 = 1.2\,u_n, en rojo) sigue una curva exponencial que acaba adelantándola. — Pasos iguales frente a razones iguales: una progresión aritmética ( $u_{n+1} = u_n + 0.9$ , en azul) sigue una recta; una progresión geométrica ( $u_{n+1} = 1.2\,u_n$ , en rojo) sigue una curva exponencial que acaba adelantándola.

Método 13.11 (Reconocer el tipo de una sucesión)

Calcula $u_{n+1} - u_n$ y simplifica. Si el resultado es una constante $d$ , la sucesión es una progresión aritmética. Si no, calcula $\frac{u_{n+1}}{u_n}$ (con los términos no nulos) y simplifica: una constante $q$ significa progresión geométrica. Si ninguna de las dos cosas es constante, la sucesión no es de ninguno de los dos tipos; y no concluyas nunca a partir de los primeros términos solamente.

Ejemplo 13.12

Para $u_n = 3 \times 5^n$ : $\frac{u_{n+1}}{u_n} = \frac{3 \times 5^{n+1}}{3 \times 5^n} = 5$ para todo $n$ : progresión geométrica de razón $5$ . Para $u_n = n^2$ : $u_1 - u_0 = 1$ , pero $u_2 - u_1 = 3$ , y $\frac{u_1}{u_0}$ ni siquiera está definido: no es ni aritmética ni geométrica.

13.4 Monotonía

Definición 13.13 (Sucesión monótona)

Una sucesión $(u_n)$ es creciente si $u_{n+1} \geq u_n$ para todo $n$ , y decreciente si $u_{n+1} \leq u_n$ para todo $n$ .

Método 13.14 (Estudiar la monotonía)

Estudia el signo de $u_{n+1} - u_n$ . Para sucesiones de términos positivos, se puede comparar en su lugar $\frac{u_{n+1}}{u_n}$ con $1$ .

Ejemplo 13.15

Una progresión aritmética es creciente cuando $d \geq 0$ ( $u_{n+1} - u_n = d$ ) y decreciente cuando $d \leq 0$ . Una progresión geométrica con $u_0 > 0$ y $q > 1$ es creciente: $u_{n+1} - u_n = u_0 q^n (q - 1) > 0$ ; con $u_0 > 0$ y $0 < q < 1$ es decreciente.

13.5 Comportamiento a largo plazo, de manera informal

¿Qué le ocurre a $u_n$ cuando $n$ se hace muy grande? En una progresión aritmética con $d > 0$ , los términos $u_0 + nd$ acaban superando cualquier número fijo. En una progresión geométrica con $0 < q < 1$ , los términos $u_0 q^n$ se encogen hacia $0$ : multiplicar repetidamente por $0.9$ , por ejemplo, erosiona cualquier valor de partida. Y para $q > 1$ los términos explotan, como en el Ejemplo 13.10.

Observación 13.16

Estas afirmaciones se pueden hacer perfectamente precisas (“los términos acaban quedándose a menos de cualquier distancia dada de $0$ ”) y demostrar. Esa es la teoría de los límites, con la que se abre el Capítulo 20.

13.6 Ejercicios

Ejercicio 13.1 ★

Para cada sucesión, calcula $u_1$ , $u_2$ y $u_3$ :

u_n = \frac{n}{n+1}; \qquad u_0 = 5,\ u_{n+1} = 3u_n - 2; \qquad u_n = (-1)^n\,n .

Solución

Solución de Ejercicio 13.1.

$u_n = \frac{n}{n+1}$ : $u_1 = \frac12$ , $u_2 = \frac23$ , $u_3 = \frac34$ .

$u_0 = 5$ , $u_{n+1} = 3u_n - 2$ : $u_1 = 13$ , $u_2 = 37$ , $u_3 = 109$ .

$u_n = (-1)^n n$ : $u_1 = -1$ , $u_2 = 2$ , $u_3 = -3$ .

Ejercicio 13.2 ★

$(u_n)$ es una progresión aritmética con $u_0 = 7$ y $d = -3$ . Calcula $u_{10}$ y $u_{25}$ . $(v_n)$ es una progresión aritmética con $v_3 = 11$ y $v_8 = 26$ . Halla la diferencia y $v_0$ .

Solución

Solución de Ejercicio 13.2.

$u_{10} = 7 + 10 \times (-3) = -23$ y $u_{25} = 7 - 75 = -68$ .

Para $(v_n)$ : $v_8 = v_3 + 5d$ da $26 = 11 + 5d$ , luego $d = 3$ ; después, $v_0 = v_3 - 3d = 11 - 9 = 2$ .

Ejercicio 13.3 ★

$(u_n)$ es una progresión geométrica con $u_0 = 5$ y $q = 2$ . Calcula $u_8$ . $(v_n)$ es una progresión geométrica de términos positivos con $v_2 = 12$ y $v_4 = 48$ . Halla la razón y $v_0$ .

Solución

Solución de Ejercicio 13.3.

$u_8 = 5 \times 2^8 = 1280$ .

Para $(v_n)$ : $v_4 = v_2\, q^2$ da $48 = 12 q^2$ , luego $q^2 = 4$ y $q = 2$ (los términos son positivos). Después, $v_0 = \frac{v_2}{q^2} = \frac{12}{4} = 3$ .

Ejercicio 13.4 ★

Calcula

1 + 2 + 3 + \dots + 500, \qquad 4 + 7 + 10 + \dots + 61, \qquad 1 + \frac12 + \frac14 + \dots + \frac{1}{2^{10}} .

Solución

Solución de Ejercicio 13.4.

$1 + \dots + 500 = \frac{500 \times 501}{2} = 125\,250$ .

$4 + 7 + \dots + 61$ es aritmética con $d = 3$ y $\frac{61 - 4}{3} + 1 = 20$ términos: suma $20 \times \frac{4 + 61}{2} = 650$ .

$1 + \frac12 + \dots + \frac{1}{2^{10}}$ es geométrica con $q = \frac12$ y $11$ términos: $\frac{1 - (1/2)^{11}}{1 - 1/2} = 2\left(1 - \frac{1}{2048}\right) = \frac{2047}{1024}$ .

Ejercicio 13.5 ★

Determina si cada sucesión es una progresión aritmética, una geométrica o ninguna de las dos:

u_n = 4n - 1; \qquad v_n = \frac{2^n}{3^{n+1}}; \qquad w_n = n^2 + n .

Solución

Solución de Ejercicio 13.5.

$u_{n+1} - u_n = 4(n+1) - 1 - 4n + 1 = 4$ : aritmética con $d = 4$ .

$\frac{v_{n+1}}{v_n} = \frac{2^{n+1}}{3^{n+2}} \cdot \frac{3^{n+1}}{2^n} = \frac23$ : geométrica con $q = \frac23$ .

$w_0 = 0$ , $w_1 = 2$ , $w_2 = 6$ : las diferencias $2$ y $4$ no coinciden, así que no es aritmética; $\frac{w_1}{w_0}$ ni siquiera está definido, y los cocientes $\frac{w_2}{w_1} = 3 \neq \frac{w_3}{w_2} = 2$ : ninguna de las dos.

Ejercicio 13.6 ★★

Un teatro tiene $20$ filas: $16$ butacas en la primera fila, y cada fila tiene $2$ butacas más que la anterior. ¿Cuántas butacas hay en la última fila? ¿Y en todo el teatro?

Solución

Solución de Ejercicio 13.6.

El número de butacas por fila forma una progresión aritmética: primer término $16$ y diferencia $2$ . La última fila (la $20$ ) tiene $16 + 19 \times 2 = 54$ butacas. El total es $20 \times \frac{16 + 54}{2} = 700$ butacas.

Ejercicio 13.7 ★★

Una población de bacterias se duplica cada hora; al mediodía hay $500$ bacterias. ¿Cuántas hay a las 8 de la tarde? ¿Al cabo de cuántas horas completas supera por primera vez el millón? (Resuélvelo probando potencias sucesivas de $2$ .)

Solución

Solución de Ejercicio 13.7.

Al cabo de $n$ horas la población es $500 \times 2^n$ . A las 8 de la tarde, $n = 8$ : $500 \times 256 = 128\,000$ bacterias. Hace falta $500 \times 2^n > 10^6$ , es decir, $2^n > 2000$ : como $2^{10} = 1024$ y $2^{11} = 2048$ , la población supera el millón por primera vez al cabo de $11$ horas completas, a las 11 de la noche.

Ejercicio 13.8 ★★

Cada mes, un ahorrador ingresa $100$ euros en una cuenta que paga un $0.2\,\%$ de interés mensual sobre el saldo existente (los intereses se abonan justo antes del ingreso). Sea $c_n$ el saldo inmediatamente después del ingreso $n$ -ésimo, de modo que $c_1 = 100$ y $c_{n+1} = 1.002\,c_n + 100$ . Calcula $c_2$ y $c_3$ y explica por qué $(c_n)$ no es ni una progresión aritmética ni una geométrica.

Solución

Solución de Ejercicio 13.8.

$c_2 = 1.002 \times 100 + 100 = 200.20$ y $c_3 = 1.002 \times 200.20 + 100 \approx 300.60$ . Las diferencias $c_2 - c_1 = 100.20$ y $c_3 - c_2 \approx 100.40$ no son iguales, así que $(c_n)$ no es aritmética; los cocientes $\frac{c_2}{c_1} = 2.002$ y $\frac{c_3}{c_2} \approx 1.50$ tampoco lo son, así que no es geométrica. (Las recurrencias mixtas de tipo “multiplicar y luego sumar” como esta se resuelven con el truco de la sucesión auxiliar del Ejercicio 13.11.)

Ejercicio 13.9 ★★

Estudia la monotonía de las sucesiones

u_n = n^2 - 8n \ (n \geq 0), \qquad v_n = \frac{3^n}{n!}\ (n \geq 1),

donde $n! = 1 \times 2 \times \dots \times n$ . (Para $(v_n)$ , compara $\frac{v_{n+1}}{v_n}$ con $1$ .)

Solución

Solución de Ejercicio 13.9.

$u_{n+1} - u_n = (n+1)^2 - 8(n+1) - n^2 + 8n = 2n - 7$ : negativo para $n \leq 3$ y positivo para $n \geq 4$ . Así que $(u_n)$ decrece hasta $u_4 = 16 - 32 = -16$ y crece después: no es monótona.

$(v_n)$ tiene términos positivos y

\frac{v_{n+1}}{v_n} = \frac{3^{n+1}}{(n+1)!} \cdot \frac{n!}{3^n} = \frac{3}{n+1},

que es $> 1$ para $n \leq 1$ , $= 1$ para $n = 2$ y $< 1$ para $n \geq 3$ : la sucesión crece hasta $v_2 = v_3 = \frac92$ y decrece después.

Ejercicio 13.10 ★★

La suma de los $n$ primeros términos de una progresión aritmética con $u_0 = 3$ y $d = 4$ vale $903$ . Halla $n$ . (Plantea una ecuación de segundo grado en $n$ y usa el Capítulo 10.)

Solución

Solución de Ejercicio 13.10.

Los $n$ primeros términos son $u_0, \dots, u_{n-1}$ , con $u_0 = 3$ y $u_{n-1} = 3 + 4(n-1) = 4n - 1$ . Su suma es

n \times \frac{3 + (4n-1)}{2} = n(2n + 1) = 903,

luego $2n^2 + n - 903 = 0$ . Aquí $\Delta = 1 + 4 \times 2 \times 903 = 7225 = 85^2$ y $n = \frac{-1 + 85}{4} = 21$ (se descarta la raíz negativa). Comprobación: $21 \times 43 = 903$ .

Ejercicio 13.11 ★★★

Sean $u_0 = 3$ y $u_{n+1} = 2u_n - 1$ .

Calcula $u_1, u_2, u_3$ y conjetura una fórmula para $u_n$ .
Sea $v_n = u_n - 1$ . Demuestra que $(v_n)$ es una progresión geométrica y da su razón y su primer término.
Deduce una fórmula explícita para $u_n$ y comprueba tu conjetura.

Solución

Solución de Ejercicio 13.11.

1. $u_1 = 5$ , $u_2 = 9$ , $u_3 = 17$ : cada término es uno más que $4, 8, 16$ , lo que sugiere $u_n = 2^{n+1} + 1$ .

2. Con $v_n = u_n - 1$ :

v_{n+1} = u_{n+1} - 1 = 2u_n - 1 - 1 = 2(u_n - 1) = 2v_n,

así que $(v_n)$ es una progresión geométrica de razón $2$ y primer término $v_0 = u_0 - 1 = 2$ .

3. Por tanto, $v_n = 2 \times 2^n = 2^{n+1}$ y $u_n = v_n + 1 = 2^{n+1} + 1$ , lo que confirma la conjetura. (El $1$ que se resta en $v_n$ es el punto fijo de $x \mapsto 2x - 1$ ; la misma idea reaparece para $u_{n+1} = au_n + b$ en el Capítulo 20.)

13.7 Problema: La torre de Brahma y los conejos de Fibonacci

Problema 13.1

Problema de fin de semana — dos recurrencias legendarias: la torre que acaba con el mundo, la sucesión que crece como el oro y el truco auxiliar que domestica los préstamos

Dos sucesiones gobiernan el folclore de las matemáticas. Una cuenta los movimientos de la torre de Brahma, sesenta y cuatro discos de oro cuyo traslado, según la leyenda, acabará con el mundo. La otra cuenta los conejos de Fibonacci y esconde el número áureo. Ninguna de las dos es aritmética ni geométrica, y las dos se rinden ante las armas de este capítulo: las recurrencias, las sumas geométricas (Teorema 13.9) y el truco de la sucesión auxiliar del Ejercicio 13.11, que además calcula tu hipoteca.

Parte I — La torre de Brahma. El rompecabezas: hay $n$ discos de tamaño decreciente apilados en la varilla A; hay que trasladar la pila entera a la varilla C, de disco en disco y sin colocar nunca un disco grande sobre uno pequeño (la varilla B puede ayudar). Sea $h_n$ el número mínimo de movimientos.

Juega (con monedas) y anota $h_1$ , $h_2$ y $h_3$ .
Explica la estrategia que hay detrás de la recurrencia $h_{n+1} = 2h_n + 1$ : ¿qué tiene que ocurrir antes y después de que se mueva el disco mayor?
Resuelve la recurrencia con el truco del Ejercicio 13.11: toma $v_n = h_n + 1$ , demuestra que $(v_n)$ es una progresión geométrica y concluye que $h_n = 2^n - 1$ .
La torre de la leyenda tiene $64$ discos y los monjes mueven un disco por segundo. Usando $2^{10} = 1024 \approx 10^3$ , estima el tiempo de traslado en años (un año son unos $3 \times 10^7$ segundos; compara con el Ejemplo 13.10, el mismo gigante en otra historia). ¿Hay que preocuparse?
¿Por qué ninguna estrategia puede bajar de $2^n - 1$ movimientos? Argumenta que cualquier solución cumple $h_{n+1} \geq 2 h_n + 1$ : ¿qué tiene que ser cierto sobre los $n$ discos superiores justo antes y justo después del movimiento del disco de abajo?

Parte II — Fibonacci. Definimos $F_1 = F_2 = 1$ y $F_{n+2} = F_{n+1} + F_n$ (cada término es la suma de los dos anteriores: la regla del recuento de ritmos del volumen anterior, ahora con su nombre europeo).

Escribe $F_1$ hasta $F_{12}$ .
Demuestra que $(F_n)$ no es ni aritmética ni geométrica, pero que es estrictamente creciente a partir de $n = 2$ (Método 13.14 y la recurrencia).
Demuestra la identidad de la suma

$F_1 + F_2 + \dots + F_n = F_{n+2} - 1$

por telescopaje: escribe cada $F_k$ como $F_{k+2} - F_{k+1}$ y observa cómo se derrumba la suma. Compruébala para $n = 6$ .
Demuestra la identidad de los cuadrados $F_1^2 + F_2^2 + \dots + F_n^2 = F_n F_{n+1}$ , telescopando con $F_k F_{k+1} - F_{k-1} F_k = F_k^2$ . Compruébala para $n = 4$ . (Imagen: cuadrados de lados $1, 1, 2, 3, 5, \dots$ embaldosan un rectángulo, el esqueleto de la famosa espiral de Fibonacci.)
La identidad de Cassini afirma que $F_{n+1} F_{n-1} - F_n^2 = (-1)^n$ . Compruébala para $n = 4, 5, 6$ y reconoce en ella el motor del truco del cuadrado que desaparece, jugado en el problema de las áreas del volumen anterior.
Demuestra a partir de la recurrencia que $F_{n+2} \geq 2 F_n$ : Fibonacci se duplica al menos cada dos pasos, así que crece al menos tan deprisa como una progresión geométrica de razón $\sqrt2$ .
Calcula los cocientes $r_n = \frac{F_{n+1}}{F_n}$ para $n = 3$ hasta $10$ (con tres decimales). Admitiendo que se estabilizan en un límite $L$ , pasa al límite en la relación $r_{n+1} = 1 + \frac{1}{r_n}$ y resuelve: ¿a qué número del Problema 2.1 veneran los conejos?

Parte III — El truco auxiliar, en el banco.

Generaliza el Ejercicio 13.11: para $u_{n+1} = a\,u_n + b$ con $a \neq 1$ , toma $\ell = \frac{b}{1 - a}$ (el punto fijo). Demuestra que $v_n = u_n - \ell$ es una progresión geométrica de razón $a$ y concluye que $u_n = a^n (u_0 - \ell) + \ell$ .
Un préstamo: $10\,000$ euros al $1\,\%$ de interés mensual, con una devolución de $300$ euros al mes, de modo que la deuda cumple $d_{n+1} = 1.01\,d_n - 300$ . Aplica la pregunta 13 (¡primero el punto fijo!) para obtener una fórmula explícita de $d_n$ .
Con una calculadora, halla el primer mes en que queda saldada la deuda y el importe total devuelto. ¿Cuánto ha costado el préstamo en sí?
Una ciudad de $50\,000$ habitantes crece un $2\,\%$ al año y recibe además $1\,000$ recién llegados: $p_{n+1} = 1.02\,p_n + 1000$ . Da la fórmula explícita y la población al cabo de $10$ años.

Parte IV — Las dos familias reales.

Calcula $1 + 2 + 3 + \dots + 1000$ (Teorema 13.5: la suma del pequeño Gauss del volumen anterior, ahora oficial) y $1 + 2 + 4 + \dots + 2^{19}$ (Teorema 13.9).
Calcula la suma de la progresión aritmética $7, 12, 17, \dots, 502$ (¿cuántos términos hay?).
Plan de ahorro: $100$ euros ingresados cada mes, con un rendimiento del $0.5\,\%$ mensual; después del ingreso $n$ -ésimo, el saldo es $100\left(1.005^{n-1} + \dots + 1.005 + 1\right)$ . Calcula el saldo al cabo de $5$ años ( $n = 60$ ).
Final, el equipo del domador de sucesiones: descripciones explícitas frente a recurrentes; las dos familias reales y sus fórmulas de suma; la sucesión auxiliar que convierte las recurrencias afines en geométricas; y Fibonacci, primer ciudadano ajeno a las dos familias, domesticado hoy con identidades y a la espera de las matrices (el año que viene) y de los límites para su captura completa. Una frase para cada punto.

Solución

Solución de Problema 13.1.

1. $h_1 = 1$ , $h_2 = 3$ , $h_3 = 7$ .

2. Para mover el disco mayor, los $n$ discos que tiene encima han de emigrar antes a la varilla libre ( $h_n$ movimientos); el disco grande cruza ( $1$ movimiento); y los $n$ discos tienen después que volver a subirse encima ( $h_n$ movimientos): $h_{n+1} = 2h_n + 1$ .

3. $v_{n+1} = h_{n+1} + 1 = 2h_n + 2 = 2v_n$ : progresión geométrica de razón $2$ con $v_1 = 2$ , luego $v_n = 2^n$ y $h_n = 2^n - 1$ .

4. $2^{64} - 1 \approx 1.8 \times 10^{19}$ segundos; dividiendo entre $3 \times 10^7$ segundos por año, unos $6 \times 10^{11}$ años: seiscientos mil millones de años, cuarenta veces la edad del universo. Los monjes pueden hacer pausas para el café.

5. En cualquier solución legal, fijémonos en el primer movimiento del disco de abajo: en ese instante los otros $n$ discos tienen que estar todos en la única varilla restante (al menos $h_n$ movimientos para llevarlos allí) y, tras el último movimiento del disco de abajo, tienen que volver todos encima de él (al menos $h_n$ movimientos más): cualquier solución necesita al menos $2h_n + 1$ movimientos. La recurrencia es un suelo además de un techo: $2^n - 1$ es óptimo.

6. $1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144$ .

7. No es aritmética ( $2 - 1 = 1$ , pero $3 - 2 = 1$ y $5 - 3 = 2$ : las diferencias cambian); no es geométrica ( $\frac21 = 2$ , pero $\frac32 = 1.5$ ). Creciente: para $n \geq 2$ , $F_{n+1} - F_n = F_{n-1} > 0$ .

8. $F_k = F_{k+2} - F_{k+1}$ , luego

\sum_{k=1}^{n} F_k = (F_3 - F_2) + (F_4 - F_3) + \dots + (F_{n+2} - F_{n+1}) = F_{n+2} - F_2 = F_{n+2} - 1 .

Para $n = 6$ : $1 + 1 + 2 + 3 + 5 + 8 = 20 = F_8 - 1 = 21 - 1$ .

9. $F_k F_{k+1} - F_{k-1} F_k = F_k (F_{k+1} - F_{k-1}) = F_k \cdot F_k = F_k^2$ ; al sumar, la suma telescopa hasta $F_n F_{n+1} - F_1 F_0$ (con $F_0 = 0$ ): la suma de los cuadrados es $F_n F_{n+1}$ . Para $n = 4$ : $1 + 1 + 4 + 9 = 15 = F_4 F_5 = 3 \times 5$ .

10. $F_5 F_3 - F_4^2 = 5 \times 2 - 9 = 1$ ; $F_6 F_4 - F_5^2 = 8 \times 3 - 25 = -1$ ; $F_7 F_5 - F_6^2 = 13 \times 5 - 64 = 1$ : se alternan $\pm 1$ . Ese desfase de una unidad entre $F_{n+1} F_{n-1}$ y $F_n^2$ es exactamente la unidad de área que el mago gana o pierde: cortar un cuadrado de $F_n \times F_n$ en piezas que se recomponen como un rectángulo de $F_{n+1} \times F_{n-1}$ tiene que crear o tragarse una unidad; es la rendija.

11. $F_{n+2} = F_{n+1} + F_n \geq F_n + F_n = 2F_n$ (la sucesión crece): cada dos índices, al menos una duplicación, o sea, un crecimiento al menos geométrico de razón $\sqrt2$ por índice.

12. $1.5$ ; $1.667$ ; $1.6$ ; $1.625$ ; $1.615$ ; $1.619$ ; $1.618$ ; $1.618$ . Si $r_n \to L$ : de $F_{n+2} = F_{n+1} + F_n$ , dividiendo entre $F_{n+1}$ , se obtiene $r_{n+1} = 1 + \frac{1}{r_n}$ , luego $L = 1 + \frac1L$ , es decir, $L^2 = L + 1$ : $L = \varphi = \frac{1 + \sqrt5}{2}$ , el número áureo del Problema 2.1. Los conejos se multiplican en oro.

13. $v_{n+1} = u_{n+1} - \ell = a u_n + b - \ell$ ; y como $\ell = a\ell + b$ , esto es $a(u_n - \ell) = a v_n$ : progresión geométrica de razón $a$ . Por tanto, $v_n = a^n v_0$ y $u_n = a^n (u_0 - \ell) + \ell$ .

14. Punto fijo: $\ell = 1.01\ell - 300$ da $\ell = 30\,000$ . Así que $d_n = 1.01^n (10\,000 - 30\,000) + 30\,000 = 30\,000 - 20\,000 \times 1.01^n$ .

15. $d_n \leq 0$ exige $1.01^n \geq 1.5$ : $1.01^{40} \approx 1.489$ y $1.01^{41} \approx 1.504$ ; la cuota $41$ salda la deuda (y es algo menor que $300$ ). Total devuelto: algo menos de $41 \times 300 = 12\,300$ euros; los $10\,000$ prestados han costado unos $2\,300$ euros de intereses.

16. Punto fijo $\ell = \frac{1000}{1 - 1.02} = -50\,000$ , luego $p_n = 1.02^n \times 100\,000 - 50\,000$ . Al cabo de $10$ años: $1.02^{10} \approx 1.219$ , luego $p_{10} \approx 71\,900$ habitantes.

17. $\frac{1000 \times 1001}{2} = 500\,500$ ; y $2^{20} - 1 = 1\,048\,575$ .

18. De $7$ a $502$ a pasos de $5$ : $\frac{502 - 7}{5} + 1 = 100$ términos; suma $= 100 \times \frac{7 + 502}{2} = 25\,450$ .

19. Saldo $= 100 \times \frac{1.005^{60} - 1}{1.005 - 1} \approx 100 \times \frac{0.3489}{0.005} \approx 6\,977$ euros, de los cuales $6\,000$ ingresados y unos $977$ ganados: las sumas geométricas son la lengua materna del banco.

20. Las fórmulas explícitas responden al instante a “¿cuánto vale $u_{1000}$ ?”; las recurrencias describen cómo evolucionan de verdad los sistemas, y el arte consiste en convertir las segundas en las primeras. Las progresiones aritméticas suman, las geométricas multiplican, y cada familia tiene su fórmula de suma (el emparejamiento de Gauss; el truco de multiplicar por la razón). El truco del punto fijo y de la sucesión auxiliar convierte toda recurrencia afín en una geométrica: los préstamos, las poblaciones y la torre cayeron con él. Fibonacci no obedece a ninguna de las dos familias y, sin embargo, las identidades telescópicas atraparon sus sumas y sus cuadrados; su retrato completo (una fórmula exacta, el límite áureo) espera herramientas más potentes.