Matemáticas de secundaria · Grades 10–12

10Funciones y ecuaciones de segundo grado

Las funciones de segundo grado son las más sencillas después de las lineales y las primeras cuyas gráficas son de verdad curvas. Este capítulo desarrolla toda la caja de herramientas necesaria: la forma canónica, el discriminante, el signo de una expresión de segundo grado y la geometría de la parábola.

10.1 La forma canónica

Definición 10.1 (Función de segundo grado)

Una función de segundo grado es una función de la forma

f(x) = ax^2 + bx + c, \qquad a \neq 0,

donde $a$ , $b$ , $c$ son números reales. La expresión $ax^2 + bx + c$ se llama también trinomio de segundo grado.

Teorema 10.2 (Forma canónica)

Toda función de segundo grado se puede escribir de una única manera como

f(x) = a(x - \alpha)^2 + \beta, \qquad\text{donde } \alpha = -\frac{b}{2a} \text{ y } \beta = f(\alpha).

Es la forma canónica de $f$ .

Demostración. Completamos el cuadrado. Como $a \neq 0$ , lo sacamos como factor común de los dos primeros términos:

ax^2 + bx + c = a\left(x^2 + \frac{b}{a}x\right) + c .

Ahora bien, $x^2 + \frac{b}{a}x$ es el comienzo del cuadrado $\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 = x^2 + \frac ba x + \frac{b^2}{4a^2}$ , de modo que $x^2 + \frac{b}{a}x = \left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{b^2}{4a^2}$ . Sustituyendo:

f(x) = a\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{b^2}{4a} + c = a\bigl(x - \alpha\bigr)^2 + \beta,

con $\alpha = -\frac{b}{2a}$ y $\beta = c - \frac{b^2}{4a}$ . Al evaluar en $x = \alpha$ desaparece el término al cuadrado, luego $\beta = f(\alpha)$ . Unicidad: al desarrollar $a(x-\alpha)^2 + \beta$ e identificar los coeficientes de $x$ queda forzado $\alpha = -\frac{b}{2a}$ , y entonces $\beta$ está determinado. ∎

Ejemplo 10.3

Sea $f(x) = 2x^2 - 8x + 3$ . Entonces $\alpha = -\frac{-8}{2 \times 2} = 2$ y $\beta = f(2) = 8 - 16 + 3 = -5$ , luego

f(x) = 2(x - 2)^2 - 5 .

Comprobación desarrollando: $2(x^2 - 4x + 4) - 5 = 2x^2 - 8x + 8 - 5 = 2x^2 - 8x + 3$ .

Proposición 10.4 (Extremo y variación)

Sea $f(x) = a(x-\alpha)^2 + \beta$ .

Si $a > 0$ , entonces $f$ es decreciente en $\intoc{-\infty}{\alpha}$ y creciente en $\intco{\alpha}{+\infty}$ : $f$ tiene un mínimo $\beta$ , alcanzado en $x = \alpha$ .
Si $a < 0$ , la variación se invierte: $f$ tiene un máximo $\beta$ en $x = \alpha$ .

Demostración. Supongamos $a > 0$ y sea $\alpha \leq u < v$ . Entonces

f(v) - f(u) = a\bigl((v-\alpha)^2 - (u-\alpha)^2\bigr) = a\,(v - u)\,\bigl((v-\alpha) + (u-\alpha)\bigr).

Cada factor es positivo: $a > 0$ , $v - u > 0$ y $(v-\alpha) + (u-\alpha) > 0$ , porque $v > \alpha$ y $u \geq \alpha$ . Luego $f(v) > f(u)$ : $f$ es creciente en $\intco{\alpha}{+\infty}$ . Para $u < v \leq \alpha$ el último factor es negativo, luego $f(v) < f(u)$ : $f$ decrece ahí. Por último, $f(x) - f(\alpha) = a(x-\alpha)^2 \geq 0$ para todo $x$ , así que $\beta = f(\alpha)$ es el mínimo. El caso $a < 0$ se obtiene aplicando lo anterior a $-f$ . ∎

Ejemplo 10.5

Un granjero dispone de $100$ metros de valla para cercar un campo rectangular apoyado en un muro recto (a lo largo del muro no hace falta valla). Si $x$ es la anchura, el área cercada es $A(x) = x(100 - 2x) = -2x^2 + 100x$ . Aquí $\alpha = -\frac{100}{2\times(-2)} = 25$ y $A(25) = 25 \times 50 = 1250$ : el área es máxima con una anchura de $25$ m, y vale $1250$ m $^2$ .

10.2 Raíces y factorización

Definición 10.6 (Raíz, discriminante)

Una raíz del trinomio $ax^2+bx+c$ es una solución de la ecuación $ax^2 + bx + c = 0$ . El discriminante del trinomio es el número

\Delta = b^2 - 4ac .

Teorema 10.7 (Resolución de $ax^2+bx+c=0$ )

Si $\Delta > 0$ , la ecuación tiene dos raíces distintas

$x_1 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}, \qquad x_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a},$

y $ax^2+bx+c = a(x - x_1)(x - x_2)$ .
Si $\Delta = 0$ , la ecuación tiene la única raíz $x_0 = -\frac{b}{2a}$ , y $ax^2+bx+c = a(x - x_0)^2$ .
Si $\Delta < 0$ , la ecuación no tiene solución real y el trinomio no se puede factorizar con coeficientes reales.

Demostración. Partimos de la forma canónica calculada en el Teorema 10.2:

ax^2+bx+c = a\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 + c - \frac{b^2}{4a} = a\left[\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{\Delta}{4a^2}\right],

ya que $c - \frac{b^2}{4a} = \frac{4ac - b^2}{4a} = -\frac{\Delta}{4a} = a \times \left(-\frac{\Delta}{4a^2}\right)$ .

1. Si $\Delta > 0$ , entonces $\frac{\Delta}{4a^2} = \left(\frac{\sqrt\Delta}{2a}\right)^2$ y el corchete es una diferencia de dos cuadrados:

ax^2+bx+c = a\left(x + \frac{b}{2a} - \frac{\sqrt\Delta}{2a}\right) \left(x + \frac{b}{2a} + \frac{\sqrt\Delta}{2a}\right) = a(x - x_2)(x - x_1).

Un producto es cero exactamente cuando uno de sus factores lo es, lo que da las dos raíces, distintas porque $\sqrt\Delta \neq 0$ .

2. Si $\Delta = 0$ , el corchete es $\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2$ , que solo se anula en $x_0 = -\frac{b}{2a}$ .

3. Si $\Delta < 0$ , entonces $-\frac{\Delta}{4a^2} > 0$ , así que el corchete es un cuadrado más un número positivo: no se anula nunca y la ecuación no tiene solución real. Una factorización $a(x-x_1)(x-x_2)$ produciría raíces, luego no existe ninguna. ∎

Ejemplo 10.8

Resolvamos $2x^2 - 8x + 3 = 0$ . Aquí $\Delta = (-8)^2 - 4 \times 2 \times 3 = 64 - 24 = 40 > 0$ , así que hay dos raíces:

x_{1,2} = \frac{8 \pm \sqrt{40}}{4} = \frac{8 \pm 2\sqrt{10}}{4} = 2 \pm \frac{\sqrt{10}}{2}.

Para $x^2 + x + 1 = 0$ : $\Delta = 1 - 4 = -3 < 0$ , sin solución real.

Proposición 10.9 (Suma y producto de las raíces)

Si $\Delta \geq 0$ y $x_1, x_2$ son las raíces (iguales cuando $\Delta = 0$ ), entonces

x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}, \qquad x_1 x_2 = \frac{c}{a} .

Recíprocamente, dos números de suma $s$ y producto $p$ son las soluciones de $x^2 - sx + p = 0$ .

Demostración. Desarrollamos la factorización del Teorema 10.7:

a(x - x_1)(x - x_2) = a x^2 - a(x_1 + x_2)x + a\,x_1 x_2 .

Identificando los coeficientes con los de $ax^2 + bx + c$ se obtiene $-a(x_1+x_2) = b$ y $a\,x_1x_2 = c$ . Para el recíproco: si $u + v = s$ y $uv = p$ , entonces $(x-u)(x-v) = x^2 - sx + p$ , así que $u$ y $v$ son sus raíces. ∎

Ejemplo 10.10

Hallemos dos números de suma $10$ y producto $21$ . Son las soluciones de $x^2 - 10x + 21 = 0$ ; $\Delta = 100 - 84 = 16$ y las raíces son $\frac{10 \pm 4}{2} = 7$ y $3$ . Raíces a simple vista: como los coeficientes de $x^2 - 5x + 4$ cumplen $1 - 5 + 4 = 0$ , el número $1$ es raíz, y la otra es $\frac{c}{a} = 4$ (su producto debe valer $\frac ca$ ).

10.3 Signo de un trinomio de segundo grado

Teorema 10.11 (Signo de un trinomio)

Sea $f(x) = ax^2+bx+c$ con $a \neq 0$ .

Si $\Delta > 0$ , con raíces $x_1 < x_2$ : $f(x)$ tiene el signo de $a$ fuera de $\intcc{x_1}{x_2}$ y el signo de $-a$ en $\intoo{x_1}{x_2}$ .
Si $\Delta = 0$ : $f(x)$ tiene el signo de $a$ para todo $x \neq x_0$ , y se anula en $x_0$ .
Si $\Delta < 0$ : $f(x)$ tiene el signo de $a$ para todo $x$ .

En resumen: un trinomio tiene el signo de $a$ , salvo entre sus raíces.

Demostración. 1. Escribimos $f(x) = a(x-x_1)(x-x_2)$ y seguimos los signos de los factores. Si $x < x_1$ : tanto $x - x_1$ como $x - x_2$ son negativos, su producto es positivo y $f(x)$ tiene el signo de $a$ . Si $x_1 < x < x_2$ : los factores tienen signos opuestos, el producto es negativo y $f(x)$ tiene el signo de $-a$ . Si $x > x_2$ : los dos factores son positivos y $f(x)$ vuelve a tener el signo de $a$ .

2. $f(x) = a(x - x_0)^2$ y $(x-x_0)^2 > 0$ para $x \neq x_0$ .

3. Por la demostración del Teorema 10.7, $f(x) = a\left[\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 + \left(-\frac{\Delta}{4a^2}\right)\right]$ , y el corchete es siempre positivo. ∎

Método 10.12 (Resolver inecuaciones de segundo grado)

Para resolver $ax^2 + bx + c \leq 0$ (o $\geq$ , $<$ , $>$ ):

calcula $\Delta$ y las raíces, si las hay;
construye la tabla de signos usando el Teorema 10.11 (signo de $a$ fuera de las raíces);
lee el intervalo o los intervalos solución, atento a si las raíces están incluidas (desigualdad no estricta) o no (estricta).

Ejemplo 10.13

Resolvamos $-x^2 + 3x + 4 \geq 0$ . Aquí $\Delta = 9 + 16 = 25$ y las raíces son $\frac{-3 \pm 5}{-2}$ , es decir, $x_1 = -1$ y $x_2 = 4$ . Como $a = -1 < 0$ , el trinomio es negativo fuera de las raíces y positivo entre ellas. Con la desigualdad no estricta, el conjunto de soluciones es $\intcc{-1}{4}$ .

10.4 La parábola

Definición 10.14 (Parábola)

La gráfica de una función de segundo grado $f(x) = a(x-\alpha)^2+\beta$ es una parábola de vértice $S(\alpha, \beta)$ . Se abre hacia arriba si $a > 0$ y hacia abajo si $a < 0$ , y es simétrica respecto de la recta vertical $x = \alpha$ .

Observación 10.15

La simetría es fácil de comprobar: para cualquier $h$ , $f(\alpha + h) = ah^2 + \beta = f(\alpha - h)$ , así que dos puntos a la misma distancia horizontal de la recta $x = \alpha$ tienen la misma altura.

Las tres posiciones de una parábola abierta hacia arriba (a > 0) respecto del eje x: dos raíces, una raíz doble, ninguna raíz. El vértice S tiene abscisa = -b/2a. — Las tres posiciones de una parábola abierta hacia arriba ( $a > 0$ ) respecto del eje $x$ : dos raíces, una raíz doble, ninguna raíz. El vértice $S$ tiene abscisa $\alpha = -\frac{b}{2a}$ .

Signo de un trinomio abierto hacia abajo (a < 0) con dos raíces: el signo de -a entre las raíces (zona sombreada) y el de a fuera. — Signo de un trinomio abierto hacia abajo ( $a < 0$ ) con dos raíces: el signo de $-a$ entre las raíces (zona sombreada) y el de $a$ fuera.

Método 10.16 (Leer una parábola)

Para esbozar $f(x) = ax^2+bx+c$ : halla la orientación (signo de $a$ ), el vértice $\left(-\frac{b}{2a},\, f\!\left(-\frac{b}{2a}\right)\right)$ , el corte $(0, c)$ con el eje $y$ y las raíces, si las hay. El eje de simetría $x = -\frac{b}{2a}$ coloca después dos veces cada punto calculado.

Ejemplo 10.17

Para $f(x) = x^2 - 4x + 3$ : abierta hacia arriba, vértice $(2, -1)$ , corta al eje $y$ en $(0,3)$ y tiene raíces $1$ y $3$ (a simple vista: $1 - 4 + 3 = 0$ ). Por simetría, el punto $(4, 3)$ también está en la curva, reflejando a $(0, 3)$ .

10.5 Ejercicios

Ejercicio 10.1 ★

Resuelve las ecuaciones

x^2 - 5x + 6 = 0, \qquad 2x^2 + 3x - 2 = 0, \qquad x^2 + 2x + 5 = 0, \qquad 9x^2 - 6x + 1 = 0 .

Solución

Solución de Ejercicio 10.1.

$x^2-5x+6$ : $\Delta = 25 - 24 = 1$ , raíces $\frac{5 \pm 1}{2}$ , es decir, $2$ y $3$ .

$2x^2+3x-2$ : $\Delta = 9 + 16 = 25$ , raíces $\frac{-3 \pm 5}{4}$ , es decir, $\frac12$ y $-2$ .

$x^2+2x+5$ : $\Delta = 4 - 20 = -16 < 0$ , sin solución real.

$9x^2-6x+1$ : $\Delta = 36 - 36 = 0$ , una única raíz (doble), $x_0 = \frac{6}{18} = \frac13$ .

Ejercicio 10.2 ★

Escribe en forma canónica y da el vértice de la parábola:

f(x) = x^2 - 6x + 11, \qquad g(x) = -2x^2 + 4x + 1, \qquad h(x) = 3x^2 + 6x .

Solución

Solución de Ejercicio 10.2.

$f(x) = x^2 - 6x + 11 = (x-3)^2 - 9 + 11 = (x-3)^2 + 2$ : vértice $(3, 2)$ .

$g(x) = -2x^2+4x+1 = -2(x^2 - 2x) + 1 = -2\bigl((x-1)^2 - 1\bigr) + 1 = -2(x-1)^2 + 3$ : vértice $(1, 3)$ .

$h(x) = 3x^2 + 6x = 3(x^2 + 2x) = 3\bigl((x+1)^2 - 1\bigr) = 3(x+1)^2 - 3$ : vértice $(-1, -3)$ .

Ejercicio 10.3 ★

Resuelve las inecuaciones

x^2 - 3x - 10 < 0, \qquad 2x^2 + x + 3 > 0, \qquad -x^2 + 6x - 9 \geq 0 .

Solución

Solución de Ejercicio 10.3.

$x^2 - 3x - 10$ : $\Delta = 9 + 40 = 49$ , raíces $\frac{3 \pm 7}{2} = -2$ y $5$ ; el coeficiente principal es positivo, así que el trinomio es negativo estrictamente entre las raíces: el conjunto de soluciones es $\intoo{-2}{5}$ .

$2x^2 + x + 3$ : $\Delta = 1 - 24 = -23 < 0$ y $a = 2 > 0$ : siempre positivo, el conjunto de soluciones es $\R$ .

$-x^2 + 6x - 9 = -(x-3)^2$ : es $\geq 0$ solo donde $(x-3)^2 \leq 0$ , es decir, en $x = 3$ . El conjunto de soluciones es $\{3\}$ .

Ejercicio 10.4 ★

Sin calcular $\Delta$ , halla una raíz evidente y después la otra:

x^2 - 7x + 6 = 0, \qquad 2x^2 + 5x - 7 = 0, \qquad x^2 + 4x - 5 = 0 .

(Indicación: prueba $x = 1$ y $x = -1$ y usa después el producto de las raíces.)

Solución

Solución de Ejercicio 10.4.

$x^2 - 7x + 6$ : $1 - 7 + 6 = 0$ , luego $1$ es raíz; el producto de las raíces es $6$ , así que la otra raíz es $6$ .

$2x^2 + 5x - 7$ : $2 + 5 - 7 = 0$ , luego $1$ es raíz; el producto es $\frac{c}{a} = -\frac72$ , así que la otra raíz es $-\frac72$ .

$x^2 + 4x - 5$ : $1 + 4 - 5 = 0$ , luego $1$ es raíz; el producto es $-5$ , así que la otra raíz es $-5$ .

Ejercicio 10.5 ★★

Halla dos números cuya suma sea $14$ y cuyo producto sea $45$ . Halla después las dimensiones de un rectángulo de perímetro $34$ y área $60$ .

Solución

Solución de Ejercicio 10.5.

Los dos números son las soluciones de $x^2 - 14x + 45 = 0$ (Proposición 10.9); $\Delta = 196 - 180 = 16$ y las raíces son $\frac{14 \pm 4}{2} = 9$ y $5$ .

Para el rectángulo: la mitad del perímetro da largo $+$ ancho $= 17$ , y el área da su producto, $60$ . Son las soluciones de $x^2 - 17x + 60 = 0$ ; $\Delta = 289 - 240 = 49$ , raíces $\frac{17 \pm 7}{2} = 12$ y $5$ . El rectángulo mide $12 \times 5$ .

Ejercicio 10.6 ★★

Sea $f(x) = x^2 + (m-2)x + 1$ , donde $m$ es un parámetro real. ¿Para qué valores de $m$ tiene la ecuación $f(x) = 0$ exactamente una solución? ¿Y ninguna?

Solución

Solución de Ejercicio 10.6.

$\Delta = (m-2)^2 - 4$ . Hay exactamente una solución cuando $\Delta = 0$ : $(m-2)^2 = 4$ , luego $m - 2 = \pm 2$ , es decir, $m = 0$ o $m = 4$ . No hay solución cuando $\Delta < 0$ : $(m-2)^2 < 4$ , es decir, $-2 < m - 2 < 2$ , o sea $0 < m < 4$ .

Ejercicio 10.7 ★★

Se lanza una pelota hacia arriba; su altura al cabo de $t$ segundos es $h(t) = -5t^2 + 20t + 1$ (en metros). ¿Cuál es la altura máxima alcanzada y en qué instante? ¿Durante qué intervalo de tiempo está la pelota al menos a $16$ m de altura?

Solución

Solución de Ejercicio 10.7.

El vértice está en $t = -\frac{20}{2 \times (-5)} = 2$ , y $h(2) = -20 + 40 + 1 = 21$ : altura máxima de $21$ m, alcanzada a los $2$ segundos.

$h(t) \geq 16$ equivale a $-5t^2 + 20t - 15 \geq 0$ , es decir (dividiendo entre $-5$ , lo que invierte la desigualdad), $t^2 - 4t + 3 \leq 0$ . Las raíces de $t^2-4t+3$ son $1$ y $3$ ( $1 - 4 + 3 = 0$ , producto $3$ ), así que $t^2 - 4t + 3 \leq 0$ exactamente en $\intcc{1}{3}$ : la pelota está al menos a $16$ m de altura entre los instantes $t = 1$ s y $t = 3$ s.

Ejercicio 10.8 ★★

Resuelve la ecuación $x^4 - 13x^2 + 36 = 0$ tomando $X = x^2$ (una ecuación bicuadrada).

Solución

Solución de Ejercicio 10.8.

Con $X = x^2$ : $X^2 - 13X + 36 = 0$ , $\Delta = 169 - 144 = 25$ , luego $X = \frac{13 \pm 5}{2} = 9$ o $4$ . Volviendo a $x$ : $x^2 = 9$ da $x = \pm 3$ , y $x^2 = 4$ da $x = \pm 2$ . El conjunto de soluciones es $\{-3, -2, 2, 3\}$ .

Ejercicio 10.9 ★★

¿Para qué valores de $x$ está el punto $M(x, x^2)$ de la parábola $y = x^2$ estrictamente por debajo de la recta $y = x + 2$ ? Interprétalo sobre un esbozo.

Solución

Solución de Ejercicio 10.9.

La condición es $x^2 < x + 2$ , es decir, $x^2 - x - 2 < 0$ . Como $x^2 - x - 2 = (x+1)(x-2)$ (raíces $-1$ y $2$ ), la desigualdad se cumple estrictamente entre las raíces: $x \in \intoo{-1}{2}$ . En un esbozo, la parábola $y = x^2$ se hunde por debajo de la recta $y = x+2$ exactamente entre sus dos puntos de corte, $(-1, 1)$ y $(2, 4)$ .

Ejercicio 10.10 ★★

La suma de un número positivo y su inverso es $\frac{13}{6}$ . Halla el número. (Redúcelo a una ecuación de segundo grado.)

Solución

Solución de Ejercicio 10.10.

Sea $x > 0$ tal que $x + \frac1x = \frac{13}{6}$ . Multiplicando por $6x > 0$ : $6x^2 + 6 = 13x$ , es decir, $6x^2 - 13x + 6 = 0$ . Entonces $\Delta = 169 - 144 = 25$ y $x = \frac{13 \pm 5}{12}$ , de donde $x = \frac32$ o $x = \frac23$ . Los dos son positivos e inversos el uno del otro, como cabía esperar: el número es $\frac32$ (o $\frac23$ ).

Ejercicio 10.11 ★★★

Sea $\mathcal P$ la parábola $y = x^2$ y sea $d_m$ la recta $y = mx - 1$ , donde $m$ es un parámetro real.

¿Para qué valores de $m$ se cortan $\mathcal P$ y $d_m$ en dos puntos? ¿En un punto? ¿En ninguno?
Cuando se tocan exactamente en un punto, calcula el punto de contacto. (En el Capítulo 12 reconocerás $d_m$ como la tangente a $\mathcal P$ en ese punto.)

Solución

Solución de Ejercicio 10.11.

1. Los cortes corresponden a las soluciones de $x^2 = mx - 1$ , es decir, $x^2 - mx + 1 = 0$ , cuyo discriminante es $\Delta = m^2 - 4$ . Dos puntos cuando $\abs{m} > 2$ ; exactamente uno cuando $m = \pm 2$ ; ninguno cuando $-2 < m < 2$ .

2. Para $m = 2$ : $x^2 - 2x + 1 = (x-1)^2 = 0$ , así que el único punto de contacto es $(1, 1)$ . Para $m = -2$ : $(x+1)^2 = 0$ , punto de contacto $(-1, 1)$ . En los dos casos la recta corta a la parábola en un solo punto sin atravesarla: es la tangente allí, y en efecto su pendiente $m = \pm 2$ coincide con el valor en $x = \pm 1$ de la derivada $2x$ de $x^2$ (Capítulo 12).

10.6 Problema: El punto secreto de la parábola

Problema 10.1

Problema de fin de semana — foco y directriz: por qué las antenas parabólicas, los faros de los coches y los puentes colgantes dibujan todos la misma curva, de la que en el fondo solo hay una

Todas las antenas parabólicas de todos los balcones apuntan su receptor a un punto interior muy concreto; todos los faros de coche esconden su bombilla en ese mismo lugar especial. Ese punto, el foco, es un secreto que la parábola guarda desde la geometría griega, y la fórmula de la distancia basta para arrancárselo. De camino, este problema entrena el discriminante, lanza proyectiles por encima de muros, cuelga un puente y demuestra un hecho final asombroso: salvo aumento, en el mundo solo hay una parábola.

Parte I — Soltura con los trinomios.

Resuelve $x^2 - 5x + 6 = 0$ , después $2x^2 + x - 6 = 0$ y después $x^2 + x + 1 = 0$ (Teorema 10.7).
Escribe $2x^2 - 4x - 6$ en forma factorizada y en forma canónica (Teorema 10.2). Junto con la forma desarrollada, tienes ya tres disfraces de una misma función: di qué rasgo enseña cada uno de un vistazo (raíces, vértice, corte con el eje $y$ ).
Resuelve $-x^2 + 4x - 3 \geq 0$ con la regla de los signos (Teorema 10.11).
Viète como detective (Proposición 10.9, continuando Babilonia en el Problema 2.1): halla dos números de suma $7$ y producto $12$ escribiendo su ecuación. Después: una raíz de $x^2 - 5x + c = 0$ vale $2$ ; halla $c$ y la otra raíz sin resolver nada.
¿Para qué valores de $m$ tiene $x^2 + mx + 9 = 0$ una raíz doble? ¿Ninguna raíz? ¿Dos raíces?

Parte II — El foco al descubierto. Trabajamos con la parábola $y = x^2$ , el punto $F\left(0, \frac14\right)$ y la recta horizontal $\delta$ de ecuación $y = -\frac14$ .

Para un punto $P(x, x^2)$ de la parábola, desarrolla $PF^2 = x^2 + \left(x^2 - \frac14\right)^2$ y demuestra que es el cuadrado perfecto $\left(x^2 + \frac14\right)^2$ . Deduce $PF$ .
Calcula la distancia de $P$ a la recta $\delta$ y concluye: todo punto de la parábola está exactamente a la misma distancia de $F$ que de $\delta$ . ( $F$ es el foco y $\delta$ , la directriz.)
Demuestra el recíproco: un punto $P(x, y)$ con $PF = \operatorname{dist}(P, \delta)$ tiene que cumplir $y = x^2$ . (Eleva al cuadrado las dos distancias y simplifica.) Así pues, la parábola es un lugar geométrico, exactamente como lo era la circunferencia en el Problema 5.1: equidistancia de un punto y una recta, en lugar de equidistancia de un solo punto.
Para la parábola más ancha $y = \frac{x^2}{4f}$ (con $f > 0$ ), adapta la pregunta 6 para demostrar que el foco es $(0, f)$ y la directriz, $y = -f$ . Aplicación: una antena parabólica mide $60$ cm de ancho y $9$ cm de profundidad, así que su borde pasa por $(30, 9)$ . Halla $f$ : ¿a qué altura sobre el vértice hay que colgar el receptor?
La razón de que las antenas funcionen: los rayos que llegan paralelos al eje se reflejan todos pasando por el foco (y una bombilla en el foco lanza un haz paralelo: los faros son antenas al revés). Explica por qué la equidistancia de la pregunta 7 hace esto verosímil (piensa en los rayos como frentes de onda que avanzan) y di qué herramienta, que llega en el Capítulo 12 (véase el Ejercicio 10.11), convierte la verosimilitud en demostración.

Parte III — Parábolas trabajando.

Una pelota sigue la trayectoria $y = x - \frac{x^2}{20}$ ( $x$ e $y$ en metros). Halla dónde cae, la posición horizontal de su punto más alto y la altura máxima (Proposición 10.4).
En la misma trayectoria hay un muro en $x = 4$ . Calcula la altura de la pelota allí: ¿supera un muro de $3$ m? ¿Y uno de $4$ m?
Un arco parabólico salva $40$ m con una altura máxima de $10$ m: en coordenadas centradas, $y = 10 - \frac{x^2}{40}$ . ¿Puede pasar un camión de $7$ m de alto a $10$ m del centro? ¿Y a $15$ m?
Los ingresos de un teatro con un precio de entrada de $p$ euros son $R(p) = p\,(120 - 2p)$ (la demanda baja al subir el precio). Halla el precio que maximiza los ingresos y el máximo.
Los cables principales del Golden Gate son parabólicos con excelente aproximación (una carga uniforme del tablero produce una parábola; una cadena que cuelga libremente, no: su curva, la catenaria, necesita la exponencial del año que viene). Con una luz de $1\,280$ m y una flecha de $143$ m, el cable sigue $y = 143\left(\frac{x}{640}\right)^2$ desde el centro. ¿A qué altura sobre su punto más bajo está el cable en $x = 320$ m?

Parte IV — Rectas, tangentes y la última sorpresa.

Completa el Ejercicio 10.11: las rectas $y = mx - 1$ que pasan por el punto exterior $(0, -1)$ cortan a $y = x^2$ según el signo de un discriminante. Halla las dos rectas tangentes desde $(0, -1)$ y sus puntos de contacto.
Ahora las rectas $y = mx + 1$ que pasan por el punto interior $(0, 1)$ : calcula el discriminante de la ecuación de los cortes y demuestra que todas esas rectas cortan dos veces a la parábola. Moraleja: desde dentro no hay tangentes, igual que en una circunferencia.
La cuerda focal: corta $y = x^2$ con la recta horizontal que pasa por el foco, $y = \frac14$ . ¿Cuánto mide la cuerda? Comprueba la regla general (que conviene recordar para las antenas): para $y = \frac{x^2}{4f}$ , la cuerda que pasa por el foco paralela a la directriz mide $4f$ .
La última sorpresa: aplica el aumento $(x, y) \mapsto (kx, ky)$ a la parábola $y = x^2$ y demuestra que la imagen es exactamente $y = \frac{x^2}{k}$ . Concluye: toda parábola $y = \frac{x^2}{4f}$ es una ampliación de la parábola unidad; a diferencia de las circunferencias y de las elipses de proporciones distintas, todas las parábolas son semejantes.
Final: el retrato de la parábola en cinco líneas: una ecuación con tres disfraces (pregunta 2), un lugar geométrico (preguntas 7 y 8), el reflector del ingeniero (preguntas 9 y 10), la trayectoria de un proyectil y el cable de un puente (preguntas 11 a 15) y una única curva salvo aumento (pregunta 19). Una frase para cada una.

Solución

Solución de Problema 10.1.

1. $x^2 - 5x + 6$ : $\Delta = 1$ , raíces $2$ y $3$ . $2x^2 + x - 6$ : $\Delta = 1 + 48 = 49$ , raíces $\frac{-1 \pm 7}{4}$ : $\frac32$ y $-2$ . $x^2 + x + 1$ : $\Delta = -3 < 0$ : sin solución real.

2. $\Delta = 16 + 48 = 64$ : raíces $3$ y $-1$ , luego $2x^2 - 4x - 6 = 2(x - 3)(x + 1)$ ; forma canónica $2(x - 1)^2 - 8$ . La forma factorizada enseña las raíces; la canónica, el vértice $(1, -8)$ ; y la desarrollada, el corte $-6$ con el eje $y$ .

3. Raíces $1$ y $3$ , coeficiente principal negativo: el trinomio es $\geq 0$ entre las raíces: $x \in \intcc{1}{3}$ .

4. Los números son las raíces de $x^2 - 7x + 12 = 0$ : $3$ y $4$ . Si $2$ es raíz de $x^2 - 5x + c$ , la otra raíz $r$ cumple $2 + r = 5$ (la suma), luego $r = 3$ , y $c = 2 \times 3 = 6$ (el producto): Viète lo lee de un vistazo.

5. $\Delta = m^2 - 36$ : raíz doble para $m = \pm 6$ (la raíz es $\mp 3$ ); ninguna raíz para $-6 < m < 6$ ; dos raíces para $\abs m > 6$ .

6. $PF^2 = x^2 + \left(x^2 - \frac14\right)^2 = x^2 + x^4 - \frac{x^2}{2} + \frac{1}{16} = x^4 + \frac{x^2}{2} + \frac{1}{16} = \left(x^2 + \frac14\right)^2$ . Por tanto, $PF = x^2 + \frac14$ (los dos factores son positivos).

7. La distancia de $P(x, x^2)$ a la recta horizontal $y = -\frac14$ es $x^2 + \frac14$ , exactamente $PF$ . Todo punto de la parábola equidista del foco y de la directriz.

8. $PF^2 = x^2 + \left(y - \frac14\right)^2$ y $\operatorname{dist}^2 = \left(y + \frac14\right)^2$ . La igualdad da $x^2 + y^2 - \frac y2 + \frac{1}{16} = y^2 + \frac y2 + \frac1{16}$ , luego $x^2 = y$ : el lugar geométrico es exactamente la parábola. Un punto y una recta generan la curva, igual que un punto y una distancia generaban la circunferencia.

9. Para $y = \frac{x^2}{4f}$ , el mismo desarrollo con $F(0, f)$ da $PF^2 = x^2 + \left(\frac{x^2}{4f} - f\right)^2 = \left(\frac{x^2}{4f} + f\right)^2$ : la distancia a $F$ es igual a la distancia a $y = -f$ . Antena: $9 = \frac{30^2}{4f}$ da $4f = 100$ , $f = 25$ cm: el receptor cuelga a un cuarto de metro sobre el vértice, es decir, fuera del casquete de $9$ cm, como se ve en las antenas reales.

10. Un frente de onda que llega paralelo al eje ha recorrido distancias iguales para alcanzar el nivel de la directriz; la equidistancia convierte “igual distancia a la directriz” en “igual distancia a $F$ ”: todas las señales reflejadas llegan a $F$ a la vez y se refuerzan; ahí es donde hay que escuchar. La demostración honrada necesita la pendiente de la tangente en cada punto, o sea, la derivada del Capítulo 12, ya entrevista en el Ejercicio 10.11.

11. $y = x\left(1 - \frac{x}{20}\right)$ : cae en $x = 20$ m. El vértice está a mitad de camino: $x = 10$ , con altura $y(10) = 10 - 5 = 5$ m.

12. $y(4) = 4 - \frac{16}{20} = 3.2$ m: supera el muro de $3$ m con margen y se estrella contra uno de $4$ m.

13. $y(10) = 10 - \frac{100}{40} = 7.5$ m $> 7$ : el camión pasa a $10$ m del centro. $y(15) = 10 - \frac{225}{40} = 4.375$ m: a $15$ m, no.

14. $R(p) = -2p^2 + 120p$ : vértice en $p = \frac{120}{4} = 30$ euros, con ingresos $R(30) = 30 \times 60 = 1\,800$ euros.

15. $y(320) = 143 \times \left(\frac{320}{640}\right)^2 = \frac{143}{4} \approx 36$ m por encima del punto más bajo.

16. $x^2 = mx - 1$ da $x^2 - mx + 1 = 0$ y $\Delta = m^2 - 4$ : dos puntos para $\abs m > 2$ , ninguno para $\abs m < 2$ y tangencia para $m = \pm 2$ , con contacto en $x = \frac m2 = \pm 1$ : las tangentes son $y = 2x - 1$ en $(1, 1)$ e $y = -2x - 1$ en $(-1, 1)$ .

17. $x^2 = mx + 1$ da $\Delta = m^2 + 4 > 0$ para todo $m$ : siempre hay dos cortes. Desde un punto interior, toda recta atraviesa dos veces la curva; las tangentes se trazan solo desde fuera, exactamente como en las circunferencias.

18. $y = \frac14$ corta a $y = x^2$ en $x = \pm\frac12$ : la cuerda mide $1$ . Para $y = \frac{x^2}{4f}$ : $y = f$ da $x^2 = 4f^2$ , $x = \pm 2f$ : longitud $4f$ ; la anchura focal es cuatro veces la distancia focal (los diseñadores de antenas la llaman lado recto).

19. Un punto de $y = x^2$ es $(a, a^2)$ ; su imagen es $(X, Y) = (ka, ka^2)$ , y $\frac{X^2}{k} = \frac{k^2a^2}{k} = ka^2 = Y$ : la curva imagen es exactamente $y = \frac{x^2}{k}$ . Eligiendo $k = 4f$ se alcanza cualquier parábola: todas son ampliaciones de una misma curva maestra. (Las circunferencias también son todas semejantes entre sí; las elipses, no: el achatamiento importa, el aumento no.)

20. Una ecuación con tres disfraces legibles; el lugar geométrico de los puntos que equidistan de un punto y de una recta; el reflector que reúne los rayos paralelos en su foco y el cable que sostiene un tablero uniforme; la trayectoria de cualquier pelota lanzada; y, salvo ampliación, una sola curva: una parábola, en todas partes.